2.伸缩变换

2 平面直角坐标系中的伸缩变换

主备： 审核：

学习目标：

1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；

2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；

3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.

学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.

学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.

学习过程：

一、课前准备

阅读教材14PP的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题：

1.在直角坐标系中，已知点(,)Mab，则

①M关于原点O的对称点为(,)ab； ②M关于x轴的对称点为(,)ab；

③M关于y轴的对称点为,)ab(-； ④M关于直线yx的对称点为(,)ba；

⑤M关于直线yx的对称点为(,)ba；

⑥M关于直线yxt的对称点为(,)btat.

2．平移变换

①平面上任一点P的坐标(,)xy，按向量(,)ahk平移后的坐标为(,)Pxy，则有xkxyky

②曲线(,)0Fxy的图像，按(,)ahk平移后的曲线方程为(,)0Fxhyk.

3.填空题：

（1）已知点(4,3)P按向量(1,5)a平移到Q点，则Q的坐标为(3,8)．

（2）函数2()23fxx向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是

()fx22(3)4x.

(3) 抛物线22yx按向量(3,2)n平移，得到的曲线的方程是2(2)2(3)yx.

二、新课导学

（一）新知：

伸缩变换

①一般地，由(0)kxxkyy所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保

持不变，横坐标变为原来的k倍；

②由(0)xxkkyy所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的k倍；

上面的变换中，当1k时表示伸长；当01k时，表示压缩；

函数()yfx=图像的平移变换与伸缩变换

在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中，我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容，主要要学习函数y=Asin(x+)+m(A0, 0)wjw构的图像是由sinyx=的图像怎样变换得来的，这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时，也要增加函数()yfx=的图像变换的内容。三角函数也属于函数，因此一般函数()yfx=的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性，我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识，能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文，供大家借鉴使用，提出建设性意见。

大家知道，sinyx=的图像向上(下)平移10个单位，可得到10sinyx-=(10sinyx+=)，即sin10yx=+(sin10yx=-)的图像；sinyx=的图像向右(左)平移10，可得到sin()10yxp=-(sin()10yxp=+)的图像；sinyx=的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的12)，可得到1sin2yx=(sin2yx=)的图像；sinyx=的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的13)，可得到1sin3yx=(3sinyx=)，即3sinyx=(1sin3yx=)的图像；我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反映出来。表格为

变换内容 解析式的相应变化

向右平移110 10xxp?

向左平移110 10xxp?

向下平移10 10yy?

向上平移10 10yy?

横向伸长至原2倍 12xx®

横向缩短至原12 2xx®

纵向伸长至原3倍 13yy®

纵向缩短至原13 3yy®

从上面的表格，我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点：

左加右减，下加上减；横向变换变x，纵向变换变y；各种变换均在x、y头上直接变；x、y的变化总与我们的感觉相反。例如，向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x；向上平移或向下平移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y；从这可以看出横向变换变x，纵向变换变y。向右平移110时，我们感觉图像上的每个点的横坐标应增加110，但x的变化却为把x变为10xp-；横向伸长至原来的2倍时，我们感觉每个点的横坐标应变为原来的2倍，但实际上x的变化却为把x变为12x；从这可看出x、y的变化总与我们的感觉相反。从上面的解析式的相应变化中可看到，x、y的变化均是直接把x或y变成多少，其余一律照抄下来。例如，sin(2)3yxp=+的图像向右平移2个单位，应得到sin[2(2)]3yxp=-+的图像，而不是sin(22)3yxp=-+；sin(2)3yxp=+的图像横向伸长至原来的3倍，应得到1sin(2)33yxp=?，即2sin()33yxp=+的图像，而不是1sin[(2)]33yxp=+的图像，这就体现了各种变换均在x、y头上直接变。

三角函数的平移与伸缩变换

1、为了得到函数)32sin(xy的图象，只需把函数)62sin(xy的图象向____平移_____个单位长度.

2、设,0函数2)3sin(xy的图象向右平移34个单位后与原图象重合则的最小值是__________.

3、将函数xysin的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式是_____________.

4、将函数xxxfcossin3)(的图象向左平移m个单位（m>0），若得到图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是_____________.

5、把函数)2||,0)(sin(xy的图象向左平移3个单位长度，所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ）

A. 6,1 B. 6,1

C. 6,2 D. 6,2

6、已知函数)0,0(2cos)(2AxAxf的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，求.________)20()6()4()2(ffff

7、右图是函数))(sin(RxxAy在区间)65,6(上的图象，只要将

（1）xysin的图象经过怎样的变换？

（2）xy2cos的图象经过怎样的变换？

17π12π3xyo1-15π6-π6yxo8、把xysin作何变换可得.1)63sin(8xy

9、把1)42sin(3xy作何变换可得到.sinxy

10、把2)2143sin(21xy作何变换可得到.1)351sin(23xy

11、将2)542sin(2xy做下列变换：

（1）向右平移2个单位长度；

（2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变；

（3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；

函数图像变换练习题

函数图像变换练习题

函数图像变换是数学中的重要概念，它帮助我们理解函数的性质和变化规律。通过对函数图像进行变换，我们可以观察到函数在平移、伸缩和翻转等操作后的形态变化。在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对函数图像变换的理解。

1. 平移变换

平移变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行平移。具体而言，平移变换可以分为水平平移和垂直平移两种情况。

练习题1：考虑函数f(x) = x^2，将其沿x轴方向平移3个单位，请画出平移后的函数图像。

解答：对于函数f(x) = x^2，进行水平平移3个单位后的函数可以表示为f(x-3)

= (x-3)^2。通过计算可知，平移后的函数图像与原函数相比，在x轴上整体向右平移了3个单位。

2. 伸缩变换

伸缩变换是指将函数图像沿着坐标轴的方向进行拉伸或压缩。具体而言，伸缩变换可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种情况。

练习题2：考虑函数f(x) = x^2，将其在x轴方向进行压缩，使得函数图像变为原来的一半宽度，请画出压缩后的函数图像。

解答：对于函数f(x) = x^2，进行在x轴方向的压缩后的函数可以表示为f(2x) =

(2x)^2。通过计算可知，压缩后的函数图像与原函数相比，在x轴上整体变窄了一半。 3. 翻转变换

翻转变换是指将函数图像沿着坐标轴进行翻转。具体而言，翻转变换可以分为水平翻转和垂直翻转两种情况。

练习题3：考虑函数f(x) = x^2，将其进行水平翻转，请画出翻转后的函数图像。

解答：对于函数f(x) = x^2，进行水平翻转后的函数可以表示为f(-x) = (-x)^2。通过计算可知，翻转后的函数图像与原函数相比，在y轴上对称翻转。

通过以上练习题，我们可以看到函数图像在不同的变换下发生了形态上的变化。这些变换可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。在实际应用中，函数图像变换也被广泛应用于物理、工程和经济等领域。

除了上述的平移、伸缩和翻转变换，函数图像还可以进行其他的变换，如旋转和剪切等。这些变换可以通过组合不同的变换操作来实现。通过练习和实践，我们可以更加熟练地运用函数图像变换的知识，从而更好地理解和应用函数。