垂直线的性质与判定

垂直线的性质与判定直线是几何中最基本的图形之一，而垂直线是直线之中的一种特殊情况。

垂直线的性质和判定方法在几何学中有着重要的作用和应用。

本文将从垂直线的定义、性质和判定方法等方面进行论述，旨在加深对垂直线的理解和运用。

一、垂直线的定义垂直线是指两条直线之间的相对方向关系，即两条直线在某个点处相交，且相交角度为90度。

垂直线通常被表示为“⊥”符号，例如A⊥B，表示A与B两条直线垂直。

二、垂直线的性质1. 两条垂直线的斜率乘积为-1：在笛卡尔坐标系中，设直线A的斜率为k1，直线B的斜率为k2，则满足k1 * k2 = -1时，可以判定直线A与直线B垂直。

这是垂直线性质的一个重要推论，可以方便地判断两条直线是否垂直。

2. 垂直线的线段长相等：如果两条垂直线分别与一条水平线相交，并且线段长度相等，那么可以判定这两条直线互相垂直。

这个性质可以通过实际测量线段长来判断垂直线的存在，特别适用于工程测量和建筑设计等领域。

3. 垂直线与水平线相互垂直：根据几何学基本原理，垂直线与水平线之间的夹角为90度，即互相垂直。

这个性质可以方便地判断一条直线是否与水平线垂直，从而进一步判定直线的性质。

三、垂直线的判定方法1. 斜率判定法：如前所述，两条垂直线的斜率乘积为-1。

因此，通过计算两条直线的斜率，并判断它们的乘积是否为-1，可以判定这两条直线是否垂直。

2. 角度判定法：根据垂直线的定义，两条直线相交处的夹角为90度。

因此，通过计算两条直线相交处的夹角，并判断夹角是否为90度，可以直接判定这两条直线是否垂直。

3. 坐标判定法：对于给定的两条直线，可以确定它们的两个相交点的坐标，并计算两个点之间的斜率。

如果这两个斜率相乘得到-1，则可以判定这两条直线垂直。

四、垂直线的应用1. 地理测量和导航：垂直线的性质和判定方法在地理测量和导航中有广泛的应用。

例如，在地图测量中，垂直线可以用来确定建筑物的高度或山脉的高度。

在导航中，垂直线可用于指示航空器或船只的垂直姿态。

垂线的判定定理是几何学中的一个重要概念，它涉及到直线与平面之间的垂直关系。

在三维空间中，垂线是指直线与平面相交，并且与平面内的任意一条直线都垂直的直线。

以下是一些关于垂线的判定定理：
1. 定义判定定理：如果一条直线与平面内的任意两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。

2. 性质定理：
- 性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

- 性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直于已知平面。

- 性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

- 性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

3. 三垂线定理：在平面几何中，如果一条直线与平面内的一条斜线的影子垂直，那么这条直线与斜线垂直。

4. 平行线公理：在欧几里得几何中，如果两条直线在同一平面内，且任意一条直线与平面内的另一条直线都垂直，则这两条直线平行。

5. 垂线段定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段是最短的。

这些定理是解决与垂线相关的问题的基础，并且在几何学的学习和应用中非常重要。

在实际应用中，这些定理可以帮助我们判断直线的垂直关系，解决诸如建筑设计、工程测量和立体几何分析等问题。

垂直线的性质与判定方法在几何学中，垂直线是一种重要的概念，常用于描述线段、直线或平面之间的关系。

本文将详细探讨垂直线的性质以及判定方法，旨在帮助读者更好地理解和运用这一概念。

一、垂直线的性质1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线或线段之间相互垂直的关系。

两条垂直线之间的角度为90度，也即是直角。

2. 垂直线的特点垂直线有以下几个主要特点：- 两条垂直线之间的夹角为90度，即两者之间是直角。

- 垂直线与水平线相交，形成交角为90度的交点。

- 垂直线可以用于确定两个平面之间的关系，若两个平面相互垂直，则它们的交线为垂直线。

3. 垂直线与平行线的关系垂直线和平行线是几何学中的两个重要概念。

两条垂直线之间不存在平行关系，但垂直线与同一直线上的一条平行线呈直角关系。

二、判定垂直线的方法1. 角度判定法通过测量两条线或线段之间的夹角来判定垂直线的存在。

若两条线之间的夹角为90度，则可以断定它们是垂直的。

这种方法适用于平面上的直线、线段、射线等形态。

2. 斜率判定法斜率判定法适用于已知两条直线的斜率的情况。

若两条直线的斜率之积为-1，则可以确定它们是垂直的。

即设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则当k1 * k2 = -1时，L1与L2垂直。

3. 三角形判定法此判定法适用于已知三角形的情况。

如果一个三角形的两条边互相垂直，那么可以判定它们所在的线段或直线是垂直线。

4. 垂直平分线判定法垂直平分线是指将一条线段垂直平分的线，该线段的两个中点通过这条线都与线段呈90度的角。

若已知一条垂直平分线，则可以判定被它垂直平分的线段是垂直线。

总结：本文介绍了垂直线的性质以及判定方法。

垂直线是指两条直线或线段之间垂直的关系，具有直角特点。

判定垂直线的方法包括角度判定法、斜率判定法、三角形判定法和垂直平分线判定法。

通过运用这些方法，我们可以准确地判断垂直线的存在与否，进一步应用于解决几何问题中。

在实际应用中，我们要善于使用这些判定方法，以提高几何问题的解决效率。

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。

【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。

αO A B CαOAB授课内容 线面垂直的判定及性质教学内容知识梳理1 、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行4、斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上5．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。

直线和平面所成角范围： [0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角【同步练习】1、下列命题中正确的个数是（ ）①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则α⊥l ； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则α⊥l ；③如果直线l 不垂直于α，则α内也没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也有无数条直线与l 垂直。

A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、若直线l ⊥平面α，直线α⊂m ，则（ ）A 、m l ⊥B 、l 可能和m 平行C 、l 和m 相交D 、l 和m 不相交3、直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是（ ） A 、β⊥a B 、a ∥β C 、β⊂a D 、β⊂a 或a ∥β4、给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；③互相平行的两条直线，在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ④过点P 有且仅有一条直线与异面直线l ，m 都垂直。

平行线与垂直线的性质与判定平行线和垂直线是几何学中常见的两种特殊线型。

它们具有不同的性质和判定方法，在解决几何问题和证明几何命题时起到重要作用。

本文将介绍平行线和垂直线的性质以及判定方法。

一、平行线的性质与判定1. 平行线的性质平行线是指不相交且位于同一平面内的两条直线，它们具有以下性质：（1）平行线上的任意一对对应角相等；（2）平行线与横截线之间，对应角相等；（3）平行线与平行线之间，内角和等于180度；（4）平行线的任意两条线段之间的比例相等。

2. 平行线的判定方法平行线可以通过以下几种方法进行判定：（1）同位角判定法：若两条直线被一组平行线截断，或者两条直线被一组平行线所包围，那么这两条直线就是平行线。

（2）转角判定法：若两条直线之间的内角和等于180度，则这两条直线是平行线。

（3）斜率判定法：若两条直线的斜率相等并且不相交，那么这两条直线是平行线。

（4）平行线的性质判定法：若两条直线具有平行线的性质，如对应角相等、内角和等于180度等，则这两条直线是平行线。

二、垂直线的性质与判定1. 垂直线的性质垂直线是指两条直线相交，交角等于90度的情况。

垂直线具有以下性质：（1）垂直线构成的交角等于90度；（2）垂直线的斜率之积等于-1。

2. 垂直线的判定方法垂直线可以通过以下几种方法进行判定：（1）直角判定法：若两条直线的交角等于90度，则这两条直线是垂直线。

（2）斜率判定法：若两条直线的斜率之积等于-1，则这两条直线是垂直线。

（3）垂直线的性质判定法：若两条直线具有垂直线的性质，如交角等于90度等，则这两条直线是垂直线。

三、平行线与垂直线的应用平行线和垂直线在几何学中有广泛的应用。

它们能够帮助我们解决与角度、比例和图形相似性等相关的问题。

1. 平行线的应用平行线的性质和判定方法可以应用于以下几个方面：（1）证明两幅图形相似：如果两条直线与另外一组平行线相交，并且相交处的对应角相等，那么这两幅图形是相似的。

垂直线的判定与性质在几何学中，垂直线是一个重要的概念。

在本文中，我们将讨论如何判定两条线是否垂直以及垂直线的性质。

通过了解垂直线的定义和性质，我们可以更好地理解几何学中的垂直关系。

一、垂直线的定义垂直线是指两条线或线段之间的夹角为90度的线。

当两条线或线段的夹角等于90度时，我们就可以说它们是垂直的。

这个定义告诉我们如何判定两条线是否垂直。

二、垂直线的判定方法1. 几何推理法：通过几何推理的方法，可以快速判定两条线是否垂直。

如果两条线段之间的夹角为90度，那么它们就是垂直的。

通过观察几何图形的形状和角度，我们可以轻松判定线段是否垂直。

2. 斜率法：在解析几何中，我们可以使用斜率来判断两条线段是否垂直。

如果两条线段的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。

具体的计算方法是比较两条线段的斜率乘积是否等于-1，如果等于-1，则说明它们是垂直的。

三、垂直线的性质1. 互补角性质：两条垂直线之间的夹角是互补角，即它们的和等于90度。

这个性质使得我们可以通过已知其中一条垂直线的角度，快速计算出另一条垂直线的角度。

2. 线段垂直平分性质：如果一条线段与另外两条垂直线相交，并将它们分成两部分，那么这条线段就是这两条垂直线的垂直平分线。

这个性质在几何证明中经常被使用，它说明了垂直线的重要性。

3. 垂直线的延伸性：垂直线可以无限延伸。

无论在平面内或空间中，一条垂直线都可以一直延伸下去，没有止境。

这个性质使得垂直线在几何学中具有独特的特点和应用。

四、垂直线的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，垂直线的应用非常广泛。

例如，在建造一栋建筑物时，垂直线被用来确保墙面的垂直和地面的垂直。

通过使用垂直线，可以保证建筑物的结构稳定和美观。

2. 地图标示：在地图上，垂直线通常用来标示方向。

例如，纬度线和经度线是垂直于彼此的线，它们被用来确定地球上任意一个地点的位置。

通过使用垂直线，我们可以准确地定位和导航。

3. 几何证明：在几何证明中，垂直线经常被用来推导其他几何命题。

直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直.我们就说直线与平面互相垂直.记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。

要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”.这与“无数条直线”不同.注意区别。

(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。

(3)若.则。

2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直.则该直线与此平面垂直。

符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语.不可忽视。

(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直.取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直.至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点.则无关紧要。

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交.但不和这个平面垂直.这条直线叫做这个平面的斜线。

过斜线上斜足外的一点向平面引垂线.过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角.叫做这条直线和这个平面所成的角。

要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直.直线在平面的射影是一条直线。

(2)直线与平面垂直射影是点。

(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。

(4)一条直线垂直于平面.它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内.它们所成的角是0°的角。

知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分.这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面。

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便.也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点.将这个二面角记作二面角.如果棱记作.那么这个二面角记作二面角或。

直线与平面、平面与平面的垂直判定知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)若，则.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：(1)直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线.(2)直线与平面垂直射影是点.(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角.经典例题透析【例1】下列命题中正确的个数是( )①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则；②如果直线与平面内的一条直线垂直，则；③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线；④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直.A.0B.1C.2D.3答案：B解析：当内的无数条直线平行时，与不一定垂直，故①不对；当与内的一条直线垂直时，不能保证与垂直，故②不对；当与不垂直时，可能与内的无数条直线垂直，故③不对；④正确.故选【练习1】下列说法中错误的是( )①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面的一条平行线垂直，该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任何直线.A.①②B.②③④C.①②④D.①②③答案：D解析：如图所示，直线，面ABCD，显然，∴①错；由于，，但，∴②错；，，但，∴③错.由直线与平面垂直的定义知④正确，故选D.【例2】如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.连接BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB=∠SDA，所以SD⊥BD.又AC∩BD=D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD ⊥平面SAC. 【例3】如图，已知∠BOC 在平面内，OA 是平面的斜线，且∠AOB=∠AOC=60°，OA=OB=OC=，BC=，求OA 和平面所成的角.解析：∵，∠AOB=∠AOC=60°，∴ △AOB 、△AOC 为正三角形， ∴ .∵， ∴，∴ △ABC 为直角三角形. 同理△BOC 也为直角三角形.过A 作AH 垂直平面于H ，连接OH ，∵ AO=AB=AC ， ∴ OH=BH=CH ，H 为△BOC 的外心. ∴ H 在BC 上，且H 为BC 的中点.∵ Rt △AOH 中，， ∴，∴ ∠AOH=45°. 即AO 和平面所成角为45°. 【练习2】如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是________.答案：解析：如右图.由题取AC 中点O ，连接BO.则BO ⊥平面.故为与平面所成角. 又在中，，. ∴， ∴ .【练习3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的垂心.证明：连接OA 、OB 、OC ，∵ PO ⊥平面ABC ， ∴ ,PO BC PO AC ⊥⊥. 又 ∵ PA BC PB AC ⊥⊥，， ∴ BC PAO AC PBO ⊥⊥平面，平面，得AO BC BO AC ⊥⊥，, ∴ O 为底面△ABC 的垂心.知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.2.二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.知识点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面与垂直，记作.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：2.平面与平面垂直的判定定理判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：图形语言：特征：线面垂直面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.知识点五、直线与平面垂直的性质1.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：2.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：知识点六、平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：【例4】如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.解析：取BC的中点E，连接AE、DE，∵AB=AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB=AC，∴DB=DC，∴DE⊥BC.∴∠AED为二面角的平面角.又∵△ABC≌△BDC，∴AD=BC=2，在Rt△DEB中，DB=，BE=1，∴，同理.在△AED中，∵，，∴，∴∠AED=90°.∴以面BCD和面ABC为面的二面角大小为90°.【练习4】已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且.求过D、E、C1的平面与棱柱的下底面所成的二面角的大小.解析：如图，在平面内延长DE和交于点F，则F是面与面的公共点，为这两个平面的交线，∴所求二面角就是的平面角.∵，且，∴E、分别DF和A1F的中点.∵，∴.又面，面，∴面，而面.∴.∴是二面角的平面角，由已知，∴.【例5】在四面体ABCD中，，AB=AD=CB=CD=AC=，如图所示.求证：平面ABD⊥平面BCD.证明：∵△ABD与△BCD是全等的等腰三角形，∴取BD的中点E，连接AE、CE，则AE⊥BD，BD⊥CE，∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.在△ABD中，，，∴.同理.在△AEC中，，，由于，∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.【练习5】如图所示，在空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.证明：∵AB=BC，CD=AD，G是AC的中点，∴BG⊥AC，DG⊥AC，∴AC⊥平面BGD.又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD.∵EF平面BEF，∴平面BDG⊥平面BEF.【练习6】如图所示，在Rt△AOB中，，斜边AB=4.Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角.D是AB的中点.求证：平面COD⊥平面AOB；证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.又∵二面角B-AO-C是直二面角.∴CO⊥BO.又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB.又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB.综合练习：如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。

一、垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：垂线段最短。

二、垂线的定义：1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。

其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

2.直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

三、垂直的判定：垂线的定义。

四、垂线的画法1.画垂线有两种情况，一种是已知一条直线，过这个直线之外的一个点画这个直线的垂线；另一种情况是已知一条直线，过这个线上的某一点作这个直线的垂线。

这两种情况画垂线都需要用到工具，有直尺、直角三角尺还有笔。

2.第一种情况，首先把直尺放好，直尺的一条边要和已知的那条直线重合，然后把直角三角尺的其中一个直角边靠在直尺上，保持三角尺的另一个边和直尺垂直的情况下，慢慢移动直角三角尺，直到直线外的某一点和直尺三角尺的另一条边重合，最后沿着直角三角尺的另一条边过直线外的那一点画出来直线，这条直线就是那条已知直线的垂线。

3.第二种情况，也是要先把直尺作为一个标准放好，直尺的一条边要和已知的直线重合在一起，把直角三角形的一个直角边靠在直尺上，保持直尺不动，直角三角尺慢慢移动，直到直角三角尺的顶点和已知的那个点重合，沿着直角三角尺的另一条直角边过已知的点画一条直线，这条直线就是要画的垂线。

五、线线垂直的性质和判定定理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。

线线垂直是指两条线是垂直关系，分为平面两直线垂直和空间两直线垂直两种。

平面两直线垂直：两直线垂直→斜率之积等于1；两直线斜率之积等于1→两直线垂直。

空间两直线垂直：所成角是直角，两直线垂直。

六、线面垂直的判定方法⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥ba⊥α; （线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a β a⊥α（面面垂直性质定理）。