五．线性系统的频域分析法
5-1 频率特性
1． 频率特性的基本概念
理论依据
定理：设稳定线性定常系统)(s G 的输入信号是正弦信号t X t x ωsin )(=，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率ω的函数，表示为
)](sin[)()(ωφωω+=t Y t c 。
幅频特性：|)(|ωj G ，输出信号与输入信号幅度的比值。
描述幅度增益与频率的关系； 相频特性：)(ωj G ∠，输出信号的相角与输入信号相角的差值。
描述相移角与频率的关
系； 频率特性：)(ωj G ，幅频特性和相频特性的统称。
传递函数)(s G ⇔ 频率特性)(ωj G ⎩⎨
⎧∠)
(|)(|ωωj G j G 。
1. 幅频特性 A(ω) G(j ω) 相频特性 ψ(ω) G(j ω)
指数表达式G(j ω)= A(ω)e j φ(ω)
频率特性的物理意义是：
当一频率为ω的正弦信号加到电路的输入端后，在稳态时，电路的输出与输入之比； 或者说输出与输入的幅值之比和相位之差。
2.频率特性的几何表示法(图形表示方法)
图形表示的优点是，直观，易于了解整体情况。
a) 幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线简称为幅相曲线或极坐标图、奈氏曲线等。
横轴为实轴，纵轴为
虚轴，当频率ω从零变到无穷大时，)(ωj G 点在复平面上留下频率曲线。
曲线上的箭头表示频率增大的方向；
极坐标形式：
直角坐标：
实轴正方向为相角零度线，逆时针方向为角度的正角度，顺时针为负角
度。
幅相频率特性曲线的缺点：不易观察频率与幅值和相角的对应关系。
b) 对数频率特性曲线
对数频率特性曲线又称伯德)(Bode 图。
伯德图将幅频特性和相频特性分别绘制在上
下对应的两幅图中；横轴为频率轴，单位是弧度，对数刻度；幅频特性的纵轴为对数幅度增益轴，|)(|log 20 j G ，
单位是分贝db ，均匀刻度；相频特性的纵坐标为相移轴，单位是度(也可以用弧
度)，均匀刻度。
对数幅频特性图
对数相频特性图
采用对数分度优越性：1把串联环节的幅值由相乘变为和的形式。
2。
可以展宽低频率段，压缩高频率段。
对数幅相曲线
对数幅相曲线又称尼科尔斯图。
将幅频特性和相频特性绘制在同一幅图中，纵轴为对数幅度增益轴，单位是分贝db ，均匀刻度；横轴为相移轴，单位是度，均匀刻度。
5-3 开环系统的典型环节分解和开环频率特性曲线绘制
反馈控制系统的开环传递函数通常易于分解成若干典型环节串联，了解典型环节的频率特性，有助于掌握系统的开环频率特性。
1 典型环节：
典型环节的频率特性及幅相曲线：0>K ，0>T ，10<<ζ；
1.1 放大环节K s G =)(和对应的非最小相位环节K s G F -=)(；
K j G j G F ==|)(||)(|ωω，ο0)(=∠ωj G ，ο180)(-=∠ωj G F ；
1.2 积分环节s s G /1)(=和微分环节s s G =)(；
ωω/1|)(|=j G ，ο90)(-=∠ωj G ；和ωω=|)(|j G ，ο90)(=∠ωj G ；
1.3 惯性环节)1/(1)(+=Ts s G 和对应的非最小相位环节)1/(1)(-=Ts s G F ；
ωωjT j G +=11)(，ωωjT j G F +-=11)(； 2/122)1(|)(||)(|-+==ωωωT j G j G F ，ωωT j G arctan )(-=∠，
ωωT j G F arctan 180)(+-=∠ο；
2
比例环节K )0(>K ；
2.1 积分环节s /1；
1.3惯性环节)1/(1+Ts )0(>T ；
1.4振荡环节)12/(122++Ts s T ζ )10,0(<≤>ζT
低频时的对数幅频曲线是一条0分贝的直线。
高频时对数幅频特性曲线：是一条斜率为-40分贝/十倍频程的直线。
1.5一阶微分环节1+Ts )0(>T ；
低频时的对数幅频曲线是一条0分贝的直线。
高频时对数幅频特性曲线：是一条斜率为+20分贝/十倍频程的直线。
1.6二阶微分环节1222++Ts s T ζ )10,0(<≤>ζT ；
同振荡环节
1.7微分环节s
非最小相位环节，环节的零点或极点在S 平面的右半部。
非最小相位环节的相角绝对值大于最小相位环节
最小相位环节和非最小相位环节的区别。
最小相位环节:在右半S平面既无极点，也无零点的环节。
非最小相位环节：在右半S平面有极点和零点的环节。
最小相位环节:只具有最小相位环节的系统。
非最小相位环节：至少有一个非最小相位环节的系统。
对于最小相位环节，其传递函数有单一的幅值曲线唯一确定。
而非最小相位环节不是这样。
最小相位环节，其幅值特性和相角特性唯一对应。
这意味着，如果系统的幅值曲线在从零到无穷大的频率范围上给定，则，相角曲线被唯一确定。
（这个结论对非最小相位系统不成立。
）
绘制bode图的步骤：
放大倍数K 的求法：
奈氏稳定判据：
(1) 幅角原理(保角原理)
设)(s F 是复变量S 的单值有理函数， Γ是S 平面上的一条不经过)(s F 的极点和零点的闭合曲线。
S 平面上的点s 沿曲线Γ顺时针运动一周，它(Γ曲线)在)(s F 平面上的象轨迹是一条闭合曲线ΓF ，曲线ΓF 包围)(s F 平面原点的圈数为
Z P R -=，
式中 P 是曲线Γ包围的)(s F 极点个数；Z 是曲线Γ包围的)(s F 零点个数；R >0表示曲线ΓF 逆时针包围原点R 次，R <0表示曲线ΓF 顺时针包围原点R 次，R =0表示曲线ΓF 不包围原点；
简要说明：S 平面上的点s 在)(s F 平面上的象为)(s F ，现主要关注相角变化情况，
∑∑==-∠--∠=∠n
i i m j j p s z s s F 11)()()(。
在s 沿曲线Γ顺时针运动一周，)(x s -∠的值因x 的位置不同而不同；若x 被曲线Γ包围变化值为π2-，否则变化值为0。
∑∑==-∠--∠=∠∆P l l Z k k p s z s s F 11)()()(。
则有)(2)(Z P s F -=∠∆π，因逆时针一周为π2，所以得Z P R -=。
(2) 复变函数)(s F 的选取
已知开环传递函数)(s G 的闭环系统的特征多项式为)(1)(s G s F +=，另一种形式为 )()()()(s A s B s A s F +=
， 要求闭环系统稳定，则闭环极点，即)(s F 的零点必须都在S 平面的左半部；)(s F 的极点也就是开环的极点未作限制，对闭环系统稳定性有影响。
F(S)具有以下特点：(1) F(s)的零点=闭环极点
(2) F(s)的极点=开环极点
(3) F(s)的零、极点数目相同
(4) F(s)和G(s)H(s)只差常数1
(3) S 平面闭合曲线Γ的选取 在S 平面上选取的闭合曲线Γ为：包围整个S 平面右半部的闭合曲线Γ；若在原点处有开环极点，闭合曲线以无穷小半径的右半圆弧绕过原点，对应的象是半径无穷大的圆弧，弧度为πk ，k 为在原点处的极点个数； 若在虚轴上有共轭极点，同样以无穷小半径的右半圆弧绕过极点。
因为)(s F 的零点都在S 平面的左半部，所选取的闭合曲线Γ只包围)(s F 在S 平面右半部的极点，也就是在S 平面右半部的P 个开环极点。
(4) 绘制开环传递函数)(s G 的闭合曲线ΓG
由于所选取的闭合曲线Γ在S 平面上关于实轴对称，则闭合曲线ΓG 在)(s G 平面上也关于实轴对称。
通常，只需绘制∞→+0:ω的半条ΓG 曲线。
(即幅相曲线，Nyquist 曲线。
)
(5) 闭合曲线ΓG 包围原点的圈数计算
根据半闭合曲线ΓG H 可获得ΓF 包围原点的圈数R ，设N 为ΓG H 穿越（-1，j0）点左侧负实轴的次数，N+表示正穿越的次数和（从上向下穿越），N-表示负穿越的次数和（从下向上穿越），则 R=2N=2(N +-N -)
奈氏判据：反馈控制系统稳定的充分必要条件是闭合曲线ΓG H 不穿过（-1，j0）点，且逆时针包围临界点（-1，j0）点的圈数R 等于开环传递函数的正实部极点数P 。
即，R=P ，否则闭环系统不稳定，闭环正实部根个数：Z=P-R=P-2N
对数频率稳定判据： 设P 为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充分必要条件是
ψ(ωc)≠（2k+1）π，k=0，1，2，…和L（w）〉0时，Γψ曲线穿越（2k+1）π线的次数满足N=N+-N-
Z=P-2N=0
稳定裕度：。
