艺术生高考数学专题讲义：考点6 二次函数与函数的最值

二次函数的最值与像知识点总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，其最值与像的计算是解析几何的基础。

在本文中，我们将对二次函数的最值与像进行总结，并给出相关的定义、性质以及计算方法。

一、最值的定义与性质二次函数的最值即函数的最大值与最小值，也称为函数的极值。

1. 最大值：若对于函数 f(x) 在定义域内的某一点 x0 ，有f(x0) ≥ f(x)，则 f(x0) 称为函数的最大值。

2. 最小值：若对于函数 f(x) 在定义域内的某一点 x0 ，有f(x0) ≤ f(x)，则 f(x0) 称为函数的最小值。

二次函数的最值与其开口方向以及抛物线的顶点有关。

1. 当二次函数的开口向上时，抛物线的顶点即为函数的最小值；2. 当二次函数的开口向下时，抛物线的顶点即为函数的最大值。

二、最值的计算方法对于给定的二次函数，我们可以通过以下步骤来计算其最值：1. 确定二次函数的开口方向，即判断二次函数的二次项系数 a 的正负；2. 计算二次函数的顶点坐标，即通过公式 x = -b / (2a) 求解顶点的横坐标，然后代入函数中求得对应的纵坐标；3. 根据开口方向判断最值，若开口向上，则函数的最小值为顶点的纵坐标；若开口向下，则函数的最大值为顶点的纵坐标。

三、像的定义与性质对于二次函数 f(x) ，抛物线上的任意一点 P(x, y) 称为像，其中 x 为自变量的取值，y 为函数值。

1. 在二次函数中，像的取值范围可以是任意的实数，即可以取到正无穷或负无穷；2. 对于开口向上的二次函数，所有的像都大于等于抛物线顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，所有的像都小于等于抛物线顶点的纵坐标。

四、案例分析下面通过一个具体的案例来演示如何计算二次函数的最值与像。

例题：已知函数 f(x) = 2x² - 4x + 5，求函数的最值与像。

解：首先，根据二次项系数 a 的正负可以判断函数的开口方向。

由于 a = 2 大于 0，所以函数的开口是向上的。

二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。

考点六 二次函数与函数的最值知识梳理1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称① 二次函数f (x )的顶点坐标为(a ,b )，则对称轴为x =a ； ② 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (x )=f (a )，则对称轴为x ； ③ 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (a +x )=f (a )，则对称轴为x a ；④ 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (a +x )=f (b )，则对称轴为x.2．函数的最值前提 函数y ＝f (x )的定义域为D条件 (1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M .(1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M .结论M 为最大值M 为最小值说明：闭区间上的二次函数必有最值. 求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．典例剖析题型一 二次函数的解析式例1 二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 答案 f (x )＝12(x －2)2－1解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图象过点(0，1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.变式训练 已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.解题要点 二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x 轴两交点坐标，宜选用零点式． 题型二 二次函数的图象和性质例2 两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是________．(填序号)①② ③④答案 ④解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b2a 与－a2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧．只有④满足． 变式训练 如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________． 答案 5解析 由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. ∴ f (x )的最小值为5.题型三 闭区间上二次函数最值例3 函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g (a )，求g (a )的函数表达式． 解析 当a <－2时，函数f (x )的对称轴x ＝a2<－1，则g (a )＝f (－1)＝2a ＋5；②当－2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2∈[－1，1]，则g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝3－a 22；③当a >2时，函数f (x )的对称轴x ＝a2>1，则g (a )＝f (1) ＝5－2a .综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5（a <－2），3－a22（－2≤a ≤2），5－2a （a >2）.变式训练 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )． 解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ； 当a >1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.解题要点 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论题型四 二次函数恒成立问题例4 对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,4)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，36－4(5－a )(a ＋5)＜0，解得－4＜a ＜4.变式训练 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．解析 2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a ＜32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 解题要点 1.二次函数在R 上恒成立的两个常见结论：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则对于x ∈R ， 二次函数f (x )>0恒成立， 二次函数f (x )<0恒成立.2.对于二次函数在某区间上恒成立问题，可以采取分离参数法，然后根据a > f (x )恒成立，则a > f (x )max ，a <f (x )恒成立，则a < f (x )min .当堂练习1．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为______________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1 解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x .故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.2．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则f (－3)、c 、f (52) 的大小关系是______________．答案 c ＜f (52)＜f (－3)解析 选.由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称．又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)＞f (52)＞f (2)＝f (0)＝c .3. 函数y ＝2x 2－8x ＋2在区间[－1，3]上的值域为________． 答案 [－6，12]解析 y ＝2(x －2)2－6.当x ＝2时，y 最小为－6；当x ＝－1时，y 最大为12.4．已知f (x )＝x 2－2mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]5．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)由f (0)＝1，得c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 因此，所求解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．课后作业一、 填空题1．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32＞1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数，∴y min ＝2－6＋3＝－1.2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则下列说法正确的是________．(填序号)①a >0,4a ＋b ＝0 ②a <0,4a ＋b ＝0 ③a >0,2a ＋b ＝0 ④a <0,2a ＋b ＝0 答案 ①解析 由f (0)＝f (4)可知x ＝－b2a ＝2，∴b ＋4a ＝0，又f (0)>f (1)知f (x )先减后增，即a >0.3．函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )<0，则a 的取值范围是________． 答案 －4<a ≤0解析 当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )<0；当a ≠0时，∵f (x )在R 上恒有f (x )<0，∴⎩⎨⎧a <0a 2＋4a <0，∴－4<a <0.综上可知：－4<a ≤0.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么f (1)、f (2)、f (4)的大小关系是________． 答案 f (2)<f (1)<f (4)解析 ∵f (2＋t )＝f (2－t )，∴f (x )关于x ＝2对称，又开口向上．∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，且f (1)＝f (3)．∴f (2)<f (3)<f (4)，即f (2)<f (1)<f (4). 5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a (x ∈[0,1])，若f (x )有最小值－2，则a 的值为________． 答案 －2解析 ∵f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，且x ∈[0,1]， ∴f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2，∴a ＝－2.6．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤2或a ≥3解析 对称轴a ≤2或a ≥3，函数在(2,3)内单调递增．7．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1，2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1，2]．8．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于________． 答案 2解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1f (b )＝bb ＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0b ＞1，解得b ＝2.9．函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________． 答案 [2,4]10．函数f (x )＝－x 2＋3x －1，x ∈[3，5]的最小值为 ． 答案 －11解析 f (x )＝－x 2＋3x －1,其对称轴为,所以函数f (x )＝－x 2＋3x －1在[3，5]上递减， 所以当x ＝5时，函数有最小值为－11．11．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋6满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为__________． 答案 6解析 由f (－1)＝f (3)知，对称轴x ＝－b2a ＝1，则b ＝－2a ，所以f (2)＝4a ＋2b ＋6＝6.二、解答题12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数. 解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， 所以f (x )min ＝f (2)＝－1，f (x )max ＝f (－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－2a2＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上为单调函数， 只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. 13．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (0)＝1，得c ＝1， 故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1,1]恒成立， 即x 2－3x ＋1－m ＞0在[－1,1]上恒成立， 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在[－1,1]上单调递减，∴g (1)＝1－3＋1－m ＞0，得m ＜－1， 故m 的取值范围是m ＜－1.。

二次函数的最值和区间
最值问题
对于一个二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、
$c$ 是实数且 $a \neq 0$。

我们可以通过求导数或配方法求出函数的
最值。

最值的判断
首先，我们来判断二次函数的最值。

如果 $a > 0$，则二次函
数开口向上，最值为最小值；如果$a < 0$，则二次函数开口向下，最值为最大值。

最值的计算
要计算二次函数的最值，可以通过以下步骤：
1. 求出顶点坐标：函数的顶点坐标为 $(h, k)$，其中 $h = -
\frac{b}{2a}$，$k = f(h)$。

2. 判断最值类型：根据 $a$ 的正负判断最值类型。

3. 计算最值：根据最值类型和顶点坐标求得最值。

区间问题
二次函数的定义域和值域也是我们需要关注的问题。

定义域
二次函数的定义域是 $x$ 的取值范围。

对于任意二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其定义域为实数集 $\mathbb{R}$。

值域
二次函数的值域是$y$ 的取值范围。

对于开口向上的二次函数，值域为一切大于等于顶点 $k$ 的实数。

对于开口向下的二次函数，
值域为一切小于等于顶点 $k$ 的实数。

总结
二次函数的最值和区间问题是数学中一个基础但重要的概念。

通过计算最值和确定定义域、值域，我们可以更好地理解和分析二次函数的特性和应用。

希望本文对二次函数的最值和区间问题有所帮助！。

二次函数最值(总15页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除二次函数最值内容讲解： 二次函数的最值问题，包括三方面的内容： 自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=ax 2+bx+c=a （x+2b a ）2+244ac b a -．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x>-2b a 时，y 随x•增大而增大；当x=-2b a时，y 取最小值244ac b a -．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x=-2b a时，y 取最大值244ac b a -． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值； （2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解．例题剖析例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1=1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（ ）．（A ）3 （B ）5914 （C ）92（D ）6 分析：设x-1=1223y z +-==t ，则x 2+y 2+z 2可用只含t 的代数式表示，通过配方求最小值．解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t 2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914．评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k法是解决等比问题最常用的方法．例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x为正实数，则函数y=x2-x+1x的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值。

二次函数求最大值和最小值的公式二次函数在数学中具有重要的应用价值，特别是在求解实际问题中的最大值和最小值时，往往涉及到二次函数的最值问题。

在这篇文档中，我们将介绍如何通过求导数的方法来求解二次函数的最大值和最小值的公式。

二次函数的一般形式二次函数通常具有如下一般形式：y=ax2+bx+c，其中a eq0。

求二次函数的最值要求二次函数y=ax2+bx+c的最大值和最小值，可以通过以下步骤进行：1.首先，求出二次函数的导数。

对y=ax2+bx+c求导得到y′=2ax+b。

2.然后，令导数y′等于零，即2ax+b=0。

3.解以上方程可以得到导数为零时的横坐标 $x = -\\frac{b}{2a}$。

4.将横坐标 $x = -\\frac{b}{2a}$ 代入原二次函数y=ax2+bx+c中，即可求得纵坐标y。

5.最大值和最小值的判定：如果a>0，则二次函数开口向上，此时y=ax2+bx+c在 $x = -\\frac{b}{2a}$ 处取得最小值；如果a<0，则二次函数开口向下，此时y=ax2+bx+c在 $x = -\\frac{b}{2a}$ 处取得最大值。

举例说明以一个具体的例子来说明如何求解二次函数的最大值和最小值。

考虑二次函数y=x2−4x+3。

1.首先，求导数：y′=2x−4。

2.令导数y′=0，得到2x−4=0，解之得x=2。

3.将x=2代入原函数y=x2−4x+3，得到y=2。

4.由于a=1>0，所以二次函数y=x2−4x+3在x=2处取得最小值y=2。

结论通过以上步骤，我们可以得出二次函数求最大值和最小值的公式：对于二次函数y=ax2+bx+c，最小值为 $x = -\\frac{b}{2a}$ 时的函数值，最大值为 $x = -\\frac{b}{2a}$ 时的函数值（当a<0）。

这种方法对于求解二次函数的最值问题具有一定的普适性，能够帮助我们更好地理解二次函数的特性和性质。

二次函数知识点一、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征a 1. 决定抛物线的开口方向；2. 决定增减性a>0 开口向上a<0 开口向下c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c>0 交点在x轴上方c=0 抛物线过原点c<0 交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab>0 对称轴在y轴左侧ab<0 对称轴在y轴右侧b2-4ac 决定抛物线与x轴公共点的个数b2-4ac>0 抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0 顶点在x轴上b2-4ac<0 抛物线与x轴无公共点1.求二次函数解析式的方法(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)要确定二次函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)，由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的解析式，需要已知三个独立条件.当已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后列出三元一次方程组求解.当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式y=a(x-h)2+k求解. (3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标.2.确定二次函数最值的方法确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值.①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是；图 (2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是.②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.图(1)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图 (2)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图 (3)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图 (4)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值；图 (5)中，当时，函数有最大值；当时，函数有最小值.类型一：二次函数的最值1．（1）求下列函数的最大值或最小值.①；②.（2）已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A、有最小值0，有最大值3B、有最小值﹣1，有最大值0C、有最小值﹣1，有最大值3D、有最小值﹣1，无最大值2．某商场试销一种成本为60元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高40%，经试销发现，销售量(件)与销售单价(元/件)符合一次函数，且时，；时，；(1)求出一次函数的解析式；(2)若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式，销售单价定为多少时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？类型二：用待定系数法确定二次函数的解析式3．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点A(0，-1)，B(1，0)，C(-1，2)；(2)已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y轴交于点(0，1)；(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3，0)，(5，0)，且与y轴交于点(0，-3)；(4)已知抛物线的顶点为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4.4．有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为 6m，跨度为 8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)若要在隧道壁上点P (如图)安装一盏照明灯，灯离地面高 4.5 m.求灯与点B的距离.课堂练习：1、二次函数y=-（x-1）2+3图像的顶点坐标是（）A．（-1，3）B．（1，3）C．（-1，-3）D．（1，-3）2、二次函数y=ax2+bx+c，b2=ac，且x=0时y=-4则y的最值是（）A．最大值-4 B．最小值-4C．最大值-3 D．最小值-33、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a>0；②c>0；•③b 2-4ac>0，其中正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4、根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y•的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的一个解x 的范围是（ ）x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=a x 2+bx+c -0.03 -0.01 0.02 0.04A ．6<x<6.17B ．6.17<x<6.18C ．6.18<x<6.19D ．6.19<x<6.205、如图，在坐标系中，二次函数y=ax 2+c （a ≠0）的图象过正方形ABOC •的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．6、如图，P 为抛物线y=34x 2-32x+14上对称轴右侧的一点，且点P 在x 轴上方，过点P 作PA垂直x 轴于点A ，PB 垂直y 轴于点B ，得到矩形PAOB ．若AP=1，求矩形PAOB 的面积．7、已知二次函数y =ax 2+bx +c ，当x =1时，y 有最大值为5，且它的图像经过点（2，3），求这个函数的关系式.8、已知二次函数y = -x 2+bx +5，它的图像经过点（2，-3）. （1）求这个函数关系式及它的图像的顶点坐标.（2）当x 为何值时，函数y 随着x 的增大而增大？当为x 何值时，函数y 随着x 的增大而减小？9、已知抛物线y =x 2-2x +a 的顶点A 在直线y =-x +3上，直线y =-x +3与x 轴的交点为B 点，点O 为直角坐标系的原点.（1）求点B 的坐标与a 的值. （2）求△AOB 的面积.10、二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴交于点A （-8,0）、B （2 0），与y 轴交于C ，∠ACB=90°.（1）、求二次函数的解析式；（2）、求二次函数的图像的顶点坐标；11.抛物线y= (k 2-2)x 2+m-4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= -21x+2上，求函数解析式。