2020-2021学年江西省南昌市第十中学高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

2020-2021学年江西省南昌十中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）点在极坐标系中的坐标为（）A．B．C．D．2．（5分）已知ab＜0，bc＞0，则直线ax+by+c＝0通过（）象限A．第一、二、三B．第一、二、四C．第一、三、四D．第二、三、四3．（5分）抛物线x2＝﹣2y的准线方程是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝4．（5分）若直线为参数）与直线kx+y+1＝0平行，则常数k＝（）A．﹣3B．C．D．35．（5分）与圆C1：（x+1）2+（y﹣3）2＝16，C2：x2+y2﹣4x+2y+4＝0都相切的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6．（5分）圆x2+y2+4x﹣2y＝0和圆x2+y2﹣2x﹣3＝0交于A、B两点，则相交弦AB的垂直平分线的方程为（）A．6x﹣2y+3＝0B．x+3y﹣1＝0C．2x﹣2y+3＝0D．x﹣3y﹣1＝0 7．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，则∠F1PF2＝（）A．B．C．D．8．（5分）双曲线＝1（mn≠0）离心率为2，且其焦点与椭圆的焦点重合，则mn的值为（）A．B．3C．1D．49．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于（）A．2B．4C．6D．810．（5分）已知F是双曲线的下焦点，A（4，1）是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．9B．8C．7D．611．（5分）已知点P是椭圆＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为ΔPF1F2的内心，若+＝3成立，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|﹣|BN|＝12，则a＝（）A．3B．4C．5D．6二、填空题（共4小题）13．（5分）曲线C：x2+y2＝1经坐标变换后所得曲线的方程为．14．（5分）已知直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为．15．（5分）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px上一点A到焦点F的距离为4，若点M为抛物线C准线上的动点，若，则p＝．16．（5分）点P（x，y）是直线kx+y+3＝0上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣4y+3＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝3，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标系方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）判断：直线l与曲线C是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．18．（12分）已知双曲线．（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点（）的双曲线的标准方程；（2）若直线l与双曲线C交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率．19．（12分）如图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中．圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5＝0，圆C与直线l交于A、B两点，P点的直角坐标为（1，1）．（I）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求|PA|+|PB|的值．21．（12分）已知动圆M过定点（1，0），且与直线x＝﹣1相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的斜率分别为k1，k2，且k1•k2＝1，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）如图所示，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2＝b2，点A是椭圆C的左顶点，直线AB与⊙O相切于点B（﹣1，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若⊙O的切线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）点在极坐标系中的坐标为（）A．B．C．D．解：点在极坐标系中，极经为：＝2，点在第二象限，∠POx＝，所以点在极坐标系中的坐标为（2，）．故选：A．2．（5分）已知ab＜0，bc＞0，则直线ax+by+c＝0通过（）象限A．第一、二、三B．第一、二、四C．第一、三、四D．第二、三、四解：由ab＜0，bc＞0可得：ac＜0，令x＝0，解得y＝﹣＜0，此时点（0，﹣）在y轴负半轴上，令y＝0，解得x＝﹣＞0，此时点（﹣，0）在x轴正半轴上，所以直线过第一，三，四象限，故选：C．3．（5分）抛物线x2＝﹣2y的准线方程是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝解：因为抛物线的标准方程为：x2＝﹣2y，焦点在y轴上；所以：2p＝2，即p＝1，所以：＝，所以准线方程y＝．故选：D．4．（5分）若直线为参数）与直线kx+y+1＝0平行，则常数k＝（）A．﹣3B．C．D．3解：直线为参数）转换为直角坐标方程为3x+y﹣5＝0，由于直线3x+y﹣6＝0与直线kx+y+1＝0平行，故k＝3，故选：D．5．（5分）与圆C1：（x+1）2+（y﹣3）2＝16，C2：x2+y2﹣4x+2y+4＝0都相切的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条解：因为圆C1：（x+1）2+（y﹣3）2＝16，C2：x2+y2﹣4x+2y+4＝0，两个圆的圆心坐标、半径分别为（﹣1，3），4；（2，﹣1），1．所以圆心距为＝5，因为5＝4+1，所以两个圆的关系是外切，所以两圆的公切线有3条．故选：C．6．（5分）圆x2+y2+4x﹣2y＝0和圆x2+y2﹣2x﹣3＝0交于A、B两点，则相交弦AB的垂直平分线的方程为（）A．6x﹣2y+3＝0B．x+3y﹣1＝0C．2x﹣2y+3＝0D．x﹣3y﹣1＝0解：化圆x2+y2+4x﹣2y＝0为（x+2）2+（y﹣1）2＝5，则圆的圆心坐标为（﹣2，1），化圆x2+y2﹣2x﹣3＝0为（x﹣1）2+y2＝4，则圆的圆心坐标为（1，0）．过两圆圆心的直线为弦AB的垂直平分线，则弦AB的垂直平分线的方程是，即x+3y﹣1＝0．故选：B．7．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，则∠F1PF2＝（）A．B．C．D．解：F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，设|PF1|＝t1，|PF2|＝t2，则由椭圆的定义可得：t1+t2＝4 ①在△F1PF2中∠F1PF2＝α，所以t12+t22﹣2t1t2•cosα＝12 ②，由①2﹣②得2t1t2+2t1t2•cosα＝4a2﹣4c2＝4，又＝t1t2•sinα，∴+＝4．α∈（0，π）解得α＝．故选：D．8．（5分）双曲线＝1（mn≠0）离心率为2，且其焦点与椭圆的焦点重合，则mn的值为（）A．B．3C．1D．4解：椭圆的焦点为（±2，0），则双曲线的焦距为4，则有，解得m＝1，n＝3，∴mn＝3．故选：B．9．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）上的点到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍，则p等于（）A．2B．4C．6D．8解：由题意，3x0＝x0+，∴x0＝，∴＝32，∵p＞0，∴p＝8，故选：D．10．（5分）已知F是双曲线的下焦点，A（4，1）是双曲线外一点，P是双曲线上支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．9B．8C．7D．6解：∵F是双曲线的下焦点，∴a＝2，b＝2，c＝4，F（0，﹣4），上焦点为F1（0，4），由双曲线的定义可得|PF|+|PA|＝2a+|PF1|+|PA|≥2a+|AF1|＝4+＝4+5＝9，当A，P，H三点共线时，|PF|+|PA|取得最小值9．故选：A．11．（5分）已知点P是椭圆＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为ΔPF1F2的内心，若+＝3成立，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则＝|PF1|•r，＝|PF2|•r，3＝|F1F2|•r，∵+＝3，∴|PF1|•r+|PF2|•r＝3×|F1F2|•r，可得|PF1|+|PF2|＝3|F1F2|．即2a＝3×2c∴椭圆的离心率e＝＝．故选：A．12．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|﹣|BN|＝12，则a＝（）A．3B．4C．5D．6解：设双曲线C的左右焦点分别为F1，F2，如图，连接PF1，PF2，∵F1是MA的中点，P是MN的中点，∴F1P是△MAN的中位线，∴|PF1|＝|AN|，同理|PF2|＝|BN|，∴||AN|﹣|BN||＝2||PF1|﹣|PF2||，∵P在双曲线上，根据双曲线的定义知：||PF1|﹣|PF2||＝2a，∴||AN|﹣|BN||＝4a＝12，∴a＝3．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）曲线C：x2+y2＝1经坐标变换后所得曲线的方程为．解：由整理得代入曲线C：x2+y2＝1，整理得，所以曲线的方程为．故答案为：．14．（5分）已知直线x﹣2y+2＝0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为．解：直线x﹣2y+2＝0 与x轴的交点为A（﹣2，0），与y轴的交点B（0，1），故椭圆的一个焦点为F（﹣2，0），短轴的一个顶点为F（0，1），故在椭圆中，c＝2，b＝1，∴a ＝，故这个椭圆的方程为，故答案为．15．（5分）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px上一点A到焦点F的距离为4，若点M为抛物线C准线上的动点，若，则p＝3．解：如图，由，得A，M，F三点共线，又A到焦点F的距离为4，∴|MF|＝12，由△MFF1∽△MAA1，可得，解得p＝3，故答案为：3．16．（5分）点P（x，y）是直线kx+y+3＝0上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2﹣4y+3＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为±2．解：∵圆C：x2+（y﹣2）2＝1，C（0，2），半径AC＝1∴S PACB＝2S PAC＝2×|PA|•||AC|＝|PA|＝，∴|PC|的最小值是圆心到直线的距离d＝，∴（）2﹣1＝4，解得k＝±2，故答案为：±2．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y+1）2＝3，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标系方程为．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）判断：直线l与曲线C是否相交？若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．解：（1）将（x﹣1）2+（y+1）2＝3转换为x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0，根据，化为极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0；（2）将代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣1＝0得，ρ2﹣1＝0，Δ＞0，所以方程ρ2﹣1＝0有2个不同的根ρ1＝1，ρ2＝﹣1，所以直线l与曲线C相交，公共弦的长为|ρ1﹣ρ2|＝2．18．（12分）已知双曲线．（1）求与双曲线C有共同的渐近线，且过点（）的双曲线的标准方程；（2）若直线l与双曲线C交于A、B两点，且A、B的中点坐标为（1，1），求直线l 的斜率．解：（1）设所求双曲线方程为，代入，得k＝﹣1，所以所求双曲线方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在双曲线上，A、B的中点坐标为（1，1），x1+x2＝2，y1+y2＝2，∴，①﹣②得：，∴．直线l的斜率：．19．（12分）如图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）2+y2＝4的圆心恰是抛物线的焦点．（1）求抛物线的方程；（2）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．解：（1）设抛物线方程为y2＝2px（p＞0），∵圆（x﹣2）2+y2＝22的圆心恰是抛物线的焦点，∴＝2即p＝4．∴抛物线的方程为：y2＝8x；（2）依题意直线AB的方程为y＝2x﹣4，设A（x1，y1），D（x2，y2），则，得x2﹣6x+4＝0，∴x1+x2＝6，|AD|＝x1+x2+p＝6+4＝10．则|AB|+|CD|＝|AD|﹣|CB|＝10﹣4＝6．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中．圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5＝0，圆C与直线l交于A、B两点，P点的直角坐标为（1，1）．（I）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求|PA|+|PB|的值．解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），可得：直线l的普通方程为：x+y＝2，即x+y﹣2＝0由ρ2﹣6ρcosθ+5＝0，得x2+y2﹣6x+5＝0，即（x﹣3）2+y2＝4；（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（﹣3）2+（）2＝4．即t2﹣3t+1＝0，由于△＝（﹣3）2﹣4＝14＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2＝3，t1•t2＝1，又直线l过点P（1，1），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝t1+t2＝3．21．（12分）已知动圆M过定点（1，0），且与直线x＝﹣1相切．（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；（2）设A，B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的斜率分别为k1，k2，且k1•k2＝1，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）设M为动圆圆心（x，y），（1，0）记为F，过点M作直线x＝﹣1的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|＝|MN|即动点M到定点F与定直线x＝﹣1的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线，所以轨迹方程为y2＝4x；（2）如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意得x1，x2≠0，由题意知直线AB的斜率存在，从而设AB方程为y＝kx+b，显然，将y＝kx+b与y2＝4x联立消去x，得ky2﹣4y+4b＝0，由韦达定理知，由，即，∴y1y2＝16，将①式代入上式整理化简可得：，∴b＝4k，所以AB方程为y＝k（x+4）过定点（﹣4，0）．22．（12分）如图所示，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2＝b2，点A是椭圆C的左顶点，直线AB与⊙O相切于点B（﹣1，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若⊙O的切线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的取值范围．解：（1）由直线AB与⊙O相切于点B（﹣1，1），可知点B在⊙O上，则b2＝2，又点A（﹣a，0），且OB⊥AB，则×＝﹣1，解得a＝2，故所求椭圆方程为+＝1；（2）当直线l与⊙O相切时，若切线斜率存在，设切线为kx﹣y+m＝0，其中k≠0，设切线l与椭圆C交点M（x1，y1），N（x2，y2），则圆心到直线l的距离d＝＝，化为m2＝2（1+k2），联立方程，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，则，|MN|＝•＝•＝•＝＝∈（0，2），当切线斜率不存在时，此时|MN|＝2，故⊙O的切线l与椭圆C相交弦长取值范围为（0，2]，又S△OMN＝d•|MN|＝|MN|，可得S△OMN∈（0，]．。

南昌十中2024-2025学年上学期第一次月考高二数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分。

考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（）A．B．C．D．2．若直线的倾斜角为，则实数值为（）AB．CD．3．已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（）A．B．C．D．4．已知向量，，且与互相垂直，则实数等于（）A．B．或C．0或D．0或5．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD6．已知，，直线，，且，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．97．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时直线的方程分别为（）ABCDO xyz-()2,4,3P--yOz()2,4,3-()2,4,3--()2,4,3--()2,4,3-:10l x my++=23πm()3,1l()3,2l32110x y+-=2330x y--=2390x y+-=3270x y--=()1,1,0a=()1,,2bλ=-75a b+2a b-λ3535753575111ABC A B C-AC BC⊥14AC AA==2BC=1AC1B Ca>0b>()1:110l a x y-+-=2:210l x by++=12l l⊥21a b+ ()2,1P--()()():131240l x yλλλλ+++--=∈Rl:3250x y+-=3250x y+-= 2310x y-+=:2310x y-+=8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点是的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（ ）AB ．2CD ．3二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

2019-2020学年江西省南昌市东湖区第十中学高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知抛物线C ：24y x =，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A ．()1,0 B ．()0,1C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】先化抛物线的方程为标准方程，再确定焦点坐标. 【详解】 解：由题意，24yx =，故其焦点在y 轴正半轴上，18p =. ∴焦点坐标为10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程.解题的时候注意抛物线的焦点在x 轴还是在y 轴.2．命题“00x ∃>，0010xx e +-<”的否定是（ ） A ．00x ∃>，0010xx e +-≥ B ．00x ∀≤，0010xx e +-≥ C ．00x ∀>，0010xx e +-< D ．00x ∀>，0010xx e +-≥【答案】D【解析】特称命题的否定是全称命题，直接可得出结果. 【详解】命题“00x ∃>，0010x x e +-<”的否定是“00x ∀>，0010xx e +-≥”，故选：D. 【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题. 3．下列说法正确的是（ ）A ．若()sin f x θ=，则()'cos fx θ=B ．合情推理得到的结论不一定是正确的C ．双曲线上的点到两焦点的距离之差等于2aD ．若原命题为真命题，则否命题一定为假命题 【答案】B【解析】A.根据求导公式判断；B.根据合情推理的定义进行判断；C.根据双曲线定义判断；D.根据四种命题的关系进行判断. 【详解】A. 若()sin f x θ=，根据求导公式()'0fx =，错误；B. 合情推理得到的结论没有经过证明，是不一定正确的，正确；C. 根据双曲线定义，双曲线上的点到两焦点的距离之差等于2a 或者2a -，错误；D. 若原命题为真命题，不能推出否命题的假命题，错误. 故选：B. 【点睛】本题考查导数公式，考查对合情推理的理解，考查双曲线的概念，考查原命题和否命题的真假关系，是基础题. 4．已知()3f x x =，则()()2222limx f x f x x∆→+∆--∆=∆（ ）A ．3B ．12C ．32D ．48【答案】D【解析】根据导数的定义即可得到结论. 【详解】解：由已知()23f x x '=00(22)(22)(22)(2)[(22)(2)]limlim x x f x f x f x f f x f x x∆→∆→+∆--∆+∆---∆-=∆∆00(22)(2)(22)(2)2lim 2lim 2(2)2(2)4(2)22x x f x f f x f f f f x x '''→→+∆--∆-=+=+=∆-∆243248=⨯⨯=，故选：D. 【点睛】本题考查导数的定义，关键是要凑出合适的系数，是基础题. 5．已知p ：2log 1x <，则p 的充分不必要条件是（ ）A ．2x <B ．02x <<C ．01x <<D ．03x <<【答案】C【解析】解出2log 1x <的解集，p 的充分不必要条件是其子集，选出即可. 【详解】解：由2log 1x <得02x <<，p 的充分不必要条件是()0,2的子集，C 符合， 故选：C. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，是基础题. 6．利用数学归纳法证明()*111112,23421n n n n N ++++⋅⋅⋅+<≥∈-的过程中，由n k =变到1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -D ．2k【答案】D【解析】依题意，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边为11111111232122121k k k k ++++⋯++++⋯+-+-，与n k =时不等式的左边比较即可得到答案. 【详解】解：用数学归纳法证明等式()*111112,23421n n n n N ++++⋅⋅⋅+<≥∈-的过程中， 假设n k =时不等式成立，左边11112321k =++++-…，则当1n k =+时，左边11111111232122121k k k k +=+++⋯++++⋯+-+-，∴由n k =递推到1n k =+时不等式左边增加了：111122121k kk +++⋯++-， 共()121212k k k +--+=项，故选：D. 【点睛】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题.7．求)11cos x x dx -⎰的值为（ ）A ．2πB ．12π+C ．πD ．1π+【答案】A【解析】将原式变形为111cos x xdx --+⎰⎰，利用几何法去求定积分即可.【详解】解：由已知)11111cos cos x x dx x xdx ---=+⎰⎰⎰，1-⎰表示的是以原点为圆心，以1为半径的圆的上半圆的面积，故12π-=⎰，令()cos f x x x =，()()cos cos ()f x x x x x f x ∴-=--=-=-，所以()f x 为奇函数，11cos 0x xdx -∴=⎰，)11111cos cos 2x x dx x xdx π---∴=+=⎰⎰⎰，故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算，考查几何法求定积分，考查定积分的性质的应用，是中档题. 8．函数()2ln af x ax x x=--在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞ C ．(),1-∞-D ．(][),11,-∞-+∞【答案】B【解析】可得出0x >时，'22()0a f x a x x=+-≥恒成立，从而得出21a x x≥+恒成立，转化为最值问题，从而可得出a 的取值范围. 【详解】若()f x 在定义域上是增函数，则'()0f x ≥在0x >时恒成立，∴0x >时，'22()0a f x a x x=+-≥恒成立， 化为21a x x≥+恒成立， 222111x x x x=≤++， 1a ∴≥，∴实数a 的取值范围为[)1,+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查了基本初等函数的求导公式，根据导数符号求函数单调区间的方法，运用基本不等式求最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题.9．由曲线2y x =与y x =所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ） A ．115π B ．215π C ．130π D ．π【答案】B【解析】求出曲线2y x =与直线y x =交点,O A 的坐标，结合旋转体的积分计算公式，可得所求旋转体的体积等于函数()24y x x π=-在[0,1]上的积分值，再用定积分计算公式加以计算即可得到该旋转体的体积. 【详解】解：∴曲线2y x =与直线y x =交于点(0,0)O 和(1,0)A ，∴根据旋转体的积分计算公式，可得该旋转体的体积为()124350111035V x x dx x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰ 3535111121100353515ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B. 【点睛】本题给出曲线2y x =与直线y x =所围成的平面图形，求该图形绕x 轴转一周得到旋转体的体积.着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题.10．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF FB ⊥，设ABF θ∠=，且,124ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A．12⎛⎫⎪⎪⎝⎭B．)+∞C．,2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭D．2⎛⎝ 【答案】B【解析】设双曲线的左焦点为F '，连接,,BF FB AF AF ''⊥，可得四边形AFBF '为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围. 【详解】解：设双曲线的左焦点为F '，连接,,BF FB AF AF ''⊥，可得四边形AFBF '为矩形，设||,||AF m BF n ==，即有AF BF n '==，且2224,2m n c n m a +=-=，tan m nθ=， 222222222224111222421111tan tan c c m n mn a a m mn n n m n n m e m θθ+======-+---+++， 由,124ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得tan (2t θ=∈， 则1(2,4)t t+∈，可得21,112t t⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+，即有2110,12t t⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭+， 则1(2,)211tan tan θθ∈+∞-+，即有)e ∈+∞. 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.11．设函数()f x 在R 上的导函数为()'f x ，且()()22'4f x x f x x+>，下面的不等式在R 上恒成立的是（ ） A ．()f x x > B ．()f x x <C ．()0f x >D ．()0f x <【答案】C【解析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论. 【详解】解：构造函数24()()g x x f x x =-，232()2()()42()()4g x xf x x f x x x f x xf x x '''⎡⎤∴=+-=+-⎣⎦，当0x >时，()0g x '>，所以()(0)g x g >，即24()0x f x x ->，从而2()0f x x >>，当0x <时，()0g x '<，所以()(0)g x g >，即24()0x f x x ->，从而2()0f x x >>，当0x =时，由题意可得2(0)0f >，所以()0f x >， 综上所述：()0f x >， 故选：C. 【点睛】本题主要考查导数的应用，根据不等式关系构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性和最值是解决本题的关键.考查学生的运算和推理能力.12．已知椭圆22182x y +=上一点()2,1P ，一条直线l 与OP 平行且与椭圆交于A 、B两点，直线PA 、PB 分别与x 轴正半轴交于M 、N 两点，求OM ON +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】将直线l 特殊化，求出直线,PA PB ，求出与x 轴正半轴交点坐标，即可求出OM ON +.【详解】 解：由已知12OP k =，连结椭圆右顶点和下顶点的直线斜率为12b a ==，取该直线为直线l ，则点A ，(0,B ，则直线PA 为y x =-，令0y =，则x =OM =直线PB 为12y x =0y =，则4x =-4ON =- 则4OM ON +=， 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆和直线位置关系，考查计算能力，利用特殊直线法，可方便得出结果，是中档题.二、填空题13．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，则可归纳出式子()222111123n ++++<，括号内填______.【答案】21n n- 【解析】观察一系列等式，得出一般性规律为分子是以3开始的连续奇数，分母为加数的个数，即可得到结果. 【详解】观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…， 由此可以猜想22211121123n n n-++++<，证明：当2n ≥时，22211111111231223(1)n n n++++<++++⨯⨯-113111121112321n n n n n -=+-+-+⋯+-=-=-，故答案为：21n n-. 【点睛】此题考查了分式的混合运算，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键.14．已知双曲线2216y x n n-=-n =____________．【答案】-6或12【解析】讨论焦点位置，用离心率公式解方程可得n 的值. 【详解】解：当焦点在y 轴上时，600636n n n n n ⎧⎪->⎪>⎨⎪-+⎪=-⎩，解得12n =，当焦点在x 轴上时，双曲线标准方程为2216x yn n -=--，6063n n n nn⎧⎪->⎪->⎨⎪-+-⎪=-⎩，解得6n =-， 综合得12n =，或6n =-， 故答案为：-6或12. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查方程思想和运算能力，注意要讨论焦点位置，属于基础题.15．若1x =是函数()()()3221133x a x f a x a x =++-+-的极值点，则a 的值为___________. 【答案】3【解析】根据题意，求出函数的导数，分析可知()01f '=，据此可求出a ，然后针对a 的每一个值，进行讨论，看1x =是不是函数的极值点，综合即可得答案. 【详解】解：根据题意，()()()3221133x a x f a x a x =++-+-， 得()()()'22213fx a a x x a =++-+-，由题意可知()2(1)12(1)30f a a a '=++-+-=， 解得3a =或2a =-， 当3a =时，()'289(9)(1)x x x x fx =+-=+-，当1,9x x ><-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减，显然1x =是函数()f x 的极值点； 当2a =-时，()'2221(1)0x x x fx =-=+-≥，所以函数是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去， 故答案为：3. 【点睛】本题考查利用导数分析函数的极值，本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点.16．已知直线1y x =-+与椭圆()222210,0x y a b a b-=>>相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________．【答案】2【解析】将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得221211a e=+-，由离心率的取值范围，即可求得a 的最大值. 【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得()()222222210a b x a x a b +-+-=， ∴则()2221212222212,a b a x x x x a b a b-+==++，由()()()2222222410aa ab b ∆=--+->，整理得221a b +>.()()()12121212111y y x x x x x x ∴=-+-+=-++.OA OB ⊥（其中O 为坐标原点），可得0OA OB ⋅=， 12120x x y y ∴+=，即()()1212110x x x x +-+-+=，化简得()1212210x x x x -++=.()222222212210a b a a b a b -∴⋅-+=++.整理得222220a b a b +-=. 222222b a c a a e =-=-，∴代入上式，化简得221211a e =+-， 2211121a e ⎛⎫∴=+⎪-⎝⎭.1,2e ⎡∈⎢⎣⎦，平方得21344e ≤≤，213144e ∴≤-≤，可得 241431e≤≤-， 因此2227175215,3162a a e ≤=+≤≤≤-，可得2a 的最大值为52， 满足条件221a b +>，∴当椭圆的离心率2e =时，a 的最大值为2.. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.三、解答题17．已知命题p ：不等式220ax ax ++>对任意x ∈R 恒成立，命题q ：401a a -≤+. （1）已知p 为真，求a 的取值范围.（2）若p q ∧为假，p q ∨为真，求a 的取值范围. 【答案】（1）[)0,8；（2）()()1,04,8-【解析】（1）分0a =，0a ≠讨论，列不等式组求解a 的取值范围；（2）先求出p ，q 分别为真时a 的取值范围，再分p 真q 假，p 假q 真讨论，求a 的取值范围. 【详解】（1）当0a =时，不等式恒成立； 当0a ≠时，由题可得280a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得08a <<， 综上所述，[)0,8a ∈.（2）当p 为真命题时[)0,8a ∈，当q 为真命题时(]1,4a ∈-， ∵p q ∧为假，p q ∨为真， ∴p ，q 中一真一假. 若p 真q 假，则()4,8a ∈； 若p 假q 真，则()1,0a ∈-， 综上所述，()()1,04,8a ∈-.【点睛】本题借助考查复合命题的真假判断，考查了分式不等式的解法及一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是求得组成复合命题的简单命题的为真时a 的取值范围. 18．已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值.（1）求a ，b 的值.（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.（3）过点()()0,0f 作曲线()y f x =的切线，求切线方程.【答案】（1）13a =，1b =-（2）()min 763f x =-；()max 53f x =（3）3y x =-或154y x =- 【解析】（1）利用极值的意义，建立方程组，即可求a ，b ； （2）利用导数求出()f x 在[]4,4-上的单调性，进而可得最值；（3）设出切点坐标，设切线为y kx =，利用导数的几何意义，列方程组求出k 的值，即可得切线方程. 【详解】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.（2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减；又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-， ∴()()min7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=.（3）由题可得()00f =，设切点为3200001,33x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，切线为y kx =； 则32000020013323x x x kx k x x ⎧--=⎪⎨⎪=--⎩，解得3k =-或154k =-，∴切线方程为3y x =-或154y x =-. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与极值，考查导数的几何意义，要注意过点的切线和在点处的切线的不同，是基础题.19．在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）求曲线1C 直角坐标方程以及2C 的极坐标方程. （2）若()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭是曲线1C 上的两点，求221211ρρ+的值.【答案】（1）1C ：221164x y+=，2C ：2cos ρθ= （2）516【解析】（1）通过消参可得曲线1C 和曲线2C 的普通方程，然后利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，求出2C 的极坐标方程；（2）求出1C 的极坐标方程，将()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭代入计算，可得221211ρρ+的值． 【详解】(1)由题可得1C 的普通方程为221164x y +=，2C 的普通方程为()2211x y -+=，∴将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入2C 的普通方程化简得2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入1C 的普通方程化简得1C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，将()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭代入得， 222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222cos sin 1164ρθρθ+=，∴2222221211cos sin sin cos 164164θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭516=. 【点睛】本题考核参数方程和普通方程的互化，直角坐标方程和极坐标方程的互化，考查了极坐标方程的应用，是基础题．20．设函数()()()2212ln 0a a a f x xx x +=-+<．（1）讨论函数()f x 在定义域内的单调性；（2）当()3,2a ∈--时，任意[]12,1,3x x ∈，()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）133m ≤-【解析】（1）求出原函数的导函数，分2a <-，2a =-和20a -<<三类求解函数f （x ）的单调区间；（2）利用（1）求出()()12f x f x -的最大值，则原题转化为()()()()12max ln 32ln 3m a f x f x +->-，参变分离，通过a 的范围，可求出实数m的取值范围. 【详解】（1）()()222'221212f x ax a x a a x x x+---=+-=()()2121ax x x +-=， 当2a <-时，112a -<，增区间为11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，减区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当2a =-时，112a -=，减区间为()0,∞+， 当20a -<<时，112a ->，增区间为11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭； （2）由（1）知，当()3,2a ∈--时，()f x 在[]1,3上单调递减， ∴[]12,1,3x x ∈，()()()()1213f x f x f f -≤-()()1122ln 363a a a ⎡⎤=+--++⎢⎥⎣⎦， 即()()()12242ln 33f x f x a a -≤-+-， ∵()()()12ln32ln3m a f x f x +->-恒成立， ∴()()22l l n n 3342ln 33m a a a ->-+-+，即243ma a >-， 又0a <，∴243m a<-， ∵()3,2a ∈--，∴132384339a -<-<-，∴133m ≤-. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题.21．已知圆1C ：()22116x y ++=内一点()1,0P ，Q 点为圆1C 上任意一点，线段PQ的垂直平分线与线段1C Q 连线交于点M . （1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线C ，过点P 的直线l 与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求1C AB ∆的内切圆半径的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）34 【解析】（1）根据线段中垂线的性质可得，|MP |＝|MQ |，又|MQ |＋|M 1C |＝4，故有|M 1C |＋|MP |＝4＞|P 1C |，根据椭圆的定义判断轨迹椭圆，求出,a b 值，即得椭圆的标准方程； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设1C AB ∆的内切圆的半径为R ，当1C A B S ∆最大，R 就最大，利用直线和椭圆的位置关系求出1C AB S ∆最大值，进而可得R 的最大值. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆心1C （−1，0），半径等于4，设点M 的坐标为(,)x y ， ∵PQ 的垂直平分线交1C Q 于M ， ∴|MP |＝|MQ |．又|MQ |＋|M 1C |＝4（半径）， ∴|M 1C |＋|MP |＝4＞|A 1C |＝2．∴点M 满足椭圆的定义，且2a ＝4，2c ＝2， ∴a ＝2，c ＝1，b ∴=∴点M 的轨迹方程为22143x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设1C AB ∆的内切圆的半径为R ，因为1C AB ∆的周长为48a =，()1142C AB S AB PA PB R R ∆=++=，因此1C AB S ∆最大，R 就最大， 11121212C AB S C P y y y y ∆=⋅-=-，由题意知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，所以122634my y m -+=+，122934y y m -=+， 又因直线l 与椭圆C 交于不同的两点，故>0∆，即()()22636340m m ++>，m R ∈，则11121221C ABS C P y y y y ∆=⋅-==-234m =+，令t =，则1t ≥，121241313C ABt S t t t∆===++，令()13f t t t =+， 由函数的性质可知，函数()f t 在,3⎫+∞⎪⎪⎣⎭上是单调递增函数，即当1t ≥时，()f t 在[)1,+∞上单调递增，因此有()()413f t f ≥=，所以13C ABS ∆≤，即当1t =，0m =时，1C AB S ∆最大，此时max 34R =，故当直线l 的方程为1x =时，1C AB S ∆内切圆半径的最大值为34. 【点睛】本题考查椭圆的定义求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，关键是要将R 的最值转化为三角形面积的最值问题，是中档题. 22．已知函数()()2ln ,f x x ax b x a b R =++∈.（1）当1b =时，()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围； （2）当1b =-时，()0f x ≥对0x >恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）)⎡-+∞⎣ （2）[)1,a ∈-+∞【解析】（1）()f x 在定义域内单调递增，转化为()'0f x ≥在()0,∞+内恒成立，参变分离，转化为最值问题即可；（2）1b =-，()0f x ≥对0x >恒成立，转化为，函数的导数判断函数的单调性，分类讨论求出函数的最小值，列不等式求解a 的范围． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+.()21212'x ax x a x f x x++=++=，∵()f x 的定义域内单调递增，∴()'0f x ≥在()0,∞+内恒成立，即2210x ax ++≥在()0,∞+内恒成立，∴221x a x --≥在()0,∞+内恒成立，令()221x h x x --=，则()max a h x ≥，又∵()12x x x h ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭∴a ≥-；（2）若1b =-，则()2ln f x x ax x =+-，()()2'210x a f x x x x+-=>，则令()()2210x a x g x x =+->，由()00g <，可知()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点，设为0x ， 当()00,x x ∈时，()0g x <，即()'0f x <， 故()f x 在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x >，即()'0f x >， 故()f x 在()0,x +∞上单调递增， ∴()()200in 00m ln f x f x x ax x ==+-，又()2000210g x x ax =+-=，∴()min 2001ln x f x x =--，依题意2001ln 0x x --≥，即200ln 10x x +-≤，令()()2ln 10x x h x x =+->，易知()2ln 1x x x h =+-在()0,∞+上单调递增，且()10h =，故001x <≤，又200210x ax +-=，即0012a x x =-， 易知0012a x x =-在(]0,1上单调递减， ∴[)1,a ∈-+∞.【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力，是一道难度较大的题目．。

南昌十中2020-2021学年上学期第一次月考高二数学试题 第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．下列是古典概型的个数有（ ）①已知19x ≤≤且x Z ∈，从x 中任取一个数，则满足25x <≤的概率 ②同时掷两颗骰子，点数和为11的概率； ③近一周中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲在乙右边的概率． A ．1B ．2C ．3D ．42．下面说法正确的是（ ）A ．一条直线和x 轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角B ．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为αC ．若直线的顿斜角为α，则斜率为tan αD ．每一条直线都存在倾斜角，但不一定存在斜率 3．下图的算法语句输出的结果S 为（ ）A ．17B ．19C ．21D ．234．已知(),3A m ，()2,4B m m +，()1,2C m +，()1,0D ，且直线AB 与CD 平行，则m 的值为（ ） A ．1B ．0或1C ．2D ．1或25．在1，2，3，4中随机选出一个数a ，在2-，3-，4-，5-中随机选出一个数b ，则22a b +被3整除的概率为（ ） A ．12B ．14C ．18D ．1166．圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x轴所得弦的长为C 的标准方程为（ ）A ．()()22214x y -++= B ．()()22214x y +++= C ．()()22214x y -+-=D ．()()22214x y ++-=7．若动点P 到点()1,1F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ） A ．360x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y +-=D ．320x y -+=8．上边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著“九章算术”中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为15，18，则输出的a 为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．159．已知变量x ，y 满足240260x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩则13y k x +=-的取值范围是（ ）A ．12k >或5k ≤- B ．152k -≤<C ．12k ≥或5k <- D ．152k -<≤10．甲、乙两人各自在400米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过100米的概率是（ ） A ．18B ．736C ．14D ．71611．若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ） A．)1,+∞B．)1+C．()1D．()112．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．(6π-B ．34πC ．45πD ．54π第Ⅱ卷二、填空题（本大题共计4题，每小题5分，共计20分．）13．从装有大小相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列事件中是互斥事件的序号为________．①至少有1个白球；都是白球． ②至少有1个白球；至少有1个红球． ③恰有1个白球；恰有2个白球． ④至少有1个白球；都是红球．14．函数()f x =________．15．两圆222220x y x y +-+-=和2245x y x ++=的公共弦长为________．16．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是________．三、解答题（本大题共6题，共计70分．解答题应写出说明文字、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知三角形ABC 的顶点坐标为()1,5A -、()2,1B --、()4,3C ． （1）求AB 边的高所在直线方程 （2）求三角形AC 的面积18．（12分）已知直线()():20l m n x m n y m n ++++-=及点()4,5P （1）证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标 （2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程19．（12分）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者1A 、2A 、2A 通晓日语，1B 、2B 、3B 通晓俄语，1G 、2G 通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（1）求1A 被选中的概率；（2）求1B 和1G 不全被选中的概率．20．（12分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圈弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD 为，行车道总宽度BC 为，侧墙EA 、FD 高为2m ，弧顶高MN 为5m ．（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m ．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．21．（12分）汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆． （1）求z 的值；（2）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（3）用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．22．（12分）已知圆C 过点()1,1P ，且与圆()()()222:220M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线PA 和直线B 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．南昌十中2020-2021学年上学期第一次月考高二数学参考答案 一、选择题．二、填空题．13．③④ 14 15 16．5 三、解答题．17．解：（1）由题可知()15621AB k --==---，所以AB 边上高的斜率16k =-则AB 边上高所在直线方程为()1346y x -=--化简得6220x y +-= （2）直线AB 得方程为()561y x -=+即6110x y -+=而C 到直线AB 得距离d ==，而AB =所以三角形ABC 的面积111622S AB d === 18．解：（1）直线l 方程可化为：()()2110m x y n x y ++++-= 由21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得2x =-且3y =，∴直线l 恒过定点A ，其坐标为()2,3-（2）因为直线恒l 过定点()2,3A -，∴当点P 在直线l 上的射影点恰好是A 时，即PA l ⊥时，点P 到直线l 的距离最大， ∵13PA k =，∴直线l 的斜率3k =- 由此可得点P 到直线l 的距离最大时，∴直线l 的方程为()332y x -=-+， 即330x y ++=19．解（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件为()111,,A B C ，()112,,A B C ，()121,,A B C ，()122,,A B C ，()131,,A B C ，()132,,A B C ，()211,,A B C ，()212,,A B C ，()221,,A B C ，()222,,A B C ，()231,,A B C ，()232,,A B C ，()311,,A B C ，()312,,A B C ，()321,,A B C ，()322,,A B C ，()331,,A B C ，()332,,A B C ，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则()()()(){111112121122,,,,,,,,,,,,M A B C A B C A B C A B C =()()}131132,,,,,A B C A B C ，事件M 由6个基本事件组成，因而()61183P M ==． （2）用N 表示“1B 、1C 不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“1B 、1C 全被选中”这一事件，由于()()(){}111211311,,,,,,,N A B C A B C A B C =，事件N 由3个基本事件组成，所以()31186P N ==，由对立事件的概率公式得： ()()151166P N P N =-=-=．20．解：（1）以EF 所在直线为x 轴，以MN 所在直线为y 轴， 以1m 为单位长度建立直角坐标系．则()E -，()F ，()0,3M ，由于所求圆的圆心在y 轴上，所以设圆的方程为()()2220x y b r -+-=，因为F ，M在圆上，所以(()22222203b r b r⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得3b =-，236r =．所以圆的方程为()22336x y ++=．（2）设限高为h ，作CP AD ⊥，交圆弧于点P ，则0.5CP h =+， 将P的横坐标x =代入圆的方程，得()22336y ++=，得2y =或8y =-（舍），所以()()()0.50.5220.5 3.5m h CP y DF =-=+-=+-=．答：车辆通过隧道的限制高度是3.5米． 21．解：（1）设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得5010100300n =+，所以2000n =． 则()()2000100300150450600400z =-+-+-=． （2）设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得40010005a=，即2a =． 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用1A ，2A 表示2辆舒适型轿车，用1B ，2B ，3B 表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B 共10个．事件E 包含的基本事件有：()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B 共7个．故()710P E =，即所求概率为710． （3）样本平均数()19.48.69.29.68.79.39.08.298x =⨯+++++++=． 设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以()6384P D ==，即所求概率为34． 22．解：（1）设圆心(),C a b ，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩解得00a b =⎧⎨=⎩ 则圆C 的方程为222x y r +=，将点P 的坐标代入得22r =，故圆C 的方程为222x y +=． （2）设(),Q x y ，则222x y +=，且()()221,12,242PQ MQ x y x y x y x y x y ⋅=--⋅++=+++-=+-，令x α=，y α=所以PQ MQ x ⋅=+当324k παπ=-，k Z ∈时， 所以PQ MQ ⋅，的最小值为4-．（3）由题意，直线PA 和直线PB 的斜率都存在，且PA PB k k =-， 设():11PA y k x -=-，由()22112y k x x y ⎧-=-⎨+=⎩，得()()2222122210kx k k x kk ++-+--=，所以22211A P k k x x k --=+，由1P x =，所以22211A k k x k --=+， 同理得22211B k k x k+-=+， 所以()()()2222221121141B A A B B A ABOP B A B A B Ak k k k x k x k k x x y y k k k k x x x x x x k --⋅-----+-+======---+，所以直线OP 和AB 平行．。

南昌十中 2020 学年度下学期期末考试试卷答案高二数学试题(理科)一、单选题（本大题共 12 小题，每题 5 分）1. 设全集 ，集合，，则（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由，得，由得， 则 ，故答案为 B. 考点：集合的运算. 2. 已知是虚数单位, 复数在复平面内对应的点位于直线 上, 则 （ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】分析：等式分子分母同时乘以 ，化简整理，得出，再得，将的坐标代入 中 求解详解：，所以。

故选 B点睛：复数的除法运算公式足直线方程。

3. 下列命题中真命题的个数是（ ）①，；②若“ ”是假命题，则 都是假命题；③若“，”的否定是“，A. 0 B. 1 【答案】BC. 2D. 3，在复平面内点在直线上，则坐标满 ”【解析】若 ，，故命题①假；若“ ”是假命题，则 至多有一个是真命题，故命题②是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“”的否定是“”，即命题③是真命题，应选答案 B。

4. 已知幂函数 的图像过点 ，则 的值为（ ）A.B. 64 C.D.【答案】A【解析】试题分析：设幂函数,则,则,故应选 A．考点：幂函数的求值．5. 设 0<p<1，随机变量 ξ 的分布列如图，则当 p 在（0，1）内增大时，（）A. D（ξ）减小 B. D（ξ）增大 C. D（ξ）先减小后增大 D. D（ξ）先增大后减小 【答案】D 【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解：，，，∴ 先增后减,因此选 D.点睛：6. 设函数 f(x)＝lg(1－x)，则函数 f[f(x)]的定义域为( )A. (－9，＋∞) B. (－9,1) C. [－9，＋∞) D. [－9,1)【答案】B【解析】分析：先列出满足条件的不等式，，再求解集。

详解：复合函数 的定义域满足且，故选 B点睛：在抽象函数中，若已知 的定义域是关于 的解集。

2020-2021学年南昌十中高二上学期期末数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.2、已知是虚数单位，，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()A.B. 8C. 10D. 123.若A是直线m外一点，过点A且与m平行的平面()A. 存在无数个B. 不存在C. 存在但只有一个D. 只存在两个4.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数大于6个，则m的取值范围是()A. (2√3,2√5)B. (2√3,2√5]C. (2√5,2+2√2)D. [2√5,2+2√2)5.如图，已知某几何体的主视图和左视图是全等的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，那么它的体积是()A. 43B. 83C. 4D. 1636.有两个命题：命题p：正方形的四个角相等，命题q：正方形的四条边相等.则下列判断错误的是()A. 新命题“p且q”是真命题B. 新命题“p或q”是真命题C. 新命题“非p”是假命题D. 新命题“p或q”是假命题7.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，F为CC1上的点，则下列直线中一定与EF垂直的是()A. ACB. BDC. A1D1D. A1A8.已知F1为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点，直线l过椭圆的中心且与椭圆交于A，B两点．若以AB为直径的圆过F1，且π12≤∠F1AB≤π4，则椭圆C的离心率的取值范围是()A. [√22,√63] B. [√22,1) C. (0，23] D. [12,23]9.在四棱锥A−BCDE中，△ABC是边长为6的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC⊥平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为()A. 21√21πB. 84πC. 7√21πD. 28√21π10.下列命题中，正确的是()A. 若a//b，b⊂α，则a//αB. 若a//α，b⊂α，则a//bC. 若a//α，b//α，则a//bD. 若a//b，b//α，a⊄α，则a//α11.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A. 垂直且相交B. 相交但不一定垂直C. 垂直但不相交D. 不垂直也不相交12.已知一个圆锥的母线l与底半径r满足r2+l=5，则当圆锥表面积最大时，它的母线与底面所成的角的余弦值为()A. 34B. 14C. √154D. √54二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“x∈R，x≤1或x>4”的否定为．14.已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上若这两个正四棱锥的体积之比为1：2，则该球的表面积为______ ．15.若椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆C1：x2+y2=9和圆C2：x2+y2=8均有且只有两个公共点，则椭圆C的标准方程是______．16.四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=4，BC=CD=2，∠BCD=120∘，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为4m2，互相平行的两个侧面的距离为2m，则这个六棱柱的体积为______，并说明理由．A.3m3B.6m3C.12m3D.以上都不对18.已知p：(x+2)(x−10)>0，q：[x−(1−m)][x−(1+m)]≤0，(m>0)，若q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．19.四棱柱ABCD−A1B l C l D1的直观图和三视图如下图所示，其正(主)视图、侧(左)视图为矩形，俯视图为直角梯形．(I)求证：BC⊥平面A1AC；(Ⅱ)若异面直线A1D与BC所成的角为60°，求二面角A−A1C−D的大小．20.(本小题满分10分)选修4−4：坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：(是参数)．(I)将曲线C的极坐标方程和直线参数方程转化为普通方程；(II)若直线l与曲线C相交于A、B两点，且，试求实数值．21.已知正四棱台上底面边长为4cm，侧棱和下底面边长都是8cm，求它的全面积．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(−2,0)，B(0,−1)．(Ⅰ)求椭圆C的方程及其离心率；(Ⅱ)若P为椭圆C上第一象限的点，直线PA交y轴于点M，直线PB交x轴于点N.求证：四边形MABN的面积S为定值．参考答案及解析1.答案：A解析：2.答案：C解析：试题分析：此四面体为三棱锥，底面为直角三角形一直角边长为4，另一边长为3。

2020-2021学年江西省南昌市第十中学高二第一学期第二次月考数学（理）说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，用时120分钟。

注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。

1．答题前，请您务必将自己的姓名用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题纸上。

2．作答必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

请保持答题纸清洁，不折叠、不破损。

3．考试结束后，请将答题纸交回监考老师。

一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设x R ∈，则“01x <<”是“21x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条2.将图1所示的三角形绕直线l 旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形（ ）3.用斜二测画法画出一个四边形的直观图是边长为2的菱形ABCD ，3A π∠=，则这个四边形原图形面积为（ ）6.6.26.462A B C D4.设,αβ是不同的平面，,m n 两条直线，下列选项中正确的是( ).,,A m n m n αβ⊂⊂则、是异面直线 .//,//,//B m n m n αα则 .,,//C m n m n αα⊥⊥则 .//,,//D m n m n ααββ⊥⊥则5.已知直线1+=kx y 与椭圆1522=+my x 恒有公共点,则实数m 的取值范围为（ ） A ．1≥m B ．101<<≥m m 或 C ．51≠≥m m 且 D ．150≠<<m m 且6.下列有关命题的说法中错误的是（ ）A ．在ABC 中，若AB >，则sin sin A B > B ．,0x x R e ∀∈>C ．“1sin 2x =”的一个充分不必要条件是“6x π=” D ．若p q ⌝∨为真，p q ∧为假，则q 一定为真命题7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体最大面的面积为（ ）.6.3.42.4A B C D8.如图，在直三棱柱'''ABC A B C -中，D 为''B C 的中点，'4,1,25AB BC BB AC ====，则异面直线BD 与AC 所成角的余弦值为（ ）1233....2223A B C D 9.已知0a b ＞＞,椭圆1C 的方程为2222=1x y a b +,双曲线2C 的方程为22221y x a b-=,1C 与2C 的离心率之积为32,则2C 的渐近线方程为（ ） . 20A x y ±= .20B x y ±= .20C x y ±= .20D x y ±=10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论：①//AB EF ；②CD MN ⊥；③MN 与AB 是异面直线；④BF 与CD 成60角，其中正确的是（ ）第7题正视图侧视图俯视图第7题A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④11.下列在曲线cos sin ()sin 2x y θθθθ=+⎧⎨=⎩为参数，上的点是（ ）A ．1(,2)2B ．3)C ．(2,1)D ．3)12．如图所示，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜一个小角度，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变；③棱11D A 始终与水面EFGH 平行；④当1AA E ∈时，BF AE +是定值．其中正确说法是（ ）.A ①②③ .B ①③ .C ①②③④ .D ①③④ 二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13.命题“任意,x R ∈都有10x e x -->”的否定为 .14.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为3cm ，母线与轴的夹角为30︒，则这个圆台的轴截面的面积等于________2cm .15.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为 60的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于B A ,两点,则BFAF 的值等于 .16.下列命题中，①四边相等的四边形一定是菱形；②“9＜k ＜15”是“方程221159x y k k +=--表示椭圆”的必要不充分条件； ③设P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆一点，且120PF PF ⋅=，若21F PF ∆的面积为9，则椭圆的短轴长为6；④正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，线段11D B 上有两个动点,E F ，且12EF =，则三棱锥BEF A -的体积为定值.其中真命题的是 （将正确命题的序号填上）三、解答题：本题共6小题，共80分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤17.（本小题满分8分）正三棱台'''ABC A B C -上底面边长2，下底面边长为4，体高为3，求该正三棱台的斜高。

南昌十中高二上学期期末考试理科 数 学 试 卷考试时长：120分钟 试卷总分：150分说明：本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。

考试用时120分钟注 意 事 项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求.1．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。

2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。

作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。

3．考试结束后，答题纸交回。

第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.已知抛物线C:y =4x 2,则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. （1,0） B.（0,1） C.（161,0） D.（0，161） 2.命题“01,0000<-+>∃x e x x ”的否定是（ ）1,0.01,0.01,0.01,0.000000000000≥-+>∀<-+>∀≥-+≤∀≥-+>∃x x x x e x x D e x x C e x x B e x x A3.下列说法正确的是（ ） A.θθcos )(',sin )(==x f x f 则若 B.合情推理得到的结论不一定是正确的 C.双曲线上的点到两焦点的距离之差等于a 2D.若原命题为真命题，则否命题一定为假命题 4.已知）（则=∆∆--∆+=→∆xx f x f x x f x )22()22(lim,)(03 A.3 B. 12 C.32 D.48 5.已知的充分不必要条件是则p x p ,1log :2<（ ）A.x<2B.0<x<2C.0<x<1D.0<x<3kk n D C k B A k n k n N n n n 2.2..1.,1),2(1214131211.61-*+==∈≥<-+•••++++项项）左边增加了（时变到的过程中，由利用数学归纳法证明7.求dx x x x )cos 1(112+-⎰-的值为（ ）A.2π B.2π+1 C.π D.π+1 8.函数()2ln af x ax x x =--在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围（ ）A.），（∞+1B.[)+∞,1C.），（1--∞D.),1[]1--+∞∞Y ，（9.由曲线2x y =与x y =所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）A.π151B.π152C.π301 D.π10.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其）（的离心率的取值范围是），则双曲线，（且设右焦点，若C ABF FB AF 412,,ππθθ∈=∠⊥）（）（）（）（2,22.,22.,2.13,22.D C B A +∞+∞-上恒成立的是（下面的不等式在，且上的导函数为在设函数R ,4)(')(2)('R )(11.2x x xf x f x f x f >+ 0)(.0)(.)(.)(.A <><>x f D x f C x x f B xx f4.3.2.1.)(,12128.1222D C B A ON OM N M x PBPA B A OP l P y x =+=+求两点、轴正半轴交于分别与、两点，直线、平行且与椭圆交于与），一条直线，（上一点已知椭圆第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）____________)(131211,474131211,3531211,23211.132********，括号内填，则可归纳出式子观察式子：<+•••+++•••<+++<++<+n14.已知双曲线1622=--nx n y 的离心率是3．则n ＝____________． 15.若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x=++-+-的极值点，则a 的值为___________.16.已知直线1y x =-+与椭圆()222210x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，且OA OB⊥（O 为坐标原点），若椭圆的离心率1,22e ⎡∈⎢⎣⎦，则a 的最大值为___________． 三、解答题（本大题共6小题，共计70分）17.（本小题满分10分）已知命题恒成立，对任意不等式R x ax ax p ∈>++02:2命题014:≤+-a a q 。

度上学期期末考试试卷高二数学试题(理科)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共12小题，每题5分） 1.下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A.三角形B.四个角都相等的四边形C.梯形D.平行四边形 2．下列等于1的积分是（ ）A ．dx x ⎰+10)1( B ．dx x ⎰1C ．dx ⎰101 D ．dx ⎰1021 3．在正方体1111ABCD-A B C D 中， AC 与1BC 所成的角为（ ） A. ︒90 B.︒60 C.︒45D.︒304．已知函数)(x f 的导函数为)(x f '，且满足x e f x x f ln )(2)(+'=，则)(e f '等于（）A. 1B.e1-C.1-D.e - 5．已知三个平面α、β、γ，γβα////，a 、b 是异面直线，a 与α、β、γ分别交于A 、B 、C 三点，b 与α、β、γ分 别交于D 、E 、F 三点，连结AF 交平面β于G ，连结CD 交平 面β于H ，则四边形BGEH 的形状为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形 6．已知),()(),()(,cos )(23121x f x f x f x f x x f '='==…)()(1x f x f n n'=-则)(2015x f 等于 A ．x sin B ．x sin -C ．x cos D ．x cos -7．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积， “势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在 等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则 几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”， 则该不规则几何体的体积为( ) A.512B.532C.3D.6 8.已知直线n m 、与平面βα、，给出下列三个命题：①若αα//,//n m ，则n m //；②若αα⊥n m ,//，则m n ⊥；③若,//,βαm m ⊥则βα⊥.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39.已知在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，则在四棱锥ABCD P -的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有( ) A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对10．当0a >时，函数()()2x f x x ax e =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.11．设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且0)3(=-g ，则不等式()()0f x g x <的解集是( ) A . ),3()0,3(+∞⋃- B. )3,0()0,3(⋃- C . ),3()3,(+∞⋃--∞ D .)3,0()3,(⋃--∞12．设函数x exe x g x x e xf 222)(,1)(=+=，，对),0(,21+∞∈∀x x ，不等式()()12g x kf x ≤恒成立，则正数k 的取值范围为（ ）A. [)1,+∞B. [)2,+∞ C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D. 1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．在等腰梯形ABCD 中，上底1=CD ，腰2==CB AD ,下底3=AB ,以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图D C B A ''''的面积为________________.14．由曲线22y x =+与2,13===x x x y ，，所围成的平面图形的面积为________________. 15．设P 是︒60的二面角βα--l 内一点，βα⊥⊥PB PA ,,B A ,分别为垂足，4,2==PB PA ,则AB 的长为________________.16.如图，四棱锥ABCD S -的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论 ①SB AC ⊥ ②//AB 平面SCD③AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角 ④二面角B SD C --的大小为45︒ 其中，正确结论的序号是________. 三、解答题17．（本小题满分10分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE .18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，⊥PA 底面ABCD ，AB PA =,点N 是棱PB 的中点. (1)求证：PC AN ⊥ (2)求NC 的长.19. (本小题满分12分)已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值.（1）求b a ,的值；（2）若对[]2,2-∈x ， ()2f x c ≥-恒成立，求c 的取值范围20.（本小题满分12分）如图所示，等腰ABC ∆的底边8=AB ，高3=CD ，点E 是线段BD 上异于点D B ,的动点，点F 在BC 边上，且AB EF ⊥，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使AE PE ⊥，记x BE =，)(x V 表示四棱锥ACEF P -的体积．(1)求)(x V 的表达式；21．（本小题满分12分）如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，4,2,//,90====︒=∠AB CD AF AD CD AB DAB . （1）求证：⊥AC 平面BCE ；若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）设函数bx ax x x f 221ln )(2-+=. （1）当1,3=-=b a 时，求函数)(x f 的最大值； （2）令)321(221)()(2≤≤++-=x x a bx ax x f x F ，其图象上存在一点),(00y x P ，使此处切线的斜率21≤k ，求实数a 的取值范围； （3）当0a =，12b =-时，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBBADBCCBDC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.22 14.6115.72 16. ①②④ 三、简答题17题：（本小题满分10分）证明：（1）设AC BD O ⋂=， ∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO（2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，1AC AA A⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，18. （本小题满分12分）证明：ABCD PA 面⊥ BC PA ⊥∴ 又BC AB ⊥ PAB BC 面⊥∴ AN BC ⊥∴ AB PA = 且N 为PB 中点，PB AN ⊥∴(2) 由平面知识知：2=AN ,22=AC ,由（1）知PBC AN 面⊥∴EC AN ⊥∴19. （本小题满分12分）（1）b ax x x f ++='23)(2，令,0)1(,0)32(='=-'f f（2）由（1）知c x x x x f +--=221)(23则23)(2--='x x x f 令0)(='x f解得1,3221=-=x x 所以)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡--32,2，[]2,1上递增，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,32上递减.又)1()2(f f <-所以6)2()(min -=-=c f x f 要使2)(c x f -≥恒成立，MN AC DE FB20. （本小题满分12分）(1)因为EF ⊥AB ，所以EF ⊥PE . 又因为PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ，所以PE ⊥平面ACFE .因为EF ⊥AB ，CD ⊥AB ，且CD ，EF 共面，所以EF ∥CD ，所以四边形ACFE 的面积所以四棱锥P －ACFE 的体积(2)由(1)知. ))4,0((814)(3∈-=x x x x V 令V ′(x )＝0⇒364=x 因为当3640<<x 时，V ′(x )>0， 当4364<<x 时，V ′(x )<0.21.（本小题满分12分）（1）过C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，因为AD ⊥DC ，所以四边形ADCN 为矩形．所以AN =NB =2.又因为AD =2，AB =4， 所以AC 22=，CN 2=，BC 22=, 所以AC 2+BC 2=AB 2，所以AC ⊥BC ； 因为AF ⊥平面ABCD ，AF //BE 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥AC ，（2）存在，点M 为线段EF 中点，证明如下： 在矩形ABEF 中，因为点M ，N 为线段AB 的中点，所以四边形BEMN 为正方形， 所以BM ⊥EN ；因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥AD . 在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，又AF ⋂AB =A ，所以AD ⊥平面ABEF ， 又CN //AD ，所以CN ⊥平面ABEF ，又BM ⊂平面ABEF 所以CN ⊥BM ； 又 CN ⋂EN =N ，所以BM ⊥平面ENC ，又EC ⊂平面ENC ，22.（本小题满分12分）（1）依题意，()f x 的定义域为()0,+∞，当3a =-，1b =时，()23ln 22f x x x x =--，()2113232x x f x x x x --'=--=，由 ()0f x '>，得23210x x +-<，解得113x -<<； 由 ()0f x '<，得23210x x +->，解得13x >或1x <-. 0x >，()f x ∴在10,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；（2）()ln a F x x x =+，1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则有()002012x a k F x x -'==≤在01,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，∴200min12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，01,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()220001111222x x x -+=--+，（3）方法1：由()22mf x x=得()222ln x x m f x x x==+，令()2ln x G x x x =+，()()()22ln 1ln x x x G x x x +-'=+，令()2ln 1g x x x =+-，()210g x x'=+>，∴()g x 在()0,+∞单调递增， 而()10g =，∴在()0,1x ∈，()0g x <，即()0G x '<，在()1,x ∈+∞，()0g x >，即()0G x '>， ∴()G x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， ∴()G x 极小值为()11G =，。

2021-2022学年南昌十中高二上学期期末数学复习卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.抛物线y=3x2的准线方程为()A. x=−34B. x=−112C. y=−34D. y=−1122.下列命题中，是真命题的是()A. ∃x∈R，sinx+cosx>√2B. 若0<ab<1，则b<1aC. 若x2=|x|，则x=±1D. 若m2+√n=0，则m=n=03.已知命题p：∃x∈R，x+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为()A. m≥2B. m≤−2C. m≤−2或x≥2D. −2≤m≤24.已知函数f(x)=10x+1gx，则f′(x)=()A. (10x+1x )⋅ln10 B. 10x⋅ln10+1x⋅ln10C. (10x+1x )⋅1ne D. 10x⋅lne+1x⋅lne5.“a>1”是“1a<1”成立的()A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既非充分也非必要条件6.用数学归纳法证明n+(n+1)+(n+2)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2(n∈N∗)的过程中，从n=k到n=k+1时，左边需增加的代数式是()A. 3k−1B. 9kC. 3k+1D. 8k7.20∫xdx+22∫√4−x2dx=()A. π2B. π2+1 C. π4D. π8.已知函数的图像为上的一条连续不断的曲线，当时，，则关于的函数的零点的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 0或29.在△ABC中，AC=2，BC=2，∠ACB=120°，若△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的表面积是()A. (6+2√3)πB. 6πC. (9+2√3)πD. 2√3π10.已知F1，F2是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B，若△ABF2是以∠ABF2为直角的等腰直角三角形，则双曲线的离心率的平方为()A. 5+2√2B. 4+2√2C. √7D. 3+2√211.若函数在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,+∞)内为增函数，则实数a的取值范围是()A. a≤2B. 5≤a≤7C. 4≤a≤6D. a≤5或a≥712.已知椭圆C：x24+y23=1，直线l：x+my−m=√3(m∈R)，l与C的公共点个数为()A. 0个B. 1个C. 2个D. 0或1或2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知f(n)=1+12+13+⋯+1n(n∈N+,n≥2)，经计算得f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，由此可推得一般性结论为______．14.已知抛物线y=14x2的焦点为F，准线为1，若1与双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|=4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为______．15.14.函数的极值点之和等于▲；16.已知直线√2ax+by=√3(a,b是实数)与圆O：x2+y2=1(O是坐标原点)相交于A，B两点，且△AOB是等边三角形，点P(a,b)是以点M(0,√2)为圆心的圆M上的任意一点，则圆M的面积的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知集合A={x|x2−3x−10≤0}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，命题p：x∈A为x∈B的必要条件；命题q：函数f(x)=lg(mx2−mx+3)的定义域为R.若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的范围．18.(满分14分)已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间 (2)若对，不等式恒成立，求的取值范围。