江西省南昌市八一中学洪都中学十七中三校2021届高三数学上学期期末联考试题文

江西省南昌市八一中学、洪都中学等七校2020-2021学年高一上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．以下各角中，是第二象限角的为（ ） A ．83π-B ．76π-C ．76π D ．53π 2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ） A ．24cmB ．26cmC ．28cmD ．216cm3．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. ③0a λ=（λ为实数），则λ必为零. ④,λμ为实数，若a b λμ=，则a 与b 共线. 其中正确的命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．44．已知,,,O A B C 为同一平面内的四个点，若20AC CB +=，则向量OC 等于（ ）A ．2133OA OB - B ．1233OA OB -+C ．2OA OB -D ．2OA OB -+5．已知3log 5a =，1ln 2b =， 1.11.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<6．已知函数()sin f x x x =，设,,763a f b f c f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a c b >>7．已知π1sin 34α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．58 B ．78-C ．58-D ．788．x ∈[0，2π]，y ）A ．0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,2ππ⎛⎤⎥⎝⎦C ．3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,22ππ⎛⎤⎥⎝⎦9．已知函数3()cos 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列关于函数()f x 的说法中，正确的是（ ） A ．将()f x 图象向左平移12π个单位可得到3sin22y x =的图象 B ．将()f x 图象向右平移6π个单位，所得图象关于()0,0对称 C ．56x π=是函数()f x 的一条对称轴 D ．最小正周期为2π 10．函数f(x)=x13⎛⎫ ⎪⎝⎭-|sin 2x|在5π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上零点的个数为( ) A ．2B ．4C ．5D ．611．已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则8cos 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．45-B ．35C ．35D ．45 12．已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是（ ） A ．(,)42ππB ．3(,)24ππC ．(,)24ππ-- D ．5(,)4ππ二、填空题13．已知函数2,2()(1),2x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2f =_____________ .14．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________． 15．若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是___________.16．设0>ω，若函数()2sin f x x ω=在[,]34ππ-上单调递增，则ω的取值范围是________三、解答题17．如图所示，设,,M N P 是ABC 三边上的点，且13BM BC =，13CN CA =，13AP AB =，若AB =a ，AC =b ，试用,a b 将,MN NP 表示出来．18．（1）已知方程sin(3)2cos(4)απαπ-=-，sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭的值． （2）已知1tan ,tan αα是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且732παπ<<，求cos sin αα+的值．19．已知函数()()sin f x A x B ωϕ=++的部分图像如图所示，其中0A >，0>ω，2πϕ<.（1）求函数()f x 的表达式； （2）将函数()f x 的图像先向右平移4π个单位长度，再向下平移2个单位长度后，得到函数()g x 的图像，求()g x 的最小值和()g x 取最小值时x 的取值集合．．. 20．已知cos()αβ+=1tan 7β=，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求22cos sin sin cos ββββ-+的值； （2）求2αβ+的值.21．已知函数())211sin cos 1cos cos 222f x x x x x =⋅---.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长原来的两倍，纵坐标保持不变，得到函数()g x 的图象，若方程()02mg x +=在[]0,x π∈上有两个不相等的实数解1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求12x x +的值.22．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-． （1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合； （3）若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．参考答案1．B 【分析】将各选项中的角表示为()202,k k Z απαπ+≤<∈，利用象限角的定义可得出合适的选项. 【详解】 对于A 选项，84433πππ-=-，43π为第三象限角，则83π-为第三象限角；对于B 选项，75266πππ-=-，56π为第二象限角，则76π-为第二象限角；对于C 选项，76π为第三象限角； 对于D 选项，53π为第四象限角. 故选：B. 2．A 【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出． 【详解】设此扇形半径为r ，扇形弧长为l=2r 则2r +2r ＝8，r=2， ∴扇形的面积为12l r=224r cm = 故选A 【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题． 3．A 【解析】因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此命题是正确的；若0a λ=（λ为实数），则a 也可以零，因此命题也是错误的；若,λμ为0，尽管有a b λμ=，则a 与b 也不一定共线，即命题也是错误的，应选答案A ． 4．C 【解析】试题分析：由20AC CB +=得2()()0OC OA OB OC -+-=，即2OC OA OB =-，故选C ．考点：向量的回头法运算及几何意义． 5．A 【分析】利用指对数函数的性质，确定a ，b ，c 的范围，即可知它们的大小关系. 【详解】由3log 51a =>，1ln 02b =<， 1.10 1.51c -<=<，可知：a c b >>. 故选：A 6．B 【分析】先对函数化简变形得()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，由正弦函数的图像和性质可知()f x 的图像关于6x π=对称，且()f x 在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，从而可比较出大小 【详解】解：()sin 2sin()3f x x x x π==+，则()f x 的图像关于6x π=对称，且()f x 在5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，在7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，因为6736ππππ-<-，所以()()()673f f f πππ>>，所以b a c >>， 故选：B【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】π1sin sin cos 32664πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以2π17cos 22cos 113688παα⎛⎫⎛⎫+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B 8．C 【分析】由解析式可得tan 0cos 002x x x π≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，解出即可.【详解】由题意，tan 0cos 002x x x π≥⎧⎪-≥⎨⎪≤≤⎩，解得32x ππ≤<，所以函数的定义域为3,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 9．C 【分析】根据图象的平移可得判断A ；根据图象的平移可得3cos22y x =，再把0x =代入可判断B ；由 5353()cos 262632f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，可判断C ；由周期公式2T ωπ=可判断D ． 【详解】 A 选项中3()cos 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移12π个单位，得33cos 2sin 2222y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，B 选项中()f x 向右平移6π个单位，得3cos22y x =，33(0)cos022f ==，不关于()0,0对称，错误； C 选项中，5353()cos 262632f πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，56x π=是函数()f x 的一条对称轴，正确； D 选项中，22ππ=，最小正周期为π，错误． 故选：C. 【点睛】本题考查了()()cos f x A x ωϕ=+的性质.有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题. 10．C 【分析】在同一坐标系内画出两个函数y 1=13x⎛⎫ ⎪⎝⎭与y 2=|sin 2x|的图象，根据图象判断两个函数交点的个数，进而得到函数零点的个数． 【详解】在同一直角坐标系中分别画出函数y 1=13x⎛⎫ ⎪⎝⎭与y 2=|sin 2x|的图象，结合图象可知两个函数的图象在5π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有5个交点，故原函数有5个零点．【点睛】判断函数()()()h x f x g x =-零点的个数时，可转化为判断函数()y f x =和函数()y g x =的图象的公共点的个数问题，解题时可画出两个函数的图象，通过观察图象可得结论，体现了数形结合在解题中的应用． 11．D 【分析】利用拼凑法将α表示成33αππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，再结合sin sin 35παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，可得sin sin 3335ααπππ⎛⎫⎛⎫+++-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【详解】因为sin sin 35παα⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以sin sin 3335ααπππ⎛⎫⎛⎫+++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin cos cos sin 33333αααπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以3sin 233ααππ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1cos 23235αα⎤ππ⎛⎫⎛⎫+-+=-⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦，所以335αππ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，即24cos 35απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以824cos cos 335ααππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D. 【点睛】本题考查三角函数公式的化简求值，拼凑角、辅助角公式的使用，解题关键在于表示出33αα⎛ππ⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，属于中档题【解析】令sin cos sin cos a θθθθ+==，则111sin 2,222a θ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，又由()2sin cos 2sin cos 10θθθθ+--=，得2210a a --=，解得1a =-舍去(1，则sin cos 10θθ=<，θ在第二或第四象限，排除A 和D ，又sin cos 10θθ+=<而sin cos 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭排除B ，只有C 答案满足，故选C.点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令sin cos sin cos a θθθθ+==，可将已知等式转化为关于a的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得1a =-即sin θ和cos θ的符号相反，可排除A 和D ，当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可求出sin cos 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭与所求矛盾，排除B. 13．-1 【分析】根据分段函数定义计算． 【详解】(2)(1)121f f ==-=-．故答案为：1-． 14．12-【详解】 因为，所以，①因为，所以，②①②得，即， 解得， 故本题正确答案为15．【分析】 利用对称关系，得()03f f π⎛⎫=⎪⎝⎭，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求()f x 最值【详解】 由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得a = 从而()3sin 2226f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，当22,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取到最大值故答案为：16．3(0,]2【分析】根据正弦函数的单调性，求出函数()2sin f x x ω=的单增区间，由2222k x k πππωπ-+≤≤+（k Z ∈），可得： 2222k k x ππππωω-++≤≤，所以22-3224k k πππωπππω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩ ，整理即可得解. 【详解】 根据正弦函数的单调性，可得：2222k x k πππωπ-+≤≤+（k Z ∈），所以：2222k k x ππππωω-++≤≤， 解得：22-3224k k πππωπππω⎧-+⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩， 整理可得：36228k kωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩ ，当0k =有解，解得302ω<≤. 故答案为：3(0,]2.【点睛】本题考查了利用三角函数单调性求参数的取值范围，考查了恒成立思想，要求较高的计算能力，属于难题.17．21=33MN a b -+，1233NP a b =- 【分析】根据题意，结合图象，利用向量的加法法则和减法法则，表达MN 与NP ，即可求解.【详解】 ()121221333333MN CN CM AC CB b a b a b =-=--=---=-+， 12123333NP AP AN AB AC a b =-=-=- 【点睛】本题考查向量的加法和减法法则，属于基础题.18．（1）34-；（2） 【分析】（1）由已知利用诱导公式化简得到tan α的值，再利用诱导公式化简sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭为含有tan α的形式，代入即可； （2）由根与系数的关系求出k 的值，结合α的范围求出tan α，进一步求出α，即可求cos sin αα+的值．【详解】解：（1）由sin(3)2cos(4)απαπ-=-得：sin 2cos αα， 即tan 2α，cos 0α∴≠，sin()5cos(2)32sin sin()2παπαπαα-+-⎛⎫--- ⎪⎝⎭ sin 5cos 2cos sin αααα+=-+ sin 5cos cos cos 2cos sin cos cos αααααααα+=-+ tan 52tan αα+=-+ 2522-+=-- 34=-； （2）tan α，1tan α是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根， 21tan tan 1tan 3tan k k αααα⎧+=⎪⎪∴⎨⎪⋅=-⎪⎩， 解得：2k =±， 又732παπ<<， tan 0α∴>，2k ∴=， 即1tan 2tan αα+=， 解得：tan 1α=，134πα∴=，1313cos sin cossin 4422ππαα+=+=--=【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.19．（1）()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）最小值是2-， ,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎭⎩. 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出ϕ，可得函数的解析式；（2）利用函数()sin y A x B ωϕ=++的图象变换，可求得()22sin 243g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可求()g x 的最小值和取最小值时x 的取值集合.【详解】（1）由图可知：40A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：22A B =⎧⎨=⎩， 1541264T πππ=-=，得：T π=，22T πω==， 代入(,4)6π，得sin 216πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，又2πϕ<，6π=ϕ， 所以：()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2）由题意得：()2sin 2222sin 2463g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以：()g x 的最小值是2-，此时：2232x k πππ-=-+，x 的取值集合是,12x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎭⎩. 【点睛】本题考查由()sin y A x B ωϕ=++的部分图像确定其解析式，考查函数()sin y A x B ωϕ=++的图象变换，考查正弦函数的最值，属于中档题.20．（1）1110；（2）4π.【分析】（1）原式除以22cos sin ββ+，分子分母再同时除以2cos β即可得解；（2）由cos()αβ+=cos2()αβ+、sin 2()αβ+，再由1tan 7β=求出sin β、cos β，代入2)cos[2(s ]co )(αβαββ+=+-的展开式即可得解.【详解】（1）原式222222cos sin sin cos 1tan tan 11cos sin 1tan 10βββββββββ-+-+===++；（2）cos()05αβ+=>且(0,)αβπ+∈，0,2παβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则sin()αβ+=， 243cos2()2cos ()12155αβαβ∴+=+-=⨯-=， 4sin 2()2sin()cos()5αβαβαβ+=++=，1tan 7β=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin 1010ββ∴==， 2)cos[2()]co c s2()cos sin 2()si s(n o αβαββαββαββ+=+-=+++∴3455==， 又0,2⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭παβ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2(0,)αβπ∴+∈ 24παβ∴+=.【点睛】 本题考查利用同角三角函数的关系化简求值、二倍角公式、两角和的余弦公式、配凑法求三角函数值，重点考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.21．（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈（2）2m -<≤1253x x π+= 【分析】(1)利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得()f x的单调增区间；(2)由函数()sin y A ωx φ=+的图像伸缩变换求得()g x 的解析式，再利用正弦函数化简，求出m 的取值范围，再利用对称性求出12x x +的值.【详解】（1）())21sin cos sin 21cos 22f x x x x x x =⋅-=-+1sin 22sin 222232x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 因此()f x 的最小正周期为22T ππ==， 由222232k x k πππππ-≤-≤+，k z ∈，解得()f x 的单调递增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈.（2）由题意得()sin 3g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则方程()0g x +=可化简为sin sin 032232m m x x ππ⎛⎫⎛⎫--+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即sin 32m x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭由图像可知，方程()0g x =在[]0,x π∈上要有两个不相等的实数解1x ，2x12m ⇔≤-<即2m -<≤1253x x π+= 【点睛】本题主要考查三角函数图像的单调性，还考查三角函数()sin y A ωx φ=+图像的伸缩变换，其中涉及二倍角公式，降幂公式，辅助角公式，以及利用三角函数周期、对称轴求出参数范围.22．（1）1a =-；（2）[3,)+∞；（3）[7,3]-．【详解】试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数a 的值．（2）求出函数121()log 1ax g x x -=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，即()5f x ≤在区间[0,)+∞上恒成立，可得1116()()4()424x x x a --≤≤-上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数a 的范围．试题解析：（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax ax x x +-=----， 即1111ax x x ax+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-． （2）由（1）得：121()log 1x g x x +=-， 而112212()log log (1)11x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，所以()3g x ≤， 故函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3,)+∞．（3）由题意知，()5f x ≤在[0,)+∞上恒成立， 5()5f x -≤≤，1116()()4()424x x x a --≤≤-． ∴1162()42()22xx xx a -⋅-≤≤⋅-在[0,)+∞上恒成立． ∴max min 11[62()][42()]22x x x x a -⋅-≤≤⋅- 设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t=-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<，21121212()(61)()()0t t t t h t h t t t ---=>， 所以()h t 在[1,)+∞上递减， ()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =， 所以实数a 的取值范围为[7,3]-．考点：函数的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．【方法点晴】本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化的思想方法，涉及知识面广，难度较大．。

八一中学、洪都中学、十七中三校2021-2021学年高一数学上学期10月联考试题〔含解析〕制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60分〕1.以下五个写法：①{}{}01,2,3∈；②{}0∅⊆；③{}{}0,1,21,2,0⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅.其中错误写法的个数为〔 〕 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，以及集合与集合的运算来判断出以上五个写法的正误. 【详解】对于①，∈表示元素与集合之间的关系，故①错；对于②，∅是任何集合的子集，故②对； 对于③，{}{}0,1,21,2,0=，{}{}0,1,21,2,0⊆成立，故③对；对于④，0∉∅，故④错； 对于⑤，表示的集合与集合的交集运算，故⑤错.应选：C.【点睛】此题考察集合局部的一些特定的符号，以及集合与集合的关系、元素与集合的关系，考察对集合相关概念的理解，属于根底题.2.假设1∈{x ，x 2}，那么x =〔 〕 A. 1 B. 1-C. 0或者1D. 0或者1或者1-【答案】B 【解析】【分析】根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果【详解】根据题意，假设1∈{x ，x 2}，那么必有x =1或者x 2=1， 进而分类讨论：①、当x =1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去， ②、当x 2=1，解可得x =-1或者x =1〔舍〕， 当x =-1时，x 2=1，符合题意， 综合可得，x =-1， 应选B ．【点睛】此题考察元素与集合关系以及集合中元素互异性，考察根本分析求解才能，属根底题.A 和集合B 都是自然数集N ，映射:f A B →把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n n +，那么在映射f 下，像20的原像是〔 〕 A. 2 B. 4或者5-C. 4D. 5-【答案】C 【解析】 【分析】设象20在映射f 下的原象为x ，根据题意得出220x x +=，解出自然数x 的值即可.【详解】设象20在映射f 下的原象为x ，由题意可得220x x x N⎧+=⎨∈⎩，解得4x =，应选：C.【点睛】此题考察映射的概念，理解象与原象的概念是解题的关键，考察计算才能，属于根底题.R ，集合{}04M x x =≤≤，集合N x y ⎧==⎨⎩，那么()RM N =〔 〕A. {}01x x ≤< B. {}01x x ≤≤C. {}14x x <≤D. {}14x x ≤≤【答案】B 【解析】 【分析】解出集合N ，然后利用补集的定义和交集的定义计算出集合()RMN .【详解】{}{}101N x y x x x x ⎧⎫===->=>⎨⎩，{}1R N x x ∴=≤， 因此，(){}01RM N x x ⋂=≤≤，应选：B.【点睛】此题考察集合的补集和交集运算，考察计算才能，属于根底题.a =b =+a b 的值是〔 〕A. 1B. 5C. 1-D. 25π-【答案】A【解析】 【分析】利用根式的性质求出a 、b ，即可得出+a b 的值. 【详解】由根式的性质得3a π==-，22b ππ==-=-，因此，()()321a b ππ+=-+-=，应选：A.【点睛】此题考察根式的性质，,3,2a n n a n n ≥⎧⎪=⎨≥⎪⎩且为奇数且为偶数进展计算，考察计算才能，属于根底题.()y f x =的定义域为[]8,1-，那么函数()()212f xg x x +=+的定义域是〔 〕A. ()(],22,3-∞--B. [)(]8,22,1---C. (]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭D. 9,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得出821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解出该不等式组可得出函数()y g x =的定义域.【详解】由于函数()y f x =的定义域为[]8,1-，由题意得821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩， 解得902x -≤≤且2x ≠-，因此，函数()()212f xg x x +=+的定义域是(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭，应选：C.【点睛】此题考察抽象函数的定义域，对于抽象函数的定义域，一般要利用中间变量取值范围一致来列不等式〔组〕求解，考察运算求解才能，属于中等题.()22f x x x =-在区间[]1,t -上的最大值为3，那么实数t 的取值范围是〔 〕A. (]1,3B. []1,3C. []1,3-D. (]1,3-【答案】D 【解析】 【分析】分11t -<≤和1t >，分析函数()y f x =在区间[]1,t -上的单调性，得出函数()y f x =的最大值，并结合()3f t ≤得出实数t 的取值范围.【详解】二次函数()22f x x x =-的图象开口向上，对称轴为直线1x =.①当11t -<≤时，函数()22f x x x =-在区间[]1,t -上单调递增，那么()()max 13f x f =-=；②当1t >时，函数()22f x x x =-在区间[]1,1-上单调递减，在区间[]1,t 上单调递增，此时，函数()y f x =在1x =-或者x t =处获得最大值，由于()()max 31f x f ==-， 所以，()223f t t t =-≤，即2230t t --≤，解得13t -≤≤，此时13t <≤.综上所述，实数t 的取值范围是[]1,3-，应选：D.【点睛】此题考察二次函数的最值问题，属于定轴动区间型，解题时要分析二次函数在区间上的单调性，借助单调性求解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.()f x 为偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增，假设()32f -=-，那么不等式()2f x ≥-的解集为〔 〕 A. []3,0- B. []3,3-C. [3,)-+∞D. (][),33,-∞-+∞【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性，由偶函数的性质得出()()f x f x =，将不等式()2f x ≥-化为()()3f x f ≥-，变形为()()3f x f ≥，再利用函数()y f x =在区间[)0,+∞上的单调性求解.【详解】由于函数()y f x =是偶函数，且在区间(,0]-∞上单调递增，那么该函数在区间[)0,+∞上单调递减，且有()()f x fx =，()32f -=-，由()2f x ≥-，得()()3f x f ≥-，那么有()()3f x f ≥，3x ∴≤，解得33x -≤≤，因此，不等式()2f x ≥-的解集为[]3,3-，应选：B.【点睛】此题考察利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在函数为偶函数的前提下，充分利用性质()()f x f x =，借助函数在[)0,+∞上的单调性求解，可简化计算，考察分析问题的和解决问题的才能，属于中等题.()21,1{2,1x x x f x ax x +≤=+>，假设()()14f f a =，那么实数a 等于〔 〕A.12B.43C. 2D. 4【答案】C 【解析】试题分析：因为()21,1{2,1x x x f x ax x +≤=+>，所以()()()()12,12424,2f f f f a a a ===+==，应选C.考点：分段函数的解析式. 10.17a a+=，那么1122a a -+= A. 3 B. 9 C. –3 D.【答案】A 【解析】 【分析】令11220a a t -+=>，求出212729t a a =++=+=，从而可得结果.【详解】令11220a a t -+=> 那么212729t a a=++=+= 所以3t =即1122a a -+=3，应选A.【点睛】此题主要考察指数幂的运算，属于根底题.11.=1fx =+，那么函数()y f x =的值域为〔 〕A. [)0,+∞B. [)4,+∞C. 15,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】设0t =≥，利用换元法求出函数()y f x =的解析式，然后利用二次函数的性质求出该函数的值域.【详解】设0t =≥，那么23x t =+，由=1fx =可得()24f t t t =++，所以，函数()y f x =的解析式为()24f x x x =++，其中0x ≥.()211524f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，那么该函数在[)0,+∞上单调递增，那么()()min 04f x f ==.因此，函数()y f x =的值域为[)4,+∞，应选：B.【点睛】此题考察利用换元法求函数的解析式，同时也考察了二次函数的值域问题，在求解二次函数的值域问题时，要充分结合二次函数的单调性，结合定义进展求解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成的一个集合称为“类〞，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0k =、1、2、3、4，给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；②[][][][][]01234Z =；④假设整数a 、b 属于同一“类〞，那么“[]0a b -∈〞，其中正确结论的个数为〔 〕 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据“类〞的定义对上述五个结论的正误进展判断. 【详解】对于①，201354023=⨯+，[]20133∴∈，结论①正确；对于②，253-=-+，[]23∴-∈，结论②错误；对于③，对于任意一个整数，它除以5的余数可能是0、1、2、3、4，[][][][][]01234Z ∴=，结论③正确；对于④，整数a 、b 属于同一“类〞，设a 、[]b k ∈，0k =、1、2、3、4，那么存在m 、n Z ∈，使得5a m k =+，5b n k =+，()()()[]5550a b m k n k m n ∴-=+-+=-∈，结论④正确.应选：C. 【点睛】此题考察集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考察推理才能，属于中等题.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20分〕13.计算：()12223092739.6482-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________.【答案】32【解析】 【分析】利用指数的运算律可得出代数式的值.【详解】()121222322323092733339.61482223311222--⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--⨯=+-⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣+⎦=-=⎣⎦，故答案为：32. 【点睛】此题考察指数的运算律，在计算时要注意两个问题：〔1〕带分数化为假分数；〔2〕小数化为分数.并利用指数的运算律进展求解，考察计算才能，属于根底题.(){},2316,,x y x y x y N +=∈用列举法表示为___________________.【答案】(){2,4,()5,2,()8,0} 【解析】 【分析】将方程2316x y +=变形可得出y 为偶数且5y ≤，由此可得出所求集合. 【详解】2316x y +=，()316228y x x ∴=-=-，且x 、y N ∈，y ∴为偶数且5y ≤.当4y =时，2x =；当2y =时，5x =；当0y =时，8x =. 故答案为：()()(){}2,4,5,2,8,0.【点睛】此题考察集合的表示，关键就是集合中的方程，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.()2f x mx x m =--在区间(),1-∞上是单调减函数，那么实数m 的取值范围是____________.【答案】10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】对m 分0m =，0m >，0m <三种情况讨论，利用一次函数中一次项系数的正负，二次函数图象的开口方向与对称轴讨论函数()y f x =在区间(),1-∞上的单调性，可得出实数m 的取值范围. 【详解】〔1〕当0m =时，()f x x =-，该函数在区间(),1-∞上是单调减函数，符合题意； 〔2〕当0m ≠时，二次函数()2f x mx x m =--的对称轴为直线12x m=. 当0m >时，二次函数()2f x mx x m =--的图象开口向上，要使得函数()y f x =在区间(),1-∞上为减函数，那么112m ≥，解得102m <≤； 当0m <时，二次函数()2f x mx x m =--的图象开口向下，对称轴为直线102x m=<，那么函数()y f x =在区间1,2m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在区间1,12m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，不符合题意； 综上所述，实数m 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】此题考察变系数的二次函数的单调性问题，一般要对首项系数进展分类讨论，结合二次函数图象的开口方向和对称轴来讨论函数的单调性，考察分类讨论思想，属于中等题.()()()23,21,2x ax a x f x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，那么实数a 的取值范围是______. 【答案】[]1,4- 【解析】 【分析】由题意得出函数23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，且有23y x ax a =-+在2x =处的取值大于等于函数1y x =+在2x =处的取值，由此列出不等式组解出实数a 的取值范围.【详解】由于二次函数23y x ax a =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. 由题意可知，函数23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数，那么22a≤，得4a ≤. 且有222321a a -+≥+，解得1a ≥-，所以，14a -≤≤， 因此，实数a 的取值范围是[]1,4-，故答案为：[]1,4-.三、解答题〔本大题一一共6小题，17题10分，其他12分，一共70分〕{}1,2,3,4,5,6,7,8,9U =，{}37A x x x U =≤≤∈且，{}3,B x x n n Z x U ==∈∈且.〔1〕写出集合B 的所有子集；〔2〕求A B ，UAB .【答案】〔1〕∅，{}3，{}6，{}9，{}3,6，{}3,9，{}6,9，{}3,6,9；〔2〕{}3,6A B =，{}1,2,3,4,5,6,7,8UAB =.【解析】 【分析】〔1〕根据题意写出集合B ，然后根据子集的定义写出集合B 的子集； 〔2〕求出集合A ，利用交集的定义求出集合A B ，利用补集和并集的定义求出集合UAB .【详解】〔1〕{}3,B x x n n Z x U ==∈∈且，∴{}3,6,9B =，因此，B 的子集有：∅，{}3，{}6，{}9，{}3,6，{}3,9，{}6,9，{}3,6,9；〔2〕由〔1〕知{}3,6,9B =，那么{}1,2,4,5,7,8UB =，{}{}373,4,5,6,7A x x x U =≤≤∈=且，因此，{}3,6AB =，{}1,2,3,4,5,6,7,8UAB =.【点睛】此题考察有限集合的子集，以及补集、交集和并集的运算，考察计算才能，属于根底题.{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-.〔1〕假设4m =，求AB ；〔2〕假设B A B =，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕{}27A B x x ⋃=-≤≤；〔2〕(],3-∞. 【解析】 【分析】〔1〕将4m =代入集合B ，利用并集的定义可求出集合AB ；〔2〕由BA B =得出B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，列出有关m 的不等式组解出即可得出实数m 的取值范围.【详解】〔1〕由题意：集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-. 当4m =时，{}57B x x =≤≤，{}27A B x x ∴⋃=-≤≤； 〔2〕B A B =，B A ∴⊆.当B =∅时，满足题意，此时121m m +>-，解得：2m <； 当B ≠∅时，21215m m -≤+≤-≤，解得：23m ≤≤； 综上所得：当B A ⊆时，实数m 的取值范围为(],3-∞．【点睛】此题考察集合的并集运算，同时也考察了利用集合间的包含关系求参数，在含参数的集合的问题中，要注意对集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合题意求解，考察计算才能，属于中等题.()21,02,036,3x xf x x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪-+≥⎪⎩〔1〕请在给定的坐标系中画出此函数的图象；〔2〕写出此函数的定义域及单调区间，并写出值域.【答案】〔1〕作图见解析；〔2〕定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞. 【解析】 【分析】〔1〕根据函数()y f x =的解析式作出该函数的图象；〔2〕根据函数()y f x =的图象可写出该函数的定义域、单调增区间和减区间以及值域. 【详解】〔1〕图象如下图：〔2〕由函数()y f x =的图象可知，该函数的定义域为R ，增区间为[]1,3，减区间为(),0-∞、[]0,1、[)3,+∞，值域为(],3-∞.【点睛】此题考察分段函数的图象，以及利用图象得出函数的单调区间、定义域和值域，考察函数概念的理解，属于根底题.20.()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-+．〔1〕求函数()f x 的表达式；〔2〕假设函数()f x 在区间[]1,2a --上是单调的，试确定a 的取值范围．【答案】〔1〕()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<；〔2〕(]1,3. 【解析】试题分析：〔1〕设0x <0x ->()()()2222f x x x x x -=--+-=--，又()()f x f x -=-0x <时，()22f x x x =+()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<；〔2〕根据〔1〕作出函数()f x 的图象， 根据()f x 的单调性，并结合函数()f x 的图象21{21a a ->--≤13a <≤.试题解析：〔1〕设0x <，那么0x ->， 那么()()()2222f x x x x x -=--+-=-- 又函数()f x 为奇函数， 所以()()f x f x -=-， 所以0x <时，()22f x x x =+所以()()()()222,0{0,02,0x x x f x x x x x -+>==+<〔2〕根据〔1〕作出函数()f x 的图象，如以下图所示：又函数()f x 在区间[]1,2a --上单调递增， 结合函数()f x 的图象，知21{21a a ->--≤， 所以13a <≤，故实数a 的取值范围是(]1,3考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.()1f x x x=+． 〔1〕判断函数()f x 在()0,1内的单调性，并用定义证明；〔2〕当11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，210x ax -+≥恒成立，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕函数()y f x =在()0,1上是单调减函数，证明见解析；〔2〕5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【解析】 【分析】〔1〕任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，作差()()12f x f x -，因式分解后判断差值的符号，即可证明出该函数在区间()0,1上的单调性；〔2〕由210x ax -+≥在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用参变量别离法得出1a x x ≤+，利用函数()1f x x x=+上的单调性求出该函数在区间11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，即可得出实数a 的取值范围.【详解】〔1〕任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，()()()()121212121212121211111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1201x x ，所以120x x -<，1201x x <<，所以1210x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 因此，函数()y f x =在()0,1上是单调减函数；〔2〕由210x ax -+≥得211x a x x x+≤=+恒成立，由〔1〕知，函数()1f x x x =+在11,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为减函数， ∴当12x =，()1f x x x =+获得最小值()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，52a ∴≤．因此，实数a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】此题考察利用定义证明函数的单调性，以及利用参变量别离法求解函数不等式恒成立问题，解题时要充分利用函数的单调性求解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.()2223f x x ax =-+在区间[]1,1-上的最小值记为()g a ．〔1〕当2a =时，求函数()f x 在区间[]1,2-上的值域；〔2〕求()g a 的函数表达式；〔3〕求()g a 的最大值．【答案】〔1〕[]1,9；〔2〕()()()()225,23,22252,2a a a g a a a a ⎧+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎩；〔3〕()max 3g a =. 【解析】 【分析】〔1〕将2a =代入函数()y f x =的解析式，利用二次函数的性质求出函数()y f x =在区间[]1,2-上的最大值和最小值，从而可得出此时函数()y f x =在区间[]1,2-上的值域；〔2〕对二次函数()y f x =的对称轴与区间[]1,1-的位置关系进展分类讨论，分析函数()y f x =在区间[]1,1-上的单调性，可得出函数()y f x =在区间[]1,1-上的最小值()g a 的表达式；〔3〕求出分段函数()y g a =在每一段定义域上的值域，可得出该函数的最大值. 【详解】〔1〕当2a =时，()()22243211f x x x x =-+=-+， 当1x =时，函数()y f x =取最小值，即()()min 11f x f ==； 当1x =-时，函数()y f x =取最大值，即()()max 19f x f ==. 因此，函数()y f x =在区间[]1,2-上的值域为[]1,9； 〔2〕①当2a <-时，函数()y f x =的对称轴12ax =<-， 此时，函数()y f x =在区间[]1,1-上单调递增，那么()()125g a f a =-=+； ②当22a -≤≤时，函数()y f x =的对称轴[]1,12ax =∈-， 此时，函数()y f x =在区间1,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,12a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增， 那么()2322a a g a f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；③当2a >时，函数()y f x =的对称轴12ax =>， 此时，函数()y f x =在区间[]1,1-上单调递减，那么()()152g a f a ==-．综上所述，()()()()225,23,22252,2a a a g a a a a ⎧+<-⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎩； 〔3〕①当2a <-时，()251g a a =+<；②当22a -≤≤时，()[]231,32a g a =-∈；③当2a >时，()521g a a =-<．g a=．由①②③可知()max3【点睛】此题考察二次函数的最值，同时也考察了分段函数最值的求解，在求解含参二次函数在定区间上的最值时，要注意分析二次函数图象的开口方向以及对称轴与定义域的位置关系，分析二次函数在定义域上的单调新，结合单调性得出二次函数的最值，考察分类讨论思想的应用，属于中等题.制卷人：打自企；成别使；而都那。

江西省南昌市八一中学、洪都中学、南师附中、十七中四校2021-2022学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1．（3分）据记载，欧拉公式e i x＝cos x+isin x（x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”．特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1＝0，将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”．根据欧拉公式复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（3分）命题“对任意x∈〖1，2〗，x≥a”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．a≥1B．a＜1C．a≥4D．a≤43．（3分）函数的极大值点为（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝±1D．不存在4．（3分）已知M（m，n）为圆C：（x﹣2）2+y2＝1上任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．5．（3分）曲线y＝f（x）在x＝1处的切线如图所示，则f′（1）＝（）A．1B．C．D．﹣16．（3分）过椭圆的左焦点作弦AB，则最短弦AB的长为（）A．1B．2C．D．47．（3分）日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为．那么净化到纯净度为95%时所需净化费用的瞬时变化率是（）元/t．A．120B．160C．﹣160D．﹣1008．（3分）如图，双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），AB是圆M：（x+2）2+（y﹣1）2＝的一条直径，若双曲线C过A，B两点，且离心率为，则直线AB的方程为（）A．3x+y+7＝0B．4x+y+6＝0C．x+y+5＝0D．2x+y+3＝09．（3分）设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f′（x）cos x﹣f（x）sin x＞0，若a＝0，b＝），c＝﹣），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞aC．c＞a＞b D．c＞b＞a10．（3分）已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，过点F作倾斜角为的直线l与抛物线交于P，Q两点，则△POQ（O为坐标原点）的面积S等于（）A．B．C．D．11．（3分）设双曲线与幂函数的图象相交于P，且过双曲线C的左焦点F（﹣2，0）的直线与函数的图象相切于P，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（3分）已知函数，要使函数f（x）＝k有三个零点，则k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．（3分）已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：；乙：；丙：．在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝．14．（3分）＝．15．（3分）已知椭圆交x轴于A，B两点，点P是椭圆C上异于A，B的任意一点，直线P A，PB分别交y轴于点M，N，则为定值b2﹣a2．现将双曲线与椭圆类比得到一个真命题：若双曲线交x轴于A，B两点，点P是双曲线C上异于A，B的任意一点，直线P A，PB分别交y轴于点M，N，则为定值．16．（3分）已知函数f（x）＝x ln x+2x（x﹣a）2（a∈R）若存在x∈〖2，4〗，使得f（x）＞xf′（x）成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：实数m满足|i+i2022|＞m成立，命题q：方程表示焦点在y轴上的椭圆，若命题￢q为真，命题p或q为真，求实数m的取值范围．18．（12分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2p sin（θ+）﹣1＝0，曲线C的参数方程是（φ为参数）．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求|P A|•|PB|．19．（12分）已知函数g（x）＝﹣x3+3x．（1）求g（x）在点A（2，﹣2）处的切线方程；（2）求直线f（x）＝x与曲线g（x）围成的封闭图形的面积．20．（12分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为90cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm．（1）求包装盒的容积V（x）关于x的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）当x为多少时，包装盒的容积V（cm3）最大？最大容积是多少？21．（12分）已知两动圆F1：（x+1）2+y2＝r2和F2：（x﹣1）2+y2＝（2（0＜r＜2），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，取曲线C上的相异两点A、B满足：＝0，且点M与点A，B均不重合．（1）求曲线C的方程；（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标．22．（14分）已知函数f（x）＝（x+2）（e x﹣1），g（x）＝m﹣nx+ln（x+2）．（1）讨论g（x）的单调性；（2）若n＝0时，对任意x＞﹣2都有g（x）≤f（x）恒成立，求实数m的最大值．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1．D〖解析〗复数＝cos+isin＝，所以复数z的虚部为．故选：D．2．B〖解析〗对任意x∈〖1，2〗，x≥a为真命题，则对任意x∈〖1，2〗，x≥a，即a≤（x）min，∴a≤1，则命题“对任意x∈〖1，2〗，x≥a”为真命题的一个充分不必要条件可以是a＜1，故选：B．3．B〖解析〗函数，可得f′（x）＝1﹣＝，由＝0，可得x＝±1，当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，函数是增函数，x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，所以x＝﹣1时，函数取得极大值，故选：B．4．C〖解析〗圆C：（x﹣2）2+y2＝1，它的圆心（2，0），半径为1，设z＝，则n＝mz+z，即mz﹣n+z＝0，当直线和圆相切时，有＝1，可得8z2＝1，∴z＝±，∴的最小值为：﹣．故选：C．5．C〖解析〗根据图象，切线上的两点坐标分别为：（2，0），（0，﹣1），∴切线的斜率为：k＝．故选：C．6．A〖解析〗过椭圆的左焦点作弦AB，则最短弦AB的长为椭圆的通径：2×＝2×＝1．故选：A．7．B〖解析〗因为，所以c′（x）＝（），则c′（95）＝＝160，故选：B．8．D〖解析〗由题意可知，双曲线的离心率为，则e＝＝，则c＝a，则b2＝c2﹣a2＝a2，所以双曲线的方程为﹣＝1，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点A，B在双曲线上，则x12﹣y12＝a2①，x22﹣y22＝a2②，①﹣②可得，（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y1+y2）（y1﹣y2）③，因为AB为圆M的直径，则M（﹣2，1）为AB的中点，所以＝﹣2，＝1代入③可得，＝﹣2，所以直线AB的斜率为﹣2，又直线经过点M（﹣2，1），所以直线AB的方程为y﹣1＝﹣2（x+2），即2x+y+3＝0．故选：D．9．C〖解析〗设g（x）＝f（x）cos x，则g′（x）＝f′（x）cos x﹣f（x）sin x，又因为f′（x）cos x﹣f（x）sin x＞0，所以g′（x）＞0，所以g（x）在（0，π）上单调递增，所以a＝0＝cos f（），b＝f（）＝cos f（），c＝﹣f（）＝cos f（），因为＜＜，所以cos f（）＜cos f（）＜cos f（），所以b＜a＜c，故选：C．10．A〖解析〗抛物线C：y2＝2x的焦点为F（，0），由题意可得直线l的方程为x＝y+，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理可得：y2﹣y﹣1＝0，则y1+y2＝，y1y2＝﹣1，所以|y1﹣y2|＝＝＝，所以S△AOB＝|OF|•|y1﹣y2|＝•＝，故选：A．11．B〖解析〗设P（m，），则函数y＝f（x）＝的导数f′（x）＝，则在P处的切线斜率k＝f′（m）＝，则切线方程为y﹣＝（x﹣m），∵切线过F（﹣2，0），∴﹣＝（﹣2﹣m），即2m＝2+m，则m＝2，即P（2，），∵左焦点F（﹣2，0），∴右焦点F1（2，0），则c＝2，且2a＝|PF|﹣|PF1|＝﹣＝2，则a＝，则双曲线的离心率e＝＝．故选：B．12．A〖解析〗要使函数f（x）＝k有三个零点，即y＝f（x）与y＝k的图象有3个交点，因为当x≤0时，f（x）＝x e x，所以f'（x）＝（x+1）e x，所以f（x）＝x e x有最小值f（﹣1）＝﹣，且x＜0时，f（x）＜0，当x趋向于负无穷时，f（x）趋向于0，但始终小于0，当x＞0时，f（x）＝﹣x²+1单调递减，所以要使函数f（x）＝k有三个零点，则﹣＜k＜0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．2+i〖解析〗设z＝a+b i，则＝a﹣b i，甲：由已知可得2a＝4，则a＝2，乙：由z＝3可得：a2+b2＝3，丙：由可得：，所以a2+b2＝5，若a＝2，则a2+b2＝4+b2＝3，则b2＝﹣1不成立，4+b2＝5，则b2＝1，解得b＝1或﹣1，所以甲，丙正确，乙错误，此时z＝2+i或z＝2﹣i，又复数z对应的点在复平面第一象限内，所以z＝2+i，故〖答案〗为：2+i．14．2π〖解析〗，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积，故其值是2π，故〖答案〗为：2π．15．﹣a2﹣b2〖解析〗由双曲线的方程可得A（﹣a，0），B（a，0），设P（m，n），则﹣＝1，可得n2a2＝m2b2﹣a2b2＝b2（m2﹣a2），直线P A的方程为：y＝（x+a），令x＝0，则y M＝，可得M（0，），直线PB的方程为y＝（x﹣a），令x＝0，可得y N＝，即N（0，），所以•＝（a，）•（﹣a，）＝﹣a2﹣＝﹣a2﹣＝﹣a2﹣b2，故〖答案〗为：﹣a2﹣b2．16．〖解析〗由f（x）＞xf′（x）得，设，则存在x∈〖2，4〗，使得g'（x）＜0成立，即能成立．所以能成立，所以，又令，所以x∈〖2，4〗时，t'（x）＞0，t（x）单调递增，当x＝2时，t有最小值，所以实数a的取值范围是，故〖答案〗为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．〖解〗|i+i2022|＝|i+i2|＝|﹣1+i|＝，若p真，则，若q真，则2﹣m＞m＞0，则0＜m＜1，若q假，则m≥1或m≤0，若命题￢q为真，命题p或q为真，则故或m≤0，即m的取值范围是（﹣∞，0〗∪〖1，）．18．〖解〗（1）∵2ρsin（θ+）﹣1＝0，∴sinθ+ρcosθ﹣1＝0，∵，∴l的普通方程为，∵曲线C的参数方程是（φ为参数）．∴曲线C的普通方程为x2+y2＝5．（2）在中，令y＝0，得P（1，0），∵，∴倾斜角，∴l的参数方程为，代入x2+y2＝5中，得，Δ＞0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣4＜0，∴t1，t2异号，∴|P A|⋅|PB|＝|t1t2|＝4．19．〖解〗（1）函数g（x）＝﹣x3+3x的导数为g′（x）＝3﹣3x2，得切线的斜率k＝g′（2）＝﹣9，∵切线过点A（2，﹣2），∴切线的方程：9x+y﹣16＝0；（2）联立，解得，或或，直线y＝x与曲线y＝3x﹣x3交于三点，则所求图形的面积．20．〖解〗（1）设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则，，0＜x＜45．所以＝，其定义域为{x|0＜x＜45}.（2）由，可得，当x∈（0，30）时，V'＞0；当x∈（30，45）时，V'＜0；∴当x＝30时，V取得极大值也是最大值：．答：当x＝30cm时，包装盒的容积最大是．21．〖解〗（1）解：设两动圆的公共点为Q，则有．由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，，c＝1，b＝1，所以曲线C的方程是：．（2）证明：由题意可知：M（0，1），且直线AB斜率存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB：y＝kx+m，联立方程组有：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，，，因为，所以有x1⋅x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）＝0，把①②代入整理化简得（m﹣1）（3m+1）＝0，或m＝1（舍），因为点M与点A，B均不重合，所以直线AB恒过定点．22．〖解〗（1）∵g（x）的定义域为（﹣2，+∞），且．当n≤0时，显然g'（x）＞0，∴g（x）在定义域（﹣2，+∞）上单调递增；当n＞0时，令g'（x）＝0，得，则有：xg'（x）+0﹣g（x）↗极大值↘即g（x）在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当n≤0时，f（x）在定义域（﹣2，+∞）上单调递增；当n＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．（2）当n＝0时，g（x）＝ln（x+2）+m，对于x＞﹣2满足g（x）≤f（x）恒成立，m+ln（x+2）≤（x+2）（e x﹣1），∴m≤（x+2）（e x﹣1）﹣ln（x+2）在（﹣2，+∞）上恒成立，令F（x）＝（x+2）（e x﹣1）﹣ln（x+2）（x＞﹣2），只需m≤F（x）min．∵，∵x＞﹣2，∴x+3＞0，令，则，∴h（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，又∵，，∴存在唯一的x0∈（﹣2，+∞），使得，即，两边取自然对数得x0+ln（x0+2）＝0，x（﹣2，x0）x0（x0，+∞）F'（x）﹣0+F（x）↘极小值↗，∴m≤﹣1，则m的最大值为﹣1．。

2021届江西省南昌县高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}13A x x =-≤，{}2450B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．{}21x x -≤≤-B ．{}14x x -≤≤C ．{}25x x -≤≤D ．{}45x x ≤≤【答案】B【分析】解不等式确定集合,A B ，然后由交集定义求解．【详解】依题意可得{}24A x x =-≤≤，{}15B x x =-≤≤，所以{}14A B x x ⋂=-≤≤， 故选：B .2．若复数()()31z a i a R =+-∈在复平面内对应的点在直线2y x =+上，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．5D ．6【答案】D【分析】写出复数对应点的坐标，代入直线方程可得．【详解】复数()31z a i =+-在复平面内对应的点()3,1a -在直线2y x =+上，132a -=+，6a =，故选：D ．3．命题“对任意0x >，都有0x x e +>”的否定为（ ） A ．对任意0x >，都有0x x e +≤ B ．对任意0x ≤，都有0x x e +≤ C ．存在0x >，使得0x x e +≤ D ．存在0x ≤，使得0x x e +≤【答案】C【分析】根据特称命题的否定可得答案.【详解】命题的否定为存在0x >，使得0x x e +≤， 故选：C4．已知函数2,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，则不等式()()265f x f x ->的解集是（ ）A ．()(),61,-∞-+∞B ．()(),16,-∞-+∞C ．()1,6-D ．()6,1-【答案】D【分析】根据二次函数和对数函数的性质，易得()f x 在R 上单调递增，再根据()()265f x f x ->，利用其单调性由265x x ->求解.【详解】因为2y x x =-+，在 (,0]-∞上递增， ln(1)y x =+在()0,∞+上递增， 又因为(0)0f = ， 所以()f x 在R 上单调递增，又不等式()()265f x f x ->，所以265x x ->， 解得61x -<<， 故选：D .5．若实数x ，y 满足约束条件3020380x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩﹐则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．1-C ．5D ．2【答案】D【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z x y =+可得y x z =-+，则z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距，截距越小，z 越小，结合图象可求z 的最小值．【详解】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由z x y =+可得y x z =-+，则z 表示直线y x z =-+在y 轴上的截距，截距越小，z 越小， 由题意可得，当y x z =-+经过点A 时，z 最小，由30380x y x y +=⎧⎨+-=⎩可得(3,1)A -，此时2z =．故选：D ．6．在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 是1BB 的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线1A M 与BN 所成角的正切值为 A ．3 B ．1C ．63D ．22【答案】C【分析】以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1A M 与NB 所成角的正切值 ．【详解】解：各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中,棱长为 2,以A 为原点,AC 为y轴,1AA 为z 轴,建立空间直角坐标系，则)1(00,2A ，，)(31,1M ，， )(31,0B ，，)(01,0N ，， 1(3,1AM =,1)-，)(30,0BN =-，,设异面直线1A M 与BN 所成角为θ，则11·315cos 55?3·A M BN A M BNθ===， 6tan 3θ∴=．∴异面直线1A M 与BN 所成角的正切值为63．故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面,面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题 ． 7．已知数列{}n a 是公差为()d d ≠0的等差数列，且136,,a a a 成等比数列，则1a d=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】A【分析】根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由136,,a a a 成等比数列得2316a a a =⋅，即()()211125a d a a d +=+，已知0d ≠，解得14a d=.故选：A .【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力. 8．已知双曲线的一条渐近线的方程为20x y -=，且经过点(6(1,)2，则双曲线标准方程为（ ） A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22142-=y xD ．2212x y -=【答案】D【分析】分类讨论焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，然后根据题意列出方程组，解之即可求出结果.【详解】焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为：()222210,0x ya b a b-=>>，则22226141b aa b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解； 焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为：()222210,0y xa b a b-=>>，则22226141a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，即双曲线的标准方程为：2212x y -=； 故选：D.9．已知O 为ABC 的外心，6AB =，4AC =，则AO BC ⋅=（ ） A ．10 B ．5C ．10-D ．–5【答案】C【分析】结合平面向量的数量积的定义以及三角形的外接圆的圆心进行化简求值.【详解】取AB 的中点E ，AC 的中点F ，连接,OE OF ， 因为O 为ABC 的外心，则,OE AB OF AC ⊥⊥， 则cos ,cos ,AE AF BAO CAO AOAO∠=∠=，且11,22AE AB AF AC ==， ()AO BC AO BA AC ⋅=⋅+AO BA AO AC =⋅+⋅()cos cos AO BA BAO AO AC CAO π=⋅⋅-∠+⋅⋅∠cos cos AO BA BAO AO AC CAO =-⋅⋅∠+⋅⋅∠AE AF AO BA AO AC AOAO=-⋅⋅+⋅⋅BA AE AC AF =-⋅+⋅6342=-⨯+⨯10=-故选：C.10．已知()f x 是奇函数，当0x >时，()2xf x x =--，则函数在1x =-处的切线方程是 A ．210x y -+= B ．220x y C ．210x y --= D ．220x y +-=【答案】A【分析】设0x <，则0x ->，得到()2xf x x -=-+，再利用()f x 是奇函数，求得()f x ，然后利用导数的几何意义求解. 【详解】设0x <，则0x ->， 所以()2xf x x -=-+， 又因为()f x 是奇函数， 所以()()2xf x f x x =--=+， 所以()()222f x x '=+，所以()()12,11f f '-=-=-，所以函数在1x =-处的切线方程是210x y -+=. 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用函数奇偶性求解析式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11．已知22log aa =，121()2bb =，n 1sic c =+，则实数a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．a c b <<【答案】B【分析】分别作出相应函数的图像，结合图像交点，即可判断a 、b 、c 的大小.【详解】分别作出12xy =与22log y x =的图像，因22log aa =，故结合图像可知0a <.分别作出312xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与124y x =的图像，因121()2bb =，故结合图像可知01b <<.分别作出51y x =-与6sin y x =的图像，因n 1si c c =+，故结合图像可知1c >. 因此a b c <<. 故选：B.12．已知函数202120211()2()20211x xf x xx R -=++∈+，等差数列{}n a 满足()()1007101514f a f a +-=，记n S 为数列前n 项的和，则2021S =（ ）A ．2021B ．20212C ．20213D ．20214【答案】B【分析】首先设202120211()20211x x g x x-=++，得到()g x 为奇函数.根据()()1007101514f a f a +-=得到()()1007101510g a g a +-=，即100710151a a +=，再计算2021S 即可. 【详解】设202120211()20211x x g x x-=++，定义域为R ， ()()2021202111120212021()12021121021x x x x g x x x g x ---=-+=+-+=-+， 所以()g x 为奇函数.因为()()()()100710151007101511422f a f a g a g a -=+-+++=， 所以()()1007101510g a g a +-=，即1007101510a a -+=. 所以100710151a a +=. 所以()()12021100712001521202120212021222S a a a a ++===. 故选：B二、填空题 13．函数()lg(3)2f x x x --定义域为___________.【答案】(2,3)【分析】由函数解析式，利用分式、根式及对数的性质列不等式组，即可求定义域.【详解】由函数解析式知：2030x x ->⎧⎨->⎩，可得23x <<，∴定义域为x ∈(2,3). 故答案为：(2,3) 14．已知02a π<<，3cos 65a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos a =_____．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】因为02a π<<,3cos 65a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以06παπ<+<,sin 06πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由同角三角函数的基本关系可得,4sin 65πα⎛⎫+=== ⎪⎝⎭因为cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以341cos 552α=⨯=故答案为 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式;解题的关键是把cos α转化为cos 66ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦;属于中档题、常考题型.15．已知抛物线()220y px p =>上一点()()1,0M m m >到其焦点F 的距离为5，点F 到双曲线22212x y b-=的一条渐近线的距离为___________.【分析】由已知结合抛物线的定义求得p ，得到F 的坐标，再由点到直线的距离公式列式求得b ，进一步求得c ，即可求出答案．【详解】由抛物线的定义，得点(1,)M m 到焦点的距离等于到准线2px =-的距离，即152p+=，解得8p =， 所以抛物线的标准方程为216y x =，焦点(4,0)F ，取双曲线22212x y b-=的一条渐近线为2b y x =，即20bx y -=， 则有24222b b =+，解得2b =.所以222c a b =+=，则2ce a==. 故答案为：2.16．已知一圆锥内接于球O ，若球心O 恰在圆锥的高的三等分点处，则该圆锥的体积与球O 的体积的比值为______. 【答案】932【分析】设球O 的半径为2r ，可求得圆锥的高及圆锥的底面积，再利用锥体和球体的体积公式可求得该圆锥的体积与球O 的体积的比值. 【详解】如下图所示：设球O 的半径为2r ，由题意可知，圆锥的高为3r ，球心到圆锥底面的距离为r ， ()2223r r r -=，该圆锥的体积为)2313333r r r ππ⨯⨯⨯=，因此，该圆锥的体积与球O 的体积的比值为()333943223r r ππ=⨯.故答案为：932. 【点睛】本题考查球体与圆锥的体积之比的计算，确定球体的半径与圆锥的底面半径、高的关系是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且22212a cb ac +-=.(1)求2sincos22A CB ++的值; (2)若2b =,求ΔABC 面积的最大值.【答案】（1）14-；（2【详解】试题分析：(1)由余弦定理可得1cos 4B =,再利用利用二倍角公式化简求解即可;(2)由余弦定理,结合基本不等式的推理公式求出83ac ≤,再求出sin B =利用三角形的面积公式求解即可. 试题解析：(1)在ΔABC 中,由余弦定理可知,2222cos a c b ac B +-=,由题意知22212a cb ac +-=, ∴1cos 4B =又在ΔABC 中πA B C ++=, ∴2sin cos22A C B ++=2πsin cos22B B -+=2cos cos22B B +=21cos 12cos 124B B ++-=-. (2)∵2b =, ∴由22212a cb ac +-=可得2214242a c ac ac +-=≥-,∴83ac ≤,∵1cos 4B =,∴sin B =∴Δ118sin 223ABC S ac B =≤⨯=∴ΔABC 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：①定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.②定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化，③求结果.18．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，PA ⊥平面,3,4,ABCD AB AD AP E ===为PD 的中点．（1）证明：AE PC ⊥．（2）若M 为线段BC 上的一点，且1BM =，求点M 到平面PCD 的距离．【答案】（1）见解析； （2）322【分析】（1）要证明AE PC ⊥只需证明AE ⊥平面PCD ，只需证明AE CD ⊥和AE PD ⊥.其中AE CD ⊥需要通过CD ⊥平面PAD 来证明，找到条件矩形ABCD 可得AD CD ⊥，条件PA ⊥平面ABCD 可证得PA CD ⊥.AE PD ⊥可以通过等腰APD △底边的中线AE 即为高来证明.（2）利用M PCD P CDM V V --=等体积法，即可求点M 到平面PCD 的距离. 【详解】解：（1）证明：PA ⊥平面ABCD ，PA CD ∴⊥， 底面ABCD 为矩形，AD CD ∴⊥，又PA AD A ⋂=，CD 平面PAD ，则AE CD ⊥，4AD AP ==，E 为PD 的中点，AE PD ∴⊥，且CD PD D =，AE ∴⊥平面PCD ，则AE PC ⊥； （2）PD CD ⊥ 1622PCDSPD CD ∴=⋅= 163P CDM MCD V S PA -=⋅=△，设点M 到平面PCD 的距离为h ， M PCD P CDM V V --=，16263h ∴⋅， 32h ∴=. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理，线线垂直的证明问题，利用等体积法求点到平面的距离问题，属于中档题.19．河北省高考改革后高中学生实施选课走班制,若某校学生选择物理学科的人数为800人,高二期中测试后,由学生的物理成绩,调研选课走班制学生的学习情况及效果,为此决定从这800人中抽取n 人,其频率分布情况如下:(1)计算表格中n ,a ,b 的值;(2)为了了解成绩在[)70,80,[)100,110分数段学生的情况,先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人,再从这6人中随机抽取2人进行面谈,求2人来自不同分数段的概率.【答案】（1）100n =,24a =,0.15b =.（2）815. 【分析】（1）根据频率的定义，求出n ，再根据[)80,90分数段的频率得到a ，根据[)90,100分数段的频数得到b ；（2）根据[)70,80，[)100,110分数段学生的人数，利用分层抽样，得到所抽取的人数，列出从其中抽取2人的情况，根据古典概型的概率公式，得到答案. 【详解】解:(1)因为[)50,60分数段的频数为8，频率为0.08， 所以81000.08n ==， [)80,90分数段的频率为0.24所以1000.2424a =⨯=，[)90,100分数段的频数为15，所以150.15100b ==. (2)[)70,80，[)100,110分数段学生的分别为20人，10人， 用分层抽样的方法抽取6人，则[)70,80分数段抽取学生为4人，记为1A ，2A ，3A ，4A ；[)100,110分数段抽取学生为2人，记为1B ，2B .从这6人中随机抽取2人，所有可能的结果共有15种，它们是{}12,A A ，{}13,A A ，{}14,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}24,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}34,A A ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}41,A B ，{}42,A B ，{}12,B B .又因为所抽取2人来自不同分数段的结果有8种，即{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}41,A B ，{}42,A B ， 故所求的概率为815. 【点睛】本题考查补全频率分布表，分层抽样的特点，古典概型求概率，属于简单题. 20．椭圆2222:1(1)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆E 上两动点,P Q 使得四边形12PFQF 为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线2PF 与椭圆E 的另一交点为M ，当点1F 在以线段PM 为直径的圆上时，求直线2PF 的方程.【答案】（1）22143x y +=（2）330x +-=或330x --= 【分析】（1）根据题意计算得到2a =，1b c ==，得到椭圆方程.（2）设()()21122:1,,,,PF l x my P x y M x y =+，联立方程得到1221226,349.34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，根据110F P F M ⋅=，计算得到答案.【详解】（1）由平行四边形12PFQF 的周长为8，可知48a =，即2a =.由平行四边形的最大面积为bc =1a b >>，解得1b c ==.所以椭圆方程为22143x y +=.（2）注意到直线2PF 的斜率不为0，且过定点2(1,0)F . 设()()21122:1,,,,PF l x my P x y M x y =+，由221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩消x 得()2234690m y my ++-=，所以1221226,349.34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩， 因为()()1111222,,2,F P my y F M my y =+=+，所以()()()()2111212*********F P F M my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++()2222229112794343434m m m m m m +-=--+=+++.因为点1F 在以线段PM 为直径的圆上，所以110F P F M ⋅=，即73m =±， 所以直线2PF 的方程3730x y +-=或3730x y --=.【点睛】本题考查了椭圆方程，根据直线和椭圆的位置关系求直线，将题目转化为110F P F M ⋅=是解题的关键.21．已知函数2()22(0)f x lnx x ax a =+->． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明1212()():f x f x a x x ->--．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）由于222(1)()22x ax f x x a x x-+'=+-=，令210x ax -+=，24a =-，分若240a ->与240a -两类讨论，即可求得()f x 在(0,)+∞单调区间； （2）依题意，可求得12121212()()2()f x f x lnx lnx a x x x x --=---，则问题转为证明12120lnx lnx x x ->-即可，由1201x x <<<，易证结论成立． 【详解】（1）2()22(0)f x lnx x ax a =+->，222(1)()22x ax f x x a x x-+∴'=+-=， 令210x ax -+=，24a =-， ①若240a ->，当2a >时，210x ax -+=的两个根12x x <，12x x 且12x x a +=，121=x x ，故均为正，所以，()f x在，，)+∞单调递增，在单调递减；②若240a -，即02a <时，()0f x '恒成立，故()f x 在(0,)+∞单调递增； 综上所述，02a <时，()f x 在(0,)+∞单调递增；当2a >时，()f x 在1(0,)x ，2(x ，)+∞单调递增，在1(x ，2)x 单调递减； （2）证明：由（1）知2a >，1201x x <<<，12x x a +=，121=x x ， 则221211122212121212()()22222()()()2()f x f x lnx x ax lnx x ax lnx lnx x x x x a x x -=+---+=-++---，则121212121212121212()()2()2()2()()22f x f x lnx lnx lnx lnx lnx lnx x x a a a a x x x x x x x x ----=++-=+-=-----， 则问题转为证明12120lnx lnx x x ->-即可，由1201x x <<<，知上式成立， 故原结论成立．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与求函数的极值，考查等价转化思想与函数与方程思想，考查逻辑思维与综合运算能力，是难题． 22．已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{(1x t t y t=-=+为参数），曲线1C 的方程为220x y x +-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线1C 的极坐标系方程； （2）曲线2:(0,0)2C πθαρα=><<分别交直线l 和曲线1C 于M ，N ，求3||||ON OM +的最大值．【答案】（1）cos sin 30ρθρθ+-=；cos ρθ=；（2【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）将θα=代入极坐标方程得3cos sin ||OM αα=+和||cos ON α=，利于三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】（1）由题可知直线l 的普通方程为30x y +-=， 直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=． 曲线1C 的普通方程为22x y x +=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=， 所以1C 的极坐标方程为cos ρθ=．（2）直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=，令θα=， 则3||cos sin OM ραα==+，所以3cos sin ||OM αα=+． 又||cos ON α=，所以3||sin 2cos )(tan 2)||ON OM αααϕϕ+=+=+=，因为02πα<<，则3||||ON OM + 【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． 23．已知函数()|1|f x x =+.（1）求不等式()|2|f x x x +>-的解集；（2）设函数()(3)y f x f x =+-的最小值为m ，已知222a b c m ++=，求ab bc +的最大值.【答案】（1）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭（2 【分析】（1）由题意可得12x x x ++>-，讨论x 的范围，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（2）利用绝对值不等式，求出函数的最小值，即可求m 的值；2223a b c ++=，利用基本不等式求ab bc +的最大值．【详解】（1）由已知不等式()|2|f x x x +>-，得|2||1|x x x -<++， 当2x ≥时，不等式为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x ≥； 当12x -<<时，不等式为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <<；当1x -时，不等式为21x x x -<--，解得3x >，此时无解. 综上，原不等式的解集为1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭.（2）因为()(3)|1||2||12|3f x f x x x x x +-=++-+-+=，所以2223a b c ++=，又2222222222b b a bc a c ab ++=++++，则322ab bc+，所以ab bc +【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和运用绝对值不等式的性质求最值，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

s=s+3i=2i+1开始s=2i=015i ≥否第一学期期末考试 高三数学（文科）试题（考试时间120分钟. 共150分）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.复数2i1i--的共轭复数是 A .3i 2+B .1i 2-C .3i2-D .3i 2--2.{}2|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则()R AB =A .[]2,5B .(2,5]C .[]1,2-D .[)1,2-3.函数1()ln(21)f x x =+的定义域是A .1(,)2-+∞B .1(,0)(0,)2-+∞C .1[,)2-+∞D .[)0,+∞4.已知向量a ，b 的夹角为120，且||2a =，||1b =，2a b +=A 27.7D .25.已知函数2π()12cos ()4f x x =-+，下列说法正确的是A .()f x 是最小正周期为π的奇函数B .()f x 是最小正周期为π的偶函数C .()f x 是最小正周期为π2的偶函数 D .()f x 是最小正周期为π2的奇函数 6.已知双曲线C ：22221y x a b-=的焦距为105点()1,2P 在双曲线C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为A .221205y x -=B .221520y x -=C .22110025y x -=D .22125100y x -= 7.已知命题13:1,log 0p x x ∀<<都有，命题:q x ∃∈R ，使得22xx ≥成立，则下列命题是真命题的是A .p q ∨B .()()p q ⌝∧⌝C .()p q ∨⌝D .p q ∧ 8.如图所示的程序框图输出的结果是A .31s =B .17s =C .11s =D .14s = 9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画 出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该 三棱锥的主视图可能是10.在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是11.在锐角ABC △中，角C B A ,,所对的边分别为a b c ，，，若22sin 3A =，2a =， cos +cos =2cos cB bC a B ，则b 的值为A .26B .324C .334D .36412.设定义在R 上的偶函数()y f x =，满足对任意t ∈R 都有()(2)f t f t =-，且[0,1]x ∈时，()2()ln e f x x =-+，则(2016)f 的值等于A .ln(e 1)-+B .ln(4e)-+C .1-D .1ln(e )4-+第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上中的横线上. 13.已知在等比数列{}n a 中，前n 项和2n n S t =+，则数列的通项公式n a =.A BC D左视图 俯视图组距频率615051504150315021501[185,195)[175,185)[165,175)[155,165)频数挂果个数区间14.若,x y 满足不等式组22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，2z x y =-，则z 的最大值是.15.函数()22sin 3sin 2f x x x ωω=()0ω>的一条对称轴为直线π8x =，则()f x 的最小正周期为.16.已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间[]2,2-上，2(20)()2(02)1mx x f x nx x x + -≤<⎧⎪=-⎨ ≤≤⎪+⎩，其中,m n ∈R ，若(1)(3)f f =，则m n +=. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若320a =，3428S S =+. （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设*1(N )1n n b n S =∈-，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，求n T .18.(本小题满分12分)为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况如下（单位：个）：157 161 170 180 181 172 162 157 191 182 181 173 174 165 158 164 159 159 168 169 176 178 158 169 176 187 184 175 169 175 （1）完成频数分布表，并作出频率分布直方图（2）如果挂果在175个以上（包括175）定义 为“高产”， 挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．用分层抽样的方法从“高产” 和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵， 那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?PM DAEFO yxA B CODTMA19.(本小题满分12分)如图所示，四棱椎P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PBA PBC ∠=∠（1）证明：PB AC ⊥（2）若2PB AB ==，60ABC PBD ∠=∠=，M 为PB 中点，求四面体M ABC -的体积.20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，离心率为e ，且椭圆C 过点(2,)2bE e ，以AE 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l （直线l 不过原点）与椭圆C 交于P 、Q 两点，且OPQ ∆的面积1OPQ S ∆=，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程. 21.(本小题满分12分)已知函数()()ln f x x ax a =-∈R（1）当3a =时，判断函数()()2g x x f x =+的单调性；（2）若0a >，函数()f x 在1x =的切线l 也是曲线222890x y x y ++-+=的切线，求实数a 的值，并写出直线l 的方程； （3）若1a =，证明()ln 12x f x x >+. 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答．注意：只能做选定的题目．如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号． 22.(本小题满分10分)选修41-：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =， 直线MD 与圆O 相交于点,M T （不与,A B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结,,MC MB OT（1）求证：DT DCDO DM=； （2）若40BMC ∠=,，试求DOT ∠的大小．23.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2π4cos()103ρρθ---=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是cos ()3sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||32AB =α的值．24.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知a b 、为正实数，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()21a b x x +-≤ 恒成立.（1）求11a b+的最小值； （2）试判断点()1,1P -与椭圆22221x y a b+=的位置关系，并说明理由.21099[185,195)[175,185)[165,175)[155,165)频数挂果个数区间组距615051504150315021501150赣州市2021～2021学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题1～5.CBBDA ； 6～10.CADAB ； 11～12.DC .二、填空题13.12n -； 14.2； 15.()843k k 2π∈+Z ；16.8.三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由3428S S =+得：14a =………………………………………………………………2分 由31220a a d =+=，所以8d =………………………………………………………4分 故数列{}n a 的通项公式为：()1184n a a n d n =+-=-………………………………6分 （2）由（1）可得24n S n =………………………………………………………………8分()()211111()41212122121n b n n n n n ===---+-+…………………………………9分11111111(1)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++…………………12分 18.解：（1）……………………………………………3分N OPM DCBA ………………………………………6分（2）有“高产”12棵，“非高产”18棵，用分层抽样的方法， 每棵被抽中的概率是51306=，所以选中的“高产”有11226⨯=棵…………………7分 “非高产”有11836⨯=棵…………………………………………………………………8分 用事件12A A 、表示被选中的“高产”，则其对立事件123B B B 、、表示被选中的“非高产”，共有12(,)A A 、11(,)A B 、12(,)A B 、13(,)A B 、21(,)A B 、22(,)A B 、23(,)A B 、12(,)B B 、13(,)B B 、23(,)B B 共10种情况……………………………………………………………9分其中至少有一棵是“高产”的有12(,)A A 、11(,)A B 、12(,)A B 、13(,)A B 、21(,)A B 、22(,)A B 、 23(,)A B 共7种………………………………………………………………………………10分所以至少有一棵是“高产”的概率：710P =…………………………………………………12分 19.证明：（1）连接AC BD 、，设它们相交于点O ，连接PO ，则O 为AC 中点……1分 因为AB BC =，PBA PBC ∠=∠，PB PB =，所以ABP CBP ∆≅∆，所以PA PC =……………………………………………………3分PO AC ⊥又易知AC BD ⊥，AC ⊥平面PBD ………………………………………5分所以PB AC ⊥………………………………………………………………………………6分 （2）由已知可知ABC ∆是等边三角形，2AC BC ==所以212sin 6032ABC S ∆=⨯=7分 过点M 作MN BD ⊥，垂足为点N ，由（1）知NM AC ⊥，故MN ABCD ⊥平面…………9分在Rt MBN ∆中，3sin 602MN MB ==10分四面体M ABC -的体积11313332ABC V S MN ∆=⨯==………………………12分 20.解：（1）连接EF ，则EF FA ⊥，所以2F x c e ==，解得2a =………………1分故点E 的坐标为(,)2b c ，代入椭圆方程22221x y a b +=，得2222()212b c b+=………………2分解得3c =1b =………………………………………………………………………4分故椭圆C 的方程为2214x y +=……………………………………………………………5分 （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)8440k x kmx m +++-= 所以122814km x x k +=-+，21224414m x x k-⋅=+…………………………………………7分 而22221241411k k m PQ k x x +⋅+-=+-= 原点O 到直线l 的距离为21m d k=+…………………………………………………8分所以22214112OPQm k m S PQ d ∆⋅+-=⋅⋅==…………………………………9分 所以22221414m k m k +-=+，即22(142)0k m +-=，即22142k m +=设(,)N x y ，则12242214x x km k x k m +-===-+，①12212142y y m y k m+===+② 由①，②消去m 得221122x y +=………………………………………………………10分 当直线l 的斜率不存在时，设点00(,)P x y ，则00001|||2|2OPQ S x y x y ∆==， 又220014x y +=，解得02x =±11分 所以线段PQ 的中点()2,0N ±因此N 的轨迹方程为221122x y +=………………………………………………………12分 21.解：（1）当3a =时，2()ln 3g x x x x =+-，()2121()12312()23x x x x g x x x x x ---+'=+-==………………………………2分 当()1(0,)1,2x ∈+∞和时，()0g x '>，当1,12x ∈（）时，()0g x '<……………4分故()g x 在()1(0,)1,2+∞和上是增加的，在1,12（） 上是减少的……………………5分（2）因为1()f x a x'=-，所以(1)1f a '=-，又(1)f a =-故切线l 的方程为()()11y a a x +=--，即()1+10a x y -+=……………………6分 由222890x y x y ++-+=变形得()()22148x y ++-=，它表示以点()1,4-为圆心，半径长为22 ()24(1)12211a a +-+=+-2a =（负值已舍去）……………………7分此时直线l 的方程是10y x ++=……………………………………………………8分 （3）因为()1xf x x-'=，故()f x 在()0,1上是增加的，在()1,+∞上是减少的， ()()max 1ln111f x f ==-=-，所以()min ||1f x =…………………………………9分设()G x =ln 12x x +，则()'21ln x G x x -=，故()G x 在()0,e 上是增加的，在(),e +∞ 上是减少的……………………………10分 故()()max 1112G x G e e ==+<， 故()()min max ||G x f x <………………………………………………………………11分 所以()ln 12x f x x >+对任意()0,x ∈+∞恒成立…………………………………12分 22.证明：（1）因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定理2DN DT DM =⋅，2DN DB DA =⋅…………………………………2分 得DA DB DM DT ⋅=⋅…………………………………………………………………3分 设半径()0OB r r =>，因BD OB =，且2r BC OC ==， 则233DB DA r r r ⋅=⋅=，23232rDO DC r r ⋅=⋅=………………………………3分 所以DT DM DO DC ⋅=⋅………………………………………………………………4分所以DT DCDO DM=…………………………………………………………………………5分 （2）由（1）可知，DC DO DM DT ⋅=⋅，且CDM TDO ∠=∠………………7分 故DTO ∆∽CM D ∆，所以DOT DMC ∠=∠………………………………………8分 根据圆周角定理得，2DOT DMB ∠=∠，则40BMC DMB ∠=∠=……………9分80DOT ∴∠=…………………………………………………………………………10分 23.解：（1）由2π4cos()103ρρθ---=得圆C 的方程为22(1)(3)5x y -+=……………………………………………4分（2）将cos 3sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=…………5分化简得22cos 40t t α--=……………………………………………………………6分设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、,则12122cos 4t t t t α+=⎧⎨=-⎩………………………7分所以22121212||||()44cos 1632AB t t t t t t α=-=+-=+=……………………8分所以24cos2α=,2cos 2α=±,π3π44αα==或…………………………………10分24.解：（1）因为()21a b x x +-≤，0x >，所以1a b x x+≤+……………………1分 因为12x x+≥，所以2a b +≤…………………………………………………………3分 11112()24b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+≥++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以112a b +≥……………………5分所以11a b+的最小值为2…………………………………………………………………6分 （2）因为222211112()()1222a b a b ++≥≥=………………………………………………7分 所以22112a b+≥……………………………………………………………………………8分即()22221121a b-+≥>，所以点()1,1P -在椭圆22221x y a b +=的外部……………………10分。

南昌三校高三数学上期第一次联考试卷（文科）南昌三校2021届高三数学上期第一次联考试卷（文科）试卷满分：150分一.选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个正确选项)1.设全集，集合，则( )A. B. C. D.2.设A，B是两个集合，①，，;②，，; ③，，.则上述对应法则中，能构成A到B的映射的个数为( )A. B. C. D.3.已知为第二象限角，，则=( )A. B. C. D.4.若且角的终边通过点，则点的横坐标是( )A. B. C. D.5.设命题甲：关于的不等式对一切恒成立，命题乙：对数函数在上递减，那么甲是乙的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知命题：;命题：，则下列命题中为真命题的是( )A. B. C. D.7.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原先的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的解析式为( )A. B. C. D.8.函数的图像大致为( )9.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A. B.C. D.10.已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当(其中是的导函数)，设，则的大小关系是( )A. B. C. D.二.填空题(本大题共5小题，每小题5分,共25分)11.已知函数，则_______.12.已知函数，是偶函数，则a+b=.13.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，则.14.若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范畴是.15.给出下列命题：①若函数的一个对称中心是，则的值为;②函数在区间上单调递减;③已知函数，若对任意恒成立，则;④函数的最小正周期为.其中正确结论的序号是.三.解答题(本大题共6小题,共75分，解答题应写出必要的文字说明或演算步骤)16.(本小题满分12分)设关于的函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B.(1)求集合; (2)若集合满足，求实数a的取值范畴.17.(本小题满分12分)已知处取得极值，且.(1)求常数的值; (2)求的极值.18.(本小题满分12分)已知函数.(1)求; (2)求的最大值及单调递增区间.19.(本小题满分12分)在中，内角A、B、C的对边分别为，且.(1)求角的大小; (2)若求的值.20.(本小题13分)函数是定义在上的奇函数，且.(1)确定函数的解析式;(2)证明在上是增函数;(3)解不等式.21.(本小题满分14分)已知函数.(I)当时，求曲线在点处的切线方程;(II)求的单调区间;(III)若函数没有零点，求实数的取值范畴.南昌一中、南昌十中、铁路一中三校联考高三文科数学答题卷一.选择题(105分=50分)题号12345678910答案二.填空题(55分=25分)11. 12. 13. 14. 15.三.解答题16.(12分)17.(12分)18.(12分)19.(12分)20.(13分)21.(14分)南昌一中、南昌十中、铁路一中三校联考高三文科数学参考答案一.选择题(105分=50分)题号12345678910答案BCADBBAADC二.填空题(55分=25分)11.3 12.2 13. 14. 15.①③三.解答题16.(12分)解：(1)由解得或3分又在上单调递增6分(2)∵8分或解得或.12分17.(12分)解：(1) 由已知有即：6分(2)由(Ⅰ)知，当x-1时，或x1时，内分别为增函数;在(-1，1)内是减函数.当x = -1时，函数f(x)取得极大值f(-1)=1;当x=1时，函数f(x)取得极小值f(1)=-1 12分18.(12分)解：(1)∵4分(2)当即时，取最大值1;由解得12分19.(12分)解：得.因此因此6分(2) 由及得.由及余弦定理，得.因此12分20.(13分)解：(1)由已知是定义在上的奇函数，，即.又，即，.. 4分(2)证明：关于任意的，且，则，即.函数在上是增函数8分(3)由已知及(2)知，是奇函数且在上递增，不等式的解集为13分21.(14分)解：(I)当时，，，，2分因此切线方程为4分(II ) 5分当时，在时，因此的单调增区间是;6分当时，函数与在定义域上的情形如下：0+↘极小值↗8分(III)由(II)可知①当时，是函数的单调增区间，且有，，因此，现在函数有零点，不符合题意;(或者分析图像，，左是增函数右减函数，在定义域上必有交点，因此存在一个零点)②当时，函数在定义域上没零点;③当时，是函数的极小值，也是函数的最小值，因此，当，即时，函数没有零点-家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

2024年江西省南昌市八一中学数学高三上期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．82．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -3．已知复数z ＝（1+2i ）（1+ai ）（a ∈R ），若z ∈R ，则实数a ＝（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．﹣24．等比数列{},n a 若3154,9a a ==则9a =（ ） A ．±6B ．6C ．-6D ．1325．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦6．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+ D7．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则AB =（ ）A ．[-1,0]B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞8．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则下列结论正确的是（ ） A ．2z i i ⋅=- B ．复数z 的共轭复数是12i - C ．||5z =D ．13122z i i =++ 9．已知集合{}21|A x log x =<，集合{|B y y ==，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞10．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x =的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 11．正三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1BC．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校高二化学第一学期期末监测模拟试题含答案考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、一定条件下，在体积为10 L的密闭容器中，1 mol X和1 mol Y进行反应：2X(g)＋Y(g)Z(g) ΔH<0，反应经60 s达到平衡并生成0.3 mol Z，则下列说法中正确的是( )A．以Y浓度变化表示的反应速率为0.000 5 mol·L－1·s－1B．其他条件不变，将容器体积扩大至20 L，则Z的平衡浓度变为原来的1/2C．其他条件不变，将容器体积缩小至5 L，平衡正向移动，平衡常数增大D．其他条件不变，升高温度逆反应速率加快，正反应速率减慢2、现有一氧化碳、二氧化碳、臭氧(O3)三种气体，它们分别都含有1 mol氧原子，则三种气体的分子个数之比为( ) A．1∶1∶1B．1∶2∶3C．3∶2∶1D．6∶3∶23、下列各组物质在题设条件下能够发生反应，且甲为取代反应，乙为加成反应的是选项甲乙A 甲烷与氯水(光照) 乙烯与溴的四氯化碳溶液B 苯与液溴(催化剂) 苯与氢气(加热、催化剂)C 乙醇与乙酸的酯化反应(加热、催化剂) 乙酸乙酯的水解反应(催化剂)D 乙醇和氧气(灼热的铜丝) 氯乙烯与氢气(催化剂)A．A B．B C．C D．D4、一定条件下，在水溶液中1molCl-，ClO x－(x=1，2，3，4)的能量(kJ)相对大小如图所示，下列有关说法正确的是A．ClO2-→ClO3-+ClO4- 可以自发进行B．A、B、C、D中C最稳定C．B→A+D反应的活化能为60 kJ•mol-1D．B→A+C反应的热化学方程式为3ClO-(aq)=ClO3-(aq)+2Cl-(aq) △H= -117 kJ•mol-15、用石墨作电极，电解1 mol·L－1下列物质的溶液，则电解前后溶液的pH保持不变的是( ) A．H2SO4B．NaOH C．Na2SO4D．NaCl6、在恒容密闭容器中，进行如下反应：NO(g)+CO(g)12N2(g)+CO2(g)；△H=﹣373.2kJ/mol达到平衡后，为提高NO的转化率，采取的正确措施是( )A．加催化剂 B．充入CO增大压强 C．充入N2D．升高温度7、Fe2O3＋3CO2Fe＋3CO2是高炉炼铁的主要反应，该反应的还原剂是A．Fe2O3B．CO C．Fe D．CO28、下列各组比较项目包含的数据关系中，前者比后者大的是A．氨水与氯水中微粒种数B．C2H2与C6H6分子中碳碳键键长C．NH4+离子与P4分子中的键角D．H2O2与O2分子中氧氧键键能9、下列有关实验或做法合理有效的是A．配制FeSO4溶液可加Zn粉防止溶液氧化变质B．0.01mol/LKMnO4和0.1mol/LH2C2O4的酸性溶液中加MnSO4能使溶液褪色时间变短C．先加BaCl2溶液再加稀HNO3可检验溶液中是否含有SO42-D．可用K3[Fe(CN)6]检验某溶液中是否含有Fe3+10、25℃时，在等体积的①pH=0的H2SO4溶液、②0.05mol/L的Ba(OH)2溶液、③pH=10的Na2S溶液、④pH=5的NH4NO3溶液中，发生电离的水的物质的量之比是A．1:10:1010:109B．1:5:5⨯109:5⨯10C．1:20:1010:109 D．1:10:104:10911、[2017新课标Ⅰ]支撑海港码头基础的钢管桩，常用外加电流的阴极保护法进行防腐，工作原理如图所示，其中高硅铸铁为惰性辅助阳极。

2020-2021学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、十七中三校联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x 2−4<0}，B ={x|lgx <0}，则A ∩B =( )A. (−2,1)B. (−2,2)C. (0,1)D. (0,2)2. 设复数z =a +bi(其中a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则“a =0”是“z 为纯虚数”的( )A. 充要条件B. 既不充分又不必要条件C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3+a 5=4，S 15=60则a 20=( )A. 4B. 6C. 10D. 124. 已知|a ⃗ |=1，b ⃗ =(0,2)，且a ⃗ ⋅b⃗ =1，则向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为( ) A. π6B. π4C. π3D. π25. 函数f(x)={e x−1(x <2)−log 3(x −1)(x ≥2)，则不等式f(x)>1的解集为( )A. (1,2)B. (−∞,43)C. (1,43)D. [2,+∞)6. 若变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2，则目标函数z =x −3y 的最小值为( )A. 1B. −3C. −9D. −107. 若sin(π3−a)=14，则sin(2a −π6)=( )A. −78B. 78C. −1516D. 15168. 已知△ABC 是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的体积为32π3，则O 到平面ABC 的距离为( )A. √3B. 32C. 1D. √329. 某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为( )A. 32+√2+√52B. 12+2√2+√5 C. 12+√2+√5 D. 32+√2+√510. 已知抛物线C ：x 2=12y 上一点P ，直线l ：y =−3，过点P 作PA ⊥l ，垂足为A ，圆M ：(x −4)2+y 2=1上有一动点N ，则|PA|+|PN|最小值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 811. 已知奇函数f(x)定义域为R ，且f(x +2)为偶函数，若f(1)=a ，则f(1)+f(3)+f(5)+⋯+f(2019)=( ) A. 0 B. a C. 2a D. 1010a 12. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A 、B两点，A 、B 两点分别在一、四象限，若|AFBF |=12，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√33B. 2C. √3D. √5二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =______．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinBsinC =12，c 2−b 2=2ab ，则cosA =______． 15. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是______ ． ①平均数x ≤3； ②标准差S ≤2；③平均数x ≤3且标准差S ≤2；④平均数x ≤3且极差小于或等于2； ⑤众数等于1且极差小于或等于4．16. 已知三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC =CD =4，AB =AD =2√3，则三棱锥A −BCD 的外接球的大圆面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n >1，且6S n =(a n +1)(a n +2)，n ∈N ∗．(1)求{a n }的通项公式：(2)设数列{b n }满足b n ={a n ,n 是奇数2n,n 是偶数，并记T n 为{b n }的前n 项和，求T 2n ．18. 随着支付宝和微信支付的普及，“扫一扫”已经成了人们的日常，人人都说现在出门不用带钱包，有部手机可以走遍中国．移动支付如今成了我们生活中不可缺少的一部分了，在某程度上还大大的促进了消费者的消费欲望，带动了经济的发展．某校高三年级班主任对该班50名同学对移动支付是否关注男女合计对移动支付关注241236对移动支付不关注41014合计282250(2)现按照分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求2人中至少有1人是女生的概率．(3)根据表中的数据，能否有97.5%的把握认为消费者对移动支付的态度与性别有关系？参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P(K2>k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.78910.82819.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，E是棱PC上的一点．(1)证明：平面ADE⊥平面PAB；(2)已知AD=√3，AB=AP=2CD=2，若E，F分别是PC，PB的中点，求点B到平面AEF的距离．20.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，其上，下顶点分别为点A，B，且直线AM，MB的斜率之积为k AM⋅k BM=−34．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点Q(−a,0)作两条直线，分别交椭圆C 于另一点S ，T.若k QS +k QT =2，求证：直线ST 过定点．21. 已知函数f(x)=2ax −1x −(2+a)lnx(a ≥0)．(1)当a =0时，求f(x)的极值； (2)当a >0时，讨论f(x)的单调性；(3)若对任意的a ∈(2,3)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m −ln3)a −2ln3>|f(x 1)−f(x 2)|成立，求实数m 的取值范围．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−ty =4+√3t(t 为参数)，曲线C 1的参数方程为{x =cosϕy =1+sinϕ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2：θ=π3(ρ>0)分别交直线l 和曲线C 1于点A ，B ，求|OB||OA|．23. 已知函数f(x)=k −|x −3|，k ∈R 且f(x +3)≥0的解集为[−1,1](Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)若a ，b ，c 是正实数，且1ka +12kb +13kc =1，证明：a +2b +3c ≥9．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|x 2−4<0}={x|−2<x <2}， B ={x|lgx <0}={x|0<x <1}， ∴A ∩B =(0,1)． 故选：C ．求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】D【解析】解：若复数z =a +bi 是纯虚数，则a =0，b ≠0， 则a =0不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得a =0， 故“a =0”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：D ．根据复数z =a +bi 是纯虚数，则a =0，b ≠0，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 本题主要考查了纯虚数的概念，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了学生逻辑推理的能力，属于基础题． 3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查等差数列前n 项和的求法，考查等差数列的通项公式，前n 项和公式等基础知识，是中档题． 利用等差数列{a n }的通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出a 1=12，d =12，由此能求出a 20． 【解答】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∵a 3+a 5=4，S 15=60， ∴{a 1+2d +a 1+4d =415a 1+15×142d =60， 解得a 1=12，d =12，∴a 20=a 1+19d =12+19×12=10． 故选C ．4.【答案】C【解析】解：∵|a ⃗ |=1，b ⃗ =(0,2)，且a ⃗ ⋅b ⃗ =1， ∴cos <a ⃗ ,b⃗ >=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ | |b⃗ |=1×√0+22=12．∴向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角的大小为π3．故选：C ．利用向量的夹角公式即可得出．本题考查了向量的夹角公式，属于基础题． 5.【答案】A【解析】解：∵函数f(x)={e x−1(x <2)−log 3(x −1)(x ≥2)，不等式f(x)>1，即{e x−1>1x <2①， 或 {−log 3(x −1)>1x ≥2②， 解①求得1<x <2，解②求得x 无解， 故原不等式的解集为(1,2)， 故选：A ．原不等式即{e x−1>1x <2①，或 {−log 3(x −1)>1x ≥2 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求． 本题主要考查分段函数的应用，指数不等式、对数不等式的解法，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：在坐标系中画出变量x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2可行域，如图所示由z =x −3y 可得y =13x −13z ，则−13z 表示直线z =x −3y 在y 轴上的截距，截距越大，z 越小平移直线3x −2y =0经过点A 时，z 最小， 由{x −y =−12x −y =2可得A(3,4)， 此时最小值为：−9，则目标函数z =x −3y 的最小值为−9． 故选：C ．先根据条件画出可行域，设z =x −3y ，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线z =x −3y ，过可行域内的点A 时的最小值，从而得到z 最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定． 7.【答案】B【解析】解：若sin(π3−a)=14，则sin(2a −π6)=cos(2a −π6−π2)=cos(2a −2π3)=cos(2π3−2a)=1−2sin 2(π3−a)=1−2×116=78， 故选：B ．利用诱导公式、二倍角公式花间要求的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵S△ABC=√34×AB2=9√34，∴AB=3，∵V球=4π3×(OA)3=32π3，∴OA=2，设△ABC的中心为O1，则OO1⊥平面ABC，由正弦定理可得2O1A=ABsinC=2√3，∴O1A=√3，∴OO1=√OA2−O1A2=1，即O到平面ABC的距离为1．故选：C．计算△ABC的边长得出△ABC所在截面圆的半径，和球O的半径，利用勾股定理计算O到平面ABC的距离，本题考查球体积公式，空间距离的计算，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：由三视图可知三棱锥为如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，S△ABC=√2；在△ABD中，AB⊥BD，S△ABD=1；在△ACD中，AD⊥CD，S△ACD=√52；在△BCD中，BD⊥CD，S△BCD=12；故表面积为32+√2+√52．故选：A．画出三视图对应几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，画出直观图以及表面积的求法是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：由抛物线方程可得：焦点F(0,3)，直线l是准线方程，由抛物线定义可得|PA|=|PF|，又由圆的方程可得：圆心为M(4,0)，半径R=1，根据两点间距离，线段最短如图：可得：(|PA|+|PN|)min=|FM|−R=√(0−4)2+(3−0)2−1=5−1=4，故选：B．由抛物线方程可得直线l是其准线方程，焦点坐标为F(0,3)，由抛物线定义可得|PA|=|PF|，又由圆的方程可得圆心为M(4,0)半径R=1，利用数形结合|PA|+|PN|的最小值转化为|MF|−R即可求出结果．本题考查了抛物线定义以及动点间距离最值问题，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：根据题意，若f(x+2)为偶函数，即函数f(x)的图象关于直线x=2对称，则f(3)=f(1)=a，函数f(x)为定义域为R的奇函数，且f(x+2)为偶函数，则f(−x+2)=f(x+2)=−f(x−2)，即f(x+4)=−f(x)，变形可得f(x+8)=f(x)，即函数f(x)是周期为8的周期函数；又由f(x+4)=−f(x)，则f(1)+f(5)=0，f(3)+f(7)=0，则有f(1)+f(3)+f(5)+f(7)=0，则有f(1)+f(3)+f(5)+⋯+f(2019)=[f(1)+f(3)+f(5)+f(7)]×252+f(1)+f(3)=2a，故选：C．根据题意，由f(x+2)为偶函数可得f(3)=f(1)=a，由函数的奇偶性与对称性分析可得函数f(x)是周期为8的周期函数，又由f(x+4)=−f(x)分析可得f(1)+f(3)+f(5)+f(7)=0，结合函数的周期性可得f(1)+f(3)+f(5)+⋯+f(2019)=[f(1)+f(3)+f(5)+f(7)]×252+f(1)+f(3)，计算可得答案．本题考查抽象函数的求值，涉及函数的奇偶性与对称性的应用，注意分析函数的周期．12.【答案】Ax，【解析】解：由题意知：双曲线的右焦点F(c,0)，渐近线方程为y=±ba即bx±ay=0，如下图所示：由点到直线距离公式可知：|FA|=√b2+a2=b，又∵c2=a2+b2，∴|OA|=a，∵|AF||BF|=12，∴|BF|=2b，设∠AOF=α，由双曲线对称性可知∠AOB=2α，而tanα=ba ，tan2α=|AB||OA|=3ba，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tanα1−tan2α=2×ba1−(ba)2=2aba2−b2，即3ba =2aba2−b2，化简可得：a2=3b2，即b2a2=13，由双曲线离心率公式可知：e=ca =√1+b2a=√1+13=2√33．故选：A．求出双曲线的渐近线方程，画出图形，利用点到直线的距离公式以及|AFBF |=12，推出a，b关系，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想，计算能力，是中档题．13.【答案】95【解析】解：模拟执行程序框图，可得：S=1，n=1，不满足条件n>4，S=1+12，n=2，不满足条件n>4，S=1+12+16，n=3，不满足条件n>4，S=1+12+16+112，n=4，不满足条件n>4，S=1+12+16+112+120，n=5，此时，满足条件n>4，退出循环，输出S的值．由于S=1+12+16+112+120=95．故答案为：95．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n>4时退出循环，输出S的值．本题主要考查了循环结构的当型循环，同时考查了程序框图的应用，属于基础题．14.【答案】1116【解析】解：由sinBsinC =12得bc=12，得c=2b，∵c2−b2=2ab，∴4b2−b2=2ab，即3b2=2ab，则a=32b则cosA=b2+c2−a22bc =b2+4b2−94b22b⋅2b=1144=1116，故答案为：1116．根据正弦定理，余弦定理进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理，余弦定理进行化简是解决本题的关键．难度不大．15.【答案】④⑤【解析】解：①错．举反倒：0，0，0，0，2，6，6；其平均数x=2≤3，不符合条件；②错．举反倒：6，6，6，6，6，6，6；其标准差S=0≤2，不符合条件；③错．举反倒：0，3，3，3，3，3，6；其平均数x≤3且标准差S=√97≤2，不符合条件；④对．若极差小于2，显然符合条件；若极差小于或等于2，有可能(1)0，1，2；(2)1，2，3；(3)2，3，4；(4)3，4，5；(5)4，5，6．在平均数×≤3的条件下，只有(1)(2)(3)成立，符合条件；⑤对．在众数等于1且极差小于或等于4时，其最大数不超过5，符合条件．故答案为：④⑤．通过举反例说明命题不符合条件，或通过平均数和标准差的统计意义，找出符合要求的选项．本题考查了数据的几个特征量，它们只表示数据的一个方面，一个或两个量不能说明这组数据的具体情况．16.【答案】9π【解析】解：∵如图取BD的中点E，连接AE，CE．则AE⊥BD，CE⊥BD．∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，∴AE⊥平面BCD，又∵CE⊂平面BCD，∴AE⊥CE．设△ABD的外接圆的圆心为O，半径为r．∵AB=AD，∴圆心O在AE所在的直线上．∴r2=BE2+OE2=BE2+(r−AE)2．∵在Rt△BCD中，BD=√16+16=4√2．∴BE=EC=2√2．∴在Rt△ABE中，AE=√12−8=2．∴r2=8+(r−2)2，解得r=3．∴OE=1．在Rt△OEC中，OC=√OE2+EC2=3．∴OA=OB=OC=OD=3．∴点O是三棱锥A−BCD的外接球的球心，则球半径R=3．∴大圆面积S=πR2=9π．故答案为：9π．利用已知三棱锥A−BCD的特点AB=AC=AD，先确定△ABD的外心O，及外接圆的半径，然后证明O也是三棱锥A−BCD的外接球的球心，即可解答．本题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利用已知三棱锥的特点是解决问题关键，属于难题．17.【答案】解：(1)由a1=S1=16(a1+1)(a1+2)，整理可得：a12−3a1+2=0，结合a1=S1>1，解得a1=2由a n+1=S n+1−S n=16(a n+1+1)(a n+1+2)−16(a n+1)(a n+2)得(a n+1+a n)(a n+1−a n−3)=0，又a n>0，得a n+1−a n=3从而{a n}是首项为2公差为3的等差数列，故{a n}的通项公式为a n=3n−1．(2)T2n=(a1+a3+⋅⋅⋅+a2n−1)+(22+24+⋅⋅⋅+22n)=n(2+6n−4)2+4(1−4n)1−4=4n+1−43+3n2−n．【解析】(1)由令递推式中n=1得a1=2，由a n+1=S n+1−S n=16(a n+1+1)(a n+1+2)−16(a n+1)(a n+2)得a n+1−a n=3，从而{a n}是首项为2公差为3的等差数列，即可求解．(2)T2n=(a1+a3+⋅⋅⋅+a2n−1)+(22+24+⋅⋅⋅+22n)，分别求和即可．本题考查了等差、等比数列的性质，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为对移动支付不关注的男生有4人，所以抽到对移动支付不关注的男生的概率是450=225；(2)对移动支付关注的同学有36人，男女比例为2：1，按照分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人，则抽取的男生有4人，记为a，b，c，d，抽取的女生有2人，记为m，n，则从6人中随机抽取2人，基本事件为(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，(a,m)，(b,m)，(c,m)，(d,m)，(a,n)，(b,n)，(c,n)，(d,n)，(m,n)共15种，至少有1人是女生的事件为(a,m)，(b,m)，(c,m)，(d,m)，(a,n)，(b,n)，(c,n)，(d,n)，(m,n)共9种．则2人中至少有1人是女生的概率P=915=35；(3)K2的观测值k=50×(240−48)236×14×28×22≈5.937>5.024．所以有97.5%的把握认为消费者对移动支付的态度与性别有关系．【解析】(1)直接利用古典概型概率公式求解；(2)利用分层抽样求出所取男女生人数，再由枚举法得到基本事件总数与至少有1人是女生的事件数，再由古典概型概率公式求解；(3)求出K 2的观测值k ，与临界值表比较得结论．本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养．是基础题．19.【答案】(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AD ．又AD ⊥AB ，AB ∩PA =A ，AB 、PA ⊂平面PAB ， ∴AD ⊥平面PAB ，而AD ⊂平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面PAB ．(2)解：如图所示，建立空间直角坐标系， A(0,0，0)，P(0,0，2)，B(0,2，0)，F(0,1，1)，C(√3,1，0)，E(√32,12,1)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，1)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，设平面AEF 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 则n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，则√32x +12y +z =0，y +z =0，取n ⃗ =(1,√3,−√3). ∴点B 到平面AEF 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√3√7=2√217．【解析】本题考查了空间线面、面面垂直的性质和判定定理、直角梯形、数量积运算性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AD.又AD ⊥AB ，利用线面、面面垂直的判定定理即可证明结论．(2)如图所示，建立空间直角坐标系．设平面AEF 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，利用点B 到平面AEF 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，即可得出．20.【答案】解：(1)由题意可得A(0,b)，B(0,−b)，所以k AM ⋅k BM =3−b 2⋅3+b 2=−34可得：b 2=12，将M 点的坐标代入可得：4a 2+912=1，解得a 2=16， 所以椭圆的方程为：x 216+y 212=1； (2)证明：由(1)可得Q(−4,0)，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，直线ST 的方程为：y =kx +t ， 联立直线与椭圆的方程{y =kx +tx 216+y 212=1，整理可得：(3+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−48=0，x1+x2=−8kt3+4k2，x1x2=4t2−483+4k2，可得：k QS+k QT=y1x1+4⋅y2x2+4=2，即kx1+tx1+4+kx2+tx2+4=2，整理可得(2k−2)x1x2+(4k+t−8)(x1+x2)+8t−32=0，即(2k−2)⋅4t2−483+4k2+(4k+t−8)⋅−8kt3+4k2+8t−32=0，化简可得：t2−(8k+3)t+16k2+12k=0，即(t−4k)(t−4k−3)=0，当t=4k，直线ST的方程为：y=kx+4k=k(x+4)，恒过左顶点，不合题意，当t=4k+3，直线ST的方程为：y=kx+4k+3=k(x+4)+3，所以可证得直线恒过定点(−4,3)．【解析】(1)由题意可得点A，B的坐标，由直线AM，BM的斜率之积为−34，求出B的坐标代入椭圆的方程求出a的值，进而求出椭圆的方程；(2)设直线ST的方程，代入椭圆的方程求出两根之和及两根之积，求出直线QS，QT的斜率之和，可得参数之积的关系，进而求出直线ST过定点．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．21.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=−1x −2lnx⇒f、(x)=1x2−2x=1−2xx2(x>0)…(2分)由f、(x)=1−2xx2>0，解得x<12，可知f(x)在(0,12)上是增函数，在(12,+∞)上是减函数．…(4分)∴f(x)的极大值为f(12)=2ln2−2，无极小值．…(5分)(2)f(x)=2ax−1x −(2+a)lnx⇒f、(x)=2a+1x2−(2+a)1x=2ax2−(2+a)x+1x2.①当0<a<2时，f(x)在(0,12)和(1a,+∞)上是增函数，在(12,1a)上是减函数；…(7分)②当a=2时，f(x)在(0,+∞)上是增函数；…(8分)③当a>2时，f(x)在(0,1a )和(12,+∞)上是增函数，在(1a,12)上是减函数(9分)(3)当2<a<3时，由(2)可知f(x)在[1,3]上是增函数，∴|f(x1)−f(x2)|≤f(3)−f(1)=4a−(2+a)ln3−43.…(10分)由(m−ln3)a−2ln3>|f(x1)−f(x2)|对任意的a∈(2,3)，x1，x2∈[1,3]恒成立，∴(m−ln3)a−2ln3>|f(x1)−f(x2)|max…(11分)即(m−ln3)a−2ln3>4a−(2+a)ln3−43对任意2<a<3恒成立，即m>4−43a对任意2<a<3恒成立，…(12分)由于当2<a <3时，103<4−43a <329，∴m ≥329.…(14分)【解析】(1)利用导数判断函数的单调性求得极值即可；(2)分类讨论利用导数法判断函数的单调性；(3)由(m −ln3)a −2ln3>|f(x 1)−f(x 2)|恒成立，等价于(m −ln3)a −2ln3>|f(x 1)−f(x 2)|max ，利用导数求得其最大值，解不等式求得m 的取值范围．本题主要考查学生运用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识，考查分类讨论思想、恒成立问题的等价转化思想的运用能力，属难题．22.【答案】解：直线l 的参数方程为{x =−ty =4+√3t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为y =4−√3x ． 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρsinθ+√3ρcosθ=4．曲线C 1的参数方程为{x =cosϕy =1+sinϕ(φ为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得：x 2+y 2−2y =0， 根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为：ρ=2sinθ．(2)曲线C 2：θ=π3(ρ>0)分别交直线l 和曲线C 1于点A ，B ， 所以{ρsinθ+√3ρcosθ=4θ=π3，解得ρA =√3．同理{ρ=2sinθθ=π3，解得ρB =√3，所以|OB||OA|=√34√3=34【解析】(1)直接利用转换关系，把直线的参数方程和曲线的参数方程转换为直角坐标方程，最后转换为极坐标方程．(2)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】解：(Ⅰ)因为f(x)=k −|x −3|，所以f(x +3)≥0等价于|x|≤k 由|x|≤k 有解，得k ≥0，且其解集为{x|−k ≤x ≤k} 又f(x +3)≥0的解集为[−1,1]，故k =1…(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知1a +12b +13c =1 又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得：a +2b +3c =(a +2b +3c)(1a +12b +13c )=3+a2b +a3c +2b a+2b 3c +3c a+3c2b=3+(a2b+2ba)+(2b3c+3c2b)+(3ca+a3c)≥3+2+2+2=9当且仅当a=2b=3c时取等号…(10分)【解析】(Ⅰ)根据不等式的解集，进行求解即可求k的值；(Ⅱ)利用柯西不等式进行证明即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．。

江西省南昌市第八中学2021届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足(1+2)34i z i =-+，则z =（ ） 2 B. 555 【答案】C 【解析】()()()()34i 12i 510i 12i,12i 512i 12i 5z -+-+===++=+-故选C .2.已知集合{|2}A x Z x =∈≥，()(){|130}B x x x =--<，则A B ⋂=（ ） A. ∅B. {}2C. {}2,3D.{}|23x x ≤<【答案】B 【解析】 【分析】化简集合B ，根据交集的定义写出A B ⋂即可． 【详解】解：集合{|2}A x Z x =∈≥，()(){}{|130}=|13B x x x x x =--<<<，则{}2A B ⋂= 故选B ．【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型. 3.已知131log 4a =，154b=，136c =，则（ ） A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D.b c a >>【解析】 【分析】首先将b 表示为对数的形式，判断出0b <，然后利用中间值以及对数、指数函数的单调性比较32与,a c 的大小，即可得到,,a b c 的大小关系. 【详解】因为154b=，所以551log log 104b =<=，又因为(133331log log 4log 3,log 334a ==∈，所以31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又因为131133336,82c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以3,22c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以c a b >>. 故选：C.【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，难度一般.利用指、对数函数的单调性比较大小时，注意数值的正负，对于同为正或者负的情况可利用中间值进行比较. 4.2021年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。