苏教版高中数学必修4-第二学期高一期末模拟考试试卷.docx

一、选择题1．若πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．2B ．1C ．45D ．35-2．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56653．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．354．已知()1sin 30cos 3αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（ ）A ．79-B ．79C D ． 5．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ）A ．4B ．3+C ．D ．56．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6 B ．4C ．3D ．27．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ）A 1B ．2C 1D 2+8．在ABC 中，||:||:||3:4:5AB AC BC =，圆O 是ABC 的内切圆，且与BC 切于D 点，设AB a =，AC b =，则AD =（ ）A ．2355a b +B ．3255a b + C ．2133a b +D ．1233a b +9．已知函数()()cos f x x ωϕ=+（0>ω，0πϕ-<<）的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且其相邻对称轴间的距离为23π，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期23T π= B ．58πϕ=-C ．()317cos 248πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比51510.61822⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金ABC 中，黄金分割比为BCAC．试根据以上信息，计算sin18︒=（ ）A 51- B 51- C ．514D 3511．函数2()cos sin (R)f x x x x =+∈的最小值为（ ） A ．54B ．1C ．1-D ．2-12．函数()13cos313xxf x x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．经过点(4,1)P -作圆2220x y y +-=的切线，设两个切点分别为A ，B ,则tan APB ∠=__________．14．若2cos()3πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是____________． 15．已知(0,)θπ∈，且2sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2θ=__________． 16．如图所示，已知AOB ，点C 是点B 关于点A 的对称点，2OD DB =，DC 和OA 交于点E ，若OE OA λ=，则实数λ的值为_______．17．如图，已知ABC 为边长为2的等边三角形，动点P 在以BC 为直径的半圆上，若AP AB AC λμ=+，则2λμ+的最小值为_______．18．把单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ，点C 在线段AB 上，若12AC CB =，则OC BA ⋅的值为__________．19．关于函数()4sin(2)(),3f x x x R π=+∈有下列命题：①由12()()0f x f x ==可得12x x -必是π的整数倍；②()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；③()y f x =的表达式可改写为4cos(2);6y x π=-④()y f x =的图象关于直线6x π=-对称.其中正确命题的序号是_________.20．已知函数())cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()8f π-的值为______.三、解答题21．已知函数()f x 满足：()()()22f x f x a a R +=+∈，若()12f =，且当(]2,4x ∈时，()22611f x x x =-+．（1）求a 的值；（2）当(]0,2x ∈时，求()f x 的解析式；并判断()f x 在(]0,4上的单调性（不需要证明）；（3）设()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，()2cos cos 2,22h x x m x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．22．已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，求实数m 的取值范围.23．（1）已知非零向量1e 、2e 不共线，欲使12ke e +和12e ke +共线，试确定实数k 的值. （2）已知向量1a =，2b =，()()23a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的大小.24．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅的值；(2)若AF AE AD λ=+，且BD AF ⊥，求λ的值. 25．已知函数()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R .（1）用“五点法”画出函数()f x 一个周期内的图象； （2）求函数()f x 在[],ππ-内的值域； （3）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[],ππ-内的单调增区间.26．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭只能满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x的图象可由4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为.2π（1）请写出满足()f x 的这两个条件序号，并说明理由； （2）求出()f x 的解析式；（3）求方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先利用切化弦结合两角和的公式展开，平方后由二倍角正弦公式可得结果. 【详解】∵πsin πsin cos 4tan 3π4cos sin cos 4ααααααα⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭+===- ⎪-⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭， ∴()()22sin cos 9cos sin αααα+=-，即1sin 291sin 2αα+=-，解得4sin 25α=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角和公式以及切化弦思想的应用，等式两边平方是解题的关键，属于中档题.2．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 322πβ⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.4．B解析：B 【分析】根据条件展开化简得到()1sin 303α-︒=，再利用角的变换，得到()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒，再利用二倍角公式化简求值.【详解】 由()1sin 30cos 3αα︒+=+，得11cos cos 223ααα+=+， 化简得()1sin 303α-︒=； ()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒ ()21712sin 301299α=--︒=-⨯=故选:B ． 【点睛】本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.5．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252a b a ba b a b a b++-++-≤=+=，当且仅当a b a b+=-，即a b⊥时取等号，故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.6．C解析：C【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB=+，2132MN AD AB=-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB=+=+，2132MN CN CM CB CD=-=-21213232BC DC AD AB=-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．C解析：C【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=．∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=，即（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=++=+．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．8．B解析：B 【分析】由题得三角形是直角三角形，设3,4,5AB AC BC ===，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====求出,,x y z ，再利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为||:||:||3:4:5AB AC BC =，所以ABC 是直角三角形，设3,4, 5.AB AC BC ===如图，设,=,,DB BF x AD AE y EC CF z =====由题得34,2,1,35x y y z x y z x z +=⎧⎪+=∴===⎨⎪+=⎩，所以2232()5555AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+3255a b =+. 故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．D解析：D 【分析】首先根据三角函数的性质，可知相邻对称轴间的距离是半个周期，判断A ；再求函数的解析式，判断B ；根据平移规律得到函数()g x ，判断C ；最后根据函数()g x 的解析式，利用整体代入的方法求函数的单调递减区间. 【详解】相邻对称轴间的距离是半个周期，所以周期是43π，故A 不正确； 243T ππω==，解得：32ω=，()f x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称，3,282k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈，解得：5,16k k Z πϕπ=+∈ 0πϕ-<<, 1116πϕ∴=-，故B 不正确； ()311cos 216f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向左平移3π个单位长度后得()31133cos cos 2316216g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故C 不正确； 当02x π≤≤时，3339,2161616x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当3390,21616x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，函数单调递减，即 ,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据三角函数的性质求得函数()f x 的解析式，第四个选项是关键，需根据整体代入的方法，先求33 216xπ-的范围，再确定函数的单调递减区间. 10．B解析：B【分析】先由ABC是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用sin18sin DAC︒=∠，结合腰和底之比求其结果即可.【详解】依题意可知，黄金ABC是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，51,2BCAB ACAC-==，36BAC∠=︒，过A作AD BC⊥于D，则AD也是三角形的中线和角平分线，故1151512sin18sin224BCDCDACAC AC︒=∠===⋅=.故选：B.【点睛】本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果. 11．C解析：C【分析】由平方关系化为sin x的函数，换元后利用二次函数性质得最小值．【详解】由已知2()1sin sinf x x x=-+，令sint x=，则[1,1]t∈-，2()()1f xg t t t==-++215()24t=--+，∵[1,1]t∈-，∴1t=-时，min()1g t=-．故选：C．【点睛】本题考查与三角函数有关的复合函数的最值．求三角函数的最值有两种类型：（1）利用三角恒等变换公式化函数为()sin()f x A x kωϕ=++形式，然后由正弦函数性质得最值或值域．（2）转化为关于sin x（或cos x）的函数，用换元法，设sint x=（或cost x=）变成关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求得最值或值域．12．A解析：A【分析】先判断奇偶性，可排除C ，D ，由特殊值()fπ，可排除B ，即可得到答案.【详解】 因为()()()1331cos 3cos31331x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=-++，所以函数()f x 为奇函数，排除C ，D ；又()13cos3013f ππππ-=>+，排除B ， 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．二、填空题13．【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径进而可以求出从而求出的值由利用二倍角的正切公式可以求出的值【详解】圆的方程可化为则圆心为半径为r=1设则【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的性质考查【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出PD =，1DA =，从而求出tan APD ∠的值，由2APB APD ∠∠=，利用二倍角的正切公式，可以求出tan APB ∠的值.【详解】圆的方程可化为()2211x y +-=，则圆心为()0,1D ，半径为r =1，设APD ∠θ=，AP DA ⊥，PD ==PA ===tan DA PA θ===,22tan 19 tan tan211tan 9119APB θθθ∠====--.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题．14．【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题 解析：14 【分析】由诱导公式化简cos()πα-，再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案.【详解】 由2cos()πα-=,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 得227714cos 1tan 3922ααα==--===-． 故答案为：142-. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.15．【分析】根据利用诱导公式和二倍角公式转化为求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用还考查了转化求解问题的能力属于中档题 解析：2425【分析】 根据2sin 410πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用诱导公式和二倍角公式转化为2sin 2cos 2122sin 4πθθπθ⎛⎫=-=- ⎪⎛⎫- ⎪⎝⎝⎭⎭求解.【详解】因为2 sin410πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以224sin4sin2cos2co25s21224πππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪⎛⎫-=⎪⎝⎭⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：2425【点睛】本题主要考查二倍角公式及诱导公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 16．【分析】设可得又因为即可求解【详解】如图所示：设由于所以由于点是点关于点的对称点则为中点所以得所以由于又因为得故答案为：【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法解析：45【分析】设,OA a OB b==，可得523DC a b=-，()2EC a bλ=--，又因为//EC DC，即可求解λ．【详解】如图所示：设,OA a OB b==，由于2OD DB=，所以23OD b=，由于点C是点B关于点A的对称点，则A为BC中点，所以()12OA OB OC=+，得2OC a b=-所以523DC OC OD a b=-=-由于()2EC OC OE a bλ=-=--，又因为//EC DC21523λ-=得45λ=．故答案为：45【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．17．1【分析】如图建系设P点坐标则可得的坐标根据题意可得的表达式代入所求根据的范围利用三角函数求最值即可得答案【详解】取BC中点O以O为原点OCOA方向为x轴y轴正方向建系如图所示由题意得：所以如图以B解析：1【分析】如图建系，设P点坐标(cos,sin)θθ，则可得,,AP AB AC的坐标，根据题意，可得,λμ的表达式，代入所求，根据θ的范围，利用三角函数求最值，即可得答案.【详解】取BC中点O，以O为原点，OC，OA方向为x轴y轴正方向建系，如图所示由题意得：2sin603OA=︒=3),(1,0),(1,0)A B C-，如图以BC为直径的半圆方程为：221(0)x y y+=≤，设(cos,sin)Pθθ，因为sin0θ≤，所以[,2]θππ∈，则(cos,sin3)APθθ=-，(1,3),(1,3)AB AC=--=-，因为AP AB ACλμ=+，所以cossin333θλμθλμ=-+⎧⎪⎨=--⎪⎩，整理可得113cos22131cos22μθθλθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1111322(cos )cos sin()26222626πλμθθθθθ+=--++-=-+， 因为[,2]θππ∈，所以713[,]666πππθ+∈， 当1366ππθ+=时，sin()6πθ+取最大值12， 所以2λμ+的最小值为31122-=， 故答案为：1【点睛】解题的关键是在适当位置建系，进而可得点的坐标及向量坐标，利用向量的坐标运算，即可求得2λμ+的表达式，再利用三角函数图像与性质求解，综合性较强，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.18．【分析】由题意可得与夹角为先求得则再利用平面向量数量积的运算法则求解即可【详解】单位向量绕起点逆时针旋转再把模扩大为原来的3倍得到向量所以与夹角为因为所以所以故答案为【点睛】本题主要考查平面向量几何 解析：116-【分析】 由题意可得3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，先求得1(2)3OC OA AC OA OB =+=+，则1(2)()3OC BA OA OB OA OB ⋅=+⋅-，再利用平面向量数量积的运算法则求解即可. 【详解】 单位向量OA 绕起点O 逆时针旋转120︒，再把模扩大为原来的3倍，得到向量OB ， 所以3OB =，OA 与OB 夹角为120︒，因为12AC CB =，所以111()(2)333OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+-=+， 所以()2211(2)()233OC BA OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅=+⋅-=--⋅ 11291332⎡⎤⎛⎫=--⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦116=-，故答案为116-. 【点睛】 本题主要考查平面向量几何运算法则以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）．19．②③【分析】根据三角函数的零点性质三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案【详解】①中是的两个零点即是的整数倍①错误；②中②正确；故④错误；③中③正确；所以正确命题序号是②③故答案为：解析：②③【分析】根据三角函数的零点性质，三角函数对称和三角函数诱导公式依次判断每个选项得到答案.【详解】①中12,x x 是()f x 的两个零点，即12x x -是2π的整数倍，①错误； ②中06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，②正确；故④错误； ③中4sin 24cos 2cos 23236y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，③正确； 所以正确命题序号是②③.故答案为：②③.【点睛】本题考查了三角函数的对称，零点，诱导公式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20．【分析】利用辅助角公式化简根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得进而得到解析式代入即可求得结果【详解】为上的奇函数解得：又故答案为：【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值已知解析式求解三角函解析：【分析】利用辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数为奇函数可构造方程求得ϕ，进而得到()f x 解析式，代入8x π=-即可求得结果.【详解】 ()()()2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=+-+=-+ ⎪⎝⎭， ()f x 为R 上的奇函数，()6k k Z πϕπ∴-=∈，解得：()6k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，6πϕ∴=，()2sin 2f x x ∴=，2sin 84f ππ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：.【点睛】本题考查根据正弦型函数的奇偶性求解参数值、已知解析式求解三角函数值的问题；关键是能够通过辅助角公式将函数化简为正弦型函数，进而利用奇偶性构造方程求得参数.三、解答题21．（1）7；（2）()2f x x x =+，单调递增；（3）-1. 【分析】（1）根据题意可得()()3214f f a a =+=+，再由()311f =即可求解.（2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，代入()()227f x f x +=+即可得出()2f x x x =+，再由分段函数单调性判断方法即可求解.（3）由（2）知，当4x >时，()21f x ≥，且由条件知，()12f =，根据()g x 的单调性可得()1h x ≥恒成立，设cos [0,1]x t =∈，只需不等式222(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解.【详解】（1）由题意()12f =，所以()()3214f f a a =+=+，又()2323631111f =⨯-⨯+=， 因为411a +=，所以7a =；（2）设2(]0,x ∈，则2(2,4]x +∈，所以()2222(2)6(2)11227f x x x x x +=+-++=++， 又()()227f x f x +=+，代入解得：()2f x x x =+； 显然，()f x 在(0,2]，(2,4]上分别是单增函数，又()26f =，而当2x +→时，7y →，因为76>，所以()f x 在(0,4]上单调递增；（3）由（2）知，()f x 是区间(0,4]上单调递增，且(2,4]x ∈时，()419f =，()7f x >，且当4x >时，设(2,22](2,)x n n n n Z ∈+≥∈，则(22)(2,4]x n --∈，()232()2(2)72(4)7(21)2(6)7221f x f x f x f x =-+=-+⋅+=-+⋅++()1232[(22)]72221n n n f x n ---=⋅⋅⋅=--+⋅++⋅⋅⋅++()123727222121n n n --->⋅+⋅++⋅⋅⋅++≥且由条件知，()12f =；再看函数()24 log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭， 由420031x x +>⇒>-，即定义域为(0,)+∞， 且4231x y =+-在(0,)+∞上单减， 所以()24log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在(0,)+∞上单减， 又发现()12g =，所以()()()1f h x g h x h x ≥⇒≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，即()22cos 2cos 11x m x +-≥在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立， 设cos [0,1]x t =∈，则不等式222(1)0mt t m +-+≥在[0,1]t ∈上恒成立， ①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立；②当0m >时，当0t =代入得()10m -+≥，矛盾；③当0m <时，只需(1)01122(1)01m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎩⎩，综上，实数m 的值为-1．【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.22．（1）5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈（2）1144m << 【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为221()216h t t mt m =-+-在(2内有两个零点，根据二次函数列式可得结果.【详解】 （1）()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 222x x x =++-1cos 212cos 2222x x x +=++-32cos 22x x =+)3x π=+， 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈. （2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，52(0,)36x ππ+∈，())3f x x π=+∈， 因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，令()t f x =，则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在2内有两个零点，所以22144016020m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<<⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即222316043160m m m <<⎪⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩，解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩m <<， 所以实数m的取值范是1144m <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 23．（1）1k =±；（2）3π. 【分析】（1）本题首先可以根据12ke e +和12e ke +共线得出()1212ke e e ke λ+=+，然后通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据()()23a b a b +⊥-得出()()230a b a b +⋅-=，然后根据1a =以及2b =求出1cos 2θ=，最后根据[]0,θπ∈即可得出结果. 【详解】（1）因为12ke e +和12e ke +共线，非零向量1e 、2e 不共线，所以存在唯一实数λ使()1212ke e e ke λ+=+，即1212ke e e ke λλ+=+，则1k kλλ=⎧⎨=⎩，即21k =，1k =±， 故当1k =±时，12ke e +和12e ke +共线.（2）因为()()23a b a b +⊥-，所以()()22233520a b a b a a b b+⋅-=+⋅-=，令a 与b 夹角为θ， 因为1a =，2b =，所以2235231512cos 240a a b b θ+⋅-=⨯+⨯⨯⨯-⨯=，解得1cos 2θ=， 因为[]0,θπ∈，所以a 与b 的夹角3πθ=.【点睛】本题考查向量共线以及向量垂直的相关性质，若非零向量a 、b 共线，则存在唯一实数λ使λab ，若非零向量a 、b 垂直，则0a b ⋅=，考查计算能力，是中档题.24．(1)18；(2)12λ=-. 【分析】(1)根据条件，可以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，从而可得出AC AE ，的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；(2)可以得出(023)，BD =，(32323)，AF =++λλ，然后根据BD AF ⊥，即可得出0BD AF ⋅=，进行向量数量积的坐标运算，即可求出λ的值. 【详解】(1)以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(4,23)C ，3)E ，(2,3)D ， 所以(423)，AC =，(33)，AE =， 所以4323318AC AE ⋅=⨯+⨯=； (2)(023)，BD =，(32323)，AF =+λλ， 因为BD AF ⊥，所以2333)0BD AF ⋅==λ， 解得12λ=-. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，选择恰当的点作为坐标原点建系及正确的写出各点坐标是关键，属于中档题.本题也可以AB ,AD 作为基底，利用基底法求解.25．（1）答案见解析；（2）3,2⎡⎤⎣⎦；（3）5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）利用五点法作图，按照列表、描点、连线的步骤作图即可； （2）根据x ππ-≤≤求出126x π+的范围，再利用正弦函数的性质求出1sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的范围即可求值域； （3）先求出()12sin 6212g x f x x ππ⎛⎫=+⎛⎫=-⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，再令12222122k x k πππππ-+≤+≤+，()k Z ∈，不等式的解集与[],ππ-求交集即可.【详解】（1）利用五点法作图列表如下：126x π+ 02ππ32π 2πx3π-23π 53π 83π 113π()f x0 2 02-（2）因为x ππ-≤≤，所以123263x πππ-≤+≤， 所以31sin 1226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()12sin 2263x f x π⎛⎫=+≤⎪⎝⎭-≤， 函数()f x 在[],ππ-内的值域为3,2⎡⎤-⎣⎦（3）若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象， 则()112sin 2sin 6266212g x x x x f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎛⎫=- ⎪⎝⎝⎦⎭⎭⎣， 令12222122k x k πππππ-+≤+≤+()k Z ∈，解得：754466k x k ππππ-+≤≤+()k Z ∈， 当0k =时，7566x ππ-≤≤，当1k =时172966x ππ≤≤， 又因为[],x ππ∈-，所以56x ππ-≤≤，()g x 在[],ππ-内的单调增区间为5,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【点睛】关键点点睛：在求三角函数单调区间时，要把x ωϕ+看成一个整体让其满足正弦的单调区间，解出的x 的范围即为所求三角函数的单调区间.26．（1）满足①③，理由见解析；（2）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）23π. 【分析】（1）根据条件②得出函数()f x 的最大值以及该函数图象的相邻对称轴之间的距离，进而可得出结论；（2）根据条件①求得A 的值，根据条件②可求得ω的值，由此可确定函数()f x 的解析式；（3）由x ππ-≤≤，可得11132666x πππ-≤+≤，再由()10f x +=可得出1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可解得该方程在区间[],ππ-上的所有解，由此可得出结果.【详解】（1）若满足条件②，则函数()f x ，①不满足， 函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为22ππ=，②不满足. 因此，函数()f x 满足条件的序号为①③；（2）由（1）可知，()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为22T ππ=⨯=，22Tπω∴==， 所以，()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； （3）由()12sin 2106f x x π⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，可得1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. x ππ-≤≤，则11132666x πππ-≤+≤， 所以，5266x ππ+=-或ππ266x 或7266x ππ+=或11266x ππ+=，解得2x π=-或6x π=-或2x π=或56x π=，因此，方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和为5226263πππππ--++=.【点睛】方法点睛：通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是()0,π，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作赣榆智贤中学2014～2015学年度第二学期期末考试高一数学模拟试题命题：韩玉波 审核：徐建 姓名 总分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在题目中的横线上） 1．求值：=-）（419cos π． 2．已知角α的终边经过点)12,5(-P ，则=αsin ． 3．一个样本753，，，x 的平均数是4，则该样本的方差是 ．4．一根长6m 的绳子拉直后在任意位置剪断，所得的两段都不少于1 m 的概率是 ． 5．某商场想通过检查发票及销售记录的2℅来快速估计每月的销售总额，现采用系统抽样，从某本50张的发票存根中随机抽取1张，如15号，然后按顺序往后抽，依次为15，65，115…，则第五个号是 ． 6．函数)2,3(),6sin(πππ-∈-=x x y 的值域是 ．7．如图的算法伪代码运行后，输出的S 为 ．8．在一次选拔运动员中，测得7名选手的身高(单位：cm)茎叶图为：⎪⎪⎪ 1817⎪⎪⎪0 10 3 x 8 9，记录的平均身高为177 cm ，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为 ．9．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0,||2ωϕπ><）的图象的一部分如图所示，SWhile End I I I S I While I int Pr 21241+←-⨯←≤←第7题图第97321-2O xy则 ．10．函数()sin(2)6f x x π=-的单调递增区间是 ．11．函数x x x f cos 2sin 2)(2+-=的最小值为 ．12．已知 ， 则： ． 13．设x ∈R ，向量a (,1)x =，b (1,2)=-，且a ⊥b ，则=+-b a 3 ． 14．已知5(,)6θπ∈π，θθθθcos sin 22cos sin =+，则sin(2)3θπ+= ． 二、解答题：（本大题，15、16、17小题各14分，18、19、20小题各16分，共计90分．） 15．一只不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同．, （1）求搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再任意摸出1个球，求至少有一次摸出的球是红球的概率．16．已知c b a ,,在同一平面内，且 ． （1）若)3,1(m m c -=，且a c //，求m 的值；（2）若23||=b ，且(2)(2)a b a b +⊥-，求向量a 与b 的夹角．=)(x f =+)6(c πx os 73)3(sin -=-πx ），（21-=a17．已知函数 ．（1）求 的最大值； （2）求 的递减区间；18．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<<）在512x π=处取得最大值3，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调增区间；（3）若42x ππ≤≤，求()f x 的最值．xx x f cos 3sin )(+=)(x f )(x fyxO19．某企业生产A ，B ，C 三种产品，每种产品有M 和N 两个型号．经统计三月下旬该企业的产量如下表（单位：件）．用分层抽样的方法从这月下旬生产的三种产品中抽取50件调查，其中抽到A 种产品10件． （1）求x 的值；（2）用分层抽样方法在C 产品中抽取一个容量为5的样本，将该样本看作一个总体，从中任取两件，求至少有一件是M 型号的概率；（3）用随机抽样的方法从C 产品中抽取8件产品做用户满意度调查，经统计它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把8件产品的得分看作一个样本，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值超过0.5的概率．20．已知圆心在第二象限内，半径为52的圆1O 与x 轴交于)0,5( 和)0,3(两点． （1）求圆1O 的方程； （2）求圆1O 的过点A （1,6）的切线方程；（3）已知点N （9,2）在（2）中的切线上，过点A 作1O N 的垂线，垂足为M ，点H 为线段AM 上异于两个端点的动点，以点H 为中点的弦与圆交于点B ，C ，过B ，C 两点分别作圆的切线，两切线交于点P ，求直线1PO 的斜率与直线PN 的斜率之积．A B C M 200 300 240 N200700x。

一、选择题1．已知3cos 25α=，()0,2απ∈，则sin 4απ+⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A．10B．10-CD．10-2．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ） ABC．410D．4103．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③4．已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---，则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A． B ．12-C ．12D5．已知向量()2,3a =，()4,2b =，那么向量a b -与a 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．夹角是锐角D ．夹角是钝角6．已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足()10OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OAC 的面积之比为3，则λ=（ ） A ．12B ．14C ．34D ．327．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．328．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且AE EB =，2AD DC =，与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ）A ．1AB CD ⋅=- B ．1233BD BC BA =+ C ．3OA OB OC ++=D ．ED 在BC 方向上的投影为769．已知角α顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点()3,4P -，将α的终边逆时针旋转180︒，这时终边所对应的角是β，则cos β=（ ） A ．45-B ．35C ．35D ．4510．一观览车的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面32m （即OM 长），巨轮的半径长为30m ，2AM BP m ==，巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，若点M 为吊舱P 的初始位置，经过t 分钟，该吊舱P 距离地面的高度为（ ）A ．30sin 30122t ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．30sin 3062t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭ C ．30sin 3262t ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭D ．30sin 62t ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 11．已知()()sin 6f x x a b x ππ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，若()0f x ≤在[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ）A ．56 B ．23C ．1D ．212．675︒用弧度制表示为（ ） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 二、填空题13．已知函数()2cos 3sin cos f x x x x =在区间[]0,m 上单调递增，则实数m 的最大值是______. 14．已知π0π2αβ<<<<，3cos 5α=，()3sin 5αβ+=-，则cos β的值为______． 15．在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____. 16．如图，在ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若2BC CD =，且34AE AB AC λ=+，则λ=___________.17．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.18．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.19．若函数π()sin()cos()3f x x x ωω=++的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为__________.20．函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下说法： （1）其中最小正周期为23π； （2）图象关于点(,0)4π对称；（3）由2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度可以得到图象C ； （4）直线4πx =-是其图象的其中一条对称轴． 其中正确命题的序号是__________．三、解答题21．设函数23()3sin cos 3sin 2f x x x x =+-.（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的值域. 22．已知函数2()2cos sin()3sin cos 3f x x x x x x π=+-+．（1）若[,]126x ππ∈-，求函数()f x 的最值；（2）记锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若()0f A =，4b c +=，求△ABC 面积的最大值．23．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+（1）判断,a b 是否共线； （2）若//a c ，求x 的值 24．若,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan 23k x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值总不大于零，求实数k 的取值范围．25．ABC 中，点()2,1A 、()1,3B 、()5,5C . （1）若D 为BC 中点，求直线AD 所在直线方程； （2）若D 在线段BC 上，且2ABDACDSS=，求AD .26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）若1()3f θ=，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据2α是4α的二倍角求出sin α的值，再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角，所以2311cos152sin 4225αα--===， 又()0,2απ∈，所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 44αα===cos所以sin sin sin cos cos sin 4444444απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.2．B解析：B 【分析】由同角三角函数可得in （α6π+）4=5，再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α6π+）6π-]即可. 【详解】 ∵cos （α6π+）3=5（α为锐角）， ∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）4=5， ∴sinα＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6πcos （α6π+）sin 6π4313525210=⋅-⋅=， 故选:B ． 【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.3．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin sin ,sin 2sin 362ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan tan 2tan 36ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||2αα⎛⎫∴=∈ ⎪ ⎪⎝⎭2cos2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos 2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.4．B解析：B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅-sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=， 所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.5．D解析：D 【分析】首先根据题中所给的向量的坐标，结合向量数量积运算法则，求得其数量积为负数，从而得到其交集为钝角. 【详解】因为()2,3a =，()4,2b =，222()23(2432)131410a b a a a b -⋅=-⋅=+-⨯+⨯=-=-<，所以向量a b -与a 的位置关系是夹角为钝角， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有挂向量的问题，涉及到的知识点有向量数量积的运算律，数量积坐标公式，根据数量积的符号判断其交集，属于简单题目.6．A解析：A 【分析】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，由平面向量的线性运算可得OD OE λ=-，进而可得13OACAEC S S =△△，即可得解. 【详解】分别取AC 、BC 的中点D 、E ，连接DE 、AE ，如图，所以DE 是ABC 的中位线，因为()10OA OB OC λλ+++=，所以()OA OC OB OC λ+=-+， 所以OD OE λ=-，所以D 、E 、O 三点共线，所以111363OAC OAB ABC AEC S S S S ===△△△△，所以13OD ED =即12OD OE =-，所以12λ-=-即12λ=.故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量共线、线性运算及基本定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.7．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =|，∴225AB OA OB =+= ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示； 则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =， 即()(155,55m n =，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,55EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭，解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，当34λ=时，551,5102ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,5102ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 8．D解析：D 【分析】利用CE AB ⊥，判断出A 错误；由2AD DC =结合平面向量的基本定理，判断出选项B 错误；以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出OA OB OC ++的值，判断出选项C 错误；利用投影的定义计算出D 正确． 【详解】由题E 为AB 中点，则CE AB ⊥，0AB CE ⋅=，所以选项A 错误；由平面向量线性运算得2133BD BC BA =+，所以选项B 错误； 以E 为原点，EA ，EC 分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，()0,0E ，1,0A ，()1,0B -，(3C ，1233D ⎛ ⎝⎭， 设()0,O y ，(3y ∈，()1,BO y =，123,33DO y ⎛=-- ⎝⎭， //BO DO ，所以，2313y y =-，解：3y =， 322OA OB OC OE OE OE ++=+==，所以选项C 错误； 123,33ED ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1,3BC =，ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==，故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向量的坐标表示，属于中档题．9．B解析：B 【分析】先根据已知条件求解出cos α的值，然后根据,αβ之间的关系结合诱导公式求解出cos β的值. 【详解】 因为3cos 5α==，且180βα=+︒， 所以()3cos cos 180cos 5βαα=+︒=-=-， 故选：B. 【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点(),P x y 为角α终边上任意一点且不与原点重合，r OP =，则()sin ,cos ,tan 0y x yx r r xααα===≠. 10．B解析：B 【分析】先通过计算得出转动的角速度，然后利用三角函数模型表示在转动的过程中点B 的纵坐标满足的关系式，则吊舱到底面的距离为点B 的纵坐标减2. 【详解】如图所示，以点M 为坐标原点，以水平方向为x 轴，以OM 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.因为巨轮逆时针旋转且每12分钟转一圈，则转动的角速度为6π每分钟， 经过t 分钟之后，转过的角度为6BOA t π∠=，所以，在转动的过程中，点B 的纵坐标满足：3230sin 30sin 322662y t t ππππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则吊舱距离地面的距离30sin 32230sin 306262h t t ππππ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B ． 【点睛】建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题：审清楚题目条件、要求、理解数学关系； （2）建模：分析题目变化趋势，选择合适的三角函数模型； （3）求解：对所建立的数学模型进行分析研究，从而得到结论.11．A解析：A 【分析】根据题意分析可得当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，0x a b --≥，从而可得506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解方程即可求解.【详解】当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 06x ππ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭， 当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，sin 06x ππ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，，故当15,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0x a b --≤时，当151,,166x ⎡⎤⎡⎤∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，0x a b --≥， 即506106a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1312a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，所以56a b +=. 故选：A 【点睛】本题考查了三角函数的性质、不等式恒成立，考查了基本运算求解能力，属于中档题.12．C解析：C 【分析】根据弧度制与角度制的关系求解即可. 【详解】因为180π︒=弧度， 所以156********4ππ︒=⨯=， 故选：C二、填空题13．【分析】利用辅助角公式进行化简结合函数的单调性进行求解即可【详解】解：当时∵在区间上单调递增∴得即m 的最大值为故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简考查三角函数的单调性属于基础题解析：6π【分析】利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】 解：()1cos 212sin 2262x f x x x π+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭， 当0x m ≤≤时，266x m ππ≤≤+，∵()f x 在区间[]0,m 上单调递增， ∴262m ππ+≤，得6m π≤， 即m 的最大值为6π. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的单调性，属于基础题.14．【分析】根据角的范围求出和的值再将变成利用两角差的余弦公式即可求得【详解】因为且所以因为所以因为所以所以故答案为：【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式考查了学生的计算能力属于中档题 解析：2425-【分析】根据角的范围，求出sin α和cos()αβ+的值，再将cos β变成cos()αβα+-利用两角差的余弦公式即可求得. 【详解】 因为02πα<<，且3cos 5α=，所以4sin 5α， 因为π0π2αβ<<<<，所以322ππαβ<+<， 因为3sin()5αβ+=-，所以4cos()5αβ+=-， 所以cos cos()βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++433424555525=-⨯-⨯=-.故答案为：2425- 【点睛】本题考查了同角公式以及两角差的余弦公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.15．0【分析】计算得到再利用和差公式计算得到答案【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数关系和差公式意在考查学生的计算能力解析：0 【分析】 计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.16．【分析】利用表示向量再由可求得实数的值【详解】所以则为线段的中点则因此故答案为：【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数考查计算能力属于中等题 解析：14-【分析】利用AB 、AC 表示向量AD ，再由12AE AD =可求得实数λ的值. 【详解】()22BC CD BD BC ==-，所以，32BD BC =， 则()33132222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+， E 为线段AD 的中点，则11332444AE AD AB AC AB AC λ==-+=+，因此，14λ=-.故答案为：14-. 【点睛】本题考查利用平面向量的基底表示求参数，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】由于305OA OB OC =++，所以()()350 OA AB AO AC AO+-+-=，所以935AO AB AC=+，即1539AO AB AC=+.因为BD DCλ=，即()AD AB AC ADλ-=-,化简得111AD AB ACλλλ=+++，设11k kAO k AD AB ACλλλ==+++，所以113519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值解析：cos sin22θθ+【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c，，的坐标，得出向量c的终点C的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c的最大值.【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos,sin,,OA a OB b OC c x yθθ======，，，又()()0a cb c-⋅-=，所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=，所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上，所以c 的最大值为+cos +sin 222OP R θθθ==， 所以c 的最大值为cos sin22θθ+，故答案为：cos sin22θθ+.【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题.19．2（答案不唯一）【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式然后利用正弦函数的周期求解注意题中已知条件是函数的一个周期是并没有说是最小正周期因此只要函数的最小正周期是除以一个正整数都可满足题意【详解】解析：2（答案不唯一） 【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期求解，注意题中已知条件是函数的一个周期是π，并没有说π是最小正周期．因此只要函数的最小正周期是π除以一个正整数，都可满足题意． 【详解】1()sin cos cossin sin(1cos 332f x x x x x x ππωωωωω=+-=+，令cosϕ=，sin ϕ=，且ϕ为锐角，则()sin()f x x ωϕ=+，由2T ππω==，得2ω=，实际上，由2T ππω==得2ω=±，或者2kππω=（k Z ∈且0k ≠），2k ω=（k Z ∈且0k ≠），ω可为任意一个非零点的偶数． 故答案为：2．（填任一非0的偶数都可以）． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的周期，求解三角函数周期，一般是把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数的周期性求解．而我们一般说周期通常是求最值正周期，若题中强调某个数是函数的一个周期，则这个周期不一定是最小正周期．20．（1）（2）（4）【分析】根据正弦型函数周期公式正弦型函数对称中心坐标正弦型函数对称轴等知识逐项验证即可求得答案【详解】对于（1）根据正弦型函数周期公式：可得：函数最小正周期为：故（1）正确；对于（解析：（1）（2）（4） 【分析】根据正弦型函数周期公式，正弦型函数对称中心坐标，正弦型函数对称轴等知识，逐项验证，即可求得答案． 【详解】对于（1），根据正弦型函数周期公式：2T ωπ=可得：函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭最小正周期为：2233T ππ==，故（1）正确； 对于（2），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称中心为(0),k π正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴令334,k Z x k ππ=∈-，解得4,3k k Z x ππ=+∈ ∴其对称中心坐标为(,0),34k k Z ππ+∈ 当0k =时，对称中心坐标为(,0)4π，故（2）正确；对于（3），将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度 可得：392sin 32sin 344y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 92sin 322sin 344x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴将2sin3y x =的图象向右平移34π个单位长度不能得到图象C ，故（3）错误； 对于（4），根据正弦函数sin ()y x x R =∈的图象的对称轴方程为,2x k k Z ππ=+∈，正弦型函数3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭∴令,2334Z x k k πππ=+∈-，解得51,32k k x Z ππ=+∈ 当2k =-时，512342x πππ=+=--，∴3()2sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭一条对称轴4πx =-，故（4）正确；故答案为：（1）（2）（4）． 【点睛】本题解题关键是掌握整体法求正弦函数图象的对称中心和对称轴的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈；（2）3[2-. 【分析】（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解．（2）由图象变换得出()g x ，由整体法可求值域． 【详解】解：（1）()23()22sin 122f x x x =+-=3cos222x x -23x π⎫⎛=- ⎪⎝⎭因为：3222232k x k πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ⇔+≤≤+.所以函数的单调递减区间是511[,] ()1212k k k Z ππππ++∈（2）由题可知， ()))4312g x x x πππ=+-=-.因为1344x ππ-≤≤⇔123123x πππ-≤-≤，所以sin()1212x π-≤-≤.故()g x 在3[,]44ππ-上的值域为3[2-. 【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 如果求函数值域，则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数性质得值域．22．（1）最大值为2，最小值为1（2【分析】（1）利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为()f x ＝2sin（2x +3π），由,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数()f x 的最值； （2）锐角△ABC 中，由f （A ）＝0 可得A ＝3π，利用基本不等式求得bc ≤4，即bc 的最大值为4，由此求得△ABC 的面积1sin 2S bc A =的最大值． 【详解】（1）∵函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++22cos s s sin cos in x x x x x x +=sin 222sin(2)3x x x π==+∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴6π≤2x +3π≤23π， 1sin(2)123x π∴≤+≤ 故函数f （x ）的最大值为2，最小值为1． （2）锐角△ABC 中，由()0f A =可得 sin （2A +)03π=，∴A ＝3π．∵b +c ＝当且仅当b ＝c 时取等号，故bc ≤4，即bc 的最大值为 4．故△ABC 面积1sin 2S bc A ==≤故△ABC 【点睛】关键点点睛：求三角形面积的最值问题，一般需要利用面积公式111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===．根据题目条件选择合适的方法求出两边之积的最值，一般考虑余弦定理及均值不等式，属于中档题. 23．（1）,a b 不共线；（2）23x = 【分析】（1）根据平面向量共线定理判断． （2）由平面向量共线定理计算．【详解】解：（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量， 则有b a λ=，即64(32)m n m n λ-=+，6342λλ=⎧∴⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-， λ∴不存在，即a 与b 不平行.（2） ∵//a c ，∴存在实数r ，使得c ra =， 即32m xn rm rn +=+，即132r x r=⎧⎨=⎩，解得23x =.【点睛】本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线定理是解题基础．24．k ≤【分析】先根据题意得tan 203k x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，进而得πtan 23k x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，在求函数πtan 23y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭最小值即可得答案.【详解】解：根据题意得tan 203k x π⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴πtan 23k x ⎛⎫≤-- ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立． ∵ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ π20,33x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴π0tan 23x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭πtan 203x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴min πtan 23x k ⎡⎤⎛⎫--≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴k ≤ 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.25．（1）35y x =-；（2）55 3AD =. 【分析】（1）求出线段BC 中点D 的坐标，利用斜率公式求得直线AD 的斜率，然后利用点斜式可得出直线AD 所在直线的方程；（2）由2ABD ACD S S =可得2BD DC =，可得23AD AB BC =+，可计算出平面向量AD 的坐标，进而可求得AD 的值.【详解】（1）D 为BC 中点，()3,4D ∴，直线AD 的斜率14323k -==-， 所以直线AD 所在的直线方程为：()433y x -=-，即AD 直线方程为35y x =-； （2）因为2ABD ACD S S =，所以2BD DC =，则23BD BC =， 又由()()225101,24,2,3333A B D D A AB B B C =+⎪⎛⎫==-+=+ ⎝⎭，所以5 333AD ⎛== ⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形面积的倍数关系求向量的模，考查计算能力，属于中等题.26．（1）()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，223f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）23. 【分析】 （1）由三角函数的定义得到()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，进而代入计算； （2）由已知得1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将所求利用诱导公式转化即得. 【详解】解：（1）因为12A ⎫⎪⎪⎝⎭， 所以6xOA π∠=，由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以2251sin sin 23362f f ππππ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22sin 63πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考査三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想. 已知1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时要将已知中的角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.。

一、选择题1．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）.A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数 D ．π4f x ⎛⎫+⎪⎝⎭是奇函数 3．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且3h =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ）A ．B ．C ．4D ．64．已知A 是函数()3sin(2020)sin(2020)2623f x x x ππ=++-的最大值，若存在实数1x ，2x 使得对任意实数x ，总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x 的最小值为（ ）A ．2020πB ．1010π C ．32020πD 5．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （ ） A ．3B ．4C ．3D ．26．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭7．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =2BC =，13BE BC =，则（ ）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+C．5163AE AB AD=+D．5166AE AB AD=+8．设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．33B．3C．12D．19．已知函数()sin()(f x A x Aωϕ=+，ω，ϕ是常数，0A>，0>ω，0)2πϕ<<的部分图象如图所示.为了得到函数()f x的图象，可以将函数2siny x=的图象（）A．先向右平移6π个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变B．先向左平移6π个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C．先向左平移3π个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变D．先向左平移3π个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变10．若函数()sin2f x x=与()2cosg x x=都在区间(),a b上单调递减，则b a-的最大值是（）A．π4B．π3C．π2D．2π311．如果一个函数在给定的区间上的零点个数恰好为8，则称该函数为“比心8中函数”.若函数()2sin()1f x xωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上的“比心8中函数”，则ω的取值范围是（）A．4149,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．4953,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．3741,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．[8,9)12．下列函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上是增函数的是（ ） A ．()22xxf x -=- B ．()23f x x =-C ．()2ln =-f x x D．()cos3=f x x x二、填空题13．在ABC ∆中，5AB =，BAC ∠的平分线交边BC 于D .若45ADC ∠=.=5BD ，则sin C =___________.14．化简4cos803tan10︒︒+=________.15．已知角θ的终边经过点(4,3)P -，则22cos sin 122sin()4--=+θθπθ_____________．16．设1e ，2e 是单位向量，且1e ，2e 的夹角为23π，若12a e e =+，122b e e =-，则a在b 方向上的投影为___________．17．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.18．如图，从气球A 上测得正前方的B ，C 两点的俯角分别为75︒，30，此时气球的高是60m ，则BC 的距离等于__________m .19．已知平面向量a ，b 满足1a =，2a b -与2b a -的夹角为120°，则2b 的最大值是_______.20．给出下列命题：①函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭； ②若α，β为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，则ABC ∆必有两解.④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.其中正确命题的序号是 _________（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题21．已知函数2()2cos sin()3sin sin cos 3f x x x x x x π=+-+．（1）若[,]126x ππ∈-，求函数()f x 的最值；（2）记锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若()0f A =，4b c +=，求△ABC 面积的最大值．22．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图像如图所示，π12，7π12是函数的两个相邻的零点，且图像过()0,1-点．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭的单调增区间以及对称轴方程． 23．已知()3,2a =-，()2,1b =，O 为坐标原点.（1）若ma b +与2a b -的夹角为钝角，求实数m 的取值范围；（2）设OA a =，OB b =，求OAB 的面积.24．如图，在矩形OABC 中，22OA OC ==，将矩形OABC 绕着顶点O 逆时针旋转，得到矩形OA B C '''，记旋转的角度为θ，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭旋转前后两个矩形公共部分的面积为()S θ.（1）求3S π⎛⎫⎪⎝⎭； （2）若()728S θ=，求sin θ. 25．已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－c osωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围 26．如图，在OAB 中，P 为线段AB 上一点，且OP xOA yOB =+.()1若AP PB =，求x ，y 的值；()2若3AP PB =，4OA =，2OB =，且OA 与OB 的夹角为60︒，求OP AB ⋅的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得 原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解； 二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 2．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 44422f b a a b ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=，所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A ：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<， 当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.3．C解析：C 【分析】由余弦定理化简可得2222cos c b a a A b c bc bc++=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，故：22222222cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc +++++===+， 而2111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，故2sin a A =，所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π++=+=+=+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．4．C解析：C 【分析】利用三角恒等变换化()f x 为正弦型函数，由此求出A 、T 以及12x x -的最小值，可得解. 【详解】()3sin(2020))263f x x x ππ=+-，392020cos 2020cos 202020204444x x x x =+-+，320220cos 2020x x=-3sin(2020)6x π=-， ∴max ()3A f x ==，又存在实数1x ，2x ，对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立， ∴2max ()()2f x f x ==，1min ()()2f x f x ==-， 则12x x -的最小值为函数()f x 的半个最小正周期长度，12min 1122220202020x x T ππ∴-==⨯=∴()12min32020A x x π⋅-=， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．5．A解析：A 【解析】分析：根据题设条件2213a b -=，平方化简，得到关于b 的方程，即可求解结果. 详解：由题意，(3,1)a =-且向量a 与b 的夹角为23π， 由2213a b -=，则222222444442cos523a ba b a b b b π-=+-⋅=+-⨯=， 整理得2120b b +-=，解得3b =，故选A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．D解析：D 【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x的取值范围. 【详解】 设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-， 所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.7．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =， 又13BE BC =， 则()1133AE AB BE AB BC AB BA ADDC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.8．B解析：B 【分析】利用向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD ==，b BC =，a b BD +=,23ABC π∠=，3DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==， a b a b ∴==+， 2222222==222a tb a tb a tb bbb+++，a b =，22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb b b bπ++++=， 22222222244cos4231244a t a b t b a t aa t a t t baπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb b+的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值.9．D解析：D 【分析】先根据函数图象求出函数()f x 的解析式，由三角函数图象的变换即可求解. 【详解】 由图可知，1741234A T πππ==-=，， 所以T π=，即2ππω=，解得2ω=.当712x π=时，73π22π,122k k Z πϕ⨯+=+∈, 所以 2,3k kZ πϕπ=+∈又2πϕ<，所以3πϕ=.所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.将y x =的图象先向左平移3π个单位长度，得到)3y x π=+，.再将所得图象的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到())3f x x π=+. 故选：D 【点睛】易错点点睛：图象变换的两种方法的区别，由sin y x =的图象，利用图象变换作函数()()()sin 0,0y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是ϕω个单位． 10．C解析：C 【分析】根据题意求出(),()f x g x 原点附近的单调递减区间，根据递减区间分析可得max 3π4b =，min π4a =，相减即可. 【详解】 解：由题意函数()sin 2f x x =在π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数()2cos g x x =在()0,π上单调递减， 所以则max 3π4b =，min π4a =，所以b a -的最大值为3πππ442-=. 故选：C. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.11．A解析：A 【分析】根据题意问题转化为方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解，根据正弦函数的图像与性质可求得1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第8个解为416x ω=、第9个解为496x ω=，则4149166ωω≤<，解不等式即可. 【详解】根据题意，函数()2sin()1f x x ωπ=-，(0)>ω是区间[0,1]上零点个数为8，即方程1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上有8个解， ∴26x k πωππ=+或52,6x k k Z πωππ=+∈， 当0k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第1个解16x ω=，取第2个解56x ω=； 当1k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第3个解136x ω=，取第4个解176x ω=； 当3k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第7个解376x ω=，取第8个解416x ω=； 当4k =时，1sin()2x ωπ=在区间[0,1]上取第9个解496x ω=. 则4149166ωω≤<，解得414966ω≤<. 故选：A12．C解析：C 【分析】利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD 错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B 错误，C 正确即可. 【详解】选项A 中，()22xxf x -=-，定义域R ，()()()2222xx x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项D 中，()cos3=f x x x ，定义域R ，()()()cos 3cos3f x x x x x f x -=--=-=-，则()f x 是奇函数，不符合题意；选项B 中，()23f x x =-，定义域R ，()()()2233x x f x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数，但二次函数()23f x x =-在在(),0-∞上是减函数，在()0,∞+上是增函数，故不符合题意；选项C 中，()2ln =-f x x ，定义域为(),0-∞()0,+∞，()()2ln 2ln f x x x f x -=--=-=，则()f x 是偶函数.当()0,x ∈+∞时，()2ln f x x =-是减函数，所以由偶函数图象关于y 轴对称可知，()f x 在(),0-∞上是增函数，故符合题意. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：定义法判断函数()f x 奇偶性的方法：（1）确定定义域关于原点对称； （2）计算()f x -；（3）判断()f x -与()f x 的关系，若()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若两者均不成立，则()f x 是非奇非偶函数.二、填空题13．【分析】由已知结合正弦定理可求结合为的平分线可得再由结合和角正弦公式即可求解【详解】中由正弦定理可得所以为的平分线即故答案为：【点睛】本题考查角的正弦值的计算涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用考 解析：25【分析】由已知结合正弦定理可求sin BAD ∠，结合AD 为BAC ∠的平分线可得BAD CAD ∠=∠，再由()sin sin 45C DAC =∠+，结合和角正弦公式即可求解.【详解】ABD ∆中，由正弦定理可得，55sin135=，所以10sin BAD ∠=， AD 为BAC ∠的平分线即10sin sin 10BAD CAD ∠=∠=， ()102310225sin sin 45C DAC ∴=∠+∠=⨯+⨯=. 故答案为：25.【点睛】本题考查角的正弦值的计算，涉及正弦定理以及两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.14．1【分析】利用诱导公式得到通分整理后由利用两角差的正弦公式展开化简后得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值利用两角差的正弦公式进行化简求值属于中档题解析：1【分析】利用诱导公式，得到cos80sin10︒︒=，通分整理后，由()sin 20sin 3010︒︒︒=-，利用两角差的正弦公式，展开化简后，得到答案. 【详解】4cos80︒︒2sin 20cos10︒︒︒+= ()2sin 3010cos10︒︒︒︒-=2sin 30cos102sin10cos30cos10︒︒︒︒︒︒-+=1==. 故答案为：1.【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值，利用两角差的正弦公式进行化简求值，属于中档题.15．7【分析】根据角终边定义得将所求分式用倍角公式和差公式化简化为齐次式代化简即可【详解】解：由角的终边经过点得所以故答案为：7【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点则；（2）角终边任意一点则；解析：7 【分析】根据角终边定义得3tan 4θ=-，将所求分式用倍角公式、和差公式化简，化为齐次式，代3tan 4θ=-化简即可.【详解】解：由角θ的终边经过点(4,3)P -得3tan 4θ=-所以222cos sin 1(2cos 1)sin cos sin 22sin cos )coscos sin )444-----==+++θθθθθθπππθθθθθ31cos sin 1tan 473sin cos tan 114θθθθθθ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++-+.故答案为：7 【点睛】任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠； （2）角α终边任意一点(,)P x y ，则sin tan (0)yx xααα===≠； 16．【分析】根据平面向量数量积的定义求出与并计算出平面向量的模再利用公式即可求解【详解】由平面向量的数量积的定义可得即所以在方向上的投影为故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义以及向量的【分析】根据平面向量数量积的定义求出12e e ⋅与a b ⋅，并计算出平面向量b 的模b ，再利用公式，即可求解. 【详解】由平面向量的数量积的定义，可得1221211cos11()322e e e e π⋅=⋅=⨯⨯-=-， 222222111111()(2)22122a b e e e e e e e e ⋅=+-=+⋅-=--=，22221112221(2)4444()172e e e e e e b =-=-⋅+=-⨯-+=，即7b =，所以a 在b 方向上的投影为12147a b b⋅==.. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.17．【分析】将均用表示出来进而将表示成与相关可以求出同时可用表示即可求出结果【详解】因为因此故答案为：【点睛】研究向量的数量积一般有两个思路一是建立平面直角坐标系利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基解析：58【分析】将,,,BA CA BF CF 均用,BC AD 表示出来，进而将BA CA ⋅，BF CF ⋅表示成与,FD BC 相关，可以求出 2223,827FD BC ==，同时BE CE ⋅可用,FD BC 表示，即可求出结果. 【详解】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58. 【点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．18．【分析】由题意画出图形由两角差的正切求出的正切值然后通过求解两个直角三角形得到和的长度作差后可得答案【详解】由图可知在中在中河流的宽度等于故答案为：【点睛】本题给出实际应用问题求河流在两地的宽度着重解析：1)【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15︒的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案． 【详解】由图可知，15DAB ∠=︒()tan 45tan 30tan15tan 453021tan 45tan 30︒-︒︒=︒-︒==-+︒︒在Rt ADB 中，60AD =(tan15602120DB AD ∴=⋅︒=⨯=-在Rt ADC 中，60,60DAC AD ∠=︒=tan 60DC AD ∴=⋅︒=()()1201201BC DC DB m ∴=-=-=∴河流的宽度BC 等于)1201m故答案为：1) 【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在,B C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．19．【分析】设设则有联立四个方程令整理得到从方程有根判别式大于等于零求得结果【详解】设由题意可知则由与夹角为所以①且②③④因为联立①②③④令即整理得将其看作关于的方程若方程有解则有整理得解得因为所以的最【分析】设设2a b c =-，2b d a =-，则有cos120c d c d ⋅=︒，22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，联立四个方程，令21,m b n a b =+=⋅，整理得到2228204330n mn m m -+-+=，从方程有根，判别式大于等于零求得结果.【详解】设2a b c =-，2b d a =-，由题意可知，则由c 与d 夹角为120︒， 所以cos120c d c d ⋅=︒，①且22(2)(2)522c d a b b a a b a b ⋅=-⋅-=⋅--，②2222(2)44c a b a a b b =-=-⋅+，③ 2222(2)44d b a b a b a =-=-⋅+，④因为11,cos1202a =︒=-， 联立①②③④，2222244104444b a b a a b b b a b a +-⋅=-⋅+⋅-⋅+，令21,m b n a b =+=⋅，即410m n -=2222168010044316161212129m mn n m mn m mn n n m n -+=---+++--，整理得2228204330n mn m m -+-+=，将其看作关于n 的方程，若方程有解，则有22(20)428(433)0m m m ∆=-⨯⨯-+≥，整理得2770m m -+≤，解得7722m +≤≤因为21m b =+，所以2b 1-=，. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题思路如下： （1）根据向量数量积的定义式求得两向量的数量积； （2）根据向量数量积运算法则求得其结果；（3）利用向量的平方与向量模的平方相等，得到等量关系式；（4）联立，从方程有根，判别式大于等于零，得到不等关系式，求得结果.20．①③【分析】分别利用余弦函数的对称性正切函数的单调性正弦定理三角函数图象变换等知识对各个命题判断【详解】①令是函数的一个对称中心①正确；②若它们为第一象限角且但②错；③在中内角所对的边分别为若∵∴∴解析：①③ 【分析】分别利用余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识对各个命题判断． 【详解】 ①，令55()4cos()4cos()012632f ππππ-=-+=-=，5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个对称中心，①正确；②若136απ=，3πβ=，它们为第一象限角，且αβ>，但tan tan 3αβ=<=②错；③在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若40a =，20b =，25B =︒，sin sin 2sin 251a BA b==︒<，∵b a <，∴B A <，∴A 可能为锐角，也可能为钝角，则ABC ∆有两解，③正确；④函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得到sin 2()sin(2)42y x x ππ=+=+的图象，④错． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握三角函数的图象与性质是解题关键．本题需要掌握余弦函数的对称性，正切函数的单调性，正弦定理，三角函数图象变换等知识，属于中档题．三、解答题21．（1）最大值为2，最小值为1（2【分析】（1）利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为()f x ＝2sin （2x +3π），由,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数()f x 的最值； （2）锐角△ABC 中，由f （A ）＝0 可得A ＝3π，利用基本不等式求得bc ≤4，即bc 的最大值为4，由此求得△ABC 的面积1sin 2S bc A =的最大值． 【详解】（1）∵函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++22cos s s sin cos in x x x x x x -+=sin 222sin(2)3x x x π==+∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴6π≤2x +3π≤23π， 1sin(2)123x π∴≤+≤ 故函数f （x ）的最大值为2，最小值为1． （2）锐角△ABC 中，由()0f A =可得 sin （2A +)03π=，∴A ＝3π． ∵b +c ＝当且仅当b ＝c 时取等号，故bc ≤4，即bc 的最大值为 4．故△ABC 面积1sin 2S bc A ==≤故△ABC 【点睛】关键点点睛：求三角形面积的最值问题，一般需要利用面积公式111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===．根据题目条件选择合适的方法求出两边之积的最值，一般考虑余弦定理及均值不等式，属于中档题.22．（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【分析】 （1）先利用图象解得周期和ω，再结合π3f A ⎛⎫=⎪⎝⎭, ()01f =-，解得ϕ和A ，即得解析式；（2）先根据解析式化简()g x ，再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.【详解】解：（1）由图可知7212122T πππ=-=，周期T π=，故22T πω==， 由π12，7π12是函数的两个相邻的零点，则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值， 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈， 又ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=-， 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，得2A =， 所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+，k Z ∈时，5ππ11ππ242242k k x +≤≤+，()g x 单调递增， 所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 令ππ4π32x k -=+，对称轴方程为5π244k x π=+，k Z ∈． 【点睛】思路点睛：解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.23．（1）116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）72S =. 【分析】 （1）由题意，求得,2ma b a b +-的坐标，令()()20ma b a b +⋅-<，解得65m <，再由当12m =-时，得到2a b -与ma b +方向相反，求得12m ≠-，即可求解； （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅，结合向量的夹角公式和向量的坐标运算，即可求解.【详解】（1）由题意，向量()3,2a =-，()2,1b =，可得()32,21ma b m m +=+-+，()21,4a b -=--，令()()20ma b a b +⋅-<，即32840m m --+-<，解得65m <， 当12m =-时，12ma b a b +=-+， 此时2a b -与ma b +方向相反，夹角为π，不合题意，∴12m ≠-， 综上可得，实数m 的取值范围为116,,225⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）设AOB θ∠=，OAB 面积为S ，则1sin 2S a b θ=⋅， 因为222sin 1cos 1a b a b θθ⎛⎫⋅ ⎪=-=- ⎪⋅⎝⎭， 又由()3,2a =-，()2,1b =， 可得()22222224sin 651649S a b a b a bθ=⋅=-⋅=-=，解得72S =， 即OAB 的面积为72OAB S=. 【点睛】 本题主要考查了向量的角公式，向量的数量积的坐标运算的综合应用，其中解答中熟记向量的基本概念，以及向量的数量积和夹角公式的坐标运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.24．（1）36S π⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1sin 3θ=.【分析】（1）作出图形，可知公共部分区域为直角三角形，计算出两直角边的长，由此可求得该直角三角形的面积；（2）分6πθ=、06πθ<<、62ππθ<<三种情况讨论，求出()S θ的表达式，结合()728S θ=可求得sin θ的值. 【详解】（1）当3πθ=时，A '点在矩形OABC 外部，公共部分形状为三角形，设A O BC D '⋂=，则6COD π∠=，3tan 63CD CO π==， 则1133132236S CD CO π⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭；（2）①当6πθ=时，点A '在线段BC 上，此时，223A C A O OC ''=-=，113136222S OC A C π⎛⎫'=⨯=⨯⨯= ⎪⎝⎭； ②当06πθ<<时，公共部分为四边形，A '点在矩形OABC 内部，过点A '作线段AB 的平行线，分别交线段AO 、BC 于点E 、F ，设A B BC G ''⋂=，则有如下长度：2cos OE θ=，22cos AE θ=-，2sin A E θ'=，12sin A F θ'=-，()12sin tan FG θθ=-，则()OEA A FG OABC AEFB S S S S S θ''=---△△矩形矩形，即()()()()111222cos 2cos 2sin 12sin 12sin tan 22S θθθθθθθ=⨯---⨯⨯-⨯-- ()2sin 12sin 45sin 2cos 2sin cos 2cos 2cos θθθθθθθθ--=--=， 由题知45sin 722cos 8θθ-=，两边同时平方得221640sin 25sin 494cos 32θθθ-+=， 由22cos 1sin θθ=-，整理得2249sin 320sin 790θθ-+=，即()()3sin 183sin 790θθ--=，因为06πθ<<，所以1sin 2θ<，故1sin 3θ=； ③当62ππθ<<时，公共部分为三角形，且()1372136228S S πθ⎛⎫<=⨯⨯=< ⎪⎝⎭，不合题意； 综上所述，1sin 3θ=. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键就是找出θ的临界情况，然后对θ的取值进行分类讨论，确定公共区域的形状，计算求出()S θ的表达式，结合已知条件求解sin θ的值.25．(1)65π ；(2)1222⎡⎤---⎣⎦, . 【解析】试题分析： (1)整理函数的解析式可得：56ω= ，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为65π ； (2)化简三角函数的解析式()52sin 236f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .试题(1)因为f(x)＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋2sinωx·cosωx ＋λ＝－cos2ωx ＋sin2ωx ＋λ＝2sin ＋λ.由直线x ＝π是y ＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋ (k ∈Z)，即ω＝＋ (k ∈Z)．又ω∈，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y ＝f(x)的图象过点，得f＝0， 即λ＝－2sin ＝－2sin ＝－，即λ＝－. 故f(x)＝2sin －，由0≤x≤，有－≤x －≤， 所以－≤sin ≤1，得－1－≤2sin x －－≤2－. 故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]． 26．()112x y ==；()23-. 【分析】 ()1用OA ，OB 表示出OP ，根据平面向量的基本定理得出x ，y 的值； ()2用OA ，OB 表示出OP ，AB ，代入数量积公式计算即可.【详解】解：()1若AP PB =，则OP OA OB OP -=-， 即1122OP OA OB =+，故12x y ==. ()2若3AP PB =，则33OP OA OB OP -=-， 即1344OP OA OB =+， 所以()221311344424OA OB OB OA O OP A OA O B B OB A ⎛⎫+⋅-=--⋅=⋅+ ⎪⎝⎭ 22221131113cos60442234244224OA OA OB OB -⋅⋅︒+=-⨯-⨯⨯⨯=-+⨯=-. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理，考查向量的数量积运算，属于中档题.。

江苏省灌南高级中学高一数学期末考试模拟必修4综合检测题（一）一.填空题:1. sin15︒sin75︒= ;2．已知函数)0)(6cos()(>-=ωπωx x f 的最小正周期为,5π则=ω .3.若向量a 、b 为两个非零向量,且|a |=|b |=|a +b |,则向量a 与a +b 的夹角为 ;4.已知P 是△ABC 所在平面内一点,若CB PA PB λ=+u u u r u u u r u u u r,其中λ∈R,则点P 一定在直线 上；5.若θ为锐角,且sin2θ=a ,则sin θ+cos θ等于6.已知sin α=35,α是第二象限的角,且tan(α+β)=1,则tan β=7.设f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)+4(a ,b,α,β为常数),且f (2004)=5,则f (2005)= ；8.已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=5,若(a +b )·c =52,则a 与c 的夹角为 ；9.在平行四边形 ABCD 中,AC u u u r =a ,BD u u u r=b ,则BC =u u u r _____________(用a ,b 表示).10.已知A(1,2),B(3,4),C(5,8),且()12OD OA OC =+u u u r u u u r u u u r,则向量BD u u u r 的坐标为_______.11.化简:2tan()cos 242cos ()4πααπα+=- ______________.12.cossin22αα-=且α是第二象限角,则α2是第 象限角. 13.已知|a |=2,|b |=2,a 与b 的夹角为45︒,要使(λb -a )⊥a ,则λ= . 14.在△ABC 中,下列三角表达式:①sin(A+B)+sinC,②cos(B+C)+cosA,③tan A+B 2tan C2,④cos A+B 2cos C2,其中恒为定值的有__________(请将你认为正确的式子的序号都填上).三.解答题:15.设向量a =(1,2),|b |=52,且a +2b 与2a -b 垂直,求a 与b 的夹角θ.16.已知0<β<π4<α<π2,cos(2α-β)=-1114,sin(α-2β)=437,求sin α+β2的值.17.设=(2,5),=(3,1),=(6,3),在直线OC 上是否存在点M,使⊥,若存在,求出点M 的坐标,若不存在,请说明理由.18.已知偶函数f (x )=cos θsin x -sin(x -θ)+(tan θ-2)sin x -sin θ的最小值是0;(1)求函数f (x )的解析式;(2)求f (x )的最大值及此时x 的集合.19.已知向量a =(cos x ,sin x ),b =(2cos x 2,-2sin x 2),且x ∈2(,]99ππ-,求:(1)a ·b 和|a -b |的取值范围; (2)函数f (x )=a ·b -|a -b |的最小值.20．(本小题满分14分) 已知函数R x x x x x f ∈+-+-=),4sin()4sin(2)32cos()(πππ(I)求函数)(x f 的单调递增区间与对称轴方程； (II)当]2,12[ππ-∈x 时，求函数)(x f 的值域参考答案:一、填空题:1.41.sin15︒sin75︒=sin15︒cos15︒=12sin30︒=14.2.. 103.3π.由向量加法的平行四边形法则知,向量a ,b 的夹角为120︒,a 与a +b 的夹角为60︒. 4.AC.由条件知,CB PB -u u u r u u u r =λPA u u u r ,即CP u u u r =λPA u u u r,∴P 在直线AC 上.. 5. 1+a ∵θ为锐角,∴sin θ+cos θ=1+sin2θ=1+a .6.7.由条件知tan α=-34,∴tan β=tan[(α+β)-α]=tan(α+β)-tan α1+tan(α+β)tan α=1+341-34=7.7.3.∵f (2004)=5,∴a sin α+b cos β+4=5,即a sin α+b cos β=1, ∴f (2005)=a sin(π+α)b cos(π+β)+4=-(a sin α+b cos β)+4=3.8.π32.由条件可得a +b =(-1,-2)=-a ,∴a ·c =-52,∴cos<a ,c >=a ·c |a ||c |=-12,故a 与c 夹角为120︒. 9.12(a +b ). 10.(0,1).11.1.原式=sin(π4+α)cos2α2cos(π4+α)sin 2(π4+α)=cos2αsin(π2+2α)=1.12.三.13.2.由(λb -a )·a =0,得λ=a 2a ·b =42⨯2⨯cos45︒=2.14.②③.∵A+B+C=π,∴cos(B+C)+cosA=0,tan A+B 2tan C2=1.一.解答题:15.解:∵a +2b 与2a -b 垂直,∴(a +2b )·(2a -b )=0,即2a 2+3a ·b -2b 2=0,∴2|a |2+3a ·b -2|b |2=0.∵|a |2=5,|b |2=(52)2=54,代入上式,得2⨯5+3a ·b -2⨯54=0,∴a ·b =-52.∴cos θ=a ·b|a |·|b |=-525·52=-1,∵θ∈[0,π],∴θ=π.16.解: ∵0<β<π4<α<π2,∴π2<2α<π,-π4<-β<0,∴π4<2α-β<π.∵cos(2α-β)=-1114,∴sin(2α-β)=1-(-1114)2=5314.同理可得: -π4<α-2β<π2.又∵sin(α-2β)=437,∴cos(α-2β)=1-(437)2=17.∴cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)]=cos(2α-β)cos(α-2β)+sin(2α-β)sin(α-2β)=(-1114)⨯17+5314⨯437=60-117⨯14=12. ∵π4<α+β<3π4,∴α+β=π3,∴sin α+β2=12. 17.解:设存在点M 满足条件.∵点M 在直线OC 上,∴存在实数λ,使得OM OC λ=u u u u r u u u r ,即OM u u u u r=(6λ,3λ). ∴MA u u u r =(2-6λ,5-3λ),MB u u u r=(3-6λ,1-3λ), ∵MA u u u r ⊥MB u u u r,∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0.即 45λ2-48λ+11=0,解得λ=13或λ=1115,∴OM u u u u r =(2,1)或OM u u u u r =(225,115),∴存在M(2,1)或M(225,115)满足题意.18.解:(1)f (x )=cos θsin x -sin(x -θ)+(tan θ-2)sin x -sin θ=cos θsin x -(sin x cos θ-cos x sin θ)+(tan θ-2)sin x -sin θ =sin θcos x +(tan θ-2)sin x -sin θ, ∵f (x )是偶函数,∴f (-x )=f (x )恒成立,即 sin θcos(-x )+(tan θ-2)sin(-x )-sin θ=sin θcos x +(tan θ-2)sin x -sin θ, 整理得 tan θ=2.∴sin θ=±255,此时f (x )= ±255(cos x -1).又∵f (x )的最小值为0,∴f (x )= -255(cos x -1). (2)当cos x =-1时时,f (x )取得最大值为455,此时自变量x 的取值集合为{x |x =2k π+π,k ∈Z}.19.解:(1)∵a =(cos x ,sin x ),b =(2cos x 2,-2sin x2),∴a ·b =cos x ·2cos x 2+sin x ·(-2sin x 2)=2(cos x ·cos x 2-sin x ·sin x 2)=2cos 3x2,又∵x ∈2(,]99ππ-,∴3x 2∈(,]63ππ-,∴cos 3x 2∈[12,1],∴a ·b 的取值范围是[1,2].而|a -b |=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=1-4cos3x 2+4=5-4cos3x 2, ∴|a -b |∈[1,3].(2)由(1)知函数f (x )=a ·b -|a -b |=2cos 3x2-5-4cos3x 2. 设5-4cos 3x 2=t ,则t 2=5-4cos 3x 2,2cos 3x 2=5-t 22,∴f (x )= 5-t 22-t =-12t 2-t +52=-12(t +1)2+3,t ∈[1,3],故当t =3时,函数f (x )取得最小值1- 3.20.（1）)4sin()4sin(2)32cos()(πππ+-+-=x x x x f Θ).cos )(sin cos (sin 2sin 232sin 21x x x x x x +-++=x x x x 22cos sin .2sin 232cos 21-++=)62sin(2cos 2sin 232cos 21π-=-+=x x x x由,,226222Z k k x k ∈+≤-≤-πππππ得Z k k x k ∈+≤≤-,322232ππππ Z k k x k ∈+≤≤-,36ππππ,∴单调递增区间为：Z k k k ∈+-],3,6[ππππ由,,262Z k k x ∈+=-πππ得：,,32Z k k x ∈+=ππ 对称轴方程为,,32Z k k x ∈+=ππ （2）],65,3[62],2,12[πππππ-∈-∴-∈x x Θ因为)62sin()(π-=x x f在区间]3,12[ππ-上单调递增．在区间]2,3[ππ单调递减，所以当)(,3x f x π=取最大值l ．又,21)2(23)12(=<-=-ππf f Θ当12π-=x 时,)(x f 取最小值23-所以函数)(x f 在区间上的值域为]1,23[-.。

智贤中学高一数学期末复习试卷五一、填空题1．一组数据的平均值是5，则此组数据的标准差是．2．函数的最小正周期是.3．某地区对两所高中学校进行学生体质状况抽测，甲校有学生800人，乙校有学生500人，现用分层抽样的方法在这1300名学生中抽取一个样本．已知在甲校抽取了48人，则在乙校应抽取学生人数为．4．从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是．5．已知.角的终边与单位圆交点的横坐标是，则的值是___．6．已知，则________.7．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为________．8．在中，，则为三角形．9．执行如右图所示的程序框图，则输出的值为_____________;10．函数的对称轴方程为x=______________．11．在区间[-3，3]上随机取一个数x，使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为．12．已知向量，，，若三点共线，则实数的值为_ ．13．设，向量，，且，则．14．设的值等于____________.二、解答题15．已知，，是三角形三内角，向量，，且.⑴求角；⑵若，求.16．用五点作图法画出函数在一个周期内的图像．17．某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：分组频数频率组别第1组[50，60）8 0 16第2组[60，70） a ▓第3组[70，80）20 0 40第4组[80，90）▓0 08第5组[90，100] 2 b合计▓▓（1）求出的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率18．已知函数在时取得最大值4．(1)求的最小正周期；(2)求的解析式；(3)若,求的值域.19．已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值．20．已知函数，(1)求的最大值和最小值;(2)若方程仅有一解,求实数的取值范围.。

江苏省宿迁中学2010—2011第二学期高一期末模拟考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．函数1sin 2y x =+的最小正周期为 ▲ ．2．已知向量(1,1)x =+-a ，(1,3)x =-b ，若a//b ，则实数x 的值为 ▲ ． 3．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高二年级抽取20人， 高三年级抽取25人，已知该校高一年级共有900人，则该校学生总数为 ▲ 人． 4．已知(1,2)=-a ，(2,3)=-b ，则|2|+=a b ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是 ▲ ． 6．已知||1=a ，||2=b ，3⋅=-a b ，则向量a,b 的夹角为 ▲ ．7．如图在一个圆心角为2弧度，半径为2的扇形内有一个边长为1的正方形，若向扇形内 任投一点，则该点落在正方形内的概率为 ▲ ．8．如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差2s = ▲ ． （参考公式：2211()n i i s x x n ==-∑）I ←１While 5I < I ←1I + S ←23I -End While Print S（第5题）7 7 98 5 7 7 7 7 9 1 3 6（第8题）（第7题）9．将函数sin(2)3y x π=+的图象向右．．平移(0)a a π<<个单位，得到图象的函数解析式为sin 2y x =，则a 的值等于 ▲ ．10．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据：x ∕610元2 4 5 6 8 y ∕610元3040605070根据散点图分析，x 与y 具有线性相关关系，且线性回归方程为$ 6.5y x a =+， 则a 的值为 ▲ ． 11．若3cos()5αβ+=-，12cos()13αβ-=， 则tan tan αβ= ▲ ． 12．先后抛掷两枚质地均匀的骰子（各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），若骰子朝上的面的点数记为a b 、，则事件||2a b -=的概率为 ▲ ．13．化简tan 81tan 21tan 81tan 21tan 300-+o oo o o的结果是 ▲ ．14．在ABC ∆中，已知120A ∠=o，2AB AC ==，D 是BC 边的中点，若P 是线段AD上任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知角α的终边上有一点(3,1)P a -+，a ∈R ． （1）若120α=o，求实数a 的值；（2）若cos 0α<且tan 0α>，求实数a 的取值范围．16．一个算法的流程图如图所示．（1）当[5,3]x ∈-时，求输出y 值的集合A ；（2）在区间[3,7]-内随机取一个实数a ，求a A ∈的概率．开始 输入x2x ≥ＹＮ17．为了了解某校高三年级800名学生的学习负担，我们从中随机抽取20名学生的学习用书，称量其重量，所得到的数据分组及各组频数如下表（单位：kg ）：分组频数 频率 频率 组距 [3.5,5.5) 4 [5.5,7.5)8 [7.5,9.5) 6 [9.5,11.5)2合计20（1） 完成上面的频率分布表，并画出频率分布直方图；（2）根据频率分布表，试估计高三年级学生的学习用书平均重量．．．．； （3）假定学生的学习用书重量(kg)M 满足5.59.5M ≤<时，则称(kg)M 为“标准重量”，根据抽样结果，试估计高三年级学生中学习用书重量为“标准重量”人数．18．已知(sin ,2)α=-a ，(1,cos )α=b ，且⊥a b ． （1）求2cossin cos ααα-的值；（2）若(0,)2πα∈，(,0)2πβ∈-，且10cos()10αβ-=-，求β的值．19．某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD ，AB =50米，BC =253米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE 、EF 和OF ，考虑到小区整体规划，要求O 是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°，如图所示． （1）设∠BOE =α，试将OEF ∆的周长l 表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．20．已知向量a =(2cos ,2sin )x x ，b =(cos ,3cos )x x -，函数()f x =⋅a b ，()()63g x f x ax ππ=++（a 为常数）． （1）求函数()f x 图象的对称轴方程；（2）若函数()g x 的图象关于y 轴对称，求(1)(2)(2010)g g g +++L 的值； （3）已知对任意实数12,x x ，都有1212|coscos|||333x x x x πππ-≤-成立，当且仅当12x x =时取“=”．求证：当23a π>时，函数()g x 在(,)-∞+∞上是增函数．D ABC OEFα数学参考答案与评分标准一．填空题：1．π 2．2- 3．3600 4．5 5．22 6．5150(π)6o或7．148．15 9．π6 10．17.5 11．337 12．29 13．33 14．12-二．解答题：15．解：（1）依题意得,1tan tan12033a α+===--o ， 所以 2a =． ……………………………………………6分 （2）由cos 0α<且tan 0α>得，α为第三象限角，故10a +<，所以1a <-．……………………………………………14分16．解：（1）由流程图知，12(2),2(22),24(2).x x y x x x x -⎧≥⎪⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎪⎩当52x -≤≤-时，[0,6]y ∈ ； 当22x -<<时， (0,2)y ∈； 当23x ≤≤时， [2,4]y ∈．综上所述，输出y 值的集合[0,6]A =……………………………………………10分 （2）记“a A ∈”为事件M ，由几何概型意义知，63M 105P ==（）．…………………………14分 17．解：（1）填表及频率分布直方图如下：分组频数 频率 频率组距 [3.5,5.5)40.200.10[5.5,7.5) 8 0.40 0.20 [7.5,9.5)6 0.30 0.15 [9.5,11.5)2 0.10 0.05 合计2010.50……………………………………………6分（2）各区间的组中值分别为4.5，6.5，8.5 10.5，由此算得平均数约为4.50.20 6.50.408.50.3010.50.107.1⨯+⨯+⨯+⨯=，所以估计高三年级学生的学习用书平均重量约为7.1(kg)． …………10分 （3）由题意知，1480056020⨯=， 所以估计高三年级学生的学习用书重量为“标准重量”人数约为560人．……………14分 18．解：（1）∵⊥a b ，∴g a b =0,即sin 2cos 0αα-=，从而tan 2α=．…………4分∴2cos sin cos ααα-=2222cos sin cos 1tan 121.sin cos tan 1415ααααααα---===-+++……………8分 (2) 由tan 2α=及π(0,)2α∈，得255sin ,cos 55αα==．………………………10分 又π(,0)2β∈-，∴(0,π)αβ-∈， ∴2310sin()1cos ()10αβαβ-=--=, ……………………………………………12分 sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=--- 25105310()510510=⋅--⋅251053102().5105102=⋅--⋅=-………………14分 ∵π(,0)2β∈-，∴π4β=-.．……………………………………………………………16分 19.解：(1)∵在Rt △BOE 中，OB=25, ∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=25cos α.…………2分 在Rt △AOF 中，OA=25, ∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=25sin α.……………………4分 又∠EOF=90°，∴EF=22222525()()cos sin OE OF αα=+=+=25cos sin αα, ∴252525cos sin cos sin l OE OF EF αααα=++=++即25(sin cos 1)cos sin l αααα++=． …………………………………………6分当点F 在点D 时，这时角α最小，求得此时α=π6； 当点E 在C 点时，这时角α最大，求得此时α=π3．故此函数的定义域为ππ[,]63.……………………………………………………………8分(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求OEF ∆的周长l 的最小值即可.由（1）得，25(sin cos 1)cos sin l αααα++=，ππ[,]63α∈设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，∴225(sin cos 1)25(1)501cos sin 12t l t t αααα+++===--……………………………………………12分 由，5ππ7π12412α≤+≤，得3122t +≤≤，∴311212t -≤-≤-， 从而121311t +≤≤+-，……………………………………………………………15分当π4α=，即BE=25时，min 25(21)l =+,所以当BE=AE=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为10000(21)+元.…………16分20．解：（1）依题意得，2()2cos 23sin cos f x x x x =-1cos 23sin 2x x =+-2cos(2)13x π=++． ……………………………………………4分由π2π()3x k k Z +=∈，得ππ()26k x k Z =-∈，即函数()f x 的对称轴方程为ππ()26k x k Z =-∈．……………………………………6分（2）由（1）知()2cos()12cos133g x x ax x ax πππ=+++=-++Q 函数()g x 的图象关于y 轴对称，∴函数()g x 是偶函数，即0a =．故()2cos13g x x π=-+ ……………………………………………8分又函数()g x 的周期为6，(1)(2)(3)(4)(5)(6)6g g g g g g ∴+++++=．∴(1)(2)(2010)2010g g g +++=L ． ……………………………………………11分（3）Q 已知对任意实数12,x x ，都有1212|coscos|||333x x x x πππ-≤-成立∴对于任意12,x x 且12x x <，由已知得121221()coscos()3333x x x x x x ππππ-≤-≤-．∴121122()()2cos12cos133g x g x x ax x ax ππ-=++---12122(cos cos)()33x x a x x ππ=-+-21121222()()()()33x x a x x a x x ππ<-+-=-- Q 23a π>，∴122()()03a x x π--<即当12x x <时，恒有12()()g x g x <．所以当23a π>时，函数()g x 在(,)-∞+∞上是增函数．…………………………16分。

高一数学必修四复习卷(2)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在题中横线上. 1.与︒-660角终边相同的最小正角是 .2.若扇形的周长为12cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为 cm 2.3.函数xxy 2tan 1tan -=的定义域为 . 4.函数x x x x f 2cos cos sin )(=的最小正周期为__________. 5.设点A 在135-︒角的终边上，||2OA =(O 是坐标原点)，则向量OA 的坐标为 .6.与向量(3,4)a =垂直的单位向量为 .7.cos 47sin13sin 47sin 77oooo+的值等于 .8.在ABC ∆中，若B A B A tan tan 33tan tan ⋅=++，则角C 的大小为 .9.函数2sin sin cos ()1cos 2x x x f x x -=+(02x π<<)的最小值为 .10.若函数()sincos 22x x f x a =+的图象关于直线3x π=对称，则常数a 的值等于 . 11.若函数sin y x =()a x b <<的值域是1[1,)2-，则b a -的最大值是________.12.已知不共线向量a ，b ，c 满足a b ++c 0=，且a 与b 的夹角等于150︒，b 与c 的夹角等于120︒，|c |=1，则|b |等于 . 13.已知3cos()33x π-=，则cos(2)3x π+的值等于 . 14.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=，其中λ，μR ，则λμ+的值等于________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分) （1）已知3sin cos 3x x -=，求44sin cos x x +的值； （2）已知7sin cos 13x x +=-(0)x π<<，求cos 2sin x x +的值.16.(本小题满分14分)已知函数2()2cos3sin 142x x f x =+-. （1）求使函数()f x 取得最大值的x 的集合； （2）求函数()f x 的单调减区间；（3）指出函数()f x 的图象可由sin y x =的图象经过哪些变换而得到.17.(本小题满分14分)已知定义域为R 的函数()f x 对任意实数,x y 满足()()2()c f x y f x y f x y ++-=，且(0)0,()12f f π==.（1）求()4f π及3()2f π的值；（2）求证：()f x 为奇函数且是周期函数.18.(本小题满分15分)某直角走廊示意图如图，其两边走廊的宽度均为2m ．(1)过点P 的一条直线与走廊的外侧两边交于,A B 两点，且与走廊的一边的夹角 为(0)2πθθ<<，将线段AB 的长度l 表示为θ的函数；(2)一根长度为5m 的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？请说明理由．19.(本小题满分16分)设两个不共线的向量,OA OB 的夹角为θ，且||3OA =，||2OB =.（1）若3πθ=，求AB OA ⋅的值；（2）若θ为定值，点M 在直线OB 上移动，||OA OM +的最小值为32，求θ的值.20.(本小题满分16分)已知向量()()1,cos ,sin ,3m x n x ωω==()0ω>，函数n m x f ⋅=)(，且)(x f 图象上一个最高点为P )2,12(π，与P 最近的一个最低点的坐标为)2,127(-π. （1）求函数)(x f 的解析式；（2）设a 为常数，判断方程()f x a =在区间[0,]2π上的解的个数；（3）在锐角ABC ∆中，若1)3cos(=-B π，求)(A f 的取值范围.参考答案一、填空题：1.︒602.93.},2,4|{Z k k x k x R x x ∈+≠±≠∈ππππ且 4.2π 5.(1,1)-- 6.43(,)55-或43(,)55- 7.32 8.3π 9.18- 10.3 11.43π 12.2 13.13 14.34二、解答题：15.解：（1）由已知3sin cos 3x x -=， 两边平方得112sin cos 3x x -=，1sin cos 3x x =. ………2分 44sin cos x x +2222227(sin cos )2sin cos 199x x x x =+-=-=. ………5分（2）因为7sin cos 13x x +=-，①两边平方得4912sin cos 169x x +=，1202sin cos 169x x =-， ………7分所以2289(sin cos )12sin cos 169x x x x -=-=. ………9分由于0x π<<，sin cos 0x x <，所以2x ππ<<，于是sin 0x >，cos 0x <，17sin cos 13x x -=，② ………11分 由①②得5sin 13x =，12cos 13x =-， ………13分 所以cos 2sin x x +=12102131313-+=-. ………14分16.解：（1）2()2cos 3sin 142x x f x =+-=)62sin(22sin 32cos π+=+x x x ，………2分当)62sin(π+x =1时，函数()f x 取得最大值2， ………4分令2262πππ+=+k x ，得324ππ+=k x ，∈k Z ， 使函数()f x 取得最大值的x 的集合是∈+=k k x x ,324|{ππZ }. ………6分 （2）令≤+22ππk 23262πππ+≤+k x ，解得384324ππππ+≤≤+k x k ，∈k Z ，函数()f x 的单调减区间为]384,324[ππππ++k k ，∈k Z . ………10分 （3）将sin y x =的图象上每一点向左平移6π个单位长度，再将每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）.或：将sin y x =的图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度，再将每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）. ………14分 17.解：（1）在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取4x π=，4y π=得++)44(ππf 4cos )4(2)44(ππππf f =-，即+)2(πf )4(2)0(πf f =， ………3分又已知(0)0,()12f f π==，所以.22)4(=πf ………4分 在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取x π=，2y π=得++)2(ππf 2cos )(2)2(ππππf f =-，即+)23(πf 0)2(=πf ， ………7分又已知1)2(=πf ，所以.1)23(-=πf ………8分（2）在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取0x =得y f y f y f cos )0(2)0()0(=-++，又已知0)0(=f ，所以0)()(=-+y f y f ，即)()(y f y f -=-，()f x 为奇函数. ………11分 在()()2()cos f x y f x y f x y ++-=中取2y π=得0)2()2(=-++ππx f x f ，于是有0)2()23(=+++ππx f x f ， 所以)2()23(ππ-=+x f x f ，即)()2(x f x f =+π，()f x 是周期函数. ………14分 18.解：(1) 根据图得22(),(0,).sin cos 2l BP AP πθθθθ=+=+∈ (2) 铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：22(),(0,).sin cos 2l BP AP πθθθθ=+=+∈ 所以当4πθ=时，()l θ有最小值42，因为425>，所以铁棒能水平通过该直角走廊．19.解：（1）因为OA OB AB -=，||3OA =，||2OB =，3πθ=， ………4分所以AB OA ⋅.693cos6)(2-=-=-⋅=-⋅=πOA OB OA OA OB OA ………7分（2）因点M 在直线OB 上，故可设()OM OB R λλ=∈， ………9分则||OA OM +2)(OB OA +==2229412cos (23cos )9sin λλθλθθ++=++， ………12分当3cos 2λθ=-时，||OA OM +的最小值为|sin |3θ， ………14分 于是|sin |3θ=32，21sin ±=θ，又0θπ≤<，所以6πθ=或65πθ=. ………16分20.解：（1）()sin 3cos f x m n x x ωω=⋅=+132(sin cos )22x x ωω=+2sin()3x πω=+. ………3分)(x f 图象上一个最高点为P )2,12(π，与P 最近的一个最低点的坐标为)2,127(-π, 7212122T πππ∴=-=，T π∴=，于是22Tπω==. ………5分 所以()2sin(2)3f x x π=+. ………6分 （2）当x ∈[0,]2π时，42333x πππ≤+≤，由()2sin(2)3f x x π=+图象可知：当[3,2)a ∈时，()f x a =在区间[0,]2π上有二解； ………8分当[3,3)a ∈-或2a =时，()f x a =在区间[0,]2π上有一解；当3a <-或2a >时，()f x a =在区间[0,]2π上无解. ………10分 （3）在锐角ABC ∆中，20π<<B ，336πππ<-<-B .又1)3cos(=-B π，故03=-B π，3π=B . ………11分在锐角ABC ∆中,,,2262A AB A ππππ<+>∴<<. ………13分242333A πππ<+<,33sin(2)(,)322A π∴+∈-, ………15分 ()2sin(2)3f A A π∴=+(3,3).∈-即)(A f 的取值范围是(3,3).- ………16分。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作湖南师大附中 高一 年级 数学4 模块结业考试试题卷命题人：高二数学备课组 审题人：高二数学备课组本试题包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟。

满分100分附加20分。

一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填在题后的括号内。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1、8π弧度等于（ ） A 、15° B 、22.5° C 、25° D 、10° 2、已知角α的终边经过点(3,4)P -，则sin α的值等于（ ）A 、35- B 、35 C 、45 D 、45- 3、已知54cos -=α，53sin =α，那么α的终边所在的象限为（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限4、设a 3(,sin )2α=，b 1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝⎭, 且a ∥b ，则锐角α为（ ） A 、30︒ B 、60︒ C 、45︒ D 、75︒ 5、已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A 、150︒ B 、30︒ C 、60︒ D 、120︒ 6、下列函数是奇函数的是（ ）A 、sin y x =B 、cos y x =C 、sin y x =D 、cos y x = 7、下列各式中值等于12的是（ ） A 、2tan 22.51tan 22.5οο- B 、sin15cos15οο C 、22cos sin 1212ππ- D 、1cos32π+8、下列命题正确的个数是（ ）： 姓名： 学号： 考场号： 座位号：①0AB BA +=； ②00AB ⋅=； ③AB AC BC -=； ④00AB ⋅= A 、1 B 、2 C 、3 D 、49、把函数sin()3y x π=-的图象向右平移3π个单位得到的函数解析式为（ ）A 、sin y x =B 、cos y x =C 、 2sin()3y x π=-D 、2cos()3y x π=-10、已知1cos 3α=，2παπ<<，则sin α的值是（ ）A 、23-B 、23C 、223D 、223-二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分。

南京师大附中江宁分校2011~2012学年度第二学期期末调研测试卷高一数学本试卷包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分。

本试卷满分100分，考试时间120分钟。

一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共42分。

1. 已知集合{}4,2,0,1-=P ，{}1|||<=x x Q ，则=⋂Q P __________。

2. 在平面直角坐标系xOy 中，点P （1，2）到直线0534=++y x 的距离为__________。

3. 函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πωx x f （0>ω）的最小正周期为π，则=ω__________。

4. 函数()xx x f 1log 2-=的零点个数为__________。

5. 设向量()2,-=x a ，()1,1-=x b 互相垂直，则实数x 的值为__________。

6. 求值：()︒-870sin ＝__________。

7. 函数()1,012≠>+=-a a ay x 且的图象经过一个定点，则该定点的坐标是__________。

8. 在平面直角坐标系xOy 中，若三条直线052=-+y x ，01=--y x 和03=-+y ax 相交于一点，则实数a 的值为__________。

9. 给出下列命题：①在空间，若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行；②在空间，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线平行； ③在空间，若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线平行； ④在空间，若两条直线都与一个平面垂直，则这两条直线平行；其中，正确命题的序号是 。

（写出所有正确命题的序号） 10. 在等差数列{}n a 中，若10,293==a a ，则=-20132a a __________。

11. 已知正三角形ABC 的边长为2，沿着BC 边上的高AD 将正三角形折起，使得平面ABD ⊥平面ACD （如图），则三棱锥A －BCD 的体积为__________。