分式方程及其解法教学案

分式方程及其解法(2)一、教学目标(一)知识与技能：能熟练解可化为一元一次方程的分式方程，并会验根.(二)过程与方法：经历“分式方程一整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想培养学生的应用意识.(三)情感态度与价值观：培养学生自主探充的意识，提高学生的观察能力和分析能力.二、教学重点、难点重点：能熟练解可化为一元一次方程的分式方程，并会验根.难点：了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值.三、教学过程讨论再讨论一个分式方程一二=-⅛为去分母，在方程两边乘最简公分母(X-5)(户5),得整式方程x+5=10,解得户5尸5是原分式方程的解吗？将x=5代入原分式方程检验，得分母JΓ-5和√-25的值都为0,相应的分式无意义.因此，户5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程一L=Y-的解.实际上，这个分式方程x-5X2-25无解.思考为什么_22_=_以①去分母后所得整式方程的解尸6就是①的解，而」_=30+V30-V x-5X--25 ②去分母后所得整式方程的解x=5却不是②的解呢？方程①两边乘(30+0(30-力，得到整式方程，它的解尸6.当尸6时，(30+v)(30-v)0,这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.方程②两边乘(尸5)G+5),得到整式方程，它的解尸5.当尸5时，(X-5)(x+5)=0,这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解.在这里，我们把k5称它为方程②的增根.验根增根：在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的使分母值为零的根.产生的原因：分式方程两边同乘以一个零因式后，所得的根是整式方程的根，而不是分式方程的根.一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.例1解方程—x-3X解：方程两边乘X(X-3),得2x=3x~9解得x=9检验：当x=9时，X(X-3)≠0所以，原分式方程的解为尸9. 解：方程两边乘(XT)(X+2),得Xa+2)-(AH)(X+2)=3解得x=l检验：当户1时，(ΛH)(X +2)=0,因此尸1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.归纳解分式方程的一般步骤如下：〃是分式方程的解〃不是分式方程的解练习解方程： (1)—=—(2)—=^^+1(3)—=-^—(4)---- r !-=O 2x x+3 x+13x+3x-1x^-1x~+xx"-x解：(1)方程两边乘2x(x+3),得x+3=4x解得x=l检验：当X=I 时，2x(x+3)≠0所以,原分式方程的解为尸1.解：(2)方程两边乘3CrH),得3x=2x+3(x+l)解得x=~∖.5检验：当r=T.5时，3(x+l)≠0所以,原分式方程的解为卡-L5.解：(3)方程两边乘G+1)(x7),得2(x+l)=4解得x=l 检验：当尸1时，(x+l)Cr-D=O,因此尸1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.解：(4)方程两边乘X(X+1)G-1),得5(尸1)-(X+1)=0解得x=l.5检验：当尸】.5时，x(x+l)(χ-l)≠0所以，原分式方程的解为尸1.5.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思这节课主要是讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错.在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错. 例2解方程 上-I=—^ x-1 (X-I)(X+ 2)去分母分式方程——-整式方程最简公分母为0 最简公分母不为0。

分式方程及其解法（1）一、教学目标（一）知识与技能：理解分式方程的概念，会判断分式方程，会解简单的方式方程.（二）过程与方法：经历探索分式方程概念的过程，探索“实际问题”建立模型的方法.（三）情感态度与价值观：培养从实际问题抽象、概括分式方程的数学化思想，体会数学的应用价值.二、教学重点、难点重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解.难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解.三、教学过程一元一次方程只含有一个未知数（元），并且未知数的最高次数为I （次）的整式方程叫做一元一次方程. 1 .下列方程哪些是一元一次方程？(1)3尸5=3： (2)x+2y=5i 2 .请解上述方程(4).2x-i_x+21 --- 3 4解：去分母（方程两边乘12）,得4（2L 1）=3（X +2）T2去括号，得8χ-4=3x+6-12移项，得8Λ-3Λ=6-12+4合并同类项，得5x=-2化系数为1,得广-25列方程有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和15000kg,已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg,分别求这两块试验田每公顷的产量.解：设第一块试验田每公顷的产量为Xkg,那么第二块试验田每公顷的产量是kg.根据题意，可得方程：—150°°X x+3000 观察分母中含有未知数的方程叫做分式方程.注：（1）分式方程的主要特征：含分母且分母里含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数.思考上述分式方程中各分母的最简公分母是（30+力（30w ）解：方程两边乘（30+6（30-箕），得90（30"）=60（30+y ）解得v=6检验：将尸6代入原方程中，左边二』二右边，因此尸6是原分式方程的解. 2由此可知，江水的流速为6km∕h.将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？⑶E ⑷竽二平T90 6030+V 30-V W 2=般方程有什么共同特点?如何解分式方程:90 二 6030+V 30-V归纳解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.9000 15000X x+3000解：方程两边乘X(X+3000),得9000(x+3000)=1500(k解得x=4500检验：将Λ=4500代入原方程中，左边=2=右边，因此x=4500是原分式方程的解.两块试验田每公顷的产量分别是4500kg、7500kg.练习(1)-=—(2)—=—Xx-2x+3x-∖解：(1)方程两边乘Xa~2),得5(χ-2)=7x解得x=~5检验：将产-5代入原方程中，左边=T=右边，因此产-5是原分式方程的解.⑵方程两边乘(X+3)(Λ-1),得2(X H)=X+3解得x=5检验：将产5代入原方程中，左边二L二右边，因此产5是原分式方程的解.4课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法,从而归纳出分式方程的基本解题步骤.在完成解题步骤归纳之后,通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错.。

9．3 分式方程第1课时 分式方程及其解法1．了解分式方程的概念；(重点)2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，知道转化的思想方法在解分式方程中的应用；(重点)3．了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母的值．(难点)一、情境导入1．什么是方程？2．什么是一元一次方程？3．解一元一次方程的一般步骤是什么？我们今天将学习另外一种方程——分式方程．二、合作探究探究点一：分式方程的概念下列方程是分式方程的是( )A.2x ＋1＝3x －1B.23x －1＝32x ＋2 C.12x 2－x ＝1 D.2x －3解析：根据分式方程的定义，分母含有未知数的方程是分式方程，B ，C 选项是整式方程，D 选项是分式，只有A 选项分母含有未知数，并且是方程．故选A.方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，如果分母中含有未知数就是分式方程，分母中不含未知数就不是分式方程．探究点二：分式方程的解法【类型一】 解分式方程解方程：(1)5x ＝7x －2； (2)1x －2＝1－x 2－x－3. 解析：分式方程两边同乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，注意验根． 解：(1)方程两边同乘x (x －2)，得5(x －2)＝7x ，5x －10＝7x ，2x ＝－10，解得x ＝－5.检验：把x ＝－5代入最简公分母，得x (x －2)≠0，∴x ＝－5是原方程的解；(2)方程两边同乘最简公分母(x －2)，得1＝x －1－3(x －2)，解得x ＝2.检验：把x ＝2代入最简公分母，得x －2＝0，∴原方程无解．方法总结：解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③检验；④写出方程的解．注意检验有两种方法，一是代入原方程，二是代入去分母时乘的最简公分母，一般是代入公分母检验．【类型二】 由分式方程的解确定字母的取值范围关于x 的方程2x ＋ax －1＝1的解是正数，则a 的取值范围是____________． 解析：去分母得2x ＋a ＝x －1，解得x ＝－a －1，∵关于x 的方程2x ＋a x －1＝1的解是正数，∴x ＞0且x ≠1，∴－a －1＞0且－a －1≠1，解得a ＜－1且a ≠－2，∴a 的取值范围是a ＜－1且a ≠－2.方法总结：求出方程的解(用未知字母表示)，然后根据解的正负性，列关于未知字母的不等式求解，特别注意分母不能为0.探究点三：分式方程的增根【类型一】 求分式方程的增根若方程3x －2＝a x ＋4x （x －2）有增根，则增根可能为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1解析：∵最简公分母是x (x －2)，方程有增根，则x (x －2)＝0，∴x ＝0或x ＝2.去分母得3x ＝a (x －2)＋4，当x ＝0时，2a ＝4，a ＝2；当x ＝2时，6＝4不成立，∴增根只能为x ＝0.故选A.方法总结：增根是使分式方程的分母为0的根．所以判断增根只需让分式方程的最简公分母为0；注意应舍去不合题意的解．【类型二】 分式方程有增根，求字母的值如果关于x 的分式方程2x －3＝1－m x －3有增根，则m 的值为( ) A ．－3 B ．－2C ．－1D ．3解析：方程两边同乘以x －3，得2＝x －3－m ①.∵原方程有增根，∴x －3＝0，即x ＝3.把x ＝3代入①，得m ＝－2.故选B.方法总结：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【类型三】 分式方程无解，求字母的值若关于x 的分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2无解，求m 的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)得2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，即(m －1)x ＝－10.①当m －1＝0时，此方程无解，此时m ＝1；②方程有增根，则x ＝2或x ＝－2，当x ＝2时，代入(m －1)x ＝－10得(m －1)×2＝－10，m ＝－4；当x ＝－2时，代入(m －1)x ＝－10得(m －1)×(－2)＝－10，解得m ＝6，∴m 的值是1，－4或6.方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．三、板书设计1.分式方程的概念2.分式方程的解法3.分式方程的增根这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．在教学过程中要着重讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式方程在解题后要进行检验，避免解题出错．在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错。

15.3 分式方程
第1课时分式方程及其解法
一、教学目标
1．使学生理解分式方程的意义．
2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．
3．了解解分式方程解的检验方法．从而渗透数学的转化思想．二、教学重点和难点
1．教学重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法．
2．教学难点：检验分式方程解的原因
三、教学过程
(一)复习及引入新课
提问：什么叫方程？什么叫方程的解？
(二)新课
板书：分式方程的定义．
分母里含有未知数的方程叫分式方程．以前学过的方程都是整式方程．
练习：判断下列各式哪个是分式方程．
解：两边同乘以最简公分母2(x+5)得
2(x+1)=5+x 2x+2=5+x x=3．
检验：把x=3代入原方程
左边=右边 ∴x=3是原方程的解．
例2：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
分析：设江水的流速为v 千米/时， 可列方程v 20100＋＝v 2060
－解方程得：v ＝5
检验：v ＝5为方程的解。

所以水流速度为5千米/时。

(三)课堂练习：
(四)小结：谈谈你的收获
(五)布置作业
(六)板书设计
解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根．让学生在学习中讨论从而理解、掌握．启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法．。

《分式方程及其解法》教学案班级 姓名学习目标1. 进一步巩固分式方程的概念。

2.会解分式方程, 掌握其基本思想是把分式方程转化为整式方程。

3.能根据具体问题的实际意义, 列分式方程解决实际问题。

一、 课前预习导学 （先考考你）1. 你能正确识别分式方程吗？ 在① =1, ② =2, ③ = , ④ + =5中是分式方程的有（ ）A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④2 .把分式方程 = 化为整式方程, 方程两边需同时乘以（ ）A. 2xB. 2x-4C. 2x （x-2）D. 2x （2x-4）3.在解方程 + =•1•时，•需要去分母时，•可以把方程两边都乘以_______，•根据是______. 4 .如果解分式方程 - =-2出现增根, 则增根为（ ）A. 0或2B. 0C. 2D. 1二. 课堂学习探究1）: 你会解分式方程吗？（2010绍兴市）3511x x =-+。

（2008南京）22011x x x -=+-2）: （讨论方程无解的问题）: 1.下面分式方程的解法是否正确？ 谈谈你的想法.解分式方程1412112-=-++x x x . 解: 去分母, 方程两边同乘以最简公分母 , 得4)1(2)1(=++-x x解这个整式方程得,∴1=x 是原方程的解讨论: 我们做哪一步时已经埋下了隐患？ 有弥补的办法吗？2．灵活应用：当m 为何值时, 解方程： =0会产生增根？3）: 学以致用（你能完成下面的任务吗）:（2009年长春市）某服装厂装备加工300套演出服, 在加工60套后, 采用了新技术, 使每天的工作效率是原来的2倍, 结果共用9天完成任务, •求该厂原来每天加工多少套演出服．三. 课堂练习巩..1.方程的解.....2.若关于的方程无解, 求的值．3．解方程：（1）4.某工程队承接了3000米的修路任务, 在修好600米后, 引进了新设备, 工作效率是原来的2倍, 一共用30天完成了任务, 求引进新设备前平均每天修路多少米？四、课后拓展延伸: 开放创新点击: 先阅读下列一段文字, 然后解答问题.已知:方程x- =1 的解是x1=2, x2=- ；方程x- =2 的解是x1=3, x2=- ；方程x- =3 的解是x1=4, x2=- ；方程x- =4 的解是x1=5, x2=- .问题：观察上述方程及其解, 再猜想出方程x- =10 的解, 并写出检验．。

5.4分式方程第1课时分式方程及其解法教学目标【知识与技能】1.理解并能够说出分式方程的意义;2.理解并掌握分式方程的解法步骤,掌握验根的方法.【过程与方法】经历探索分式方程的解法的过程,经历解分式方程产生增根和将分式方程转化为整式方程的过程,体会数学中的化归思想.【情感、态度与价值观】在建立分式方程的数学模型的过程中培养克服困难的勇气,并从中获得成就感,提高解决问题的能力.教学重难点【教学重点】理解并掌握分式方程的解法.【教学难点】解分式方程产生增根的原因.教学过程一、情境导入在这一章的第一节《分式》中,我们曾研究过一个“固沙造林,绿化家园”的问题.当时,我们设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要2400x 个月,实际完成一期工程用了2400x+30个月.根据题意,可得方程2400 x −2400x+30=4.像2400x,2400x+30这种分母中含有字母的代数式是分式.而像2400x−2400x+30=4这样的方程我们是第一次遇到,它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界中的数量关系,是一种反映现实世界的数学模型.二、合作探究探究点1分式方程的意义典例1下列方程是分式方程的是()A.12−x3=0 B.4x=-2C.x2-1=3D.2x+1=3x[解析]观察知B项符合题意.[答案]B【技巧点拨】分母中含有未知数的方程叫做分式方程,可见,判断一个方程是否为分式方程,关键看分母里是否有未知数.下列方程:①x−35=1;②3x+1=2;③1+x5+x =12;④x 2+2x 2+1=5;⑤x π+x 2π=4.其中是分式方程的有 ( )A.①②B.②③C.③④D.②③④[答案] D探究点2 分式方程的解法典例2 解下列分式方程:(1)xx−1−2x−1x 2−1=1; (2)2+x 2−x +16x 2−4=-1.[解析] (1)去分母,得x (x +1)-(2x -1)=x 2-1,解得x =2.检验:当x =2时,x 2-1≠0,故分式方程的解为x =2.(2)去分母,得-(x +2)2+16=4-x 2,解得x =2.检验:当x =2时,2-x =0,故分式方程无解.探究点3 分式方程的增根典例3若分式方程3x−a x 2−2x +1x−2=2x 有增根,则实数a 的取值是 ( )A.0或2B.4C.8D.4或8[解析] 去分母,得3x -a +x =2(x -2),由题意得,分式方程的增根为0或2.当x =0时,-a =-4,解得a =4;当x =2时,8-a =0,解得a =8,故a 的值为4或8.[答案] D在将分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使分式方程的分母为零,那么这个根叫做分式方程的增根.产生增根的原因是在方程两边同乘了一个使分母为0的整式,因为解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.检验的方法是检验所得的根是否使分式方程中分母的值等于0.若关于x 的分式方程m x 2−4−1x+2=0无解,则m = .[答案] 0或-4三、板书设计分式方程及其解法分式方程及其解法{ 分式方程的意义分式方程的解法步骤{ 转化解整检验结论增根及其产生的原因教学反思本节课中,让学生自己通过观察、类比的方法找到分式方程的解法,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.。

分式方程的解法___教案一、教学目标1.知识与能力目标（1）掌握分式方程的概念和性质；（2）能够运用合理的方法求解分式方程；（3）能够通过实际问题进行分式方程的建立和求解。

2.过程与方法目标（1）培养学生分析问题、解决问题的能力；（2）培养学生观察、实验和调查的能力；（3）培养学生举一反三的能力。

二、教学重难点1.教学重点（1）分式方程的基本解法；（2）通过实际问题进行分式方程的建立和求解。

2.教学难点通过实际问题建立分式方程并解决问题。

三、教学过程1.检查作业对上节课所布置的分式方程作业进行检查，并讲解其中的一道题。

2.导入新课通过一个简单的例子引入分式方程的概念。

例如：小明和小红一起做数学题，小明做了1/4，小红做了1/3，那么两个人做了几分之一？3.引入问题通过一个实际问题引入分式方程的建立和求解。

例如：甲、乙两家举办一个慈善晚会，甲家准备了1/2的物资，乙家准备了1/3的物资，如果两家都将准备的物资捐献出来，那么能够帮助多少人？4.提出问题根据前面的引入问题，提出新的问题，并让学生进行思考。

例如：如果甲家准备的物资是乙家的两倍，那么能帮助多少人？如果甲家准备的物资是乙家的三倍，那么能帮助多少人？5.分析问题引导学生分析问题，并引入变量，建立分式方程。

例如：设乙家准备的物资为x，那么甲家准备的物资为2x。

根据题意可列出方程：1/2*2x+1/3*x=总物资6.解决问题将分式方程进行化简，求出未知数的值。

例如：(2x)/2+x/3=总物资x+x/3=总物资3x/3+x/3=总物资4x/3=总物资x=总物资*3/47.检验结果将得到的结果带入原方程进行验证。

例如：假设总物资为12，则乙家准备的物资为12*3/4=9，甲家准备的物资为2*9=18、计算结果为：18*1/2+9*1/3=12，结果正确。

8.拓展应用给学生提供一些类似的实际问题，让他们自己建立分式方程并求解。

例如：小刚骑自行车行驶了1/4小时，小明骑自行车行驶了1/3小时，他们的速度相同，小刚骑行的路程是小明的1/6倍，求他们各自骑行的路程。

分式方程的解法教案教案标题：分式方程的解法教案目标：1. 理解分式方程的概念和特点。

2. 掌握分式方程的解法方法。

3. 能够独立解决分式方程的相关问题。

教学重点：1. 分式方程的基本概念和性质。

2. 分式方程的解法方法。

教学难点：1. 将分式方程转化为一次方程进行求解。

2. 解决含有分式方程的实际问题。

教学准备：1. 教师准备：白板、黑板笔、教材、练习册。

2. 学生准备：课本、练习册。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入分式方程的概念：回顾一次方程的概念，并提问学生是否了解分式方程的含义。

2. 引发学生思考：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何用分式方程解决问题。

二、讲解分式方程的基本概念和性质（10分钟）1. 讲解分式方程的定义和基本性质。

2. 通过示例演示如何将分式方程转化为一次方程。

三、分式方程的解法方法（15分钟）1. 教师讲解分式方程的解法方法，包括通分、消去分母等。

2. 通过示例演示不同类型的分式方程的解法步骤。

四、练习与巩固（20分钟）1. 学生进行课堂练习，巩固所学的分式方程解法方法。

2. 教师辅导学生解决练习中的问题，并提供必要的指导。

五、拓展与应用（10分钟）1. 引导学生思考如何将所学的分式方程解法方法应用于实际问题。

2. 提供一些实际问题，让学生独立解决并给出答案。

六、总结与归纳（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结和归纳。

2. 强调分式方程解法方法的重要性，并鼓励学生在课后进行更多的练习。

教学延伸：1. 学生可自行查阅相关教材或网上资料，了解更多关于分式方程的解法方法。

2. 学生可尝试解决更复杂的分式方程问题，提高解题能力。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的学习情况，及时给予指导和反馈。

2. 对学生课堂练习和实际问题的解答进行评估，检查他们对分式方程解法方法的掌握情况。

教学反思：本节课的教学重点是分式方程的解法方法，通过讲解和示例演示，引导学生掌握解题技巧。