配套K12江苏省2019高考数学二轮复习 专题七 应用题 第1讲 函数、不等式中的应用题学案

2019届高考数学（文）二轮复习小题专练（7）1、已知集合{}{}22,1,0,1,2,|20A B x x x =--=--<,则A B ⋂= ( ) A. {}1,0,1- B. {}0,1 C. {}1,2 D. {}1,0,1,2-2、复数1z 、2z 在复平面内的对应点关于原点对称,且12z i =+,则212(1)1z z -+等于( )D.3、已知抛物线24y x =的焦点为F ,过点F和抛物线上一点(2,M 的直线l 交抛物线于另一点N ,则:NF FM 等于( ) A. 1:2 B. 1:3C. 1:D. 1:4、函数()log 42a y x =++ (0a >且1a ≠)的图象恒过点A ,且点A 在角α的终边上,则sin 2α= ( ) A. 513-B. 1213-C.1213 D. 9135、已知0x >,不等式12x x +≥,243x x +≥,3274x x +≥,…,可推广为1n ax n x+≥+,则a 的值为( ) A. 2n B. n n C. 2n D. 222n -6、函数()()()2ln ln f x x e x e x =+-+的图像大致为()A.B.C.D.7、在三角形ABC 中,已知4,1,AB AC ==三角形ABC 则AB AC ⋅= ( ) A. 2± B. 4± C. 2 D. 48、“1x >”是“44x x+≥”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9、如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.18C.12D.36 10、函数 ()()()0,0,0f x Asin x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示,则下列有关()f x 性质的描述正确的是( )A. 7,,Z 122122k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦为其减区间 B. ()f x 向左移12π可变为偶函数C. 23πϕ=D. 7,Z 12x k k ππ=+∈为其所有对称轴 11、设,x y 满足约束条件210{100x y x y m --≤+≥-≤,若目标函数2z x y =-的最小值大于5-,则m 的取值范围为( )A.111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.113,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()3,2-D.(),2-∞12、已知函数()3231f x ax x =-+,若() f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围为( ) A. ()2,+∞ B. ()1,+∞ C. (),2-∞- D. (),1-∞-13、已知某校随机抽取了100名学生,将他们某次体育测试成绩制成如图所示的频率分布直方图.若该校有3000名学生,则在本次体育测试中,成绩不低于70分的学生人数约为__________14、△ABC 中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c .D 是BC 边的中点,且AD =8sin a B =,1cos 4A =-,则△ABC 面积为__________15、如图,在四边形ABCD 中,△ABD 和△BCD 都是等腰直角三角形,ππ,22AB BAD CBD ∠=∠=,沿BD 把△ABD 翻折起来,形成二面角A BD C --,且二面角A BD C --为56π,此时,,,A B C D 在同一球面上,则此球的体积为___________.16、,M N 分别为双曲线220916x y -=左、右支上的点,设v 是平行于x 轴的单位向量,则MN v ⋅的最小值为__________.答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：由题得集合{}|12B x x =-<<,所以{}0,1A B ⋂=.故选B.2答案及解析： 答案：A 解析：3答案及解析： 答案：A解析：设直线):1MF y x =-与抛物线联立得22520x x -+=,解得2x =或12,即12N x =1112:1:2121N M x NF FM x ++∴===++,故选:A.【点睛】本题考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系,熟记焦半径公式,熟练计算是关键,是中档题.4答案及解析： 答案：B解析：对于函数()log 42a y x =++ (0a >且1a ≠), 令41x +=,求得2,2x y =-=,可得它的图象恒过()3,2A -,则sin αα==,则12sin 22sin cos 13ααα==-, 故选:B .根据对数函数的图象经过的定点坐标,利用任意角的三角函数的定义,求得sin α和cos α的值,再利用二倍角的正弦公式,求得sin 2α的值.本题主要考查对数函数的图象经过定点问题,任意角的三角函数的定义,二倍角的正弦公式的应用,属于基础题.5答案及解析： 答案：B 解析：6答案及解析： 答案：A解析：因为() f x 的定义域为(),e e -,()()()()2ln e ln e f x x x x f x -=++-=, 所以函数() f x 为偶函数,排除C; 因为当x e →时, ()f x →-∞,排除B,D, 故选A.7答案及解析： 答案：A 解析：8答案及解析： 答案：A 解析：9答案及解析： 答案：A解析：作一个长,宽,高分别为4,3,3的长方体,根据三视图得该几何体为三棱锥A BCD - (如图),因为三棱锥A BCD -的四个顶点,都在同一个长方体中,所以三棱锥A BCD -体积为11433632A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=,故选A10答案及解析： 答案：B 解析：11答案及解析： 答案：D 解析：12答案及解析： 答案：C解析：当0a =时, ()231f x x =-+有两个零点,不符合题意, 故0a ≠.()()2'3632f x ax x x ax =-=-, 令()'0f x =,得0?x =或2x a=, 当0a >时, () f x 在区间()2,0,,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭内单调递增,在区间20,a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减, 又()010f =>,所以() f x 在区间(),0-∞内存在零点,不满足题意; 当0a <时, () f x 在区间()2,,0,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭内单调递减,在区间2,0a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增,要使存在唯一的零点0x , 且00x >,则需20f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭,解得2a <-, 故选C.13答案及解析：答案：2100⨯++⨯=,故答案为2100. 解析：依题意,所求人数为3000(0.0300.0250.015)10210014答案及解析：解析：15答案及解析：答案：3解析：16答案及解析：答案：6解析：由向量数量积的定义, MN v⋅即向量MN在向量v上的投影与v模长的乘积,故求MN v⋅的最小值,即求MN在x轴上的投影的绝对值的最小值,由双曲线的图像可知MN v⋅的最小值为6.。

专题对点练7导数与不等式及参数范围1.已知函数f(x)= x2+(1-a)x-a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a<0,若对∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.2.设函数f(x)=(1-x2)e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.3.(2018北京,文19)设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.4.已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤--2.专题对点练7答案1.解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x+1-a-,若a≤0,则f'(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)内单调递增;若a>0,则由f'(x)=0得x=a,当0<x<a时,f'(x)<0,当x>a时,f'(x)>0,此时f(x)在(0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增.(2)不妨设x1≤x2,而a<0,由(1)知,f(x)在(0,+∞)内单调递增,∴f(x1)≤f(x2),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|⇔4x1-f(x1)≥4x2-f(x2),令g(x)=4x-f(x),则g(x)在(0,+∞)内单调递减,∵g'(x)=4-f'(x)=4--x+3+a,∴g'(x)= -x+3+a≤0对∀x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤对∀x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤.又=x+1+-5≥2-5=-1,当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.∴a≤-1,故a的取值范围为(-∞,-1].2.解(1)f'(x)=(1-2x-x2)e x.令f'(x)=0得x=-1-,x=-1+.当x∈(-∞,-1-)时,f'(x)<0;当x∈(-1-,-1+)时,f'(x)>0;当x∈(-1+,+∞)时,f'(x)<0.所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)内单调递减,在(-1-,-1+)内单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)e x.当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)e x,h'(x)=-x e x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)≤1,所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.当0<a<1时,设函数g(x)=e x-x-1,g'(x)=e x-1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,故e x≥x+1.当0<x<1时,f(x)>(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.当a≤0时,取x0=,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.综上,a的取值范围是[1,+∞).3.解(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x.所以f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即 (2a-1)e2=0,解得a=.(2)(方法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x=(ax-1)(x-1)e x.若a>1,则当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).(方法二)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)e x.当a=0时,令f'(x)=0,得x=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2e x≥0,∴f(x)在R上单调递增,∴f(x)无极值,不合题意.②当x1>x2,即0∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.③当x1<x2,即a>∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.当a<0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).4.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= +2ax+2a+1=.若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.若a<0,则当x∈时,f'(x)>0;当x∈时,f'(x) <0.故f(x)在单调递增,在单调递减.(2)证明由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-取得最大值,最大值为f=ln-1-.所以f(x)≤--2等价于ln-1-≤--2,即ln+1≤0.设g(x)=ln x-x+1,则g'(x)= -1.当x∈(0,1)时,g'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.所以当x>0时,g(x)≤0.从而当a<0时,ln+1≤0,即f(x)≤--2.。

2019年高考数学真题分类汇编 专题07 不等式 文1.【2018高考天津，文2】设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（ ） (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C【解析】()()513y 2289922z x x x y =+=-++-+?,当 2,3x y == 时取得最大值9,故选C.此题也可画出可行域,借助图像求解,【考点定位】本题主要考查线性规划知识.【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.2.【2018高考浙江，文6】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++【答案】B【解析】由x y z <<，a b c <<，所以()()()ax by cz az by cx a x z c z x ++-++=-+-()()0x z a c =-->，故ax by cz az by cx ++>++；同理，()ay bz cx ay bx cz ++-++()()()()0b z x c x z x z c b =-+-=--<，故ay bz cx ay bx cz ++<++.因为()az by cx ay bz cx ++-++()()()()0a z y b y z a b z y =-+-=--<，故az by cx ay bz cx ++<++.故最低费用为az by cx ++.故选B.考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及不等式比较大小.解答本题时要能够对四个选项利用作差的方式进行比较，确认最小值.本题属于容易题，重点考查学生作差比较的能力.3.【2018高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（ ） (A)-3 (B) 1 (C)43(D)3 【答案】B 【解析】如图，，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43， 再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422(,)33m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43， 化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =;故选B.【考点定位】线性规划与三角形的面积. 【名师点睛】本题考查线性规划问题中的二元一次不等式组表示平面区域，利用已知条件将三角形的面积用含m 的代数式表示出来，从而得到关于m 的方程来求解.本题属于中档题，注意运算的准确性及对结果的检验.4.【2018高考湖南，文7】若实数,ab 满足12a b+=，则ab 的最小值为( ) A B 、2 C 、 D 、4【答案】C【解析】12121002ab a b ab ab a b a b a+=∴=+≥⨯=∴≥，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为，故选C.【考点定位】基本不等式【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．5.【2018高考四川，文9】设实数x，y满足2102146x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy的最大值为( )(A)252(B)492(C)12 (D)14【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy最大值”中，xy已经不是“线性”问题了，如果直接设xy＝k，，则转化为反比例函数y＝kx的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.6.【2018高考广东，文4】若变量x，y满足约束条件224x yx yx+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=+的最大值为（）A．10 B．8 C．5 D．2【答案】C【解析】作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ． 【考点定位】线性规划．【名师点晴】本题主要考查的是线性规划，属于容易题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．解题时要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”，否则很容易出现错误；画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．7.【2018高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,________. 【答案】23【解析】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：a b +≤（0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立），故填：23.【考点定位】基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式222ab a b ≤+转化为a b +≤（a>0,b>0且当且仅当a=b 时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.8.【2018高考新课标1，文15】若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y 的最大值为 ．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z=3x+y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z=3x+y 的最大值为4.考点：简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.9.【2018高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元【答案】D【解析】设该企业每天生产甲乙两种产品分别x ，y 吨，则利润34z x y =+由题意可列0,0321228x y x y x y ≥≥⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =⨯+⨯=，故答案选D 。

第七章不等式也第［讲不等关系与不等式.docx生第2讲一元二次不等式及其解法.docx岂第3讲二元一次不等式（组）与简单的…鸣第4讲基本不等式.docx第1讲不等关糸与不等式一、选择题1.已知a = log2 3.6, b = log4 3.2, c = log4 3.6,则（）A. a> h> cB. a>c>bC. h> a> cD. c>a>b解析因为a〉l,b,c都小于1且大于0,故排除C,D;又因为处都是以4为底的对数,真数大，函数值也大，所以b<c,故选B.答案B2.设0<ZKXl,则下列不等式成立的是（）A.臼B. log〕方〈log〕日〈02 2C・ 2\2X2 D・解析取臼=*, 〃=扌验证可得.答案C3.已知下列四个条件：①b>0>o,②0>a>b,③a>Q>b,④a>b>0,能推出菇*成立的有（）.A.1个B. 2个C. 3个D. 4个解析运用倒数性质，由a>b, ah>0可得知,②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.答案C4.如果a, b, c 满足c<h<a ,且dcvO,那么下列选项中不一定成立的是（ ）•=0时C 不正确•答案c答案D6. 若°、“均为不等于零的实数，给出下列两个条件.条件甲：对于区间r-i,o ］ 上的一切x 值，ax+b>0恒成立；条件乙：2b-a>o,则甲是乙的（）•A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析当［— 1,0］时，恒有ax+h>0成立， /.当 a>0 时，ax+b^b —a>0,当 a<0 时，ax+b^b>0, ：・b —a>0,方>0, /.2b —a>0,A• ab>ac B. c(b —a)>Q C. cb 2<ab 2D. dC (Q —C )<0解析由题意知c<0, tz>0,则A 一定正确; 一定正确；D 一定正确；当h 5・ 若臼>0, b>0,则不等式一b<~<a 等价于（ )•A •-詁V0或0仝B.C. XV —丄或心a bD.解析由题意知日>0, 〃>0, ⑴当 x> 0 时，—b<~< a^x>~； X ⑵当*0时，—£综上所述，不等式-1 Q-. a・••甲乍乙，乙推不岀甲，例如：o=|b, b>0时，则2b_a=gb>0,但是，当兀=一1 时，a-（—\）+b=—^h+h=—^h<0,・・・甲是乙的充分不必要条件.答案A二、填空题7.若&<如b&b，则日0 +臼2矗与臼厶+日2力1的大小关系是 _____ ・解析（日1方1 +辺乙）—（日厶+辺方1） = （&] —辺）（方1 —乙）>0・答案日]方1 +日厶>日厶+日2方18.现给出三个不等式：①/+1>2°；②^1 2+Z?2>2^-/7-|j； ®V7+Vio>V3+Vi4.其中恒成立的不等式共有_______ 个.解析因为/ —2d+1 =（Q—1）2$0,所以①不恒成立；对于②，圧+尸一2G +2b+3 = （a—l『+（b+1尸+1>0,所以②恒成立；对于③，因为（羽+{15）2—（寸5 +寸忆）2=2顾一2屈>0,且V7+Vio>o,羽+回>0,所以萌+PT5W + V14，即③恒成立.答案29.已知一1W/+応4,且2W/—応3,贝ij Z=2L3y的取值范围是 _______________ （用区间表示）.1 5解析z= —-O+ y） +~ （x—y）,1 5.•・3W—Jx+y）W8,・・・zG [3,8].答案[3,8]10.给出下列四个命题：①若a>b>0,则+>*；②若a>b>0,则a—*>/?—*；③若a>h>0f则:豐寫;④ 设a, b 是互不相等的正数，贝血一切+±22.其中正确命题的序号是 _______ （把你认为正确命题的序号都填上）.解析 ①作差可得十一律=守，而。

第1讲 绝对值不等式板块三 模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2018·宜春模拟]设函数f (x )＝|x －4|，g (x )＝|2x ＋1|.(1)解不等式f (x )<g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )<g (x )等价于(x －4)2<(2x ＋1)2，∴x 2＋4x －5>0，∴x <－5或x >1，∴不等式的解集为{x |x <－5或x >1}．(2)令H (x )＝2f (x )＋g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －7，x >4，9，－12≤x ≤4，－4x ＋7，x <－12， G (x )＝ax ， 2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，即H (x )的图象恒在直线G (x )＝ax 的上方，故直线G (x )＝ax 的斜率a 满足－4≤a <94，即a 的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，94. 2．[2018·深圳模拟]已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|. (1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的取值范围； (2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集． 解 (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤2，7－2x ，2<x <5.－3，x ≥5，当2<x <5时，－3<7－2x <3，所以－3≤f (x )≤3.所以m 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)原不等式等价于－f (x )≥x 2－8x ＋15，由(1)可知，当x ≤2时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15 的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，原不等式的解集为{x |5－3≤x ≤6}．3．[2018·福州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的定义域为实数集R .(1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>9；(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋5|＋|x －2|.①当x ≥2时，由f (x )>9，得2x ＋3>9，解得x >3；②当－5≤x <2时，由f (x ) >9，得7>9，此时不等式无解；③当x <－5时，由f (x )>9，得－2x －3>9，解得x <－6.综上所述，当a ＝5时，关于x 的不等式f (x )>9的解集为{x ∈R |x <－6或x >3}．(2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}＝{x ∈R |－1≤x ≤2}，关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，∴当－1≤x ≤2时，f (x )≤|x －4|恒成立．由f (x )≤|x －4|得|x ＋a |≤2.∴当－1≤x ≤2时，|x ＋a |≤2恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 恒成立．∴实数a 的取值范围为[－1,0]．4．[2018·泉州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)解关于x 的不等式f (x )<9；(2)若直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．解 (1)x ≤－1，不等式可化为－x －1－2x ＋4<9，∴x >－2，∴－2<x ≤－1；－1<x <2，不等式可化为x ＋1－2x ＋4<9，∴x >－4，∴－1<x <2； x ≥2，不等式可化为x ＋1＋2x －4<9，∴x <4，∴2≤x ＜4；综上所述，不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)f (x )＝|x ＋1|＋2|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ≥2，5－x ，－1≤x <2，3－3x ，x <－1.由题意作图如下，结合图象可知，A (3,6)，B (－1,6)，C (2,3)；故3<m ≤6，且m ＝6时面积最大为12×(3＋1)×3＝6. 5．[2018·长春模拟]已知函数f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |.(1)当a <－2时，f (x )的最小值为1，求实数a 的值；(2)当f (x )＝|x ＋a ＋4|时，求x 的取值范围．解 (1)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a －x <a ，－x －a －a ≤x ≤－，3x －a ＋x >－可知，当x ＝－2时，f (x )取得最小值，最小值为f (－2)＝－a －2＝1，解得a ＝－3.(2)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |≥|(2x ＋4)－(x －a )|＝|x ＋a ＋4|，当且仅当(2x ＋4)(x －a )≤0时，等号成立，所以若f (x )＝|x ＋a ＋4|，则当a <－2时，x 的取值范围是{x |a ≤x ≤－2}；当a ＝－2时，x 的取值范围是{x |x ＝－2}；当a >－2时，x 的取值范围是{x |－2≤x ≤a }．6．[2018·辽宁大连双基考试]设函数f (x )＝|x －1|＋12|x －3|. (1)求不等式f (x )>2的解集；(2)若不等式f (x )≤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集非空，求实数a 的取值范围． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 32x －52>2，x >3，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(3，＋∞)．(2)f (x )＝|x －1|＋12|x －3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52，x ≤1，12x ＋12，1<x ≤3，32x －52，x >3.f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (3,2)，直线y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12绕点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0旋转， 由图可得不等式f (x )≤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集非空时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫47，＋∞.。

§7.1 不等关系与不等式考情考向分析 以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以填空题形式考查不等式的性质；以解答题形式考查不等式与其他知识的综合．1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b <1⇔a <b(a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( √ ) (2)若ab>1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.( √ )(5)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二 教材改编2．[P74练习T1]雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________． 答案 4.5t <28 000解析 由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t <28 000.3．[P79练习T3]某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，表示销售的总收入仍不低于20万元的不等式为________________． 答案 ⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1·0.2x ≥20解析 若杂志的定价为x 元，则销售的总收入为⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1·0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入不低于20万元”可以表示为不等式⎝⎛⎭⎫8－x －2.50.1·0.2x ≥20.题组三 易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则下列一定正确的序号为________． ①a c －b d >0；②a c －b d <0；③a d >b c ；④a d <bc . 答案 ④解析 ∵c <d <0，∴0<－d <－c ， 又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ， 又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >a d.5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的____________条件． 答案 充分不必要解析 若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析 由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.题型一 比较两个数(式)的大小1．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是________． 答案 c ≥b >a解析 ∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1， ∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a ，∴c ≥b >a .2．若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c <b <a解析 方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1， 所以a >b ；b c ＝5ln 44ln 5＝log 6251 024>1， 所以b >c .即c <b <a . 方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，函数f (x )单调递减． 因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)， 即c <b <a .思维升华 比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．题型二 不等式的性质典例 (1)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①ab >ac ；②c (b －a )<0；③cb 2<ab 2；④ac (a －c )>0. 答案 ①解析 由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立．(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )． 其中所有正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 由不等式性质及a >b >1，知1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是单调递减的， 又a >b >1，∴a c <b c ，②正确； ∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．思维升华 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 跟踪训练 若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式的序号为________． 答案 ①③解析 方法一 因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误； 因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0， 所以④错误．方法二 由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |， 即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．题型三 不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立 典例 已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式的序号为________． 答案 ①②③解析 方法一 由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数， ∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ， ∴(a －b )2－(a －b )2 ＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36， a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 方法二 令a ＝3，b ＝2，可以得到①a 2>b 2，②2a >2b －1，③a －b >a －b 均成立，而④a 3＋b 3>2a 2b 不成立．命题点2 求代数式的取值范围典例 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________． 答案 (－4,2) (1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.思维升华(1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然，判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．跟踪训练(1)设m＝x2＋y2－2x＋2y，n＝－(2x＋2)，则m，n的大小关系是________．(用“>”连接)答案m>n解析m＝(x－1)2＋(y＋1)2－2≥－2，n＝－(2x＋2)<－2，则m>n.(2)已知－1<x<y<3，则x－y的取值范围是________．答案(－4,0)解析∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4.又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4,0)．利用不等式变形求范围典例设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．现场纠错解析 方法一 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．1．有下列命题：①若a >b ，则a －c >b －c ；②若a >b ，则ac 2>bc 2；③若a >b ，则a 2>b 2；④若a >b ，则ab >1；⑤若a >b ，则2a >2b ；⑥若ac >bc ，则a >b .其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号) 答案 ①⑤解析 ①和⑤为真命题，其余为假命题．2．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是________． 答案 f (x )>g (x )解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0， 则f (x )>g (x )．3．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是________．(填序号) ①1a －b >1b； ②a 2<ab ； ③|b ||a |<|b |＋1|a |＋1； ④a n >b n .答案 ③解析 (特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①，②，④均不正确； ③中，|b ||a |<|b |＋1|a |＋1⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，∴原命题成立．4．若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是________．答案 (9,30)解析 ∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥3a2，∴9<3a2≤a ＋b ≤3a <30.5．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的________条件． 答案 充分不必要解析 由(a －b )·a 2<0，可知a ≠0且a <b ，∴充分性成立；由a <b ，可知a －b <0，当0＝a <b 时，推不出(a －b )·a 2<0，必要性不成立．6．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π.7．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．(填序号) 答案 ①④解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ， 因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④. 8．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ；③a 1＋a <11＋a a；④a 1＋a >11＋a a . 其中正确的不等式是________．(填序号) 答案 ②④解析 当0<a <1时，函数y ＝log a x 与y ＝a x 均为(0，＋∞)上的减函数． ∵0<a <1，∴1＋a <1＋1a，∴②④正确．9．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________． 答案 a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1. 10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －db >0；②若ab >0，c a －db >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －db >0，则ab >0.其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．11．设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .12．已知－1<x ＋y <4,2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－32，232 解析 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232.13．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是________． 答案 0<x <2且0<y <2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0， 由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2. 14．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >b x这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．答案 ②④解析 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2.符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5.∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不成立． 由不等式的性质可推出②④成立．15．(2018届江苏无锡天一中学质检)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是________．(填序号)①q ＝r <p ；②p ＝r <q ；③q ＝r >p ；④p ＝r >q .答案 ②解析 由于b >a >0，所以a ＋b 2>ab ， 所以ln a ＋b 2>ln ab ，则q >p . 而p ＝ln ab ＝12(ln a ＋ln b )＝r ，故②正确． 16．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为________． 答案 (0,2)解析 由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1<b a ＋c a ≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎨⎧ 1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加，得0<2×c a <4，∴c a 的取值范围为(0,2)．。

§7.4 基本不等式及其应用考情考向分析 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档．1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )题组二 教材改编2．[P101练习T3]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________．答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ， 即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3．[P101练习T4]若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4．“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的________条件． 答案 充要解析 当x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件．5．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________． 答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1x ＋12－2 ≥2⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0， 当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立． ∴函数的最小值为0.6．若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________．答案 5解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5， 所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12x y，即y ＝2x 时，“＝”成立， 故4x ＋3y 的最小值为5.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x ) ≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号． (2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 23＋2解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立． 命题点2 通过常数代换法利用基本不等式典例 若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________．答案 4解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值．跟踪训练 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. (2)已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为________．答案 8解析 由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y＝1，且x >0，y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝4y x ＋x y ＋4≥4＋4＝8，当且仅当x ＝2y 时等号成立．题型二 基本不等式的实际应用典例 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250 ＝－13x 2＋40x －250； 当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎫51x ＋10 000x －1 450－250 ＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x . ∴L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x≤1 200－210 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元，综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解． 跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元)． 一年的总存储费用为4x 万元．总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x·4x ＝240， 当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号， 所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________．答案 9解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程为x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c＝(b ＋c )⎝⎛⎭⎫4b ＋1c ＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立． 由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即当b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. (2)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是________．答案 92解析 a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， ∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92. 命题点2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为________． 答案 12解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b， 得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9b a ＋a b ＋6.又9b a ＋a b＋6≥29＋6＝12 ⎝⎛⎭⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173， ∴－⎝⎛⎭⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－83，＋∞. 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是________．答案 1解析 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1.(2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________． 答案 32解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， 所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)．因为a m a n ＝4a 1，所以q m ＋n －2＝16，所以2m＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n m ＝4mn 时，等号成立，又m ＋n ＝6，解得m ＝2，n ＝4，符合题意．故1m ＋4n 的最小值为32.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的值域为________．现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2 (－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)． 答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的________条件．答案 充分不必要解析 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．2．下列不等式一定成立的是________．(填序号) ①lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0)； ②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )；④1x 2＋1>1(x ∈R )． 答案 ③解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)， 当且仅当x ＝12时，等号成立；故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”， 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定， 故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确．3．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案 92解析 依题意，得1a ＋4b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ·(a ＋b )＝12⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92.4．(2017·苏北四市期末)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为__________． 答案 8解析 方法一 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.方法二 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x－6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.5．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________．答案 2 2解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 6．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎫xx 2＋3x ＋1max ，而对任意x ∈(0，＋∞)， xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥15.7．已知a >b >0，且ab ＝1，那么a 2＋b 2a －b取最小值时，b ＝________.答案6－22解析 a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥22，当且仅当a －b ＝2时取等号，所以1b －b＝2，解得b ＝6－22⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－6－22. 8．已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y 的最小值为________．答案 92解析 ∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1， ∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2， ∴1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝⎛⎭⎫1x ＋1＋2y＝52＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y x ＋1＋2(x ＋1)y ≥52＋12×22y x ＋1·2(x ＋1)y ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＋1＝2(x ＋1)y ，x ＋2y ＝1，即⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝23时取等号，故1x ＋1＋2y的最小值为92.9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________． 答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号)． 综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.10．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元． 答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元， 则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20， ∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元．11．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？ 解 (1)由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ， 则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3,所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y (x >3，y >3)．(2)方法一 S ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x ＝45，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值． 方法二 设S ＝f (x )＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x (x >3)， 则f ′(x )＝4 800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝40， 当0<x <40时，f ′(x )>0；当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为________．答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a >0，∴b >1，a >1， 则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6.14．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)， 由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上， 可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n＋4≥24＋4＝8 ⎝⎛⎭⎫当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立.15．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值是________．答案 1解析 xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 16．若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________． 答案 27解析 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1. 又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15. 因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15 ≥2 6(a －1)×6a －1＋15＝27， 当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.。

§7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，难度中低档．1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．知识拓展1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有(1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy <0表示．( √ ) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．( × )(6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．( √ )(7)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × ) 题组二 教材改编2．[P86练习T2]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋12>0，2x ＋y －4<0，y >0所表示的平面区域的面积是________．答案 10解析 画出不等式组表示的平面区域(图略)，它是一个底边为5，高为4的三角形区域，其面积S ＝12×5×4＝10.3．[P94习题T7]若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为________．答案 1解析 根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分(含边界)所示．令z ＝0，作直线l ：y －x ＝0.当直线l 向下平移时，所对应的z ＝x －y 的函数值随之增大，当直线l 经过可行域的顶点M 时，z ＝x －y 取得最大值．顶点M 是直线x ＋y ＝1与直线y ＝0的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝0，得顶点M 的坐标为(1,0)，代入z ＝x －y ，得z max ＝1. 题组三 易错自纠4．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的是________．(填序号) ①(0,0)；②(－1,1)；③(－1,3)；④(2，－3)． 答案 ③解析 把各点的坐标代入可得(－1,3)不适合． 5．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________．答案 4解析 作出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，令m ＝2x ＋y ，则当m 取得最大值时，z ＝(2)2x ＋y 取得最大值．由图知直线m ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，m 取得最大值，所以z max ＝(2)2×1＋2＝4.6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________． 答案 －1解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1 不含参数的平面区域问题典例 在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为________． 答案 1解析 对于集合B ，令m ＝x ＋y ，n ＝x －y ， 则x ＝m ＋n 2，y ＝m －n 2，由于(x ，y )∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＋m －n2≤1，m ＋n2≥0，m －n 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，m ＋n ≥0，m －n ≥0，因此平面区域B 的面积即为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，m ＋n ≥0，m －n ≥0所对应的平面区域如图阴影部分的面积，画出图形可知，该平面区域的面积为2×⎝⎛⎭⎫12×1×1＝1.命题点2 含参数的平面区域问题典例 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是________．答案 (0,1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1，l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．思维升华 (1)求平面区域的面积①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形，分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法求解． 跟踪训练 (1)在直角坐标系xOy 中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)解析 直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．(2)(2017·无锡期末)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________． 答案 [2,5]解析 直线y ＝kx －2上存在M 内的点，即直线与平面区域M 有公共点，作出平面区域M ，注意到直线y ＝kx －2经过定点P (0，－2)，求得直线l 1：x －y ＝0和l 2：x ＋y ＝4的交点A (2,2)及l 2和l 3：x ＝1的交点B (1,3)，则k P A ＝2，k PB ＝5，由题意可得k 的取值范围是[2,5]．题型二 求目标函数的最值问题命题点1 求线性目标函数的最值典例 (2017·全国Ⅱ改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________． 答案 －15解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．将目标函数z ＝2x ＋y 化为y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移该直线知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，z 有最小值，且z min ＝2×(－6)－3＝－15. 命题点2 求非线性目标函数的最值 典例 若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．答案 10解析 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图阴影部分(包括边界)所示，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取得最大值，最大值为10.命题点3 求参数值或取值范围典例 (2018届江苏徐州一中质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a 为常数)仅在点A ⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－1,1)解析 由x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，y ≥0，画出此约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由目标函数z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ， 因为z 仅在点A ⎝⎛⎭⎫12，12处取得最大值，所以－1<－a <1，故实数a 的取值范围是(－1,1)． 思维升华 根据目标函数的最值求解参数主要考虑两点： (1)根据约束条件画出平面区域．(2)分析约束条件中的相应直线的斜率与目标函数对应直线斜率之间的大小关系，正确确定目标函数取得最值时的最优解．跟踪训练 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6>0，y ≥12x －3，x ＋4y ≤12，则z ＝y －3x －2的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－13 解析 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝y －3x －2表示点D (2,3)与平面区域内的点(x ，y )之间连线的斜率．因为点D (2,3)与点B (8,1)连线的斜率为－13且C 的坐标为(2，－2)，故由图知，z ＝y －3x －2的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－13.(2)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.答案 2解析 根据已知条件，画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a .当0<k ≤1，即－1≤a <0时，无选项满足此范围；当k >1，即a <－1时，由图形可知此时最优解为点(0,0)，此时z ＝0，不合题意；当－1≤k <0，即0<a ≤1时，无选项满足此范围；当k <－1，即a >1时，由图形可知此时最优解为点(2,0)，此时z ＝2a ＋0＝4，得a ＝2. 题型三 线性规划的实际应用问题典例 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元． (1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图阴影部分所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元． 思维升华 解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．跟踪训练 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元． 答案 216 000解析 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *，目标函数z ＝2 100x ＋900y.作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．1．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，4x ＋3y ≤a 表示的平面区域内的整点有且只有3个，则实数a 的取值范围是________． 答案 [11,13)解析 当x ＝1，y ＝1时，4x ＋3y ＝7； 当x ＝1，y ＝2时，4x ＋3y ＝10； 当x ＝1，y ＝3时，4x ＋3y ＝13； 当x ＝2，y ＝1时，4x ＋3y ＝11；不存在正整数x ，y ，使4x ＋3y ＝12，∴11≤a <13.2．(2017·天津改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________． 答案 3解析 画出可行域，如图中阴影所示．由目标函数z ＝x ＋y ，结合图象易知y ＝－x ＋z 过(0,3)点时z 取得最大值， 即z max ＝0＋3＝3.3．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有________个．答案 1解析 由不等式组画出可行域的平面区域如图阴影部分所示．直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且其斜率k ＝－2<k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________． 答案 1解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，∴S △ABD ＝S △ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝(m ＋1)23＝43，∴m ＝1或m ＝－3，又∵当m ＝－3时，不满足题意，应舍去，∴m ＝1.5．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________元． 答案 2 800解析 设每天生产甲种产品x 桶，乙种产品y 桶， 则根据题意得x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .设获利z 元，则z ＝300x ＋400y . 画出可行域如图阴影部分．画出直线l ：300x ＋400y ＝0， 即3x ＋4y ＝0.平移直线l ，从图中可知， 当直线l 过点M 时， 目标函数取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝12，2x ＋y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即M 的坐标为(4,4)， ∴z max ＝300×4＋400×4＝2 800(元)．6．(2017届苏北四市一模)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤1，x ＋2y ≥1，则3x ＋2y 的最大值为________．答案 3解析 作出不等式组所表示的平面区域(如图)，令z ＝3x ＋2y ，则y ＝－32x ＋z2，故当目标函数经过点C (1,0)时，取得最大值，故z max ＝3.7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,2)解析 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值．8．已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B两点，则AB 的最小值是________． 答案 4解析 根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1,3)，则d ＝12＋32＝10， 此时AB min ＝214－10＝4.9．(2017·全国Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．答案 －1解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0表示的可行域如图阴影部分所示．由z ＝3x －4y ，得y ＝34x －14z .平移直线y ＝34x ，易知经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴A (1,1)． ∴z min ＝3－4＝－1.10．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON →的最大值是________． 答案 3解析 依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A ⎝⎛⎭⎫12，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32，C (1,1)．设z ＝OM →·ON →＝2x ＋y ，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1，1)时，z ＝2x ＋y 取得最大值3.11．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为________． 答案 1解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x 得A 点坐标为(1,2)．∴m 的最大值为1.12．若点(1,1)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ≤2，ny －mx ≤2，ny ≥1表示的平面区域内，则m 2＋n 2的取值范围是__________． 答案 [1,4]解析 由点(1,1)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ≤2，ny －mx ≤2，ny ≥1表示的平面区域内可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ≤2，n －m ≤2，n ≥1，画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分所示)，则m 2＋n 2表示区域上的点到原点的距离的平方， 所以1≤m 2＋n 2≤4.13．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为________．答案 －75解析 作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2.z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3,2)的连线的斜率，由图可知，当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min＝1－125＝－75. 14．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤t ，x ≥π6，y ≥0，其中t >π2，若sin(x ＋y )的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎤5π6，7π6解析 作出可行域如图阴影部分所示，设z ＝x ＋y ，作出直线l ：x ＋y ＝z ，当直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫π6，0时，z 取得最小值π6；当直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫π6，t －π2时，z 取得最大值t －π3.即π6≤x ＋y ≤t －π3，当x ＋y ＝π2时，sin(x ＋y )＝1. 当x ＋y ＝π6或5π6时，sin(x ＋y )＝12.所以π2≤t －π3≤5π6，解得5π6≤t ≤7π6.15．已知点P (x ，y )的坐标满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y >x ，y <2x ＋1，则x ＋y x 2＋y 2的取值范围为________．答案 (－2，1]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y >x ，y <2x ＋1表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中B (－1，－1)，C (0,1)， 设θ＝∠POx ， 则x x 2＋y 2＝cos θ，yx 2＋y 2＝sin θ. θ∈⎣⎡⎭⎫π2，54π，∴x ＋y x 2＋y 2＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵θ∈⎣⎡⎭⎫π2，54π，∴θ＋π4∈⎣⎡⎭⎫34π，32π， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－1，22.∴x ＋y x 2＋y 2∈(－2，1]． 16．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤45，13解析 已知不等式组所表示的平面区域如图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2,3)．由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45，(x 2＋y 2)max ＝|OA |2＝22＋32＝13.。

题型02.18 函数、导数与不等式的综合应用一、问题概述此类问题主要考查函数的性质和方法，以及函数与方程、不等式、导数等结合的综合问题，用导数的方法去探究函数的单调性和极值（最值），提现导数的工具性，主要题型有以下几种：（1）比较和证明两数的大小关系，往往构造函数，根据函数的单调性来处理（例1）； （2）证明不等式，根据已知条件，采用减元的思想，构造新元和新函数，运用导数的方法探究函数的单调性，根据单调性来证明（例2）；（3）一些新定义函数问题，要能挖掘新函数的性质，并灵活地转化． 二、释疑拓展1．【江苏2014高考.19题】已知函数()e e x x f x -=+其中e 是自然对数的底数． （1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()e 1x mf x m -+-≤在(0)+∞，上恒成立，求实数m 的取值范围； （3）已知正数a 满足：存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1e a -与e 1a -的大小，并证明你的结论．2．【南通、扬州、连云港、徐州、淮安、宿迁六市2018届高三第二次调研测试.19题】 设函数()sin (0)f x x a x a =->．（1）若函数()y f x =是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围；（2）设1()()ln 1(0)2a g x f x b x b b ==++∈≠R ，，，()g x '是()g x 的导函数．① 若对任意的0()0x g x '>>，，求证：存在0x ，使0()0g x <；② 若1212()()()g x g x x x =≠，求证：2124x x b <．3．【苏州市2016届高三暑假自主学习测试】 已知函数x a x x f ln 1)(--=，（其中a 为参数） （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若对任意),0(+∞∈x 都有0)(≥x f 成立，求实数a 的取值集合； （3）证明：1)11()11(++<<+n n ne n (其中*N n ∈，e 为自然对数的底数）．三、专题反思（你学到了什么？还想继续研究什么？）四、巩固训练1．【扬州、泰州、南通、宿迁2014届高三调研（二）.20题】设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2．（1）求a 的取值范围； （2）证明：0f '<（()f x '为函数()f x 的导函数）；（3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABCt ，求(1)(1)a t --的值．2．【盐城市2014届高三第三次调研.19题】已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数.（1）若函数()f x 在1x =处的切线与x 轴平行，求a 的值； （2）当=1a 时，试比较()f m 与1f m ⎛⎫⎪⎝⎭的大小； （3）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，试证明212x x e >.3．【南京市、盐城市2016届高三第一次模拟.19题】已知函数()xaxf x e =在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x <+-成立，求k 的取值范围；（3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断12()2x x g +'的正负，并说明理由.参考答案二、释疑拓展1．【答】本小题主要考查初等函数的基本性质、导数的应用等基础知识，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力.满分16分. （1）∵x ∈R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，∴()f x 是R 上的偶函数（2）由题意，(e e )e 1x x x m m --++-≤，即(e e 1)e 1x x x m --+--≤ ∵(0)x ∈+∞，， ∴e e 10x x -+->，即e 1e e 1x x x m ---+-≤对(0)x ∈+∞，恒成立令e (1)x t t =>，则21t m -≤对任意(1)t ∈+∞，恒成立 ∵2211111(1)(1)113111t t t t t t t t --=-=---+-+-+-++-≥，当且仅当2t =时等号成立 ∴1m -≤（3）'()e e x x f x -=-，当1x >时'()0f x >，∴()f x 在(1)+∞，上单调增 令3()(3)h x a x x =-+，'()3(1)h x ax x =--∵01a x >>，，∴'()0h x <，即()h x 在(1)x ∈+∞，上单调减 ∵存在0[1)x ∈+∞，，使得3000()(3)f x a x x <-+， ∴1(1)e 2e f a =+<，即()11e 2e a >+∵e-1e 111ln ln ln e (e 1)ln 1a a a a a a ---=-=--+设()(e 1)ln 1m a a a =--+，则()e 1e 111'()1e 2ea m a a a a ---=-=>+，当()11e e 12e a +<<-时，'()0m a >，()m a 单调增； 当e 1a >-时，'()0m a <，()m a 单调减 因此()m a 至多有两个零点，而(1)(e)0m m ==∴当e a >时，()0m a <，e 11e a a --<； 当()11e e 2e a +<<时，()0m a <，e 11e a a -->； 当e a =时，()0m a =，e 11e a a --=．2、【解】：（1）由题意，()1cos 0f x a x '=-≥对x ∈R 恒成立，因为0a >，所以1cos x a≥对x ∈R 恒成立，因为()max cos 1x =，所以11a ≥，从而01a <≤．（2）①()1sin ln 12g x x x b x =-++，所以()11cos 2b g x x x'=-+．若0b <，则存在0b ->，使()()11cos 0222b b g '-=---<，不合题意，所以0b >． 取30ebx -=，则001x <<．此时()30000111sin ln 11ln 10b g x x x b x b e -=-++<+++=-<．所以存在00x >，使()00g x <． ②依题意，不妨设120x x <<，令21x t x =，则1t >． 由（1）知函数sin y x x =-单调递增，所以2211sin sin x x x x ->-． 从而2121sin sin x x x x ->-．因为()()12g x g x =，所以11122211sin ln 1sin ln 122x x b x x x b x -++=-++，所以()()()2121212111ln ln sin sin 22b x x x x x x x x --=--->-．所以212120ln ln x x b x x -->>-．下面证明2121ln ln x x x x --即证明1ln t t ->只要证明()ln 0t <*．设()()ln 1h t t t=>，所以()210h t -'=<在()1+∞，恒成立．所以()h t 在()1+∞，单调递减，故()()10h t h <=，从而()*得证．所以2b -> 即2124x x b <．注意：1.求导正确即给1分，()1cos f x a x '=- 。