直线的交点坐标与距离公式导学案

§3.3.1两条直线的交点坐标§3.3.2两点间的距离 导学案【学习目标】1.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；体会判断两直线相交中的数形结合思想.2．掌握直角坐标系下两点间距离公式，能用坐标法证明简单的几何问题，体会数形结合的优越性。

【自主学习】认真阅读课本P102-106内容，完成下列内容：思考1： 如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？思考2：如何利用方程判断两直线的位置关系？两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。

因此，只要将两条直线1l 和2l 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A1.若方程组无解，则1l 与2l2.若方程组有且只有一个解，则1l 与2l3.若方程组有无数解，则1l 与2l两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则 AB =特殊地：(,)P x y 与原点的距离为【自我检测】1.完成课本P104练习1,2题。

2.完成课本P106练习1,2题。

3. 已知集合{}{}4/),(,2/),(=-==+=y x y x N y x y x M ，那么集合N M 为( )A {3,–1}B 3,–1C (3,–1)D {(3,–1)}4．经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程是_____________________________________________.5.经过两直线2310x y --=和-30x y +=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程是______________________________________________.6. 已知两点(2,1),(4,3)A B -，则经过两直线2310x y -+=和3210x y +-=的交点和线段AB 中点的直线l 的方程是_______________________________________.7. 已知点(8,10),(4,4)A B -则线段AB 的长是___________，线段AB 中点坐标是__________8. 已知点(4,12)A ，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，求点P 的坐标【合作探究】探究一：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴ 1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=； ⑵ 1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=.做完后思考，从直线方程的系数能否快速判断直线的位置关系？请总结规律。

两条直线的交点坐标及两点间的距离班级________姓名_________一、教学目标1、 掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对应关系，并且会通过直线方程系数判定解得情况，培养学生树立辩证统一的观点。

2、 当两条直线相交时，会求交点坐标。

培养学生思维的严谨性，注意学生语言表达能力的训练。

3、 掌握平面内两点间距离公式及其推到过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单平面几何问题的重要性。

4、 能灵活运用公式解决一些简单问题；使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应的问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质。

二、教学重点、难点重点：1、根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点。

2、平面内两点间距离公式以及公式的推导。

难点：1、对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。

2、如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题。

三、教学方法：探索讨论法四、教学设计问题提出：在同一平面内，两条直线之间存在平行、相交、重合等位置关系，这些位置关系的基本特征与公共点的个数有关.因此，如何将两直线的交点进行量化，便成为一个新的课题。

那么如何由直线的方程求两条相交直线的交点呢？知识探究（一）：两条直线的交点坐标思考1:若点P 在直线l 上，则点P 的坐标(x0，y0)与直线l 的方程Ax+By+C=0有什么关系？思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0，直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置关系分别如何？思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线得这两条直线的交点坐标？思考4:一般地，若直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0和l 2:A 2x+B 2y+C 2=0相交，如何求其交点坐标？思考5：对于两条直线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0和l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，若方程组⎧=++0111C y B x A有唯一解、有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？知识探究（二）：过交点的直线系思考1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？思考2:方程（m，n不同时为0）表示什么图形？思考3:上述直线l1与直线l2的交点M（-2，2）在这条直线上吗？当m，n为何值时，方程分别表示直线l1和l2？思考4:方程表示的直线包括过交点M（-2，2）的所有直线吗？思考5:方程表示经过直线l1和l2的交点的直线系，一般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可怎样表示？在平面直角坐标系中，根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系，以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映？知识探究（三）：两点间的距离公式思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？思考3:已知x轴上一点P1(x0思考4:思考5:距离可得什么结论？m(342)(22)0x y n x y+-+++= m(342)(22)0x y n x y+-+++=342(22)0x y x yλ+-+++=m(342)(22)0x y n x y+-+++= 12||PP===思考6:当直线P 1P 2与坐标轴垂直时，上述结论是否成立？思考7:特别地，点P(x ，y)与坐标原点的距离是什么？知识探究（四）：距离公式的变式探究思考1:已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则 y 2-y 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式可作怎样的变形？思考2:已知平面上两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，直线P 1P 2的斜率为k ，则x 2-x 1可怎样表示？从而点P 1和P 2的距离公式又可作怎样的变形？思考3:上述两个结论是两点间距离公式的两种变形，其使用条件分别是什么？思考4:若已知 和 ，如何求 ？五、理论迁移例1、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标。

高中数学-直线的交点坐标与距离公式学案课程标准 1、能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2、探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。

学习目标重点难点 重点：1、求两直线交点坐标的方法；2、求三种距离的方法。

难点：点到直线的距离公式的推导。

学习过程学习内容（任务）及问题 学习活动及行为【模块一】两条直线的交点坐标问题1、一元二次方程组的解与两直线交点坐标之间有什么关系？问题2、已知两条直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，怎么求出它们的交点坐标？【例题讲解】例1、求下列两条直线的交点坐标：1:3420l x y +-=，2:220l x y ++=。

例2、判断下列各对直线的位置关系。

如果相交，求出交点的坐标。

⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:340l x y -+=，2:6210l x y --=； ⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=。

【即时训练】教材104P 练习1,2问题3、当λ变化时，方程342(22)0x y x y λ+-+++=表示什么图形？图形有何特点？ 评价：学生能正确求出两直线的交点坐标。

【模块二】两点间的距离问题1、已知平面上的两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，如何推导这两点间的距离公式12||PP ？问题2、已知111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12||______________PP =。

【例题讲解】例3、已知点(1,2)A -，(2,7)B ，在x 轴上求一点P ，使得||||PA PB =，并求||PA 的值。

【即时训练】教材106P 练习1,2例4、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

问题3、利用解析法解决问题的基本步骤有哪些是什么？评价：学生能正确运用两点间的距离公式解题。

直线的交点坐标与距离公式教案教案标题：直线的交点坐标与距离公式教案教学目标：1. 理解直线的交点坐标的计算方法2. 掌握直线之间的距离公式3. 能够应用所学知识解决实际问题教学重点：1. 直线的交点坐标的计算2. 直线之间的距离公式的应用教学难点：1. 多个直线的交点坐标的计算2. 距离公式在实际问题中的运用教学准备：1. 教学投影仪2. 教学PPT3. 相关教学案例和练习题教学过程：1. 引入：通过一个生活中的实际问题引入直线的交点坐标和距离公式的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 讲解：首先介绍直线的交点坐标的计算方法，包括两条直线的交点坐标和多条直线的交点坐标的计算方法。

然后讲解直线之间的距离公式，包括点到直线的距离和直线之间的距离的计算方法。

3. 示例分析：通过几个实际案例，演示直线的交点坐标和距离公式的应用方法，引导学生理解和掌握相关知识。

4. 练习：让学生进行相关练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

5. 拓展：引导学生应用所学知识解决更复杂的实际问题，拓展他们的思维和应用能力。

6. 总结：对本节课所学内容进行总结，并强调学生在日常生活中的应用价值。

教学反馈：1. 针对学生在练习和课堂表现中存在的问题，进行及时的指导和反馈。

2. 鼓励学生在实际生活中应用所学知识，并分享应用案例。

教学评价：1. 通过课堂练习和作业考察学生对直线的交点坐标和距离公式的掌握程度。

2. 观察学生在解决实际问题时的应用能力和思维拓展情况。

教学延伸：1. 鼓励学生进行更多的实际应用探究，拓展知识的应用范围。

2. 引导学生深入了解相关数学理论，拓展数学知识面。

必修二 3.3.1直线的交点坐标与距离公式【学习目标】1、掌握用代数方法求两条直线的交点坐标及两点间的距离公式．2、理解直线系、过定点问题.【学习重难点】重点：平行垂直与直线方程系数的关系； 难点:直线系、过定点问题【学法指导】1、带着问题导学中的问题通读教材P 97-99页内容，作好必要的标注和笔记。

预习案一。

问题导学1、两条直线的位置关系如何用方程系数来表示？二。

知识梳理1．两条直线的交点．已知直线 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 与直线 l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交，则其交点坐标为方程组__________________的解．2. 两点间的距离公式．已知平面上两点P 1(x 1 ,y 1) ,P2(x 2 ,y 2)，则|P 1P 2| ＝3. 两条直线的位置关系．（1）已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，可利用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的情况判断l 1和l 2的位置关系：（2）直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直⇔4. 直线系经过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线方程可设为A 1x ＋B 1y ＋C 1 +m(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0三。

预习自测1．直线 3x ＋5y －1＝0 与直线 2x ＋3y －1＝0 的交点坐标是（ ）A(-2,1 ) B(-3,2) C(1,-2) D(2,-3)2．已知点 A (2，a )，B (1,3)，且|AB |＝10，则 a ＝3．如果直线ax ＋2y ＋2＝0 与直线 3x －y －2＝0 平行，那么系数 a 为探究案合作探究探究1(两直线位置关系)例1：已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m 的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1与l2重合．．探究2（过定点问题）例2：求证：不论m 取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0 都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．探究3(直线系)例3：求过两直线3x＋4y－2＝0 与2x＋y＋2＝0 的交点且垂直于直线x－y＋1＝0 的直线方程．（多种方法）课堂小结：训练案当堂训练1．若直线ax－y＋1＝0和直线2x＋by－1＝0垂直，则a，b满足()A．2a＋b＝0 B．2a－b＝0 C．ab＋2＝0 D．ab－2＝02．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该定点的坐标为__________．3. 已知点A(4,12)，在x 轴上的点P 与点A 的距离等于13，求点P 的坐标．。

《直线的交点坐标及两点间距离公式》导学案 编写：胡林海 审核：高一数学组 编写时间：2013-5-7班级： 组别： 组名： 姓名： 一、学习目标:1、会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2、会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系3、掌握两点间距离公式并会应用 二、学习重点、难点：重点：1、根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点。

2、平面内两点间距离公式以及公式的推导。

难点：1、对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解。

2、如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题。

三、使用说明及学法指导:1. 自学：精读教材102-106，完成导学案（30分钟）2. 群学程序：（1） 对子学习：结合导学案完成情况进行对子间交流。

并相互给予等级评定。

（2） 群学：组长带领全组同学交流自学环节中存在的疑惑和问题；并对展示任务讨论，确定展示方案，并在黑板上做好展示准备。

（30分钟）四、知识链接：1．直线方程有哪几种形式？ 2．平面内两条直线有什么位置关系？五、学习过程：自主探究 知识探究（一）：两条直线的交点坐标思考1:一般地，若直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=相交，如何求其交点坐标？看下表，并填空：展示单元一A1：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标. （1）12:237,:421;l x y l x y -=+= （2）122:2640,:;33x l x y l y -+==+思考2:交点坐标与二元一次方程组有什关系？归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？(1)若二元一次方程组有唯一解，1l 与2l ＿＿＿＿＿ (2)若二元一次方程组无解，则1l 与2l ＿＿＿＿＿＿ (3)若二元一次方程组有无数解，则1l 与2l ＿＿＿＿＿＿＿知识探究（二）：过交点的直线系展示单元二思考1:经过直线1:3420l x y +-=与直线2:220l x y ++=的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？思考2:方程 (342)(22)0m x y n x y +-+++= （,m n 不同时为0）表示什么图形？思考3:上述直线1l 与直线2l 的交点M （-2，2）在这条直线上吗？当,m n 为何值时，方程(342)(22)0m x y n x y +-+++=分别表示直线1l 和2l ？思考4:方程(342)(22)0m x y n x y +-+++=表示经过直线1l 和2l 的交点的直线系，一般地，经过两相交直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程可怎样表示？B2：不论m 为何实数，直线l ：(1)(21)5m x m y m -+-=-恒过一定点，并求出此定点的坐标。

直线的交点坐标与距离公式教案教案：直线的交点坐标与距离公式一、教学目标：1.理解直线的交点坐标与距离公式的概念和含义；2.掌握利用直线的方程求交点坐标的方法；3.掌握利用直线的方程求点到直线的距离的方法；4.运用所学知识解决实际问题。

二、教学准备：1.教师准备相应的教学材料和习题；2.准备黑板和白板。

三、教学过程：步骤一：导入新知1.引入直线的概念，并复习直线的方程；2.提出问题：两条直线的交点坐标和点到直线的距离可以通过什么公式来求解？步骤二：学习直线的交点坐标公式1.引导学生思考两直线相交时，交点坐标存在哪些特点；2.引入直线的方程，并通过示意图说明两直线相交时，所对应的方程组；3.讲解如何通过解方程组，求解两直线的交点坐标；4.指导学生进行练习，加深对交点坐标公式的理解。

步骤三：学习点到直线的距离公式1.引导学生思考点到直线的距离与直线的方程之间的关系；2.引入点到直线的距离公式：设直线的方程为Ax+By+C=0，点的坐标为(x0,y0)，则点到直线的距离公式为：d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)；3.通过示意图和具体例子，讲解点到直线的距离公式的意义和应用；4.指导学生进行练习，加深对点到直线的距离公式的理解。

步骤四：综合练习与解决实际问题1.设计一些综合性的问题，要求学生综合运用直线的交点坐标公式和点到直线的距离公式；2.指导学生通过已知条件，列出方程组或距离公式，并解答问题；3.分组或个人展示解题过程和结果，互相交流。

四、教学评价：1.教师观察学生对于直线的交点坐标与距离公式的理解程度和运用能力；2.学生完成的作业和解答实际问题的能力；3.学生对于教学内容的理解与反馈。

五、教学拓展：1.强化练习：提供更多的题目，让学生进行反复练习；2.拓展教学：引入向量的概念，讲解向量表示直线的交点坐标和点到直线的距离。

中学导学案2.3.1、2.3.2 两条直线的交点坐标和两点间的距离公式 导学环节导学内容教学目标及重难 点 1. 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。

2. 会根据方程组解的数量判定两条直线的位置关系。

3. 掌握数形结合、坐标法的数学思想方法，发展直观想象和数学运算的核心素养 自主学习问题预设1.点与坐标的一一对应关系 几何元素与关系 代数表示 点M ()b a M , 直线l ()0,0:不同时为B A C By Ax l =++ 点M 在直线l 上 直线l 与2l 的交点是M2.方程解的数量与两条直线的位置关系 方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 的解 直线1l 与2l 的公共点个数 直线1l 与2l 的位置关系4. 两点间的距离公式：已知平面内两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )间的距离|OP |＝ 合作探究合作探究例题1：求下列两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0 L2：2x+y+2=0例2．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标。

（1）L1：x-y=0 L2： 3x+3y-10=0（2）L1：3x-y+4=0 L2： 6x-2y=0（3）L1：3x+4y-5=0 L2： 6x+8y-10=0例3：已知点A(-1,2),B(2,√7),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 例4：平行四边形两条对角线的平方和等于两邻边的平方和的两倍。

课堂展示教师随机安排，按分组或个人上台展示以上问题。

精讲短评1.知识点:2.方法技巧：3.数学思想：课堂检测课本第72页练习1、2、3 课本第74页练习1、2、3。

§3.3.1 两条直线的交点坐标备课人：徐小杰一、学习目标:1、判断两直线是否相交，并会求交点坐标。

2、理解两直线的交点与方程组的解之间的关系。

二、新课导入：1、如何用代数方法求方程组的解?2、直线上的点与其方程0=++C By Ax 的解有什么样的关系？那如果两直线相交于一点A(a,b)，这一点与两直线0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 有何关系？看下表，并填空。

3两直线是否有公共点，要看它们的方程是否有公共解。

因此，只要将两条直线1l 和2l 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A1．若方程组无解，则1l 与2l ，有 个公共点； 2.若方程组有且只有一组解，则1l 与2l ，有 个公共点； 3.若方程组有无数组解，则1l 与2l ，有 个公共点。

例1：求下列两条直线的交点坐标:1l ：3x+4y-2=0 2l :2x+y+2=0例2：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：1l ：x-y=0 2l ：3x+3y-10=0 1l ：3x-y+4=0 2l ：6x-2y-1=0 1l ：3x+4y-5=0 2l ：6x+8y-10=0变式训练：1、求经过点（2，3）且经过两直线1:340,l x y +-=2:5260l x y ++=的交点的直线方程2、经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直的直线方程3、两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y 轴上，那么k 的值是4、直线12:32:440l y kx k l x y =+-+-=与直线的交点在第一象限，则k 的取值范围 是5、已知集合M={(x ,y )∣x +y =2}，N={(x ,y )∣x –y =4},那么集合M∩N 为6、思考：当λ变化时，方程0)22(243=+++-+y x y x λ表示什么图形？图形有什么特点？§3.3.2 两点间的距离备课人：徐小杰 一、学习目标:1、理解平面内两点间距离公式公式的推导过程。

3．3.1两条直线的交点坐标3．3.2两点间的距离课前自主预习知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系1．两直线的交点坐标2．两直线的位置关系知识点二两点间的距离公式已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝□1(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝□2 x 2＋y 2.1．两条直线相交的条件(1)将两个直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)． (3)设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.2．两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(2)当直线P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|.当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|.当点P 1，P 2中有一个是原点时，|P 1P 2|＝x 2＋y 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若点A (a ，b )在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上，则点A 的坐标一定适合直线l 的方程．( )(2)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．( )(3)当A ，B 两点的连线与坐标轴平行或垂直时，两点间的距离公式不适用．( )答案 (1)√ (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若点A (1，b )是直线2x ＋3y ＋1＝0上一点，则b ＝________.(2)(教材改编，P 104，T 1)若直线2x ＋y ＋1＝0与直线x －y －4＝0的交点为(a ，b )，则a －b ＝________.(3)点M (－3,4)到坐标原点的距离|OM |＝________.答案 (1)－1 (2)4 (3)53．(教材改编，P 106，T 1)求下列两点间的距离：(1)A (2,0)，B (0,8)；(2)A (1,3)，B (－2,1)；(3)A (5,0)，B (－1,0)；(4)A (a,3)，B (a ，－3)．答案 (1)217 (2)13 (3)6 (4)6课堂互动探究金版教程|数学·必修2[A]第三章 直线与方程探究1 直线的交点问题例1 求过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0平行的直线方程．解 解方程组⎩⎨⎧ 2x －3y －3＝0，x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－35，y ＝－75，所以两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－35，－75. 又所求直线与直线3x ＋y －1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y ＋75＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋35， 即15x ＋5y ＋16＝0.[条件探究] 求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 解法一：解方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0,2)．∵直线l 与直线l 3垂直且直线l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率为－43.∴直线l 的方程为y －2＝－43(x －0)．即4x ＋3y －6＝0.解法二：设所求直线l 的方程为(x －2y ＋4)＋λ(x ＋y －2)＝0，即(λ＋1)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，∵直线l 与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直，∴－λ＋1λ－2×34＝－1，解得λ＝11. ∴直线l 的方程为x －2y ＋4＋11(x ＋y －2)＝0，即4x ＋3y －6＝0.拓展提升求过两条直线交点的直线方程的两种方法(1)求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．(2)若利用过两直线交点的直线系方程，通过待定系数法求解，则更简捷．【跟踪训练1】 已知直线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点为P .求：(1)交点P 的坐标；(2)过点P 且平行于直线l 3：x －2y －1＝0的直线的方程；(3)过点P 且垂直于直线l 3：x －2y －1＝0的直线的方程．解 (1)由⎩⎨⎧ 3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2,2)．(2)因为所求直线与l 3平行，所以可设所求直线的方程为x －2y ＋m ＝0.把点P 的坐标代入上述方程，得－2－2×2＋m ＝0，解得m ＝6. 故所求直线的方程为x －2y ＋6＝0.(3)因为所求直线与l 3垂直，所以可设所求直线的方程为2x ＋y ＋n ＝0.把点P 的坐标代入上述方程，得2×(－2)＋2＋n ＝0，解得n ＝2，故所求直线的方程为2x ＋y ＋2＝0.探究2 两点间距离公式的应用例2 已知四边形ABCD 各顶点的坐标分别为A (－7,0)，B (2，－3)，C (5,6)，D (－4,9)，判断这个四边形是哪种四边形．解 ∵k AB ＝－13，k CD ＝－13，k AD ＝3，k BC ＝3，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，即四边形ABCD 为平行四边形．又∵k AB ·k AD ＝－1，∴AB ⊥AD ，即平行四边形ABCD 为矩形，∵|AB |＝310，|AD |＝310，∴|AB |＝|AD |，即矩形ABCD 为正方形，故四边形ABCD 为正方形．[条件探究] 将本例中D 点坐标改为(0,21)，则此四边形又为哪种四边形？解 ∵k AB ＝－13，k CD ＝－3，k AD ＝3，k BC ＝3，∴AD ∥BC ，|AB |≠|BC |且AB ⊥AD .∴四边形ABCD 为直角梯形．拓展提升判断四边形与三角形的方法(1)判断四边形的形状的方法是：若两组对边均平行，则是平行四边形，进而再判断是否是矩形、菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判断是否是等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形．(2)利用两点间距离公式求出线段的长度，再根据各边长度判断三角形或四边形形状是常见题型．解题时要注意方程思想和分类讨论思想的应用．【跟踪训练2】 已知△ABC 三顶点坐标A (－3,1)，B (3，－3)，C (1,7)，(1)判断△ABC 的形状；(2)求BC 边上的中线AM 的长．解 (1)解法一：∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， 又|BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |，∴△ABC 是等腰直角三角形．解法二：∵k AC ＝7－11－(－3)＝32，k AB ＝－3－13－(－3)＝－23， 则k AC ·k AB ＝－1，∴AC ⊥AB .又|AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， |AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，∴|AC |＝|AB |，∴△ABC 是等腰直角三角形．(2)设点M 的坐标为(x ，y )，因为点M 为BC 的中点，所以x ＝3＋12＝2，y ＝－3＋72＝2，即点M 的坐标为(2,2)．由两点间的距离公式得|AM |＝(－3－2)2＋(1－2)2＝26，所以BC 边上的中线AM 的长为26.探究3 过定点的直线系问题例3 求证：不论m 为什么实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过定点．证明 证法一：当m ＝1时，直线方程为y ＝－4；当m ＝12时，直线方程为x ＝9.这两条直线的交点为(9，－4)．又当x ＝9，y ＝－4时，9(m －1)＋(－4)(2m －1)＝m －5，即点(9，－4)在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上，故无论m 取何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过定点(9，－4)．证法二：将已知方程以m 为未知数整理，得m (x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0.由m 取值的任意性，得⎩⎨⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝9，y ＝－4. 所以所给直线不论m 取什么实数，都经过定点(9，－4)．拓展提升 解含有参数的直线恒过定点的问题方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎨⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．【跟踪训练3】 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．解 (1)证法一：将直线l 的方程整理为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15， ∴l 的斜率为a ，且过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35. 而点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，故不论a 为何值，l 恒过第一象限． 证法二：直线l 的方程可化为(5x －1)a －(5y －3)＝0.∵上式对任意的a 总成立，必有⎩⎨⎧ 5x －1＝0，5y －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝35.即l 过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35.以下同证法一． (2)直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.要使l 不经过第二象限，需使直线l 斜率大于等于3即可，即a ≥3.探究4 对称问题例4 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求：(1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程；(3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程．解 (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设该对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013. 设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎨⎧ 2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．∴m ′经过点N (4,3)． ∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，且点P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.拓展提升光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题．(1)点A (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )，可由方程组⎩⎨⎧y －y 0x －x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(AB ≠0)，A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y 02＋C ＝0求得．(2)常用对称的特例有：①A (a ，b )关于x 轴的对称点为A ′(a ，－b )；②B (a ，b )关于y 轴的对称点为B ′(－a ，b )；③C (a ，b )关于直线y ＝x 的对称点为C ′(b ，a )；④D (a ，b )关于直线y ＝－x 的对称点为D ′(－b ，－a )；⑤P (a ，b )关于直线x ＝m 的对称点为P ′(2m －a ，b )； ⑥Q (a ，b )关于直线y ＝n 的对称点为Q ′(a,2n －b )．【跟踪训练4】 如图，一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程及光线从O 点到达P 点所走过的路程．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上，得⎩⎪⎨⎪⎧b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1，8×a2＋6×b2＝25，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等． 故反射光线所在直线方程为y ＝3. 由方程组⎩⎨⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤78. 由光的性质可知，光线从O 到P 的路程即为AP 的长度|AP |， 由A (4,3)，P (－4,3)知，|AP |＝4－(－4)＝8，∴光线从O 经直线l 反射后到达P 点所走过的路程为8.1.判断两直线关系的方法(1)利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题．(2)利用斜截式方程中斜率和截距的关系． (3)利用一般式中系数的关系直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 ①l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1. ②l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.③l 1与l 2重合⇔A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2＝A 2C 1. 2.过两直线交点的直线系方程过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ为参数，不包含l 2).3.对称问题 (1)中心对称①点关于点的对称．若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1.②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程．(2)轴对称①点(x 1，y 1)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的对称点(x 2，y 2)可由⎩⎨⎧y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1(B ≠0)，A ·x 1＋x 22＋B ·y 1＋y22＋C ＝0得出．对称点坐标x 2＝x 1－2A ·Ax 1＋By 1＋CA 2＋B 2，y 2＝y 1－2B ·Ax 1＋By 1＋CA 2＋B 2.②直线关于直线对称求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1，P 2关于l 的对称点，再用两点式求出l 2的方程.课堂达标自测1．若两直线l 1：x ＋my ＋12＝0与l 2：2x ＋3y ＋m ＝0的交点在y 轴上，则m 的值为( )A ．6B ．－24C ．±6D ．以上都不对答案 C解析 分别令x ＝0，求得两直线与y 轴的交点分别为： －12m 和－m 3，由题意得－12m ＝－m3，解得m ＝±6.2．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 B ．(－2,1) C ．(2,1) D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 答案 B解析 直线变形为(x ＋2)m －(y －1)＝0，∴直线过定点(－2,1)． 3．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．－5 D ．1或－5 答案 D解析 由两点间距离公式得 [a －(－2)]2＋[3－(－1)2]＝5，即(a＋2)2＝9，解得a ＝1或－5.4．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是________．答案 (2,3)解析 由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0.直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎨⎧2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．5．直线y ＝kx ＋3与直线y ＝1k x －5的交点在直线y ＝x 上，求k 的值．解 由题意可知，三条直线y ＝kx ＋3，y ＝1k x －5，y ＝x 交于一点．由⎩⎨⎧y ＝kx ＋3，y ＝x ，得x ＝y ＝31－k ，代入y ＝1k x －5，得31－k ＝1k ·31－k－5，解得k ＝1或k ＝35.因为直线y ＝kx ＋3与直线y ＝1k x －5相交，所以k ≠1k ，即k ≠1，故k ＝35.课后课时精练 A 级：基础巩固练一、选择题1．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1) D ．(2,3) 答案 C解析 将直线方程整理得2mx ＋x ＋my ＋y －7m －4＝0，即(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝7，x ＋y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，则直线过定点(3,1)，故选C.2．已知直线l 与直线2x －3y ＋4＝0关于直线x ＝1对称，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋3y －8＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．3x ＋2y －7＝0答案 A解析 设P (x ，y )为直线l 上的任意一点，则点P 关于直线x ＝1对称的点为P ′(2－x ，y )，将(2－x ，y )代入2x －3y ＋4＝0，可得2(2－x )－3y ＋4＝0，化简为2x ＋3y －8＝0，故选A.3．已知△ABC 的三个顶点是A (－a,0)，B (a,0)和C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32a ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．斜三角形答案 C解析 由已知得|AB |＝2a ， |AC |＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝3a ，|BC |＝⎝⎛⎭⎪⎫a －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＝a ，∴|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴△ABC 是直角三角形．4．点P 在直线l ：x －y －1＝0上运动，已知A (4,1)，B (2,0)，则|P A |＋|PB |的最小值是( )A. 5B. 6 C ．3 D ．4 答案 C解析 易知点A ，B 在直线l 的同侧，设A (4,1)关于直线x －y －1＝0对称的点为A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x －4＝－1，x ＋42－y ＋12－1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，∴A ′(2,3)，∴|P A |＋|PB |＝|P A ′|＋|PB |，当A ′，P ，B 三点共线时，|P A |＋|PB |取得最小值， 最小值为|A ′B |＝(2－2)2＋(3－0)2＝3.故选C.5．若三条直线l 1：4x ＋y ＋4＝0，l 2：mx ＋y ＋1＝0，l 3：x －y ＋1＝0不能围成三角形， 则m 的取值为( )A ．4或1B ．1或－1C ．－1或4D ．－1,1,4答案 D解析 当l 1∥l 2或l 2∥l 3时不能构成三角形， 此时对应的m 值分别为m ＝4，m ＝－1.当直线l 1，l 2，l 3经过同一点时，也不能构成三角形．由⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，4x ＋y ＋4＝0得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0.代入l 2的方程得－m ＋1＝0，即m ＝1. 综上知m ＝4，－1,1，故应选D. 二、填空题6．斜率为－2，且过两条直线3x －y ＋4＝0和x ＋y －4＝0交点的直线方程为________．答案 2x ＋y －4＝0 解析联立得⎩⎨⎧3x －y ＋4＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝4，∴两直线交点为(0,4)，又∵斜率为－2， ∴所求直线方程为y －4＝－2x ，即2x ＋y －4＝0.7．已知点A (1,2)，B (3,4)，C (5,0)是△ABC 的三个顶点，则△ABC 的形状是________．答案 等腰三角形 解析 |AB |＝(3－1)2＋(4－2)2＝22，|AC |＝(5－1)2＋(0－2)2＝25， |BC |＝(5－3)2＋(0－4)2＝25，所以|AC |＝|BC |≠|AB |，所以△ABC 为等腰三角形．8．直线5x ＋4y ＝2a ＋1与直线2x ＋3y ＝a 的交点位于第四象限，则a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2解析由⎩⎨⎧5x ＋4y ＝2a ＋1，2x ＋3y ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ＋37，y ＝a －27，即两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2a ＋37，a －27 .又交点在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋37>0，a －27<0，解得－32<a <2.三、解答题9．求经过两直线2x －3y －12＝0和x ＋y －1＝0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．解由⎩⎨⎧2x －3y －12＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2，∴直线2x －3y －12＝0和x ＋y －1＝0的交点坐标为(3，－2)． ①当所求直线经过原点时，满足条件，方程设为y ＝kx ，可得3k ＝－2，解得k ＝－23，此时直线方程为y ＝－23x ，即2x ＋3y ＝0.②当所求直线在坐标轴上的截距不为0时，方程设为x ＋y ＝a ，可得3－2＝a ，解之得a ＝1，此时直线方程为x ＋y －1＝0.综上所述，所求的直线方程为2x ＋3y ＝0或x ＋y －1＝0.B 级：能力提升练10．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A和点C 的坐标．解 如图所示，由已知，得点A 应是BC 边上的高所在的直线与∠A 的平分线所在直线的交点．由⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，得⎩⎨⎧y ＝0，x ＝－1，故A (－1,0)．又∠A 的平分线所在直线为y ＝0，故k AC ＝－k AB ＝－2－01＋1＝－1，∴AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)，又k BC ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1)，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－6，故点C 的坐标为(5，－6)．。