2.1.1《指数与指数幂的运算(一)》课件(人教A版解读

例如： 27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
第十五页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
例如：27的3次方根表示为 3 27 , －32的5次方根表示为 5 32, a6的3次方根表示为 3 a6 , 16的4次方根表示为 4 16,
衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内 碳14含量P与死亡年数t之间的关系
P
(
1
)
t 5730
.
2
提问：
(
1
)
6000 5730
，(
1
)
10000 5730
(
1
)
100000
5730 的意义是
2
2
2
什么？
第七页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
讲授新课
根式： (1)求： ①9的算数平方根，9的平方根；
记作： x n a .
第二十一页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(3)性质 ①当n为奇数时：正数的n次方根为
正数，负数的n次方根为负数．
记作： x n a .
②当n为偶数时：正数的n次方根有
两个(互为相反数)．
第二十二页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(3)性质
①当n为奇数时：正数的n次方根为 正数，负数的n次方根为负数．
②8的立方根，－8的立方根；
③什么叫做a的平方根？a的立方根？
第八页，编辑于星期日：十二点 五十一分。
(2)定义 一般地，若xn＝a (n＞1, n∈N*)，则
x叫做a的n次方根.
n a 叫做根式，
n 叫做根指数， a 叫做被开方数．

(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意 字母参数的取值范围,即确定 ������ ������������ 中a的正负,再结合n的奇偶性给 出正确结果.
探究一
探究二
探究三
探究四
课堂篇 探究学习
思想方法 当堂检测
延伸探究(1)该例中的(2),若x<-3呢? (2)该例中的(2),若x>3呢? 解:由例题解析可知原式可化为|x-1|-|x+3|. (1)若x<-3,则x-1<0,x+3<0, 故该式=-(x-1)-[-(x+3)]=4; (2)若x>3,则x-1>0,x+3>0, 故该式=(x-1)-(x+3)=-4.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法 当堂检测
探究三利用分数指数幂的运算性质化简求值
例 3 (1)计算:0.064-13 −
-
7 8
0
+
[(-2)3
]-43
1
+16-0.75+|-0.01|2;
39
(2)化简: ������2 ������-3 ÷
3 ������-7·3 ������13(a>0).
������-3· ������-1(a>0).
解:(1)原式=1+14 ×
=1+16
−
1 10
=
1165.
1
4 9
2−
1
12 100
3
(2)原式=
a72·a-32
2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能 同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.

0的奇次方根是_____,偶次方根是______ 。
第七页，共13页。
当n为奇数(jī shù)时，a的n次方n 根a
是当n为偶数时。，正数a的n次方根(fānggēnna)
是
，
负0的数任没何有(偶rè次nh方é)根次(方fā根ng都gē是n)。n，0即 0
。
试试：b4 a, 则a的4次方根为____； b3 a, 则a的3次方根为____;
y (1 7.3%)x 1.073x (x N*, x 20)
y (1 7.3%)10 1.07310
第三页，共13页。
实例 3:我们(wǒ men)知道考古学家是通过生 物化石的研究判断生物的发展和进化的，他 们究竟是怎样判断生物所处的年代呢？
当生物死亡后，体内碳14每过5730年大约
-125的3次方根是____;
10000的4次方根是____。
第八页，共13页。
思考(sīkǎo)1:
知识(zhī shi)探 究（分三别）等于什么？
一般地，
等于什么？ ( n a )n a
思考2:
分别等于什么？
一般地，n an 等于什么？
当n是奇数时， n an a
{ 当n是偶数时， n an | a |
第 sh知ù)识(zhī shi)探 模实型例应(sh用ílì背) 1景:某市人口平均究年增（长一率）为
1.25℅，1990 年人口数为a 万，则 x年后人
口数为多少y 万a？(11.25%)x 1.0125x a(x N )
实例2：国务院发展研究中心在2000 年分 析，我国未来20年GDP（国内生产总值） 年平均增长率达7.3℅， 则x年后GDP 为 2000年的多少倍？10年后呢？

有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用
（四）.实数指数幂的运算性质
a ar s a (a rs 0, r, s R)
(ar )s ars (a 0, r, s R)
(ab)r a br r (a 0,b 0, r R)
练习： (1).用根式的形式表示下列各式（a>0）：
m3n3 m2 n3
(3) a 2 (a 0); a3 a2
(4)(3 25 125) 4 5
2
3
1

a2
1
3
2 1 2
a 2 3
a2 a2
(53 52 ) 54
2
1
3
1
53 54 52 54
5
a6 6 a5
21
31
5
5
53 4 52 4 512 54
a a
(a 0) (a 0)
(Ⅱ)讲授新课 1.引入：
(±2)2=4
2，-2 叫4的平方根(即2次方根),
其中：2叫做4的算术平方根(正的2次方根） -2叫做4的负的平方根（负的2次方根）
23=8
2叫8的立方根（即3次方根）
(-2)3=-8
-2叫-8的立方根(即3次方根)
25=32
五.练习：
课本P59习题2.1A组1,2题
练习
（1）3 64 __-_4___ 5 32 ____2___； （2）4 81 ___3___ 4 81 ___-_3__;;
（3） (4 3)4 3______(5 6)5 ___6___；
(4) 5 a10 _a_2___ 3 a12 _____a4__；

22＝224＝212.
[点评] 当n为奇数时，n an ＝a；当n为偶数时，
n an＝
|a|＝
a a≥0 －a a<0.
要在理解的基础上，记准、
记熟、会用、用活；(4)中被开方数是(－2)2，容易出
现4 －22＝212的错误．
变式体验1 求下列各式的值．
3 (1)
－83；
(2) －102；
4 (3)
典例导悟 类型一 根式的概念
[例1] 求下列各式的值：
3 (1)
－73；(2)
－92；
(3) a－b2(a>b)；(4)4 －22 [分析] 运用根式的运算公式进行计算．
[解]
3 (1)
－73＝－7.
(2) －92＝|－9|＝9.
(3) a－b2＝|a－b|＝a－b(a>b)．
4 (4)
－22＝4
)
A．{x|x≠1}
B．{x|x≠0}
C．{x|x≠0,1}
D．以上答案都不对
答案：C
4．当1<x<3时，化简 x－32＋ 1－x2的结果 是________．
答案：2
5．求 614－ 3 338＋3 0.125的值．
解：原式＝
25－ 3 4
27＋ 3 8
18＝52－32＋12＝32.
互动课堂
n>1，且n∈N*.
(2)a 的 n 次方根的表示 n
①当 n是奇数时， a 的 n 次方根表示为 a， a∈ R. n
②当 n是偶数时， a 的 n 次方根表示为 ± a， a∈ [0，＋∞ )． (3)根式
n 式子 a叫做根式，这里 n 叫做根指数， a叫做被开方数．

怎样表示呢?
我们可以先来考虑这样的问题:
(1)当生物死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后, 它体内碳14的含量P分别为原来的多少?
1 , (1)2, (1)3, .
22
2
(2)由以上的实例来推断关系式是
P
(1)5
t 730
.
2
考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体
内碳14的含量P的值.
m
a n
1
m
(a 0, m, n N*,且n 1)
an
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
课本59页 习题2.1 A 组 第1题
下列根式能写成分数指数幂的形式吗？
2
3 a2 a 3 （a>0）
1
b b2Байду номын сангаас
5
4 c5 c 4
(b>0) (c>0)
根式的被开方数 的指数不能被根 指数整除
探究点1 正数的分数指数幂是不是都可以用根式来表示呢？
我们规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1)
. (1) 5 25 2 ， 3 (2)3 2
结论:an开奇次方根,则有 n an a.
. (2) 32 3 ， (3)2 3
(3)2 3
. (3) 4 24 2 ， 4 (2)4 2
4 (2)4 2
结论:an开偶次方根,则有 n an | a | .
归纳总结: 根式的运算性质 ⑴当n为任意正整数时，( )n=a. ⑵当n为奇数时， =a；
是一个负数；0的奇次方根是0. 2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数

n次方根及根式的概念
根式及相关概念 1．a 的 n 次方根的定义： x n＝ a 如果___________ ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其 中 n>1，且 n∈N*.
2．a 的 n 次方根的表示： n a ， (1)当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为_______ R a∈_______. n ± a (2)当 n 是偶数时， a 的 n 次方根表示为_________ ， n － a 其中__________ 表示 a 的负的 n 次方根，a∈ [0，＋∞) ． _____________ 3．根式： n a 叫做根式， 根指数 ， 式子________ 这里 n 叫做___________
＝ a 2· a2＝a4. (2)－ x＝－x2(x>0)； 6 y ＝ [(y) ]6＝－y3(y<0)；
3
－3
1
2
2
பைடு நூலகம்
1
1
4 1 3 x 4＝ (x )4＝ (x>0)； x
－
1
x
－
3 1 1 3＝ 3＝ x
1
1 (x≠0)． x
2 2 11 3 2 3 3＋ (3)① a · a ＝a · a3＝a 3＝a 3 . 3
9
3
－3
a2 a ÷
a
－7
3
a13 .
解析：
3 1 5 1 3 2 1 3× 2× － (1)原式＝ 3－ 2＋22 3－ ＋1 3 10 2
3 5 1 1 31 ＝ － ＋ － ＋1＝－ . 10 2 2 3 30 (2)原式＝(a2 3a ＝ (a2 2)÷ (a
(1)解决根式的化简问题，首先要先分清根式为 奇次根式还是偶次根式，然后运用根式性质进 行化简． (2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果， 再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或 分类讨论．

【分析】 分n为奇数和n为偶数两种情况解答．
A
28
【解】 当n为奇数时， 原式＝a－b＋a＋b＝2a； 当n为偶数时，∵a<b<0， ∴原式＝|a－b|＋|a＋b|＝b－a＋(－a－b)＝－2a. 综上知， n a－bn＋n a＋bn＝2－a2an为n奇 为数 偶数 ，.
A
29
规律技巧 为使开偶次方不出现符号错误，先用绝对值保 留开方的结果，然后根据题设条件化去绝对值符号，没给条件 的要分情况讨论．
A
7
2．根式的性质
(1)当n为奇数时， n an ＝________，当n为偶数时， n an ＝ ________.
(2)负数没有偶次方根，零的任何次方根都是________．
A
8
3．分数指数幂的意义
(1)设a>0，m，n∈N*，n>1，则将 n am 表示为a的分数指数
幂的形式为____________，a－
A
10
1.(1)xn＝a 根式 根指数 被开方数 a
(2)负数 n a n a －n a ±n a
自 2.(1)a |a|＝a a≥0 －a a<0 我 (2)0
校
m1
3.(1)a n m
对
an
(2)0 没有意义
4.ar＋s ars arbr
A
11
思考探究 在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定
A
32
规律技巧 本题ab与a－b互为倒数，抓住这一点，已知和 所求分别平方很快得出答案，这里运用了公式变形a－b2＝a ＋b2－4ab.
A
33
变式训练4
已知a
1 2
＋a－
1 2
＝m，求a2＋a 1的值．

a
性质：
（1）当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数， 负数的n次方根是一个负数. （2）当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们 互为相反数. （3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0. 记作 n 0 = 0.
(4)
(
n
a)
5
n
a
4
2 32 _______ 81 _______ 3

(
>0, 是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的
运算性质同样适用于无理数指数幂.
思考：请说明无理数指数幂
2
3
的含义。
1、已知 x
3
3 6 1 a ，求 a 2ax x 的值。
2
2、计算下列各式
(1)
a b a b
2
1 2
1 2
1 2
1 2

a b a b
rs
r
(a b) a b (a 0, b 0, r Q)
r
例2、求值
8
2 3
;
25

1 2
;
1 2
5
16 ; 81

3 4
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a
3
a ( 2) a
2
3
a
2
(3) a a
3
3 x y 2
)
7、若10x=2，10y=3，则10
2 6 3
。
B 8、a , b ，下列各式总能成立的是（ R
A .( a
6 6 6
）
2 2 8 2 2 8 b) a b B. ( a b ) a b

思考：请说明无理数指数幂 2 3 的含义。
1、已知 x 3 1 a ，求 a 2 2ax 3 x 6 的值。
方根只有一个，记为 x n ．a
得出结论
22 4 32 9
24 16
2 4 3 9
24 16
x6 12
x 6 12
结论：当 n 为偶数时，正数的 n次方根有两
个，它们互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a
表示；负的n次方根用符号 n a 表示，正数）
21
11
15
(1)(2a3b2)(6a2b3)(3a6b6)
(2)(m
1 4
n

3 8
)8
例5、计算下列各式
(1)( 3 25 - 125 ) 4 25 (2) a2 (a 0)
a 3 a2
一般地，无理数指数幂 a ( >0,是
无理数)是一个确定的实数. 有理数指数幂的 运算性质同样适用于无理数指数幂.
(ar)Sars(a0,r,s Q )
(a b )r a rb r(a 0 ,b 0 ,r Q )
例2、求值
2
83 ;
1
2 52 ;
1 5; 1 6 4 3
2 8 1
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式(其中a>0):
(1) a 3 a (2) a 2 3 a 2 (3) a 3 a
（3）a 的n次方根是 n a ；
（4） n an a(a0).
解：（1）不正确； （2）不正确； （3）不正确；（4）正确。
二、分数指数幂
1．复习初中时的整数指数幂，运算性质
anaaaa,a01 (a0) , 00无 意 义