永州市2020年第一次模拟考试理科数学试卷(9.27)

2020年湖南省永州市新田县第一中学高一数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图是由哪个平面图形旋转得到的（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，从而得到轴截面的图形．【解答】解：图中所给的几何体是由上部的圆锥和下部的圆台组合而成的，故轴截面的上部是直角三角形，下部为直角梯形构成，故选 D．2. 一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．2参考答案：C【考点】斜二测法画直观图．【专题】计算题；作图题．【分析】可根据直观图和原图面积之间的关系求解，也可作出原图，直接求面积．【解答】解：由题意，直观图的面积为，因为直观图和原图面积之间的关系为，故原△ABO的面积是故选C【点评】本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力．3. 已知，，则（）A. (－2,1)B.(－1,0)C. (0,1)D.(－2,－1)参考答案：A4. 函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.参考答案：A略5. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，且关于x的方程有两个相等的实根，则（）A. 27B. 21C. 14D. 5参考答案：B6. 下列各组函数是同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与参考答案：D考点：函数及其表示试题解析：因为的定义域为的定义域为R，故A错；的定义域为R，的定义域为故B错；与不同，故C错。

故答案为：D7. 以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题意可得：b=c，所以a=，进而求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意可得：以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b=c，所以a=，所以离心率e=．故选B．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是椭圆定义的应用．8. 等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：A9. 函数的单调递减区间（）A B．C． D．参考答案：D10. 有两枚质地均匀的骰子，一枚红色骰子有两个面是1，其余面是2，3，4，5，另一枚蓝色骰子有两面是2，其余面是3，4，5，6，则两个骰子向上点数相同的概率为（）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根，则tan（α+β）= ．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系求出tanα+tanβ=，tanα?tanβ=4，代入两角和的正切得答案．【解答】解：∵tanα，tanβ是方程x2﹣3x+4=0的两个根，∴tanα+tanβ=，tanα?tanβ=4，∴tan（α+β）=．故答案为：．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系的应用，考查了两角和与差的正切，是基础题．12. 在△ABC中，若，则等于．参考答案：2【考点】HP：正弦定理．【分析】首先根据正弦定理可得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，然后化简所求即可得解．【解答】解：由正弦定理可得： ==2，可得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，则==2，故答案为：2．13. 若是第三象限的角，是第二象限的角，则是第象限的角参考答案：一、或三解析：14. 某中学期中考试后，对成绩进行分析，从某班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表：，若已知外语成绩对总成绩的线性回归方程的斜率为0.25,则线性回归方程为_________参考答案：略15. 关于函数，有下面四个结论：①是偶函数；②当时，恒成立；③的最大值是；④最小值是．则其中正确的结论是参考答案：①③16. 已知上的最大值比最小值多1，则a＝__________。

永州市2020年高考第一次模拟考试试卷数学（文科）命题人：席俊雄（东安一中）唐义志（道县一中）陶先国（蓝山二中）张湘（东安一中）审题人：胡乾贵（市教科院）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A = {x|x2—4x<0}, B = (-1,0,1}，则A B =A. {0,1}B. {1}C. {-1,0,1}D. (-1,0)2.若复数z满足z" = l — i,其中z,为虚数单位，则z的虚部为A. 0B. -1C. -iD. -i23.^^cosl5 +^^sinl5 =2 24.设xeR,贝J " lgx<0 "是"2'T < 1 "的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2x-l>05.己知实数X, y满足yMO ,则z = 3x+y的最小值为x+y-2<0A. 2B. 3C. 4D. 56.在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的且中间一组的频数为10,则这个样本的容量是3A. 20B. 30C. 40D. 502 27.若双曲线二一A = l（a〉0,b〉0）的离心率为则其渐近线方程为a bA. y = ±^f6xB. y - ±6xC. y = ±y/2xD. y = ±2x8. 已知正方形ABCD 的边长为2,点P 是的中点，BA = -BQ,贝。

湖南省永州市2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列计算正确的是（ ）A ．2224()39b b c c =B ．0.00002=2×105C ．2933x x x -=--D ．3242·323x y y x x= 2．如图，△ABC 为钝角三角形，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥B B′，则∠CAB′的度数为（ ）A ．45°B ．60°C ．70°D ．90°3．整数a 、b 在数轴上对应点的位置如图，实数c 在数轴上且满足a c b ≤≤，如果数轴上有一实数d ，始终满足0c d +≥，则实数d 应满足（ ）.A ．d a ≤B ．a d b ≤≤C ．d b ≤D ．d b ≥4．如果340x y -=，那么代数式23()x y y x y -⋅+的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是( )A ．x x 10060100-=B ．x x 10010060-=C ．x x 10060100+=D ．x x 10010060+= 6．关于2、6、1、10、6的这组数据，下列说法正确的是（ ）A ．这组数据的众数是6B ．这组数据的中位数是1C ．这组数据的平均数是6D ．这组数据的方差是107．如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，以D 为圆心，BD 长为半径画一弧交AC 于E 点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE 的面积为何？（ ）A．13π B ．23π C ．49π D ．59π 8．4的平方根是( )A ．2B ．2C ．±2D ．±29．如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，∠A ＝α，∠C ＝β，△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1和S 2，△OAB 与△OCD 的周长分别是C 1和C 2，则下列等式一定成立的是( )A ．32OBCD = B ．32αβ= C ．1232S S = D ．1232C C =10．如图，AB 是⊙O 的切线，半径OA=2，OB 交⊙O 于C ，∠B=30°，则劣弧»AC 的长是（ ）A ．12πB ．13π C ．23π D ．43π 11．下列事件中必然发生的事件是（ ）A ．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B ．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式C ．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品D ．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数12．小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 11()1323x x x ▲---+=-， 这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答案，知道此方程的解是x ＝5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业。

湖南省永州市2020届高三数学一模考试试题 文（含解析）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，只交答题卡.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（ ）.{}240A x x x =-<{}1,0,1B =-A B = A.B.C.D.{}0,1{}1{}1,0,1-{}1,0-【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.A 【详解】由解得，故.()2440x x x x -=-<04x <<{}1A B ⋂=故选B.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）.z 1z i i ⋅=-i z A. 0 B. C. D.1-i-12i 【答案】B 【解析】【分析】化简复数为的形式，由此求得的虚部.z a bi +z 【详解】依题意，故的虚部为.()()()111i i i z ii i i -⋅--===--⋅-z 1-故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查虚部的概念，属于基础题.的值为（）-B. C.D. 1212-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式和两角差的余弦公式，化简得原式，即可求解451cos()5=-+15)-=，故选A.cos(4515)cos30===-= 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及两角差的余弦公式的化简求值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.设，则“”是“”的（ ）.x ∈R lg 0x <121x -<A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别解对数不等式和指数不等式，求得题目所给两个条件的等价条件，由此判断出正确选项.【详解】由解得；由解得，所以“”是lg 0x <01x <<10212x -<=1x <01x <<“”的充分不必要条件.1x <故选：A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查指数不等式和对数不等式的解法，属于基础题.5.已知实数，满足，则的最小值为（ ）.x y 210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩3z x y =+A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】画出可行域，向下平移基准函数到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小30x y +=值.【详解】画出可行域如下图所示，向下平移基准函数到可行域边界的位30x y +=11,22C ⎛⎫ ⎪⎝⎭置，故的最小值为.3z x y =+113222⨯+=故选：A.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最小值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.6.在样本频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则这个样本的容量是（ ）.13A. 20B. 30C. 40D. 50【解析】【分析】设出中间小长方形的面积，也即频率，根据已知条件列方程，求得中间小长方形的面积，由此计算出样本容量.【详解】设中间小长方形的面积为，则其它小长方形面积之和为，故，解得x 3x 31x x +=，所以样本容量为.14x =104014=故选：C.【点睛】本小题主要考查由频率分布直方图小长方形的面积关系计算频率，考查样本容量的计算，属于基础题.7.若双曲线）.()222210,0x y a b a b -=>>A. B. C. D. y =6y x=±y=2y x=±【答案】D 【解析】【分析】根据双曲线离心率求得，进而求得，由此求得渐近线方程.ca ba，解得，故渐近c a ==2b a =线方程为.2y x =±故选：D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率，考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.8.已知正方形的边长为2，点是的中点，，则向量（ABCD P BC 12BA BQ=PD PQ ⋅= ）.A. 1B. 5C. 7D. 13-【解析】【分析】将表示为的线性和形式，再结合向量数量积的运算，求得的值.,PD PQ ,CD CB u u u r u u r PD PQ ⋅【详解】画出图像如下图所示，依题意可知是线段的中点，是线段的中点.故A BQ P BC ,.故12PD CD CB =- 122PQ CB CD=+11222PD PQ CD CB CB CD ⎛⋅⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= .2211281724CD CD CB CB =-⋅-=-= 故选：C.【点睛】本小题主要考查平面向量加法和减法运算，考查平面向量数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.9.函数的大致图象为 ()()2x xf x x e e -=-()A. B.C. D.【答案】A 【解析】利用函数的奇偶性排除，利用函数的单调性排除，从而可得结果．,B D C 【详解】，()()2x xf x x e e -=-，()()()()22()x x x x f x x e e x e e f x --∴-=--=--=-为奇函数，其图象关于原点对称，故排除，()f x ∴,B D 在上是增函数且，2y x = ()0,+∞0y >在上是增函数且，x x y e e -=-()0,+∞0y >所以在是增函数，排除，故选A ．()()2x xf x x e e -=-()0,+∞C 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10.在中，，，所对应边分别为，，，已知，且ABC ∆A B C a bc 222a b c +-=，则的面积为（ ）.sin 2sin bc A C =ABC ∆A. 1 B.12【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理化简求得，由此求得，再结合三角形面积公222a b c +-=cos C sin C 式求得三角形的面积.ABC 【详解】由余弦定理得，所以，由222cos 2a b c C ab +-==1sin 2C ==得.sin 2sin bc A C =11sin sin 22ABC S bc A C ∆===【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.11.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是（1DF AF ==）.A. B. C. D. 15161718【答案】C 【解析】【分析】分别计算出小等边三角形和大等边三角形的面积，再根据几何概型概率计算公式，计算出所求的概率.在三角形中21=ABD ，由余弦定理得2,1,120AD BD ADB ==∠=AB ==.故在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小2=.17=【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查等边三角形的面积公式，考查几何概型的计算，属于基础题.12.已知，为椭圆：的左右焦点，过原点的直线与椭圆1F 2F C ()222210x y a b a b +=>>O l 交于，两点，若，，，则（ ）.C A B 12AF AF ⊥122F AF S ∆=AB 4=22a b +=A. 36 B. 12C. 10D. 8【答案】D 【解析】【分析】根据椭圆的对称性判断出是矩形，由此得到，根据三角形12AF BF 1224c F F AB ===的面积，结合椭圆的定义求得的值，进而求得的值，从而求得的值.12F AF 2a 2b 22a b +【详解】连接，根据椭圆的对称性可知是矩形，所以12,BF BF 12AF BF ，即.根据椭圆的定义和三角形面积公式得1224c F F AB ===2c =，解得，所以，所以.12122221221224AF AF aAF AF AF AF c ⎧+=⎪⎪⋅=⎨⎪⎪+=⎩26a =2222b a c =-=22a b +628=+=故选：D.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆的定义，考查勾股定理，考查方程的思想，考查椭圆的几何性质，属于基础题.二、填空题：13.已知函数，则______.()2,00x x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩()()2f f -=【答案】1【解析】【分析】先求得的值，进而求得的值.()2f -()()2f f -【详解】依题意，.()21224f --==112142f ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故填：.1【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查指数运算和根式运算，属于基础题.14.已知各项均为正数的等比数列满足，则______.{}n a 5678932a a a a a =7a =【答案】2【解析】【分析】根据等比数列下标和的性质化简已知条件，由此求得的值.7a 【详解】由等比数列下标和的性质可知，解得.556789732a a a a a a ==72a =故填：.2【点睛】本小题主要考查等比数列下标和的性质，考查运算求解能力，属于基础题.15.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭10,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω______.【答案】40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据正弦函数的单调递增区间求得的取值范围，这个取值范围包含区间，由此列x 10,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦不等式组，解不等式组求得的取值范围.ω【详解】由，解得，所以πππ2π2π262k x k ω-≤+≤+2ππ2π2π33k k x ωω-+≤≤，，由于，故，所以.2π2π30π2ππ34k k ωω⎧-⎪≤⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩408313k k ω⎧<≤+⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩k Z ∈0k =403ω<≤故填：.40,3⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本小题主要考查已知三角函数在给定区间上的单调性求参数的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16.已知四面体的各棱长都为4，点是线段的中点，若球是四面体的ABCD E BD O ABCD 外接球，过点作球的截面，则所得截面圆的面积取值范围是______.E O 【答案】[]4,6ππ【解析】【分析】先求得外接球的半径，然后根据球的截面计算出最小的截面圆和最大的截面圆的面积，由此求得截面圆的面积取值范围.【详解】设等边三角形的外心为，正四面体外接球的球心为，高为.BCD 1O ABCD O 1O A 设球的半径为，由得，R 22211OB O B OO =+)2221R O B R=+-.过和作出球的截面图，是球的直径，R ===E O MN ，最小的截面圆圆心为，半径为，面积为.最大的BD MN ⊥E 122ED BD ==2π24π⨯=截面圆圆心为，半径为，面积为.故截面圆的面积取值范围是O R=2π6π⨯=.[]4,6ππ故填：.[]4,6ππ【点睛】本小题主要考查正四面体外接球半径的计算，考查过球内一点球的截面面积的取值范围的求法，考查空间想象能力，考查运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题17.某企业为了提高企业利润，从2014年至2018年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额（单位：万元）与年利润增长量（单位：万元）的数据如表：x y 年份20142015201620172018投资金额/万元x 4.05.06.07.08.0年利润增长量/万y 元6.07.09.011.12.0（1）记年利润增长量投资金额，现从2014年至2018年这5年中抽出两年进行调查分ω=-析，求所抽两年都是万元的概率；2ω>（2）请用最小二乘法求出关于的回归直线方程；如果2019年该企业对生产环节改进的y x 投资金额为10万元，试估计该企业在2019年的年利润增长量为多少？参考公式：，；()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nxybx xx nx====---==--∑∑∑∑ a y bx =-$$参考数据：，.51286i ii x y==∑21190nii x==∑【答案】（1）； （2）该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元.310【解析】【分析】（1）利用列举法列举出年中抽出两年的基本事件总数，然后求得其中两年都是的基52ω>本事件数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.（2）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并将代入回归直线方程，10x =求得年利润增长量的估计值.2019【详解】（1）2014年至2018年的分别记为：，，，，ω12ω=22ω=33ω=44ω=，54ω=抽取两年的基本事件有：，，，，，，，，()12,ωω()13,ωω()14,ωω()15,ωω()23,ωω()24,ωω()25,ωω()34,ωω，，共10种，()35,ωω()45,ωω其中两年都是的基本事件有：，，，共3种，2ω>()34,ωω()35,ωω()45,ωω故所求概率为.310P =（2），，6x = 9y =5270xy =则，5152215286270=1.61901805i ii i i x y x yb x x ∧==--==--∑∑ 9 1.660.6a y bx =-=-⨯=- 所以回归直线方程为，将代入上述方程得，1.60.6y x =-10x = 15.4y =即该企业在该年的年利润增长量大约为15.4万元.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.18.已知等差数列的前项和为，且，.{}n a n n S 1612a a +=39S =（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和.11n n n n n S S b S S ++-=⋅{}n b n n T 【答案】（1）； （2）.21n a n =-()2111n -+【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得数列的通项1,a d 1,a d {}n a 公式.（2）先求得，然后利用裂项求和法求得.n S n T 【详解】（1）设数列的公差为，则{}n a d ，解得，，.112512339a d a d +=⎧⎨+=⎩11a =2d =21n a n ∴=-（2）由（1）知，()()12121S 22n n n a a n n n ++-===，()1221111111n n n n n n n S S b S S S S n n +++-==-=-⋅+ 1221321111111n n n n T b b b S S S S S S +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()21111111n S S n +=-=-+【点睛】本小题主要考查基本元的思想求解等差数列通项公式和前项和公式，考查裂项求n 和法，考查运算求解能力，属于中档题.19.如图1，等腰中，，，点，，为线段的四等分1AFA ∆15FA FA ==18AA =B C D 1AA 点，且.现沿，，折叠成图2所示的几何体，使.////BE CF DG BE CF DG 60BCD ∠=︒（图1）（图2）（1）证明：平面；//AE DCFG （2）求几何体的体积.BCD EFG -【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）通过证明平面、平面来证得平面平面，//AB DCFG //BE DCFG ABE DCFG 由此证得平面.AE DCFG （2）将所求几何体分割成三棱柱和三棱锥两个部分，根据棱柱和棱锥的体积BCD EFG -计算公式，计算出相应的体积，再相加求得几何体的体积.BCD EFG -【详解】（1）由，可知四边形是棱形，所以，AB BC CD DA ===ABCD //AB DC 又平面，平面，所以平面，AB ⊄DCFG DC ⊂DCFG //AB DCFG 因为，平面，平面，所以平面，//BE FC BE ⊄DCFG FC ⊂DCFG //BE DCFG 又，所以平面平面，AB BE B = //ABE DCFG 又平面，所以平面.AE ⊂ABE //AE DCFG （2）连接，，取的中点，连接，，BD GE FC P EP GP 则，12BE CP DG FC ===由图1知，所以，，1FC AA ⊥FC CD ⊥FC BC ⊥所以平面，平面，FC ⊥BCD PC ⊥BCD 又，所以几何体为直三棱柱，平面.////BE CP DG BCD EPG -FP ⊥EPG 由图1，直角三角形中，，，所以，ACF 5FA =4AC =3=FC 所以，32CP PF ==由，知三角形为正三角形，则，BC CD =60BCD ∠=︒BCD BCD EPG S S ∆∆==所以.BCD EFG BCD EPG F EPGV V V---=+三棱柱三棱锥13BCD EPG S CP S PF ∆∆=⋅+⋅==【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查不规则几何体体积的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知抛物线：的焦点为，抛物线上存在一点到焦点C ()220x py p =>F C (),2E t 的距离等于3.F （1）求抛物线的方程；C （2）过点的直线交抛物线于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两F l C A B AB x M N 点，设线段的中点为，求的最小值.AB Q sin QMN ∠【答案】（1）； （2）.24x y =12【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求得，进而求得抛物线方程.p （2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，求出线段中点l AB 坐标即圆心坐标以及半径，由此写出的表达式，进而求得的最小值.sin QMN ∠sin QMN ∠【详解】（1）由题意得抛物线的准线方程为，2py =-点到焦点的距离等于3，，解得，(),2E t F 232p ∴+=2p =抛物线的方程为.∴C 24x y =（2）由题知直线的斜率存在，l 设，，直线的方程为，()11,A x y ()22,B x y l 1y kx =+由，消去得，214y kx x y =+⎧⎨=⎩y 2440x ky --=所以，，124x x k +=124x x ⋅=-所以，()21212242y y k x x k +=++=+所以的中点的坐标为，AB Q ()22,21k k +，21244AB y y p k =++=+所以圆的半径为.Q 222r k =+在等腰中，QMN ∆，22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∴∠===-≥-=++当且仅当时取等号.0k =所以的最小值为.sin QMN ∠12【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.已知函数.()ln f x ax x=-（1）求的极值；()f x （2）若，，求证：.1a =-()()x g x f x e =+()0g x >【答案】（1）详见解析； （2）详见解析.【解析】【分析】（1）先求得函数的定义域和导函数，根据两种情况，分类讨论函数的单0,0a a ≤>()f x 调区间，由此求得函数的极值.（2）先求得的表达，利用的一阶导数以及二阶导数，证得的最小值为正数，()g x ()g x ()g x 由此证得成立.()0g x >【详解】（1），()()10f x a x x '=->当时，恒成立，则在上单调递减，无极值；0a ≤()0f x '<()f x ()0,∞+()f x 当时，令，得；令，得，0a >()0f x '>1x a >()0f x '<10x a <<则在上单调递减，在上单调递增，()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有极小值为,无极大值()f x 1ln a +（2）当时，，1a =-()()ln 0x g x e x x x =-->，令，则，()11x g x e x '=--()()h x g x '=()210xh x e x =+>'所以在上单调递增.()h x()0,∞+又，，1302h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭()120h e =->所以，使得，即，01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()000110x h x e x =--=0011x e x =+所以函数在上单调递减，在上单调递增，()g x ()00,x ()0,x +∞所以函数的最小值为，()g x ()00000001ln 1ln x g x e x x x x x =--=+--又函数在上是单调减函数，11ln y x x x =+--1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，()011ln1110g x >+--=>故.()0g x >【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的极值，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.22.在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数）.以为极点，xOyl 12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t O 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.x C 2222cos 2sin ρθθ=+（1）求曲线的直角坐标方程；C （2）设直线与轴交于点，与曲线交于，两点，且，求实数的值.l xP C A B AB =m 【答案】（1）； （2）.2212x y +=2m =±【解析】【分析】（1）利用，将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程.cos x ρθ=sin y ρθ=C （2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，写出判别式和韦达定理，利用直线参l C数的几何意义，结合列方程，解方程求得的值.AB =m 【详解】（1）曲线的极坐标方程可化为，C ()222cos 2sin 2ρθθ+=将，代入上式得，即.cos x ρθ=sin y ρθ=2222x y +=2212x y +=（2）将直线的参数方程代入得l 2222x y +=，化简得，221222m t ⎫⎛⎫++⋅=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭225204t m +-=由得)()22254221004m m ∆=-⨯⨯-=-+>m <<，，12t t +=()212425t t m ⋅=-，()2222121212323232452525AB t t t t t t m =-=+-⋅=-=所以.2m =±【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义计算弦长，考查运算求解能力，属于中档题.23.已知函数.()11f x x x =--+（1）求不等式的解集；()1f x <（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.()2f x x x m≤++m 【答案】（1）； （2）.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2m ≥【解析】【分析】（1）利用零点分段法将函数表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集；()f x ()1f x <（2）将不等式分离常数得到，利用零点分段法求得()2f x x x m≤++()2m f x x x≥--，由此求得.()22f x x x --≤2m ≥【详解】（1）()2,1112,112,1x f x x x x x x ≤-⎧⎪=--+=--<<⎨⎪-≥⎩当时，无解；1x ≤-()1f x <当时，由得，解得；11x -<<()1f x <21x -<112x -<<当时，恒成立，则；1x ≥()1f x <1x ≥综上所述，不等式的解集为.()1f x <1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭（2）不等式恒成立，()2f x x x m≤++恒成立.()2m f x x x∴≥--当时，；1x ≤-()2222f x x x x x --=--+≤当时，；11x -<<()222232f x x x x x x x x --=---=--<当时，，1x ≥()2224f x x x x x --=---≤-，()22f x x x ∴--≤，即实数的取值范围.2m ∴≥m 2m ≥【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。

永州市2020年高考第一次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 123456789101112 答案CBADABCDCADB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对 横线上. 13．214．515． 3 3 10 4 16．3 2三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过骤. 17．（本小题满分12分） 解：（1）在DABC 中，由正弦定理得sinBcosA-sinAsinB=0，⋯⋯⋯⋯⋯2分 sinB0，tanA1，⋯⋯⋯⋯⋯4分 因为A(0，)，所以 A .⋯⋯⋯⋯⋯6分 4 （2）ABAD ，且 B AC ， 4 C AD ，⋯⋯⋯⋯⋯7分 4 在DACD 中，AC=22，CD=5， CAD 4222 由余弦定理得 CD=AC+AD-2AC 鬃ADcos?CAD ，⋯⋯⋯⋯⋯9分 即 22 5=8+AD-2创22AD?，解得：AD1或AD3⋯⋯⋯⋯11分 2 AD 的长为1或3.⋯⋯⋯⋯⋯12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）如DE ，易知ΔDCE，P C E P Q ，D PQ ⊥CE ，DQ ⊥CE ⋯⋯⋯⋯⋯2分 又DQPQQ ，PQ,DQ 平面DPQ ， EC 平面PDQ ，⋯⋯⋯⋯⋯4分 又PD 平面PDQ ，所以EC ⊥PD.⋯⋯⋯⋯⋯5分 （2）因为二面角PECD 为直二面角，所以平面PEC 平面AECD ， 又因为平面PEC 平面AECDEC ，且PQ ⊥EC ，所以PQ ⊥平面AEC. 永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答案第1页（共7页）又因为E C ⊥D Q ，故以点Q 为坐标原点，QC ，Q D，Q P 所在直为x 轴、z 轴建立如图所示的空间直角Qxyz.⋯⋯⋯⋯⋯6分 则A(2,3,0)，E(1,0,0)，P(0,0,3).所以AE(1,-3,0)，AP(2,-3,3)设平面PAC 的法向量为m(x ，y ，z).由 ì? mAE ? í ??mAP ? 0 0 得 ì-=x3y0 ? í ?-+= 2x3y3z0 ?取z=-1，所以m=(3,1,-1).⋯⋯⋯⋯⋯9分 又因为直线PQ^平面AEC ，所以PQ=(0,0,3)是平面AEC 的一个法向量，所以cos,35 m?PQ <mPQ>===-5 m ×PQ53 ′ .⋯⋯⋯⋯⋯11分 又因为二面角PAEC 为锐二面角5 所以二面角PAEC 的余弦值5.⋯⋯⋯⋯⋯12分 19．（本小题满分12分）3141解：（1）由题意知22aba2，解得a b 2 1所以椭圆C 的方程为2 x 42y1.⋯⋯⋯⋯⋯4分 （2）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l:ykx+2,Ax 1,y 2,Bx 2,y 2，ykx+2 联立2 x 42 y ，消去y ，整理得：1212 kx4kx30 4∴4k3xx,xx12121122kk44⋯⋯⋯⋯⋯6分由22124k4k34k30得：43k或23k⋯⋯⋯⋯7分2因为坐标原点O在以线段A B为直径的圆外∴OAOBx1x2y1y20⋯⋯⋯⋯⋯9分又 2 y1y2kx12kx22kx1x22kx1x242223k8kk14111222kkk444∵23k11122kk440 ，即24k∴2k2.⋯⋯⋯⋯⋯11分故 2 3k或232k2.⋯⋯⋯⋯⋯12分20．（本小题满分12分）解：（1）根据条形图可知，优等品的频率为121，用频率估计概率，则874215002任取一件产品为优等品的概率为 1P.⋯⋯⋯⋯⋯2分2（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为1，2 由题意X(16001000)80250447000，或X(15001000)80250439000⋯⋯⋯⋯⋯3分1154434P(X470004)C()；⋯⋯⋯⋯⋯4分)C(4221604142411111P(X39000)C4CC⋯⋯⋯⋯⋯5分()()()4422216永州市22年高考第一次模拟考试·数学（理科）案第3页（共7页）故X的分布列为：X4700039000P5111616511所以数学期望EX41500⋯⋯⋯⋯⋯6分16164700039000（3）机器人在第0格为必然事件，P01，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率 1P.机器人移到第n(2n49)格的情况只有两种：121①先到第n2格，又出现反面，其概率2P，n2②先到第n1格，又出现正面，其概率12Pn1所以111P n PP，故P n P(PP)⋯⋯⋯⋯⋯8分n1n2n1n1n22221 所以1n49时，数列{P n P n1}为首项P1P，2 公比为12的等比数列.所以 1P1P，212P2P()，1213P3P()，，221n P n P)(n2以上各式累加，得11112P1()()()n n ，222111211nn1n2所n)](0,1,,49)⋯10分P1()()()[1(2223221502150所以获胜概率)]P[1()][1(，493232111491149失败概率P)]⋯⋯⋯⋯⋯11分4823232215011491148P49P[1)][1([)，所以获胜概率更大，()]1(]050323232.⋯⋯⋯⋯⋯12分该款产品故此方案能吸引顾客购买21．（本小题满分12分），⋯⋯⋯⋯1分解：（1）函数fx的定义域为0,．f'xe x ax案第4页（共7页）永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答xa 当a0时，'efxx在0,单调递增，af'ae10，x0时f'x-，∴存在唯一正数 x ，使得f'x 00，⋯⋯⋯⋯⋯3分函数fx 在0,x 单调递减，在x 0,单调递增， 0∴函数fx 有唯一极小值点x 0，没有极大值点，∴当a0时，fx 有唯一极小值点，没有极大值点．⋯⋯⋯⋯⋯5分 （2）由（1）知，当a0时，fx 有唯一极小值点x 0，x∴fx m fxe 0alnx ，fx0恒成立fx 0000inax ∵e 0x 0a1 fxalnxalnx0 ，∴000xx 00， ∴ 1 x 0lnx0 0．⋯⋯⋯⋯⋯6分令1 hxlnxx，则h x 在0,单调递减，由于1.741ln1.740h ， 1.741 h1.8ln1.80， 1.8∴存在唯一正数m1.74,1.8，使得hm0，从而x 00,m ．⋯⋯8分 x由于fx 0e 0alnx 00恒成立，①当x 00,1时，x fx 0ealnx 00成立；②当x 01,m 时，由于xax ，∴ e 0ln0a x e 0l n x 0． 令 gxxe lnx，当x1,m 时， gxxx eln lnx21 x0 ，∴gxxelnx在1,m单调递减，从而agm．永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答案第5页（共7页）∵gmg1.74，且1.75eg1.7410.3，且a N ，ln1.74∴a10．⋯⋯⋯⋯⋯10分x下面证明a 10时，fxe10lnx0．fx x e 10 x ，且fx 在0,单调递增，由于f'1.740，f'1.80，∴存在唯一 x 01.74,1.8，使得 10 xf'xe 00x 0，101x ∴fxfxe 010lnx10ln10x10(xln10)0000minxx 00．令1 ux10(xln10)x 0，x1.74,1.8，易知ux 在1.74,1.8单调递增，∴1 uxu1.7410(1.74ln10)102.312.3030，1.9∴ 1 fxfx10(xln10)0 00minx 0 x ，即a10时，fxe10lnx0．∴a 的最大值是10．⋯⋯⋯⋯⋯12分22．（本小题满分10分）解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为 （）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2cos 22sin 2=2 2cos 22sin 2=2将cosx,siny 代入上式得x y ，2+222 2+2222 x 所以曲线C 的直角坐标方程为22 +y1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）将直线l 的参数方程代入x y 得2+222 2+2223122(tm)2(t)2，化简得 225 4 22 t3mtm20；⋯⋯⋯6分由2522 (3m)4(m2)2m100，得5m5；44342ttm,tt(m2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 121255 3232322222 ABtt=(tt)4ttm=，12121252525所以m2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分23.（本小题满分10分）永州市22年高考第一次模拟考试·数学（理科）案第6页（共7页）WORD 格式专业资料整理2,x1解：（1）f(x)x1x12x,1x1.⋯⋯2分2,x1当x1时，f(x)1无解；当1x1当x1 2 x1；1 综上所述，不等式f(x)1的解集为(,) 2 2 （2）不等式f(x)xxm 恒成立, .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 2 mf(x)xx 恒成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分当x1时， 22 f(x)xxxx22；当1x1时， 222 f(x)xxxx2xx3x2； 当x1时， 22 f(x)xxxx24,2f(x)xx2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分m2，即实数m 的取值范围m2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分永。

2020年湖南省永州市中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.2018的相反数是()A. 2018B. −2018C. 12018D. −120182.下列图标，是轴对称图形的是()A. B.C. D.3.据统计：2018年苏州市户籍总人口约6700000人，将6700000用科学记数法表示为()A. 0.67x107B. 6.7x107C. 67x105D. 6.7x1064.下列计算正确的是()A. x2+x=2x2B. (−a2)4=−a12C. (3a3)2=9a6D. x11÷x4⋅x2=x85.一组数据：201、200、199、202、200，分别减去200，得到另一组数据：1、0、−1、2、0，其中判断错误的是()A. 前一组数据的中位数是200B. 前一组数据的众数是200C. 后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200D. 后一组数据的方差等于前一组数据的方差减去2006.如图，AB=DB，∠ABD=∠CBE，①BE=BC，②∠D=∠A，③∠C=∠E，④AC=DE，能使△ABC≌△DBE的条件有()个．A. 1B. 2C. 3D. 47.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为点A、B，CD切⊙O于点Q交PA，PB于点C、D，且PA=8cm，则△PCD的周长为()A. 8cmB. 10cmC. 12cmD. 16cm8. 如图，在△ABC 中，DE//BC ，EF//AB.若AB =3AD ，△ADE 的面积为3，则△EFC 的面积为( )A. 18B. 12C. 9D. 69. 由四个大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，那么从上面看到它的形状图是( )A. B. C. D.10. 点P 是直线y =−x +4上一动点，O 为原点，则线段OP 的最小值为( )A. 2B. √2C. 2√2D. 4 二、填空题（本大题共8小题，共32.0分） 11. 在函数y =√x −3+1x−2中，自变量x 的取值范围是______．12. 方程组{3x −4y =1x −4y =7的解是______ ． 13. 若一元二次方程2x 2−2x +m =0有实数根，则m 的取值范围是______．14. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如下：阅读时间(x 小时)x ≤3.5 3.5<x ≤5 5<x ≤6.5 x >6.5 人数 12 8 6 4．15. 已知圆锥底面半径是4，母线长是9，它的侧面积是___________．16. 已知直线a//b ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图所示方式放置(∠BAC =30°)，并且顶点A ，C 分别落在直线a ，b 上，若∠1=18°，则∠2的度数是______．17. 正比例函数y =x 与反比例函数y =1x 的图象相交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，如图所示，则四边形ABCD 的面积为_______．18. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是边长为4的等边三角形，OD 是AB边上的高，点P 是OD 上的一个动点，若点C 的坐标是(0,−√3)，则PA +PC的最小值是______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）19. 先化简，再求值：(1−1m+2)÷m 2+2m+12m+2，其中m =√2−2．四、解答题（本大题共7小题，共70.0分）)−1−20180−|1−√3|.20.计算：2sin60°+(−1221.某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：(1)本次抽样调查共抽取了______名学生？测试结果为C等级的学生数是______，并补全条形图；(2)若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两名恰好都是男生的概率．22.如图，一艘船上午9时在A处望见灯塔E在北偏东60°方向上，此船沿正东方向以每小时30海里的速度航行，11时到达B处，在B处测得灯塔E在北偏东15°方向上．(1)求∠AEB的度数；(2)已知灯塔E周围40海里内有暗礁，问：此船继续向东方向航行，有无触礁危险？(参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732)23.端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．(1)求A、B两种粽子的单价各是多少？(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若DB平分∠ADC，AB=5√2，AD：DE=4：1，求DE的长．25.如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A(1,0)，B(0,2)，抛物线y=x2+bx−2的图象经过C点．(1)求抛物线的解析式；(2)平移该抛物线的对称轴所在直线l.当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．26.综合与实践：在综合实践课上，老师让同学们对一张长AB=4，宽BC=3的矩形纸片ABCD进行剪拼操作，如图(1)，希望小组沿对角线AC剪开得到两张三角形纸片△ABC和△A′DC′．操作与发现：(1)将这两张三角形纸片按如图(2)摆放，连接BD，他们发现AC⊥BD，请证明这个结论；操作与探究：(2)在图(2)中，将△A′C′D纸片沿射线AC的方向平移，连接BC′，BA′.在平移的过程中：①如图(3)，当BA′与C′D平行时判断四边形A′BC′D的形状，说明理由并求出此时△A′C′D平移的距离；②当BD经过点C时，直接写出△A′C′D平移的距离．操作与实践：(3)请你参照以上操作过程，利用图(1)中的两张三角形纸片，拼摆出新的图形．在图(4)中画出图形，标明字母，说明构图方法，并直接写出所要探究的问题，不必解答．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：2018的相反数是：−2018．故选：B．直接利用相反数的定义分析得出答案．此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．2.答案：D解析：[分析]根据轴对称图形的定义逐项进行分析判断即可得．[详解]解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；B、不是轴对称图形，故不符合题意；C、不是轴对称图形，故不符合题意；D、是轴对称图形，故符合题意，故选D．[点睛]本题考查了轴对称图形，熟知轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合的图形是解题的关键．3.答案：D解析：【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】将6700000用科学记数法表示为6.7×106．故选：D．4.答案：C解析：【分析】此题考查同类项、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘除法，关键是根据法则进行计算．根据同类项、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘除法计算即可．【解答】解：A、x2与x不是同类项，不能合并，错误；B、(−a2)4=a8，错误；C、(3a3)2=9a6，正确；D、x11÷x4⋅x2=x9，错误．故选C．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查方差，中位数，众数，算术平均数，一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数；一组数据按从大到小(或从小到大)的顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；方差为这组数据与平均数差的平方的平均数，据此可逐项求解．【解答】解：A.前组数据的众数是200，故该选项说法正确；B.前组数据的中位数是200，故该选项说法正确；C.后一组数据的平均数等于前一组数据的平均数减去200，故该选项说法正确；D.后一组数据的方差等于前一组数据的方差，故该选项说法错误.故选D．6.答案：C解析：解：∵AB=DB，∠ABD=∠CBE，∴∠ABC=∠DBE，∵BE=BC，利用SAS可得△ABC≌△DBE，故①正确；∵∠D=∠A，利用ASA可得△ABC≌△DBE，故②正确；∵∠C=∠E，利用AAS可得△ABC≌△DBE，故③正确；∵AC=DE，利用SSA不能得到△ABC≌△DBE，故④错误；故选：C．根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．7.答案：D解析：解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为点A、B，∴PB=PA=8cm，∵CD切⊙O于点Q交PA，PB于点C、D，∴CA=CQ，DQ=DB，∴△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=16cm，故选：D．根据切线长定理得到PB=PA=8cm，CA=CQ，DQ=DB，根据三角形的周长公式计算．本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解答此题可先由AB=3AD得到AD与AB的比值，然后根据DE//BC可得△ADE与△ABC相似，从而可得△ABC的面积，再由EF//AB，可得△CEF∽△BAB，从而可得△EFC的面积．【解答】解：∵AB=3AD，∴ADAB =13，∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，AEAC =ADAB=13，即ECAC=23，∴S△ADES△ABC =(13)2=19，∴S△ABC=9×3=27，∵EF//AB，∴△CEF∽△CAB，∴S△CEFS△CAB =(23)2=49，∴S△CEF=27×49=12，故选B．9.答案：B解析：【分析】此题主要考查了作三视图，关键是掌握三视图所看的位置和画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等【解答】解：该几何体从上面看到的是：左右3个正方形．故选B．10.答案：C解析：解：设直线y=−x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小．当x=0时，y=−x+4=4，∴点A(0,4)，∴OA=4；当y=−x+4=0时，x=4，∴点B(4,0)，∴OB=4，∴AB=√OA2+OB2=4√2．∴OP =OA⋅OB AB =2√2．故选C ．设直线y =−x +4与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，过点O 作直线AB 的垂线，垂足为点P ，此时线段OP 最小，分别将x =0，y =0代入一次函数解析式中求出与之对应的y 、x 值，进而即可得出OA 、OB 的长度，利用勾股定理即可得出AB 的长度，再利用面积法即可求出OP 的长度．本题考查了点到直线的距离、一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及三角形的面积，利用点到直线之间垂线段最短找出点P 的位置是解题的关键．11.答案：x ≥3解析：【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x −3≥0且x −2≠0，解得x ≥3且x ≠2，所以，x ≥3．故答案为：x ≥3．12.答案：{x =−3y =−2.5解析：解：{3x −4y =1①x −4y =7②， ①−②得：2x =−6，即x =−3，把x =−3代入②得：y =−2.5，则方程组的解为{x =−3y =−2.5． 故答案为：{x =−3y =−2.5． 方程组利用加减消元法求出解即可．此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 13.答案：m ≤12解析：解：∵方程有实数根，∴△=b2−4ac=(−2)2−4×2×m=4−8m≥0，．解得：m≤12若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．14.答案：400人=400(人)，解析：解：1200×6+412+8+6+4答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人．用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论．本题考查了频数(率)分布表，用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．15.答案：36π解析：【分析】本题主要考查圆锥侧面积的计算.利用圆锥的底面半径为4，母线长为9，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【解答】解：依题意知母线长=9，底面半径r=4，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×4×9=36π，故答案为36π．16.答案：48°解析：解：∵a//b，∴∠2=∠1+∠CAB=18°+30°=48°，故答案为：48°根据平行线的性质和直角三角形的性质解答即可．此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答．17.答案：2解析：【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的判定以及平行四边形的面积，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点A 、C 的坐标是解题的关键．联立正、反比例函数解析式成方程组，解之即可得出点A 、C 的坐标，结合AB ⊥x 轴于B 、CD ⊥x 轴于D 即可得出AB//CD 、AB =CD =1，即四边形ABCD 为平行四边形，根据点A 、C 的坐标结合平行四边形的面积公式即可求出四边形ABCD 的面积．【解答】解：联立正、反比例函数解析式成方程组，{y =xy =1x，解得{x =−1y =−1或{x =1y =1， ∴点A(−1,−1)，点C(1,1)，∵AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，∴AB//CD ，AB =CD =1，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵点A(−1,−1)，点C(1,1)，∴BD =1−(−1)=2，∴S 平行四边形ABCD =CD ⋅BD =1×2=2．故答案为2．18.答案：√31解析：【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，熟练掌握最短路径的确定方法找出点P 的位置以及表示PA +PC 的最小值的线段是解题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．过B 作BE ⊥y 轴于E ，连接BP ，依据OD 垂直平分AB ，可得AP =BP ，PA +PC =BP +PC ，当C ，P ，B 三点共线时，PA +PC 的最小值等于BC 的长，在Rt △BCE 中利用勾股定理即可得到BC 的长，进而得出PA +PC 的最小值是√31．【解答】解：如图，过B 作BE ⊥y 轴于E ，连接BP ，∵△OAB是边长为4的等边三角形，OD是AB边上的高，∴OD是中线，∴OD垂直平分AB，∴AP=BP，∴PA+PC=BP+PC，当C，P，B三点共线时，PA+PC的最小值等于BC的长，∵∠BOE=90°−60°=30°，OB=4，∴BE=2，OE=2√3，又∵点C的坐标是(0,−√3)，∴OC=√3，CE=3√3，∴Rt△BCE中，BC=√BE2+CE2=√22+(3√3)2=√31，即PA+PC的最小值是√31，故答案为：√31．19.答案：解：原式=(m+2m+2−1m+2)÷(m+1)22(m+1)=m+1m+2⋅2m+1=2m+2，当m=√2−2时，原式=√2−2+2=√2．解析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．20.答案：解：原式=2×√32−2−1−(√3−1)=√3−2−1−√3+1=−2．解析：直接利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和零指数幂的性质分别化简进而得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．21.答案：解：(1)50；16；补全图形如下：(2)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，所以抽取的两人恰好都是男生的概率=212=16．解析：【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图．(1)用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量，用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；(2)画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：(1)本次抽样调查抽查的人数为10÷20%=50人，C等级人数为50−(10+20+4)=16人，补全图形如下：故答案为50、16；(2)见答案．22.答案：解：(1)∠AEB=180°−30°−90°−15°=45°；(2)作BM⊥AE，EH⊥AB，垂足分别为M，H，∵AB=2×30=60，∠MAB=30°，∴BM=30，AM=AB⋅cos∠MAB=60×cos30°=30√3，∵∠MBE=90°−∠AEB=90°−45°=45°=∠AEB，∴EM=BM=30，∴AE=30√3+30，∴EH=15√3+15≈40.98>40，∴此船继续向正东方向航行，无触礁危险．解析：(1)根据方向角的概念、三角形内角和定理计算即可；(2)作BM⊥AE，EH⊥AB，求出AM、BM，得到AE，根据正弦的概念求出EH，比较即可得到答案．本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23.答案：解：(1)设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：1500x +15001.2x=1100，解得：x=2.5，经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x=3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．(2)设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2600−m)个，依题意，得：3m+2.5(2600−m)≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．解析：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．(1)设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量=总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2600−m)个，根据总价=单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．24.答案：(1)证明：连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF．∴∠FDC=∠FCD．∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°．∴DF是⊙O的切线．(2)解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴AB⏜=BC⏜，∴BC=AB=5√2，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100，又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°．∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD⋅AE，设DE=x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x⋅5x，∴x=√5，∴DE=√5．解析：此题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD⋅AE是解题关键．(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；(2)首先得出AB=BC，即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD⋅AE，进而得出答案．25.答案：解：(1)如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB与△CDA中，{∠OAB=∠ACD AB=AC∠OBA=∠CAD，∴△AOB≌△CDA(ASA)，∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C(3,1)．∵点C(3,1)在抛物线y=12x2+bx−2上，∴1=12×9+3b−2，解得：b=−12．∴抛物线的解析式为：y=12x2−12x−2；(2)在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=√5．∴S△ABC=12AB2=52．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B(0,2)，C(3,1)，∴{b=23k+b=1，解得k=−13，b=2，∴y=−13x+2．同理求得直线AC的解析式为：y=12x−12．如答图1所示，设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=(−13x+2)−(12x−12)=52−56x.在△CEF中，EF边上的高ℎ=OD−x=3−x．由题意得：S△CEF=12S△ABC，即：12EF⋅ℎ=12S△ABC，∴12×(52−56x)⋅(3−x)=12×52，整理得：(3−x)2=3，解得x=3−√3或x=3+√3(不合题意，舍去)，∴当直线l解析式为x=3−√3时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．(3)存在．如答图2所示，过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB−OG=1．过点A作AP//BC交y轴于点W，∵四边形ACBP是平行四边形，∴AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．过点P作PH⊥x轴于点H，∵BC//AP，∴∠CBO=∠AWO，∵PH//WO，∴∠APH=∠AWO，∴∠CBG=∠APH，在△PAH和△BCG中，{∠AHP=∠BGC ∠APH=∠CBG AP=BC，∴△PAH≌△BCG(AAS)，∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH−OA=2，∴P(−2,1)．抛物线解析式为：y=12x2−12x−2，当x=−2时，y=1，即点P在抛物线上．∴存在符合条件的点P，点P的坐标为(−2,1)．解析：本题考查了二次函数综合题型以及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．(1)首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；(2)首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=12S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；(3)首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．26.答案：解：(1)如图2，∵AB=AD，BC=DC，∴点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，∴AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD；(2)①四边形A′BC′D 是矩形，理由：如图3，∵BA′与C′D 平行，∴∠D′C′A =∠BA′C′，又∵∠DC′A′=∠A ，∴∠BA′C′=∠A ，∴AB =A′B ，又∵AB =C′D ，∴A′B =C′D ，∴四边形A′BC′D 是平行四边形，又∵∠A′DC′=90°，∴四边形A′BC′D 是矩形，∴BC′=A′D =3，又∵BC =3，∴BC =BC′，过B 作BH ⊥AA′于H ，则C′H =CH ，∵Rt △ABC 中，AB =4，BC =3，∴AC =5，∴BH =3×45=125， ∴Rt △BC′H 中，C′H =√32−(125)2=95，Rt △ABH 中，AH =√42−(125)2=165，∴AC′=AH −C′H =165−95=75，即△A′C′D 平移的距离为75；②如图，当BD 经过点C 时，过D 作DG ⊥A′C′于G ，∵∠A′=∠ACB =∠DCA′，∴DC =DA′=3，∵Rt △A′C′D 中，GD =125，∴CG =√32−(125)2=95，∴A′C =2CG =185；(3)在图4中，将△A′C′D纸片沿射线AC的方向平移，连接BD，AD，BC′.在平移的过程中：①如图5，当BD与C′A垂直时，判断四边形A′BC′D的形状，说明理由并求出此时△A′C′D平移的距离；②当BD与C′A垂直时，直接写出四边形A′BC′D的面积．解析：(1)根据AB=AD，BC=DC，可得点A在BD的垂直平分线上，点C在BD的垂直平分线上，进而得到AC是线段BD的垂直平分线，即可得到结论；(2)①先判定四边形A′BC′D是平行四边形，再根据∠A′DC′=90°，即可得出四边形A′BC′D是矩形；过B作BH⊥AA′于H，则C′H=CH，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，即可得到△A′C′D平移的距离；②当BD经过点C时，过D作DG⊥A′C′于G，根据∠A′=∠ACB=∠DCA′，可得DC=DA′=3，再根据Rt△A′C′D中，GD=125，运用勾股定理即可得出CG=95，进而得到A′C=2CG=185；(3)根据图形的平移变换，将(2)中的矩形判定问题转化为菱形的判定问题，以及菱形的面积计算问题即可，答案不唯一．本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质以及图形的平移变换的运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，运用等腰三角形三线合一的性质进行计算．解题时注意：有一个角为直角的平行四边形是矩形．。

2020年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）一．选择题（共10小题）1．2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．D．2．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．永州70年的发展历程，是一幅波澜壮阔的历史画卷．保持了经济社会稳中有进，进中向好的发展态势，城乡居民人均可支配收入持续增长．截至2019年底，全市人口56万人，把56万这个数用科学记数法表示为（）A．0.56×106B．5.6×104C．5.6×105D．5.6×1064．如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．a6÷a2＝a3C．（﹣a3）2＝a6D．（ab）2＝ab2 6．在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法不正确的是（）A．众数是5B．中位数是5C．平均数是6D．方差是3.6 7．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形8．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC 的面积为（）A．8B．12C．14D．169．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．10．已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．令关于k的函数f（k）＝[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）＝[]﹣[]＝1．则下列结论错误的是（）A．f（1）＝0B．f（k+4）＝f（k）C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）＝0或1二．填空题（共8小题）11．分解因式：m2﹣3m＝．12．若分式的值为0，则x的值为．13．如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为．14．不等式组的解集为．15．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球个．16．已知圆锥的底面圆半径为3cm、高为4cm，则圆锥的侧面积是cm2．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为．18．在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为＝（m，n），已知：＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直，下列四组向量：①＝（2，1），＝（﹣1，2）；②＝（cos30°，tan45°），＝（﹣1，sin60°）；③＝（﹣，﹣2），＝（+，）；④＝（π0，2），＝（2，﹣1）．其中互相垂直的是（填上所有正确答案的符号）．三．解答题（共8小题）19．计算：2﹣2+﹣3tan30°+|﹣|．20．先化简、再求值：，其中．21．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；（2）请你将条形统计图补充完成；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．22．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．23．如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）24．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC 于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．26．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．2020年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．2020的倒数是（）A．﹣2020B．2020C．D．【分析】根据倒数之积等于1可得答案．【解答】解：2020的倒数是，故选：C．2．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；B、是轴对称图形，故选项正确；C、不是轴对称图形，故选项错误；D、不是轴对称图形，故选项错误．故选：B．3．永州70年的发展历程，是一幅波澜壮阔的历史画卷．保持了经济社会稳中有进，进中向好的发展态势，城乡居民人均可支配收入持续增长．截至2019年底，全市人口56万人，把56万这个数用科学记数法表示为（）A．0.56×106B．5.6×104C．5.6×105D．5.6×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：56万＝560000＝5.6×105．故选：C．4．如图，由5个相同正方体组合而成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是B中的图形，故选：B．5．下列运算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．a6÷a2＝a3C．（﹣a3）2＝a6D．（ab）2＝ab2【分析】根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a2+a2＝2a2，故A错误；B、a6÷a2＝a4，故B错误；C、（﹣a3）2＝a6，故C正确；D、（ab）2＝a2b2，故D错误．故选：C．6．在一次数学答题比赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则关于这组数据的说法不正确的是（）A．众数是5B．中位数是5C．平均数是6D．方差是3.6【分析】根据平均数、中位数、众数以及方差的定义判断各选项正误即可．【解答】解：A、数据中5出现2次，所以众数为5，此选项正确；B、数据重新排列为3、5、5、7、10，则中位数为5，此选项正确；C、平均数为（7+5+3+5+10）÷5＝6，此选项正确；D、方差为×[（7﹣6）2+（5﹣6）2×2+（3﹣6）2+（10﹣6）2]＝5.6，此选项错误；故选：D．7．下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形【分析】A、根据矩形的定义作出判断；B、根据菱形的性质作出判断；C、根据平行四边形的判定定理作出判断；D、根据正方形的判定定理作出判断．【解答】解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；故选：C．8．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC 的面积为（）A．8B．12C．14D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∵＝，∴＝，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+a与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，∴a＞0，∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧，∴a、b异号，即b＜0．∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0．∴一次函数y＝bx+a的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，故选：B．10．已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]＝3，[﹣1.8]＝﹣2．令关于k的函数f（k）＝[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）＝[]﹣[]＝1．则下列结论错误的是（）A．f（1）＝0B．f（k+4）＝f（k）C．f（k+1）≥f（k）D．f（k）＝0或1【分析】根据题意可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：f（1）＝[]﹣[]＝0﹣0＝0，故选项A正确；f（k+4）＝[]﹣[]＝[+1]﹣[+1]＝[]﹣[]＝f（k），故选项B正确；C、当k＝3时，f（3+1）＝[]﹣[]＝1﹣1＝0，而f（3）＝1，故选项C错误；D、当k＝3+4n（n为自然数）时，f（k）＝1，当k为其它的正整数时，f（k）＝0，所以D选项的结论正确；故选：C．二．填空题（共8小题）11．分解因式：m2﹣3m＝m（m﹣3）．【分析】首先确定公因式m，直接提取公因式m分解因式．【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．12．若分式的值为0，则x的值为﹣3．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：因为分式的值为0，所以＝0，化简得x2﹣9＝0，即x2＝9．解得x＝±3因为x﹣3≠0，即x≠3所以x＝﹣3．故答案为﹣3．13．如图，把一块三角板的直角顶点放在一直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数为40°．【分析】利用平行线的性质求出∠3即可解决问题．【解答】解：∵∠1＝∠3＝50°，∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝40°，故答案为：40°．14．不等式组的解集为﹣3＜x≤．【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀求出不等式组的解集即可．【解答】解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤，解不等式＞﹣2，得：x＞﹣3，则不等式组的解集为﹣3＜x≤，故答案为：﹣3＜x≤．15．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球8个．【分析】根据摸到红球的频率，可以得到摸到黑球和白球的概率之和，从而可以求得总的球数，从而可以得到红球的个数．【解答】解：由题意可得，摸到黑球和白球的频率之和为：1﹣0.4＝0.6，∴总的球数为：（8+4）÷0.6＝20，∴红球有：20﹣（8+4）＝8（个），故答案为：8．16．已知圆锥的底面圆半径为3cm、高为4cm，则圆锥的侧面积是15πcm2．【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的母线长＝5（cm），然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积．【解答】解：圆锥的母线长＝＝5（cm），所以圆锥的侧面积＝•2π•3•5＝15π（cm2）．故答案为15π．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为4．【分析】连接OB，OC，依据△BOC是等腰直角三角形，即可得到BO＝CO＝BC•cos45°＝2，进而得出⊙O的直径为4．【解答】解：如图，连接OB，OC，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，又∵BC＝4，∴BO＝CO＝BC•cos45°＝2，∴⊙O的直径为4，故答案为：4．18．在平面直角坐标系中，如果点P坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为＝（m，n），已知：＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直，下列四组向量：①＝（2，1），＝（﹣1，2）；②＝（cos30°，tan45°），＝（﹣1，sin60°）；③＝（﹣，﹣2），＝（+，）；④＝（π0，2），＝（2，﹣1）．其中互相垂直的是①②③④（填上所有正确答案的符号）．【分析】根据两个向量垂直的判定方法一一判断即可；【解答】解：①∵2×（﹣1）+1×2＝0，∴与垂直．②∵cos30°•（﹣1）+tan45°•sin60°＝﹣+＝0，∴与垂直．③∵（﹣）（+）+（﹣2）×＝0，∴与垂直．④∵π0×2+2×（﹣1）＝0，∴与垂直．故答案为①②③④．三．解答题（共8小题）19．计算：2﹣2+﹣3tan30°+|﹣|．【分析】先计算负整数指数幂、立方根，代入三角函数值、计算绝对值，再计算乘法，最后计算加减可得．【解答】解：原式＝+2﹣3×+＝+2﹣+＝．20．先化简、再求值：，其中．【分析】将括号里通分，除法化为乘法，因式分解，约分，再代值计算．【解答】解：原式＝•＝x﹣1，当x＝+1时，原式＝+1﹣1＝．21．某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A篮球、B乒乓球、C跳绳、D踢毽子，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有200人；（2）请你将条形统计图补充完成；（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．【分析】（1）由题意可知这次被调查的学生共有20÷＝200（人）；（2）首先求得C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人），继而可补全条形统计图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：这次被调查的学生共有20÷＝200（人）．故答案为：200；（2）C项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40＝60（人）；补充如图．（3）列表如下：甲乙丙丁甲一（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）一（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）一（丁，丙）丁（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）一∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，∴P（选中甲、乙）＝＝．22．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC、AD的中点，求证：∠ABF＝∠CDE．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的性质即可求出答案．【解答】解：在▱ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠C，∵E、F分别是边BC、AD的中点，∴AF＝CE，在△ABF与△CDE中，∴△ABF≌△CDE（SAS）∴∠ABF＝∠CDE23．如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）【分析】作PC⊥AB于C，如图，∠P AC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，设BC＝x，先判断△PBC为等腰直角三角形得到BC＝PC＝x，再在Rt△P AC中利用正切的定义得到8+x＝，解得x＝4（+1）≈10.92，即PC≈10.92，然后比较AC与10的大小即可判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险．【解答】解：没有触礁的危险．理由如下：作PC⊥AB于C，如图，∠P AC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝8，设BC＝x，在Rt△PBC中，∵∠PBC＝45°，∴△PBC为等腰直角三角形，∴BC＝PC＝x，在Rt△P AC中，∵tan∠P AC＝，∴AC＝，即8+x＝，解得x＝4（+1）≈10.92，即PC≈10.92，∵10.92＞10，∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．24．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC 于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE＝3，DF＝3，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB＝∠EDO＝90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【解答】解：（1）DE与⊙O相切，理由：连接DO，∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD，∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，∴∠EBD＝∠DBO，∴∠EBD＝∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝∠EDO＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE＝DF＝3，∵BE＝3，∴BD＝＝6，∵sin∠DBF＝＝，∴∠DBA＝30°，∴∠DOF＝60°，∴sin60°＝＝＝，∴DO＝2，则FO＝，故图中阴影部分的面积为：﹣××3＝2π﹣．25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P 的坐标．【分析】（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c 的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y＝mx+n，解方程组求出m 和n的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y的值，即可求出点M坐标；（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．【解答】解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，得，解之得：，∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．26．如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝3．【分析】（1）①由GE⊥BC、GF⊥CD结合∠BCD＝90°可得四边形CEGF是矩形，再由∠ECG＝45°即可得证；②由正方形性质知∠CEG＝∠B＝90°、∠ECG＝45°，据此可得＝、GE∥AB，利用平行线分线段成比例定理可得；（2）连接CG，只需证△ACG∽△BCE即可得；（3）证△AHG∽△CHA得＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，知AC＝a，由＝得AH＝a、DH＝a、CH＝a，由＝可得a的值．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．。

湖南省永州市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）存在两条直线与双曲线相交于ABCD四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（A .B .C .D .3. （2分）已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P 的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为（）A . 16B . 24或C . 14D . 204. （2分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A . 函数f（x）的最小正周期为πB . 函数f（x）是偶函数C . 函数f（x）在区间[0，]上是增函数D . 函数f（x）的图象关于直线x=对称5. （2分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是（）A . 4B . 7C . 11D . 166. （2分） (2019高二下·佛山月考) 函数的递减区间为（）A .B .C .D .7. （2分）已知球的直径， A,B是该球面上的两点，，，则三棱锥的体积为（）A .B .C .D .8. （2分） (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（）A . 1.23B . 1.24C . 1.33D . 1.349. （2分） (2017高三上·太原期末) 将函数f（x）= sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·武汉期中) 在下列向量组中，可以把向量 =（3，2）表示出来的是（）A . =（0，0）， =（1，2）B . =（﹣1，2）， =（5，﹣2）C . =（3，5）， =（6，10）D . =（2，﹣3）， =（﹣2，3）11. （2分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+x+a在R上恰有两个相异零点，则实数a的取值范围为（）A . [﹣1，+∞）B . （﹣1，+∞）C . （﹣∞，0）D . （﹣∞，1]12. （2分） (2018高二下·佛山期中) 是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2015高二下·定兴期中) 复数z= （其中i为虚数单位）的虚部为________．14. （2分）(2017·西城模拟) 某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是________；该班的平均成绩是________．15. （1分） (2015高二下·椒江期中) 已知点P在曲线y= （其中e为自然对数的底数）上运动，则曲线在点P处的切线斜率最小时的切线方程为________．16. （1分） (2016高一下·高淳期中) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2，c=3，cosB= ，则sinC的值为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （15分） (2019高二上·上海月考) 已知以为首项的数列满足： .（1）当时，且，写出、；（2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围；（3）记为的前项和，当时，①给定常数，求的最小值；②对于数列，，…，，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？说明理由.18. （5分）(2017·山东模拟) 某高中组织数学知识竞赛，采取答题闯关的形式，分两种题型，每种题型设两关．“数学文化”题答对一道得5分，“数学应用”题答对一道得10分，答对一道题即可进入下一关，否则终止比赛．有甲、乙、丙三人前来参赛，设三人答对每道题的概率分别是、、，三人答题互不影响．甲、乙选择“数学文化”题，丙选择“数学应用”题．（Ⅰ）求乙、丙两人所得分数相等的概率；（Ⅱ）设甲、丙两人所得分数之和为随机变量X，求X的分布列与期望．19. （10分） (2018高三上·河北月考) 如图所示，底面为菱形的直四棱柱被过三点 C、B1、D1 的平面截去一个三棱锥 C1-CB1D1 (图一)得几何体 (图二)，E为的中点．（1）点F为棱上的动点，试问平面与平面CEA1 是否垂直?请说明理由；（2）设 AB=2 ，∠BAD=60°，AA1=4当点F为中点时，求锐二面角的余弦值．20. （5分）(2019·北京) 已知椭圆C：的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.21. （10分）(2018·榆社模拟) 已知函数 .（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数的最小值为，求的取值范围.22. （10分）(2017·郎溪模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程]设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ= 的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系，已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2，直线l的参数方程（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（2）设平面上伸缩变换的坐标表达式为，求C在此变换下得到曲线C'的方程，并求曲线C′内接矩形的最大面积．23. （10分）(2017·湘西模拟) 综合题。

零陵区2020年初中毕业学业水平考试第一次模拟考试数学（试题卷）温馨提示：本试卷满分150分，考试时间120分钟，共三道大题，26个小题。

一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案。

每小题4分，共40分）1.-2020的相反数为（）A.2020B.-2020C.2020D.-20202.下列计算正确的是（）A. 1÷1a ×a=1 B.a3·a−2=a5 C.a(a−1)=a2−1 D.√2=√223.国产越野车“BJ40”中，哪个数学或字母既是中心对称图形又是轴对称图型（）A.BB.JC.40D.04．如图所示，某同学的家在P处，他想尽快赶到附近公路边搭公交车，他选择P至C 路线。

用几何知识解释其道理正确的是（）A.两点确定一条直线B.垂线段最短C.两点之间线段最短D.三角形两边之和大于第三边5.为了加强安全教育，某校组织以防溺水为主题的演讲比赛，参加决赛的6名选手成绩（单位：分）如下：8.5，8.8，9.4，9.0，8.8，8，9.5.这6名选手成绩的众数和中位数分别是（）A.8.8分，8.8分B.9.5分，8.9分C.8.8分，8.9分D.9.5分，9.0分6.某城市几条道路的位置关系如图所示，已知ABAEABCFEFC的( )A.48°B.40°C.30°D.21°7.一元一次不等式组 {2x +2>0x +1≤3的解集在数轴上表示为（ ）8.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30，则劣弧BĈ的长等于（ ）A.2π3B. π3C. 2√3π3D. √3π39.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x ，则x 满足（ ）A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=1610.如图，在正方形ABCD 中，AB=3cm ，动点M 自A 点出发沿AB 方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N 自D 点出发沿折线DC —CB 以每秒2cm 的速度运动，到达B 点时运动同时停止，设△AMN 的面积为y （），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反应y 与x 之间的函数关系式的是（ ）二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11.在−13，0，π，√2，0.3245这五个数中，无理数有个.12.计算：√18−√8的值是13.已知一次函数y=kx+b，若|k+1|+√b−1=0，则此函数的图像不经过第象限.14.在△ABC中，若∠C=90°，AB=10，sin A=25，则BC= .15.二次函数y=12(x+1)2的顶点坐标是 .16.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作AP射线，交边CD于点Q，若DQ=2QC，BC=3，则平行四边形ABCD周长为 .17.在永州有一种叫“斗牛”的游戏，每人发5张扑克牌，在这5张牌中取出3张牌，若这3张牌的数字之和是10的整数倍，我们称之为“牛”（注：J,Q,K的数字规定为10）；现某人得到J,K,4,6,9这5张牌，那么在这5张牌中任取出3张牌能组成“牛”的概率是 .18.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,……叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，……,第n个三角形数记为xn，则x 10= ;xn+xn+1= .三、简答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）19.（本小题8分）计算：|−3+1|−√9+4cos60°+（−2020+020.（本小题8分）先化简，再求值：3x+1−2x+4x2−1÷x+2x−1，请你在−3≤x<2中选取一个合适整数求值.21.（本小题8分）某校为了解学生体质情况，从各年级随机抽取部分学生进行体能测试，每个学生的测试成绩按标准对应为优秀、良好、及格、不及格四个等级，统计员在将测试数据绘制成图表时发现，统计优秀和良好等级时分别漏掉4人和6人，于是及时更正，从而形成如下图表，请按正确数据解答下列各题：（1）填写统计表；（2）根据更正后数据，补全条形统计图；（3）若该校共有学生1500人，请你估算出该校体能测试等级为“优秀”的人数.22.（本小题10分）如图，点C,F,E,B在一条直线上，∠CFD=∠BEA，CE=BF，DF=AE.请写出CD与AB位置与数量之间的关系，并证明你的结论.23.（本小题10分）某商店购进了一批甲、乙两种不同品牌的雪糕，其中甲种雪糕花费了40元，乙种雪糕花费了30元，已知甲种雪糕比乙种雪料多了20个，乙种雪糕的单位是甲种雪糕单价的1.5倍.（1）求购进的甲、乙两种雪糕的单价；（2）若甲种雪糕每个的售价是1.5元，该商店保证卖出这批雪糕的利润不低于40元，那么乙种雪糕的售价至少是多少元？24.（本小题10分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由；（3）若⊙O的半径为2，扇形AOC恰好是某一个圆锥的侧面展示图，求此圆锥的高.25.（本小题12分）如图，抛物线C1：mx2−2mx−3m(m<0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于D点，顶点为M，别一条抛物线C2与x轴也交于A,B两点，且与y轴的交点是C（0，-3），顶点是N. N2(1)求A,B两点的坐标；(2)求抛物线的表达式并求出两条抛物线的对称轴；(3)当∠DBC=90°时，求m的值；(4)在(3)的条件下，P是直线MN上一动点，且使PA+PD的值最小，请求出这个最小值，并求出P点的坐标.26.（本小题12分）探究题先下面这道基础题的证明过程，然后探究后面的问题：基础题：如图（1），分别以△ABC两边AB，AC向三角形外部作正方形ABDE，ACFG，H，K，N分别是EB，BC，GC的中点.求证：（1）EC=BG；（2）EC⊥BG.证明：（1）在△AEC和△ABG中，因为AE=AB，∠EAC=90°+∠BAC=∠BAG，AC=AG所以△AEC≌△ABG，所以EC=BG；（2）将△AEC绕点A逆时针旋转90°后，恰好与△ABG重合，因此，EC⊥BG.探究1：已知如图（2），H,N分别是正方形ABDE，ACFG的中心，K是BC的中点.求证：（1）HK=NK；（2）HK⊥NK.探究2：利用探究1的方法和结论，我们继续探究以下两个问题：问题1：如图（3），分别以△ABC各边向外作正方形，点M，N，P分别是它们的中心，连接AP，MN.求证：（1）MN=AP；（2）MN⊥AP.问题2：如图（4），以凸四边形ABCD的各边向外作正方形，E，G，F，H依次是各正方形的中心，连接EF，GH，现请你猜想：线段GH与EF有怎样的数量关系和位置关系？请你直接写出你的结论（不必证明）.。