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第七章模糊决策方法引例：你某时到某地去接一个“大胡子.高个子. 长头发. 戴宽边黑色眼镜的中年男子”，尽管提供的只有一个精确的信息——男人，而其它的信息——大胡子.高个子. 长头发. 戴宽边黑色眼镜. 中年男人都是模糊的，但你对这些模糊概念经过头脑的综合分析判断就可以接到这个人。
人脑较之精确计算机，就是能在信息不完整不精确的情况下，作出判断与决策，模糊性常常是信息浓缩所致，目的是为了提高交换的概率，所以不是毫无用处，而是积极的特性。
sy1天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低幻灯片 2sy1 sheng yu, 2016/5/27Lotfi A. ZadehEurasian Academy.https:///wiki/Lotfi_A._Zadeh模糊数VS灰数P162随机性的不确定性，也就是概率的不确定性，主要与事件的”，掷一粒骰子出现6点”等，它们的发生是一种偶然现象，具有不确定性在这里事件本身（“有雨”，“出现6点”)是确定的，而事基于模糊推理的ERP安全供货库存预测2013/5/20 来源：万方数据作者：邵江霞张美风L.A.Zadeh, 1921--）教年发表了题为《模糊集合论》（《Fuzzy 》）的论文，从而宣告模糊数学的诞生。
扎德教授多年来致力于“计算机”与“大系统”的矛盾研究，集中思考了计算机为什么不能像人脑那样进行灵活的思“当系统的复杂性日趋增长时，我们做出系统特性的精确然而有意义的描述的能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特“常规数学方法的应用对于本质上是模糊系统的分析来说是不协调的，它将引起理论和实际之间的很大差距。
”因此，必须寻找到一套研究和处理模糊性的数学方法。
这就是模糊数学产例2在标志年龄(0〜100)的数轴上,标出“年老”、“年轻”的区间。
这里需要考虑…40岁，…50岁，…60岁,…属于“年轻”还是“年老”。
统计与决策2021年第6期·总第570期基金项目：国家自然科学基金资助项目（71672167；71671159）；教育部人文社会科学研究项目（16YJC630106；16YJC880038）；河北省自然科学基金资助项目（G2016203236）；河北省社会科学基金资助项目（HB17GL094）；河北省军民融合发展课题（HB19JMRH012）作者简介：王飞（1994—），男，河北沧州人，博士研究生，研究方向：模糊决策。
赵晓冬（1960—），男，辽宁阜新人，教授，博士生导师，研究方向：模糊决策。
张妮（1989—），女，安徽宿州人，博士研究生，研究方向：模糊决策理论。
基于相似性度量的中智立方犹豫模糊多属性决策方法王飞，赵晓冬，张妮（燕山大学经济管理学院，河北秦皇岛066004）摘要：针对属性权重已知、属性值为中智立方犹豫模糊变量的多属性决策问题，文章提出了一种相似度加权集结的多属性决策方法。
首先给出了中智立方犹豫模糊集的定义，并给出了基于该变量的Jaccard 相似度公式、相关性质以及证明过程；其次将Hamacher 算子引入该决策环境，提出了新的加权相似度公式来确定备选方案的优劣排序;最后通过医院信息化水平评价的算例分析验证了其有效性和可行性，并进行了参数的敏感性分析以及对比分析，说明了该方法的优越性和实用性。
关键词：相似性度量；中智立方犹豫模糊变量；多属性决策；Hamacher 集结算子中图分类号：O159文献标识码：A 文章编号：1002-6487（2021）06-0171-040引言（模糊）立方集[1]（CSs ）作为经典模糊集[2]（FS ）的另一种拓展形式，其特征在于区间值和确定值的混合描述，意味着信息的部分确定和部分模糊，因此非常适用于在模糊环境中表现决策者的判断模糊性。
Jun 等（2016）[3]将中智集[4]的概念引入立方集，提出了中智立方集（NCS ）,并给出了NS 的P-并和P-相交的相关定义和证明[5]；Banerjee 等（2017）[6]提出一种NCS 环境下的灰关联分析方法。
几种模糊多属性决策方法及其应用一、本文概述随着信息时代的快速发展，决策问题日益复杂，涉及的属性越来越多，决策信息的不确定性也越来越大。
在这种背景下，模糊多属性决策方法应运而生，成为解决复杂决策问题的重要工具。
本文旨在探讨几种典型的模糊多属性决策方法，包括模糊综合评价法、模糊层次分析法、模糊集结算子等，并分析它们在实际应用中的优势和局限性。
本文首先介绍了模糊多属性决策方法的基本概念和理论基础，为后续研究提供必要的支撑。
接着，详细阐述了三种常用的模糊多属性决策方法，包括它们的原理、步骤和应用范围。
在此基础上，通过案例分析，展示了这些方法在实际应用中的具体运用和取得的效果。
通过本文的研究，读者可以深入了解模糊多属性决策方法的原理和应用，掌握其在实际问题中的使用技巧，为解决复杂决策问题提供有力支持。
本文也为进一步研究和改进模糊多属性决策方法提供了参考和借鉴。
二、模糊多属性决策方法概述模糊多属性决策（Fuzzy Multiple Attribute Decision Making，FMADM）是一种处理不确定性、不精确性和模糊性的决策分析方法。
在实际问题中，由于信息的不完全、知识的局限性或环境的动态变化，决策者往往难以获取精确的属性信息和权重信息，这使得传统的多属性决策方法难以应用。
模糊多属性决策方法通过引入模糊集理论，能够更好地处理这种不确定性和模糊性，为决策者提供更合理、更可靠的决策支持。
模糊多属性决策方法的核心思想是将决策问题中的属性值和权重视为模糊数，利用模糊集理论中的运算法则进行决策分析。
根据不同的决策目标和背景，模糊多属性决策方法可以分为多种类型，如模糊综合评价、模糊多目标决策、模糊群决策等。
这些方法在各自的领域内都有着广泛的应用，如企业管理、项目管理、环境评估、城市规划等。
在模糊多属性决策方法中，常用的模糊数有三角模糊数、梯形模糊数、正态模糊数等。
这些模糊数可以根据实际问题的需要选择合适的类型，以更好地描述属性值的不确定性和模糊性。
犹豫模糊语言决策方法及其在绿色供应商选取中的应用作者：李晓然刘晓婉岳芹来源：《赤峰学院学报·自然科学版》2020年第05期摘要：由于猶豫模糊语言能更精确地表达决策者意见，引起了很多研究者兴趣，越来越多的研究涉及犹豫模糊语言集结技术以及犹豫模糊语言多属性决策方法.本文首先基于Frank t-范数和t-余模，定义出犹豫模糊语言的Frank运算法则.并在此基础上，提出犹豫模糊语言Frank加权算术平均算子和犹豫模糊语言Frank加权几何平均算子.新算子是HFLWA和HFLWG算子的推广，并含有一个能体现决策者情感的参数，使得决策过程更加灵活.最后提出一种犹豫模糊语言多属性决策方法，绿色供应商选取案例表明方法的可行性和有效性.关键词：多属性决策;Frank t-范数;Frank t-余模;犹豫模糊语言;集结算子中图分类号：F274 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2020）05-0051-051 引言科学合理表述决策者对候选方案的评价，在多属性决策问题处理中至关重要.在实际决策中，由于决策对象的模糊性和复杂性，决策者在很多场合难以用定量的方式进行评价.此时选择语言术语来进行描述，更贴近人类的认知过程.最早使用的语言信息建模技术是Zadeh提出的模糊语言方法[2]，尽管不能像数值变量那样精确建模，但这种语言建模技术增加了决策模型的灵活性与可靠性，因而得到广泛应用.为丰富和完善语言建模技术，一些学者进一步提出2-tuple模糊语言[3]、不确定模糊语言[4]、直觉模糊语言[5]等建模方法.但当决策者在几个语言术语间犹豫不决时，上述方法难以准确进行建模.为解决这一情况，Rodriguez et al.将犹豫模糊数和模糊语言相结合，提出一种新的方法——犹豫模糊语言[6]，概念一经提出就受到广泛关注.目前，已有一些文献用集结算子来求解犹豫模糊语言信息集结问题.Liu等人将犹豫模糊语言转化为模糊区间数并结合OWA算子求解多属性决策问题[7];Wei等人将犹豫模糊语言转化为不确定语言，在此基础上给出其排序方法和有序加权平均算子求解多属性决策问题[8];Zhang等人在保留犹豫模糊语言结构的前提下，提出犹豫模糊语言加权算术平均算子和几何平均算子，用来求解多属性决策问题[9];Xu等人将幂平均算子引入到犹豫模糊语言环境中，并给出犹豫模糊语言有序幂平均算子求解多属性群决策问题[10].上述犹豫模糊语言集结算子都是建立在代数和及代数积的基础上，而这2种运算是t-范数和t-余模的特例.Frank算子簇是目前仅有的满足相容定律的算子簇，并具有Einstein以及Hamacher t-范数和t-余模的特性[11].更重要的是，Frank t-范数和t-余模含有一个调节参数，因而比其他范数和余模更具灵活性.Yager将Frank t-范数和t-余模应用于近似推理[12];Wang和He在Frank t-范数和t-余模基础上定义了一系列的概率逻辑算子[11];Qin等人给出了Type-2型区间三角模糊数的Frank集结算子，并应用于多属性群决策问题求解[13];Zhang等人定义了直觉模糊集的Frank运算法则，进而提出直觉模糊Frank非线性加权平均算子[14].但至今还未有文献讨论犹豫模糊语言环境下的Frank运算法则以及相应的信息集结算子.本文将Frank运算引入到犹豫模糊语言环境下，并提出相关的集结算子，讨论其相关性质以及与现有算子的关系.此外本文还提出一种基于Frank犹豫模糊语言集结算子的多属性决策方法，并运用于绿色供应商推荐系统中，对手机电池供货商进行排序.2 预备知识模糊语言决策是一种用语言变量来近似代替定量描述的方法.设S={s？琢|？琢=0，1，…，t}是一个有限的有序语言评估标度集，其中s？琢表示可能的语言术语.通常要求S满足下列条件：但上述评估标度集S是由离散的语言变量组成，不利于计算和决策分析，同时在决策过程中容易引起初始信息流失，因此徐[15]将上述离散的语言标度集推广至连续的语言标度集S={s？琢|？琢∈[0，p]}，其中p（p>t）为足够大的正整数.若s？琢∈S则称之为原术语，否则称s？琢为拓展术语.原术语用来评估决策对象，拓展术语只出现在信息的集结过程中.设s？琢，s？茁，∈S，？姿，？姿1，？姿2∈[0，1]，连续语言标度集的运算法则定义如下[18]：当决策中出现决策者对元素的隶属度在几个数值间犹豫不决时，Torra提出犹豫模糊集来处理这种情况.而类似情况可能会出现在定性描述中，即决策者在几个语言术语间犹豫不决.为此，Rodriguez et al.定义了犹豫模糊语言术语集.定义1[6] S={s？琢|？琢=0，1，…，t}是一个有限的有序语言评估标度集.称Hs={<xi，hs （xi）>|xi∈X，i=1，…，n}为论域X上的犹豫模糊语言术语集（Hesitant Fuzzy Linguistic Term Set，HFLTS），hs（xi）表示语言评估标度S的某个子集，记为HFLE（Hesitant Fuzzy Linguistic Element，HFLE），hs（xi）={s？浊l（xi）|s？浊l（xi）∈S，l=1，2，…，L}，其中L表示hs（xi）的元素个数.例1 质量管理是以质量为核心的策划、协调和控制的一系列复杂活动，其中许多因素很难定量刻画，定性描述是人们常用的一种表述方式.某决策者为评价2台自动化操作系统x1与x2的复杂性，建立了语言评估标度S={s0：非常复杂，s1：复杂，s2：稍复杂，s3：正常，s4：稍简单，s5：简单，s6：非常简单}.决策者最后得出的评价Hs={<x1，{s0，s1，s2}>，<x2，{s1，s2}}是HFLTS，其中hs（x1）={s0，s1，s2}与hs（x2）={s1，s2}是两个HFLEs.为使hs（x1）和hs（x2）具有相同的元素，可将hs（x2）拓展为hs（x2）={s0，s1，s2}.3 犹豫模糊语言Frank加权平均算子定义2 设S={s0，s1，…，st}为语言评估标度，h1，h2，…，hn为定义在S上的HFLEs 且权重向量为{w1，w2，…，wn}T，wi∈[0，1]，wi=1.有映射HFLFWA：hn→h，若HFLFWA（h1，h2，…，hn）=w1·Fh1？茌Fw2·Fh2？茌F…？茌Fwn·Fhn则称HFLFWA为n维犹豫模糊语言的Frank加权算术平均算子.特别的，若wi=1/n，i=1，…，n，则有称为n维犹豫模糊语言的Frank算术平均算子.定义3 设S={s0，s1，…，si}为语言评估标度，h1，h2，…，hn为定义在S上的HFLEs 且权重向量为{w1，w2，…，wn}，wi∈[0，1]，wi=1.有映射HFLFWG：hn→h，若则称HFLFWA为n维犹豫模糊语言的Frank加权几何平均算子.特别的，若wi=1/n，i=1，…，n，则有称之为n维犹豫模糊语言的Frank几何平均算子.4 犹豫模糊语言多属性决策方法设X={x0，x1，…，xn}为离散的方案集，相应的属性集为G={g0，g1，…，gl}，属性权重向量为w={w1，w2，…，wl}T，wi∈[0，1]，wi=1.决策者对备选方案给出犹豫模糊语言评价，得到犹豫模糊语言决策矩阵H=（hij）n×l.针对上述多属性决策问题，利用前文所定义的Frank集结算子，给出如下的求解步骤.步骤1 给出犹豫模糊语言决策矩阵H=（hij）n×l的规范化矩阵H=（hij）n×l，其中hij=hij gj为效益型属性N（hij） gj为成本性属性步骤2 利用犹豫模糊语言Frank集结算子对候选方案的属性值hij，j=1，2，“，l进行集结，得到候选方案xi的综合评价值：hi=HFLFWA（hi1，hi2，…，hij），i=1，2，…，n步骤3 假定hi={s？浊l|s？浊l∈S，l=1，2，…，L}，计算候选方案的得分值？滋（hi）=？浊i和方差值v（hi）=步骤4 利用下述规则对方案xi的综合评价值hi（i=1，2，…，n）进行排序.（i）若v（h1）=v（h2），则h1=h2;（ii）若v（h1）>v（h2），则h1<h2;（iii）若v（h1）<v（h2），则h1>h2.步骤5 依据hi的大小顺序对决策方案进行排序并选择最优方案，hi越大表示决策方案越好.5 实例分析例2[17] 随着科技的飞速发展以及民众生活水平的提高，智能电子数码产品走进了人们的生活，并给人们带来了极大的便利，其中手机更是成为生活和工作必不可少的工具.工信部2015年统计数据显示，我国移动电话总户已经超过13亿，伴随着手机更新换代的频率加快，废旧手机电池对环境造成了极大的危害.因此，为手机制造商寻求绿色电池供应商尤为重要.某品牌手机公司有五个可供选择的电池货源，为选择出最佳绿色供应商，该公司结合自身情况制定了五个评价指标：产品质量（g1）、使用环境友好型的材料与生产技术（g2）、创新能力（g3）、产品价格（g4），其权重向量为w=（0.4，0.2，0.2，0.2）T.决策专家建立了语言评估标度集：S={s0：极差，s1：差，s2：有点差，s3：正常，s4：有点好，s5：好，s6：极好}，在此基础上，给出如下的犹豫模糊语言评价.下面用本文的决策方法，为手机生产厂家提供供应商的排序.步骤1 本题涉及的4个属性都是效益型的指标，因此不需要进行规范化.步骤2 利用犹豫模糊语言Frank集结算子对候选方案的综合属性值进行集结，结果如表2和3所示.步骤3 利用方案x1的综合属性值对决策方案进行排序（如表4所示），并选择最优方案.由此可见，无论？姿如何变化，两种算子所得排序结果始终保持不变，均认为x3是最佳手机供应商.从表2、表3可见，随着？姿的增大，HFLFWA算子给出的信息集结值逐渐减小，而HFLFWG算子给出的信息集结值逐渐增大.事实上，我们可以证明HFLFWA算子是关于？姿的单增函数，HFLFWG算子是关于？姿的单减函数.故在决策过程中，可以将？姿看成决策者的情感指数.在悲观的情绪下，HFLFWA算子选择较大的？姿，而HFLFWG算子选择选择较小的？姿;在乐观的情绪下，HFLFWA算子选择较小的？姿，而HFLFWG算子选择选择较大的？姿.6 比较分析自2012年犹豫模糊语言这一概念提出至今，已引起众多研究者的兴趣，并提出一些犹豫模糊语言多属性决策方法.现有的方法大致可划分为三类：第一类是利用经典的排序算法进行排序，例如王坚强等人利用ELECTRE排序方法给出决策方案，廖虎昌等人利用VIKOR排序方法给出决策方案;第二类以引言部分所描述的文献[7]和[8]为代表，在决策过程中将犹豫模糊语言转化成区间值的形式进行信息集结;第三类和本文的方法相同，在信息集结过程中保留犹豫模糊语言的结构，兼顾每一个语言元素.这里我们在三种方法中各选取一种较为典型的方法与本文给出的方法进行对比.通过表4可知4种方法主要区别在决策途径和运算法则.文献[18]使用ELECTRE排序方法，這种方法虽然能极大保留原有决策信息，但不便于计算，尤其是属性较多时更为突出;正如文献[18]所指出文献[8]在利用算子集结的过程中，将犹豫模糊语言转化为区间值，这种方式容易丢失决策信息，使得决策结果可信度降低;文献[9]和本文的方法克服了文献[8]的缺点，但文献[9]采用的算子是普通代数运算，是Frank运算法则的特例，本文的决策方法更具有普遍性.同时Frank算子中含有的参数？姿，可体现决策者的情感因素，从而使决策过程更加灵活，在实际应用中更为方便.3 犹豫模糊语言Frank加权平均算子定义2 设S={s0，s1，…，st}为语言评估标度，h1，h2，…，hn为定义在S上的HFLEs 且权重向量为{w1，w2，…，wn}T，wi∈[0，1]，wi=1.有映射HFLFWA：hn→h，若HFLFWA（h1，h2，…，hn）=w1·Fh1？茌Fw2·Fh2？茌F…？茌Fwn·Fhn则称HFLFWA为n维犹豫模糊语言的Frank加权算术平均算子.特别的，若wi=1/n，i=1，…，n，则有称为n维犹豫模糊语言的Frank算术平均算子.定义3 设S={s0，s1，…，si}为语言评估标度，h1，h2，…，hn为定义在S上的HFLEs 且权重向量为{w1，w2，…，wn}，wi∈[0，1]，wi=1.有映射HFLFWG：hn→h，若则称HFLFWA为n维犹豫模糊语言的Frank加权几何平均算子.特别的，若wi=1/n，i=1，…，n，则有称之为n维犹豫模糊语言的Frank几何平均算子.4 犹豫模糊语言多属性决策方法设X={x0，x1，…，xn}为离散的方案集，相应的属性集为G={g0，g1，…，gl}，属性权重向量为w={w1，w2，…，wl}T，wi∈[0，1]，wi=1.决策者对备选方案给出犹豫模糊语言评价，得到犹豫模糊语言决策矩阵H=（hij）n×l.针对上述多属性决策问题，利用前文所定义的Frank集结算子，给出如下的求解步骤.步骤1 给出犹豫模糊语言决策矩阵H=（hij）n×l的规范化矩阵H=（hij）n×l，其中hij=hij gj为效益型属性N（hij） gj为成本性属性步骤2 利用犹豫模糊语言Frank集结算子对候选方案的属性值hij，j=1，2，“，l进行集结，得到候选方案xi的综合评价值：hi=HFLFWA（hi1，hi2，…，hij），i=1，2，…，n步骤3 假定hi={s？浊l|s？浊l∈S，l=1，2，…，L}，计算候选方案的得分值？滋（hi）=？浊i和方差值v（hi）=步骤4 利用下述规则对方案xi的综合评价值hi（i=1，2，…，n）进行排序.（i）若v（h1）=v（h2），则h1=h2;（ii）若v（h1）>v（h2），则h1<h2;（iii）若v（h1）<v（h2），则h1>h2.步骤5 依据hi的大小顺序对决策方案进行排序并选择最优方案，hi越大表示决策方案越好.5 实例分析例2[17] 随着科技的飞速发展以及民众生活水平的提高，智能电子数码产品走进了人们的生活，并给人们带来了极大的便利，其中手机更是成为生活和工作必不可少的工具.工信部2015年统计数据显示，我国移动电话总户已经超过13亿，伴随着手机更新换代的频率加快，废旧手机电池对环境造成了极大的危害.因此，为手机制造商寻求绿色电池供应商尤为重要.某品牌手机公司有五个可供选择的电池货源，为选择出最佳绿色供应商，该公司结合自身情况制定了五个评价指标：产品质量（g1）、使用环境友好型的材料与生产技术（g2）、创新能力（g3）、产品价格（g4），其权重向量为w=（0.4，0.2，0.2，0.2）T.决策专家建立了语言评估标度集：S={s0：极差，s1：差，s2：有点差，s3：正常，s4：有点好，s5：好，s6：极好}，在此基础上，给出如下的犹豫模糊语言评价.下面用本文的决策方法，为手机生产厂家提供供应商的排序.步骤1 本题涉及的4个属性都是效益型的指标，因此不需要进行规范化.步骤2 利用犹豫模糊语言Frank集结算子对候选方案的综合属性值进行集结，结果如表2和3所示.步驟3 利用方案x1的综合属性值对决策方案进行排序（如表4所示），并选择最优方案.由此可见，无论？姿如何变化，两种算子所得排序结果始终保持不变，均认为x3是最佳手机供应商.从表2、表3可见，随着？姿的增大，HFLFWA算子给出的信息集结值逐渐减小，而HFLFWG算子给出的信息集结值逐渐增大.事实上，我们可以证明HFLFWA算子是关于？姿的单增函数，HFLFWG算子是关于？姿的单减函数.故在决策过程中，可以将？姿看成决策者的情感指数.在悲观的情绪下，HFLFWA算子选择较大的？姿，而HFLFWG算子选择选择较小的？姿;在乐观的情绪下，HFLFWA算子选择较小的？姿，而HFLFWG算子选择选择较大的？姿.6 比较分析自2012年犹豫模糊语言这一概念提出至今，已引起众多研究者的兴趣，并提出一些犹豫模糊语言多属性决策方法.现有的方法大致可划分为三类：第一类是利用经典的排序算法进行排序，例如王坚强等人利用ELECTRE排序方法给出决策方案，廖虎昌等人利用VIKOR排序方法给出决策方案;第二类以引言部分所描述的文献[7]和[8]为代表，在决策过程中将犹豫模糊语言转化成区间值的形式进行信息集结;第三类和本文的方法相同，在信息集结过程中保留犹豫模糊语言的结构，兼顾每一个语言元素.这里我们在三种方法中各选取一种较为典型的方法与本文给出的方法进行对比.通过表4可知4种方法主要区别在决策途径和运算法则.文献[18]使用ELECTRE排序方法，这种方法虽然能极大保留原有决策信息，但不便于计算，尤其是属性较多时更为突出;正如文献[18]所指出文献[8]在利用算子集结的过程中，将犹豫模糊语言转化为区间值，这种方式容易丢失决策信息，使得决策结果可信度降低;文献[9]和本文的方法克服了文献[8]的缺点，但文献[9]采用的算子是普通代数运算，是Frank运算法则的特例，本文的决策方法更具有普遍性.同时Frank算子中含有的参数？姿，可体现决策者的情感因素，从而使决策过程更加灵活，在实际应用中更为方便.3 犹豫模糊语言Frank加权平均算子定义2 设S={s0，s1，…，st}为语言评估标度，h1，h2，…，hn为定义在S上的HFLEs 且权重向量为{w1，w2，…，wn}T，wi∈[0，1]，wi=1.有映射HFLFWA：hn→h，若HFLFWA（h1，h2，…，hn）=w1·Fh1？茌Fw2·Fh2？茌F…？茌Fwn·Fhn则称HFLFWA为n维犹豫模糊语言的Frank加权算术平均算子.特别的，若wi=1/n，i=1，…，n，则有称为n维犹豫模糊语言的Frank算术平均算子.定义3 设S={s0，s1，…，si}为语言评估标度，h1，h2，…，hn为定义在S上的HFLEs 且权重向量为{w1，w2，…，wn}，wi∈[0，1]，wi=1.有映射HFLFWG：hn→h，若则称HFLFWA为n维犹豫模糊语言的Frank加权几何平均算子.特别的，若wi=1/n，i=1，…，n，则有称之为n维犹豫模糊语言的Frank几何平均算子.4 犹豫模糊语言多属性决策方法设X={x0，x1，…，xn}为离散的方案集，相应的属性集为G={g0，g1，…，gl}，属性权重向量为w={w1，w2，…，wl}T，wi∈[0，1]，wi=1.决策者对备选方案给出犹豫模糊语言评价，得到犹豫模糊语言决策矩阵H=（hij）n×l.针对上述多属性决策问题，利用前文所定义的Frank集结算子，给出如下的求解步骤.步骤1 给出犹豫模糊语言决策矩阵H=（hij）n×l的规范化矩阵H=（hij）n×l，其中hij=hij gj为效益型属性N（hij） gj为成本性属性步骤2 利用犹豫模糊语言Frank集结算子对候选方案的属性值hij，j=1，2，“，l进行集结，得到候选方案xi的综合评价值：hi=HFLFWA（hi1，hi2，…，hij），i=1，2，…，n步骤3 假定hi={s？浊l|s？浊l∈S，l=1，2，…，L}，计算候选方案的得分值？滋（hi）=？浊i和方差值v（hi）=步骤4 利用下述规则对方案xi的综合评价值hi（i=1，2，…，n）进行排序.（i）若v（h1）=v（h2），则h1=h2;（ii）若v（h1）>v（h2），則h1<h2;（iii）若v（h1）<v（h2），则h1>h2.步骤5 依据hi的大小顺序对决策方案进行排序并选择最优方案，hi越大表示决策方案越好.5 实例分析例2[17] 随着科技的飞速发展以及民众生活水平的提高，智能电子数码产品走进了人们的生活，并给人们带来了极大的便利，其中手机更是成为生活和工作必不可少的工具.工信部2015年统计数据显示，我国移动电话总户已经超过13亿，伴随着手机更新换代的频率加快，废旧手机电池对环境造成了极大的危害.因此，为手机制造商寻求绿色电池供应商尤为重要.某品牌手机公司有五个可供选择的电池货源，为选择出最佳绿色供应商，该公司结合自身情况制定了五个评价指标：产品质量（g1）、使用环境友好型的材料与生产技术（g2）、创新能力（g3）、产品价格（g4），其权重向量为w=（0.4，0.2，0.2，0.2）T.决策专家建立了语言评估标度集：S={s0：极差，s1：差，s2：有点差，s3：正常，s4：有点好，s5：好，s6：极好}，在此基础上，给出如下的犹豫模糊语言评价.下面用本文的决策方法，为手机生产厂家提供供应商的排序.步骤1 本题涉及的4个属性都是效益型的指标，因此不需要进行规范化.步骤2 利用犹豫模糊语言Frank集结算子对候选方案的综合属性值进行集结，结果如表2和3所示.步骤3 利用方案x1的综合属性值对决策方案进行排序（如表4所示），并选择最优方案.由此可见，无论？姿如何变化，两种算子所得排序结果始终保持不变，均认为x3是最佳手机供应商.从表2、表3可见，随着？姿的增大，HFLFWA算子给出的信息集结值逐渐减小，而HFLFWG算子给出的信息集结值逐渐增大.事实上，我们可以证明HFLFWA算子是关于？姿的单增函数，HFLFWG算子是关于？姿的单减函数.故在决策过程中，可以将？姿看成决策者的情感指数.在悲观的情绪下，HFLFWA算子选择较大的？姿，而HFLFWG算子选择选择较小的？姿;在乐观的情绪下，HFLFWA算子选择较小的？姿，而HFLFWG算子选择选择较大的？姿.6 比较分析自2012年犹豫模糊语言这一概念提出至今，已引起众多研究者的兴趣，并提出一些犹豫模糊语言多属性决策方法.现有的方法大致可划分为三类：第一类是利用经典的排序算法进行排序，例如王坚强等人利用ELECTRE排序方法给出决策方案，廖虎昌等人利用VIKOR排序方法给出决策方案;第二类以引言部分所描述的文献[7]和[8]为代表，在决策过程中将犹豫模糊语言转化成区间值的形式进行信息集结;第三类和本文的方法相同，在信息集结过程中保留犹豫模糊语言的结构，兼顾每一个语言元素.这里我们在三种方法中各选取一种较为典型的方法与本文给出的方法进行对比.通过表4可知4种方法主要区别在决策途径和运算法则.文献[18]使用ELECTRE排序方法，这种方法虽然能极大保留原有决策信息，但不便于计算，尤其是属性较多时更为突出;正如文献[18]所指出文献[8]在利用算子集结的过程中，将犹豫模糊语言转化为区间值，这种方式容易丢失决策信息，使得决策结果可信度降低;文献[9]和本文的方法克服了文献[8]的缺点，但文献[9]采用的算子是普通代数运算，是Frank运算法则的特例，本文的决策方法更具有普遍性.同时Frank算子中含有的参数？姿，可体现决策者的情感因素，从而使决策过程更加灵活，在实际应用中更为方便.。
灰色犹豫模糊集及其灰关联topsis决策方法灰色犹豫集模糊topsis决策方法是一种灰色理论和模糊理论结合的新型控制决策方法，也可以称为灰模糊topsis决策方法。
它是将有关问题中犹豫贴素（模糊）变量和灰色指数包含到topsis法内，形成一种判决方法，具有灰色理论和模糊理论的特点。
基本步骤：（1）构造模糊犹豫集：从大量的现实问题中可以得出不同的犹豫集，经标准化处理成模糊数值，并引用灰色理论，得出一个新的模糊犹豫集。
（2）求灰关联度：基于判断矩阵，使用灰色关联度表示各模糊犹豫贴组（模糊变量）之间的特征关联度，有利于表示信息结构，形成灰度关联矩阵。
（3）求模糊topsis功能：通过灰关联度将模糊贴素综合考虑，结合加权平均法（加权平均值）及利用模糊数学几何平均法，形成多层综合评价模型，其最优等级可通过求取TOPsIS的决策距离得到。
灰色犹豫集模糊TOPSIS方法的优点：（1）弥补了经典TOPSIS方法特征选择的不足：经典TOPSIS分析时，需要将模糊的变量转化为确切变量，而忽略了模糊贴素之间的相关关系，灰色犹豫集模糊TOPSIS方法则可以同时考虑相关变量和模糊贴素之间的相关性，大大提高了灰色TOPSIS方法的准确性。
（2）增强了决策的科学性：经典TOPSIS方法计算过程中所采用的權重主要依靠专家的判断，而用灰色犹豫集模糊TOPSIS方法进行决策则可以捕捉到来自许多信息源的有用信息，并得到决策者对问题的全面判断，从而支持科学性。
灰色犹豫集模糊TOPSIS方法有效地弥补了经典TOPSIS方法的不足，可以更有效地识别、分析和保护事物之间的关系，而且能同时考虑模糊变量和灰色变量之间的关联度，避免了模糊变量转��为确切变量时所带来的信息损失和不准确性。
因此，灰色犹豫集模糊TOPSIS方法可以更好的帮助决策者在复杂的环境下做出有效的决策，也受到了相关研究者的欢迎和广泛应用。
模糊算法在决策分析中的应用研究近年来，随着大数据和人工智能等技术的发展和普及，决策分析也愈发复杂和重要。
在这个背景下，模糊算法作为一种新兴的决策分析方法，受到了越来越广泛的关注和应用。
本文将从模糊算法的基本原理、应用场景和案例出发，探讨模糊算法在决策分析中的应用研究。
一、模糊算法的基本原理模糊算法是一种以模糊数学为基础的计算方法，它能够处理真实世界中的模糊问题，如模糊分类、模糊关系、模糊控制等。
其核心思想是将事物映射到一个程度模糊的数学集合中，然后通过模糊逻辑和模糊推理等方法对其进行分析和处理，最终得出相对精确的结果。
具体来说，模糊算法的基本原理可以概括为以下几个方面：1.模糊集合理论：模糊集合是一种介于完全含义和完全含义之间的集合，它使用隶属函数来描述某个元素属于某个集合的程度。
例如，某城市的空气质量可以用一个0到1之间的值来描述，0表示最差，1表示最好，那么一般可以将其视为一个模糊集合。
2.模糊逻辑：模糊逻辑是一种对模糊集合进行逻辑运算的方法。
常见的包括模糊与、模糊或、模糊非等。
例如，我们可以使用模糊逻辑来处理“这个苹果比那个苹果甜”的问题，将它们的甜度分别用0到1之间的值来描述，然后通过模糊与或模糊或等方法来得出相对精确的比较结果。
3.模糊推理：模糊推理是一种基于模糊规则的推理方法，它能够将输入的模糊信息转化为输出的模糊信息。
例如，我们可以使用模糊推理来处理“如果天气晴朗，那么出门散步的可能性比较大”的问题，将两个条件用0到1之间的隶属函数描述，然后根据事实和条件利用模糊规则进行推理，得出出门散步的可能性的模糊结果。
二、模糊算法的应用场景模糊算法具有很强的适应性和灵活性，可以广泛适用于各种领域的决策分析。
以下是几种常见的应用场景：1.模糊控制：模糊控制是一种针对模糊系统进行控制的方法。
例如，某个机器人需要根据环境的不同来调整自身的行动策略，那么可以通过建立模糊控制器来实现。
2.模糊分类：模糊分类是一种将模糊集合映射到离散分类中的方法。
