§3.2基本不等式与最大(小)值

3.3.2 基本不等式与最大（小）值1.最值定理（1）如果积是定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和是定值，那么当时，积有最大值。

证明：∵都是正数，∴。

（1）积为定值时，有，∴ 上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值。

（2）和为定值时，有，∴。

上式当时，取“=”号，因此，当时，积有最大值。

2. 使用均值定理的注意事项① 应用基本不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件 “一正、二定、三相等”， 即涉及的变量都是正数， 其次是和（平方和）为定值或积为定值， 然后必须注意等号可以成立。

如的最小值是5； 但使用均值不等式容易误解为是4，因为不成立（不能取“=”）。

② 在使用基本不等式时，要注意它们多次使用再相加相乘的时候，等号成立的条件是否一致。

如下例4，要保证两次均值不等式的取等条件相同（同时满足）。

③ 在使用基本不等式求最值的时候，如果等号成立的条件不具备，应考虑用函数的单调性来解决。

如求 的最小值，可利用函数的单调性来解决。

例1：正数、 满足 =1，求 的最大值。

【解析】∵ ， 当且仅当 即 xy P y x =y x +P 2y x +S y x =xy 241S y x 、xy y x ≥+2xy P y x ≥+2P y x 2≥+y x =y x =y x +P 2y x +2S xy ≤241S xy ≤y x =y x =xy 241S x x 22sin 4sin +x x 22sin 4sin =xx 22sin 4sin +x x x f 4)(+=a b b a +)1)(1(++b a 232)1()1()1)(1(=+++≤++b a b a ⎩⎨⎧=++=+1)1()1(b a b a时取得“=”。

∴ 的最大值是。

【小结】(1)本题是求“积”的最大值，常规是向“和”或“平方和”转化，并根据“和”或“平方和”是否是定值，做出选择。

(2)要利用=1，就必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式①也就顺理成章了。

3.2 基本不等式与最大(小)值阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s24；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值思考：(1) 函数y＝x＋1x的最小值是2吗？[提示] 不是，只有当x＞0时，才有x＋1x≥2，当x＜0时，没有最小值．(2)设a＞0,2a＋3a取得最小值时，a的值是什么？[提示] 2a＋3a≥22a×3a＝26，当且仅当2a＝3a，即a＝62时，取得最小值．1．下列函数中，最小值为4的函数是( )A．y＝x＋4xB．y＝sin x＋4sin x(0＜x＜π) C．y＝e x＋4e－x D．y＝log3x＋log x81C [A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C ．]2．当x ＞0时，x ＋9x的最小值为________．6 [因为x ＞0，所以x ＋9x≥2x ×9x ＝6，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时等号成立．]3．当x ∈(0,1)时，x (1－x )的最大值为________． 14[因为x ∈(0,1)， 所以1－x ＞0，故x (1－x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝14， 当x ＝1－x ，即x ＝12时等号成立．]4．若点A (－2，－1)在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．8 [由已知点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上 所以2m ＋n ＝1， 所以1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋22m ＋nn＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m＋4m n ≥8.]利用基本不等式求最值【例1】 (1)已知x >2，则y ＝x ＋4x －2的最小值为(2)若0<x <12，则函数y ＝12x (1－2x )的最大值是________．(1)6 (2)116 [(1)因为x >2，所以x －2>0，所以y ＝x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2 ≥2x －2·4x －2＋2＝6，当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以y ＝x ＋4x －2的最小值为6.(2)因为0<x <12，所以1－2x >0，所以y ＝12x ·(1－2x )＝14×2x ×(1－2x )≤14⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1－2x 22＝14×14＝116，当且仅当2x ＝1－2x ，即当x ＝14时，y max ＝116.]在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．1．(1)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．(2)设0<x ≤2，则函数ƒ(x )＝x8－2x的最大值为(1)－2 (2)2 2 [(1)依题意得y ＝t ＋1t－4≥2t ·1t－4＝－2，等号成立时t ＝1，即函数y ＝t 2－4t ＋1t(t >0)的最小值是－2.(2)因为0<x ≤2，所以0<2x ≤4,8－2x ≥4>0， 故ƒ(x )＝x 8－2x＝12·2x ·8－2x＝12·2x ·8－2x ≤12×82＝22， 当且仅当2x ＝8－2x ，即x ＝2时取等号， 所以当x ＝2时，ƒ(x )＝x8－2x的最大值为2 2.]利用基本不等式解实际应用题相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？[解] 法一：设矩形广告牌的高为x cm ，宽为y cm ，则每栏的高和宽分别为(x －20) cm ，⎝⎛⎭⎪⎫y －252cm ，其中x >20，y >25，则两栏面积之和为2(x －20)×y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25，所以广告牌的面积S ＝xy ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ，整理得S ＝360 000x －20＋25(x －20)＋18 500.因为x －20>0， 所以S ≥2360 000x －20×25x －20＋18 500＝24 500.当且仅当360 000x －20＝25(x －20)时等号成立，此时有(x －20)2＝14 400，解得x ＝140， 代入y ＝18 000x －20＋25，得y ＝175.即当x ＝140，y ＝175时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．法二：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝9 000，其中a >0，b >0.易知广告牌的高为(a ＋20) cm ，宽为(2b ＋25)cm.广告牌的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ·40b ＝24 500，当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时b ＝58a ，代入ab ＝9 000得a ＝120，b ＝75.即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500.故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使矩形广告牌的面积最小．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点： (1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值； (4)写出正确答案．2．(1)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N ＋)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．(2)用一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？(1)5 8 [每台机器运转x 年的年平均利润为yx＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，且x >0，故y x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．](2)[解] 设矩形菜园的长为x m 、宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2.由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.基本不等式的综合应用[探究问题]1．(1)当x ＞0时，x 2＋1x有最大值，还是最小值？(2)当x ＞0时，xx 2＋1有最大值，还是最小值？[提示] (1)当x ＞0时，x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，当x ＝1时等号成立，即x 2＋1x有最小值2.(2)当x ＞0时，xx 2＋1＝1x ＋1x，因为x ＋1x ≥2，所以x x 2＋1≤12，故xx 2＋1有最大值12. 2．(1)设a ＞0，b ＞0，(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值是什么？(2)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，1a ＋2b的最小值是什么？[提示](1)(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当b ＝2a时等号成立；(2)由于a ＋b ＝1，所以1a ＋2b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ≥22＋3，当b ＝2a ，即a ＝2－1，b ＝2－2时，1a ＋2b的最小值为3＋2 2.【例3】 (1)若对任意的x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a的取值范围．(2)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，求1a ＋1b的最小值．思路探究：(1)在xx 2＋3x ＋1中，分子、分母同时除以x ，求得xx 2＋3x ＋1的最大值，可得a 的范围．(2)由条件求得a 与b 的关系式，可求1a ＋1b的最小值．[解] (1)设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.(2)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．1．(变条件)(1)在例3(2)中，若3是3a与3b的等比中项，求1a＋1b的最小值．(2)在例3(2)中，把条件换为“2a 和1b 的等差中项是12”，求2a＋b 的最小值．[解] (1)由3是3a与3b的等比中项，得3a ＋b＝32，即a ＋b ＝2，故12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2b a ×a b ＝2， 当a ＝b ＝1时等号成立．(2)由于2a 和1b 的等差中项是12，则2a ＋1b＝1，故2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ×2ab＝9.当a ＝b ＝3时等号成立．2．(变条件)把例3(2)的条件换为“a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＋ab ＝1”，求a ＋b 的最小值．[解] a ＋b ＋ab ＝1，得b ＝1－aa ＋1＞0，故0＜a ＜1，故a ＋b ＝a ＋1－a a ＋1＝a ＋－1－a ＋2a ＋1＝a ＋2a ＋1－1＝a ＋1＋2a ＋1－2≥2a ＋1×2a ＋1－2＝22－2，当a ＋1＝2a ＋1，即a ＝2－1时等号成立．最值法解答恒成立问题将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有：(1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .1．利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用基本不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．( )(2)函数y＝sin x＋1sin x的最小值为2.( )(3)函数y＝x2＋4＋1x2＋4的最小值为2.( )[答案] (1)×(2)×(3)×[提示] (1)错误，这两个数可能不相等，如当x∈(0，π)时，sin x与4sin x 的积为定值，但sin x≠4sin x；(2)错误，sin x＜0时，函数不存在最小值．(3)错误，因为只有x2＋4＝1x2＋4，即x2＋4＝1，x2＝－3时才能取到最小值，但x2＝－3不成立，故(3)错．2．若x>0，y>0且2(x＋y)＝36，则xy的最大值为( ) A．9 B．18C．36 D．81A[由2(x＋y)＝36得x＋y＝18.所以xy ≤x ＋y 2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．]3．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时．8 [设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v ＝400v ＋16v 400≥2400v ×16v 400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v 400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．] 4．求函数f (x )＝x x ＋1的最大值． [解] f (x )＝x x ＋1＝1x ＋1x ， 因为x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，当x ＝1时等号成立，所以f (x )≤12.。

基本不等式与最大（小）值教学目标：使学生能够运用基本不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题。

教学重点、难点：基本不等式定理的应用。

教学过程：1．复习回顾2．例题讲解：例1 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；（2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .（2）和x ＋y 为定值S 时，有xy ≤S 2 ∴xy ≤ 14S 2 上式当x=y 时取“＝”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值14S 2. 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在。

师：接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用例2：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴y ∈[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2； 当x ＜0时，y ≤－2∴y ∈（－∞，－2]∪[2，+∞）例3：当x ＞1时，求函数y ＝x ＋1x －1的最小值解：y ＝（x －1）＋1x －1＋1（∵x ＞1）≥2＋1＝3 ∴函数的最小值是3问题：x ＞8时？总结：一正二定三相等。

介绍：函数y ＝x ＋1x的图象及单调区间例4：求下列函数的值域（1）y = x 2＋3x ＋5x ＋1 （2）y = x ＋1 x 2＋3x ＋5解：（1）y ＝(x ＋1) 2＋(x ＋1)＋3x ＋1 ＝(x ＋1) ＋ 3x ＋1＋ 1 当x ＋1＞0时，y ≥2 3 ＋1 ；当x ＋1＜0时，y ≤－2 3 ＋1即函数的值域为：（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞）（2）当x ＋1≠0时，令t = x 2＋3x ＋5x ＋1则问题变为：y = 1t，t ∈（－∞，－2 3 ＋1]∪[2 3 ＋1，+∞） ∴y ∈[1 －2 3 ＋1 ，0）∪（0，1 2 3 ＋1] 又x ＋1 = 0时，y = 0即y ∈[－ 1＋2 3 11 ，2 3 －111] 说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域，但要注意检验。