自控原理CH3(20111017)

t s = 3T
t
C(t ) = 1− e
C(t ) = 1 − e
= 0.9
= 0.95
t r = 2.20T
0 0
−
t s = 3T
T
2T
3T
4T
3-1-2 二阶系统的时域分析
• • • • 二阶系统的数学模型 二阶系统的单位阶跃响应 欠阻尼二阶系统的动态过程分析 过阻尼二阶系统的动态过程分析
h( s ) =
s1
0
ωn2 1 2 s + 2ζω n s + ωn s
2
e −ζω t 1−ζ 2
s2
h(t ) = 1 − cos ωnt
t≥0
其中，θ = arg tg (
1−ζ 2
t≥0
ζ )
s2
• 不稳定
• 不稳定
(d)
(0 < ζ < 1) 欠阻尼时，s12负实部的共轭复根点；
(d)
− 1 < ζ < 0 时，s12为具有正实部的共轭复根；
(a) 当 ζ ≤ −1 时，s12 为原系统的两个正实根；
j
s1 s2
0
h( s ) =
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
h (t ) = 1 + e − (ζ +
ζ 2 −1 )ω n t
2 ωn 1 2 s + 2ζω n s + ωn s 2
h(t ) = 1 − 1 1− ζ 2
n
±ωn ζ
2
−1
Φ( s) =
C (s) ωn2 = 2 R( s ) s 2 + 2ζω n s + ωn
• 欠阻尼
sin(ω d t + β )
t≥0
td ≈
tp =
1 + 0.7ζ
ωn
tr =
ts =
π −β ωd
3 .5
1.3 1
π π = ωd ωn 1 − ζ 2
s( s + ω n ) 2
2 ωn
1 ωn 1 = − − s (s + ω n ) 2 s + ω n
s 1 , 2 = − ζω
s2
n
± ωn 1− ζ
2
令 ξ = cos β 1 ∴ h(t ) = 1 − e −ζω nt sin(ω d t + β ) 1−ζ 2
β = arccos ξ
j
s1
h( s ) =
h(s) =
ωn
− σ = −ζωn
ωd = ωn 1 − ζ 2
2 1 ωn 2 2 s + 2ζω n s + ωn s
(e)
(ζ = 1) 临界阻尼,等负实根
(e)
j
s + ζω n ζω n 1 − − 2 2 s ( s + ζω n ) 2 + ω d ( s + ζω n ) 2 + ω d
tr
ts
12
14
16
18
20
t
00
2
4
6
8
10
12
tr
14
16
ts
18
20
t
阶跃输入作用动态性能指标
• td —延迟时间，h(t)到稳态值一半的时间； • tr—上升时间， h(t)从 10％ 到 90％所用的 时间，有时也取t=0 到第一次穿越的时间（对 有超调的系统）； • tp—峰值时间； • ts—调节时间，进入误差带且不超出误差带的 最短时间； • σ % —超调量：σ % =
= e
− πζ
按定义超调量为：σ %
1− ζ
2
× 100
%
σ% =e
100 90 80 70
−πζ
1−ζ
2
ζ ↓ ， σ％ ↑ 。 × 100 % 可见超调量与 ω n 无关，
h (t ) = 1 −
1 1− ζ
2
e − ζω
n
t
sin( ω d t + β )
t ≥ 0
• (5) 调节时间 ts
t≥0
• 不稳定
(b) (b)
j
− 1 < ζ < 0 时，s12为具有正实部的共轭复根；
( c ) ζ = 0 无阻尼时， s12为一对共轭虚根点； (c)
j
当
0
s1
h( s ) =
h(t ) = 1 −
n
ωn2 1 2 2 s + 2ζω n s + ωn s
sin(ω n 1 − ζ 2 t + θ )
π −β
ω d t p = k π ，由峰值时间定义可得：t p =
π π = ωd ωn 1− ζ
t≥0
e −ζω ntr sin(ωd t r + β ) = 0
，故有： tr = ω d
• (4) 超调量
h (t p ) = 1 − 1 1− ζ 2
−πζ
h(t ) = 1 −
1 1− ζ 2
0.3
0.4
ζ
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
R( s)
E (s)
ω n2 s ( s + 2 ζω n )
s1 , 2 = − ζω
e
−ζω n t
C (s)
R( s)
E (s)
ω n2 s ( s + 2 ζω n )
C (s)
Φ( s) =
C ( s) ωn2 = 2 R( s ) s 2 + 2ζω n s + ωn
h( s ) = 1 ωn2 2 s 2 + 2ζω n s + ωn s
2 n 2 n
特征方程： s + 2ζω s + ω = 0 特征根： s1 , 2 = − ζω n ± ω n ζ
2
−1
•二阶系统的单位阶跃响应
从特征根 s1 , 2 = − ζω n ± ω n ζ 2 − 1 可知： 当 ζ ≤ −1 时，s12 为原系统的两个正实根；
− πζ 1− ζ
2
ζω
n
0.1s
σ %
= e
× 100
%
确定系统参数
•过阻尼二阶系统的动态过程分析
• 过阻尼二阶系统响应较为缓慢，但无超调。 近似公式为：
2 （1）延迟时间 ： t d = 1 + 0.6ζ + ζ ωn
3-1-3 高阶系统的时域分析
（2）上升时间 ： （3）调节时间 ：
tr =
1 + 1.5ζ + ζ 2
第三章 线性系统的时域分析法
• 3-1 系统时间响应的性能指标定义
• 3-1-1 一阶系统时域分析 • 3-1-2 二阶系统时域分析 • 3-1-3 高阶系统说明
3-1 系统时间响应的性能指标定义
A
B
• 3-2 线性系统的稳定性分析 • 3-3 线性系统的稳态误差分析
时域分析：特定输入－>分析输出响应随时间变化的方法 分析什么？动态性能(快速性)；稳态性能（准确性）;稳定性
h(t) 1.4
1.2
0.9
0.5
0.1
6
8
10
12
14
16
18
20
t
tr
0
h(t) 1.4
1.2
阶跃作用下系统的动态性能指标 5％误差带
h(t) 1.4
1.2
阶跃作用下系统的动态性能指标 5％误差带
h (∞ )
1 0.9
h (∞ )
1 0.9
td
0.5
tp
0.5
td
0.1
0.1 2
4 6
00
8
10
3-1 系统时间响应的性能指标 ¾阶跃作用下性能指标：
• 动态性能：在零初始条件下，给系统 一单位阶跃输入，其输出为单位阶跃 响应，记为h(t)。将h(t)随时间变化 状况作为指标，一般称为系统的 动态 性能指标。详细 • 稳态性能：稳态误差是系统控制精度 或抗扰动能力的一种度量，是指 t→∞ 时，输出量与期望输出的偏差。
∴ h(t ) = 1 − e −ω nt (1 + ω n t )
t≥0
t≥0
σ = ζωn，ωd = ωn 1− ζ 2
• 稳定
• 衰减系数 • 阻尼振荡频率
• 稳定
(f)
ζ >1
(f)
j
二阶过阻尼
h( s ) =
令 T1 =
• 欠阻尼（0，1）
2 n 2
1 ω 2 s + 2ζω n s + ωn s
•二阶系统的数学模型
R( s) E (s)
其中，
K s (Ts + 1)
ω n2 s ( s + 2ζω n )
C (s)
ωn = K / T , ξ = 1 /( 2 TK )
Φ( s) =
C (s) ωn2 = 2 R( s ) s 2 + 2ζω n s + ωn
ζ —阻尼系数， ω n —自然（无阻尼）频率
•若无重特征根
∏
j =1
m
(s − Z i ) . (s − s j )
∏
i =1 n
e −ζω nt sin(ωd t + β )
π −β 在 tr = ω d
e
2
1−ζ
2
sin( π + β )