2018届高考数学(文)大一轮复习检测课时作业：第6章 不等式、推理与证明 课时作业38(含答案)

第六章 第七讲A 组基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取导学号 30071846( C )A ．2B ．3C ．5D ．6[解析] 当n ＝1时，21＝2＝12＋1， 当n ＝2时，22＝4<22＋1＝5， 当n ＝3时，23＝8<32＋1＝10， 当n ＝4时，24＝16<42＋1＝17， 当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，当n ＝6时，26＝64>62＋1＝37，故起始值n 0应取5.2．(2016·黄山模拟)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证导学号 30071847( B )A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立[解析] k 为偶数，则k ＋2为偶数，故选B ．3．(2016·昆明模拟)设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论导学号 30071848( C )A ．f (2n )>2n ＋12B ．f (n 2)≥n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．以上都不对 [解析] f (2)＝32，f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22， f (32)＝f (25)>5＋22，由此可推知f (2n )≥n ＋22，故选C ．4．(2016·潍坊模拟)某个命题与正整数有关，若当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知当n ＝4时该命题不成立，那么可推得导学号 30071849( D )A ．当n ＝5时，该命题不成立B ．当n ＝5时，该命题成立C ．当n ＝3时，该命题成立D ．当n ＝3时，该命题不成立[解析] 由数学归纳法的特点可以知道，当n ＝4时该命题不成立，可知当n ＝3时，该命题不成立．5．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设n ＝k 时命题成立，则当n ＝k ＋1时，左端增加的项数是导学号 30071850( D )A ．1项B ．k －1项C ．k 项D ．2k 项[解析] 运用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)左边表示的为2k 项的和 当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k＋1项的和，因此，增加了2k＋1－2k ＝2k 项．6．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n (2n 2＋1)3时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是导学号 30071851( B )A ．(k ＋1)2＋2k 2B ．(k ＋1)2＋k 2C ．(k ＋1)2D ．13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1][解析] 由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加(k ＋1)2＋k 2，故选B ． 二、填空题7．(易错题)(2016·河南洛阳模拟)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证的不等式是 1＋12＋13<2 .导学号 30071852[解析] 由n ∈N *，n >1知，n 取第一个值n 0＝2，当n ＝2时，不等式为1＋12＋13<2.[易错提示] 此类题很容易出现n ＝2时写成1＋12，缺少了13，导致答案不正确.8．(2016·甘肃省白银市会宁四中期中数学试题)已知数列{a n }满足条件a n ＝1(n ＋1)2，设f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)…(1－a n )，计算f (1)，f (2)，f (3)，f (4)的值，由此猜想f (n )的通项公式为 f (n )＝n ＋22(n ＋1).导学号 30071853[解析] f (1)＝34，f (2)＝46，f (3)＝58，f (4)＝610.由此可猜想f (n )＝n ＋22(n ＋1)9．(2016·湖南省常德市石门一中第一次月测数学试题)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1<n (n ∈N *，n >1)，由n ＝k (k >1)不等式成立，推理n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是_2k __.导学号 30071854[解析] 当n ＝k 时，不等式为1＋12＋13＋…＋12k －1<k ；当n ＝k ＋1时，要证的式子为1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1.左边增加了2k 项． 三、解答题10．(教材改编题)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(S n －1)2＝a n S n (n ∈N *).导学号 30071855 (1)求S 1，S 2，S 3；(2)猜想S n 的表达式并证明．[解析] (1)由(S 1－1)2＝S 21，得S 1＝12； 由(S 2－1)2＝(S 2－S 1)S 2，得S 2＝23；由(S 3－1)2＝(S 3－S 2)S 3，得S 3＝34.(2)猜想：S n ＝nn ＋1.证明：①当n ＝1时，显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，S k ＝kk ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，由(S k ＋1－1)2＝a k ＋1S k ＋1， 得S k ＋1＝12－S k ＝12－k k ＋1＝k ＋1k ＋2.从而n ＝k ＋1时，猜想也成立． 综合①②得结论成立．11．(2016·北京海淀模拟)已知不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，猜想正整数a 的最大值，并证明结论.导学号 30071856[解析] 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13＋1>a24，即2624>a24，所以a <26.因为a 是正整数，所以取a ＝25. 用数学归纳法证明： 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证；②假设当n ＝k 时，不等式成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]．因为13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>6(k ＋1)9k 2＋18k ＋9＝23(k ＋1)，所以13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0，所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 由①②知，对一切正整数n ， 都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524.所以a 的最大值等于25.B 组能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取导学号 30071857( B )A ．7B ．8C ．9D ．10[解析] 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.2．(2017·辽宁省葫芦岛市普通高中期期末数学试题)在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n－1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为导学号 30071858( C )A ．1(n －1)(n ＋1)B ．12n (2n ＋1)C ．1(2n －1)(2n ＋1)D ．1(2n ＋1)(2n ＋2)[解析] 当n ＝2时，13＋a 2＝(2×3)a 2，∴a 2＝13×5.当n ＝3时，13＋115＋a 3＝(3×5)a 3，∴a 3＝15×7.故猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).3．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是导学号 30071859( D )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立[解析] ∵f (k )≥k 2成立时，f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立， ∴f (4)≥16时，有f (5)≥52，f (6)≥62，…，f (k )≥k 2成立．4．在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).导学号 30071860(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜想{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. [答案] (1)a 2＝6，a 3＝12，a 4＝20，b 2＝9，b 3＝16，b 4＝25，a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2，证明略 (2)略[解析] (1)由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25. 猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2. 用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立． ②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2.那么当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)， b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2.所以当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立． (2)1a 1＋b 1＝16＜512. 当n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)·n . 故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12(12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)) ＝16＋12(12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1) ＝16＋12(12－1n ＋1)＜16＋14＝512. 5．(2016·衡水调研)首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *. 导学号 30071861(1)证明：若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数；(2)若对一切n ∈N *都有a n ＋1>a n ，求a 1的取值范围． [答案] (1)略 (2)0<a 1<1或a 1>3[解析] (1)证明：已知a 1是奇数，假设a k ＝2m －1是奇数，其中m 为正整数， 则由递推关系，得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m (m －1)＋1是奇数．根据数学归纳法，可知对任何n ∈N *，a n 都是奇数．(2)方法一：由a n ＋1－a n ＝14(a n －1)(a n －3)，知当且仅当a n <1或a n >3时，a n ＋1>a n .另一方面，若0<a k <1，则0<a k ＋1<1＋34＝1；若a k >3，则a k ＋1>32＋34＝3.根据数学归纳法，可知∀n ∈N *,0<a 1<1⇔0<a n <1；∀n ∈N *，a 1>3⇔a n >3. 综上所述，对一切n ∈N *都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3. 方法二：由a 2＝a 21＋34>a 1，得a 21－4a 1＋3>0.于是0<a 1<1或a 1>3. a n ＋1－a n ＝a 2n ＋34－a 2n －1＋34＝(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)4.因为a 1>0，a n ＋1＝a 2n ＋34，所以对任意n ∈N *，a n 均大于0.因此a n ＋1－a n 与a n －a n －1同号．根据数学归纳法，可知∀n ∈N *，a n ＋1－a n 与a 2－a 1同号． 因此，对于一切n ∈N *都有a n ＋1>a n 的充要条件是0<a 1<1或a 1>3.。

课时分层训练(三十四) 基本不等式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知x >－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( ) 【导学号：31222211】A ．－1B ．0C ．1D ．2C2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( )【导学号：31222212】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B3．(2016·吉林东北师大附中等校联考)函数f (x )＝ax －1－2(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx －ny －1＝0上，其中m >0，n >0，则1m ＋2n的最小值为( ) 【导学号：31222213】A ．4B ．5C ．6D ．3＋2 2D4．(2016·安徽安庆二模)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．8D ．16B5．(2016·郑州外国语学校月考)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，则( )A ．R <P <QB ．Q <P <RC ．P <Q <RD ．P <R <QC 二、填空题6．(2016·湖北华师一附中3月联考)若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是__________． 27．已知函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为__________．948．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．20 三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x －2x 的最大值．(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.2分当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4，4分 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.6分(2)∵0<x <2， ∴2－x >0， ∴y ＝x－2x ＝2·x－x≤2·x ＋2－x2＝2，8分当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.12分10．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，2分又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.5分 (2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y·8yx＝18.8分当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )【导学号：31222214】A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C2．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．23．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值．(1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|)＝⎩⎪⎨⎪⎧401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t－4t ，20<t ≤30.5分(2)当t ∈时，401＋4t ＋100t≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值).7分当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，10分所以t ∈时，W (t )的最小值为441万元.12分。

（时间：40分钟）1．函数f (x )＝错误!的定义域是（ )A ．(－∞，1)∪（3，＋∞）B ．(1，3)C ．(－∞，2）∪（2，＋∞)D ．（1，2)∪（2,3)答案 D解析 由题意知错误!即错误!故函数f （x ）的定义域为（1，2)∪(2，3)．2．不等式x 2－4〉3｜x |的解集是( ）A ．（－∞,－4)∪（4，＋∞) B．(－∞，－1）∪（4,＋∞)C ．（－∞，－4）∪（1,＋∞) D．（－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵|x |2－3|x |－4〉0，∴(|x |－4）（|x ｜＋1)>0，∴｜x ｜〉4,x 〉4或x 〈－4，选A 项．3．下列选项中，使不等式x 〈1x<x 2成立的x 的取值范围是( ） A ．(－∞，－1)B ．（－1,0)C ．(0,1）D ．（1，＋∞)答案 A解析当x>0时，原不等式可化为x2〈1〈x3，解得x∈∅，当x〈0时，原不等式可化为错误!解得x<－1,选A。

4．已知关于x的不等式错误!〉0的解集是(－∞，－1）∪错误!，则a的值为（)A．－1 B.错误!C．1 D．2答案D解析由题意可得a≠0且不等式等价于a(x＋1)·错误!>0，由解集的特点可得a〉0且错误!＝错误!，故a＝2.故选D。

5．已知不等式ax2＋bx＋2〉0的解集为｛x|－1<x〈2｝，则不等式2x2＋bx＋a〈0的解集为( )A。

错误!B.错误!C．｛x｜－2〈x〈1｝D．{x｜x〈－2或x>1}答案A解析由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根，且a<0。

由韦达定理错误!⇒错误!∴不等式2x2＋bx＋a<0，即2x2＋x－1〈0，可知x ＝－1，x ＝错误!是对应方程的根,∴选A.6．不等式（a －2)x 2＋2（a －2)x －4〈0对一切x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是________．答案 （－2,2]解析 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4〈0，对一切x ∈R 恒成立,当a ≠2时，则有错误!即错误!∴－2〈a 〈2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．7．不等式x ＋1x≤3的解集为________． 答案 错误!解析 x ＋1x ≤3，即x ＋1－3x x≤0, 1－2x x ≤0⇔错误!⇔错误!解得x ≥错误!或x <0.故原不等式的解集为错误!。

课时作业36 不等关系与不等式一、选择题1．若a<0，ay>0且x＋y>0，则x与y之间的不等关系是（）A．x＝y B．x>yC．x〈y D．x≥y解析：由a〈0，ay>0知y<0，又由x＋y〉0知x>0，所以x>y。

答案:B2．若错误!〈错误!〈0，则下列结论不正确的是（)A．a2<b2B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a｜＋|b|〉｜a＋b｜解析：∵错误!〈错误!〈0,∴b〈a<0.∴a2<b2，ab<b2，a＋b〈0,|a|＋｜b|＝｜a＋b|。

答案：D3．设a,b是非零实数，若a〈b，则下列不等式成立的是( ) A．a2<b2B．ab2〈a2bC。

1ab2〈错误!D。

错误!<错误!解析：当a<0时，a2<b2不一定成立,故A错．因为ab2－a2b＝ab（b－a)．b－a>0,ab符号不确定．所以ab2与a2b的大小不能确定，故B错．因为1ab2－错误!＝错误!〈0。

所以错误!<错误!,故C正确．D项中错误!与错误!的大小不能确定．答案：C4．设α∈（0，错误!），β∈［0,错误!］,那么2α－错误!的取值范围是（）A．(0，错误!) B．(－错误!,错误!)C．（0,π）D．（－错误!,π)解析:由题设得0<2α<π，0≤错误!≤错误!.∴－错误!≤－错误!≤0，∴－错误!〈2α－错误!〈π。

答案：D5．已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32,则a，b,c的大小关系是( ）A．a＝b〈c B．a＝b〉cC．a〈b〈c D．a〉b〉c解析：a＝log23＋log2错误!＝log23错误!。

b＝log29－log2错误!＝log2错误!＝log23错误!.∴a＝b＝log23错误!〉log22＝1.∵c＝log32<log33＝1，∴a＝b>c，故选B。

(时间：40分钟)1．已知x ，y ∈R ＋，则“xy ＝1”是“x ＋y ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若xy ＝1，由基本不等式，知x ＋y ≥2xy ＝2；反之，取x ＝3，y ＝1，则满足x ＋y ≥2，但xy ＝3≠1，所以“xy ＝1”是“x＋y ≥2”的充分不必要条件．故选A.2．若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4 答案 C 解析 由ab ≥22ab，得ab ≥22，当且仅当1a ＝2b时取“＝”，选C.3．已知a >0，b >0,2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值是( )A ．4 B.92 C ．8 D ．9答案 D解析 ∵2a ＋b ＝1，又a >0，b >0， ∴2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ×2ab＝9，当且仅当⎩⎨⎧2b a＝2ab ，2a ＋b ＝1，即a ＝b ＝13时等号成立．故选D.4．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2答案 A解析 ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋x －＋3x －1＝x －2＋x －＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时取等号．5．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233 答案 B解析 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223(当且仅当x ＝22时等号成立)． 6．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．答案 2解析 因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时等号成立， 所以x ＋y 的最大值为2.7．函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为________．答案 22＋2解析 因为y ＝2x ＋1x －1(x >1)，所以y ＝2x ＋1x －1＝2(x －1)＋1x －1＋2≥2＋2x －1x －1＝22＋2. 当且仅当x ＝1＋22时取等号， 故函数y ＝2x ＋1x －1(x >1)的最小值为22＋2.8．函数f (x )＝x ＋－2x(－1<x <12)的最大值为________．答案 324解析f (x )＝x ＋－2x ＝12x ＋－2x ，因为－1<x <12，所以2x ＋2>0,1－2x >0，且(2x ＋2)＋(1－2x )＝3.由基本不等式可得(2x ＋2)＋(1－2x )≥2x ＋－2x(当且仅当2x ＋2＝1－2x ，即x ＝－14时等号成立 )，即x ＋－2x≤32. 所以f (x )＝ 12x ＋－2x ≤12×32＝324. 9．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x >0，y >0，则1＝8x ＋2y≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.10．若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由． 解 (1)因为a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab ，所以ab ＝1a ＋1b ≥21ab，所以ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号． 因为a 3＋b 3≥2ab3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， 所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)可知，2a ＋3b ≥22a ·3b ＝26ab ≥43>6，故不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6成立．(时间：20分钟)11．设实数m ，n 满足m >0，n <0，且1m ＋1n＝1，则4m ＋n ( )A ．有最小值9B ．有最大值9C ．有最大值1D ．有最小值1 答案 C解析 因为1m ＋1n ＝1，所以4m ＋n ＝(4m ＋n )( 1m ＋1n )＝5＋4m n ＋nm，又m >0，n <0，所以－4m n －nm≥4，当且仅当n ＝－2m 时取等号，故5＋4m n ＋n m ≤5－4＝1，当且仅当m ＝12，n ＝－1时取等号，故选C. 12．设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则2a ＋1b －1的最小值为( )A ．3＋2 2B ．6C ．4 2D ．2 2答案 A解析 由题可知a ＋b ＝2，a ＋b －1＝1，∴2a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －1(a ＋b －1)＝2＋b －a＋ab －1＋1≥3＋22，当且仅当b －a＝ab －1，即a ＝2－2，b ＝2时等号成立，故选A.13．已知a >b >0，则a 2＋16b a －b的最小值是________．答案 16解析 因为a >b >0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a＝2b 时等号成立．所以a 2＋16b a －b ≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立． 所以当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b a －b取得最小值16.14．已知lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．解 由lg (3x )＋lg y ＝lg (x ＋y ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，3xy ＝x ＋y ＋1.(1)∵x >0，y >0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0， ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0， ∴xy ≥1，∴xy ≥1，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． ∴xy 的最小值为1. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0， ∴≥0，∴x ＋y ≥2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号， ∴x ＋y 的最小值为2.。

第六章第三讲组基础巩固一、选择题．(·辽宁沈阳四校联考)下列各点中，与点()位于直线＋－＝的同一侧的是( )．() ．(－)．(－) ．(，－)[解析]点()使＋－>，点(－)使＋－>，所以此两点位于＋－＝的同一侧．故选．[解法总结]作平面区域时要“直线定界，测试点定域”，当不等式无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．若直线不过原点，测试点常选取原点．．(·辽宁省铁岭市协作体高三上学期第三次联考数学试题)已知变量，满足约束条件(\\(＋－≤－＋≥－－≤))则＝＋的最大值为( ) ．．．．[解析]先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，＝＋表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可．解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为()，()，(－，－)，验证知在点()时取得最大值当直线＝＋过点()时，最大是，故选．．(·石家庄高三年级摸底考试)已知，满足约束条件(\\(＋≤，－≤，－＋≥))则下列目标函数中，在点()处取得最大值的是( )．＝－＋．＝－．＝－．＝＋[解析]画(\\(＋≤－≤－＋≥))的线性区域求得，，三点坐标为()、()、(－，－)由于只在()处取得最大值否定、、，故选．．(·浙江)在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点的直线上的投影．由区域(\\(－≤，＋≥，－＋≥))中的点在直线＋－＝上的投影构成的线段记为，则＝( )．．．．[解析]作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点，分别作直线＋－＝的垂线，垂足分别为，，则四边形为矩形，又(，－)，(－)，所以＝＝＝.故选．．(·四川成都模拟)某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，且甲、乙两种产品都需要在，两种设备上加工．在每台设备、每台设备上加工件甲产品所需工时分别为和，加工件乙产品所需工时分别为和，设备每天使用时间不超过，设备每天使用时间不超过，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是( )．万元．万元．万元．万元[解析]设每天生产甲、乙两种产品分别为件，件，企业获得的利润为万元，则，满足约束条件(\\(＋≤，＋≤，，∈，))且＝＋．。

课时分层训练(三十五) 合情推理与演绎推理 A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确C2．如图6­4­4，根据图中的数构成的规律，得a 表示的数是( )【导学号：31222223】图6­4­4A ．12B ．48C ．60D ．144D3．某种树的分枝生长规律如图6­4­5所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )【导学号：31222224】图6­4­5A ．21B ．34C ．52D ．55 D4．如图6­4­6所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( )图6­4­6A.5＋12B.5－12 C.5－1 D.5＋1A5．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数B二、填空题6．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝a2＋b22(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝__________.a2＋b2＋c227．观察下列不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…照此规律，第五个不等式为__________．【导学号：31222225】1＋122＋132＋142＋152＋162<1168．(2017·东北三省四市一联)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说“甲没有得优秀”，乙说“我得了优秀”，甲说“丙说的是真话”．事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．丙9．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为： (1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；4分 (2)四面体的体积V ＝13×底面积×高；8分(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.12分10．设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明. 【导学号：31222226】f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3 ＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，2分同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时， 均有f (x 1)＋f (x 2)＝33.6分 证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝13x 1＋3＋13x 2＋3＝x 1＋3＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋x 2＋3x 1＋3x 2＋3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋2×3＝3x 1＋3x 2＋233x 1＋3x 2＋23＝33.12分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．给出以下数对序列： (1,1)；(1,3)(2,2)(3,1)； (1,4)(2,3)(3,2)(4,1)； …记第i 行的第j 个数对为a ij ，如a 43＝(3,2)，则a nm ＝( ) A ．(m ，n －m ＋1) B ．(m －1，n －m ) C ．(m －1，n －m ＋1) D ．(m ，n －m )A2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和33．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． (1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.5分(2)法一：三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.7分证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.12分 法二：三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.7分证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋－2α2－sin α(cos 30° cos α＋sin 30°sin α)＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.12分。

课时作业38 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1．(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，选A.答案：A2．(2016·山东卷)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，设P (x ，y )为平面区域内任意一点，则x 2＋y 2表示|OP |2.显然，当点P 与点A 重合时，|OP |2，即x 2＋y 2取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝22x －3y ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－1，故A (3，－1)．所以x 2＋y 2的最大值为32＋(－1)2＝10，故选C.答案：C3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝2x －z ，则该直线经过点A 时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，x －2y ＋2＝0得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1，12，所以z min ＝－2－12＝－52.答案：A4．(2017·河南开封一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a 2，从图中可看出，当－1<－a2<2，即－4<a <2时，仅在点(1,0)处取得最小值，故选B.答案：B5．(2017·河北“五个一名校联盟”质检)已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6D ．2解析：根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，设点P 到圆心的距离为d ，则求最短弦长，等价于求到圆心的距离d 最大的点，即为图中的P 点，其坐标为(1,3)，则d ＝1＋32＝10，此时|AB |min ＝214－10＝4.答案：B6．(2017·湖南衡阳一模)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，x ≤2，x ＋y －2≥0，则x ＋y ＋3x ＋2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，52B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 解析：根据题意作出不等式组表示的可行域如下图阴影部分所示，即△ABC 的边界及其内部，又因为x ＋y ＋3x ＋2＝1＋y ＋1x ＋2，而y ＋1x ＋2表示可行域内一点(x ，y )和点P (－2，－1)连线的斜率，由图可知k PB ≤y ＋1x ＋2≤k PC ，由题意得B (2,0)，C (0,2)，所以0＋12＋2≤y ＋1x ＋2≤2＋10＋2，则14≤y ＋1x ＋2≤32，即54≤x ＋y ＋3x ＋2≤52，故选A.答案：A7．(2017·新疆一检)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥02x －y －3≤0，x －my ＋1≥0且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：画出可行域可知，将直线x ＋y ＝0平移至过直线2x －y －3＝0与直线x －my ＋1＝0的交点A (3m ＋12m －1，52m －1)时，x ＋y 取得最大值，∴3m ＋12m －1＋52m －1＝9，解得m ＝1.答案：A8．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )C ．17万元D ．18万元解析：设生产甲、乙产品分别为x 、y 吨，每天获利z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ，y ≥0z＝3x ＋4y ，作出可行域，如图中四边形OABC 所示．平移直线3x ＋4y ＝0知，z ＝3x ＋4y 在点B (2,3)处取得最大值，即z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．答案：D 二、填空题9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，2x ＋y ≤6，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个四边形，则实数a 的取值范围是________．解析：平面区域如图中的阴影部分，直线2x ＋y ＝6交x 轴于点A (3,0)，交直线x ＝1于点B (1,4)，当直线x ＋y ＝a 与直线2x ＋y ＝6的交点在线段AB (不包括线段端点)上时，此时不等式组所表示的区域是一个四边形．将点A 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得3＋0＝a ，即a ＝3，将点B 的坐标代入直线x ＋y ＝a 的方程得a ＝1＋4＝5，故实数a 的取值范围是(3,5)．答案：(3,5)10．(2017·广西高三适应性测试)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，x －y ＋2≥0，x ＋4y －8≤0表示的平面区域为Ω，直线x ＝a 将Ω分成面积相等的两部分，则实数a 的值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域(如图所示)．平面区域ABC 的面积是12AC ·BF ＝52，由x ＝a 分别和x ＋4y －8＝0，y ＝1相交得D ⎝⎛⎭⎪⎫a ，2－a 4，E (a,1)．因为直线x ＝a 将Ω分成面积相等的两部分，所以S △ADE ＝12(4－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 4＝54.解得a ＝4－10.答案：4－1011．(2017·衡水中学一调)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝ax ＋2by (a >0，b >0)的最大值为1，则1a 2＋14b2的最小值为________．解析：不等式组所表示的平面区域是以(0,0)，(23，0)，(1,1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z ＝ax ＋2by 过点(1,1)时，z 有最大值，故a ＋2b ＝1，故1≥22ab ，故ab ≤18，故1a 2＋14b 2≥1ab ≥8，当且仅当a ＝2b ＝12时等号成立，故1a 2＋14b2的最小值为8.答案：81．(2016·浙江卷)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．6解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，又C (2，－2)，D (－1，1)，所以|AB |＝|CD |＝＋2＋－2－2＝3 2.故选C.答案：C2．(2017·河北太原一模)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y －1≤0，x －a ≥0，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x －2≤12恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[0,1)C ．[0,1]D ．(0,1)解析：易知a ≤1，作出约束条件表示的平面区域(如图所示)，设Q (2,0)，P (x ，y )是平面区域内的动点，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x －2＝|k PQ|，由图象，得当P 是直线x ＝a 与x －y －1＝0的交点时，PQ 的斜率最大，为a －1a －2，当P 是直线x ＝a 与x ＋y －1＝0的交点时，PQ 的斜率最小，为1－aa －2，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x －2≤12恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1a －2≤121－a a －2≥－12，解得a ≥0，又a ≤1，∴0≤a ≤1.选C.答案：C3．(2017·吉林省吉林市质检)设P 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ，y ≥0，x －y ≥－1x ＋y ≤3，表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，若OP →＝λm ＋μn ，则2λ＋μ的最大值为________．解析：首先根据已知约束条件画出其所在的平面区域如下图所示．设点P (x ，y )，然后由m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，且OP →＝λm ＋μn 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧μ＝x －y ，λ＝－x ＋2y ，所以令z＝2λ＋μ＝(－x ＋2y )×2＋(x －y )＝－x ＋3y ，最后根据图形可得在点B 处取得最大值，即z max ＝(2λ＋μ)max ＝－1＋3×2＝5.答案：54．(2016·天津卷)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(Ⅰ)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(Ⅰ)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(Ⅱ)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。

2018年高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 课时达标32不等关系与不等式 理[解密考纲]主要考查不等式及其性质，以选择题或填空题的形式出现，位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a ，b 为实数，则“a <1b 或b <1a”是“0<ab <1”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：可通过举反例说明，当a ＝b ＝－10时，a ＜1b ，b ＜1a，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a ＝－1，b ＝－12时，0＜ab ＜1，但a ＞1b ，b ＞1a ，所以不是必要条件．综上可知“a ＜1b 或b ＜1a”是“0＜ab ＜1”的既不充分也不必要条件．2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( D )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：令a ＝－1，b ＝－2，代入选项验证可知选项D 错误，故选D ．3．(2017·浙江富阳模拟)如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定成立的是( C )A ．ab >acB ．bc >acC ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以a ＞0，c ＜0，所以ab －ac ＝a (b －c )＞0，bc －ac ＝(b －a )c ＞0，ac (a －c )＜0，所以A ，B ，D 均正确．因为b 可能等于0，也可能不等于0，所以cb 2＜ab 2不一定成立．4．(2017·广东实验中学模拟)已知0<a <b <1，则( D ) A ．1b >1a B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b C ．(lg a )2<(lg b )2D ．1lg a >1lg b解析：因为0＜a ＜b ＜1，所以1b －1a ＝a －b ab ＜0，可得1b ＜1a ；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b；(lg a )2＞(lg b )2；lg a ＜lg b ＜0，可得1lg a ＞1lg b.综上可知，只有D 正确．5．(2017·四川成都模拟)已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列不等式一定成立的是( C )A ．a 2<b 2B ．ab 2>a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <a b解析：若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，故A 错；若0＜a ＜b ，则b a ＞ab，故D 错；若ab ＜0，即a ＜0，b ＞0，则a 2b ＞ab 2，故B 错．6．(2017·陕西西安检测)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( D )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析：由题设得0＜2α＜π，0≤β3≤π6，∴－π6≤－β3≤0，∴－π6＜2α－β3＜π.二、填空题7．(2017·山西四校联考)已知a ＋b >0，则a b2＋b a2与1a ＋1b的大小关系是a b2＋b a2≥1a ＋1b.解析：a b2＋b a2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b 2a 2b 2.因为a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， 所以a ＋ba －b2a 2b2≥0，所以a b2＋b a2≥1a ＋1b.8．(2017·江苏模拟)若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为⎝ ⎛⎪⎫－92，132. 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52＜52(a ＋b )＜152，－2＜－12(a －b )＜－1，所以－92＜52(a ＋b )－12(a －b )＜132，即－92＜2a ＋3b ＜132.9．(2017·贵州遵义模拟)已知下列结论： ①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b；③若 a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1<b <0，则ab 2>a . 其中正确的是①③④(只填序号即可)．解析：对于①，因为a ＞|b |≥0，所以a 2＞b 2，即①正确； 对于②，当a ＝2，b ＝－1时，显然不正确；对于③，显然正确；对于④，因为a ＜0，－1＜b ＜0，ab 2－a ＝a (b 2－1)＞0，所以ab 2＞a ，即④正确．三、解答题10．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解析：∵a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1，∴当a ＞1时，a ＋2＞31－a ；当a ＜1时，a ＋2＜31－a.11．已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg xy≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围． 解析：设a ＝lg x ，b ＝lg y ，则lg xy ＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg x 4y 2＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴lg x 4y 2＝3lg xy ＋lg xy.∵3≤3lg xy ≤6,3≤lg xy≤4，∴6≤lg(x 4y 2)≤10，即lg(x 4y 2)的取值范围是[6,10]．12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a的取值范围． 解析：∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0，∴b ＝－(a ＋c )． 又a ＞b ＞c ，∴a ＞－(a ＋c )＞c ，且a ＞0，c ＜0， ∴1＞－a ＋c a ＞c a ，即1＞－1－c a ＞ca ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2c a ＜－1，ca ＞－2，解得－2＜c a ＜－12，即c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12.。

课时作业41 直接证明与间接证明一、选择题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( ) A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．答案：B2．若a、b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )A．lg(1＋a2)>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2 D.ab<a＋1 b＋1解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0.∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案：B3．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b ∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下正确的是( ) A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确，②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析：反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p＋q>2，所以①不正确；对于②，其假设正确．答案：D4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：由题意知b2－ac<3a⇐b2－ac<3a2⇐(a＋c)2－ac<3a2⇐a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0 ⇐－2a 2＋ac ＋c 2<0⇐2a 2－ac －c 2>0 ⇐(a －c )(2a ＋c )>0⇐(a －c )(a －b )>0. 答案：C5．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝Q C ．P <QD ．由a 取值决定解析：假设P <Q ，要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，只要证2a ＋7＋2a a ＋<2a ＋7＋2a ＋a ＋，只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证0<12， ∵0<12成立，∴P <Q 成立． 答案：C6．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1. 其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．③D ．③④⑤解析：若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1.但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出； 对于③，即a ＋b >2.则a ，b 中至少有一个大于1， 反证法：假设a ≤1且b ≤1， 则a ＋b ≤2与a ＋b >2矛盾，因此假设不成立，a ，b 中至少有一个大于1. 答案：C 二、填空题7．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6<7.∴a <b .答案：a <b8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是：________.解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个是非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”．答案：a ，b ，c ，d 全是负数9．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．解析：令⎩⎪⎨⎪⎧f－＝－2p 2＋p ＋1≤0，f ＝－2p 2－3p ＋9≤0，解得p ≤－3或p ≥32，故满足条件的p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32三、解答题10．若a >b >c >d >0且a ＋d ＝b ＋c ，求证：d ＋a <b ＋c .证明：要证d ＋a <b ＋c ，只需证(d ＋a )2<(b ＋c )2，即a ＋d ＋2ad <b ＋c ＋2bc ，因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad <bc ，即ad <bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )<0，故ad <bc 成立，从而d ＋a <b ＋c 成立．11．已知四棱锥S －ABCD 中，底面是边长为1的正方形，又SB ＝SD ＝2，SA ＝1. (1)求证：SA ⊥平面ABCD ；(2)在棱SC 上是否存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD ？若存在，确定F 点的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得SA 2＋AD 2＝SD 2，∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB . 又AB ∩AD ＝A ， ∴SA ⊥平面ABCD .(2)假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD . ∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD . ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ， ∴平面FBC ∥平面SAD .这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，∴假设不成立． ∴不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD .1．(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈[0,1]，证明：(Ⅰ)f (x )≥1－x ＋x 2； (Ⅱ)34<f (x )≤32.证明：(Ⅰ)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－－x 41－－x＝1－x 41＋x， 由于x ∈[0,1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1， 所以f (x )≥1－x ＋x 2. (Ⅱ)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝x －x ＋x ＋＋32≤32， 所以f (x )≤32.由(Ⅰ)得f (x )≥1－x ＋x 2＝(x －12)2＋34≥34，又因为f (12)＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.2．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a>c .证明：(1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2， ∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又∵x 1x 2＝c a，∴x 2＝1a (1a≠c )．∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a>0，由0<x <c 时，f (x )>0.知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c .又∵1a≠c ，∴1a>c .课时作业30 数系的扩充与复数的引入一、选择题1．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅解析：因为A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}＝{i ，－1，－i ，1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{－1,1}． 答案：C2．(2016·山东卷)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：易知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，选B. 答案：B3．(2016·新课标全国卷Ⅱ)设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2iD ．3－2i解析：易知z ＝3－2i ，所以z ＝3＋2i. 答案：C4．若复数m (3＋i)－(2＋i)在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围为( )A ．m >1B ．m >23C ．m <23或m >1D.23<m <1 解析：m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3m －2>0，m －1<0，解得23<m <1.答案：D5．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为( ) A ．－25B ．－25iC.25D.25i 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25.答案：A6．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0解析：z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 015＝－z 2 0161－z＝1－i 2 0161－i ＝1－i4×5041－i＝0. 答案：D7．(2017·芜湖一模)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋32i ，z 2＝a －32i ，若z 1z 2为纯虚数，则实数a ＝( )A.32B ．－32C.32或－32D ．0解析：z 1z 2＝a ＋32i a －32i ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋32i 2⎝⎛⎭⎪⎫a －32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32i＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2－34＋3a i a 2＋34是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－34＝0，3a ≠0，解得a ＝±32. 答案：C8．在复平面内，复数11＋i ，11－i(i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ． 1 C.12i D ．i解析：∵11＋i＝1－i －＋＝12－12i ，11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，则A (12，－12)，B (12，12)，∴线段AB 的中点C (12，0)，故点C 对应的复数为12，选A. 答案：A 二、填空题9．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 解析：复数z ＝(1＋2i)(3－i)＝5＋5i ，其实部是5. 答案：510．(2016·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab的值为________．解析：(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以b ＝1，a ＝2，a b＝2. 答案：2 11．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.解析：因为a ＋2ii＝b ＋i ，所以2－a i ＝b ＋i.由复数相等的充要条件得b ＝2，a ＝－1，故a ＋b ＝1.答案：112．在复平面上，复数3－对应的点到原点的距离为________．解析：解法1：由题意可知⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝3|2－i|2＝35. 解法2：3－2＝34－4i ＋i 2＝33－4i＝＋－＋＝9＋12i 25＝925＋1225i ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪925＋1225i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12252＝35.答案：351．(2017·河北衡水一模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )A ．2B ．3C ．2 2D ．3 3解析：z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1＋z 2＝－2，故选A. 答案：A2．设复数z ＝3＋i(i 为虚数单位)在复平面中对应点A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转90°得到OB ，则点B 在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为复数z 对应点的坐标为A (3,1)，所以点A 位于第一象限，所以逆时针旋转π2后对应的点B 在第二象限．答案：B3．已知i 为虚数单位，(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，z 2＝a ＋2i ，若z 1·z 2∈R ，则|z 2|＝( ) A ．4 B ．20 C. 5D ．2 5解析：z 1＝2＋1－i 1＋i＝2＋1－2＋－＝2－i ，z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝2a ＋2＋(4－a )i ，若z 1·z 2∈R ，则a ＝4，|z 2|＝25，选D.答案：D4．已知复数z 1＝cos15°＋sin15°i 和复数z 2＝cos45°＋sin45°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos15°＋sin15°i)(cos45°＋sin45°i)＝(cos15°cos45°－sin15°sin45°)＋(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)i＝cos 60°＋sin60°i＝12＋32i.答案：12＋32i5．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i2 0141＋i，则复数z 在复平面内对应的点为________．解析：∵i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＋i4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而 2 013＝4×503＋1,2 014＝4×503＋2，∴z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0141＋i＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝－1＋－＋－＝2i2＝i ， 对应的点为(0,1)．答案：(0,1)。