沈晨竞赛讲义竞赛课件17：静电场：原理与方法

专题17-例1
球在第一次与板接触后获得电量为q，说明有量 值为q的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可 知，此时板上电量为(Q-q),
分配到球上与板上的．
q 球与板这一系统中的总电量是按比例 Qq
当多次操作直至最终板上电量又一次为Q但不能 向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电 量达到最大: q q
kq x2 y2 knq d x y2
2
x, y
-q O
nq
dx
d nd 2 x 2 y 2 n 1 n 1
球心坐标
d , 0 2 n 1
2
2
球半径 r n2 1
nd
半径分别为R1和R2的两个同心半球相对放臵，如 图所示，两个半球面均匀带电，电荷密度分别为σ1和σ2，试求大的半 球面所对应底面圆直径AOB上电势的分布 ． 2 A 大半球面上电荷量为 1 2 R1 大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大球 面上电荷引起电势的一半,即 2
max
Q

Qq
qmax
qQ Qq
如图所示，半径相同的两个金属球A、B相距很远，原来不带电， 返回 C球先与远处电池正极接触，（负极接地），接着与球A接触，再与B球接触；然 后又与电池正极接触，重复上述过程，反复不已．已知C球第一次与电池接触后的 带电量为q，第一次与A球接触后A球的带电量为Q1，求⑴A球与B球最后的带电量 Q1 9 Q与Q′；⑵设 A、B，至少经过几次与C球接触后，A球的带电量可达最后带电量 ⑴设 球半径为R,C球半径为r,C球与A球第1次接触后有 q 10 的一半？ q Q1 Q1 ① A B r R q Q C 电荷不再从C球移向A球，故
n次C、A接触后有
9 q 10 10 4.5q 1 10

时
n 7次
cos k q F1 2 cos r1 2 r2 k q cos k q F2 2 cos r2
k
2 r1
q
S1
r1
1

r2
2
S2
m q r O
R = Q1 q Q q q Q1 r q Q Q Q1 q C球与B球接触最终亦有 q Q1 r 1 r R ⑵由①式及题给条件 R 9 2 r R
9 2 若第２次C与A接触后A又获电量Q2， q Q2 Q1 Qq 則 Q2 n 9 10 R r 1
O1
正点电荷Ｑ1和正点电荷Ｑ2分别放臵在A、B两点， 两点间相距L．现以L为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最 3 小的位臵P，设PA与AB的夹角为α，则α＝ ．（用三角函数 Q2 tan1 表示） Q1
切向场强为0位置为 电势最小的位置！



L cos
kQ1
2
sin
L sin
e d E 2S 2 0
R
O
0
R r 由高斯定理有
E
e
E
4 R
2

Q 4 R 0
2

kQ R
2
R 0 r
由高斯定理有

E
S
两面积S、间距d平行板电容器当 带电荷量Q时，板间电场由电场 叠加原理可得为
S e 0 e E 2S 2 0
4 kQ E2 2 0 0 S
由高斯定理有


EP
如图，有“无限长”均匀带电圆柱面，半径为R，电荷面密 度为σ，试求其场强，并作E（r）图 ．
r<R
e E 0 S
rR
e l e 0 e e R 1 E S 2 r l 0 r
0
k 2 R1 1 U1 2k R1 1 R1 2 小半球面上电荷量为 2 2 R2
小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球 面上电荷引起电势的一半,即 k 2 R 2
2k R2 2 R2 2 k 2 R2 2 小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为 U 2 整个小球面上电荷引起电势的一半,即 r2 r R2 根据电场叠加原 U 2k R1 1 R2 2 2 理,直径AB上电 R2 2 R1 r R2 U 2k R1 1 r 荷分布为: U2
O点O1点电势均由环上电荷及 球上感应电荷共同引起！ 环上电荷在O点的总电势为U0
O a
kqi U0 a i 环上电荷在O1点的总电势为 U aU 0 O1 kqi 2 2 UO1 a b 2 2 a b i 球上感应电荷在O1点引起的电势Ub abU 0 aU0 kQi Q Ub UO1 2 2 b k a 2 b2 a b i
E
r
0
R
如图，在一厚度为d的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷， 其密度为ρ，求在平板层内及平板层外的电场强度E，并作E（r）图 ．
e E r 2 S 0
d r 时 2
d r < 时 S 2 r e 2 0

d S
S d e 0
d 2 0
e
q
S
4 0 r 2
0
根据电场线的性质——在电场中 没有电荷处电场线是连续的、不 相交的，可以肯定包围点电荷q的 任意封闭曲面S′上的电通量也是
e
q
0
入 出 e 0 q e
返回
S
q0
q
0
根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷 系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和 为 q ,
在球面上取一面元 2
2
E
R sin
2
R

T
面元受力如示
E Q 8 0 R
2
Fe
Q 8 0 R 2

Q Q sin sin 2 4 2 2 32 0 R
2 2
2
T 2 R sin 2 sin 2 面元处于平衡,则 2 Q2 2 R sin sin sin 2 2 2 2 32 0 R Q2
面元周边所受张力合力大小为

64 2 0 R3
电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有 e 条电场线垂直穿过，则 E e 点电荷电场
S
球面上各处场强大小均为
E
kq r
2

q 4 0 r
2
S
1 从该球面穿出的电通量12 C2 /N m2 0 8.85 10 4 ES q 4 r 2 q k
E大与E小垂直，如图所示:
Ｏ
E
2
E小 E0 sin

2
E0
有两个异种点电荷，其电量之比为n，相互间距离 为d．试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势 面的半径及其中心与电量较小电荷的距离r ．
以小电量电荷所在位臵为坐 y 标原点，建立直角坐标 -q与nq在坐标为（x、y） 的点电势迭加为零，即有
带电球壳内场强为零!
4 3 k r 3 r E 2 3 0 r
Q M
把两个相同的电量为q的点电荷固定在相距l的地方，在二者 中间放上第三个质量为m的电量亦为q的点电荷，现沿电荷连线方向给第三个点电 荷一小扰动，证明随之发生的小幅振动为简谐运动并求其周期T．
专题17-例2
质点在平衡位置O时：
F=
规 律
规律
♠
等效处理方法
在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的 电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的 ε0分之一，这就是真空中静电场的高斯定理．
示例
示例
等效对称替代法 等效电像变换法
e
qi
i
应用
0
一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷， 板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为Q．如果球在第一 次与板接触后带电量为q，求球可获得的最大电量.
Q Q
点电荷q，试求板上电通量．
专题17-例5 半径为r的圆板，在与其中心O距离为d处臵一
球冠面上的电通量与圆板的电通量相同！ 距q为R处电场强度大小为
E
kq R
2

kq r d
2 2
q
R r
d
球冠面积为
q d kq 1 e 2 2 R R d 2 2 2 0 d r R
2
T
l
2q
l
ml 2k
均匀带电球壳半径为R，带正电，电量为Q，若在 球面上划出很小一块，它所带电量为q．试求球壳的其余部分对它的 作用力．
专题17-例3
点电荷q在两侧场强等值反向! 整个带电球内部场强为0;
Eq A Eq q
kQ 外表面场强大小为 R2 设球壳除A外其余部分在A处的场强为EA
A 质点在距平衡位置x的某位置时：
kq 2 FA FB 2 l
kq
2 2
qA
l
O x FB
2
l FA
2
qB
B
2
4kq 2 x kq 4kq 2 x FA 2 1 FB 2 1 2 2 l l l l l l x x 2 2 2 4kq 2 x x kq F 2 1 4 1 4 l l 32 3 x l
S 2 R R d

在相距d的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度 专题17-例6
为＋及－λ ．求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点P的电场强度 ．