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第9章 正弦稳态电路的分析典型例题例9-1 有一电感线圈，已测得其电阻为Ω16，如果在其两端施加Hz 50，V 110的电压，并测得线圈中的电流为A 5。
试计算线圈的电感。
解 实际电感线圈的电路模型可看作是电阻与电感的串联。
由已知得其等效阻抗为Ω===22A5V 110I U Z 则 Ω=-=-= 1516222222R Z X L 于是，电感线圈的电感为mH 48H 048.0502152==⨯===f X X L L L同理，对于n 个导纳并联而成的电路，其等效导纳为n eq Y Y Y Y +++= 21当电路中的电压、电流均采用关联参考方向时，各个导纳的电流分配为∙∙⋅=I Y Y I eqK K (n ,3,2,1K =)式中∙I 为并联电路的端口总电流，K ∙I 为第K 个导纳K Y 上的分流。
例9-2 电路如例9-2题图所示，已知：Ω+= 916.61j Z ，Ω-= 45.22j Z ，端口电压为 V 30 220∠=∙U ，试求各电磁系仪表的读数，并作出相量图。
解 串联电路的等效阻抗为=-++=+=.8)45.2()916.6(21j j Z Z Z eq根据欧姆定律有A 0 22 3010V 30220∠=Ω∠∠==∙∙eq Z U I 各元件的端电压为V55.68.239022)916.6(11 ∠=∠⨯+==∙∙j I Z U V 586.1030 22)45.2(22 -∠=∠⨯-==∙∙j I Z U 由于电磁系仪表所测的是各电压、电流的有效值，所以各表读数分别为：A 22=AV 8.2391=V ，V 6.1032=V 。
例9-2题的相量图u∙Iuu例9-2题图选∙I 作为参考相量， 电压、电流相量图如图所示。
例9-3 电路如例9-3题图 所示，已知V 040∠=∙S U ，s rad 3000=ω。
试求电流i ，C i ，L i ，并作出相量图。
解 已知V 040∠=∙S U （且设为参考相量），各支路电流如图所示。
第九章 正弦稳态电路的分析本章用相量法分析线性电路的正弦稳态响应。
主要内容有：阻抗和导纳、电路的相量图、电路方程的相量形式、线性电路定理的相量描述和应用、瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率、复功率、最大功率传输、谐振以及电路的频率响应。
§9-1 阻抗和导纳教学目的：掌握复阻抗和复导纳的概念，阻抗和导纳的串并联电路。
教学重点：理解和掌握阻抗和导纳的概念。
教学难点：RLC 电路的阻抗及导纳形式。
教学方法：课堂讲授。
教学内容：一、一端口阻抗和导纳的定义 1．定义：（1）一端口阻抗Z ：端口的电压相量.U 与电流相量.I 之比。
（2）一端口导纳Y ：端口的电流.I 与电压相量.U 之比。
2．阻抗、导纳的代数形式Z=R+jx R 为电阻 X 为电抗（虚部） Y=G+JB G 为电导 B 为电纳（虚部） 3．单个元件R 、L 、C 的阻抗及导纳 （1）Z R =RZ L =jwl 其电抗X L =wl （感性）;Z C = -j wc 1其电抗X C =-wc 1（容抗）（2）Y R =G=R 1Y L =jwl 1=-j wl 1其电纳B L =-wl 1（感纳）； Y C =jwc 其电纳B C =wc （容纳） 4．RLC 电路的阻抗及导纳形式 （1）RLC 串联电路：Z=...I U=R+jwl+jwc 1=R+j(wl-wc 1)=R+jx=Z Zψ∠虚部x 即电抗为：X= X L +X C =wl-wc 1①X>0即 wl>wc 1称Z 呈感性②X<0即 wl<wc 1称Z 呈容性Z =22XR+ 2ψ=arctan(R X)(2) RLC 并联电路:Y=..U I=R 1+jwl 1+jwc=R 1+j(wc-wl 1)=G+Jb=Y Y ψ∠ 虚部B 即电纳为：B=B L +B c =wc-wc 1①B>0即wc>wl 1称Y 呈容性②B<0即wc<wl 1称Y 呈容性Y=22B G + Y ψ=arctan(G B) 二、阻抗、导纳的串联和并联1．n 个阻抗串联：Z eq =Z 1+Z 2+……+Z n图9-1 阻抗串联分压公式：.k U =eq kZZ .U k=1,2,……n2．n 个导纳并联：Y eq =Y 1+Y 2+……+Y n图9-2 导纳并联分流公式：.kI =eqkY Y .I k=1,2,……n§9-2 无源一端口网络的等效电路教学目的：学习和掌握等效电路的形式。
第九章正弦稳态电路的分析重点：1．阻抗与导纳的概念及意义2．正弦交流电路的相量分析方法3．正弦交流电路的功率分析4. 串联谐振及并联谐振的特点及分析9.1 阻抗与导纳9.1.1 阻抗及导纳一、阻抗1．相量形式的欧姆定律2．阻抗的定义不含独立源的一端口（二端）网络，如果端口的电压相量为，端口的电流相量为，则该电口的策动点（驱动点）阻抗定义为3．几个概念其中，称为电阻，称为电抗，而称为感抗，称为容抗二、导纳1．导纳的定义不含独立源的一端口（二端）网络，如果端口的电压相量为，端口的电流相量为，则该电口的策动点（驱动点）阻抗定义为2．几个概念其中，称为电导，称为电纳，而称为感纳，称为容纳9.1.2 阻抗的意义1．引入的意义使得正弦电路电路的分析计算可以仿照电阻电路的计算方法进行。
2．阻抗参数的意义1）其中表征端口电压与端口电流的幅值比，即表征了电路部分对正弦交流电流的阻碍作用。
越大，对交流电流的阻碍作用越大——比如电容元件通高频、阻低频的特性分析：，电感元件通低频、阻高频的特性分析：。
2）其中表征端口电压与端口电流的相位关系，即表征了电路端口电压超前端口电流的角度。
3．阻抗三角形与串联电路中的电压三角形有如下所示的RLC串联电路首先可以根据时域电路绘制出相应的电路相量模型：根据KVL：则：其中：4．感性电路与容性电路一个不含独立源的电路部分（二端口网络）的策动点阻抗为当，即（）时，网络端口电压超前网络端口电流，网络呈现感性，称该网络为感性负载；当，即（）时，网络端口电压滞后网络端口电流，网络呈现容性，称该网络为容性负载；9.1.3 入端阻抗的求取应用“等效”的概念，可以得出阻抗串并联的等效阻抗，其计算方法与相应的电阻电路的计算方法相同。
1．串联2．并联3．混联直接根据阻抗的串并联关系求取。
4．其他无法使用阻抗的串并联直接求解的混连情况，以及含有受控源的情况，均可根据入端阻抗的定义求取。
（加源法，开路短路法）9.2 正弦交流电路的计算9.2.1 步骤1．计算出相应的LC对应的感抗与容抗2．绘制原电路对应的相量模型3．按照KCL、KVL及元件的VCR计算待求量对应的相量4．得出待求量对应的时域量4-2．已知：以下电路为一个移相电路，常常用于可控硅触发电路中。
证明：（1）如果，则，且超前90o。
（2）改变电阻R的值，可以在不改变的同时，改变对的相位差证明：画出相量图a. 将输入电压作为参考相量；b. 为容性负载，超前一定的角度；c. 为阻性负载，与同相d. ，e. 画出：f. 画出：从该相量图中可以看出，由于支路2中的两个电阻相等，因此相量正好是从相量的中点出发的，且相量与相量始终互相垂直，这样相量就一定位于以相量的中点为圆心，长为半径的位置上。
证明（2）中的内容得证。
图中：从几何上分析，要相量超前相量90度，只需既可，所以即为满足（1）中要求的条件。
证明（1）中的内容得证。
9.2.6 例题5——节点电压法5-1．已知：电路如图所示，，，，，。
求：节点电压解：1）绘制原电路的相量模型其中由此可以绘出电路的相量模型如图（b）2）列写节点电压方程该电路仅有一个独立节点，依照节点电压法可得出方程如下：----------------------------------------（1）补充受控源支路的方程：-------------------------------------------------------（2）联立方程（1）和（2），可以解得：所以待求量为：5-2．已知：电路如图所示，，，，，，。
求：i1(t)、i2(t) 、iC1(t)、iC2(t)、iL(t)解：1）绘制原电路的相量模型其中，而，所以由此可以绘出电路的相量模型如图（b）2）列写节点电压方程该电路有两个独立节点，依照节点电压法可得出方程如下：9.2.7 例题6——回路法求：各个支路电流解：1）绘制电路的相量模型由此可以绘出电路的相量模型如图（b）2）使用网孔法，则网孔电流分别为、、则可根据KCL求得：所以待求量为：9.2.8 例题7——戴维南定理7．已知：电路如图所示求：解：1）将所求支路从原电路中划出4）戴维南等效相量模型为所以：9.3 正弦交流电路的功率分析9.3.1基本概念在本节中我们研究如下所示的单口网络，其中单口网络的输入阻抗为，阻抗角为，可设瞬时功率的定义其意义为时间间隔到之间，给予单口网络的能量：因此，瞬时功率的意义在于：如果、参考方向一致，则表征流入该单口网络的能量的变化率。
此时若，表明能量的确流入该单口网络；若，表明能量流出该单口网络；其中从到时间时给予单口网络的能量为如果单口网络中仅为电阻元件，则流入的能量将转换成其他形式的能量（热能、光能等）被消耗掉，因此不再可能流出端口，这样不可能为负数。
如果单口网络中为动态元件，则流入的能量将转换为其他形式的能量（如电磁能、电场能等）被存储起来（、），因此可能再次流出端口，这样可能为正，也可能为负，而动态元件的储能可以增加或减少，但是只可能为正值。
9.3.2平均功率、视在功率与功率因数一、平均功率1．定义瞬时功率在一个周期内的平均值，其数学表达式为2．单位瓦特或千瓦，W或kW3．平均功率的计算根据平均功率的定义：我们计算上一节谈到的单口网络的平均功率，从而分析仅含电阻、电感和电容元件及一个一般性的单口网络的平均功率。
可以注意到，该积分式中的第一项由于频率为2，因此在0~内积分结果为零；因此：1）当单口网络呈阻性（仅含一个电阻的等效模型）时，2）当单口网络呈纯电感性（仅含一个电感的等效模型）时，3）当单口网络呈纯电容性（仅含一个电容的等效模型）时，4．平均功率的意义“平均功率”又称“有功功率”，表征单口网络消耗掉的电能，网络中的电能转化为其他形式的并且消耗掉的能量。
二、视在功率41．视在功率1）定义单口网络的端口电压与端口电流的有效值的乘积2）单位伏安或千伏安，V A或kV A3）意义一般用来表征变压器或电源设备能为负载提供的最大有功功率，也就是变压器或电源设备的容量。
电机与变压器的容量可以根据其额定电压与额定电流来计算：。
二、功率因数1．定义定义单口网络的功率因数注意：其中的角度为单口网络的阻抗角，即单口网络的端口电压超前端口电流的相角大小。
2．意义提高感性负载的功率因数。
（为什么？请同学查阅资料进行分析）1）提高功率因数的意义u 充分利用能源——，其中S为发电设备可以提供的最大有功功率，但是供电系统中的感性负载（发电机、变压器、镇流器、电动机等）常常会使得减小，从而造成P下降，能量不能充分利用。
u 增加线路与发电机绕组的功率损耗由于，所以，即在输电功率与输电电压一定的情况下，越小，输电电流越大。
而当输电线路电阻为r时，输电损耗，因此提高，可以成平方倍地降低输电损耗。
这对于节能及保护用电设备有重大的意义。
2）提高功率因数的条件在不改变感性负载的平均功率及工作状态的前提下，提高负载的功率因数。
3）方法在感性负载两端并联一定大小的电容。
4）实质减少电源供给感性负载用于能量互换的部分，使得更多的电源能量消耗在负载上，转化为其他形式的能量（机械能、光能、热能等）5）相量分析图由相量图可以看到，感性负载的电压、电流、有功功率均未变化。
但是线路电流有变。
而：所以：9.3.3无功功率一、无功功率的定义我们在看一看瞬时功率的表达式：前面我们分析了该式中的第一项，它总是大于零的，从而推出了有关有功功率的概念及计算。
现在我们来看第二项。
该分量以角频率在横轴上下波动，其平均值为零，振幅为。
这样我们定义电路部分的无功功率Q：二、单位乏或千乏，var或kvar三、意义由于在电路中，电源的能量一部分用来消耗在电阻元件上，转化为其他形式的能量；另外还有一部分用来与阻抗中的电抗分量进行能量交换。
无功功率正是用来表征电源与阻抗中的电抗分量进行能量交换的规模大小的物理量。
当时，表示电抗从电源吸收能量，并转化为电场能或电磁能存储起来；当时，表示电抗向电源发出能量，将存储的电场能或电磁能释放出来。
关于无功功率的理解：可以用运输过程中的有用功与无用功来类比。
四、计算电容：电感：五、功率三角形与P、Q的关系：对于RLC串联的电路，可以用以下三个“三角形”来表明其阻抗、电压相量及功率的大小及相位关系。
9.3.4复功率一、复功率的定义设，，而相量的共轭复数因为：我们定义复功率：二、计算电阻：电容：电感：三、意义复功率的引入，可以简化几种功率的计算。
即可以通过复功率的计算直接得出有功功率、无功功率及视在功率的结果。
复功率的守恒——如果电路各个部分的复功率为，则电路总的复功率为为复功率的守恒意味着有功功率与无功功率分别守恒：，即：及。
9.3.5正弦电流电路的最大功率传递一、复习——直流电路的最大功率传递在第四章中我们讨论过电阻负载从具有内阻的直流电源获得最大功率的问题：当时，负载从电源获得最大的功率。
说明：1．该定理应用于电源（或信号）的内阻一定，而负载变化的情况。
如果负载电阻一定，而内阻可变的话，应该是内阻越小，负载获得的功率越大，当内阻为零时，负载获得的功率最大。
2．线性一端口网络获得最大功率时，功率的传递效率未必为50%。
也就是说，由等效电阻算得的功率并不等于网络内部消耗的功率。
关于该命题的理解可以用以下一个简单的电路来看(a) (b)图(a)中，，，，因此，电源发出的功率，而负载上获得的功率，功率传递的效率为33%；图(b)中，，，因此：电源发出的功率：，而负载上获得的功率：，功率传递的效率为50%；负载可变获得最大传输功率的效率较低，因此，实际中仅在传输功率较小的情况下（某些通讯系统及电子线路）中用到该定理。
二、正弦稳态电路的最大功率传递定理分析方法与前面的相同。
设对于负载阻抗而言，含源二端网络可以进行戴维南等效，其中等效的交流电源为，电源内阻抗为。
下面我们给定电源及其内阻抗的条件下，分别讨论负载的电阻即电抗均可独立变化以及负载阻抗角固定只是模可变的两种情况下，获得最大功率传递的公式。
1．负载的电阻及电抗均可独立变化——共轭匹配电路电流：电量的有效值：因此负载电阻的功率：下面我们就要求出及在什么情况下，PL最大？由于在功率表达式中，只出现在分母中，且以的平方项出现，因此当时，最小为零，此时PL才能最大为；接下来我们来看式子在取何值时最大。
由此可得：因此，当负载电阻及电抗均可独立变化时，负载获得最大功率的条件是：，，即：，也就是说，在这种情况下，负载阻抗与电源内阻抗互为共轭复数时，负载获得最大功率：2．负载的阻抗角固定而负载的模可变——负载与内阻抗匹配设负载阻抗为：电路电流：电量的有效值：因此负载电阻的功率：下面我们就要求出在什么情况下，PL最大？由此可得：因此，当负载仅改变模，而不改变阻抗角时，负载获得最大功率的条件是负载阻抗的模等于电源内阻抗的模。
