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任意角的三角函数模块一、角的概念及其推广要点一、角的相关概念 （1）角的概念角可以看成是由平面内一条射线（起始边）绕着端点旋转到一个新的位置（终边）所形成的图形。
（2）角的分类⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角要点二、终边相同角 （1）终边相同角的定义设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{},360|Z k k S ∈︒⋅+==αββ。
集合S 的每一个元素都与α的终边相等，当0=k 时，对应元素为α。
（2）注意①相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差︒360的整数倍。
②角的集合表示形式是不唯一的。
要点三、象限角与轴线角（1）象限角定义：角α顶点与原点重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为： 第二象限角的集合为：第四象限角的集合为：终边落在x 轴正半轴上角的集合： 终边落在x 轴负半轴上角的集合： 终边在x 轴上的角的集合为： 终边落在y 轴正半轴上角的集合： 终边落在y 轴负半轴上角的集合： 终边在y 轴上的角的集合为： 终边落在坐标轴上角的集合：（2）注意：终边落在同一条直线上的角相差︒180的整数倍，终边落在同一条射线上的角相差︒360的整数倍。
要点四、区间角、区域角区间角是介于两个角之间的角的集合，区域角是介于某两角终边之间的角的集合。
区域角是无数个区间角的集合。
注意：锐角都是第一象限角，但第一象限角不都是锐角；小于90°的角不都是锐角，它还包括零角和负角，只有小于90°的正角才是锐角。
考点一、求终边相同的角的集合例1.（1）写出所有与︒-650终边相同的角的集合，并在︒︒360~0范围内，找出与︒-650角终边相同的角。
（2）把︒-2011写成)3600(360︒≤≤︒+⋅ααk 的形式。
专题八 任意角的三角函数及诱导公式
一、任意角的三角函数
在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆。
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么： （1） y 叫做α的正弦(sine)，记做sin α； （2） x 叫做α的余弦(cossine)，记做cos α；
（3）y
x
叫做α的正切(tangent)，记做tan α.
即：sin y α=，cos x α=，tan (0)y
x x
α=≠.
[定义拓展]
设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点）
，它与原点的距离是
0r =>，那么s i n
,c o s y
x r
r αα==，()tan ,0y x x
α=≠，
cot x y
α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠，()csc 0r
y y α=≠。
三角函数值只与角的大
小有关，而与终边上点P 的位置无关。
二、三角函数值的符号
各象限的三角函数值的符号如下图所示，三角函数正值歌：一_____，二______，三_______，四______．
三、三角函数线
角α终边与单位圆有交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向；其中x 为P 点的横坐标. cos OM x α==
同理,当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向；其中y 为P 点的横坐标。
sin MP y α==。
像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段。
过点(1,0)A 作单位圆的切线,设它与α的终边或反向延长线交于点T , tan y
AT x
α==
四、特殊角的三角函数值
五、同角三角函数的基本关系式
公式: 1cos sin 22=+αα
αα
α
t a n c o s s i n = 1c o t t a n
=⋅αα 六、三角函数的诱导公式
公式一（其中Z ∈k ）：终边相同的角的同一三角函数值相等 角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：
ααsin )360sin(=︒⋅+k ⇔ απαs i n )2s i n (=+k
ααcos )360cos(=︒⋅+k ⇔ απαc o s )2c o s (=+k
ααtan )360tan(=︒⋅+k ⇔ απαt a n )2t a n (=+k
公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：
αα-sin 180sin(=+︒） ⇔ ααπ-s i n s i n (=+） αα-cos 180cos(=+︒） ⇔ ααπ-c o s c o s (=+） ααtan 180tan(=+︒） ⇔ ααπt a n t a n (=+）
公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
αα-sin sin(=-） ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-） 公式四：π-α与α的三角函数值之间的关系：
角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：
ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-） αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-c o s c o s (=-）
ααtan 180tan(-=-︒） ααπt a n t a n (-=-）
公式五：2π-α与α的三角函数值之间的关系：
角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：
sin(90︒ -α) = cos α, sin(
2π
-α) = cos α, cos(90︒ -α) = sin α. cos(2
π
-α) = sin α.
公式六：2
π±α及23π
±α与α的三角函数值之间的关系：
角度制表示如下： 用弧度制可表示如下：
sin(90︒ +α) = cos α, sin(
2π
+α) = cos α, cos(90︒+α) = -sin α. cos(2
π
+α) = - sin α.
sin （
23π+α）= -cos α cos （23π+α）= sin α tan （23π+α）= -cot α sin （23π-α）= -cos α cos （23π-α）= -sin α tan （2
3π-α）= cot α
对于π/2*k ±α（k ∈Z ）的三角函数值，
①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos ；cos→sin ；tan→cot ，cot→→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限） 例如： sin （2π－α）＝sin （4·π/2－α），k ＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈（270°，360°），sin （2π－α）＜0，符号为“－”。
所以sin （2π－α）＝－sinα
上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。
三角恒等变换公式
两角和与差的三角函数：
cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin sin()sin cos cos sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()1tan tan αβαβαβαβαβαβ
αβαβαβαβαβαβαβ
αβαβαβ
αβαβ-=++=--=-+=+--=
+++=
-
二倍角公式
22222sin 22sin cos cos 2cos sin 2cos 112sin 2tan tan 21tan ααα
αααααααα
==-=-=-=
-
半角公式
2221cos sin
221cos cos 221cos tan 21cos sin 1cos tan 21cos sin α
ααααααααααα
-=
+=-=
+-==
+
万能公式：
22
22
2tan
2
sin 1tan 2
1tan 2cos 1tan 2
2tan
2
tan 1tan 2
α
αα
ααα
α
αα
=
+-=
+=
-。
