高考数学复习点拨：平面向量与解析向何综合应用

第五章平面向量、复数考试内容等级要求平面向量的概念 B平面向量的加法、减法及数乘运算 B平面向量的坐标表示 B平面向量的数量积 C平面向量的平行与垂直 B平面向量的应用 A复数的概念 B复数的四则运算 B复数的几何意义 A§5.1平面向量的概念及线性运算考情考向分析主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理，常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有新定义问题；题型以填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行或共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾；(加法平行四边形)起点相同连对角；(减法三角形)共起点，连终点，指向被减．3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a＝λb.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．[P72T8]已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．[P73T13]在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →， AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，平行四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充分不必要解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案 12解析 ∵DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 2．给出下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确命题的个数是________． 答案 1解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量的线性运算例1(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 －13a ＋23b解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b . (2)(2018·全国Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则用向量AB →，AC →表示EB →为________． 答案 EB →＝34AB →－14AC →解析 作出示意图如图所示． EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →. 命题点2 根据向量线性运算求参数例2(1)如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →＝λBA→＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________. 答案 34解析 ∵E 为线段AO 的中点， ∴BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12BD →＝12BA →＋14BD →＝λBA →＋μBD →， ∴λ＋μ＝12＋14＝34.(2)在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 解析 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3， ∴AB →＝2DC →.∵点E 在线段CD 上，∴DE →＝λDC →(0≤λ≤1)． ∵AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋λDC →， 又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →， ∴2μ＝λ，即μ＝λ2.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤12.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法和减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →＝________.(用向量a ，b 表示)答案 －13a －512b解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA → ＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b .(2)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例3(1)已知D 为△ABC 的边AB 的中点．点M 在DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为________． 答案 3∶5解析 由5AM →＝AB →＋3AC →， 得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →， 即2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5， 故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.(2)(2018·盐城模拟)如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．答案 3解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b .由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3.思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →， ∴λ＝12.1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，真命题的个数是________． 答案 0解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．2．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 平行四边形解析 依题意知AC 是以AB ，AD 为相邻两边的平行四边形的对角线，所以四边形ABCD 是平行四边形．3．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝________. 答案 23b ＋13c解析 如图，因为在△ABC 中， AB →＝c ，AC →＝b ，且点D 满足BD →＝2DC →， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 4．(2018·江苏省镇江一中月考)已知e 1，e 2是一对不共线的非零向量，若a ＝e 1＋λe 2，b ＝－2λe 1－e 2，且a ，b 共线，则λ＝________. 答案 ±22解析 ∵a ，b 共线，∴b ＝γa ＝γe 1＋γλe 2＝－2λe 1－e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧γ＝－2λ，γλ＝－1，解得λ＝±22. 5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝________.(用向量a ，b 表示) 答案 12a ＋b解析 连结OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n ＝________.答案 －1解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1.7.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．答案511解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.8．已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝kλ，－3＝6k ，解得λ＝－4.9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ， 则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14， 从而AN AB ＝34， 又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →， 所以λ＝34. 10．已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为________．答案 {－1}解析 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →，∵A ，B ，C 三点共线，∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去，故x ＝－1.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连结OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 的面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)， 同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，② 所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ， 即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0. 又a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b . 所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )． 方法二 延长AO 交BC 于点E (O 为△ABC 重心)，则E 为BC 中点，∴AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )． 13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝________.答案 58解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB → ＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58. 14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则△ABC 的面积和△PBC 的面积之比为________． 答案 3∶2解析 设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →， 即3OP →＝OM →＋2OA →，OP →－OM →＝2OA →－2OP →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点，∴S △ABC ∶S △PBC ＝3∶2.16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知：1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右．2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】1. 向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式.例1（北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=( ) （A ）BA BC 21+- （B ） 21--（C ） 21- （D ）21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：21+-=+=，故选A.例4． (重庆卷)与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 （C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 （D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-==- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时 故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选B. 例5．（天津卷）设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __． 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由 ()2311,1,2.231 2.x xb y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得 2cos ,33a b a b a b⋅===⋅+例6.（2006年湖北卷）已知向量()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1 命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y +=1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 故选B.例7.设平面向量1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（ ）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+= （C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴ 1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D). 点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大. 例8．（2007年陕西卷理17.）设函数f (x )=a-b ,其中向量a =(m,cos2x ),b =(1+sin2x ,1),x ∈R ,且函数y=f (x )的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4π，（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=+⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1，由πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ， 例2．（2007年陕西卷文17）设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）求实数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1例9．（湖北卷理16）已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ． （I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π的最大 解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=． 例10．（广东卷理）已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围； 解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>=sin ∠A ； （2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞例11．（山东卷文17）在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos CC C=∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±． tan 0C >，C ∴是锐角． 1cos 8C ∴=． （2）52CB CA =， 5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=． 又9a b += 22281a ab b ∴++=． 2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=．例12. （湖北卷）设函数()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈.（Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d . 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx －3cosx)＝sin 2x －2sinxcosx+3cos 2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例13．（2006年全国卷II ）已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值． 命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sin θ＋cos θ＝0，由此得 tan θ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)得｜a ＋b ｜＝(sin θ＋1)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(sin θ＋cos θ)＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b |取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b |最大值为2＋1．例14．（2006年陕西卷）如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --,,AD t AB BE tBC == ,[0,1].DM tDE t =∈（I ）求动直线DE 斜率的变化范围； （II ）求动点M 的轨迹方程。

平面向量及其应用单元复习一知识结构图二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．2. 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b ＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 3.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB →－OA →＝AB →.例题1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.【答案】DC →=k e 2.BC →=e 1＋(k －1)e 2. MN →=＝k ＋12e 2.【解析】∵AB →＝e 2，且DCAB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－D A →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.知识点二 平面向量数量积的运算2121cos ||||y y x x b a b a +==⋅θ例题2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ .【答案】32【解析】因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.知识点三 平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)；⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22；⑧若θ为a 与b 的夹角，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.例题3 .设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)．①若(λa －b )⊥b ，求λ的值；②若m ＝λa ＋μb ，且|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，求λ，μ的值．【答案】①λ＝2.②λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2.【解析】 ①因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，所以λa －b ＝(2λ，0)－(1，3)＝(2λ－1，－3)．又(λa －b )⊥b ，所以(λa －b )·b ＝0，即(2λ－1，－3)·(1，3)＝0， 所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2.②因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，m ＝λa ＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，3)＝(2λ＋μ，3μ)． 因为|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，所以⎩⎪⎨⎪⎧(2λ＋μ)2＋(3μ)2＝(23)2，cos π6＝(2λ＋μ，3μ)·(1，3)23×2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＋λμ＋μ2＝3，λ＋2μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2， 所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 知识点四 平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．例题4． (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． （1）【答案】B【解析】因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B 。

高考数学平面向量及其综合运用 人教版复习要点：Ⅰ、平面向量知识结构表Ⅱ、内容概述1、向量的概念向量有三种表示法：①有向线段，②a 或AB ，③坐标a ＝（x , y ）。

注意：共线向量与相等向量的联系与区别。

2、向量的运算加法、减法、数乘向量和向量的数量积。

如：11221212(,)(,)a b x y x y x x y y =⋅=+注意：几何运算与坐标运算 3、平面向量的定理及相关性质（1）两个非零向量平行的充要条件： a ∥b ⇔ a ＝λb (λ∈R)设a ＝(x1,y1),b ＝ (x2,y2) 则a ∥b ⇔ x1y2－x2y1＝0（2）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b ⇔ a·b ＝0 设a ＝(x1,y1),b ＝(x2,y2)则a ⊥b ⇔ x1·x2＋y1·y2＝0（3）平面向量基本定理：如果有e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使 a ＝λ1e1＋λ2e2.（4）三点共线定理：平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数α、β，使OC OB OA βα+=，其中α＋β＝1,O 为平面内的任一点。

4、 常用公式及结论a 、向量模的公式：设a ＝（x,y ）,则︱a ︱＝22y x +b 、两点间的距离公式：21P P ＝212212)()(y y x x -+- [P1(x1,y1),P2(x2,y2)]c 、线段的定比分点坐标公式：向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积 向量的数量积 两个向量平行的充要条件两个向量垂直的充要条件定比分点公式平移公式 在物理学中的应用 在几何中的应用d 、中点坐标公式： 或)(21OB OA OM +=其中M （x0 ,y0）是线段AB 中点。

e 、两向量的夹角公式：cos θ＝222221212121y x y x y y x x ba ba +⋅++=⋅⋅其中0°≤θ≤180°,a＝(x1,y1),b ＝(x2,y2)f 、图形平移公式：若点P(x,y)按向量a ＝(h,k)平移至P '(x ',y '), 则g 、有关向量模的常用结论： ① aa a ⋅=2② 22222bb a a )b a (b a +⋅±=±=± ③ba b a ≤⋅,a b a b a b-≤±≤+④222||||2||2||a b a b a b ++-=+ 范例及其点评（一）平面向量学科内综合运用深刻理解平面向量的相关概念与性质，熟练掌握向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。

2024全国高考真题数学汇编平面向量及其应用章节综合一、单选题1．（2024全国高考真题）已知向量,a b满足1,22a a b ，且2b a b ，则b （）A ．12B C ．2D ．12．（2024全国高考真题）已知向量(0,1),(2,)a b x ，若(4)b b a，则x （）A ．2B ．1C ．1D ．23．（2024全国高考真题）设向量 1,,,2a x x b x，则（）A ．“3x ”是“a b”的必要条件B ．“3x ”是“//a b”的必要条件C ．“0x ”是“a b”的充分条件D ．“1x ”是“//a b”的充分条件4．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B ，294b ac ，则sin sin A C （）A ．13B ．13C ．2D ．135．（2024北京高考真题）设a ，b 是向量，则“·0a b a b”是“a b 或a b ”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题6．（2024上海高考真题）已知 ,2,5,6,k a b k R ，且//a b ，则k 的值为．7．（2024天津高考真题）在边长为1的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 的三等分点，1,2CE DE BE BA BC u u r u u r u u u r ，则；F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则AF DG的最小值为．三、解答题8．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求 cos 2B A 的值．9．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A ．(1)求A ．(2)若2asin sin 2C c B ，求ABC 的周长．10．（2024北京高考真题）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为钝角，7a ，sin 2cos B B ．(1)求A ；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b ；条件②：13cos 14B；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B ，222a b c (1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．参考答案1．B【分析】由2b a b 得22b a b，结合1,22a a b ，得22144164a b b b ，由此即可得解.【详解】因为 2b a b ，所以20b a b ，即22b a b，又因为1,22a a b ，所以22144164a b b b ，从而2b .故选：B.2．D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值.【详解】因为 4b b a ，所以40b b a，所以240b a b即2440x x ，故2x ，故选：D.3．C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b 时，则0a b，所以(1)20x x x ，解得0x 或3，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x 时， 1,0,0,2a b ，故0a b，所以a b，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x ，解得1x ，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x 时，不满足22(1)x x ，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.4．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C ，再利用余弦定理有22134a c ac ，由正弦定理得到22sin sin A C 的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac，则由正弦定理得241sin sin sin 93A C B .由余弦定理可得:22294b ac ac ac ，即:22134a c ac，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C ，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C ，则sin sin A C .故选：C.5．B【分析】根据向量数量积分析可知0a b a b 等价于a b，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为220a b a b a b ，可得22a b ，即a b ，可知0a b a b 等价于a b ，若a b 或a b ，可得a b ，即0a b a b，可知必要性成立；若0a b a b ，即a b，无法得出a b 或a b ，例如 1,0,0,1a b，满足a b ，但a b 且a b ，可知充分性不成立；综上所述，“0a b a b”是“a b 且a b ”的必要不充分条件.故选：B.6．15【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】//a b ，256k ，解得15k ．故答案为：15．7．43518【分析】解法一：以,BA BC 为基底向量，根据向量的线性运算求BE，即可得 ，设BF BE k u u u r u u r ，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的运算律求AF DG 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求BE，即可得 ，设 1,3,,03F a a a，求,AF DG u u u r u u u r ，结合数量积的坐标运算求AF DG 的最小值.【详解】解法一：因为12CE DE ，即13CE BA ，则13BE BC CE BA BC u u u r u u r u u u u r r u u u r ，可得1,13，所以43；由题意可知：1,0BC BA BA BC，因为F 为线段BE 上的动点，设 1,0,13BF k BE k BA k BC k，则113AF AB BF AB k BE k BA k BC，又因为G 为AF 中点，则1111112232DG DA AG BC AF k BA k BC，可得11111113232AF DG k BA k BC k BA k BC22111563112329510k k k k，又因为 0,1k ，可知：当1k 时，AF DG 取到最小值518；解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则 11,0,0,0,0,1,1,1,,13A B C D E，可得 11,0,0,1,,13BA BC BE，因为 ,BE BA BC 131，所以43 ；因为点F 在线段1:3,,03BE y x x 上，设 1,3,,03F a a a，且G 为AF 中点，则13,22a G a ，可得 131,3,,122a AF a a DG a，则 22132331522510a AF DG a a a，且1,03a，所以当13a 时，AF DG 取到最小值为518 ；故答案为：43；518 .8．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ，0t ，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B ，即229254922316t t t t ，解得2t （负舍）；则4,6a c .（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B ，再根据正弦定理得sin sin a b A B ，即4sin A sin 4A ，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc ，因为 0,πA ，则sin 4A（3）法一：因为9cos 016B ，且 0,πB ，所以π0,2B，由（2）法一知sin 16B，因为a b ，则A B ，所以3cos 4A ，则3sin 22sin cos 24A A A2231cos 22cos 12148A A9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A.法二：3sin 22sin cos 24A A A，则2231cos 22cos 12148A A，因为B 为三角形内角，所以sin 16B，所以 9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A9．(1)π6A(2)2【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A 可得1sin 122A A ，即sin()1π3A ，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ，故ππ32A ，解得π6A方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A ，又22sin cos 1A A ，消去sin A 得到：224cos 30(2cos 0A A A ，解得cos 2A，又(0,π)A ，故π6A方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x ，则π()2sin (0π)3f x x x，显然π6x时，max ()2f x ，注意到π()sin 22sin(3f A A A A ，max ()()f x f A ，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A 必定是极值点，即()0cos sin f A A A ，即tan 3A ，又(0,π)A ，故π6A方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ，由题意，sin 2a b A A，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b，则2cos ,2cos ,1a b a b ，此时,0a b，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan A A A 又(0,π)A ，故π6A方法五：利用万能公式求解设tan 2A t，根据万能公式，22sin 21t A A t整理可得，2222(2(20((2t t t ，解得tan22A t 223tan 13t A t ，又(0,π)A ，故π6A（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B ，又,(0,π)B C ，则sin sin 0B C，进而cos 2B ，得到π4B ，于是7ππ12C A B，26sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C ，即2ππ7πsin sin sin6412bc，解得b c 故ABC的周长为2 10．(1)2π3A；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin B 式子得3b ，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c，再利用正弦定理得到sin Csin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B，因为A 为钝角，则cos 0B，则2sin B，则7sin sin sin b a BA A，解得sin A ，因为A 为钝角，则2π3A.（2）选择①7b ，则333sin 714142B，因为2π3A ，则B 为锐角，则3B ，此时πA B ，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B ，因为B 为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B得2147，解得3b ， 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B3131335321421414,则1153153sin 7322144ABC S ab C.选择③sin c Ac 5c ，则由正弦定理得sin sin a c A C 5sin C ，解得sin C ，因为C 为三角形内角，则11cos 14C ，则 2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C3111533321421414，则11sin 7522144ABC S ac B △11．(1)π3B (2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B 得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C ，对比已知222a b c ，可得222cos 222a b c C ab ab，因为 0,πC ，所以sin 0C ，从而sin2C ，又因为sin C B，即1cos2B ，注意到0,πB ，所以π3B .（2）由（1）可得π3B，cos2C ，0,πC ，从而π4C ，ππ5ππ3412A ，而5πππ1sin sin sin12462A，由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c，从而,a b，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c，由已知ABC的面积为323338c所以c。

平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。

专题6.2 平面向量的基本定理及坐标表示（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理、数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算的核心素养． 3．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （二）平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.（三）平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0，b ≠0，a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. （四）平面向量数量积的坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉． 结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21数量积 a ·b ＝|a ||b |cos θ a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2 夹角 cos θ＝a ·b|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22a ⊥ba ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0 |a ·b |与|a ||b |的关系|a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21·x 22＋y 22设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b ＝__x 1x 2＋y 1y 2__两个向量垂直a ⊥b ⇔__x 1x 2＋y 1y 2＝0__12211212（六）常用结论1．若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.3．已知△ABC 的重心为G ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则G ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33【常考题型剖析】题型一：平面向量基本定理的应用例1.（2015·四川·高考真题（理））设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3,2BM MC DN NC ==，则AM NM ⋅=（ ）A ．20B ．15C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据图形得出3344AM AB BC AB AD =+=+,2233AN AD DC AD AB =+=+,AM NM ⋅ 2()AM AM AN AM AM AN =⋅-=-⋅,结合向量的数量积求解即可.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形,点M 、N 满足3,2BM MC DN NC ==,∴根据图形可得:3344AM AB BC AB AD =+=+, 2233AN AD DC AD AB =+=+,NM AM AN ∴=-,2()AM NM AM AM AN AM AM AN ⋅=⋅-=-⋅,22239216AM AB AB AD AD =+⋅+, 22233342AM AN AB AD AD AB ⋅=++⋅, 6,4AB AD ==， 22131239316AM NM AB AD ∴⋅=-=-=， 故选C.例2．（2017·天津·高考真题（文））在ABC 中，60A ∠=︒，3AB =，2AC =. 若2BD DC =，()AE AC AB R λλ=-∈，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为______________.【答案】311【解析】 【详解】01232cos603,33AB AC AD AB AC ⋅=⨯⨯==+ ,则 122123()()3493433333311AD AE AB AC AC AB λλλλ⋅=+-=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=.【总结提升】平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二：平面向量的坐标运算例3.（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -，然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-，所以245-=+=a b .故选：D例4.（2022·全国·高考真题）已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则t =（ ） A ．6- B ．5- C ．5 D ．6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解：()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选：C例5.（2018·全国·专题练习）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为（ ）A ．3B ．CD ．2【答案】A【解析】 【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径5r =C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+， 设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),Px y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.例6.（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】 【详解】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【总结提升】平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 题型三：平面向量共线的坐标表示例7.（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________．【答案】85【解析】 【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值. 【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2450λ⨯-⨯=， 解方程可得：85λ=.故答案为：85.例8．（2021·江苏·沛县教师发展中心高三阶段练习）已知()1,3A ，()2,2B -，()4,1C . (1)若AB CD =，求D 点的坐标；(2)设向量a AB =，b BC =，若ka b -与3a b +平行，求实数k 的值. 【答案】(1)4(5,)D - (2)13k =-【解析】 【分析】（1）根据题意设(,)D x y ，写出,C AB D 的坐标，根据向量相等的坐标关系求解；（2）直接根据向量共线的坐标公式求解即可. (1)设(,)D x y ，又因为()()()1,3,2,2,4,1A B C -， 所以=(1,5),(4,1)AB CD x y -=--， 因为=AB CD ，所以4115x y -=⎧⎨-=-⎩，得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -. (2)由题意得，(1,5)a =-，(2,3)b =， 所以=(2,53)ka b k k ----，3(7,4)a b +=， 因为ka b -与3a b +平行，所以4(2)7(53)0k k ----=，解得13k =-.所以实数k 的值为13-.【总结提升】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若1122()()a x y b x y ＝，，＝，，则//a b 的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便． 题型四：平面向量数量积的运算例9.【多选题】（2021·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】 【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP ，2AP 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误. 【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，所以1||cos 1OP ==，2||(cos 1OP==，故12||||OP OP =，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，所以1||(cos 2|sin|2AP α===，同理2||(cos 2|sin|2AP β=，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯=，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC例10.（2019·天津·高考真题（文）） 在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AEBE =，则BD AE ⋅=__________.【答案】1-. 【解析】 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则B ，5)2D ． 因为AD∥BC ，30BAD ∠=︒，所以150CBA ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ABE ∠=∠=︒，所以直线BEy x=-，直线AE的斜率为y =．由y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得x =1y =-， 所以1)E -． 所以35(,)(3,1)122BD AE =-=-．例11．（2020·北京·高考真题）已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．【答案】 1-【解析】 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值. 【详解】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()()()()1112,02,22,1222AP AB AC =+=+=， 则点()2,1P ，()2,1PD ∴=-，()0,1PB =-，因此，(PD =-()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.1-. 【总结提升】1.计算向量数量积的三种常用方法(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(θ是a 与b 的夹角)．(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解． 2.总结提升：公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >与a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b ＝|a||b|cos<a ，b >求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解． 题型五：平面向量的模、夹角例12．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（理））已知向量()1,2a =，5a b ⋅=，8a b +=，则b =（ ） A ．6 B ．5 C ．8 D ．7【答案】D 【解析】 【分析】先求出||a ，再将8a b +=两边平方，结合数量积的运算，即可求得答案. 【详解】由()1,2a =得：2||12a =+，由8a b +=得2222251064a b a a b b b +=+⋅+=++=， 即得249,||7b b ==，故选：D例13.（2018·浙江高考真题）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2−4e·b+3=0，则|a −b|的最小值是（ ） A ．√3−1 B ．√3+1 C ．2 D ．2−√3 【答案】A 【解析】设a =(x,y),e =(1,0),b =(m,n)，则由⟨a,e ⟩=π3得a ⋅e =|a|⋅|e|cos π3,x =12√x 2+y 2,∴y =±√3x ， 由b 2−4e ⋅b +3=0得m 2+n 2−4m +3=0,(m −2)2+n 2=1, 因此|a −b|的最小值为圆心(2,0)到直线y =±√3x 的距离2√32=√3减去半径1，为√3−1.选A.【思路点拨】先确定向量a,b 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.例14.（2021·湖南·高考真题）已知向量(1,2)a =-，(3,1)b =-，则|2|a b +=___________【分析】利用向量模的坐标表示，即可求解.【详解】()21,3a b +=，所以2213a b +=+=例15.（2019·全国·高考真题（文））已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b =___________.【答案】【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】22826cos ,102a ba b a b ⨯-+⨯<>===-+．例16.（2017·山东·高考真题（理））已知1e ，2e 是互相12e - 与1e +λ2e 的夹角为60°，则实数λ的值是_ _．【解析】【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设1e =（1，0），2e =（0，1），12e -=1）， 1e +λ2e =（1，λ）；又夹角为60°，12e -）•（1e +λ2e ）=λ＝2cos60°，λ=解得λ=【总结提升】 1.求向量夹角问题的方法(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角θ，需求出a ·b 及|a |，|b |或得出它们之间的关系；(2)若已知a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)，则cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 提醒：〈a ，b 〉∈[0，π]．2．平面向量模问题的类型及求解方法(1)求向量模的常用方法①若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2.②若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2＝a 2＝a ·a ，或|a ±b |2＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．(2)求向量模的最值(范围)的方法①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．题型六：两个向量垂直问题例17．（2016·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =（ ） A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-，又()a b b +⊥，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝8．故选D ．例18．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．【答案】34-##0.75- 【解析】【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知：3(1)0a b m m ⋅=++=，解得34m =-. 故答案为：34-. 例19．（2022·全国·高三专题练习）已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()20a c b c -⋅-=，则c 的最大值是_________．【解析】【分析】由题意可设,a b 的坐标，设(,)c x y =，利用()()20a c b c -⋅-=求得(,)c x y =的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，故不妨设(1,0),(0,1)a b ==，设(,)c x y =，由()()20a c b c -⋅-=得：(1,)(2,12)0x y x y --⋅--=，即2(1)(12)0x x y y ----=，即22115()()2416x y -+-=，则c 的终点在以11(,)24故c 的最大值为=例20．（2020·全国高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.【解析】 由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =.． 【规律方法】1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．3.已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 与a ⊥b 的坐标表示如下：a ∥b ⇔x 1y 2＝x 2y 1，即x 1y 2－x 2y 1＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＝－y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0．两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．。

第3讲 平面向量的数量积及应用举例【知识归纳】1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直 已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是 0°≤θ≤180°若θ＝0°，则a 与b同向；若θ＝180°，则a 与b 反向；若θ＝90°，则a 与b 垂直定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a||b |·cos__θ叫做a 与b 的数量积，记作a·b投影 |a |cos__θ叫做向量a 在b 方向上的投影， |b |cos__θ叫做向量b 在a 方向上的投影几何 意义数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论 几何表示 坐标表示模 |a |＝a·a |a|＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a·b|a||b|cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a·b ＝0x 1x 2＋y 1y 2＝0判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) [教材衍化]1．(必修4P108A 组T 6改编)已知a ·b ＝－122，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( )A ．12B ．6C ．33D ．32．(必修4P105例4改编)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝________． 3．(必修4P106练习T3改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________．[易错纠偏](1)没有找准向量的夹角致误；(2)不理解向量的数量积的几何意义致误； (3)向量的数量积的有关性质应用不熟练致误．1．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋a ·c ＝________． 2．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________．3．设向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于________． 【典例剖析】一、平面向量数量积的运算【例1】1 ．(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．02．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.3．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 34．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43 D ．－1【互动探究】 (变问法)在本例(4)的条件下，若D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于________．【针对练习】 1．(2020·宁波质检)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259 D.2692．(2020·浙江名校协作体试题)已知在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝7，AC ＝2，且O 是△ABC 的外心，则AO →·AC →＝________，AO →·BC →＝________.3．(2020·杭州中学高三月考)若A ，B ，C 三点不共线，|AB →|＝2，|CA →|＝3|CB →|，则CA →·CB →的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，3B.⎝⎛⎭⎫－13，3C.⎝⎛⎭⎫34，3D.⎝⎛⎭⎫－34，34．(2020·浙江名校联盟联考)已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝2，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，点P 满足AP →＝1a AC →＋a －1a AD →，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－2B ．－289C ．－258D ．－725．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．二、平面向量的夹角与模(高频考点) 角度一 求两向量的夹角【例2】 (2020·绍兴一中高三期中)若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【例3】若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．【例4】(2020·嘉兴质检)已知|c |＝2，向量b 满足2|b －c |＝b ·c .当b ，c 的夹角最大时，求|b |的值．【针对练习】 (1)(2020·浙江高考适应性考试)若向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝1，且(a ＋8b )⊥a ，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6(2)(2020·浙江金华名校统考)已知向量a ，b 是夹角为π3的单位向量，当实数λ≤－1时，向量a 与向量a ＋λb 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π3 B.⎣⎡⎭⎫π3，2π3 C.⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎣⎡⎭⎫π3，π(3)(2020·温州“十五校联合体”联考)已知向量a ，b 的夹角为θ，|a ＋b |＝6，|a －b |＝23，则θ的取值范围是( )A ．0≤θ≤π3 B.π3≤θ＜π2 C.π6≤θ＜π2 D ．0＜θ＜2π3角度二 求向量的模【例5】 (1)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5(2)(2020·浙江五校联考)如图，已知在平行四边形ABCD 中，E ，M 分别为DC 的两个三等分点，F ，N 分别为BC 的两个三等分点，且AE →·AF →＝25，AM →·AN →＝43，则|AC →|2＋|BD →|2等于( )A ．45B ．60C ．90D ．180(3)(2017·浙江)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________．(4)(2018·浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．2 D ．2－ 3【针对练习】(1)设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|b ＋t a |的最小值为1，则( )A ．若θ确定，则|a |唯一确定B ．若θ确定，则|b |唯一确定C ．若|a |确定，则θ唯一确定D ．若|b |确定，则θ唯一确定(2)(2020·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知向量a ，b 满足|a －b |＝|a ＋3b |＝2，则|a |的取值范围是________．(3)(2020·杭州质检)记M 的最大值和最小值分别为M max 和M min .若平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a ·b ＝c ·(a ＋2b －2c )＝2.则( )A ．|a －c |max ＝3＋72B ．|a ＋c |max ＝3＋72 C ．|a －c |min ＝3＋72 D ．|a ＋c |min ＝3＋72.角度三 两向量垂直问题【例6】 已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.求k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?角度四 求参数值或范围【例7】 已知△ABC 是正三角形，若AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．【规律方法】(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a ||b |，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22；(2)求向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积运算． ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．【针对练习】 1．(2020·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．三、向量数量积的综合应用【例8】 (2020·金华十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．【针对练习】1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin A 2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，则∠A ＝________．2．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．四、平面向量中的最值范围问题【例10】 (1)(2020·杭州市高三模拟)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54B.154C.174D.174(2)(2020·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]【针对练习】1．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是__________．2．(2020·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．五、平面向量的综合运用 一、平面向量在平面几何中的应用【例11】 (1)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心(2)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________．二、平面向量与函数、不等式的综合应用【例12】 (1)设θ是两个非零向量a ，b 的夹角，若对任意实数t ，|a ＋t b |的最小值为1，则下列判断正确的是( )A ．若|a |确定，则θ唯一确定B ．若|b |确定，则θ唯一确定C ．若θ确定，则|b |唯一确定D ．若θ确定，则|a |唯一确定(2)(一题多解)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为________．三、平面向量与解三角形的综合应用【例13】 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .四、平面向量与解析几何的综合应用【例14】 (1)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．(2)已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个端点，过F ，A 两点的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若AB →＝3F A →，则此双曲线的离心率为________．【精品练习】1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－22．(2020·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0 B.2 C ．2 D ．2 23．(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，且a ·c >0，b ·c >0.( )A ．若a·b <0则x >0，y >0B ．若a·b <0则x <0，y <0C ．若a·b >0则x <0，y <0D ．若a·b >0则x >0，y >04．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则DE →·FC →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．(2020·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎡⎦⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π3，2π3 B.⎣⎡⎦⎤2π3，5π6 C.⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎣⎡⎭⎫5π6，π7．(2020·温州市十校联合体期初)已知平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么|a －2b |＝________．8．(2020·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．9.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为边CD 上一个动点，CQ →＝λQD →，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点．若λ＝1，则P A →·PD →的取值范围为________．10．(2020·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 11．已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．12．(2020·金华市东阳二中高三月考)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知b 2－2b ＋c 2＝0，求BC →·AO →的取值范围．13．(2020·嘉兴市高考模拟)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c 满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1 B.2 C. 3 D ．214．(2020·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝ ( )A.255B.223 C ．1 D.5215．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①若m ∥n ，则tan x ＝________；②若m 与n 的夹角为π3，则x ＝________．16．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，OP →＝λOA →＋μOB →.若λ＋3μ＝2，则|OP →|的最小值是________，此时OP →，OA →夹角的大小为________．第 11 页 共 11 页 17．(2020·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，求(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值．18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．。