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第一章 随机事件和概率第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论1. 设31)(=A P ，21)(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ⊂， （3）81)(=AB P . 解：（1）21)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）61)()()()(=-=-=A P B P A B P A B P ； （3）838121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。
2. 已知41)()()(===C P B P A P ，161)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。
解：()()1()P ABC P A B C P A B C =++=-++[]1()()()()()()()P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =-++---+11111310044416168⎡⎤=-++---+=⎢⎥⎣⎦ 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。
两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率；（2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率；（3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。
解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P（1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=862.085.0)92.01(93.0)|()()(=⨯--=-=A B P A P B P （2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P（3）8286.093.01058.0)()()|(=-== B P B A P B A P 4. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
第一章 随机事件与概率本章小结概率论是研究随机现象及其统计规律性的数学学科。
本章主要介绍概率论的两个主要概念：随机事件及其概率。
主要内容包括：随机事件和随机事件的概率的定义、古典概型和几何概型、条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式、以及事件的独立性等。
这些内容是进一步学习概率论的基础。
§1.1随机事件（一） 基本概念：随机现象、随机现象的统计规律性、随机试验、样本点、样本空间、随机事件、必然事件、不可能事件等。
（二） 事件的关系和运算事件的包含、相等、并（和）、交（积）、差、互不相容事件、对立事件及完备事件组。
定义见教材P4-P6.（三） 随机事件的运算律（相应于集合运算性质都成立） 1．交换律：;A B B A A B B A ⋃=⋃⋂=⋂2．结合律：()();()()A B C A B C A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂3．分配律：()()();()()()A B C A B A C A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂⋃⋂=⋃⋂⋃4． De Morgan 对偶律：;i i i iiiiiA A A A ⋃=⋂⋂=⋃§1.2 随机事件的概率（一） 概率的定义1．古典概型中概率的定义:P(A)=A 所包含的事件数所有基本事件数2． 几何概型中概率的定义：()()()A P A m A m ==Ω事件所对应区域的度量样本空间所对应区域的度量3．统计定义：当试验次数n 增大时，事件A 的频率()n f A 在某一数p 附近摆动，则P(A)=p .4． 公理化定义：对样本空间中任意事件A,定义数P(A)满足：① 0()1P A ≤≤② ()1P Ω=③111A ,,P()(),n i i i i A A P A ∞∞==⋃=∑若互不相容，()P A A 则称为事件的概率。
（二） 概率的性质 1． ()0P Φ=2． ()1()P A P A =-3． 若,()()()A B P B A P B P A ⊂-=-则 4． 若,()()A B P B P A ⊂≥则5．(A )()()()P B P A P B P AB ⋃=+-（三） 条件概率1． 定义：()(),()0()()(),()0()P AB P B A P A P A P AB P A B P B P B =>=>2． 性质：具有无条件概率的一切性质。
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
(3) 甲、乙两人从装有a 个白球与b 个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，甲先取到白球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }（3）1ω表示白，2ω表示黑白，3ω表示黑黑白，…白黑黑表示个b b 1+ω，则样本空间=Ω{1ω，2ω，…，1+b ω}， 当b 被奇数时：1135{,,,,}b A ωωωω= 当b 为偶数时：21351{,,,,}b A ωωωω+=1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？ 解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
引言《概率统计》的研究对象确定性现象： 在一定条件下必然发生的现象。
⒈自由落体运动,给定时间,下降高度确定; ⒉标准大气压下,水加热到100℃,变为气态; ……1中南财经政法大学李正兴随机现象从投硬币、掷骰子和摸扑克等简单的机 会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞 生，到世间万物的繁衍生息；从流星殒落， 到大自然的千变万化…，我们无时无刻不面 对具有不确定性现象(即随机现象)。
2中南财经政法大学李正兴• 随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不 出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准 确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。
• 随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结 果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统 计规律性。
• 概率统计的研究对象 概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。
随 机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。
3中南财经政法大学李正兴第1章 随机事件及其概率•第1.1节 随机事件 •第1.2节 概率 •第1.3节 古典概型与几何概型 •第1.4节 条件概率与独立性 •第1.5节 全概率公式与贝叶斯公式4中南财经政法大学李正兴第1.1节 随机事件一、 随机试验、样本空间、事件1. 随机试验 把对某种随机现象的一次观察、观测或测量等 称为一个试验。
如果这个试验在相同的条件下 可以重复进行（重复性）；每次试验具有多种 可能性，在试验之前可以明确试验的所有可能 结果（明确性）；每次试验的结果事前不可预 知（随机性）；则称此试验为随机试验，也简 称为试验，记为E。
5中南财经政法大学李正兴2. 样本空间随机试验中的每一个基本结果称为样本点，通常用 表示。
这里所谓的基本结果是指相对于观察内容来说不能 再细分的结果，也称为基本事件。
样本点即是基本事件。
通常把一个随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用 表示。
6中南财经政法大学李正兴随机试验与样本空间举例： 下面Ei表示实验,Ωi表示试验Ei的样本空间, i=1,2,3,4E1: 掷一颗骰子，观察所掷出的点数是几， Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}；E2: 观察某城市某个月内交通事故发生次数， Ω2={0,1,2,…}；E3: 对某只灯泡实验，观察其使用寿命(小时)， Ω3={t│t≥0}；E4: 对某只灯泡做实验,观察其使用寿命是否小于200 小时，Ω4={寿命小于200小时，寿命不小于200小时}。
第1章事件与概率1.1 内容框图随机事件事件的概率事件的独立性各种定义计算公式独立试验序列1.2 基本要求(1)了解随机事件的定义。
(2)掌握事件的关系和运算。
(3)熟练掌握古典概率。
(4)掌握条件概率的定义、概率的乘法公式。
(5)熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式。
(6)掌握事件的独立性，以及独立重复试验序列。
1.3 内容概要1）随机试验与随机事件(1)随机试验作为概率论研究的对象具有如下三个特点：重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；已知性：每次试验所有可能出现的结果是已知的；不确定性：每次试验在试验结束之前，具体出现哪一个结果是不确定的。
(2)随机试验的每一个可能结果均称为随机事件，是样本空间的一个子集。
一般用大写的英文字母A、B、C…表示。
特别地，每次试验中一定会发生的事件称为必然事件，记为Ω。
每次试验中一定不会发生的事件称为不可能事件，记为∅。
2）事件的关系和运算(1)事件A与B的和：∆+==A B A BU{A与B至少有一个发生}(2)事件A与B的积：∆==AB A BI{A与B同时发生}(3)事件A与B的差：∆-==A B AB{A发生而B不发生}(4)包含关系：若事件A发生必导致事件B发生，称事件B包含事件A，记为.⊂A B(5)相等关系：若⊂A B 且⊂B A ，则称A 与B 相等，记为.=A B(6)互不相容(互斥)：若事件A 与B 不可能同时发生，即=∅AB ，则称A 与B 互不相容。
(7)互相对立(互逆)：若A 与B 同时满足：,Ω+==∅A B AB ，则称A 与B 互相对立，B 为A 的对立事件，记为=B A 。
3）古典概率与几何概率(1)古典概型具有两个特征：有限性：样本点的个数为有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等。
在古典概型中，事件A 的概率为(2)几何概型具有两个特征：①试验的结果是无限且不可列的； ②每个结果发生的可能性是均匀的。
在几何概型中，事件A 的概率为 ()Ω=AM P A M 其中ΩA M M 与分别为事件A 与样本空间Ω的几何度量。
4）概率的性质与运算公式(1)0()1,()1,()0Ω≤≤=∅=P A P P 。
(2)有限可加性：若12,,,n A A A L 互不相容，则11()==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑n ni i i i P A P A(3)()1()=-P A P A 。
(4)()()()()-==-P A B P AB P A P AB特别地，当⊂B A 时，有()()()-=-P A B P A P B(5)加法公式: 对任意事件A 、B 、C ，有()()()()+=+-P A B P A P B P AB()()()()()()()()++=++---+P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC (6)条件概率：当()0>P B 时，()(|)()=P AB P A B P B (7)乘法公式：对任意两个事件A 、B ，当()0,()0>>P A P B 时有 ()()(|)()(|)==P AB P A P B A P B P A B(8)全概率公式：设事件组12,,,n B B B L 互不相容，且()0>i P B ，事件1==⊂∑i ni i A B ，则有1()()(|)==∑ni i i P A P B P A B(9)贝叶斯公式：设事件组12,,,n B B B L 互不相容，且()0>i P B ，事件1==⊂∑i ni i A B ，则有A 包含的样本点数样本点总数 ()=P A1()(|)()(1,2,)()(|)===∑k k k niii P B P A B P B k P B P A B L5）事件的独立性(1)定义：①对事件A 与B ，若()()()=P AB P A P B ，则称A 与B 相互独立。
②对n 个事件12,,,n A A A L ，如果其中任意(2)≤≤m m n 个事件12,,,mi i i A A A L 都有1212(,,,)()()()=mmi i i i i i P A A A P A P A P A L L ，则称12,,,n A A A L 相互独立。
(2)性质：①当()0>P A 时，事件A 与B 相互独立()(|)⇔=P B P B A 。
特别地，必然事件Ω及不可能事件∅与任一事件A 都是相互独立的。
②若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。
③若事件12,,,n A A A L 相互独立，则其中任意(2)≤≤m m n 个事件仍相互独立。
6)独立试验序列（n 重贝努利试验）(1)独立试验序列（n 重贝努利试验）满足三个条件： ①每次试验只有两个结果：A 与A ；②各次试验中，概率()(01)=<<P A p p 保持不变；③各次试验的结果相互独立。
(2)性质：若在n 重贝努利试验中，事件A 发生的概率为(01)<<p p ，则在n 次试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()(0,1,2,,;1)-===-k k n kn n P k C p qk n q p L 其中1.4 自测题一一、判断题（对用“+”，错用“-”）1.设A ，B 是两个事件，则事件A 与B 都不发生可表示成AB 。
( )2.设A ，B 是两个事件，则事件A 发生而事件B 不发生可表示为A AB -。
（ ）3.从编号为1到10的十张卡片中任取一张，若以A 表示卡片编号是奇数，B 表示卡片编号小于5，则A B U 表示取到的卡片编号是6，8或10. （ ）4.设A ，B 是两个事件，若B A ⊂，则A B =∅U 。
( )5.设A ，B 是两个事件，则A B A B -⊆+。
（ ）6.设A ，B 是两个事件，则AB BA A B AB +=+-。
( )7. 如果事件A 与B 是对立事件，则A 与B 必互不相容。
（ ）8.概率为零的事件必为不可能事件。
9. 设A ，B 是任意两个事件，则必有()()()P A B P A P B -=-。
（ ） 10. 如果事件A 与B 互不相容，且()0P A >，则(|)0P B A =。
( ) 11. 如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 必互不相容。
（ ）12. 如果事件A 与B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（ ） 13. 如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立。
( )14. 袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，现随机地将球从袋中逐一摸出，则第1次摸出白球的概率必大于第3次摸出白球的概率。
( )15．两个箱子，第一个箱子中有4个黑球，2个白球，第二个箱子中有3个黑球，3个白球。
现随机取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，若已知取出的是白球，则此球是从第二个箱子中取出的可能性大。
（ ）二、填空题：1．从10位同学中随机抽取3人担任不同职务，问共有______种取法，从10位同 学中随机派3人 参加会议，共有______种取法。
2. 某射手向目标射击３次，记i A ＝“第i 次命中目标”（i = 1，2，3）,则“前两次至少有一次未命中目标”可表示为_________。
3. 概率的统计定义为_________________, 古典概率公式P(A)= ____________。
4. 袋中有4个黑球，3个白球，大小、形状相同；一次随机摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为______。
5.从一副52张的扑克牌中，随机地抽取5张，则其中至少有一张A 的概率为___.6. 设A ，B 都是随机事件，若B A ⊂，且()0.8P A =，()0.4P B =，则(|)P B A = ________。
7. 将(),(),(),()()P A P A B P AB P A P B ++按从小到大排列成为_________________.8. 已知P (A )=0.5, P (B )=0.6, P (B | A ) =0.8 则P (A +B ) =________。
9．设A 、B 为随机事件,()0.7,()0.3,P A P A B =-=则 ()___P A B +=。
10. 已知P (A )=0.4, P (A +B )=0.7, 那么, 当A 、B 互不相容时，P （B ）= ____;当A 、B 互相独立时，P (B )= _______。
11.甲、乙两厂生产的电池放在一起，已知其中有75%是甲厂生产，有25%是乙厂 生产的。
甲厂电池的次品率为0.02，乙厂电池的次品率为0.04。
现从中任意取出 的一个电池，则它是次品的概率为_______。
12.设盒子中有10个木质球，6个玻璃球，玻璃球有2个为红色，4个为蓝色；木 质球有3个为红色，7个为蓝色。
现从盒中任取一球，用A 表示“取到蓝色球”， B 表示“取到玻璃球”，则(|)P B A =________。
13. 独立掷10枚均匀硬币，恰好出现一次正面的概率为______。
14.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.7和0.5。
现已 知目标被命中，则它是乙射中的概率为________。
15.如图线路中元件A 、B 、C 能正常工作的概率均为12，且各元件独立工作，则线路能正常工作的概率为___________.三、选择题：1. 在含有正品和次品的甲，乙产品中各抽取一件产品检验，记事件A ＝{抽到甲产品是正品且乙产品是次品}，则事件A 的对立事件A 表示（ ）。
(A) {抽到甲产品是次品且乙产品是正品}; (B){抽到甲，乙产品都是次品}; (C) {抽到甲产品是次品或乙产品是正品}; (D){抽到甲，乙产品都是正品}. 2．打靶3发，事件i A 表示“击中i 发”(0,1,2,3i =)，则事件123A A A ++表示（ ）。
（A ）全部击中；（B ）至少击中一发；（C ）击中3发；（D ）至多击中3发. 3．对任意二事件,A B ，与A B B +=不等价的是（ ）。
(A);(B);(C);(D).A B B A AB AB ⊂⊂=∅=∅4．将6本不同的外文书，4本不同的中文书，任意放入书架，则4本中文书放在一起的概率为（ ）。
（A ）4!7!10!； （B ）710； （C ） 4!6!10!； （D ） 410.5. 向单位圆221x y +<内随机地投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限内的概率为（ ）。
（A ）161; （B ）643; （C ）649; （D ）41.6．n 张奖券中有m 张是有奖的，现有k 个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率为（ ）。
