第1章 事件与概率

第1章事件与概率1.1 内容框图随机事件事件的概率事件的独立性各种定义计算公式独立试验序列1.2 基本要求(1)了解随机事件的定义。

(2)掌握事件的关系和运算。

(3)熟练掌握古典概率。

(4)掌握条件概率的定义、概率的乘法公式。

(5)熟练掌握全概率公式和贝叶斯公式。

(6)掌握事件的独立性，以及独立重复试验序列。

1.3 内容概要1）随机试验与随机事件(1)随机试验作为概率论研究的对象具有如下三个特点：重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；已知性：每次试验所有可能出现的结果是已知的；不确定性：每次试验在试验结束之前，具体出现哪一个结果是不确定的。

(2)随机试验的每一个可能结果均称为随机事件，是样本空间的一个子集。

一般用大写的英文字母A、B、C…表示。

特别地，每次试验中一定会发生的事件称为必然事件，记为Ω。

每次试验中一定不会发生的事件称为不可能事件，记为∅。

2）事件的关系和运算(1)事件A与B的和：∆+==A B A BU{A与B至少有一个发生}(2)事件A与B的积：∆==AB A BI{A与B同时发生}(3)事件A与B的差：∆-==A B AB{A发生而B不发生}(4)包含关系：若事件A发生必导致事件B发生，称事件B包含事件A，记为.⊂A B(5)相等关系：若⊂A B 且⊂B A ，则称A 与B 相等，记为.=A B(6)互不相容(互斥)：若事件A 与B 不可能同时发生，即=∅AB ，则称A 与B 互不相容。

(7)互相对立(互逆)：若A 与B 同时满足：,Ω+==∅A B AB ，则称A 与B 互相对立，B 为A 的对立事件，记为=B A 。

3）古典概率与几何概率(1)古典概型具有两个特征：有限性：样本点的个数为有限个；等可能性：每个样本点发生的可能性相等。

在古典概型中，事件A 的概率为(2)几何概型具有两个特征：①试验的结果是无限且不可列的； ②每个结果发生的可能性是均匀的。

在几何概型中，事件A 的概率为 ()Ω=AM P A M 其中ΩA M M 与分别为事件A 与样本空间Ω的几何度量。

4）概率的性质与运算公式(1)0()1,()1,()0Ω≤≤=∅=P A P P 。

(2)有限可加性：若12,,,n A A A L 互不相容，则11()==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑n ni i i i P A P A(3)()1()=-P A P A 。

(4)()()()()-==-P A B P AB P A P AB特别地，当⊂B A 时，有()()()-=-P A B P A P B(5)加法公式: 对任意事件A 、B 、C ，有()()()()+=+-P A B P A P B P AB()()()()()()()()++=++---+P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC (6)条件概率：当()0>P B 时，()(|)()=P AB P A B P B (7)乘法公式：对任意两个事件A 、B ，当()0,()0>>P A P B 时有 ()()(|)()(|)==P AB P A P B A P B P A B(8)全概率公式：设事件组12,,,n B B B L 互不相容，且()0>i P B ，事件1==⊂∑i ni i A B ，则有1()()(|)==∑ni i i P A P B P A B(9)贝叶斯公式：设事件组12,,,n B B B L 互不相容，且()0>i P B ，事件1==⊂∑i ni i A B ，则有A 包含的样本点数样本点总数 ()=P A1()(|)()(1,2,)()(|)===∑k k k niii P B P A B P B k P B P A B L5）事件的独立性(1)定义：①对事件A 与B ，若()()()=P AB P A P B ，则称A 与B 相互独立。

②对n 个事件12,,,n A A A L ，如果其中任意(2)≤≤m m n 个事件12,,,mi i i A A A L 都有1212(,,,)()()()=mmi i i i i i P A A A P A P A P A L L ，则称12,,,n A A A L 相互独立。

(2)性质：①当()0>P A 时，事件A 与B 相互独立()(|)⇔=P B P B A 。

特别地，必然事件Ω及不可能事件∅与任一事件A 都是相互独立的。

②若事件A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。

③若事件12,,,n A A A L 相互独立，则其中任意(2)≤≤m m n 个事件仍相互独立。

6)独立试验序列（n 重贝努利试验）(1)独立试验序列（n 重贝努利试验）满足三个条件： ①每次试验只有两个结果：A 与A ；②各次试验中，概率()(01)=<<P A p p 保持不变；③各次试验的结果相互独立。

(2)性质：若在n 重贝努利试验中，事件A 发生的概率为(01)<<p p ，则在n 次试验中事件A 恰好发生k 次的概率为()(0,1,2,,;1)-===-k k n kn n P k C p qk n q p L 其中1.4 自测题一一、判断题（对用“+”，错用“-”）1.设A ，B 是两个事件，则事件A 与B 都不发生可表示成AB 。

( )2.设A ，B 是两个事件，则事件A 发生而事件B 不发生可表示为A AB -。

（ ）3.从编号为1到10的十张卡片中任取一张，若以A 表示卡片编号是奇数，B 表示卡片编号小于5，则A B U 表示取到的卡片编号是6，8或10. （ ）4.设A ，B 是两个事件，若B A ⊂，则A B =∅U 。

( )5.设A ，B 是两个事件，则A B A B -⊆+。

（ ）6.设A ，B 是两个事件，则AB BA A B AB +=+-。

( )7. 如果事件A 与B 是对立事件，则A 与B 必互不相容。

（ ）8.概率为零的事件必为不可能事件。

9. 设A ，B 是任意两个事件，则必有()()()P A B P A P B -=-。

（ ） 10. 如果事件A 与B 互不相容，且()0P A >，则(|)0P B A =。

( ) 11. 如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 必互不相容。

（ ）12. 如果事件A 与B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（ ） 13. 如果事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立。

( )14. 袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，现随机地将球从袋中逐一摸出，则第1次摸出白球的概率必大于第3次摸出白球的概率。

( )15．两个箱子，第一个箱子中有4个黑球，2个白球，第二个箱子中有3个黑球，3个白球。

现随机取一个箱子，再从这个箱子中取一个球，若已知取出的是白球，则此球是从第二个箱子中取出的可能性大。

（ ）二、填空题：1．从10位同学中随机抽取3人担任不同职务，问共有______种取法，从10位同 学中随机派3人 参加会议，共有______种取法。

2. 某射手向目标射击３次，记i A ＝“第i 次命中目标”（i = 1，2，3）,则“前两次至少有一次未命中目标”可表示为_________。

3. 概率的统计定义为_________________, 古典概率公式P(A)= ____________。

4. 袋中有4个黑球，3个白球，大小、形状相同；一次随机摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为______。

5.从一副52张的扑克牌中，随机地抽取5张，则其中至少有一张A 的概率为___.6. 设A ，B 都是随机事件，若B A ⊂，且()0.8P A =，()0.4P B =，则(|)P B A = ________。

7. 将(),(),(),()()P A P A B P AB P A P B ++按从小到大排列成为_________________.8. 已知P (A )=0.5, P (B )=0.6, P (B | A ) =0.8 则P (A +B ) =________。

9．设A 、B 为随机事件,()0.7,()0.3,P A P A B =-=则 ()___P A B +=。

10. 已知P (A )=0.4, P (A +B )=0.7, 那么, 当A 、B 互不相容时，P （B ）= ____;当A 、B 互相独立时，P (B )= _______。

11.甲、乙两厂生产的电池放在一起，已知其中有75%是甲厂生产，有25%是乙厂 生产的。

甲厂电池的次品率为0.02，乙厂电池的次品率为0.04。

现从中任意取出 的一个电池，则它是次品的概率为_______。

12.设盒子中有10个木质球，6个玻璃球，玻璃球有2个为红色，4个为蓝色；木 质球有3个为红色，7个为蓝色。

现从盒中任取一球，用A 表示“取到蓝色球”， B 表示“取到玻璃球”，则(|)P B A =________。

13. 独立掷10枚均匀硬币，恰好出现一次正面的概率为______。

14.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.7和0.5。

现已 知目标被命中，则它是乙射中的概率为________。

15.如图线路中元件A 、B 、C 能正常工作的概率均为12，且各元件独立工作，则线路能正常工作的概率为___________.三、选择题：1. 在含有正品和次品的甲，乙产品中各抽取一件产品检验，记事件A ＝{抽到甲产品是正品且乙产品是次品}，则事件A 的对立事件A 表示（ ）。

(A) {抽到甲产品是次品且乙产品是正品}; (B){抽到甲，乙产品都是次品}; (C) {抽到甲产品是次品或乙产品是正品}; (D){抽到甲，乙产品都是正品}. 2．打靶3发，事件i A 表示“击中i 发”(0,1,2,3i =)，则事件123A A A ++表示（ ）。

（A ）全部击中；（B ）至少击中一发；（C ）击中3发；（D ）至多击中3发. 3．对任意二事件,A B ，与A B B +=不等价的是（ ）。

(A);(B);(C);(D).A B B A AB AB ⊂⊂=∅=∅4．将6本不同的外文书，4本不同的中文书，任意放入书架，则4本中文书放在一起的概率为（ ）。

（A ）4!7!10!； （B ）710； （C ） 4!6!10!； （D ） 410.5. 向单位圆221x y +<内随机地投下3点，则这3点恰有2点落在第一象限内的概率为（ ）。

（A ）161; （B ）643; （C ）649; （D ）41.6．n 张奖券中有m 张是有奖的，现有k 个人购买，每人一张，其中至少有一个人中奖的概率为（ ）。