5 最优化-二次规划解析

二次规划问题二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：sub.to其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。

MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。

函数 quadprog格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数[x,fval] = quadprog(…) %fval为目标函数最优值[x,fval,exitfla g] = quadprog(…) % exitflag与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda与线性规划中参数意义相同例5-8 求解下面二次规划问题sub.to解：则，，在MA TLAB中实现如下：>>H = [1 -1; -1 2] ;>>f = [-2; -6];>>A = [1 1; -1 2; 2 1];>>b = [2; 2; 3];>>lb = zeros(2,1);>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)结果为：x = %最优解0.66671.3333fval = %最优值-8.2222exitflag = %收敛1output =iterations: 3algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: [ ]cgiterations: [ ]lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1 double]ineqlin: [3x1 double]>> lambda.ineqlinans =3.11110.4444>> lambda.lowerans =说明第1、2个约束条件有效，其余无效。

二次规划的标准形式为：min (1/2)X’HX+f’X约束条件：Ax≤b Aeqx=beq，lb≤x≤ub，其中：f、b、beq、lb、ub、x是矢量，H、 A、Aeq为矩阵。

在MATLAB中可以使用quadprog函数来求最小值。

调用格式:x=quadprog (H,f,A,b)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options,P1,P2,…) [x,fval]= quadprog (…)[x,fval,exitflag]= quadprog (…)[x,fval,exitflag,output]= quadprog (…)[x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog (…) fval为目标函数的最优值；其中：H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值；x0为初值；Aeq,beq 满足等式约束Aeq.x=beq；lb,ub满足lb lambda是Lagrange乘数，它体现有效约束的个数；output输出优化信息；exitflag为终止迭代的条件：若exitflag>0，表示函数收敛于解x；若exitflag=0,表示超过函数估值或迭代的最大次数；exitflag<0表示函数不收敛于解x；output为优化信息：若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。

例0-6 计算下面二次规划问题minf（x）= (1/2)x1^2+x2^2- x1x2-2x1-6x2约束条件： x1+x2≤2-x1+x2≤2，2x1+x2≤3；x1≤0； x2≤0解：把二次规划问题写成标准形式：(1/2)XTHX+fTX 这里：H= 1 -1 f= -2 X= x1-1 2 -6 x2在命令窗口键入命令：>>H=[1 –1;-1 2];>>f=[-2;-6];>>A=[1 1;-1 2;2 1];>>b=[2;2;3];>>lb=[zeros(2,1)];>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)运行以上命令得到的显示结果如下：x= %最优值点 §3 二次规划模型 数学模型： ub x lb beq x Aeqbx A x f Hx x T T x ≤≤=⋅≤⋅+21min其中H 为二次型矩阵，A 、Aeq 分别为不等式约束与等式约束系数矩阵，f,b,beq,lb,ub,x 为向量。

二次规划算法在实现最优控制中的应用分析随着科技的不断发展，最优控制问题已成为控制和优化领域中的热门话题。

在实际应用中，最优控制可以被用于调节自动控制器、实现运动规划、优化电力等多种控制问题中。

而其中的二次规划算法则成为了最常用的实现方式之一。

本文将对于二次规划算法在实现最优控制中的研究进展和应用进行分析。

1. 什么是二次规划算法首先，我们需要了解二次规划算法。

二次规划是指求解如下形式的最优化问题：$\min_{x}{\frac{1}{2}x^TQx + c^Tx}$$Ax\ \leq b$其中Q是正半定矩阵，c是列向量，A是矩阵，b是列向量。

这个问题可以被称为二次规划问题。

它的解通常被称为问题的最优解，即$x^*$。

其中，$\min$代表最小值，再加上$Ax\ \leq b$的限制条件，即可得到二次规划问题。

2. 二次规划在最优控制中的应用二次规划算法在最优控制中是一个非常重要的问题，因为很多最优控制问题都可以被抽象为一个二次规划问题。

比如在运动规划问题中，我们需要寻找机器人的最优轨迹来实现控制的效果。

而这个问题可以被转化为一个二次规划问题，通过求解该问题来得到最优解。

因此，二次规划算法在机器人控制中有着广泛的应用。

此外，在电力控制领域中，二次规划算法也有很大的作用。

比如，在电网中，我们需要寻找最优的发电计划和消耗计划来保证系统安全和经济效益。

这个问题同样是一个优化问题，可以被抽象为一个二次规划问题。

通过求解二次规划问题，我们可以得到系统的最优解，从而实现电力控制的目的。

3. 基于二次规划算法实现最优控制的实例为了更好地理解二次规划在最优控制中的应用，我们可以看一下以下实例：假设有一个双轮差分式机器人，需要在一条平面上从起点到终点。

我们可以把这个运动规划问题抽象为一个最优化问题。

通过使用二次规划算法，我们可以求解出最优的轨迹，以实现机器人在最短时间内到达终点。

在这个实例中，我们将机器人的运动轨迹表示为一个函数f(x)，其中x是机器人的状态。

求解⼆次规划问题的拉格朗⽇及有效集⽅法求解⼆次规划问题的拉格朗⽇及有效集⽅法——最优化⽅法课程实验报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：阮⼩娥同组⼈：钱东东求解⼆次规划问题的拉格朗⽇及有效集⽅法求解⼆次规划问题的拉格朗⽇及有效集⽅法摘要⼆次规划师⾮线性优化中的⼀种特殊情形，它的⽬标函数是⼆次实函数，约束函数都是线性函数。

由于⼆次规划⽐较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且⼀些⾮线性优化问题可以转化为求解⼀些列的⼆次规划问题，因此⼆次规划的求解⽅法较早引起⼈们的重视，称为求解⾮线性优化的⼀个重要途径。

⼆次规划的算法较多，本⽂仅介绍求解等式约束凸⼆尺规划的拉格朗⽇⽅法以及求解⼀般约束凸⼆次规划的有效集⽅法。

关键字：⼆次规划，拉格朗⽇⽅法，有效集⽅法。

- 1 -《最优化⽅法》课程实验报告- 2 - 【⽬录】摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸⼆次规划的解法............................................................................... - 3 -1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 -1.2 拉格朗⽇⽅法求解等式约束⼆次规划问题............................................ - 3 -1.2.1 拉格朗⽇⽅法的推导...................................................................... - 3 -1.2.2 拉格朗⽇⽅法的应⽤...................................................................... - 4 -2 ⼀般凸⼆次规划问题的解法............................................................................... - 5 -2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 -2.2 有效集法求解⼀般凸⼆次规划问题........................................................ - 6 -2.2.1 有效集⽅法的理论推导.................................................................. - 6 -2.2.2 有效集⽅法的算法步骤.................................................................. - 9 -2.2.3 有效集⽅法的应⽤........................................................................ - 10 -3 总结与体会......................................................................................................... - 11 -4.2 有效集⽅法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -求解⼆次规划问题的拉格朗⽇及有效集⽅法- 3 -1 等式约束凸⼆次规划的解法1.1 问题描述我们考虑如下的⼆次规划问题=+b Ax t s x c Hx x T T ..,21min (1.1) 其中n n R H ?∈对称正定，n m R A ?∈⾏满秩，n R x c,∈，m R b ∈。

9.2.4 二次规划问题9.2.4.1 基本数学原理如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这种规划为二次规划。

其数学模型为：其中，H, A,和Aeq为矩阵,f, b, beq, lb, ub,和x为向量。

9.2.4.2 相关函数介绍quadprog函数功能：求解二次规划问题。

语法：x = quadprog(H,f,A,b)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval] = quadprog(...)[x,fval,exitflag] = quadprog(...)[x,fval,exitflag,output] = quadprog(...)[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(...)描述：x = quadprog(H,f,A,b) 返回向量x，最小化函数1/2*x'*H*x + f'*x ，其约束条件为A*x <= b。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x = beq。

x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub)定义设计变量的下界lb和上界ub，使得lb <= x <= ub。

x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)同上，并设置初值x0。

x = quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小化。

[x,fval] = quadprog(...)返回解x处的目标函数值fval = 0.5*x'*H*x + f'*x。

最优化基础理论与⽅法分析⽬录1．最优化的概念与分类 (2)2. 最优化问题的求解⽅法 (3)2.1线性规划求解 (3)2.1.1线性规划模型 (3)2.1.2线性规划求解⽅法 (3)2.1.3 线性规划算法未来研究⽅向 (3)2.2⾮线性规划求解 (4)2.2.1⼀维搜索 (4)2.2.2⽆约束法 (4)2.2.3约束法 (4)2.2.4凸规划 (5)2.2.5⼆次规划 (5)2.2.6⾮线性规划算法未来研究⽅向 (5)2.3组合规划求解⽅法 (5)2.3.1 整数规划 (5)2.3.2 ⽹络流规划 (7)2.4多⽬标规划求解⽅法 (7)2.4.1 基于⼀个单⽬标问题的⽅法 (7)2.4.2 基于多个单⽬标问题的⽅法 (8)2.4.3多⽬标规划未来的研究⽅向 (8)2.5动态规划算法 (8)2.5.1 逆推解法 (8)2.5.2 顺推解法 (9)2.5.3 动态规划算法的优点及研究⽅向 (9)2.6 全局优化算法 (9)2.6.1 外逼近与割平⾯算法 (9)2.6.2 凹性割⽅法 (9)2.6.3 分⽀定界法 (9)2.6.4 全局优化的研究⽅向 (9)2.7随机规划 (9)2.7.1 期望值算法 (10)2.7.2 机会约束算法 (10)2.7.3 相关机会规划算法 (10)2.7.4 智能优化 (10)2.8 最优化软件介绍 (11)3 最优化算法在电⼒系统中的应⽤及发展趋势 (12)3.1 电⼒系统的安全经济调度问题 (12)3.1.1电⼒系统的安全经济调度问题的介绍 (12)3.1.2电⼒系统的安全经济调度问题优化算法的发展趋势 (12)2. 最优化问题的求解⽅法最优化⽅法是近⼏⼗年形成的，它主要运⽤数学⽅法研究各种优化问题的优化途径及⽅案，为决策者提供科学决策的依据。

最优化⽅法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其⽣产经营活动。

最优化⽅法的⽬的在于针对所研究的系统，求得⼀个合理运⽤⼈⼒、物⼒和财⼒的最佳⽅案，发挥和提⾼系统的效能及效益，最终达到系统的最优⽬标。

单目标规划和多目标规划的区别与联系1.最优化概念最优化是应用数学的一个重要分支，最优化可定义为一种数学方法，用它可以对各种生产活动进行规划，在可供利用资源(资源泛指矿藏、水能、人力、设备、原料、运输条件、生态环境、资金、时间、空问等等)的限制条件下，使生产活动得到最大的效益或用最少的资源完成指定的生产活动。

最优化问题的数学表现形式为：式中，123()n f x x x x ⋅⋅⋅、、称为目标函数，若具体问题是求123max ()n f x x x x ⋅⋅⋅、、，则令123123()()n n x x x x f x x x x ϕ⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅、、、、，于是最大值问题就转化为最小值问题123min ()n x x x x ϕ⋅⋅⋅、、。

123()j n h x x x x ⋅⋅⋅、、称为等式约束条件，123g ()i n x x x x ⋅⋅⋅、、称为不等式约束条件，如果约束条件中有123()0i n s x x x x ⋅⋅⋅≤、、，则可令123123()g ()i n i n s x x x x x x x x ⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅、、、、，于是原来的“≤”就变为了“≥”。

满足约束条件的一组123n x x x x ⋅⋅⋅、、称之为一组可行解。

满足目标函数的可行解称为最优解，即我们需要寻求的答案。

许多现实和理论问题都可以建模成这样的一般性框架，最优化问题种类繁多，分类的方法也有许多。

按目标函数的个数分类：1）单目标规划:只存在一个目标函数时，称这一类问题为单目标规划。

2）多目标规划：当存在多个目标函数时，称为多目标规划。

2.单目标规划方法非线性规划问题的求解一般要比线性规划困难很多，而且目前尚没有适合于各类非线性问题的一般算法，每种算法都有自己的特定的使用范围。

有些情况下，为方便计算，也会把非线性规划问题近似为线性规划问题进行求解。

2.1一维搜索一维搜索是求解单变量非线性规划问题的方法。

这类方法不仅有实用价值，而且大量多维最优化方法都依赖于一系列的一维最优化。

最速下降法：算法简单，每次迭代计算量小，占用内存量小，即使从一个不好的初始点出发，往往也能收敛到局部极小点。

沿负梯度方向函数值下降很快的特点，容易使认为这一定是最理想的搜索方向，然而事实证明，梯度法的收敛速度并不快．特别是对于等值线（面）具有狭长深谷形状的函数，收敛速度更慢。

其原因是由于每次迭代后下一次搜索方向总是与前一次搜索方向相互垂直，如此继续下去就产生所谓的锯齿现象。

从直观上看，在远离极小点的地方每次迭代可能使目标函数有较大的下降，但是在接近极小点的地方，由于锯齿现象，从而导致每次迭代行进距离缩短，因而收敛速度不快.牛顿法：基本思想：利用目标函数的一个二次函数去近似一个目标函数，然后精确的求出这个二次函数的极小点，从而该极小点近似为原目标函数的一个局部极小点。

优点 1. 当目标函数是正定二次函数时，Newton 法具有二次终止性。

2. 当目标函数的梯度和Hesse 矩阵易求时，并且能对初始点给出较好估计时，建议使用牛顿法为宜。

缺点：1. Hesse 矩阵可能为奇异矩阵，处理办法有：改为梯度方向搜索。

共轭梯度法：优点：收敛速度优于最速下降法，存贮量小，计算简单.适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题.缺点：变度量法：较好的收敛速度，不计算Hesse 矩阵1．对称秩1 修正公式的缺点（1）要求( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k k T k y B s s − ≠0（2）不能保证B ( k ) 正定性的传递2．BFGS 算法与DFP 算法的对比对正定二次函数效果相同，对一般可微函数效果可能不同。

1） BFGS 算法的收敛性、数值计算效率优于DFP 算法；（2） BFGS 算法要解线性方程组，而DFP 算法不需要。

基本性质：有效集法：算法思想：依据凸二次规划问题的性质2，通过求解等式约束的凸二次规划问题，可能得到原凸二次规划问题的最优解。

有效集法就是通过求解一系列等式约束凸二次规划问题，获取一般凸二次规划问题解的方法。

二次规划求解方法探讨李骥昭1 刘义山2(1.平顶山工业职业技术学院文化教育部1 河南 平顶山 467001; 2.平顶山工业职业技术学院文化教育部2 河南 平顶山 467001)摘要：文章推广与应用了二次非线性规划模型的基础理论及算法。

在线性规划模型中，活动对目标函数的贡献与活动水平成比例关系，因而目标函数是决策变量的线性函数，而在实际问题中，往往遇到活动对目标函数的贡献与活动水平不成比例关系的情形，即目标函数不是决策变量的线性函数，而是二次非线性函数，我们可以利用K-T 条件并转化为等价求解相应的线性规划问题。

经过分析可以得到结论，目标函数变成了线性函数，但约束函数中有一个非线性函数，这时问题仍然是非线性的。

应用Excel 规划求解工具解这个模型后我们知道如果投资者愿意承担多一点的风险，就可以获得更大的收益。

关键词：非线性规划，线性规划，目标函数，决策变量，模型 中图分类：O226 文献标识：A 0 引言非线性规划是运筹学的一个重要分支，它在管理科学、系统控制等诸多领域有广泛应用。

非线性规划的任一算法都不能仅仅考察可行域极点的目标函数值来寻优。

非线性规划的最优点可能在其可行域的任一点达到，即最优解可能在极点，或边介点或内点达到。

在非线性规划问题中，其变量取值受到多个约束条件的限制，对其求解，一方面要使目标函数每次选代要逐次下降，且还要保持解的可行性。

这就给寻找最优解带来更大的困难。

为使求解能较顺利进行，一般采用将约束条件转化为无约束条件，化为较简单问题来处理[1]。

1 预备知识1.1 相关概念,相关定理 若0x 使得()00>xg j 则称此约束条件是0x的不起作用约束；起作用约束：若0x 使得()00=xg j ，则称此约束条件是0x 的起作用约束[2]。

可行方向：若(){}0,,,,2,10|00>∈∃=≥=∈λnj E P L j x g x R x 的实数，使得[]0,0λλ∈，均有R P x ∈+λ0，则称方向P 是0x 的一个可行方向；当()P J j P xg Tj ,00∈>∇必为0x 的一个可行方向；下降方向：若0,00>∈∃∈λn E P R x 使得[]0,0λλ∈均有()()00x f P x f <+λ，则称P 为0x 的一个下降方向。