第五章 抽样估计

第五章抽样估计第一节抽样估计的理论基础抽样估计的基本内容就是研究如何根据总体的部分数据信息（构造样本指标也称统计量）去估计未知总体指标（也称参数）的理论和方法。

学习步骤：抽样估计的理论基础——大数定律和中心极限定理→掌握抽样分布的有关概念及基本原理→抽样估计的理论和方法。

一、大数定律大量的独立重复测量值的算术平均值具有稳定性。

对于这种稳定性的研究构成了大数定律的基本内容。

两个重要的大数定律：贝努里大数定理、辛钦大数定律设事件A在一次试验中发生的概率为p，在n次独立重复试验中，事件A发生了m次，那么对任意给定的正数ε，有其等价形式是贝努里大数定理说明：事件发生的频率m/n，依概率收敛于事件发生的概率p，这个定理用严格的数学形式表达了频率的稳定性，也就是说，当n很大时，事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。

因此，当n很大时，可用事件发生的频率m/n近似地代替事件发生的概率p，即p≈m/n，这种方法称为抽样估计，它是数理统计的主要研究课题。

（二）辛钦大数定律设随机变量X1，X2，…，X n相互独立，服从同一分布，且（E（X k）＝μ，k＝1，2，…），则对任意正数ε，恒有：辛钦大数定律为我们用测量数据的算术平均数代替其真值的方法提供了理论依据。

假定要测量某一物理量μ，在不变条件下测量n次，得到的结果X1，X2，…，X n是不完全相同的，它们可以看作n个独立随机变量X1，X2，…，X n（它们服从同一分布且数学期望均为μ）。

按照辛钦大数定律，当n很大时，我们取n次测量结果的算术平均数作为真值μ的近似值，这时出现较大偏差的可能性很小。

一般说来，测定的次数越多，近似程度越好。

二、中心极限定理当处理大样本问题时，将它作为一个非常重要的工具。

下面介绍两个常用的中心极限定理。

定理1：林德贝格—勒维中心极限定理，也称为独立同分布中心极限定理。

定理2：德莫佛—拉普拉斯中心极限定理。

它表明：二项分布的极限分布是正态分布，因此，当n充分大时，若随机变量X n～B（n，p），则近似地有X n～N（np，np（1－p），于是我们可以利用正态分布近似地计算二项分布的概率。

第五章 抽样估计学习指导一、判断题×√1.抽样估计是利用样本资料对总体的数量特征进行估计的一种统计分析方法,因此不可避免地会产生误差,这种误差的大小是不能进行控制的.( )2.从全部总体单位中按照随机原则抽取部分单位组成样本,只可能组成一个样本.( )3.在抽样估计中,作为推断的总体和作为观察对象的样本都是确定的.唯一的.( )4.优良估计的无偏性是指:所有可能的样本平均数的平均数等于总体平均数.( )5.抽样成数的特点是,样本成数越大,则成数方差越大.( )6.在总体方差一定的条件下,样本单位数越多,则抽样平均误差越大.( ) n x σμ=7.抽样估计的置信度就是表明抽样指标和总体指标的误差不超过一定范围的概率保证程度.( )8.抽样误差即代表性误差和登记性误差,这两种误差都是不可避免的.( )9.在其他条件不变的情况下,提高抽样估计的可靠程度,可以提高抽样估计的精确度.( )10.在简单随机抽样中,如果重复抽样的抽样极限误差增加40%,其他条件不变,则样本单位数只需要原来的一半左右.( ) 11.抽样平均误差反映抽样的可能误差范围,实际上每次的抽样误差可能大于抽样平均误差,也可能小于抽样平均误差.( )12.样本单位数的多少与总体各单位标志值的变异程度成反比,与抽样极限误差范围的大小成正比.( )二.单项选择题1.抽样调查的主要目的是( ).A.用样本指标来推算总体指标B.对调查单位做深入研究C.计算和控制抽样误差D.广泛运用数学方法2.抽样调查所必须遵循的基本原则是( ).A.准确性原则B.随机性原则C.可靠性原则D.灵活性原则3.在简单随机重复抽样条件下,当抽样平均误差缩小为原来的1/2时,则样本单位数为原来的( ).A.2倍B.3倍C.4倍 D1/4倍4.按随机原则直接从总体N 个单位中抽取n 个单位作为样本,这种抽样组织形式是( ).A.简单随机抽样B.类型抽样C.等距抽样D.整群抽样5.抽样误差是指( ).A.在调查过程中由于观察.测量等差错所引起的误差B.在调查中违反随机原则出现的系统误差C.随机抽样而产生的代表性误差D.人为原因所造成的误差6.事先将总体各单位按某一标志排列,然后依排列顺序和按相同的间隔来抽选调查单位的抽样称为( ).A.简单随机抽样B.类型抽样C.等距抽样D.整群抽样7.在一定的抽样平均误差条件下( ). p p xx Z Z μμ=∆=∆A.扩大极限误差范围,可以提高推断的可靠程度B. 扩大极限误差范围,会降低推断的可靠程度C. 缩小极限误差范围,可以提高推断的可靠程度D. 缩小极限误差范围,不改变推断的可靠程度8.反映样本指标与总体指标之间的平均误差程度的指标是( ).A.抽样误差系数B.概率度C.抽样平均误差D.抽样极限误差9. 抽样平均误差是( ).A.全极总体的标准差B.样本的标准差C.抽样指标的标准差D.抽样误差的平均差10.当成数等于( )时,成数的方差最大. A.1 B.0 C.0.5 D.-111.对某行业职工收入情况进行抽样调查,得知其中80%的职工收入在800元以下,抽样平均误差为2%.当概率为95.45%时,该行业职工收入在800元以下所占比重是( ). p p ∆-p p P ∆+≤≤A.等于78%B.大于84% p p Z μ=∆C.在76%--84%之间D.小于76%12.假定一个拥有一亿人口的大国和百万人口的小国居民年龄变异程度相同,现在各自用重复抽样方法抽取本国的1%人口计算平均年龄,则平均年龄抽样平均误差( ). 212121,n n N N ≥≥=σσ n x σμ=A.不能确定B.两者相等C.前者比后者大D. 前者比后者小13.在其他条件不变的情况下,提高估计的概率保证程度,其估计的精确程度( ).A 随之扩大 B.随之缩小 C.保持不变 D.无法确定14.对某种连续生产的产品进行质量检验,要求每隔一小时抽出10分钟的产品进行检验,这种抽查方式是( ).A. 简单随机抽样B.类型抽样C.等距抽样D.整群抽样15.对甲乙两个工厂工人平均工资进行纯随机不重复抽样调查,调查的工人数一样,两工厂工资方差相同,但甲厂工人总数比乙厂工人总数多一倍,则抽样平均误差( ). )1(2Nn n x -=σμ A.甲厂比乙厂大 B. 乙厂比甲厂大C.两个工厂一样大D.无法确定16.按地理区域划片进行的区域抽样,其抽样方法属于( ).A. 简单随机抽样 D.类型抽样B.等距抽样C.整群抽样三.多项选择题1.抽样估计的特点是( ).A.由部分认识总体的一种认识方法B.建立在随机取样的基础上C.对总体参数进行估计采用的是确定的数学分析方法D.可以计算出抽样误差,但是不能对其进行控制E.既能够计算出抽样误差,又能够对其进行控制2.抽样估计中的抽样误差( ).A.是一种系统性误差B. 是一种代表性误差C.属于一种登记误差D.属于一种偶然性误差E.是违反了随机原则而产生的误差3.影响抽样误差大小的因素有( ). n x σμ= )1(2Nn n x -=σμA.抽样调查的组织形式B.抽取样本单位的方法C.总体被研究标志的变异程度D.抽取样本单位数的多少E.总体被研究标志的属性4.在抽样估计中( ).A.抽样指标的数值不是唯一的B.总体指标是一个随机变量C.可能抽取许多个样本D.统计量是样本变量的函数E.全及指标又称为统计量5.从全及总体抽取样本单位的方法有( ).A.简单随机抽样B.重复抽样C.不重复抽样D.概率抽样E.非概率抽样6.在抽样估计中,样本单位数的多少取决于( ). 222x Z n ∆=σA.总体标准差的大小B.允许误差的大小C.抽样估计的把握程度D.总体参数的大小E.抽样方法7. 总体参数区间估计必须具备的三个要素是( ). x x ∆-≤X ≤x x ∆+， p p ∆-p p P ∆+≤≤A.样本单位数B.样本指标C.全及指标D.抽样误差范围E.抽样估计的置信度8.采用类型抽样的组织形式( ).A.需要对总体各单位进行分组B.适用于总体各单位标志值差异较大的总体C.随机抽选其中的某一类型,并对其所有单位进行调查D.抽样误差较小E.最符合随机原则9.简单随机抽样( ).A. 适用于总体各单位呈均匀分布的总体B. 适用于总体各单位标志值差异较大的总体C.在抽样之前要求对总体各单位加以编号D. 最符合随机原则E.是各种抽样组织形式中最基本最简单的一种形式10.在抽样平均误差一定的条件下( ).A. 扩大极限误差范围,可以提高推断的可靠程度B. 缩小极限误差范围,可以提高推断的可靠程度C. 扩大极限误差范围,只能降低推断的可靠程度D. 缩小极限误差范围,只能降低推断的可靠程度E.扩大或缩小极限误差范围与推断的可靠程度无关五.计算题(主要是思路和方法提示)1.（1）进行简单随机重复抽样,假定抽样单位增加3倍,则抽样平均误差μ将发生如何变化?（2）如果要求抽样误差范围Δ减少20%,其样本单位数n 应如何调整?2.某企业生产一批日光灯管,随机重复抽取400只作使用寿命试验.测试结果,平均寿命为5000小时,样本标准差为300小时,400只中发现10不合格.求平均数的抽样平均误差和成数的抽样平均误差. p x μμ和3.某机械厂生产一批零件10000个,检验员甲用简单随机重复抽样方法抽取300个,发现有9个不合格.检验员乙用简单随机不重复抽样方法抽取200个, 发现有5个不合格.试求两种不同抽样方法下合格品率的抽样平均误差.4.某企业生产某产品10000袋,为检验其包装重量是否达到标准,检验员甲按简单随机重复抽样方法抽取200袋进行检查, 检验员乙用简单随机不重复抽样方法抽取200袋进行检验.样本标准差均为2克.试求两种不同抽样方法下包装平均重量的抽样平均误差。

第五章抽样与抽样估计教学目的与要求：参照教学大纲。

教学重点：抽样误差、区间估计的方法、样本容量的确定、抽样组织形式等教学难点：抽样平均误差的概念及计算、区间估计的几种方法、各种不同抽样组织形式的特点第一节抽样调查中的基本概念一、抽样推断的一般概念抽样推断是在根据随机原则从总体中抽取部分实际数据的基础上，运用数理统计方法，对总体某一现象的数量性作出具有一定可靠程度的估计判断。

抽样推断的特点：它是由部分推算整体的一种认识方法；它是建立在随机取样的基础上。

它是运用概率估计的方法；抽样推断的误差可以事先计算并加以控制。

抽样推断的主要内容为：参数估计和假设检验二、抽样的基本概念１、全及总体和样本总体全及总体是我们所要研究的对象，又称母体，简称总体，它是指所要认识的，具有某种共同性质的许多单位的集合体。

总体单位的总数称为总体容量，一般用N表示。

样本总体则是我们所要观察的对象，样本总体又称子样，简称样本，是从全及总体中随机抽取出来，代表全及总体的那部分单位的集合体。

样本总体的单位数称为样本容量，通常用小写英文字母n来表示。

对于一次抽样调查，全及总体是唯一确定的。

而样本是不确定的，具有随机性，一个全及总体可能抽出很多个样本总体，样本的个数和样本的容量有关，也和抽样的方法有关。

根据总体各个单位的标志值或标志属性计算的，反映总体某种属性或特征的综合指示称为总体指标，也称总体参数。

常用的总体指标有总体平均数（或总体成数）、总体标准差（或总体方差）。

由样本总体各单位标志值计算出来反映样本特征，用来估计全及指标的综合指标称为统计量（抽样指标）。

统计量是样本变量的函数，用来估计总体参数，因此与总体参数相对应，统计量有样本平均数（或抽样成数）、样本标准差（或样本方差）。

2、样本容量和样本个数样本容量是指一个样本所包含的单位数。

通常将样本单位数不少于３０个的样本称为大样本，不及３０个的称为小样本。

社会经济统计的抽样调查多属于大样本调查。

第五章抽样估计抽样调查在统计调查和分析中应用非常广泛，是一种非常重要的调查方法。

本章的目的在于提供一套簏利用抽样资料来估计总体数量特征的方法。

通过对本章的学习要求理解：1、什么是抽样推断，对比一般推算，它具有哪些特点，在哪些场合运用抽样推断的方法；2、抽样误差是怎样形成的，如何计算抽样误差，如何确定一定误差范围的置信度；3、抽样估计的优良标准是什么，怎样估计总体的平均指标和成数指标；4、抽样调查的组织形式及其误差。

第一节抽样推断的一般问题抽样推断的意义抽样推断是在抽样调查的基础上，利用样本的实际资料计算样本指标，并据以推算总体相应数量特征的一种统计方法。

抽样推断具有以下特点：抽样推断是由部分推算整体的一种认识方法。

抽样推断是建立在随机取样的基础上。

抽样推断是运用概率估计的方法。

抽样推断的误差可以事先计算并加以控制。

抽样推断的内容推断的前提是我们对总体的数量特征不了解或了解很少，但是利用抽样推断的方法去解决这类问题，可以有两种途径，因此，抽样推断的内容就有两个方面，即参数估计和假设检验。

这两方面的内容虽然都是利用样本观察值所提供的信息，对总体做出估计或判断，但它们所解决问题的着重点是不同的。

一、参数估计。

由于我们不知道总体数量特征，可以这样考虑即依据所获得的样本观察资料，对所研究对象总体的水平、结构、规模等数量特征进行估计，这种推断方法称为总体参数估计。

二、假设检验。

由于我们对总体的变化情况不了解，不妨先对总体的状况作某种假设，然后在根据抽样推断的原理，根据样本观察对所作假设进行检验，来判断这种假设的真伪，以决定我们行动的取舍，这种推断方法称为总体参数的假设检验。

有关抽样的基本概念一、总体和样本。

总体也称全及总体，指所要认识研究对象的全体。

它是由所研究范围内具有某种共同性质的全体单位所组成的集合体。

总体的单位数通常是很大的，甚至是无限的，一般用N表示总体的单位数。

样本又称子样，它是从全及总体中随机抽取出来的们作为代表这一总体的哪部分单位组成的集合体，样本的单位数是有限的，相对值或标志属性决定的。

第五章抽样估计第五章抽样调查与参数估计在实际的统计分析过程中，由于各种因素的限制，我们很少能够将研究对象中所有单位的数据收集起来进行计算分析。

在很多情况下，我们是进行抽样调查，根据样本的信息对研究对象的数量特征进行推断。

参数估计是一种关于如何利用样本的信息对总体特征做出具有一定可靠程度推断的统计分析方法，它是推断统计中非常重要的方法之一。

本章将介绍抽样调查的基本问题，然后在介绍抽样分布的基础上讨论参数估计的基本原理，最后介绍对一个总体参数进行估计的方法。

第一节抽样调查与抽样的组织形式抽样调查是一种非全面调查，它是按照随机原则从总体中抽取部分调查单位作为样本进行调查，以搜集样本数据的调查形式。

抽样调查获取的样本资料是进行参数估计、方差分析、假设检验等推断统计的基本依据。

一、抽样调查的特点与作用（一）抽样调查的特点抽样调查与其他非全面调查方式相比具有以下特点：1.抽样调查是按随机原则抽取总体单位作为样本的。

随机抽样意味着总体中某个单位被抽中与否，不会受到调查者和被调查者主观愿望的影响，从而保证了样本对总体的代表性。

2.抽样调查得到的样本资料可以用来推断总体数量特征。

依据概率论与数理统计的相关原理，在一定的置信水平下，可以估计出总体的数量特征和状态，这种估计有着坚实的理论基础。

3.用抽样调查的数据估计总体的状况必然产生抽样误差，抽样误差虽不可避免，但它是可以估计和控制的。

（二）抽样调查的作用与优点抽样调查是实际中应用最广泛的一种调查方式，它的作用和优点表现在以下几个方面：1.对于一些不可能或者不必要进行全面调查的现象，可以采用抽样调查的方式。

比如对灯泡的使用寿命、轮胎的里程试验、食品的合格率等破坏性检查就不可能进行全面调查；而对于有些社会经济现象，总体单位数多且分布很广，调查资源有限，就没有必要采用全面调查，这时都可以考虑采用抽样调查，然后据之推断出总体的特征。

2.抽样调查可以对全面调查的资料进行补充和修正。