福建省漳州市第一中学2012-2013学年高三上学期期末考试数学(文科)试卷

2012-2013学年度福建省漳州一中第一学期高三期末考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CDDCDBCBAABA二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．-95 14．10000 15．862+ 16．22nn -解析：经计算21212⨯==S ，22333⨯==S ，23464⨯==S ，245105⨯==S ， 于是猜想22)1(2nn n n S n -=-= 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（Ⅰ）∵⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,2ππx ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,44πππx ，……………………………… 1分∵1024cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ∴10274cos 14sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x ……………………… 3分 ∴4sin)4cos(4cos)4sin(]4)4sin[(sin ππππππ-+-=+-=x x x x5422102221027=⨯+⨯=…………………………………………………6分 （Ⅱ）因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，故53541sin 1cos 22-=⎪⎭⎫⎝⎛--=--=x x …………………7分2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-==x x x x x …………………………9分 所以5037243sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππx x x ……………………………12分 18．（Ⅰ）证明：取BC 中点G ，连结EG AG ,，E G , 分别为1,CB CB 的中点，∴EG //21BB 1，…………………………………2 分 三棱柱111C B A ABC -，AA 1BB 1，D 为AA 1中点 ∴AD21BB 1∴EG AD ∴四边形ADEG 为平行四边形 ∴AG //DE ……………………… 4分又ABC DE ABC AG 平面平面⊄⊂,∴DE //平面ABC ；………………………………………………………………… 6分 （Ⅱ）解：∵BB 1⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ∴AG ⊥BB 1， ∵AB =BC ，G 为BC 中点，∴AG ⊥BC ∴AG ⊥平面B 1BE 又DEAG ，∴DE ⊥平面B 1BE 且DE =AG =23 ∵E 为B 1C 中点 ∴41)1121(21)21(2121111=⨯⨯⨯=⨯⨯==∆∆BB BC S S BC B E BB ∴三棱锥B 1-BDE 的体积24323413131111=⨯⨯=⋅==∆--DE S V V BE B BE B D BDE B … 12分 19．（Ⅰ）解：依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧==22227570a a a S ，即⎪⎩⎪⎨⎧++=+=+)21)(()6(7010511211d a d a d a d a … 2分 解得：a 1=6，d =4。

2011-2012学年龙文中学、澄溪中学、芗城中学、漳州八中、漳州二中 五校联考期末数学文试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 参考公式： 样本数据x1，x2，，xn的标准差 锥体体积公式=V=Sh 其中为样本平均数其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V=Sh ， 其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径一、选择题：（本大题共1小题，每小题5分，共0分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．复数=A．2B．－2C．－2iD．2iCSB C．CSABD．CSA∩CSB=3．△ABC中, a=1， b=，A=30°，则B等于 ( ) A．60° B．60°或120° C．30°或150°D．120° 4．已知向量=(2，1)，=(1，k)，若⊥，则实数k等于（ ） A．3 B． C．-7 D．-2 5．若，则下列正确的是A． B． C． D． ．的图象，只需将函数的图象（ ） A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移 7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A． B．C． D．设、是两个不同的平面，为两条不同的直线，命题：若平面，，，则；命题：，，，则，则下列命题为真命题的是（） A． B． C．　D．且9．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填 入的关于的条件是 （ ） A． B． C． D． 10． 若O(0,0)，其中变量满足约束条件， 则的最大值为（ ） A．0B．1C．-3 D． 11．下列有关命题的说法正确的是 ( )． A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”． B．“”是“”的必要不充分条件． C． D．命题“” 的逆否命题为真命题． 12．已知在上是增函数，则实数的取值范围是( ) A．B．C．　D． 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分) 13.已知函数，若，则=. 14. 一个空间几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 . 15.过点C为圆心，当时，直线l的方程 ． 16. 设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 λ∈R)， (μ∈R)，且则称，调和分割， 已知点(c，o)D(d，O) (c，d∈R)调和分割点A(0，)，B(1，)。

2012-2013学年度福建省漳州一中第一学期高三期末考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（以下每题有且只有一个正确选项，每小题5分，共50分） 1．已知全集}5,4,3,2{=U ，}5,4,3{　=M ，}5,4{　=N ，则 A ．{4}MN =B ．M N U =C ．()U C N M U ⋃=D ．()U C M N N =2．若b a 、为任意非零实数，且b a >，则下列不等式成立的是A ．ba 11<B ．1<abC ．0)lg(>-b aD ．b a )31()31(<3．命题p ：函数12)(2+-=ax x x f 在(1,)+∞上是增函数，命题q ：x x f a log )(=（0>a 且1≠a ）在),0(+∞是减函数，则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等比数列{}n a 中，11a =，且22a ，33a ，44a 成等差数列，则3a 等于A ．0B ．14C ．1D ．41或1 5．如图，长方形的四个顶点为)0,4(),0,0(A O ，),2,4(B )2,0(C ，曲线x y =经过点,B 现将一质点随机投入长方形OABC 中，则质点落在图中阴影区域的概率是A ．32 B ．43 C ．74 D ．127 6．如图所示是三棱锥D —ABC 的三视图，若在三棱锥的直观图中，点O 为线段BC 的中点，则异面直线DO 与AB 所成角的余弦值等于A ．66B ．36C ．33D ．55 7．已知函数)6(sin 22cos 1)(2π--+=x x x f ，其中R x ∈，则下列结论中正确的是A ．)(x f 是最小正周期为π的偶函数B ．)(x f 的一条对称轴是3π=xC ．)(x f 的最大值为2D ．将函数x y 2sin 3=的图象左移6π得到函数)(x f 的图象 8．高一（1）班进行的演讲比赛中，共有6位选手参加，其中4位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，则6位选手出场顺序的排法种数为A ．320B ．384C ．408D ．4809．定义：若平面点集A 中的任一个点)(00y x ，，总存在正实数r ，使得集合：A r y y x x y xB ⊆<-+-=})()(|),{(2020，则称A 为一个开集.给出下列集合：①{}4|),(22=+y x y x ②{}012|),(>-+y x y x③{}4|||),(≤+y x y x ④{}1)2(0|),(22<++<y x y x其中为开集的集合是A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④10．已知函数x e exx f -=ln )(，若)(503)2013(20121b a ke f k +=∑=，则22b a +的最小值为 A ．6 B ．8 C ．9 D ．12二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11． ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0)4(0)21()(x x f x x f x，则=)2013(f ________。

2012-2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1．已知集合2{|1},{|20}A x x B x x x =≤=-<，则A B = （ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．(]0,1D ．[)1,1-2．已知向量a =(1,2)-，b =(,2)x ，若a ⊥b ，则||b =( ) A ．5 B ．25 C ．5 D ．203．已知四棱锥P —ABCD 的三视图如右图所示，则四棱锥P —ABCD 的体积为（ ）A ．13B ．23C ．34D ．384．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()sin(3)()3f x x x R π=+∈B ．()sin(2)()6f x x x R π=+∈C ．()sin()()3f x x x R π=+∈D ．()sin(2)()3f x x x R π=+∈5．双曲线12222=-by a x 的离心率为3,则它的渐近线方程是A ．x y 2±=B ．x y 22±= C ．x y 2±= D ．x y 21±=6．在ABC ∆中，1310tan ,cos 210A B ==，则tan C 的值是（ ）A ．-1B ．1C ．3D ．-27．设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，有下列四个命题： ①若,,;m m βαβα⊂⊥⊥则 ②若//,,//;m m αβαβ⊂则③若,,,;n n m m αβαβ⊥⊥⊥⊥则 ④若,,,.m m αγβγαβ⊥⊥⊥⊥则 其中正确命题的序号是 （ ）A ．①③B ．①②C ．③④D ．②③8．两个正数a 、b 的等差中项是5,2一个等比中项是6,,a b >且则双曲线22221x y a b -=的离心率e 等于 （ ）A ．32B ．53C ．133D ．139．由直线2+=x y 上的点向圆()()22421x y -++= 引切线，则切线长的最小值为( )A ．30B ．31C ．24D ．33 10．数列{}n a 中，372,1a a ==，且数列1{}1n a +是等差数列，则11a 等于（ ）A ．25-B ．12C ．23D ．511．三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的表面积是( )A ．202π B.252π C.50π D.200π12．已知函数(1)f x +是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数1x 、2x ，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式(1)0f x -<的解集为（ ）A ．()1,+∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．(),1-∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省漳州市一中2007-2008学年上学期期末考试高三数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的选项填在答题卷上. 1.(sin75sin15)(cos15cos75)-+的值是A.1B.12C.22.定义：a b ad bc c d =-.若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于 A.1i +B.1i -C.3i +D.3i -3.已知命题p ：不等式12x x m -++>的解集为R ；命题q ：(52)()log m f x x -=为减函数. 则p 是q 成立的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若αβ、是两个不重合的平面，给定以下条件：①αβ、都垂直于平面γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；③l m 、是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；④l m 、是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β. 其中可以判断α∥β的是: A.①②B.②③C.②④D.④5.从集合{1, 2, 3, , 10}中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为3的概率是 A.12B.13C.16D.1606.过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于1122(,), (,)P x y Q x y 两点，若126x x +=，则||PQ =A.5B.6C.8D.107.已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项的和为n S ，则45S a 与54S a 的大小关系是 A.4554S a S a <B.4554S a S a >C.4554S a S a =D.不确定8.已知O 为坐标原点，(, )OP x y =，(1, 1)OA =，(2, 1)OB =，若2OA OP ⋅≤，且0, 0x y >>，则2PB 的取值范围为A.⎣ B.1, 52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. [)1, 2D. [)1, 4 9.若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为 A.8B.12C.16D.2010.已知椭圆的离心率为e ，左右焦点分别为12F F 、，抛物线C 以1F 为顶点，2F 为焦点，点P 为抛物线和椭圆的一个交点，若21e PF PF =，则e 的值为C.2D.1211.在数列{}n a 中，如果存在非零的常数T ，使得n T n a a +=对于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期. 已知数列{}n x 满足21||()n n n x x x x N *++=-∈，若121, (1,0)x x a a a ==≤≠，当数列{}n x 的周期为3时，则数列{}n x 的前2008项的和2008S 为 A.669B.670C.1338D.133912.函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[], a b D ⊆，()a b <使得()f x 在[], a b 上的值域也是[], a b ，则称()y f x =为闭函数.若()f x k =k 的取值范围是A., ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭14 B.1, 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.1, 04⎛⎤- ⎥⎝⎦D.11, 24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案写在．．．．．．答题卷的相应位置．．．．．．．．上．. 13.在二项式(1) (1,nx n n N +>∈的展开式中，含2x 项的系数记为n a ，则23111lim()n na a a →∞+++的值为 . 14.已知函数()f x 满足：()()()f p q f p f q +=⋅，(1)3f =，则2(1)(2)(1)f f f ++2(2)(4)(3)f f f ++2(3)(6)(5)f f f ++2(4)(8)(7)f f f += .15.双曲线221 916x y -=的两个焦点为12F F 、，点P 在该双曲线上，若120PF PF ⋅=，则点P 到x 轴的距离为 .16.设A B C D 、、、是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0A B A C ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.12+12+12+12+12+14 =74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知A B 、是△ABC 的两个内角，向量2cos , sin 22A B A Ba +-=（）， 若6||a =. （Ⅰ）试问B A tan tan ⋅是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由； （Ⅱ）求C tan 的最大值，并判断此时三角形的形状.18.一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，已知得0分的概率为61，用随机变量ξ表示取2个球的总得分. （Ⅰ）求袋子内黑球的个数； （Ⅱ）求ξ的分布列； （Ⅲ）求ξ的数学期望.19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90ADC DCB ∠=∠=，1AD =，3BC =，2PC CD ==，PC ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点.（Ⅰ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PC 与平面PDE 所成的角； （Ⅲ）求点B 到平面PDE 的距离.DPEABC20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+)2(≥n . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若2[lg(2)lg ] (01)n n n n c t t a t +=+<<，且数列{}n c 中的每一项总小于它后面的项，求实数t 的取值范围.21.已知12(2, 0), (2, 0)F F -，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.（i ）设点(, 0)M m ，问：是否存在实数m ，使得直线l 绕点2F 无论怎样转动，都有0MP MQ ⋅=成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.（ii ）过P 、Q 作直线12x =的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记 ||||||PA QB AB λ+=，求λ的取值范围.22.已知函数33()2() ()f x x m x m N *=+-∈.（Ⅰ）若1x 、2(0, )x m ∈，求证：①333121222x x x x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭；②1212()()22x x f x f x f +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）若()n a f n =，1,2,,1n m =-，其中3, m m N ≥∈，求证：1122m m a a a a --+≥+；（Ⅲ）对于任意的a 、b 、2, 23m m c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，问：以()()()f a f b f c 、、的值为长的三条线段是否可构成三角形？请说明理由.[参考答案]一、选择题：13. 2 14. 24 15. 16516. 8 三、解答题： 17.解：（Ⅰ）由条件223||2a ==………………………………………………（2分） 221cos()2cos sin 1cos()222A BA B A B A B +---=+=+++ ∴1cos()cos()2A B A B +=-………………………………………………………（4分） ∴3sin sin cos cos A B A B = ∴1tan tan 3A B ⋅=为定值.………………………（6分） （Ⅱ）tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B+=-+=--………………………………………（7分）由（Ⅰ）知1tan tan 3A B ⋅=，∴tan ,tan 0A B >………………………………（8分） 从而3tan (tan tan )2C A B =-+≤322-⋅=10分） ∴取等号条件是tan tan 3A B ==， 即6A B π== 取得最大值，∴此时ΔABC 为等腰钝角三角形…………………………………………………（12分）18.解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n ，则2251(0)6n n C p C ξ+===……………………（2分）化简得：2340n n --=，解得4n =或1n =-（舍去），即有4个黑球………（4分）（Ⅱ）11432911(0), (1),63C C p p C ξξ⋅===== 2113242911(2)36C C C p C ξ+⋅=== 112322229911(3), (4)636C C C p p C C ξξ⋅======…………………………………（8分）PEABD CHF∴ξ的分布列为（直接写不扣分）……………………………………………………………………（9分） （Ⅲ）914361461336112311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………………（12分） 19.解法一：（Ⅰ）设AC 与DE 交点为G ，延长DE 交CB 的延长线于点F ， 则DAE FBE ∆≅∆，∴1BF AD ==，∴4CF =，∴1tan 2DC F CF ∠==， 又∵1tan 2AD ACD DC ∠==，∴F ACD ∠=∠， 又∵90ACD ACF ∠+∠=，∴90F ACF ∠+∠=， ∴90CGF ∠=，∴AC DE ⊥又∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC DE ⊥，∴DE ⊥平面PAC ，∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAC …………………………………（4分） （Ⅱ）连结PG ，过点C 作CH PG ⊥于H 点， 则由（Ⅰ）知平面PDE ⊥平面PAC ， 且PG 是交线，根据面面垂直的性质， 得CH ⊥平面PDE ，从而CPH ∠即CPG ∠为直线PC 与平面PDE 所成的角.在Rt DCA ∆中，2CD CG AC=2==， 在Rt PCG ∆中，tan CPG ∠CGPC=52==所以有CPG ∠=，即直线PC 与平面PDE 所成的角为arctan 5…………………………………（8分） （Ⅲ）由于14BF CF =，所以可知点B 到平面PDE 的距离等于点C 到平面PDE 的距离y的14，即14CH . 在Rt PCG ∆中，243CH ===， 从而点B 到平面PDE 的距离等于13………………………………………………（12分） 解法二：如图所示，以点C 为坐标原点， 直线,,CD CB CP 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系C xyz -， 则相关点的坐标为(0,0,0),(2,1,0)C A(0,3,0)B ，(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(1,E （Ⅰ）由于(1,2,0)DE =-，(2,1,0)CA =，(0,0,2)CP =， 所以(1,2,0)(2,1,0)0DE CA ⋅=-⋅=，(1,2,0)(0,0,2)0DE CP ⋅=-⋅=，所以,DE CA DE CP ⊥⊥， 而CPCA C =，所以DE ⊥平面PAC ，∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAC ……………………………………………………………（4分） （Ⅱ）设(,,)n x y z =是平面PDE 的一个法向量，则0n DE n PE ⋅=⋅=， 由于(1,2,0)DE =-，(1,2,2)PE =-，所以有(,,)(1,2,0)20(,,)(1,2,2)220n DE x y z x y n PE x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩， 令2x =，则1,2y z ==，即(2,1,2)n =，再设直线PC 与平面PDE 所成的角为α，而(0,0,2)PC =-， 所以|(2,1,2)(0,0,2)|2sin |cos ,||(2,1,2)||(0,0,2)|3||||n PC n PC n PC α⋅⋅-=<>===⋅-⋅， ∴2arcsin3α=，因此直线PC 与平面PDE 所成的角为2arcsin 3………………（8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知(2,1,2)n =是平面PDE 的一个法向量，而(1,1,0)BE =-， 所以点B 到平面PDE 的距离为|||(2,1,2)(1,1,0)|1|(2,1,2)|3n BE d n⋅⋅-===………（12分）20.解：（Ⅰ）11335n n n n S S a a ---=-，∴12n n a a -=，112n n a a -=……………………（2分）∵12a =，∴1212()22n n n a --==…………………………………………………（4分）（Ⅱ）2(21)2n n b n -=-，0120121 123252(21)21 1232(23)2(21)22n n nnn T n T n n -----⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩，，………（6分）∴0121122(222)(21)22n n n T n ---=+⨯+++--⨯11112[1(2)]2(21)212n n n -----=+--- ∴212(23)2n n T n -=-+⨯……………………………………………………………（8分） （Ⅲ）(lg2lg lg2)lg n n n n c t n n t nt t -=++=， ∵1n n c c +<，∴11lg lg n n n n t t t t ++<，∵01t <<，∴lg (1)lg n t t n t <+.………………………………………………（10分） ∵lg 0t <，∴(1),1nn t n t n >+⇔<+ ∵11,1121n n N n n*∈=≥++，∴102t <<.………………………………………（12分）21.解：（Ⅰ）由12||||2PF PF -=<12||F F 知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，由2,22c a ==，∴23b =，故轨迹E 的方程为).1(1322≥=-x y x …（3分） （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2222=++--k x k x k ，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ，∴2212221223004034303k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩， 解得23k > ………………………………………（5分） （i ）∵1212()()MP MQ x m x m y y ⋅=--+212122222121222222222()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m kk k =--+--=+-+++++++=-++--2223(45)3m k m k -+=+-……………………（7分） 假设存在实数m ，使得0MP MQ ⋅=，故得2223(1)(45)0m k m m -+--=对任意的32>k 恒成立，∴2210450m m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得 1.m =-∴当1m =-时，0MP MQ ⋅=.当直线l 的斜率不存在时，由(2,3),(2,3)P Q -及(1,0)M -知结论也成立，综上，存在1m =-，使得0MP MQ ⋅=. …………………………………………（8分）（ii ）∵1,2a c ==，∴直线12x =是双曲线的右准线，…………………………（9分） 由双曲线定义得：2211||||||2PA PF PF e ==，21||||2QB QF =，方法一：∴21||2||PQ AB λ==21=== …………………………………………（10分）∵23k >，∴21103k <<，∴12λ<<………………………………………（11分） 注意到直线的斜率不存在时，21|,|||==λ此时AB PQ ， 综上，.33,21⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈λ ………………………………………………………………（12分） 方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，∴233ππθ<<，过Q 作QC PA ⊥，垂足为C ，则||2PQC πθ∠=-，∴||||2||2||PQ PQ AB CQ λ==112sin 2cos()2πθθ==-……………………………………………………（10分）由233ππθ<<sin 1,θ<≤故：1,23λ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭……………………………………………………………（12分）22.解：（Ⅰ）①要证：3213231)2(2x x x x +≥+， 只需证：32122212121)2(2))((x x x x x x x x +≥+-+， ∵12(0,)x x m ∈、，则120x x +>，∴只需证：22221122112124x x x x x x x x ++-+≥，即212()0x x -≥，∵212()0x x -≥成立，∴333121222x x x x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立.……………………………（4分）②又∵12()(0, ), ()(0, )m x m m x m -∈-∈,由①得：3333121212()()2222m x m x x x m x m x m -+-+⎛⎫⎛⎫-+-≥⋅=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且333121222222x x x x +⎛⎫+≥⋅ ⎪⎝⎭，上述两式相加得：)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+.………………………………（6分） （Ⅱ）3m =时显然成立，3m >时，由（Ⅰ）得：1322a a a +>，3422a a a >+，4532a a a >+，……，2132--->+m m m a a a .各式相加得：2211--+≥+m m a a a a ………………………………………………（10分） 说明：直接用比较法证明)2()2()1()1(-+≥-+m f f m f f 的同样给分.（Ⅲ）2222'()63()363f x x m x x mx m =--=+-223(2)x mx m =+-………（11分）由'()0f x >得1)x m >或(1)x m <，∵1)2m m >，∴()f x 在2,23m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数， ∴3min 83)2()(m m f x f ==，3max 2717)32()(m m f x f ==， ∴33333331788427m m m m +=>恒成立， ∴以()()()f a f b f c 、、的值为长的三条线段一定能构成三角形………………（14分）。

福建省漳州一中2007-2008学年度高三数学上学期期末考试试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的选项填在答题卷上.1.(sin75sin15)(cos15cos75)-+的值是A.1B.122.定义：a b ad bc c d =-.若复数z 满足112z i i i=-+-，则z 等于A.1i +B.1i -C.3i +D.3i -3.已知命题p ：不等式12x x m -++>的解集为R ；命题q ：(52)()log m f x x -=为减函数. 则p 是q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若αβ、是两个不重合的平面，给定以下条件：①αβ、都垂直于平面γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；③l m 、是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；④l m 、是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β. 其中可以判断α∥β的是:A.①②B.②③C.②④D.④ 5.从集合{1, 2, 3, , 10}中随机取出6个不同的数，在这些选法中，第二小的数为3的概率是 A.12B.13C.16D.1606.过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于1122(,), (,)P x y Q x y 两点，若126x x +=，则||PQ = A.5B. 6C.8D.107.已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项的和为n S ，则45S a 与54S a 的大小关系是A.4554S a S a <B.4554S a S a >C.4554S a S a =D.不确定8.已知O 为坐标原点，(, )OP x y =，(1, 1)OA =，(2, 1)OB =，若2OA OP ⋅≤，且0, 0x y >>，则2PB 的取值范围为A. ⎣B. 1, 52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. [)1, 2D. [)1, 49.若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b +的最小值为 A.8 B.12C.16D.2010.已知椭圆的离心率为e ，左右焦点分别为12F F 、，抛物线C 以1F 为顶点，2F 为焦点，点P 为抛物线和椭圆的一个交点，若21e PF PF =，则e 的值为C.2D.1211.在数列{}n a 中，如果存在非零的常数T ，使得n T n a a +=对于任意正整数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期. 已知数列{}n x 满足21||()n n n x x x x N *++=-∈，若121, (1,0)x x a a a ==≤≠，当数列{}n x 的周期为3时，则数列{}n x 的前2008项的和2008S 为 A.669B.670C.1338D.133912.函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在[], a b D ⊆，()a b <使得()f x 在[], a b 上的值域也是[], a b ，则称()y f x =为闭函数. 若()f x k =k 的取值范围是A., ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭14 B.1, 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C.1, 04⎛⎤- ⎥⎝⎦D.11, 24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案写在．．．．．．答题卷的相应．．．．．．位置．．上．. 13.在二项式(1) (1,)n x n n N +>∈的展开式中，含2x 项的系数记为n a ，则23111lim()n na a a →∞+++的值为 . 14.已知函数()f x 满足：()()()f p q f p f q +=⋅，(1)3f =，则2(1)(2)(1)f f f ++2(2)(4)(3)f f f ++2(3)(6)(5)f f f ++2(4)(8)(7)f f f += .15.双曲线221 916x y -=的两个焦点为12F F 、，点P 在该双曲线上，若120PF PF ⋅=，则点P 到x 轴的距离为 .16.设A B C D 、、、是半径为2的球面上的四个不同点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AD AB ⋅=，用123S S S 、、分别表示△ABC 、△A C D 、△ABD 的面积，则123S S S ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.12+12+12+12+12+14 =74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知A B 、是△ABC 的两个内角，向量2cos , sin 22A B A Ba +-=（），若6||a =.（Ⅰ）试问B A tan tan ⋅是否为定值？若为定值，请求出；否则请说明理由； （Ⅱ）求C tan 的最大值，并判断此时三角形的形状.18.一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，已知得0分的概率为61，用随机变量ξ表示取2个球的总得分. （Ⅰ）求袋子内黑球的个数； （Ⅱ）求ξ的分布列； （Ⅲ）求ξ的数学期望.19.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90ADC DCB ∠=∠=，1AD =，3BC =，2PC CD ==，PC ⊥底面ABCD ，E 为AB 的中点. （Ⅰ）求证：平面PDE ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求直线PC 与平面PDE 所成的角； （Ⅲ）求点B 到平面PDE 的距离.20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+)2(≥n .DPEABC（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）若2[lg(2)lg ] (01)n n n n c t t a t +=+<<，且数列{}n c 中的每一项总小于它后面的项，求实数t 的取值范围.21.已知12(2, 0), (2, 0)F F -，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.（i ）设点(, 0)M m ，问：是否存在实数m ，使得直线l 绕点2F 无论怎样转动，都有0MP MQ ⋅=成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.（ii ）过P 、Q 作直线12x =的垂线PA 、QB ，垂足分别为A 、B ，记||||||PA QB AB λ+=，求λ的取值范围.22.已知函数33()2() ()f x x m x m N *=+-∈.（Ⅰ）若1x 、2(0, )x m ∈，求证：①333121222x x x x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭；②1212()()22x x f x f x f +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）若()n a f n =，1,2,,1n m =-，其中3, m m N ≥∈，求证：1122m m a a a a --+≥+；（Ⅲ）对于任意的a 、b 、2, 23m m c ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，问：以()()()f a f b f c 、、的值为长的三条线段是否可构成三角形？请说明理由.漳州一中2007-2008学年上学期期末考试高三数学（理）参考答案13. 2 14. 24 15.16516. 8 三、解答题：17.解：（Ⅰ）由条件223||2a ==………………………………………………（2分） 221cos()2cos sin 1cos()222A B A B A B A B +---=+=+++ ∴1cos()cos()2A B A B +=-………………………………………………………（4分）∴3sin sin cos cos A B A B = ∴1tan tan 3A B ⋅=为定值.………………………（6分）（Ⅱ）tan tan tan tan()1tan tan A BC A B A B +=-+=--………………………………………（7分）由（Ⅰ）知1tan tan 3A B ⋅=，∴tan ,tan 0A B >………………………………（8分）从而3tan (tan tan )2C A B =-+≤322-⋅=10分）∴取等号条件是tan tan A B ==， 即6A B π== 取得最大值，∴此时ΔABC 为等腰钝角三角形…………………………………………………（12分）18.解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n ，则2251(0)6n n C p C ξ+===……………………（2分）化简得：2340n n --=，解得4n =或1n =-（舍去），即有4个黑球………（4分）（Ⅱ）11432911(0), (1),63C C p p C ξξ⋅===== 2113242911(2)36C C C p C ξ+⋅=== 112322229911(3), (4)636C C C p p C C ξξ⋅======…………………………………（8分）∴ξ的分布列为PEABDCHF（直接写不扣分）……………………………………………………………………（9分）（Ⅲ）914361461336112311610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………………（12分） 19.解法一：（Ⅰ）设AC 与DE 交点为G ，延长DE 交CB 的延长线于点F ，则DAE FBE ∆≅∆，∴1BF AD ==，∴4CF =，∴1tan 2DC F CF ∠==， 又∵1tan 2AD ACD DC ∠==，∴F ACD ∠=∠， 又∵90ACD ACF ∠+∠=，∴90F ACF ∠+∠=， ∴90CGF ∠=，∴AC DE ⊥又∵PC ⊥底面ABCD ，∴PC DE ⊥，∴DE ⊥平面PAC ，∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAC …………………………………（4分） （Ⅱ）连结PG ，过点C 作CH PG ⊥于H 点，则由（Ⅰ）知平面PDE ⊥平面PAC ， 且PG 是交线，根据面面垂直的性质， 得CH ⊥平面PDE ，从而CPH ∠即CPG ∠为直线PC 与平面PDE 所成的角.在Rt DCA ∆中，2CD CG AC=2==， 在Rt PCG ∆中，tan CPG∠CGPC=52==所以有CPG ∠=，即直线PC 与平面PDE 所成的角为arctan 5…………………………………（8分） （Ⅲ）由于14BF CF =，所以可知点B 到平面PDE 的距离等于点C 到平面PDE 的距离的14，即14CH .在Rt PCG ∆中，243CH ===，y从而点B 到平面PDE 的距离等于13………………………………………………（12分） 解法二：如图所示，以点C 为坐标原点， 直线,,CD CB CP 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系C xyz -， 则相关点的坐标为(0,0,0),(2,1,0)C A(0,3,0)B ，(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(1,E （Ⅰ）由于(1,2,0)DE =-，(2,1,0)CA =，(0,0,2)CP =，所以(1,2,0)(2,1,0)0DE CA ⋅=-⋅=，(1,2,0)(0,0,2)0DE CP ⋅=-⋅=，所以,DE CA DE CP ⊥⊥， 而CPCA C =，所以DE ⊥平面PAC ，∵DE ⊂平面PDE ，∴平面PDE ⊥平面PAC ……………………………………………………………（4分）（Ⅱ）设(,,)n x y z =是平面PDE 的一个法向量，则0n DE n PE ⋅=⋅=， 由于(1,2,0)DE =-，(1,2,2)PE =-，所以有(,,)(1,2,0)20(,,)(1,2,2)220n DE x y z x y n PE x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩， 令2x =，则1,2y z ==，即(2,1,2)n =，再设直线PC 与平面PDE 所成的角为α，而(0,0,2)PC =-，所以|(2,1,2)(0,0,2)|2sin |cos ,||(2,1,2)||(0,0,2)|3||||n PC n PC n PC α⋅⋅-=<>===⋅-⋅， ∴2arcsin3α=，因此直线PC 与平面PDE 所成的角为2arcsin 3………………（8分） （Ⅲ）由（Ⅱ）知(2,1,2)n =是平面PDE 的一个法向量，而(1,1,0)BE =-，所以点B 到平面PDE 的距离为|||(2,1,2)(1,1,0)|1|(2,1,2)|3n BE d n⋅⋅-===………（12分）20.解：（Ⅰ）11335n n n n S S a a ---=-，∴12n n a a -=，112n n a a -=……………………（2分） ∵12a =，∴1212()22n n n a --==…………………………………………………（4分）（Ⅱ）2(21)2n n b n -=-，0120121 123252(21)21 1232(23)2(21)22n n nnn T n T n n -----⎧=⨯+⨯+⨯++-⨯⎪⎨=⨯+⨯++-⨯+-⨯⎪⎩，，………（6分）∴0121122(222)(21)22n n n T n ---=+⨯+++--⨯11112[1(2)]2(21)212n n n -----=+--- ∴212(23)2n n T n -=-+⨯……………………………………………………………（8分） （Ⅲ）(lg2lg lg2)lg n n n n c t n n t nt t -=++=， ∵1n n c c +<，∴11lg lg n n n n t t t t ++<，∵01t <<，∴lg (1)lg n t t n t <+.………………………………………………（10分） ∵lg 0t <，∴(1),1n n t n t n >+⇔<+ ∵11,1121n n N n n*∈=≥++，∴102t <<.………………………………………（12分）21.解：（Ⅰ）由12||||2PF PF -=<12||F F 知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，由2,22c a ==，∴23b =，故轨迹E 的方程为).1(1322≥=-x y x …（3分） （Ⅱ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2222=++--k x k x k ，设11(,)P x y 、22(,)Q x y ， ∴2212221223004034303k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩， 解得23k > ………………………………………（5分） （i ）∵1212()()MP MQ x m x m y y ⋅=--+212122222121222222222()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433x m x m k x x k x x k m x x m k k k k k m m k k k =--+--=+-+++++++=-++--2223(45)3m k m k -+=+-……………………（7分） 假设存在实数m ，使得0MP MQ ⋅=，故得2223(1)(45)0m k m m -+--=对任意的32>k 恒成立，∴2210450m m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得 1.m =- ∴当1m =-时，0MP MQ ⋅=.当直线l 的斜率不存在时，由(2,3),(2,3)P Q -及(1,0)M -知结论也成立，综上，存在1m =-，使得0MP MQ ⋅=. …………………………………………（8分）（ii ）∵1,2a c ==，∴直线12x =是双曲线的右准线，…………………………（9分） 由双曲线定义得：2211||||||2PA PF PF e ==，21||||2QB QF =，方法一：∴2121|||2||2||x x PQ AB y y λ-==-2121|2|()|x x k x x -=-2||k == …………………………………………（10分） ∵23k >，∴21103k <<，∴123λ<<………………………………………（11分） 注意到直线的斜率不存在时，21|,|||==λ此时AB PQ ， 综上，.33,21⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈λ ………………………………………………………………（12分） 方法二：设直线PQ 的倾斜角为θ，由于直线PQ 与双曲线右支有二个交点，∴233ππθ<<，过Q 作QC PA ⊥，垂足为C ，则||2PQC πθ∠=-， ∴||||2||2||PQ PQ AB CQ λ==112sin 2cos()2πθθ==- ……………………………………………………（10分）由233ππθ<<sin 1,θ<≤故：12λ⎡∈⎢⎣⎭ ……………………………………………………………（12分）22.解：（Ⅰ）①要证：3213231)2(2x x x x +≥+， 只需证：32122212121)2(2))((x x x x x x x x +≥+-+， ∵12(0,)x x m ∈、，则120x x +>，∴只需证：22221122112124x x x x x x x x ++-+≥，即212()0x x -≥， ∵212()0x x -≥成立，∴333121222x x x x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立.……………………………（4分） ②又∵12()(0, ), ()(0, )m x m m x m -∈-∈, 由①得：3333121212()()2222m x m x x x m x m x m -+-+⎛⎫⎛⎫-+-≥⋅=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 且333121222222x x x x +⎛⎫+≥⋅ ⎪⎝⎭， 上述两式相加得：)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+.………………………………（6分） （Ⅱ）3m =时显然成立，3m >时，由（Ⅰ）得：1322a a a +>，3422a a a >+，4532a a a >+，……，2132--->+m m m a a a .各式相加得：2211--+≥+m m a a a a ………………………………………………（10分） 说明：直接用比较法证明)2()2()1()1(-+≥-+m f f m f f 的同样给分.（Ⅲ）2222'()63()363f x x m x x mx m =--=+-223(2)x mx m =+-………（11分）由'()0f x >得1)x m >或(1)x m <，∵1)2m m >，∴()f x 在2,23m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数， ∴3min 83)2()(m m f x f ==，3max 2717)32()(m m f x f ==， ∴33333331788427m m m m +=>恒成立， ∴以()()()f a f b f c 、、的值为长的三条线段一定能构成三角形………………（14分）。

福建省2013届高三文科数学试题一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1、设复数z 满足2z i i ⋅=-，i 为虚数单位，则=z （ ）A 、2i -B 、12i +C 、12i -+D 、12i --2、设f (x )＝3x －x 2，则在下列区间中，使函数f (x )有零点的区间是( )A ．（0,1）B ．（1,2）C ．(－2，－1)D ．(－1,0) 3、集合2{|20}A x x x =-≤，{|lg(1)}B x y x ==-，则A B 等于 （ ）A 、{|01}x x <≤B 、{|12}x x ≤<C 、{|12}x x <≤D 、{|01}x x ≤<4、已知向量,a b满足||1,||1a b a b ==⋅= ,则a 与b的夹角为 ( )A 、3π B 、34π C 、4π D 、6π5．已知等差数列{}n a 满足32=a ，)2(,171≥=-n a n ，100=n S ，则n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．116.已知A 是三角形A B C 的内角，则“1cos 2A =”是“23sin =A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7. 已知0<a <1，b >1，且ab >1，则M ＝log a 1b ，N ＝log a b ，P ＝log b 1b ，则这三个数的大小关系为( )A ．P <N <MB ．N <P <MC ．N <M <PD ．P <M <N8.已知m ,n ，l 为三条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B ．l l ⇒⊥⊥βαβ,∥αC ．,//m m n n αα⊥⊥⇒D ．α∥,l l βαβ⊥⇒⊥9．某同学设计右面的程序框图用以计算和式222212320++++ 的值，则在判断框中应填写A ．19i ≤B ．19i ≥C ．20i ≤D ．21i ≤10．若变量x y ，满足约束条件30101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最大值为A ．1-B ．0C ．3D ．411．则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．（1，2）B ．(,2]-∞-C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．(,1][2,)-∞⋃+∞12．椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为21,x x 则点),(21x x P 位置（ ）A ．必在圆222=+y x 内B ．必在圆222=+y x 上C ．必在圆222=+y x 外D ．以上三种情况都有可能ks5u二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13． 已知函数1)(23++=ax x x f 的导函数为偶函数，则=a .14.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为______． 15．一个空间几何体的三视图(单位：cm )如图所示，则该几何体的体积为_______3cm ．16.记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅,, , 时， 观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-， 6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= .三、解答题（本题共6小题，共74分。

2011-2012学年龙文中学、澄溪中学、芗城中学、漳州八中、漳州二中五校联考期末数学文试题（考试时间：120分钟 总分：150分）参考公式：样本数据x 1，x 2，… ，x n 的标准差 锥体体积公式s V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数22)1(ii += （ ） A ．2 B ．－2 C ．－2i D ．2i2．设全集S ={a ，b ，c ，d ，e }，集合A ={a ，c }，B ={b ，e }，则下面论断正确的是 （ ）A ．A ∪B =SB ．A ⊆C S BC ．C S A BD ．C S A ∩C S B=φ3．△ABC 中, a = 1， b =3，A=30°，则B 等于 ( )A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120° 4．已知向量a =(2，1)，b a +=(1，k )，若⊥b ，则实数k 等于 （ ）A ．3B ．21C ．-7D ．-25．若10<<<y x ，则下列不等式正确的是( )A ．x y 33<B ．3log 3log y x <C ．y x 44log log <D ．y x )41()41(<6．要得到函数x y 2sin =的图象，只需将函数)32sin(π-=x y 的图象（ ）A ．向右平移π6B ．向右平移π3 C ．向左平移π3D7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为 （ ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-= 8．设α、β是两个不同的平面，m l 、为两条不同的直线，命题p ：若平面βα//，α⊂l ，β⊂m ，则m l //；命题q ：α//l ，l m ⊥，β⊂m ，则αβ⊥，则下列命题为真命题的是 （ ）A ．p 或qB ．p 且qC ．p 或q ⌝D ．p 且q ⌝9．若框图所给的程序运行结果为90=S ，那么判断框中应填 入的关于k 的条件是 （ ） A ．9=k B ．8≤k C ．8<k D ．8>k10． 若O(0,0)，),,(),1,2(y x M A -其中变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+10103y y x y x ，则OM OA ∙的最大值为（ ） A ．0B ．1C ．-3D ．2-11．下列有关命题的说法正确的是 ( )．A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．垂直的充要条件和直线”是直线“00112=-=++=ay x y x a a D ．命题“042,2≥+-∈∀x x R x ” 的逆否命题为真命题．12．已知⎩⎨⎧<--+--≥=)0(43)1()0()(232x a a x a x x x x f 在),(+∞-∞上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．]1,(-∞B ．]1,1[-C ． )1,(-∞D ．]4,1[-二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)13.已知函数⎩⎨⎧>≤+-=0,log 0,52)(22x x x x x x f ，若3)(=a f ，则a = .14. 一个空间几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 . 15.过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x -3)2+(y -4)2=25交于A ，B 两点，C 为圆22心，当2=+时，直线l 的一般式方程为 ．16. 设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)， 1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o ),D(d ，O )(c ，d∈R )的调和分割点为A(0，0)，B(1，0)。

福建省漳州市一中2007-2008学年上学期期末考试高三数学（文科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合}06|{2<--∈=x x R x A ,}22|{<-∈=x R x B ,则B A 等于 A.}20|{<<x x B.}32|{<<x x C.}30|{<<x x D.}3|{>x x2.已知513cos α=,且α是第四象限的角,则=-)2tan(απ A.125-B.125C.125±D.512±3.βα,为平面，m 为直线，如果βα//，那么“α//m ”是“β⊂m ”的 A .必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.用数字5,4,3,2,1,0可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 A.288个 B.240个 C.144个 D.126个5.如图,线段AB 与CD 互相平分,则→-BD 可以表示为 A.→-→--CD AB B.)(→-→---CD ABC.)(21→-→--CD ABD.)(21→-→---CD AB 6.在R 上定义运算⊗:)1(y x y x -=⊗，若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是A.)1 1(，- B.)2,0( C.)2321(，- D.)21 23(，- 7.ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边的长分别为a 、b 、c ，设向量),(b c a p +=→，),(a c a b q --=→，若→→q p //，则角C 的大小为A.6π B.3π C.2π D.32π 8.有穷数列1,32,62,92,632,+n 的项数是A.73+nB.63+nC.3+nD.2+n9.若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点,k 的取值范围是A.)315,315(-B.)315,0(C.)0,315(- D.)1,315(-- 10.关于x 的不等式a a x x 2|||2|≥-+-在R 上恒成立,则实数a 的最大值为 A.0 B.32 C.1D.2-11.在长方体ABCD A B C D -1111中，B C 1 和C D 1与底面所成的角分别为60︒和45︒，则异面直线B C 1 和C D 1所成角的余弦值为 A.64B.63C.26D.3612.当x 、y 满足条件1<+y x 时，变量x y u 3-=的取值范围是 A.)31 31(，- B.)31 ()31(∞+--∞，， C.)3 3(，- D.),3()3(+∞--∞ ，二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是 .14.已知平面上三点A 、B 、C 满足3||=→-AB ，4||=→-BC ，5||=→-CA ，则→-→-→-→-→-→-⋅+⋅+⋅AB CA CA BC BC AB 的值等于 .15.已知椭圆C 以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆C 以抛物线216x y =的焦点为焦点,以双曲线221169y x -=的焦点为顶点,则椭圆C 的标准方程为 . 16.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰如图2, 第四件首饰如图3,第五件首饰如图4, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有________颗珠宝;则第n 件首饰所用珠宝总数为________颗.图1图2图31D 1 A 1三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22.求: （Ⅰ）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合; （Ⅱ）函数)(x f 的单调增区间.18.（本小题满分12分）在数列}{n a 中,21=a ,cn a a n n +=+1（c 是常数， ,3,2,1=n ）且1a ,2a ,3a 成公比不为1的等比数列.(Ⅰ)求c 的值; (Ⅱ)求}{n a 的通项公式.19.（本小题满分12分）一位学生每天骑自行车上学,从他家到学校有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇到红灯的概率均为P ,其余三个交通岗遇到红灯的概率均为21. (Ⅰ)若32=P ,求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率; (Ⅱ)若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过185,求P 的取值范围.20.（本小题满分12分）如图,已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直,AB ,1AF =,M 是线段EF 的 中点.(Ⅰ)求证: //AM 平面BDE ; (Ⅲ)求异面直线AM 与DF 所成角;MFEDCBA(Ⅱ)求点A 到平面BDF 的距离.21.（本小题满分12分）已知函数d cx bx x x f +++=23)(有两个极值点11=x ,22=x , 且直线16+=x y 与曲线)(x f y =相切于P 点.(Ⅰ)求b 和c ;(Ⅱ)求函数)(x f y =的解析式;(Ⅲ)在d 为整数时, 求过P 点和)(x f y =相切于一异于P 点的直线方程.22.（本小题满分14分） 已知:三定点)0,31(),0,32(),0,32(--C B A ,动圆M 与直线AB 相切于N ,且 32||||=-BN AN ,现分别过A 、B 作动圆M 的切线,两切线交于点P . (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程;(Ⅱ)直线0233=--my x 截动点P 的轨迹所得弦长为2,求m 的值; (Ⅲ)求证:.2PCB PBC ∠=∠答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.C2.B3.A4. B5.D6.C7.B 8.C 9.D 10.B 11. A 12.D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.14 14.25-15.221925x y += 16.66； n n -22 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(Ⅰ)2)2cos 1(32sin 22cos 1)(x x x x f +++-=)42sin(222cos 2sin 2π++=++=x x x ……………4分当2242πππ+=+k x ,即)(,8Z k k x ∈+=ππ时,取得最大值22+)(x f 取得最大值的自变量x 的集合为},8|{Z k k x x ∈+=ππ …………7分(Ⅱ))42sin(22)(π++=x x f依题意得)(224222Z k k x k ∈+≤+≤-πππππ即)(883Z k k x k ∈+≤≤-ππππ 因此，)(x f 的单调增区间为)](8,83[Z k k k ∈+-ππππ ……………12分 18.(Ⅰ)由21=a ，cn a a n n +=+1,得c a +=22,c c c a 32223+=++=………………………………2分 由1a ，2a ，3a 成公比不为1的等比数列,则3122a a a =2)32(2)2(2=⇒+⨯=+⇒c c c 或0=c (舍) ……………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知n a a n a a n n n n 2211=-⇒+=++可得1212⨯=-a a , ,2223⨯=-a a ,)1(21-⨯=--n a a n n ……7分将上式累加,得到MFEDCBAOG H)1(2)11)(1(2)]1(21[21-=-+-⨯=-+++⨯=-n n n n n a a n ……10分则22)1(2+-=+-=n n n n a n …………………………………12分 19.(Ⅰ)该学生在第一个交通岗未遇到红灯的概率为313211=-=-P 在第二个交通岗未遇到红灯的概率为21211=-则该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为121212131=⨯⨯………5分 (Ⅱ)该学生未遇到红灯的概率为8)1()211()1(232P P -=-⨯-该学生恰遇到一次红灯的概率为838)1()211(21)211()1(22213312+-=-⨯-⋅⋅+-⨯-P P P C P P C依题意,可得1858388)1(22≤+-+-P P P ………………………………8分 整理,得3831082792≤≤⇒≤+-P P P …………………………………10分 由10<<P ,可得131<≤P …………………………………11分 答:(Ⅰ)该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为121; (Ⅱ)P 的取值范围为131<≤P . …………………………………12分 20.(Ⅰ) 证明：连接BD ,BD AC O = ,连结EO …………1分M O , 为中点,且ACEF 为矩形,所以//,,EM OA EM OA = …………2分 ∴四边形EOAM 为平行四边形, ∴EO AM //⊂EO 平面BDE ,⊄AM 平面BDE ,因此//AM 平面BDE …………4分(Ⅱ) 过点M 作//MG DF ,则AMG ∠为异面直线DF 与AM 所成的角 ………………5分M 为中点,所以点G 为线段DE 的中点, ∴2321==DF MG , ………………6分连接AG ,过G 作//GH EC H ⇒为DC 的中点, ∴211210,2121=⇒===AG HA CE GH …………………7分 在AMG ∆中,2AG =, MG =AM =222AM MG AG += ∴异面直线DF 与AM 所成的角为2π………………………………8分 (Ⅲ)三棱锥A BDF -的体积为1133A BDF F ABD ABD V V S AF --==⨯⨯= …10分 在BDF ∆中，5==DE BF ，2=BD ∴2=∆BDF S ………11分 ∴点A 到平面BDF 的距离为21……………………………12分 21.(Ⅰ)设直线16+=x y , 和d cx bx x x f +++=23)(相切于点),(00y x P∵d cx bx x x f +++=23)(有两个极值点11=x ,22=x ,于是 693)2)(1(323)(22+-=--=++='x x x x c bx x x f ……………3分 从而6,29=-=c b ………………………………4分 (Ⅱ)又d x x x x f ++-=629)(23, 且),(00y x P 为切点, 则 ⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-⎩⎨⎧==⇒++-=+=2293669310629160020002030000d x x x d x d x x x y x y 或 ……………7分 ∴1629)(23++-=x x x x f , 或229629)(23++-=x x x x f ……8分 (Ⅲ)当d 为整数时,1=d 符合条件, 此时)1,0(P …………………………9分 设过)1,0(P 的直线1+=kx y l ：和162923++-=x x x y 相切于另一点),(11y x .则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒++-=+=69316154916291121112131111x x k k x x x x y kx y …………………………11分故切线方程为: 11615+=x y ………………………………12分 22.(Ⅰ)由平几知识得：34||32||||||||=<=-=-AB BN AN PB PA 动点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线一支,其中322=a ,342=c …2分 故所求方程为)31(13922>=-x y x …………………5分 (Ⅱ)设直线0233=--my x 与动点P 的轨迹相交于),(),,(222111y x Q y x Q 易知直线0233=--my x 恒过双曲线右焦点)0,32(B 由双曲线定义知: 2)31(2)31(||212121=-+=-+=x x x x e Q Q 可得3421=+x x 若0=m ,则3221==x x ,此时3421=+x x 即2||21=Q Q 合题意 …………7分 若0≠m ,由⎩⎨⎧=-=--139023322y x my x 消去y ,得,1)132(3922=--x m m x 化简得：3427912,04312)927(221222=-=+=--+-m x x m x x m解得0=m 与0≠m 矛盾综上,0=m …………………………………………9分（直接由图形得出0=m 时，2||21=Q Q ，得2分）(Ⅲ)当2||1,||1,3x BP BC ===时,此时︒=∠︒=∠90,45PBC PCB 命题成立 …………………………………………10分当31tan ),91(3),(,3222+=∠--=≠x y PCB x y y x P x 且则设时2222)31()31(2)31(1)31(22tan y x x y x y x yPCB -++=+-+⋅=∠∴xy x y x x x y -=-=-+++=322342)91(3)31()31(222 而x y x y PBx PBC -=-=∠-=∠3232tan tanPBC PCB ∠=∠∴tan 2tan 又ππ<<<<∠<PBC PBC 20,0 PBC PCB ∠=∠∴2 ……………………………………………………14分。