2020-2021学年福建省漳州一中高三(上)期中考试数学(理科)试题Word版含解析

2020-2021学年漳州市平和一中高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合S ={1,3，5}，T ={3,6}，则S ∪T 等于( )A. ⌀B. {2,4，7，8}C. {1,3，5，6}D. {2,4，6，8} 2. 若复数z 满足(3+4i)z =|4−3i|，则z 的虚部为( ) A. 45B. −4C. −45D. 4 3. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱BC ，A 1D 1，B 1C 1的中点，下列说法错误的是( )A. EF ⊥AGB. EF 与AG 是异面直线C. A ，E ，C 1，F 四点共面D. 直线EC 1与平面AGF 相交 4. 已知a =8.10.51，b =8.10.5，c =log 30.3，则( ) A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <b <a 5. 某学校高三年级共有两个实验班，四个普通班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且实验班学生不检查实验班，则不同安排方法的种数是( )A. 360B. 288C. 168D. 144 6. 执行如图所示的程序框图，如果依次输入函数：f(x)=3x 、f(x)=sinx 、f(x)=x 3、f(x)=x +，那么输出的函数f(x)为( ) A. 3xB. sin xC. x 3D. x +7. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4+a 5=12，则S 8等于( )A. 18B. 36C. 48D. 72 8. 已知函数f(x)={lgx,x >0x +12,x ≤0，则f(−10)的值是( ) A. −2 B. −1 C. 0 D. 2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知a>b>0，且a+b=1，则以下结论正确的有()A. ab<14B. 1a+1b>4 C. a2+b2≥12D. √a+√b<110.如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象，则下列说法正确的是()A. ω=2B. y=sin(π3−2x)C. x=5π6是对称轴D. 此函数在(−π2,−π4)上是增函数11.已知三棱锥S−ABC的顶点均在表面积为8π的球O的球面上，SA、SB、SC两两垂直，SA=2，SB=√2，则下列结论中正确的是()A. 球O的半径为√2B. SC=√2C. S到平面ABC的距离为√55D. O到平面ABC的距离为√5512.已知函数f(x)=x2−ax−lnx(a∈R)，则下列说法正确的有()A. 若a=−1，则f(x)在(0,12)上单调递减B. 若0<a<1，则f(x)无零点C. 若a=1，则f(x)≥0恒成立D. 若a>1，则曲线y=f(x)上存在相异两点M，N处的切线平行三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满足f(1)+f(3)=2f(2)，现给出如下结论①若f(x)是区间(0,1)上的增函数，则f(x)是区间(3,4)的增函数；②若a⋅f(1)≥a⋅f(3)，则f(x)有极值；③对任意实数x0，直线y=(c−12a)(x−x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯一公共点．其中正确的结论是______．14.在等比数列{a n}中，前10项和是10，a1−a2+a3−a4+a5−a6+a7−a8+a9−a10=5，则数列{a n}的公比q=______．15.在括号里填上和为1的两个正数，使的值最小，则这两个正数的积等于．16.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2sinCcosB=2sinA+sinB，△ABC的面积c，则ab的最小值为______．为S=√312四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.△ABC中，sin2B+sin2C−sin2A=sinBsinC．(1)求A；(2)若△ABC为锐角三角形，且BC=3，求△ABC周长的最大值．18.已知各项均为正数的数列{a n}前n项和为S n，首项为2，且2，a n，S n成等差数列．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．19.从高一年级随机选取100名学生，对他们期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示．(Ⅰ)从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率；(II)从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；(Ill)试判断这100名学生数学成绩的方差a与语文成绩的方差b的大小．(只需写出结论)20.已知数列{a n}满足：na1+(n−1)a2+⋯+2a n−1+a n=2n．(1)求{a n}的通项公式；(2)是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使a p，a q，a r成等差数列，若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．21.如图所示，扇形AOB，圆心角∠AOB的大小等于π，半径为2，在半径OA3上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB⏜于点P．(1)若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；(2)设∠COP=θ，求△COP面积的最大值及此时θ的值．22.已知函数f(x)=e x−ax(a为常数)．(1)当a=0时，求f(x)过原点的切线方程；(2)讨论f(x)的单调区间和极值；(3)若∀x∈[0,1]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵S={1,3，5}，T={3,6}，∴S∪T={1,3，5，6}，故选：C．由条件和并集的运算直接求出，重复的元素写一次．本题考查了集合的并集运算，注意要满足元素的互异性．2.答案：C解析：解：由(3+4i)z=|4−3i|，得z=53+4i =5(3−4i)(3+4i)(3−4i)=35−45i，∴z的虚部为−45．故选：C．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，A1B⊥平面AB1C1D，而EF//A1B，则EF⊥平面AB1C1D，又由AG⊂平面AB1C1D，必有EF⊥AG，A正确；对于B，EF与AG既不平行也不垂直，是异面直线，B正确；对于C，连接BG，有AF//BG且BG//EC1，则AF//EC1，A，E，C1，F四点共面，C正确；对于D，由C中结论，AF//EC1，AF在平面AGF内，则直线EC1//平面AGF，D错误；故选：D．根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．本题考查直线和平面的位置关系，涉及异面直线的判断和线面平行、垂直的性质以及应用，属于基础题．4.答案：D解析：解：∵a=8.10.51>b=8.10.5>1，c=log30.3<0，∴a>b>c．故选：D．。

2020-2021学年福建省漳州市华安一中高三（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集U =Z ，A ={x ∈Z|x ≤−2，或x ≥2}，则∁U A =( )A. {x|−2≤x ≤2}B. {x|−2<x <2}C. {−2,−1,0，1，2}D. {−1,0，1}2. sin70°cos40°+cos130°sin20°=( )A. −√32B. √32C. 12D. −123. 已知a =30.1，b =log 32，c =cos4，则( )A. c <a <bB. a <c <bC. c <b <aD. b <c <a4. 函数f(x)=sinxx 2+1的图象大致为( )A.B.C.D.5. 条件p ：x ≤1，且¬p 是q 的充分不必要条件，则q 可以是( )A. x >1B. x >0C. x ≤2D. −1<x <06. 若函数f(x)为R 上的奇函数，且在定义域上单调递减，又f(sinx −1)>−f(sinx)，x ∈[0,π]，则x 的取值范围是( )A. (π3,2π3)B. [0,π3]∪(2π3,π]C. [0,π6)∪(5π6,π]D. (π6,5π6)7. 设函数f(x)的定义域为R ，f′(x)是其导函数，若f(x)+f′(x)<0，f(0)=1，则不等式f(x)>e −x 的解集是( )A. (0,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,0)D. (0,1)8. 已知函数f(x)={x 2+2xe x ,x >23x −2,x ≤2，函数g(x)=f(x)−m 有两个零点，则实数m 的取值范围为( )A. (−∞,−8e 2) B. (0,8e 2)C. (8e 2,4]D. (−∞,−8e 2)∪[4，+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 若tanα=√3，α∈(0,2π)，则α=( )A. π6B. π3C. 7π6D. 4π310. 若函数f(x)=√3sin(2x +θ)+cos(2x +θ)为偶函数，则θ的值可能为( )A. −2π3B. −π6C. π3D. 4π311. 若a >b >0，则( )A. 1a >1bB. lna >lnbC. alna <blnbD. a −b <e a −e b12. 已知f(x)是定义域为(−∞,+∞)的奇函数，f(x +1)是偶函数，且当x ∈(0,1]时，f(x)=−x(x −2)，则( )A. f(x)是周期为2的函数B. f(2019)+f(2020)=−1C. f(x)的值域为[−1,1]D. y =f(x)在[0,2π]上有4个零点三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若sinθ=√32，θ∈(π2,π)，则cos(θ−π6)= ．14. 函数f(x)=3x 3−5x +9的图象在点(x 0,f(x 0))处的切线垂直于直线x +4y −12=0，则x 0= ．15. 已知函数f(x)=12ax 2−2ax +lnx 在(1,3)内不单调，则实数a 的取值范围是 ． 16. 关于函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题：①由f(x 1)=f(x 2)=0可得x 1−x 2必是π的整数倍； ②y =f(x)在区间(−5π13,π13)上单调递增； ③y =f(x)的图象关于点(−π6,0)对称； ④y =f(x)的图象关于直线x =−π6对称．其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题序号都填上) 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知命题 p ：对任意实数x 都有ax 2+ax +1>0恒成立；命题q ：关于x 的方程x 2−x +a =0有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．18.已知函数f(x)=2sin(x+π6)cos(x+π6)+cos(π2−2x)．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，求f(x)的值域．19.若函数f(x)=ax3−bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值为−43，(Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x)=k有3个解，求实数k的取值范围．20.已知函数g(x)=2x−a2x是奇函数．(1)求a的值；(2)判断并证明函数g(x)的单调性；(3)若对任意的t∈[0,+∞)，不等式g(t2−2t)+g(2t2−k)>0恒成立，求实数k的取值范围．21.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))的图象如图所示：(1)求f(x)的解析式；(2)若x∈[0,π]且f(x)≥√6，求x的取值范围．2ax3−ax2，a∈R．22.已知函数f(x)=xlnx+12(1)当a=0时，求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)=f(x)存在两个极值点x1，x2，求g(x1)+g(x2)的取值范围．x答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．进行补集的运算即可．【解答】解：∵A={x∈Z|x≤−2，或x≥2}，U=Z，∴∁U A={x∈Z|−2<x<2}={−1,0，1}．故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】直接根据诱导公式即两角和与差的正弦公式解答即可．本题主要考查诱导公式及两角和与差的正弦公式，熟记公式是解题的关键，属于基础题．【解答】解：sin70°cos40°+cos130°sin20°=sin70°cos40°−cos50°sin20°=cos20°sin50°−cos50°sin20°=sin(50°−20°)=sin30°=1．2故选：C．3.【答案】C【解析】【分析】考查指数函数、对数函数的单调性，对数的运算，以及余弦函数在各象限的符号，属于基础题．容易得出30.1>1，0<log32<1，cos4<0，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵30.1>30=1，0=log31<log32<log33=1，π<4<32π，cos4<0；∴c<b<a．故选C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用函数性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题．由函数的奇偶性及特殊点的函数值，利用排除法得解．【解答】解：函数的定义域为R，易知f(−x)=sin(−x)(−x)2+1=−sinxx2+1=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，可排除C，D；又f(π2)=1π24+1>0，可排除B．故选：A．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的应用，属于基础题．由¬p是q的充分不必要条件，可得¬p⇒q，q推不出¬p，可得结果【解答】解：∵p：x≤1，∴￢p：x>1，又∵¬p是q的充分不必要条件，∴¬p⇒q，q推不出¬p，即：￢p对应的范围是q对应范围的真子集关系，则x>0满足条件，故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性在解不等式中的应用，属于中档题．由函数的单调性与奇偶性将不等式转化为sinx−1<−sinx，结合x∈[0,π]可得结果．【解答】解：∵函数f(x)为R上的奇函数，又f(sinx−1)>−f(sinx)，∴f(sinx−1)>f(−sinx)，又f(x)在定义域上单调递减，∴sinx−1<−sinx，即sinx<12，又x∈[0,π]，∴x∈[0,π6)∪(5π6,π]．故选C．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．令g(x)=e x f(x)，求出函数的导数，根据函数的单调性问题转化为g(x)>g(0)，解得x<0，从而求出答案．【解答】解：令g(x)=e x f(x)，则g′(x)=e x f(x)+e x f′(x)，因为f(x)+f′(x)<0，所以g′(x)<0， 所以g(x)在R 上单调递减． 因为g(0)=f(0)=1，所以f(x)>e −x 等价于g(x)>g(0)，解得x <0， 所以不等式f(x)>e −x 的解集是(−∞,0)， 故选：C ．8.【答案】B【解析】解：令g(x)=0，得f(x)=m ， 函数f(x)={x 2+2xe x ,x >23x −2,x ≤2，当x >2时，f(x)=x 2+2x e x>0，又f′(x)=2−x 2e x ，故当x >2时，f′(x)<0，f(x)递减，故f(x)<8e 2，作出f(x)的函数图象，如图所示：∵f(x)=m 有两个解， ∴0<m <8e 2， 故选：B ．作出f(x)的函数图象，根据函数图象判断m 的范围．本题考查了函数零点与函数图象的关系，注意运用导数判断单调性，属于中档题．9.【答案】BD【解析】【分析】由已知可得α=π3+kπ，k∈Z，结合范围α∈(0,2π)，即可求解．本题主要考查了正切函数的图像和性质的应用，属于基础题．【解答】解：因为tanα=√3，可得α=π3+kπ，k∈Z，又α∈(0,2π)，则α=π3或4π3．故选：BD．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查了利用辅助角公式化简三角函数及函数的奇偶性，属于基础题．利用辅助角公式化简函数f(x)，然后由f(x)为偶函数即可求解．【解答】解：函数f(x)=√3sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin(2x+θ+π6)是偶函数，所以θ+π6=kπ+π2(k∈Z)，解得θ=kπ+π3(k∈Z)，当k=−1时，θ=−2π3，当k=0时，θ=π3，当k=1时，θ=4π3．故选：ACD．11.【答案】BD【解析】【分析】直接利用不等式的基本性质和函数的导数与函数的单调性的关系，求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．【解答】解：对于选项A：a>b>0，所以1ab >0，所以aab>bab>0，整理得1b>1a，故选项A错误．对于选项B：由于y=lnx为单调递增函数，故lna>lnb，故选项B正确．对于选项C：当0<b<1<a时，lna>0，lnb<0，故alna>blnb，故选项C错误．对于选项D：设f(x)=e x−x，所以f′(x)=e x−1，当x>0时，f′(x)>0，所以函数f(x)在x>0时为单调增函数，由于a>b>0，所以e a−a>e b−b，即a−b<e a−e b，故选项D正确．故选：BD．12.【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的奇偶性，周期性，值域，函数的零点逐一判断即可．本题考查函数的奇偶性，周期性，值域，函数的零点，属于中档题．【解答】解：对于A，f(x)为R上的奇函数，f(x+1)为偶函数，所以f(x)图象关于x=1对称，f(2+x)=f(−x)=−f(x)即f(x+4)=−f(x+2)=f(x)则f(x)是周期为4的周期函数，A错误；对于B，f(x)定义域为R的奇函数，则f(0)=0，f(x)是周期为4的周期函数，则f(2020)=f(0)=0；当x∈(0,1]时，f(x)=−x(x−2)，则f(1)=−1×(1−2)=1，则f(2019)=f(−1+2020)=f(−1)=−f(1)=−1， 则f(2019)+f(2020)=−1，故B 正确．对于C ，当x ∈(0,1]时，f(x)=−x(x −2)，此时有0<f(x)≤1，又由f(x)为R 上的奇函数，则x ∈[−1,0)时，−1≤f(x)<0，f(0)=0，函数关于x =1对称，所以函数f(x)的值域[−1,1].故C 正确．对于D ，∵f(0)=0，且x ∈(0,1]时，f(x)=−x(x −2)，∴x ∈[0,1]，f(x)=−x(x −2)， ∴x ∈[1,2]，2−x ∈[0,1]，f(x)=f(2−x)=−x(x −2)，∴x ∈[0,2]，f(x)=−x(x −2)， ∵f(x)是奇函数，∴x ∈[−2,0]，f(x)=x(x +2)， ∵f(x)的周期为4，∴x ∈[2,4]，f(x)=(x −2)(x −4)，∴x ∈[4,6]，f(x)=−(x −4)(x −6)，∴x ∈[6,2π]，f(x)=(x −6)(x −8)， 根据解析式，可得y =f(x)在x ∈[0,2π]上有4个零点，故D 正确． 故选：BCD ．13.【答案】0【解析】 【分析】由已知可得cosθ，利用两角差的余弦公式得答案．本题考查两角差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，是基础题． 【解答】解：由sinθ=√32，θ∈(π2,π)，得cosθ=−12，=−12×√32+√32×12=0．故答案为：0．14.【答案】±1【解析】 【分析】求出函数的导函数，得f′(x0)=9x02−5=4，即可得解．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．【解答】解：∵f(x)=3x3−5x+9，∴f′(x)=9x2−5，由函数f(x)=3x3−5x+9的图象在点(x0,f(x0))处的切线垂直于直线x+4y−12=0，得f′(x0)=9x02−5=4，解得x0=±1．故答案为：±1．15.【答案】a>1或a<−13【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在性定理等知识点，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．函数f(x)在(1,3)内不单调⇔函数f(x)在(1,3)内存在极值⇔f′(x)=0在(1,3)内有解，即ax2−2ax+1=0在(1,3)内有解．即可得出a的取值范围．【解答】解：∵f(x)=12ax2−2ax+lnx，x∈(1,3)当a=0时，f(x)=lnx在(1,3)上单调递增，不符合题意，当a≠0时，∴f′(x)=ax−2a+1x =ax2−2ax+1x，∵f(x)=12ax2−2ax+lnx在(1,3)上不单调，∴f′(x)=0在(1,3)上有解，设g(x)=ax2−2ax+1，其对称轴为x=1，∴g(1)g(3)<0，∴(−a+1)(3a+1)<0，解得a>1或a<−13，故答案为：a>1或a<−13．16.【答案】②③【解析】 【分析】本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的图象与性质的判断，考查计算能力，是中档题．利用特殊值判断①；函数的单调性判断②；函数的对称中心判断③；函数的对称轴判断④． 【解答】解：函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，①特例：x 1=−π6，x 2=π3，满足f(x 1)=f(x 2)=0， 但是x 1−x 2不是π的整数倍，所以①不正确； ②y =f(x)的周期为π，令−π2≤2x +π3≤π2， 可得−5π12≤x ≤π12是函数的单调增区间，所以函数在区间(−5π13,π13)上单调递增；所以②正确； ③当x =−π6时，f(−π6)=4sin0=0，所以函数的图象关于点(−π6,0)对称，所以③正确；④由③知y =f(x)的图象不关于直线x =−π6对称，所以④不正确； 故答案为：②③．17.【答案】解：对任意实数x 都有ax 2+ax +1>0恒成立⇔a =0或{a >0△=a 2−4a <0⇔0≤a <4；关于x 的方程x 2−x +a =0有实数根⇔1−4a ≥0⇔a ≤14； 如果p 为真命题，且q 为假命题，有0≤a <4，且a >14；∴14<a <4 如果q 为真命题，且p 为假命题，有a <0或a ≥4，且a ≤14∴a <0． 所以实数a 的取值范围为(−∞,0)∪(14,4)．故答案为：(−∞,0)∪(14,4)．【解析】本题考查全称量词命题、存在量词命题，利用命题的真假求解参数的取值范围，属于基础题．分别求得p、q所对应的a的范围，结合已知条件由p为真命题，且q为假命题和q为真命题，且p为假命题分别求得a的范围，取并集可得结果．18.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=2sin(x+π6)cos(x+π6)+cos(π2−2x)=sin(2x+π3)+sin2x=12sin2x+√32cos2x+sin2x=32sin2x+√32cos2x=√3(√32sin2x+12cos2x)=√3sin(2x+π6)，则函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π．(Ⅱ)当x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，2x+π6∈[π6,7π6]，则当2x+π6=π2时，函数取得最大值为y=√3sinπ2=√3，当2x=7π6时，函数取得最小值y=√3sin7π6=√3×(−12)=−√32，即函数f(x)的值域为[−√32,√3].【解析】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角公式以及诱导公式进行化简是解决本题的关键．属于基础题．(Ⅰ)利用诱导公式以及倍角公式进行化简，结合三角函数的周期公式进行求解即可．(Ⅱ)求出角的范围，结合函数的最值和角的关系进行求解即可．19.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=3ax2−b，由题意：{f′(2)=12a−b=0f(2)=8a−2b+4=−43,解得{a=13b=4，∴所求的解析式为f(x)=13x3−4x+4．(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f′(x)=x2−4=(x−2)(x+2)，令f′(x)=0，得x=2或x=−2，∴当x<−2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当−2<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，因此，当x=−2时，f(x)有极大值283，当x=2时，f(x)有极小值−43，∴函数f(x)=13x3−4x+4的图象大致如图．若f(x)=k有3个解，即函数f(x)与y=k的图象有三个交点，由图可知：−43<k<283．【解析】本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系，属于中档题．(Ⅰ)先对函数进行求导，然后根据f(2)=−43，f′(2)=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．(Ⅱ)根据(Ⅰ)中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k 的范围．20.【答案】解：(1)g(x)是奇函数，又x∈R，故g(0)=1−a=0，所以a=1，经检验当a=1时函数g(x)是奇函数，符合题意，故a=1．(2)g(x)=2x−12x是R上的增函数，理由如下：在R上任取x1<x2，则g(x1)−g(x2)=2x1−12x1−2x2+12x2=(2x1−2x2)+2x1−2x22x1⋅2x2=(2x1−2x2)(1+12x1+x2)，x1<x2⇒0<2x1<2x2⇒g(x1)−g(x2)<0⇒g(x1)<g(x2)，所以g(x)=2x−12x是R上的增函数．(2)g(t2−2t)+g(2t2−k)>0且g(x)是奇函数，所以g(t2−2t)>−g(2t2−k)=g(k−2t2)，因为g(x)是R上的增函数，所以t2−2t>k−2t2，所以k<3t2−2t对t∈[0,+∞)恒成立，∴k<(3t2−2t)min，∵3t2−2t=3(t−13)2−13≥−13实数k的取值范围是k∈(−∞,−13)．【解析】本题主要考查了奇函数的性质在求函数解析式中的应用及函数的单调性的的定义，奇偶性的定义在不等式求解中的应用，属于中档试题．(1)结合奇函数的性质g(0)=0，代入即可求解a，(2)直接利用函数单调性的定义即可判断，(3)由不等式恒成立，结合单调性及奇偶性及恒成立与最值求解的相互转化即可求解．21.【答案】解：(1)由题意知：A=√2,T4=7π12−π3=π4，∴T=π=2πω，即ω=2，∵2×π3+φ=(2k+1)π，k∈Z，又0≤φ<2π，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)．(2)由题意得：√2sin(2x+π3)≥√62，即sin(2x+π3)≥√32，因为x∈[0,π]，则π3≤2x+π3≤2π3或2x+π3=7π3，即0≤x≤π6或x=π，所以x∈[0,π6]∪{π}．【解析】本题考查三角函数的解析式的求法，三角函数的不等式的解法，是中档题． (1)求出振幅得到A ，利用周期求解ω，然后求解初相，得到函数的解析式． (2)利用三角函数的最值，转化求解不等式的解集即可．22.【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=xlnx ，函数的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=lnx +1，令f ′(x)<0，解得：0<x <1e ， 令f ′(x)>0，解得：x >1e ，故函数f(x)的递减区间为(0,1e )，递增区间为(1e ,+∞)； (2)g(x)=f(x)x=lnx +12ax 2−ax(x >0)， g ′(x)=ax 2−ax+1x，由题意知：x 1，x 2是方程g ′(x)=0的两个不相等的正实根， 即x 1，x 2是方程ax 2−ax +1=0的两个不相等的正实根， 故{a ≠0Δ=a 2−4a >0x 1+x 2=1>0x 1x 2=1a >0，解得：a >4， 令t(a)=g(x 1)+g(x 2)=12ax 12−ax 1+lnx 1+12ax 22−ax 2+lnx 2 =12a[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]−a(x 1+x 2)+ln(x 1x 2) =−12a −lna −1，因为t(a)是关于a 的减函数， 故t(a)<t(4)=−3−ln4，故g(x 1)+g(x 2)的范围是(−∞,−3−ln4)．【解析】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于拔高题．(1)代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； (2)求出a 的范围，得到t(a)=g(x 1)+g(x 2)的解析式，结合函数的单调性求出其范围即可．。

2020-2021漳州康桥学校高中必修一数学上期中试题附答案一、选择题1．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③4．对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ）A ．315,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．[]28,C ．[)2,8D ．[]2,7 5．若函数()(1)(0x x f x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数)245fx x x =+，则()f x 的解析式为( ) A ．()21f x x =+B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥7．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<9．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<10．设0.13592,ln ,log 210a b c ===，则,,a b c 的大小关系是A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>11．若函数2()sin ln(14)f x x ax x =⋅++的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．4 D ．4±12．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>二、填空题13．函数y=232x x --的定义域是 .14．函数的定义域为______________．15．关于下列命题：①若函数2x y =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭；③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤； ④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上).16．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++= ．17．函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______．18．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．19．已知函数(12)(1)()4(1)xa x f x a x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________ 20．若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数的值为_______. 三、解答题 21．计算下列各式的值：（Ⅰ)22log 3lg25lg4log (log 16)+-（Ⅱ）2102329273()( 6.9)()()482-----+ 22．已知定义域为R 的函数12()22x x b f x +-+=+是奇函数． （1）求b 的值； （2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明；（3）当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2(21)0f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围． 23．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．24．已知函数()2(0,)a f x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围.25．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.26．国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．（1）写出每人需交费用y 关于人数x 的函数；（2）旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43x f x e x =+-在R 上连续单调递增， 且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】 本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.2．C解析：C【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．C解析：C【解析】【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．4．C解析：C【解析】【分析】【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<,选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.5．A解析：A【解析】【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像.【详解】∵函数()(1)x x f x k a a-=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2，经检验k =2满足题意，又函数为减函数，所以01a <<，所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减，故选A .【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．B解析：B【解析】【分析】利用换元法求函数解析式，注意换元后自变量范围变化.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥ 即()21f x x =+ ()2x ≥. 【点睛】本题考查函数解析式，考查基本求解能力.注意换元后自变量范围变化.7．C解析：C【解析】【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.8．B解析：B【解析】【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断.【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.9．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.10．A解析：A【解析】试题分析：，，即，，．考点：函数的比较大小． 11．B解析：B【解析】【分析】根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到221414ax x x ax ++=+-.【详解】 ()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-即：()sin ln sin ln sin ln x ax x ax x ⋅+=-⋅=⋅ax ∴+=恒成立，即：222141x a x +-=24a ∴=，解得：2a =±本题正确选项：B【点睛】本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.12．B解析：B【解析】【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数， 1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=，指数函数2x y =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1-考点：函数定义域 14．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果.【详解】 由题意得： ， 函数定义域为：【点睛】 本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组. 15．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主 解析：①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误.【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.16．0【解析】试题分析：的图像关于直线对称所以又是定义在上的奇函数所以所以考点：函数图象的中心对称和轴对称解析：0【解析】试题分析：()y f x =的图像关于直线12x =对称，所以()(1)f x f x =-，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(5)(15)(4)(4)f f f f =-=-=-，(3)(13)(2)(2)f f f f =-=-=-，(1)(11)(0)0f f f =-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)0f f f f f ++++=.考点：函数图象的中心对称和轴对称.17．【解析】【分析】首先保证真数位置在上恒成立得到的范围要求再分和进行讨论由复合函数的单调性得到关于的不等式得到答案【详解】函数所以真数位置上的在上恒成立由一次函数保号性可知当时外层函数为减函数要使为减 解析：()1,2【解析】【分析】首先保证真数位置20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，得到a 的范围要求，再分01a <<和1a >进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于a 的不等式，得到答案.【详解】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立，由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数，所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅，当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数，所以0a -<，即0a >，所以1a >，综上可得a 的范围为()1,2.故答案为()1,2.【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.18．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =． 若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．19．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.20．3【解析】令fx=x2-2x-2则由题意可得函数y=fx 与函数y=m 的图象有三个公共点画出函数fx=x2-2x-2的图象如图所示结合图象可得要使两函数的图象有三个公共点则m=3答案：3解析：3 【解析】 令，则由题意可得函数与函数的图象有三个公共点．画出函数的图象如图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个公共点，则．答案：3三、解答题21．(Ⅰ)12；(Ⅱ)12. 【解析】试题分析：（1）根据对数运算法则log ,lg lg lg ,ma a m m n mn =+= 化简求值（2）根据指数运算法则01(),1,m n mn mm a a a a a-===，化简求值 试题解析：（Ⅰ）原式()3111log 3lg 254222222=+⨯-=+-=. （Ⅱ）原式1223233343441112292992⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 22．(1) 1b = (2) 减函数，证明见解析；(3) (,1)-∞-． 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质令(0)0f =，求解b 即可． （2）利用函数的单调性的定义证明即可．（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可． 【详解】（1）∵()f x 在定义域R 上是奇函数， 所以(0)0f =，即102ba-+=+，∴1b =， 经检验，当1b =时，原函数是奇函数．（2）()f x 在R 上是减函数，证明如下：由（1）知11211()22221x x xf x +-==-+++， 任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()12211221112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++， ∵函数2xy =在R 上是增函数，且12x x <， ∴12220x x -<，又()()1221210xx++>， ∴()()210f x f x -<，即()()21f x f x <， ∴函数()f x 在R 上是减函数．（3）因()f x 是奇函数，从而不等式()2(21)0f kx f x +->等价于()2(21)f kx f x >--，由（2）知()f x 在R 上是减函数，由上式推得212kx x <-，即对任意1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有212x k x -<恒成立， 由2212112x x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 令1t x =，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则可设2()2g t t t =-，1,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴min ()(1)1g t g ==-，∴1k <-，即k 的取值范围为(,1)-∞-． 【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，考查函数与方程的思想，是中档题． 23．a ≤－1或a ＝1. 【解析】 【分析】先解方程得集合A ，再由 B ⊆A 得B 为A 子集，根据子集四种情况分类讨论，解出实数a 的值．注意对结果要验证 【详解】解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况． (1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1.(2)当B ≠A 时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1. 24．（1）当时，为偶函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数,；（2）(16]-∞，.【解析】 【分析】 【详解】 （1）当时，，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞U ，，，，为偶函数．当时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取，得(1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，，(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，函数既不是奇函数，也不是偶函数．（2）设122x x ≤<，，要使函数在[2)x ∈+∞，上为增函数，必须恒成立．121204x x x x -<>Q，，即恒成立． 又，．的取值范围是(16]-∞，． 25．（1）见解析；（2）29(,]28. 【解析】试题分析：(Ⅰ)运用正弦定理将化简变形,再解三角方程即可获解；(Ⅱ)将角用表示,换元法求函数的值域即可.试题解析：(Ⅰ)由tan a b A =及正弦定理，得sin sin cos sin A a AA b B==，∴sin cos B A =， 即sin sin()2B A π=+，又B 为钝角，因此(,)22A πππ+∈， 故2B A π=+，即2B A π-=；(Ⅱ)由（1）知，()C A B π=-+(2)2022A A πππ-+=->，∴(0,)4A π∈，于是sin sin sin sin(2)2A C A A π+=+-2219sin cos 22sin sin 12(sin )48A A A A A =+=-++=--+，∵04A π<<，∴0sin 2A <<，因此21992(sin )2488A <--+≤，由此可知sin sin A C +的取值范围是9]28． 考点：正弦定理、三角变换，二次函数的有关知识和公式的应用.26．（1）900,030,120010,3075,x x N y x x x N ++<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩；（2）当人数为60时，旅行社可获最大利润. 【解析】 【分析】（1）当030x <≤时，900y =；当3075x <≤，用900减去优惠费用，求得y 的表达.由此求得每人需交费用y 关于人数x 的分段函数解析式.（2）用收取的总费用，减去15000，求得旅行社获得利润的分段函数表达式，利用一次函数和二次函数最值的求法，求得当人数为60时，旅行社可获得最大利润. 【详解】（1）当030x <≤时，900y =；当3075x <≤，90010(30)120010y x x =--=- 即900,030,120010,3075,x x N y x x x N ++<≤∈⎧=⎨-<≤∈⎩；（2）设旅行社所获利润为S 元，则 当030x <≤时，90015000S x =-；当3075x <≤时，2(120010)1500010120015000S x x x x =--=-+-即290015000,030,10120015000,3075,x x x N S x x x x N ++-<≤∈⎧=⎨-+-<≤∈⎩Q 当030x <≤时，900 15000S x =-为增函数30x ∴=时，max 12000S =，当3075x <≤时，210(60)21000S x =--+，S=>.x=，max210001200060∴当人数为60时，旅行社可获最大利润.【点睛】本小题主要考查分段函数模型在实际生活中的运用，考查一次函数、二次函数的值域的求法，属于中档题.。

高三理科试题答案1-5CBDAC6-10ACDAD 11-12CD .[]⎪⎭⎫ ⎝⎛-41143.163,2.1521.1459.13，17.(1)对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈)；(2)最大值为2,最小值为1-. 【解析】 【分析】(1)直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的对称轴方程.(2)利用函数的定义域的应用求出函数的值域,进一步求出函数的最大和最小值. 【详解】(1)函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 令262x k πππ-=+(k Z ∈),解得23k x ππ=+(k Z ∈),所以函数()f x 的对称轴方程为：23k x ππ=+(k Z ∈). (2)由于0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦, 故1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则：()12f x -≤≤故当0x =时,函数的最小值为1-.当3x π=时,函数的最大值为2.【点睛】本题考查正弦型函数的性质,属于基础题. 18.(1)4；(2)【解析】 【分析】(1)运用正弦定理,角化为边,即可得到所求值； (2)运用余弦定理求得b ,可得sin sin B C ==,再由面积公式即可得到所求值. 【详解】 (1)sin C A =,∴由正弦定理可得,4c ===；(2)222cos 2b a c C ab +-=代入4c =,a =解出4b c ==,∴sin sin B C ==11sin 422ABCSac B ==⨯=【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用,考查运算能力,属于中档题. 19.(1)证明见解析；(2)1122n n-+. 【解析】 【分析】(1)根据递推公式,得到11211442n n n n a a a a ++==+,推出111111222n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即可证明数列是等比数列； (2)先由(1)求出11122n n a =+,即1122n n b =+,再由分组求和的方法,即可求出数列的和.【详解】 (1)证明：142n n n a a a +=+,12111442n n n na a a a ++∴==+,111111222n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭, 又11a =,111122a ∴-=, 所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项,以12为公比的等比数列；(2)由(1)知1111112222n nn a -⎛⎫-=⋅=⎪⎝⎭, 11122n n a =+,11122n n n b a ∴==+ 所以231111111122222222n n S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭211111112211222222212n n n n nn ⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=++++=-=-+ ⎪⎝⎭-.【点睛】本题主要考查由递推关系证明数列是等比数列,考查求数列的和,熟记等比数列的概念,等比数列的通项公式与求和公式,以及分组求和的方法即可,属于常考题型. 20.(1)[0,2]；(2){1}. 【解析】 【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求解,最后求并集；(2)根据x ∈[1,2]得|2x －1|=2x －1,再去绝对值分离变量,最后根据函数最值得实数a 的取值范围. 【详解】(1)当a ＝1时,由f (x )≤3,可得|2x －1|＋|x －2|≤3,∴①或②或③解①得0≤x＜,解②得≤x＜2,解③得x＝2.综上可得,0≤x≤2,即不等式的解集为[0,2].(2)∵当x∈[1,2]时,f(x)≤3恒成立,即|x－2a|≤3－|2x－1|＝4－2x,故2x－4≤2a－x≤4－2x,即3x－4≤2a≤4－x.再根据3x－4在x∈[1,2]上的最大值为6－4＝2,4－x的最小值为4－2＝2, ∴2a＝2,∴a＝1,即a的取值范围为{1}.21.(1)答案见解析；(2)分布列答案见解析,期望为：1 5 .【解析】【分析】(1)根据题目所给数据画出100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图.(2)先求得ηξ-的所有可能取值,然后计算出分布列和数学期望.【详解】(1)频率分布直方图如图；(2)设M ηξ=-,由题M 可能的值有2-,1-,0,1,2,()2302100292330C P M C =-==；()11303021002111C C P M C =-==； ()211304030221001001090330C C C P M C C ==+=；()11403021008133C C P M C ===； ()2402100262165C P M C ===.所以分布列为：()M ηξ-2- 1-0 1 2P29330 211109330 833 26165所以()()()()29210982612101233011330331655E E M ηξ-==-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本小题主要考查频率分布直方图,考查离散型随机变量分布列和数学期望. 22.(I )见解析(II )13k ≥(III )见解析 【解析】 【分析】(I )求导后,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,可知()f x 单调递增；当0a >时,求出()0f x '=的解,从而可判断出()f x '的符号,从而得到()f x 的单调区间；(II )当0x =时,可知k ∈R ；当0x >时,()g x k x ≥,利用导数求解出()0,x π∈使,()g x x的最大值,从而()max 13g x k x ⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦；当[),x π∈+∞时,()()sin 1112cos 3g x x x x x x π=≤≤<+,可得13k ≥,综合上述结果,可求得13k ≥；(III )由(II )可知只需证得1x e x ->在[)0,+∞上恒成立即可；构造函数()1xF x e x =--,利用导数可证得结果,从而原不等式成立. 【详解】(I )由题意知：()xf x e a '=-(1)当0a ≤时,()0f x '≥恒成立 ()f x ∴在定义域R 上单调递增 (2)当0a >时,令()0f x '=,解得：ln x a = 则x ,()f x ',()f x 变化情况如下表：()f x ∴的单调减区间为：(),ln a -∞,单调增区间为：()ln ,a +∞(II )(1)当0x =时,原不等式化为：00≤恒成立,可知k ∈R(2)当0x >时,则()g x k x≥,令()()()sin 2cos g x x h x x x x ==+ 则()()()()()()2222cos 2cos sin 2cos sin 2cos 2sin sin cos 2cos 2cos x x x x x x x x x x x x xh x x x x x ⋅+-++---+'==++令()2cos 2sin sin cos x x x x x x x ϕ=--+,则()()'2sin sin x x x x ϕ=- 当()0,x π∈时,0sin x x <<,则()0x ϕ'<()x ϕ∴在()0,π上单调递减 ()()00x ϕϕ∴<=即()0h x '< ()h x ∴在()0,π上单调递减()()00sin cos 1lim limlim 2cos 2cos sin 3x x x x x h x x x x x x →→→===++-()13h x ∴≤ 13k ∴≥当[),x π∈+∞时,()()()sin 1112cos 3g x x h x x x x x π==≤≤<+ 13k ∴≥ 综上所述：13k ≥(III )(1)当1a =时,()xf x e x =-,则由(II )可得0x ≥时,sin 12cos 3x x x ≤+ 3sin 2cos xx x∴≤+则只需证明：()1xf x e x '=->成立 令()1xF x e x =--当0x >时,()10xF x e '=->()F x ∴在[)0,+∞上单调递增 ()()00F x F ∴≥=1x e x ∴-≥ 3sin 12cos x xx e x∴≤≤-+()()2cos 3sin x f x x '∴+≥【点睛】本题考查讨论含参数函数的单调性问题、利用导数解决恒成立问题、不等式证明问题.解决恒成立问题的常用方法为分离变量的方式,通过参数与新函数的最值之间的关系求得结果.证明不等式时,通常将所证不等式进行转化,通过构造函数变成函数单调性和最值的求解问题.题.。

漳州市2020届高三毕业班第一次教学质量检测卷数学（理科）一、选择题：1.已知集合{}2|40A x x =->，102B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B =U （ B ） A. {|2x x <-或}2x > B. {|2x x <-或12x ⎫>⎬⎭C. {}|2x x >D. {}|2x x <-解{}{2402A x x x x =->=<-Q 或}2x >，11022B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 因此，{2A B x x ⋃=<-或12x ⎫>⎬⎭，故选：B. 总结本题考查并集的运算，同时也考查了一元二次不等式以及分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知复数z 满足2020(3)3z i i +=+，则z 的共轭复数z 的虚部为（ D ）A. 65B. 25-C.25i D.25解()505202041ii==Q ，在等式()202033z i i +=+两边同时除以3i+得()()()20204336233355i i z i i i i -+===-++-，6255z i ∴=+，因此，复数z 的虚部为25,故选：D. 3.已知某学校高一、高二、高三学生的人数如下表：利用分层抽样抽取部分学生观看演出，已知高一年级抽调15人，则该学校观看演出的人数为( C ) A. 35B. 45C. 60D. 80解：由高一年级抽调15人，可知150010015=，即每100人中选1个人，则该校观看演出的人数为()15002000250010060++÷=（人），故选：C ． 4.已知,αβ是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同的直线，可以断定αβ∥的条件是（ C ）A. ,a α⊥b β⊥B. ,a α⊥,b β⊥a b ⊥r rC. ,a α⊥,b β⊥//a bD. ,a α//,b α//,a β⊂b β⊂解：由a α⊥，b β⊥无法得到//αβ，A 错误； 由,a α⊥,b β⊥a b ⊥r r可得αβ⊥，B 错误；由,a α⊥,b β⊥//a b ，可得a α⊥，a β⊥，可知两平面同垂直于一条直线，则两平面是平行的，故C 正确；由,a α//,b α//,a β⊂b β⊂不一定得到//αβ，α，β还可能是相交，D 错误． 故选：C ．5.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ B ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<解:22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>=，所以a c b <<.故选：B6.已知数列{}n a 为等比数列，且21064a a a =，数列{}n b 为等差数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，610,S S =67a b =，则9b =（ B ）A.43B. 43-C. 83-D. 4-解：设等差数列{}n b 的公差为d ，21064a a a =Q ,2664a a ∴=解得64a =，610S S =Q ,789100b b b b ∴+++=，则7100b b +=674a b ==Q 104b ∴=- 1073448d b b ∴=-=--=-83d ∴=-978424233b b d ⎛⎫∴=+=+⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B7.若实数x ，y 满足22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值是（ C ） A. 0B. 1C. 2D. 3解作出不等式组22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域，如下图中的阴影部分区域所示：则z 为直线z x y =+在x 轴上的截距，平移直线z x y =+，当该直线经过可行域的顶点()0,2A 时，直线z x y =+在x 轴上的截距最大， 此时z x y =+取得最大值，即max 022z =+=.8.已知函数()sin cos 2020,f x x x x =++()g x 是函数()f x 的导函数，则函数()y g x =的部分图象是（ D ）A. B.C. D.解：()sin cos 2020,f x x x x =++Q()()sin cos sin cos g x f x x x x x x x '∴==+-= ()()()cos cos g x x x x x g x -=--=-=-Q()g x ∴为奇函数，图象关于原点对称，故排除AB ；02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，cos 03336g ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故排除C ；故选：D9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3n n a S n +=+，则n a =（ B ） A. 12n +B. 1112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 112n -+D. 1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭解：3n n a S n +=+Q ①，当1n =时，1113a S +=+解得12a =， 当2n ≥时，1113n n a S n --+=-+②，①减②得，()()11313n n n n a S a S n n --++=---++11122n n a a -+∴=()11121n n a a --=-∴则{}1n a -是以111a -=为首项，12为公比的等比数列， 1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭-∴1112n n a -⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭10.已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，斜率大于0的直线l过点(1,P -和点F ，且交抛物线于A ，B 两点，满足||2||FA FB =，则抛物线的方程为（ A ） A. 210y x = B. 26y x = C. 28y x = D. 24y x =解：由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的斜率为()0k k >，则直线的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 整理得2220ky py kp --=，222440p k p ∆=+>， 则122p y y k+=，212y y p =-， ||2||FA FB =Q122y y ∴=-，则22p y k-=，2222y p -=-，解得k =k =-，所以直线方程2p y x ⎫=-⎪⎭因为直线过点(1,P -，代入可得5p =，则抛物线的方程为210y x =故选：A11.已知函数2()sin sin ()2f x x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭02πα<<时，1()3f α=，则cos2=α（ C ）A. 36±-B.36-D.解：由题可知2()sin sin ()22f x x x x ππ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭2cos sin x x x =+1sin 2cos 2)2x x =++sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1()sin 233f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 因为02πα<<，所以22333ππαπ-<-<， 所以由1sin 2033πα⎛⎫-=> ⎪⎝⎭可知0232ππα<-<，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3=， 则cos 2cos 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113232=-⨯3=， 故选：C.12.在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h =（ D ） A.143B.134C.72D.163解：设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，根据图形可知2224(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22180,3h h a -=>08h ∴<<. 又Q 正三棱锥的体积21334V a h =⨯()2384h h h =-()23384h h =-， 则()23163V h h '=-， 令0V '=， 则163h =或0h =（舍去）， ∴函数()2338V h h =-在160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在16,83⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当163h =时，V 取得最大值， 故选：D.二、填空题：13.函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则a b +=___3___.解()2ln f x a x bx =+Q ，则()2af x bx x'=+， 由于函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则()()11124f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，因此，3a b +=.14.已知二项式()na b +的展开式中的二项式系数和为64,(21)n x +2012(1)(1)(1)n n a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则0a =____1____.解：由二项式()n a b +的展开式中的二项式系数和为64 可知264,n=解得6n =，则6(21)(21)n x x +=+260126(1)(1)(1)a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，令1x =-， 则01a =.15.已知等边ABC V 的边长为2，点G 是ABC V 内的一点，且0AG BG CG ++=u u u r u u u r u u u r r，点P 在ABC V 所在的平面内且满足||1PG =u u u r ，则||PA u u u r的最大值为____231+____. 解：由0AG BG CG ++=u u u r u u u r u u u r，可知点G 为ABC V 的重心.以AB 所在的直线为x 轴，中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0),B 3G ⎛ ⎝⎭.设(,)P x y ，由||1PG =u u u r 可知P 为圆2231x y ⎛+-= ⎝⎭上的动点， 所以||PA u u u r 的最大值为22323||11133AG ⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .故答案为：313+ 16.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，左顶点为A ，O 为坐标原点，以OF 为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P ，且||||PA PF =，则双曲线的离心率e =___2_____. 解：由题可知(,0),A a -(c,0)F ，双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可取by x a=， 以OF 为直径的圆的方程为22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，联立22224b y x a c c x y ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y =⎧⎨=⎩（舍去）可得2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由||||PA PF =，222222a ab a ab a c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得22c a a c-=，即222,c ac a -=220,e e --=(2)(1)0e e ∴-+=，解得2e =或1e =-（舍去）， 故双曲线的离心率2e =. 故答案为：2三、解答题：17.高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表：（1）已知该考生的模拟考试成绩y 与模拟考试的次数x 满足回归直线方程ˆˆˆybx a =+，若高考看作第11次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值y 的个数为ξ，求出ξ的分布列与数学期望.参考公式：1221ˆn i ii ni i x y nx y bx nx ==-⋅=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 解（1）由表可知1234535x ++++==，901001051051001005y ++++==，511902100310541055100i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑1525=，522222211234555ii x==++++=∑，则51522155i ii i i x y x yb x x==-⋅=-∑∑21525531005553-⨯⨯=-⨯ 2.5=， a y bx =-$$100 2.5392.5=-⨯=，故回归直线方程为$ 2.592.5y x =+. 当11x =时，$ 2.51192.5120y =⨯+=， 所以估计该考生的高考数学成绩为120分.（2）由题可知随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，则212335C C 3(1)C 10P ξ===； 122335C C 3(2)C 5P ξ===；3335(3)110C P C ξ===，故随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望331()12310510E ξ=⨯+⨯+⨯95=. 总结本题考查回归直线方程的计算、随机变量的分布列及数学期望，考查数据处理能力、运算求解能力，属于基础题．18.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin(2)22cos()sin A C A C A +=++. （1）当sin 2sin B A =时，求cos A 的值；（2）若D 为AC 的中点，且4,AC =2BD =，求ABC V 的周长.解：（1）由sin(2)22cos()sin A C A C A+=++可得sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++， sin cos()cos sin()A A C A A C ∴+++2sin 2sin cos()A A A C =+⋅+，sin cos()cos sin()A A C A A C ∴-+++2sin A =，sin 2sin C A ∴=，由正弦定理可得2c a =.sin 2sin ,B A =Q 2b a ∴=.则由余弦定理可得222cos 2b c a A bc +-=222(2)(2)222a a a a a+-=⨯⨯78=. （2）设BDC α∠=，则BDA a π∠=-.在BDC V 和BDA V 中，利用余弦定理可得2222cos BC DC BD DC BD α=+-⋅，2222cos()AB AD BD AD BD πα=+-⋅-，结合（1）可得22222222cos a α=+-⨯⨯，222(2)22222cos()a πα=+-⨯⨯-，两式相加可得2516a =，即45a =，故ABC V 的周长125244l a a =++=+. 19.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且//,AB CD 2,CD AB =,AD CD ⊥AB AD =.（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角D -PC -B 的余弦值.解：（1）证明：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD .2,CD AB =Q AB DE ∴=.又,AB AD =Q AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥.PD ⊥Q 平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，PD AE ∴⊥.,PD BD D =Q I PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD .AE ∴⊥平面PBD .,AB EC =Q //AB EC ，∴四边形ABCE 为平行四边形，//,BC AE ∴BC ∴⊥平面PBD .（2）PD ⊥Q 平面ABCD ，PBD ∴∠为PB 与平面ABCD 所成的角，即45PBD ︒∠=，则PD BD =.设1AD =，则1,AB =2,CD =2PD BD ==以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),D (1,0,0),A 2),P (1,1,0)B ，(0,2,0)C .Q DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =u u u r .设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =u r ，(1,1,2),PB =u u u r Q (1,1,0)BC =-u u u r ，则00PB m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 11111200x y z x y ⎧+-=⎪⇒⎨-+=⎪⎩， 取11x =，则2)m =u r .设二面角D -PC -B 的平面角为θ，cos ||||m DA m DA θ⋅∴=u r u u u r u r u u u r 2111=++⨯12=. 由图可知二面角D -PC -B 为锐角，故二面角D -PC -B 的余弦值为12. 20.已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为1,F 2,F 122F F =，过点1F 且斜率为22的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分为A ，B ，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.解：（1）设椭圆的焦距为2c ，故由题可知22c =，则椭圆的左焦点1(1,0)F -，故直线方程为1)y x =+， 以右顶点(,0)a 为圆心，b 为半径的圆的方程为222()x a y b -+=，则221b a b =-=⎩，220a a ⇒--=， 解得2a =或1a =-（舍去），故24,a =23b =， ∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,,P x y ()22,Q x y ， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my ++-=，显然>0∆， 则1226,34m y y m -+=+122934y y m =-+， 12y y -=234m =+， 故四边形APBQ 的面积121||2S AB y y =⨯⨯-=. 1t =≥，则22431t S t =+2413t t=+， 可设函数1()3f t t t=+，则21()30f t t '=->， ∴函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则134t t +≥，则2464S ≤=， 当且仅当0m =时等号成立，四边形APBQ 的面积取得最大值为6.总结本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系，考查函数与方程的思想及运算求解能力，属于中档题．21.已知函数()22()log xf x a x x x=+-()a ∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的导函数()f x '在(1,4)上有三个零点，求实数a 的取值范围.解：（1）()22()log xf x a x x x=+-Q 22ln 221()1ln 2x x x f x a x x -⎛⎫'∴=+- ⎪⎝⎭ 22(ln 21)(ln 21)ln 2x x a x x x --=+ 22(ln 21)ln 2x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 当1a =时，221()(ln 21),ln 2x f x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭(0,)x ∈+∞， 令()0f x '=，得ln 210x -=，则2log e x =，故当()20,log e x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2log ,x e ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故函数()f x 的单调递增区间为()2log ,e +∞，单调递减区间为()20,log e .（2）由22()(ln 21)ln 2x a f x x xx ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，可知2log x e =为()f x '的一个零点， 则方程220ln 2x a x x +=在(1,4)上有2个不同的实数根， 即2ln 2x a x⋅=-在(1,4)上有2个不同的实数根， 问题等价于函数2ln 2()x g x x⋅=-与直线y a =有2个交点， ()22ln 22ln 2()x x x g x x ⋅⋅-'=-Q 22ln 2(1ln 2)x x x⋅-=， 令()0g x '=，则2log x e =，∴当()21,log e x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当()2log e,4x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，max ()g x ∴()2log e g =2eln 2log e=-2(ln 2)e =-. (1)2ln 2,g =-Q (4)4ln 2g =-，且(1)(4)g g >，22ln 2(ln 2)e a ∴-<<-，故实数a 的取值范围为()22ln 2,(ln 2)e --.总结本题考查导数在研究函数中的应用，考查运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+.（1）写出曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且点()0,2P ，求PA PB +的值.解（1）Q 曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，即22cos 4sin ρρθρθ=+，将222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩代入上式，可得22240x y x y +--=， 所以曲线C 的直角坐标方程()()22125x y -+-=； （2）把直线l的参数方程1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程()()22125x y -+-=中，得240t t --=，显然>0∆，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则124t t =-，121t t +=，因为点()0,2P 在直线l 上， 所以1212P t t t t A PB =+=-=+==总结本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，对于这类问题，一般将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理进行求解计算，考查计算能力，属于中等题. 23.设函数()31f x x x =+--.（1）求不等式()23f x x ≥-的解集；（2）若函数()f x 的最大值为m ，且正实数a 、b 满足a b m +=，求1111a b +++的最小值. 解（1）因为()4,322,314,1x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩，当3x <-时，由()23f x x ≥-可得出234x -≤-，解得2x ≥，此时x ∈∅；当31x -≤≤时，由()23f x x ≥-可得出2223x x +≥-，解得0x ≥，此时01x ≤≤；当1x >时，由()23f x x ≥-可得出234x -≤，解得23x ≥-，此时1x >. 所以不等式()23f x x ≥-的解集为[)0,+∞；（2）根据（1）可知，函数()y f x =的最大值为4，即4a b +=， 所以()()1116a b +++=. ()()11111111111111611611b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭126⎛≥+ ⎝()122263=+=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，所以1111a b +++的最小值为23. 总结本题考查利用绝对值不等式求解，同时也考查了基本不等式求和的最小值，考查分类讨论思想的应用与计算能力，属于中等题.。

福建省漳州市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）(2017·湖北模拟) 设集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）||x|+|y|=1}，则A∩B中的元素个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 无数个2. （1分） (2016高三上·宜春期中) 下列说法正确的是（）A . a∈R，“ ＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B . “p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C . 命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”D . 命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤ ”，则￢p是真命题3. （1分） (2016高三上·湖北期中) 已知向量 =（2cos2x，）， =（1，sin2x）．设f（x）= •，若f（α﹣）=2，α∈[ ，π]，则sin（2α﹣）=（）A . ﹣B .C . ﹣D .4. （1分）(2017·山东) 已知命题p：∃x∈R，x2﹣x+1≥0．命题q：若a2＜b2 ，则a＜b，下列命题为真A . p∧qB . p∧￢qC . ￢p∧qD . ￢p∧￢q5. （1分）“a＞3”是“函数f（x）=ax+3在（﹣1，2）上存在零点”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. （1分）已知函数对的图象恒在x轴上方，则m的取值范围是（）A . 2－2＜m＜2+2B . m＜2C . m＜2+2D . m≥2+27. （1分）已知向量 =（m，4）， =（3，﹣2），且∥ ，则m=（）A . 6B . ﹣6C .D . ﹣8. （1分）一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零A .B .C .D .9. （1分） (2016高一下·南市期末) 在△ABC中，AB=BC=3，AC=4，若 +2 =3 ，则向量在方向上的投影为（）A .B .C . 1D . 210. （1分）现有四个函数：①②③④的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）A . ①④②③B . ①④③②C . ④①②③D . ③④②①11. （1分） (2017高三上·烟台期中) 设函数f（x）=3cos x，若存在f（x）的非零极值点x0满足x02+f （x0）＜4m，则实数m的取值范围为（）A . （1，3）B . （2﹣，2+ ）C . （3，+∞）D . （2+ ，+∞）12. （1分）下列函数中，与函数的奇偶性、单调性均相同的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·沈阳期中) 曲线与直线所围成的封闭图形的面积为________.14. （1分）(2018·如皋模拟) 已知点是边长为的正三角形内切圆上的一点，则的取值范围为________.15. （1分）(2014·大纲卷理) 若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是________．16. （1分） (2015高二下·宜春期中) 已知函数f（x）= ﹣2ax﹣alnx在（1，2）上单调递减，则a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共11分)17. （2分） (2019高三上·朝阳月考) 在中，，，．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求的值．18. （2分） (2018高三上·赣州期中) 已知函数 .（1）当时,求的极值；（2）若在区间上是增函数,求实数的取值范围.19. （2分） (2016高二上·高青期中) 为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路，其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长米．（1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度；（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．20. （2分） (2016高三上·巨野期中) 已知函数（x∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若，求f（x）的值域．21. （1分）(2018·吉林模拟) 已知函数（1）求曲线在点处的切线方程;（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，若有，求出极值.22. （2分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程 (为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是，射线OM:与圆C的交点为O、P，与直线 l 的交点为Q，求线段PQ的长．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共11分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

福建省漳州市高三上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2018高一上·南昌月考) 已知A,B是非空集合，定义，（）A .B . (-∞,3]C . ( -∞,0)∪(0,3)D . ( -∞,3)2. （2分）(2020·金堂模拟) 已知命题，则p命题的否定为（）A .B .C .D .3. （2分）(2020·日照模拟) 设是非零向量，则是成立的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高一下·深圳期中) 已知向量，，则（）A .B .C .D .5. （2分）已知等差数列的前项和为，且,则（）A .B .C .D . 46. （2分）在数列中，已知，，记为数列的前n项和，则（）A .B .C .D .7. （2分）已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为4的正三角形，侧视图是有一直角边长为4的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高三下·武邑期中) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A . 18B . 20C . 21D . 409. （2分）曲线y=（x＞0）在点P（x0 ， y0）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB（其中O为坐标原点）的面积为（）A . 4+2B . 2C . 2D . 5+210. （2分） (2016高一上·洛阳期中) 已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，20]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）A . （﹣∞，40]B . [160，+∞）C . （﹣∞，40）∪（160，+∞）D . （﹣∞，40]∪[160，+∞）11. （2分） (2018高三上·云南期末) 已知双曲线C：的左焦点为F ，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P在双曲线上，且则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）若函数，则f（log43）=（）A .B .C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·民勤期中) 定义一种运算如下： =ad﹣bc，则复数的共轭复数是________．14. （1分）已知向量 =（1，2）， =（﹣1，m），若⊥ ，则m=________．15. （1分） (2017高一下·广东期末) 公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为________．16. （1分） (2016高二上·南通开学考) 设函数f（x）= ，若f（a）=4，则实数a=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高一下·怀仁期末) 已知△ABC中，BC=7，AB=3，且。

福建省漳州市数学高三上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|﹣2＜x＜2}，B={x|x＜1}，则A∪B=（）A . （﹣∞，2）B . （﹣∞，1）C . （1，+∞）D . （2，+∞）2. （2分）已知复数，则的共轭复数等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高三上·河北月考) 已知向量的夹角为，则的值为（）A . 0B .C .D .4. （2分）已知命题p：∀x∈R，32x+1＞0，命题q：“0＜x＜2”是“log2x＜1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）B . p∧qC . p∧（￢q）D . （￢p）∨q5. （2分） (2016高一下·海珠期末) 对于a∈R，下列等式中恒成立的是（）A . cos（﹣α）=﹣cosαB . sin（﹣α）=﹣sinαC . sin（90°﹣α）=sinαD . cos（90°﹣α）=cosα6. （2分） (2019高二上·湖南期中) 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（）A .B .C .D .7. （2分）下列四个结论中，正确的个数有（）（1）；（2）ln10＞lne；（3）0.8﹣0.1＞0.8﹣0.2；（4）80.1＞90.1 ．A . 1个B . 2个C . 3个8. （2分）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2﹣x+a=0无实根的概率为（）A .B .C .D .9. （2分）函数（其中A＞0，)的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度10. （2分）(2016·四川文) 已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A . ﹣4B . ﹣2C . 4D . 211. （2分）(2017·银川模拟) 某三棱锥的三视图如图所示，已知该三棱锥的外接球的表面积为12π，则此三棱锥的体积为（）A . 4B .C .D .12. （2分） (2017高二下·邯郸期末) 若函数f（x）= ，则方程f（f（x））= 的根的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·驻马店模拟) 展开式的第5项的系数为________.14. （1分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 已知双曲线的一个焦点是，椭圆的焦距等于，则 ________．15. （1分） (2017高一下·郑州期末) 已知向量 =（2，3）， =（﹣4，1），则向量在向量方向上的投影为________．16. （1分） (2017高二下·襄阳期中) 抛物线x= y2的焦点坐标为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分）在等差数列中，为其前n项和，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．18. （10分） (2017高一上·廊坊期末) 已知函数f（x）= [cos（2x+ ）+4sinxcosx]+1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）令g（x）=af（x）+b，若函数g（x）在区间[﹣， ]上的值域为[﹣1.1]，求a+b的值．19. （15分）(2020·广西模拟) 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位:mm),得到如图5的茎叶图,整数位为茎,小数位为叶,如27.1mm的茎为27,叶为1．（1）试比较甲、乙两种棉花的纤维长度的平均值的大小及方差的大小;(只需写出估计的结论,不需说明理由) （2）将棉花按纤维长度的长短分成七个等级,分级标准如表:试分别估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率;（3）为进一步检验甲种棉花的其它质量指标,现从甲种棉花中随机抽取4根,记为抽取的棉花纤维长度为二级的根数,求的分布列和数学期望.20. （10分） (2015高二上·广州期末) 在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2 ，M为AB的中点．（1）求证：AC⊥SB；（2）求二面角S﹣CM﹣A的平面角的余弦值．21. （10分） (2015高二上·龙江期末) 设f（x）=﹣ x3+ x2+2ax．（1）当a=1时，求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值．（2）若f （x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围．22. （10分）(2018·重庆模拟) 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）记曲线和在第一象限内的交点为，点在曲线上，且，求的面积．23. （10分）(2018·邢台模拟) 设函数 . （1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

漳州市2020届高三毕业班第一次教学质量检测卷数学（理科）一、选择题：1.已知集合{}2|40A x x =->，102B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B =U （ B ） A. {|2x x <-或}2x > B. {|2x x <-或12x ⎫>⎬⎭C. {}|2x x >D. {}|2x x <-解{}{2402A x x x x =->=<-Q 或}2x >，11022B x x x x ⎧⎫⎧⎫=<<=>⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 因此，{2A B x x ⋃=<-或12x ⎫>⎬⎭，故选：B. 总结本题考查并集的运算，同时也考查了一元二次不等式以及分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.2.已知复数z 满足2020(3)3z i i +=+，则z 的共轭复数z 的虚部为（ D ）A. 65B. 25-C.25i D.25解()505202041ii==Q ，在等式()202033z i i +=+两边同时除以3i+得()()()20204336233355i i z i i i i -+===-++-，6255z i ∴=+，因此，复数z 的虚部为25,故选：D. 3.已知某学校高一、高二、高三学生的人数如下表：利用分层抽样抽取部分学生观看演出，已知高一年级抽调15人，则该学校观看演出的人数为( C ) A. 35B. 45C. 60D. 80解：由高一年级抽调15人，可知150010015=，即每100人中选1个人，则该校观看演出的人数为()15002000250010060++÷=（人），故选：C ． 4.已知,αβ是两个不重合的平面，a ，b 是两条不同的直线，可以断定αβ∥的条件是（ C ）A. ,a α⊥b β⊥B. ,a α⊥,b β⊥a b ⊥r rC. ,a α⊥,b β⊥//a bD. ,a α//,b α//,a β⊂b β⊂解：由a α⊥，b β⊥无法得到//αβ，A 错误； 由,a α⊥,b β⊥a b ⊥r r可得αβ⊥，B 错误；由,a α⊥,b β⊥//a b ，可得a α⊥，a β⊥，可知两平面同垂直于一条直线，则两平面是平行的，故C 正确；由,a α//,b α//,a β⊂b β⊂不一定得到//αβ，α，β还可能是相交，D 错误． 故选：C ．5.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ B ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<解:22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>=，所以a c b <<.故选：B6.已知数列{}n a 为等比数列，且21064a a a =，数列{}n b 为等差数列，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，610,S S =67a b =，则9b =（ B ）A.43B. 43-C. 83-D. 4-解：设等差数列{}n b 的公差为d ，21064a a a =Q ,2664a a ∴=解得64a =，610S S =Q ,789100b b b b ∴+++=，则7100b b +=674a b ==Q 104b ∴=- 1073448d b b ∴=-=--=-83d ∴=-978424233b b d ⎛⎫∴=+=+⨯-=- ⎪⎝⎭故选：B7.若实数x ，y 满足22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值是（ C ） A. 0B. 1C. 2D. 3解作出不等式组22000x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域，如下图中的阴影部分区域所示：则z 为直线z x y =+在x 轴上的截距，平移直线z x y =+，当该直线经过可行域的顶点()0,2A 时，直线z x y =+在x 轴上的截距最大， 此时z x y =+取得最大值，即max 022z =+=.8.已知函数()sin cos 2020,f x x x x =++()g x 是函数()f x 的导函数，则函数()y g x =的部分图象是（ D ）A. B.C. D.解：()sin cos 2020,f x x x x =++Q()()sin cos sin cos g x f x x x x x x x '∴==+-= ()()()cos cos g x x x x x g x -=--=-=-Q()g x ∴为奇函数，图象关于原点对称，故排除AB ；02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭Q ，cos 03336g ππππ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，故排除C ；故选：D9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3n n a S n +=+，则n a =（ B ） A. 12n +B. 1112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. 112n -+D. 1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭解：3n n a S n +=+Q ①，当1n =时，1113a S +=+解得12a =， 当2n ≥时，1113n n a S n --+=-+②，①减②得，()()11313n n n n a S a S n n --++=---++11122n n a a -+∴=()11121n n a a --=-∴则{}1n a -是以111a -=为首项，12为公比的等比数列， 1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭-∴1112n n a -⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭10.已知F 为抛物线22y px =(0)p >的焦点，斜率大于0的直线l过点(1,P -和点F ，且交抛物线于A ，B 两点，满足||2||FA FB =，则抛物线的方程为（ A ） A. 210y x = B. 26y x = C. 28y x = D. 24y x =解：由题意可知,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线l 的斜率为()0k k >，则直线的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去x 整理得2220ky py kp --=，222440p k p ∆=+>， 则122p y y k+=，212y y p =-， ||2||FA FB =Q122y y ∴=-，则22p y k-=，2222y p -=-，解得k =k =-，所以直线方程2p y x ⎫=-⎪⎭因为直线过点(1,P -，代入可得5p =，则抛物线的方程为210y x =故选：A11.已知函数2()sin sin ()2f x x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭02πα<<时，1()3f α=，则cos2=α（ C ）A. 36±-B.36-D.解：由题可知2()sin sin ()22f x x x x ππ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭2cos sin x x x =+1sin 2cos 2)2x x =++sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则1()sin 233f παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 因为02πα<<，所以22333ππαπ-<-<， 所以由1sin 2033πα⎛⎫-=> ⎪⎝⎭可知0232ππα<-<，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭3=， 则cos 2cos 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113232=-⨯3=， 故选：C.12.在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高h =（ D ） A.143B.134C.72D.163解：设正三棱锥底面的边长为a ，高为h ，根据图形可知2224(4)3h a ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，则22180,3h h a -=>08h ∴<<. 又Q 正三棱锥的体积21334V a h =⨯()2384h h h =-()23384h h =-， 则()23163V h h '=-， 令0V '=， 则163h =或0h =（舍去）， ∴函数()2338V h h =-在160,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在16,83⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∴当163h =时，V 取得最大值， 故选：D.二、填空题：13.函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则a b +=___3___.解()2ln f x a x bx =+Q ，则()2af x bx x'=+， 由于函数()2ln f x a x bx =+在点()1,1处的切线方程为4y x m =+，则()()11124f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，因此，3a b +=.14.已知二项式()na b +的展开式中的二项式系数和为64,(21)n x +2012(1)(1)(1)n n a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，则0a =____1____.解：由二项式()n a b +的展开式中的二项式系数和为64 可知264,n=解得6n =，则6(21)(21)n x x +=+260126(1)(1)(1)a a x a x a x =+++++⋅⋅⋅++，令1x =-， 则01a =.15.已知等边ABC V 的边长为2，点G 是ABC V 内的一点，且0AG BG CG ++=u u u r u u u r u u u r r，点P 在ABC V 所在的平面内且满足||1PG =u u u r ，则||PA u u u r的最大值为____231+____. 解：由0AG BG CG ++=u u u r u u u r u u u r，可知点G 为ABC V 的重心.以AB 所在的直线为x 轴，中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)A -，(1,0),B 3G ⎛ ⎝⎭.设(,)P x y ，由||1PG =u u u r 可知P 为圆2231x y ⎛+-= ⎝⎭上的动点， 所以||PA u u u r 的最大值为22323||11133AG ⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .故答案为：313+ 16.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，左顶点为A ，O 为坐标原点，以OF 为直径作圆交双曲线的一条渐近线于点P ，且||||PA PF =，则双曲线的离心率e =___2_____. 解：由题可知(,0),A a -(c,0)F ，双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可取by x a=， 以OF 为直径的圆的方程为22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，联立22224b y x a c c x y ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y =⎧⎨=⎩（舍去）可得2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由||||PA PF =，222222a ab a ab a c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得22c a a c-=，即222,c ac a -=220,e e --=(2)(1)0e e ∴-+=，解得2e =或1e =-（舍去）， 故双曲线的离心率2e =. 故答案为：2三、解答题：17.高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加10次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加5次模拟考试的数学成绩表：（1）已知该考生的模拟考试成绩y 与模拟考试的次数x 满足回归直线方程ˆˆˆybx a =+，若高考看作第11次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；（2）把这5次模拟考试的数学成绩单放在5个相同的信封中，从中随机抽取3份试卷的成绩单进行研究，设抽取考试成绩不等于平均值y 的个数为ξ，求出ξ的分布列与数学期望.参考公式：1221ˆn i ii ni i x y nx y bx nx ==-⋅=-∑∑()()()121,niii ni i x x y y x x ==--=-∑∑ˆˆa y bx=-. 解（1）由表可知1234535x ++++==，901001051051001005y ++++==，511902100310541055100i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯∑1525=，522222211234555ii x==++++=∑，则51522155i ii i i x y x yb x x==-⋅=-∑∑21525531005553-⨯⨯=-⨯ 2.5=， a y bx =-$$100 2.5392.5=-⨯=，故回归直线方程为$ 2.592.5y x =+. 当11x =时，$ 2.51192.5120y =⨯+=， 所以估计该考生的高考数学成绩为120分.（2）由题可知随机变量ξ的所有可能取值为1，2，3，则212335C C 3(1)C 10P ξ===； 122335C C 3(2)C 5P ξ===；3335(3)110C P C ξ===，故随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望331()12310510E ξ=⨯+⨯+⨯95=. 总结本题考查回归直线方程的计算、随机变量的分布列及数学期望，考查数据处理能力、运算求解能力，属于基础题．18.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin(2)22cos()sin A C A C A +=++. （1）当sin 2sin B A =时，求cos A 的值；（2）若D 为AC 的中点，且4,AC =2BD =，求ABC V 的周长.解：（1）由sin(2)22cos()sin A C A C A+=++可得sin(2)2sin 2sin cos()A C A A A C +=++， sin cos()cos sin()A A C A A C ∴+++2sin 2sin cos()A A A C =+⋅+，sin cos()cos sin()A A C A A C ∴-+++2sin A =，sin 2sin C A ∴=，由正弦定理可得2c a =.sin 2sin ,B A =Q 2b a ∴=.则由余弦定理可得222cos 2b c a A bc +-=222(2)(2)222a a a a a+-=⨯⨯78=. （2）设BDC α∠=，则BDA a π∠=-.在BDC V 和BDA V 中，利用余弦定理可得2222cos BC DC BD DC BD α=+-⋅，2222cos()AB AD BD AD BD πα=+-⋅-，结合（1）可得22222222cos a α=+-⨯⨯，222(2)22222cos()a πα=+-⨯⨯-，两式相加可得2516a =，即45a =，故ABC V 的周长125244l a a =++=+. 19.已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，PD ⊥平面ABCD ，且//,AB CD 2,CD AB =,AD CD ⊥AB AD =.（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）若PB 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角D -PC -B 的余弦值.解：（1）证明：取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，BD .2,CD AB =Q AB DE ∴=.又,AB AD =Q AD DC ⊥，∴四边形ABED 为正方形，则AE BD ⊥.PD ⊥Q 平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，PD AE ∴⊥.,PD BD D =Q I PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD .AE ∴⊥平面PBD .,AB EC =Q //AB EC ，∴四边形ABCE 为平行四边形，//,BC AE ∴BC ∴⊥平面PBD .（2）PD ⊥Q 平面ABCD ，PBD ∴∠为PB 与平面ABCD 所成的角，即45PBD ︒∠=，则PD BD =.设1AD =，则1,AB =2,CD =2PD BD ==以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),D (1,0,0),A 2),P (1,1,0)B ，(0,2,0)C .Q DA ⊥平面PDC ，∴平面PDC 的一个法向量(1,0,0)DA =u u u r .设平面PBC 的法向量()111,,m x y z =u r ，(1,1,2),PB =u u u r Q (1,1,0)BC =-u u u r ，则00PB m BC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 11111200x y z x y ⎧+-=⎪⇒⎨-+=⎪⎩， 取11x =，则2)m =u r .设二面角D -PC -B 的平面角为θ，cos ||||m DA m DA θ⋅∴=u r u u u r u r u u u r 2111=++⨯12=. 由图可知二面角D -PC -B 为锐角，故二面角D -PC -B 的余弦值为12. 20.已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别为1,F 2,F 122F F =，过点1F 且斜率为22的直线和以椭圆的右顶点为圆心，短半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）椭圆的左、右顶点分为A ，B ，过右焦点2F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，求四边形APBQ 面积的最大值.解：（1）设椭圆的焦距为2c ，故由题可知22c =，则椭圆的左焦点1(1,0)F -，故直线方程为1)y x =+， 以右顶点(,0)a 为圆心，b 为半径的圆的方程为222()x a y b -+=，则221b a b =-=⎩，220a a ⇒--=， 解得2a =或1a =-（舍去），故24,a =23b =， ∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,,P x y ()22,Q x y ， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my ++-=，显然>0∆， 则1226,34m y y m -+=+122934y y m =-+， 12y y -=234m =+， 故四边形APBQ 的面积121||2S AB y y =⨯⨯-=. 1t =≥，则22431t S t =+2413t t=+， 可设函数1()3f t t t=+，则21()30f t t '=->， ∴函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，则134t t +≥，则2464S ≤=， 当且仅当0m =时等号成立，四边形APBQ 的面积取得最大值为6.总结本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系，考查函数与方程的思想及运算求解能力，属于中档题．21.已知函数()22()log xf x a x x x=+-()a ∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 的导函数()f x '在(1,4)上有三个零点，求实数a 的取值范围.解：（1）()22()log xf x a x x x=+-Q 22ln 221()1ln 2x x x f x a x x -⎛⎫'∴=+- ⎪⎝⎭ 22(ln 21)(ln 21)ln 2x x a x x x --=+ 22(ln 21)ln 2x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 当1a =时，221()(ln 21),ln 2x f x x x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭(0,)x ∈+∞， 令()0f x '=，得ln 210x -=，则2log e x =，故当()20,log e x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2log ,x e ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故函数()f x 的单调递增区间为()2log ,e +∞，单调递减区间为()20,log e .（2）由22()(ln 21)ln 2x a f x x xx ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，可知2log x e =为()f x '的一个零点， 则方程220ln 2x a x x +=在(1,4)上有2个不同的实数根， 即2ln 2x a x⋅=-在(1,4)上有2个不同的实数根， 问题等价于函数2ln 2()x g x x⋅=-与直线y a =有2个交点， ()22ln 22ln 2()x x x g x x ⋅⋅-'=-Q 22ln 2(1ln 2)x x x⋅-=， 令()0g x '=，则2log x e =，∴当()21,log e x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当()2log e,4x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，max ()g x ∴()2log e g =2eln 2log e=-2(ln 2)e =-. (1)2ln 2,g =-Q (4)4ln 2g =-，且(1)(4)g g >，22ln 2(ln 2)e a ∴-<<-，故实数a 的取值范围为()22ln 2,(ln 2)e --.总结本题考查导数在研究函数中的应用，考查运算求解能力、函数与方程思想，属于难题．22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+.（1）写出曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l的参数方程为1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且点()0,2P ，求PA PB +的值.解（1）Q 曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，即22cos 4sin ρρθρθ=+，将222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩代入上式，可得22240x y x y +--=， 所以曲线C 的直角坐标方程()()22125x y -+-=； （2）把直线l的参数方程1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程()()22125x y -+-=中，得240t t --=，显然>0∆，设A 、B 对应的参数分别为1t 、2t ，则124t t =-，121t t +=，因为点()0,2P 在直线l 上， 所以1212P t t t t A PB =+=-=+==总结本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，对于这类问题，一般将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，利用韦达定理进行求解计算，考查计算能力，属于中等题. 23.设函数()31f x x x =+--.（1）求不等式()23f x x ≥-的解集；（2）若函数()f x 的最大值为m ，且正实数a 、b 满足a b m +=，求1111a b +++的最小值. 解（1）因为()4,322,314,1x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩，当3x <-时，由()23f x x ≥-可得出234x -≤-，解得2x ≥，此时x ∈∅；当31x -≤≤时，由()23f x x ≥-可得出2223x x +≥-，解得0x ≥，此时01x ≤≤；当1x >时，由()23f x x ≥-可得出234x -≤，解得23x ≥-，此时1x >. 所以不等式()23f x x ≥-的解集为[)0,+∞；（2）根据（1）可知，函数()y f x =的最大值为4，即4a b +=， 所以()()1116a b +++=. ()()11111111111111611611b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭126⎛≥+ ⎝()122263=+=， 当且仅当2a b ==时，等号成立，所以1111a b +++的最小值为23. 总结本题考查利用绝对值不等式求解，同时也考查了基本不等式求和的最小值，考查分类讨论思想的应用与计算能力，属于中等题.。