1-2.2等差数列前n项和

数学人教B 必修5第二章2.2.2 等差数列的前n 项和1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前n 项和公式，并能利用前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题． 3．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量．1．(1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数列的前n 项和公式．(2)等差数列的前n 项和公式有两个，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．(3)当已知首项a 1和末项a n 及项数n 时，用公式S n ＝n (a 1＋a n )2来求和，用此公式时常结合等差数列的性质．(4)当已知首项a 1和公差d 及项数n 时，用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求和．【做一做1－1】已知数列{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( )． A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【做一做1－2】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值为( )． A ．55 B ．95C ．100D ．不能确定2．等差数列前n 项和公式与函数的关系 由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，当d ≠0时，此公式可看做二次项系数为d 2，一次项系数为(a 1－d2)，常数项为0的________，其图象为抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d2)x 上的点集，坐标为(n ，S n )(n ∈N ＋)．因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d ＞0时，S n 有最____值；当d ＜0时，S n 有最____值．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．【做一做2－1】已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则{a n }的前________项和最大．【做一做2－2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－12n ，则当n 等于________时，S n 最小．一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析：(1)当等差数列{a n }有偶数项时，设项数为2n ， 设S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，① S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，② ①－②，得S 偶－S 奇＝nd . ①＋②，得S 偶＋S 奇＝S 2n .①②，得S 偶S 奇＝n2(a 2＋a 2n )n2(a 1＋a 2n －1)＝2a n ＋12a n ＝a n ＋1a n .(2)当等差数列{a n }有奇数项时，设项数为2n ＋1， 设S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，③ S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，④③－④，得S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1.③＋④，得S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1. ③④，得S 奇S 偶＝n ＋12(a 1＋a 2n ＋1)n 2(a 2＋a 2n )＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质： (1)项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶＋S 奇＝S 2n ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(2)项数为2n ＋1时，S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1，S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 奇S 偶＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .熟练运用这些性质，可以提高解题速度．除了上述性质外，与前n 项和有关的性质还有：①等差数列的依次连续每k 项之和S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…组成公差为k 2d 的等差数列． ②若S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列等价于{S nn }是等差数列．③若{a n }，{b n }都为等差数列，S n ，S n ′为它们的前n 项和，则a m b m ＝S 2m －1S 2m －1′.二、教材中的“？”如果仅利用通项公式，能求出使得S n 最小的序号n 的值吗？剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n 的值．因为该数列的通项公式为a n＝4n －32，其各项为－28，－24，…，－4,0,4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n 的值为7或8.三、教材中的“思考与讨论”1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析：确定了，由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n ＝1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a 1合进来，否则保留分段函数形式．2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前n 项和公式可以变形为S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n .当d ≠0时，是关于n 的二次函数，如果一个数列的前n 项和公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ，n ＝1，2an －a ＋b ，n ≥2.只有当c ＝0时，a 1＝a ＋b ＋c 才满足a n ＝2an －a ＋b .因此，当数列的前n 项和公式为S n ＝an 2＋bn 时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d ＝2a .题型一 等差数列的前n 项和公式的直接应用 【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n ； (2)已知S 8＝24，S 12＝84，求a 1和d ； (3)已知a 6＝20，S 5＝10，求a 8和S 8； (4)已知a 16＝3，求S 31.分析：在等差数列的前n 项和公式中有五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量．反思：在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a 1，d 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质．题型二 S n 与a n 的关系问题【例2】已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．分析：由a 1＝S 1，求a 1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n 确定a n ＋1与a n 的关系，再求通项a n .反思：利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n 时，切记验证n ＝1时的情形是否符合n ≥2时a n 的表达式．题型三 等差数列前n 项和性质的应用【例3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系．反思：在等差数列{a n }中，(1)若项数为2n ＋1(n ∈N ＋)，则S 奇S 偶＝n ＋1n ，其中S 奇＝(n ＋1)a n＋1，S 偶＝n ·a n ＋1；(2)若数列项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd .题型四 等差数列前n 项和的最值问题【例4】在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值．分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n ，使a n ≥0，a n ＋1＜0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项．反思：本例四种解法从四个侧面求解前n 项和最值问题，方法迥异，殊途同归． 解等差数列的前n 项和最大(最小)问题的常用方法有：(1)二次函数法：由于S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次式，因此可用二次函数的最值来确定S n 的最值，但要注意这里的n ∈N ＋.(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 达到最大(或最小)． (3)通项法：由于S n ＝S n －1＋a n ，所以当a n ≥0时，S n ≥S n －1；当a n ≤0时，S n ≤S n －1，因此当a 1＞0且d ＜0时，使a n ≥0的最大的n 的值，使S n 最大；当a 1＜0，d ＞0时，满足a n ≤0的最大的n 的值，使S n 最小．题型 五易错辨析【例5】若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2－2n ＋1，求数列{a n }的通项公式，并判断它是否为等差数列．错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， ∴a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)－5]－(6n －5)＝6(常数)． ∴数列{a n }是等差数列．错因分析：本题忽略了a n ＝S n －S n －1成立的条件“n ≥2”．【例6】已知两个等差数列{a n }与{b n }，它们的前n 项和的比S n S n ＝n ＋3n ＋1，求a 10b 10.错解：设S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)， 则a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k (10＋3)－k (9＋3)k (10＋1)－k (9＋1)＝1. 错因分析：本题由于错误地设出了S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)，从而导致结论错误．1已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )． A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 2已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 3等于( )．A ．120B ．124C ．128D ．1323等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )． A ．130 B ．170 C ．210 D ．2604设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )． A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＜S 5 D ．S 6＝S 5 5设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－2·3n ，则通项公式a n ＝________. 6设公差不为零的等差数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 23＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式为____________．答案： 基础知识·梳理 1．n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d【做一做1－1】D 由公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到35n ＋n (n －1)2(－2)＝0，即n 2－36n＝0，解得n ＝36或n ＝0(舍去)．【做一做1－2】B 2．二次函数 小 大 【做一做2－1】9 【做一做2－2】6 典型例题·领悟【例1】解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∵S n ＝242，∴12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)． ∴n ＝11.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ S 8＝8a 1＋28d ＝24，S 12＝12a 1＋66d ＝84，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2.∴a 1＝－4，d ＝2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝20，S 5＝5a 1＋10d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝6.∴a 8＝a 6＋2d ＝32，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝88.(4)S 31＝a 1＋a 312×31＝a 16×31＝93.【例2】解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1＞1，知a 1＝2. 又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)， 得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n ，因a n ＞0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.【例3】解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1.∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)×(n ＋1)12(a 2＋a 2n )×n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，得n ＝3.∴2n ＋1＝7.又∵S 奇＝(n ＋1)·a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11. 故这个数列的中间项为11，共有7项． 【例4】解：解法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ，解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数的性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法二：先求出d ＝－2(解法一)．∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ＜0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ＞1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法三：先求出d ＝－2(同解法一)． 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14， 故a 13＋a 14＝0.∵d ＝－2＜0，a 1＞0， ∴a 13＞0，a 14＜0.故n ＝13时，S n 有最大值169.解法四：先求出d ＝－2(同解法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象的对称轴n ＝9＋172＝13，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.【例5】正解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.∴数列{a n }不是等差数列．【例6】正解1：利用等差数列的性质，得a 10b 10＝192(a 1＋a 19)192(b 1＋b 19)＝S 19S 19′＝19＋319＋1＝1110. 正解2：设S n ＝kn (n ＋3)，S n ′＝kn (n ＋1)，所以a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k ·10(10＋3)－k ·9(9＋3)k ·10(10＋1)－k ·9(9＋1)＝1110.随堂练习·巩固1．B d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，a 1＝3，所以S 10＝210.2．A3．C 令m ＝1，则S m ＝S 1＝a 1＝30，S 2m ＝S 2＝a 1＋a 2＝100，则有a 1＝30，a 2＝70，d ＝40，则a 3＝110，故S 3m ＝S 3＝S 2＋a 3＝100＋110＝210.4．B 方法一：设该等差数列的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋7d ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2. 从而有S 4＝－20，S 5＝－20，S 6＝－18.从而有S 4＝S 5.方法二：由等差数列的性质知a 5＋a 5＝a 2＋a 8＝－6＋6＝0，所以a 5＝0，从而有S 4＝S 5.5．－4·3n －1 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－2·31＝－4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－2·3n )－(2－2·3n －1)＝－4·3n －1.此时对n ＝1，有a 1＝－4·31－1＝－4，也适合．综上，对n ∈N ＋，a n ＝－4·3n －1.6．a n ＝49(2n －1) 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，首项为a 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(3a 1＋3d )2＝9(2a 1＋d )，4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d ).解得a 1＝49，d ＝89或a 1＝d ＝0(舍去)．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝49＋(n －1)×89＝49(2n －1)．。

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。

3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。

2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。

2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。

五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。

各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种
形式及应用
一、定义：
等差数列（Arithmetic Sequence）是指一组数满足相邻两项之差均为常数的数列。

它是有序数列中最为常见的类型，而且它在数学中有着重要的应用。

二、公式：
等差数列的前n项和公式有五种形式，即：
1. 极差法：Sn = n*a + [(n-1)*d]/2；
2. 等比数列的和公式：Sn = a*(1-rn) / (1-r)；
3. 通项法：Sn = n/2(a+l)；
4. 等差前n项和公式：Sn = n/2(2a+(n-1)d)；
5. 首项和末项乘积法：Sn = n/2(a×l)。

三、应用：
1. 等差数列可以用于说明几何形体的对称性，如三角形、正方形和正多边形。

2. 等差数列可以用于推断和解决实际问题，如求解时间与距离的关系等。

3. 等差数列可以用于衡量某一事物的递增规律或趋势，如检测股价的波动趋势、记账的收入支出趋势等。

4. 等差数列可以用于估算一组数据的平均值，如计算某一时间段内股票的平均价格、计算某一地区的平均气温等。

5. 等差数列可以用于表达函数的性质，如线性函数y=ax+b、抛物线函数y=ax2+bx+c等。

2.2 等差数列的前n 项和第1课时 等差数列的前n 项和内 容 标 准学 科 素 养 1.理解等差数列的前n 项和公式的推导方法.2.掌握等差数列的前n 项和公式,会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题.强化图形应用 严格公式代换 抽象数学模型授课提示：对应学生用书第11页[基础认识]知识点一 等差数列的前n 项和公式 预习教材P 15－18,思考并完成以下问题1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下,高斯是怎样求1＋2＋3＋…＋100的结果的？ 提示：对于这个问题,著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果,当时他的思路和解答方法是：S ＝1＋2＋3＋…＋99＋100,把加数倒序写一遍S ＝100＋99＋98＋…＋2＋1.所以有2S ＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝100×101,∴S＝50×101＝5 050. 2．你能用高斯的计算方法求1＋2＋3…＋n 的值吗？ 提示：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n,① 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1,②两式相加得2S n ＝(1＋n)＋(2＋n －1)＋…＋(n ＋1)＝n(n ＋1), ∴S n ＝n （n ＋1）2.3．我们把高斯的这种计算方法称为倒序求和法．你能用这种方法推得等差数列{a n }的前n 项和S n 吗？ 提示：S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n ＝a 1＋(a 1＋d)＋(a 1＋2d)＋…＋[a 1＋(n －2)d]＋[a 1＋(n －1)d], S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d)＋(a n －2d)＋…＋[a n －(n －2)d]＋[a n －(n －1)d], ∴2S n ＝(a 1＋a n )×n , ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2.③4．问题(2)中求出的S n 是已知等差数列首项、末项与项数时求前n 项和S n 的公式,如果用a n ＝a 1＋(n －1)d 替换末项,问题3中求出的S n 会变形为怎样的形式呢？ 提示：S n ＝na 1＋12n(n －1)d.知识点二 a 1n n 思考并完成以下问题(1)两个公式共涉及a 1,d,n,a n 及S n 五个基本量,它们分别表示等差数列的首项,公差,项数,通项和前n 项和．(2)依据方程的思想,在等差数列前n 项和公式中已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”． 知识点三 等差数列前n 项和的最值 思考并完成以下问题等差数列前n 项和的最值与{S n }的单调性有关．(1)若a 1＞0,d ＜0,则数列的前面若干项为正项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最大值． (2)若a 1＜0,d ＞0,则数列的前面若干项为负项(或0),所以将这些项相加即得{S n }的最小值．(3)若a 1＞0,d ＞0,则{S n }是递增数列,S 1是{S n }的最小值；若a 1＜0,d ＜0,则{S n }是递减数列,S 1是{S n }的最大值．[自我检测]1．在等差数列{a n }中,若其前13项的和S 13＝52,则a 7为( ) A ．4 B ．3 C ．6D ．12解析：∵在等差数列{a n }中,其前13项的和S 13＝52, ∴S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＝52,解得a 7＝4.故选A.答案：A2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若7a 5＋5a 9＝0,且a 9＞a 5,则S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8解析：由7a 5＋5a 9＝0得a 1d ＝－173,又a 9＞a 5,所以d ＞0,a 1＜0,因为函数y ＝d 2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图像的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376,取最接近的整数6,故S n 取最小值时n 的值为6.答案：B3．在等差数列{a n }中,a 1＝1,a 3＋a 5＝14,其前n 项和S n ＝100,则n ＝________．解析：设等差数列的公差为d,则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14,∴d＝2.则S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2.令S n ＝100,即n 2＝100. 解得n ＝10或n ＝－10(舍)． 答案：10授课提示：对应学生用书第12页 探究一 等差数列前n 项和公式的基本应用[P17练习1第3题]在等差数列{a n }中, (1)已知S 8＝48,S 12＝168,求a 1和d ； (2)已知a 6＝10,S 5＝5,求a 8和S 8. (3)已知a 3＋a 15＝40,求S 17. 解析：设{a n }中首项为a 1,公差为d,(1)⎩⎪⎨⎪⎧S 8＝8a 1＋28d ＝48S 12＝12a 1＋66d ＝168,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝10S 5＝5a 1＋10d ＝5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝3. ∴a 8＝a 1＋7d ＝－5＋21＝16, S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋84＝44.(3)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.[例1] 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310,前20项的和是1 220,由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？[解析] 法一：由题意知,S 10＝310, S 20＝1 220,将它们代入公式S n ＝na 1＋n （n －1）2d,得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n×4＋n （n －1）2×6＝3n 2＋n.法二：∵S 10＝10（a 1＋a 10）2＝310,∴a 1＋a 10＝62,①∵S 20＝20（a 1＋a 20）2＝1 220,∴a 1＋a 20＝122,② ②－①,得,a 20－a 10＝60, ∴10d＝60,∴d＝6,a 1＝4. ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝3n 2＋n.方法技巧 两种思想方法在等差数列前n 项和公式中的应用(1)方程思想：等差数列的通项公式及前n 项和公式中“知三求二”的问题,一般是由通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解．(2)整体代换：在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体代换思想的运用． 跟踪探究 1.(2019·珠海市模拟)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n ,若a 2＋a 5＋a 8＝π4,则sin S 9＝( ) A.12 B.22 C ．－12D ．－22解析：∵a 2＋a 5＋a 8＝π4,a 2＋a 8＝2a 5＝a 1＋a 9,∴3a 5＝π4,a 5＝π12,∴a 1＋a 9＝π6,∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝92×π6＝3π4,sin S 9＝22.故选B.答案：B探究二 等差数列前n 项和的最值问题[P18练习2第1题]已知数列{2n －11},那么S n 的最小值是( ) A ．S 1 B ．S 5 C ．S 6D ．S 11解析：由a n ＝2n －11,令a n ≤0,得n≤5.5,又∵n∈N ＋, 所以该数列前5项均为负数,从第6项开始为正数, 故S n 的最小值为S 5. 答案：B[例2] 在等差数列{a n }中,a 10＝18,前5项的和S 5＝－15, (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最小值,并指出何时取最小值． [解题指南] (1)根据题意列关于a 1和d 的方程（组）→解出a 1和d →写出a n 的表达式(2)法一：写出S n 的表达式→分析S n 的最值 法二：分析{a n }中项的变化规律→确定S n 最小时n 的值→求S n[解析] (1)设公差为d,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，5a 1＋52×4×d＝－15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3，则a n ＝3n －12.(2)法一：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝12(3n 2－21n)＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478,所以n ＝3或4时,前n 项的和S n 取得最小值为－18. 法二：要使数列{a n }前n 项的和取得最小值,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝3n －12≤0，a n ＋1＝3（n ＋1）－12≥0，得3≤n≤4,又n∈N ＋,所以n ＝3或4,S 3＝S 4＝－18.所以数列{a n }前n 项的和取得最小值为－18.方法技巧 求等差数列前n 项和的最值问题的两种方法(1)在等差数列{a n }中,当a 1＞0,d ＜0时,S n 有最大值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0确定．当a 1＜0,d ＞0时,S n 有最小值,使S n 取到最值的n 可由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0确定．(2)因为S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n,若d≠0,则从二次函数的角度看：当d ＞0时,S n 有最小值；当d ＜0时,S n 有最大值；且n 取最接近对称轴的正整数时,S n 取到最值．跟踪探究 2.在等差数列{a n }中,若a 1＝25,且S 9＝S 17,求S n 的最大值． 解析：法一：∵S 9＝S 17,a 1＝25,∴9×25＋9（9－1）2d ＝17×25＋17（17－1）2d,解得d ＝－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝－2n ＋27≥0，a n ＋1＝－2（n ＋1）＋27≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧n≤1312，n≥1212，又∵n∈N ＋,∴当n ＝13时,S n 有最大值169. 法二：同方法一,求出公差d ＝－2. 设S n ＝An 2＋Bn. ∵S 9＝S 17,∴二次函数对称轴为x ＝9＋172＝13,且开口方向向下,∴当n ＝13时,S n 取得最大值169. 探究三 等差数列前n 项和的实际应用[阅读教材P18例11及解答]九江抗洪指挥部接到预报,24 h 后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰来临前筑一道堤坝作为第二道防线．经计算,除现有的部队指战员和九江干群连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆工作24 h,但目前只有一辆车投入施工,其余的需从昌九高速公路沿线抽调．每隔20 min 能有一辆车到达,指挥部最多可调集25辆车,那么在24 h 内能否构筑成第二道防线？ 题型：等差数列前n 项和的实际应用． 方法步骤：①从实际问题中抽象出等差数列． ②确定数列首项a 1及公差d. ③求出等差数列的前n 项和． ④判断并得出结论．[例3] 从4月1日开始,有一新款服装投入某商场销售.4月1日该款服装售出20件,第二天售出35件,第三天售出50件,以后每天售出的件数分别递增15件,直到4月12号日销售量达到最大,然后,每天售出的件数分别递减10件．(1)记从4月1日起该款服装日销售量为a n ,销售天数为n,1≤n≤30,求a n 与n 的关系； (2)求4月份该款服装的总销售量．[解题指南] 解答本题可先确定a n 与n 的关系,然后用等差数列的前n 项和公式求总销量．[解析] (1)设从4月1日起该款服装的日销售量构成数列{a n }．由题意知,数列a 1,a 2,…,a 10是首项为20,公差为15的等差数列,所以a 9＝15n ＋5(1≤n≤12且n∈N ＋)． 而a 13,a 14,a 15,…a 30是首项为a 13＝a 12－10＝175, 公差为－10的等差数列．所以a n ＝175＋(n －13)×(－10)＝－10n ＋305(13≤n≤30且n∈N ＋)．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n ＋5，1≤n≤12且n∈N ＋，－10n ＋305，13≤n≤30且n∈N ＋.(2)4月份该款服装的总销售量为12（a 1＋a 12）2＋18a 13＋（30－12）×（30－12－1）×（－10）2＝12×（20＋185）2＋18×175＋18×17×（－10）2＝2 850(件)．延伸探究 本例中,条件不变,求“按规律,当该商场销售此服装超过1 300件时,社会上就开始流行,当此服装的销售量连续下降,且日销售量低于110件时,则此服装在社会上不再流行．试问：该款服装在社会上流行是否超过10天？说明理由．” 解析：4月1日至4月12日的销售总量为 12（a 1＋a 12）2＝12×（20＋185）2＝1 230＜1 300,所以4月12日前该款服装在社会上还没有流行．4月1日至4月13日的销售总量为1 230＋a 13＝1 230＋175＝1 405＞1 300, 故4月13日该款服装在社会上已开始流行． 由－10n ＋305＜110,得n ＞392,所以第20天该款服装在社会上不再流行． 所以该款服装在社会上流行没有超过10天． 方法技巧 解应用题的基本程序跟踪探究 3.一名技术人员计划用下面的办法测试一种赛车：从时速10 km/h 开始,每隔2 s 速度提高20 km/h.如果测试时间是30 s,测试距离是________km. 解析：由于每隔2 s 速度提高20 km/h,所以该赛车在每个2 s 内的速度构成等差数列{a n },且a 1＝10,d ＝20. 测试时间是30 s,则最后一个2 s 内的速度是a 15,测试距离S ＝(a 1＋a 2＋…＋a 15)×23 600＝(15×10＋15×142×20)×23 600＝1.25(km)．答案：1.25授课提示：对应学生用书第14页[课后小结](1)推导等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到．(2)等差数列的两个求和公式中,一共涉及a 1,a n ,S n ,n,d 五个量．若已知其中三个量,通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的运用： 若m ＋n ＝p ＋q,则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n,m,p,q∈N ＋)； 若m ＋n ＝2p,则a n ＋a m ＝2a p .(3)求等差数列前n 项和S n 的最值的常用方法有两种： ①用二次函数的性质求解；②明确数列中的正项与负项,用负项之和最小,正项之和最大来解决． (4)解决数列应用题时应分清： ①是否为等差数列问题； ②是通项问题还是求和问题．[素养培优]忽略数列中为零的项致错设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 1＞0,S 11＝S 18,则当n 为何值时S n 最大？易错分析 在求解等差数列前n 项和S n 的最值时,容易忽略数列中为零的项而致错．利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0(或⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1≥0)求n 的范围或利用二次函数的图像求解均可避免出错,考查图形应用的学科素养． 自我纠正 法一：由S 11＝S 18 将11a 1＋55d ＝18a 1＋153d. 即a 1＝－14d ＞0,所以d ＜0,构建不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋（n －1）d≥0a n ＋1＝a 1＋nd≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧－14d ＋（n －1）d≥0，－14d ＋nd≤0 解得14≤n≤15.故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大．法二：由S 11＝S 18知a 1＝－14d.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－14dn ＋n （n －1）2 d＝d 2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2922－8418d,由于n∈N ＋,结合S n 对应的二次函数的图像知, 当n ＝14或n ＝15时S n 最大．法三：由S 11＝S 18知,a 12＋a 13＋a 14＋a 15＋a 16＋a 17＋a 18＝0,即7a 15＝0, 所以a 15＝0,又a 1＞0,所以d ＜0. 故当n ＝14或n ＝15时,S n 最大.。

等差数列和等比数列的前n项和公式1. 前言说到数学，很多人可能会一脸懵，但其实有些东西还是挺有意思的，尤其是等差数列和等比数列。

这两个概念就像两位数学界的老朋友，一个温文尔雅，一个活泼开朗，各有各的魅力。

今天咱们就来聊聊这两个数列的前n项和公式，让数学不再是个“高冷”的存在，而是变得生动有趣。

2. 等差数列2.1 定义好啦，咱们先从等差数列说起。

等差数列，听名字就知道，它的特点就是每一项和前一项的差是个固定的数。

比如，1、3、5、7，这就是一个典型的等差数列，公差是2。

想象一下，这就像是在跑步，步伐都是一样的，不快不慢，稳稳的向前。

2.2 前n项和公式那么，等差数列的前n项和怎么计算呢？这可是个干货啊！公式是这样的：( S_n = frac{n{2 (a_1 + a_n) )。

哇，听起来有点复杂，其实没那么难。

你只需要知道第一项( a_1 )和第n项( a_n )，再加上项数n，按这个公式一算，就能得出前n项的和了。

就像你去超市买菜，先列个清单，再算算一共花了多少钱，简单明了。

3. 等比数列3.1 定义接下来，咱们再来看看等比数列。

与等差数列不同，等比数列是每一项和前一项的比值是个固定的数。

举个例子，2、4、8、16，这就是等比数列，公比是2。

它就像在做个魔术，一层一层地翻倍，真是让人惊讶！3.2 前n项和公式那么等比数列的前n项和又是怎样的呢？公式是这样的：( S_n = a_1 frac{(1r^n){(1 r) )（( r neq 1 )）。

这公式稍微复杂一点，但放心，只要你知道第一项( a_1 )和公比( r )，就能轻松搞定！可以想象成你在聚会，第一杯酒喝了，接下来每次都加倍，最后得出你总共喝了多少。

哈哈，记得别喝太多哦，不然明天就要受罪了。

4. 实际应用4.1 生活中的等差与等比生活中其实满是等差数列和等比数列的影子。

比如你攒钱的时候，如果每个月存同样的钱，就是在做等差数列；而如果你存钱的方法是每个月存的都翻倍，那就成了等比数列。