广西南宁市高一下学期数学期末考试试卷

广西南宁市高一下学期数学期末水平测试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共11题；共22分)1. （2分）已知,则的值等于（）A .B .C .D .2. （2分）(2020·湖南模拟) 已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，过点作的角平分线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·山东模拟) 下列命题中，真命题是（）A . ，使得B .C .D . 是的充分不必要条件4. （2分） (2019高二下·富阳月考) 不等式组表示的平面区域的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等腰直角三角形5. （2分）有下列四种说法：①命题：“,使得”的否定是“,都有”；②已知随机变量服从正态分布，，则；③函数图像关于直线对称，且在区间上是增函数；④设实数，则满足：的概率为。

其中正确的个数是（）A . 4B . 1C . 2D . 36. （2分） (2018高一下·中山期末) 执行如图所示的程序框图,若输入n的值为5, 则输出s的值为（）A . 9B . 10C . 11D . 127. （2分） (2018高一下·中山期末) 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示：若将运动员按成绩好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是（）A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分） (2018高一下·中山期末) 函数的部分图象如图所示，为了得到的图像，只需将函数的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向左平移个单位长度C . 向右平移个单位长度D . 向右平移个单位长度9. （2分） (2018高一下·中山期末) 已知，是以原点为圆心的单位圆上的两点，（为钝角），若，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一下·中山期末) 过点作直线（，不同时为0）的垂线，垂足为，点，则的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一下·中山期末) 已知函数（其中，为常数）的图像关于直线对称且，在区间上单调，则可能取数值的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共4题；共5分)12. （2分）已知数列{an}的通项公式an=﹣n2+7n+9，则其第3、4项分别是________、________．13. （1分）设不等式组所表示的区域为M，函数y=sinx，x∈[0，π]的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为________14. （1分） (2018高三上·西安模拟) 从集合中任选一个元素，则满足的概率为________．15. （1分） (2018高一下·中山期末) 平面四边形中，且，，则的最小值为________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2018高二上·淮北月考) 已知抛物线C：，点在x轴的正半轴上，过点M 的直线与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．（1）若，且直线的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；（2）是否存在定点M，使得不论直线绕点M如何转动，恒为定值？17. （5分）已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，焦距为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若是椭圆上不重合的四个点，且满足∥ ，∥ ，，求的最小值．18. （10分） (2018高一下·葫芦岛期末) 小明准备利用暑假时间去旅游，妈妈为小明提供四个景点，九寨沟、泰山、长白山、武夷山．小明决定用所学的数学知识制定一个方案来决定去哪个景点：（如图）曲线和直线交于点．以为起点，再从曲线上任取两个点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为．若去九寨沟；若去泰山；若去长白山；去武夷山．（1）若从这六个点中任取两个点分别为终点得到两个向量，分别求小明去九寨沟的概率和不去泰山的概率；（2）按上述方案，小明在曲线上取点作为向量的终点，则小明决定去武夷山．点在曲线上运动，若点的坐标为，求的最大值．19. （10分） (2018高一下·中山期末) 设函数， .（1）求函数的单调递减区间；（2）将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，求函数在区间上的取值范围.20. （15分） (2018高一下·中山期末) 某企业为了对新研发的一批产品进行合理定价，将产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：已知（1）求的值（2）已知变量具有线性相关性，求产品销量关于试销单价的线性回归方程可供选择的数据（3）用表示（2）中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值。

2021-2022学年广西南宁市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．设，则（ ）(i 1)i z -=||z =A ．BC ．1D 12B【分析】先由复数的运算求出，再求模长即可.z【详解】，则i i(i+1)11i i 1(i 1)(i 1)22z ===---+||z ==故选：B.2．设集合，，则（ ）{A x y =={}0,1,2,3B =A B = A ．B ．C ．D ．{}0{}0,1{}1,2{}0,1,2D【分析】求出集合，再根据集合的交集运算即可解出．A【详解】因为，而，所以．{[]2,2A x y ===-{}0,1,2,3B =A B = {}0,1,2故选：D ．3．在中，D 是AB 边上的中点，则=（ ）ABC CBA ．B ．C ．D ．2CD CA + 2CD CA -2CD CA -2CD CA +C【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】()222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA-=+=+=+-= 故选：C本题考查的是向量的加减法，较简单.4．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为（ ）A ．B ．1C D 12B【分析】将正三棱台补全为正三棱锥再做高，结合勾股定理求解即可【详解】如图，延长正三棱台的三条棱，交于点，因为,,,AA BB CC '''P 6AB BC AC ===，则，作底面于，连接，3A B B C A C ''''''===24PA PB PC AA '====PO ⊥ABC O BO则，故，故正三棱台的高为BO ==2PO ==ABC A B C '''-12PO =故选：B5．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“•”表示乙组同学．从这10名同学中任取1人，记事件A =“该生是甲组学生”，事件B =“该生数学成绩高于80分”，则=（ ）()P ABA ．B ．C ．D ．122515110C【分析】根据图象，找出数学成绩高于分的甲组同学的人数求解即可.80【详解】解：事件AB =“该生是数学成绩高于80分的甲组同学”，根据图象可知，数学成绩高于分的甲组同学有人，802所以从中任取一人，该生是数学成绩高于80分的甲组同学的概率是.21105P AB ==（）故选：C.6．把的图象向左平移个单位，再把所有的点的横坐标变为原来()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭6π的2倍所得到的函数y ＝g (x )的解析式为（ ）A ．g (x )＝sin xB ．g (x )＝cos xC ．D ．()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B【分析】根据三角函数的图象变换即可求解.【详解】解：把的图象向左平移个单位，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭6π可得函数，sin 2cos 266y x xππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦然后再把所有的点的横坐标变为原来的2倍，可得函数y ＝g (x )的解析式为g (x )＝cos x ，故选：B.7．已知，，则（ ）0.21.5a =0.20.8log 1.20.8b c ==，A ．B ．C ．D ．a c b >>c b a>>a b c>>c a b>>A【分析】根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小【详解】因为，所以0.20.20.81.51,log 1.20,0.8(0,1),a b c =>=<=∈a c b >>故选：A8．若过圆锥的轴的截面为边长为4的等边三角形，正方体的顶点SO 1111ABCD A B C D -，，，在圆锥底面上，，，，在圆锥侧面上，则该正方体的棱长A B C D 1A 1B 1C 1D 为（ ）A ．B ．C ．D ．-12-C【分析】利用轴截面结合平行线的性质可求正方体的棱长.【详解】根据题意过顶点和正方体上下两个平面的对角线作轴截面如下所示：S所以，，所以，4SE SF EF ===60E F ∠=∠=︒2EO=SO ==而四边形为矩形，设，所以，所以11A ACC 1AA x =11AC A C ==11A O =而，故，即11//A O EO 111A O SO EO SO=111A O SO AA EO SO -==解得x =-故选：C.二、多选题9．如图，正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1中，大小为的角有（ ）90A ．直线AD 与直线B 1C 1所成的角B ．直线AC 与直线B 1D 1所成的角C ．直线B 1C 1与平面B 1CD 1所成的角D ．直线AC 1与平面B 1CD 1所成的角BD【分析】利用平行关系即可判断出A ；利用线线平行和垂直关系即可判断出B ；利用线面角可以判断出线面垂直，从而判断出C ；利用线面垂直的性质定理和判定定理判断出D.【详解】由于AD ∥B 1C 1，故直线AD 与直线B 1C 1所成的角为，则选项A 错误；0B 1D 1∥BD ，且在正方形ABCD 中AC ⊥BD ，BD B 1D 1，则直线AC 与直线B 1D 1所成的//角为，则选项B 正确；若直线B 1C 1与面B 1CD 1所成的角为，则B 1C 1⊥面9090B 1CD 1，明显不成立，则选项C 错误；易知B 1D 1⊥面ACC 1A 1，AC 1平面ACC 1A 1，则⊂B 1D 1⊥AC 1，同理B 1C ⊥AC 1，B 1D 1B 1D 1B 1，所以AC 1⊥面B 1CD 1，则选项D 正确. =故选：BD.10．已知数据①：，，，…，的平均数为10，方差为5，数据1x 2x 3x n x ②：，，，…，，则下列说法正确的有（ ）1134x -2134x -3134x -134n x -A ．数据①与数据②的极差相同B ．数据②的平均数为12-C ．数据①与数据②的中位数不同D ．数据②的标准差为54BC【分析】根据平均数，极差，中位数，标准差的定义确定两组数据的平均数，极差，中位数，标准差的关系，由此确定正确选项即可.【详解】设数据的极差为，中位数为，则数据的极差为，中位数为，m t 134m -134t -所以数据①与数据②的极差不同，中位数不同，故A 错误，C 正确；数据①：，，，…，的平均数为10，方差为5，1x 2x 3x n x所以数据②的平均数为，方差为1110342⨯-=-615=1651⨯故B 正确，D 错误，故选：BC ．结论点睛：若，，，…，的平均数为，方差为，则，，1x 2x 3x n x x 2s 1ax b +2ax b +，…，的平均数为，方差为．3ax b +n ax b +ax b +22a s 11．设，且，则( )0a b <<2a b +=A ．B ．C ．D ．12b <<21a b->1ab <123a b + AC【分析】a ＝2－b 代入即可判断A ；0a b <<根据指数函数的单调性即可判断B ；利用基本不等式可求ab 的范围，从而可判断C ；2()4a b ab +≤利用和基本不等式可求的范围，从而判断D.()121122a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12a b +【详解】对于A ：，且，，解得，故A 正确；0a b <<2a b +=02b b ∴<-<12b <<对于B ：，即，，故B 错误；a b < 0a b -<0221a b -∴<=对于C ：，且，，当且仅当时，等号成立，0a b <<2a b +=2()14a b ab +∴≤=1a b ==，故C 正确；1ab ∴<对于D ，且，0a b << ，2a b +=，()(12112121112332222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当，即2b aa b =2,4a b ==-∵－3，∴，∴D 错误.(132+0<(1332+<故选：AC.12．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，()f x R (1)f x -(1)f x +(1,1]x ∈-，则下列结论正确的是（ ）2()1f x x =-+A ．7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．为奇函数(7)f x +C ．在上为减函数()f x (6,8)D ．方程仅有6个实数解()lg 0f x x +=ABD【分析】利用函数奇偶性以及特值可以得到，选项A 正确；利用函数奇偶7324f ⎛⎫=-⎪⎝⎭性可以得到函数的周期性选项B 正确；利用函数奇偶性以及周期性得出函数图象可得选项C 错误；通过数形结合可选项D 正确.【详解】对于选项A ：为偶函数，故，令得：(1)f x +(1)(1)f x f x +=-+52x =，753((1)(222f f f =-+=-又为奇函数，故，令得：，(1)f x -(1)(1)f x f x -=---12x =311((1)()222f f f -=--=--其中，1131244f ⎛⎫-=-+=⎪⎝⎭所以，1373()(2422f f f ⎛⎫-=--⎪⎝⎭=-=故选项A 正确；对于选项B ：因为为奇函数，所以关于对称，(1)f x -()f x ()1,0-又为偶函数，则关于对称，所以周期为，(1)f x +()f x 1x =()f x 428⨯=故，所以，()()71f x f x =+-()()()(7)(1)1187f x f x f x f x f x -+=--=--=--+=-+从而为奇函数，(7)f x +故选项B 正确；对于选项C ：在上单调递增，又关于对称，所以2()1f x x =-+(1,0)x ∈-()f x ()1,0-在上单调递增，且周期为8，故在上单调递增，()f x ()2,0-()f x ()f x (6,8)故选项C 错误；对于选项D ：根据题目条件画出与的函数图象，如图所示：()f x lg y x =-其中单调递减且，所以两函数有6个交点，故方程lg y x =-lg121-<-仅有6个实数解，()lg 0f x x +=故选项D 正确.故选：ABD 三、填空题13．设向量，且，则＝___________.(,1),(1,2)a x x b =+= a b ⊥x －23【分析】由，得，列方程可求出的值a b ⊥0a b ⋅= x 【详解】因为，且，(,1),(1,2)a x x b =+= a b ⊥ 所以，解得，2(1)0a b x x ⋅=++= 23x =-故23-14．已知，则___________.4cos 25πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭cos 2=α725-0.28-【分析】利用诱导公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果.sin α【详解】，因此，.4cos sin 25παα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭27cos 212sin 25αα=-=-故答案为.725-15．如图所示，已知正四面体中，分别为棱的中点，则异面直A BCD -,M N ,BC AD 线与所成角的余弦值为_________.AM CN23【分析】连接取其中点，连接，则即为所求角或其补角，再利用BN P ,PM PA MA P ∠余弦定理解三角形即可.【详解】如图，连接取其中点，连接，BN P ,PM PA∵是中点，∴，M BC //PM CN ∴异面直线与所成角就是（或其补角），AM CN M A P ∠设正四面体的棱长为1，则AM CN ==12MP CN ==在中，ABP△12BP BN ==，2222272cos 12116AP BA BP BA BP ABN =+-⋅∠=+-⨯︒=在中，，APM△2222cos 23AM MP AP AMP AM MP+-∠===⋅所以异面直线与所成的角的余弦值为.AM CN 23故2316．在锐角△的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若，则的ABC 2cos b a a C -=ac 取值范围是______．【分析】由正弦定理边角关系、和差角正弦公式可得，结合△为sin sin()A C A =-ABC 锐角三角形，可得及角A 的范围，进而应用正弦定理边角关系即可求的范围.2A C =ac 【详解】由题设，，而，sin sin 2sin cos B A A C -=()B A C π=-+所以，又，sin cos sin sin cos sin()A A C A C C A =-=-0,2A C π<<所以，且△为锐角三角形，则，可得，2A C =ABC 022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩64A ππ<<而.sin 1sin 2cos a A c C A ==∈故关键点点睛：应用正弦定理边角关系及锐角三角形性质，求角A 、C 的关系及A 的范围，最后由边角关系求范围.四、解答题17．新冠肺炎疫情期间，广大医务工作者逆行出征，为保护人民生命健康做出了重大贡献，某医院首批支援人员中有2名医生，1名护士和2名志愿者，采用抽签的方式，若从这五名人员中随机选取两人参与医院的救治工作．(1)求选中1名医生和1名护士的概率；(2)若从当地到支援地的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求这三列火车恰好有两列正点到达的概率．(1)15(2)0.398【分析】（1）利用列举法，先列出从这五名支援人员种随机选取2人的所有情况，再找出选中1名医生和1名护士的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可；（2）利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可.【详解】(1)将2名医生分别记为，；1名护士记为B ；2名志愿者记为1A 2A 12C C ，从这五名支援人员种随机选取2人在医院参与救治的所有的基本事件共10种，分别为：（，，()()()()()()1211112221,,,,,,,,,,,A A A B A C A C A B A C ()()221,,,A C B C ），()()212,,,B C C C 设“选中1名医生和1名护士”为事件A ，事件A 包含的基本事件共2种，分别为，()()12,,,A B A B ，21()105P A ∴==即选中1名医生和1名护士的概率为；15(2)解：用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件.则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P ()＝0.2，P ()＝0.3，P ()＝0.1.A B C 由题意得A ，B ，C 之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P ()＋P ()＋P ()ABC ABC ABC ＝P ()P (B )P (C )＋P (A )P ()P (C )＋P (A )P (B )P ()A B C ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.18．某高中高一新生共有1500名，其中男生800名，女生700名，为全面推进学校素质教育，推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，促进学生健康成长.学校准备调查高一新生每周日常运动情况，学校通过问卷调查，采用按比例分层抽样的方法，收集了300名学生每周平均运动时间的样本数据（单位：小时），并根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，.[0,2](2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](1)求这300个样本数据中女生人数，并估计样本数据的85%分位数；(2)求样本数据的平均数.(1)140人，263(2)5.8【分析】（1）根据分层抽样计算女生人数为，根据百分位数可得7003001500⨯，运算求解；（2）以每组区间中点为代表，0.050.20.30.250.075(8)0.85x ++++-=结合加权平均数估计样本的平均数.【详解】(1)这300个样本数据中女生人数为人，7003001401500⨯=因为样本数据中在8小时以下的学生所占比例为，0.050.20.30.250.80.85+++=<0.050.20.30.250.150.950.85++++=>所以85%分位数为落在[8，10]，设为x解得0.050.20.30.250.075(8)0.85x ++++-=263x =(2)以每组区间中点为代表，估计样本的平均数为：(10.02530.150.1570.12590.075110.025)2 5.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=19．已知的内角、、所对的边分别为、、，.ABC A B C a b c sinsin 2A Bb c B +=(1)求角的大小;C(2)若，的周长.3c =ABC ABC (1)3C π=(2)8【分析】（1）利用三角形内角和定理及诱导公式得到，再由正弦定理cossin 2Cb c B =将边化角，最后利用二倍角公式计算可得；（2）由面积公式求出，再由余弦定理求出，即可求出，从而得解；ab ()2a b +a b +【详解】(1)解：由已知，所以，A B C π++=sinsin cos 222A B C Cb b b π+-==所以，由正弦定理得，cos sin 2C b c B =sin cos sin sin 2C B C B=因为、，则，，，B ()0,C π∈sin 0B >022C π<<cos 02C>所以，则，cos sin 2C C =cos 2sin cos222C C C =所以，所以，则；1sin22C =26C π=3C π=(2)解：由ABC 1sin 2ab C 又，所以，3C π=163ab =在中，由余弦定理得，ABC ()2222222cos 3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-因为，所以，3c =()216933a b =+-⨯所以所以 ，2()25a b +=5a b +=所以，即的周长为8.8a b c ++=ABC 20．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且 ，.11B D A F ⊥1111A C A B ⊥求证：（1）直线DE 平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.（1）详见解析（2）详见解析【详解】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.试题解析：证明：（1）在直三棱柱中，111ABC A B C -11A C AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以，于是，DE AC 11DE A C 又因为DE 平面平面，⊄1111,A C F A C ⊂11A C F 所以直线DE//平面.11A C F （2）在直三棱柱中，111ABC A B C -1111AA A B C ⊥平面因为平面，所以，11A C ⊂111A B C 111AA A C ⊥又因为，111111*********,,A C A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面所以平面.11A C ⊥11ABB A 因为平面，所以.1B D ⊂11ABB A 111A C B D ⊥又因为，1111111111111,,B D A F A C A C F A F A C F A C A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面所以.111B D A C F ⊥平面因为直线，所以11B D B DE ⊂平面1B DE 平面11.A C F ⊥平面直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.21．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，P ABCD -ABCD，，，为的中点，，120ABC ∠=︒1AB =4BC =PA =M BC PD DC ⊥.PM MD ⊥(1)证明.AB PM⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值.PAD PDM (1)证明见解析【分析】（1）首先求出，然后根据勾股定理可得，然后可得平面DM DM DC ⊥DC ⊥，然后可得，然后可证明；PDM DC PM ⊥（2）平面，取的中点，连接，则，，两两垂直，PM ⊥ABCD AD E ME ME DM PM 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用向量求解即可.M M xyz -【详解】(1)证明：在中，，，，由余弦定理可得DCM △1DC =2CM =60DCM ∠=︒，DM 所以，所以.222DM DC CM +=DM DC ⊥由题意，且，所以平面，DC PD ⊥PD DM D ⋂=DC ⊥PDM 而平面，所以，又，所以.PM ⊂PDM DC PM ⊥AB DC ∥AB PM ⊥(2)由，，而与相交，所以平面，PM MD ⊥AB PM ⊥AB DM PM ⊥ABCD 因为.AM =PM =如图，取的中点，连接，则，，两两垂直，AD E ME ME DM PM 以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，M Mxyz -(0,0,P，，()2,0A )D所以，.2,AP =-()2,0AD =-由（1）得平面，所以平面的一个法向量.CD ⊥PDM PDM ()0,1,0m =设平面的法向量为，PAD (),,n x y z =则，即00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AP nADn 20,20,y y -+=-=⎪⎩令，则，，1x=y=z =n ⎛= ⎝则，co s ,n m ==所以平面与平面PAD PDM22．如图，扇形OMN ，A 为弧MN 上一动点，B 为半径上3π一点且满足.23OBA π∠=(1)若，求AB 的长；1OB =(2)求△ABM 面积的最大值.(1)1；【分析】(1)在△OAB 中，利用余弦定理即可求AB ；(2)由题可知AB ∥OM ，则，设，，在中利用余弦定理MAB OAB S S = OB x =AB y =OAB和基本不等式求出xy 的最大值，再由即可求面积最大值.OAB S xy =【详解】(1)在△OAB 中，由余弦定理得，，2222cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅即，即，即，213122AB AB ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭220AB AB +-=()()210AB AB +-=∴；1AB =(2)，，，∥，3MOB π∠=23OBA π∠=MOB OBA ∠∠π∴+=OM ∴AB ，MAB OAB S S ∴= 设，，OB x =AB y =则在中，由余弦定理得，OAB 222,2cos OA OB AB OB AB OBA ∠=+-⋅⋅即，当且仅当时取等号，22321x y xy xy xy xy =+++⇒ 1x y ==∴时取等号.11sin 22OAB S OB AB OBA x y xy ∠=⋅⋅⋅=⋅⋅= 1x y ==∴△ABM。

南宁市高一下学期期末数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）直线l经过A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分）已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x﹣y=0和x+ay=0上，且AB线段的中点为P（0，），则线段AB的长为（）A . 8B . 9C . 10D . 113. （2分） (2018高一下·渭南期末) 某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，则该检验方法为①：从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习情况，则该抽样方法为②，那么①和②的抽样方法分别为（）A . 系统抽样，分层抽样B . 系统抽样，简单随机抽样C . 分层抽样，系统抽样D . 分层抽样，简单随机抽样4. （2分）根据下边的程序框图，输出的结果是（）A . 15B . 16C . 24D . 255. （2分）(2017·张掖模拟) 实数x，y满足，则使得z=2y﹣3x取得最小值的最优解是（）A . （1，0）B . （0，﹣2）C . （0，0）D . （2，2）6. （2分）在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，“正面朝上”的频数49，则“正面朝上”的频率为（）A . 0.49B . 0.5C . 0.51D . 497. （2分）某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A . 至多有一次中靶B . 两次都不中靶C . 两次都中靶D . 只有一次中靶8. （2分）设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组’则m2+n2的取值范围是（）A . (3,7)B . (9,25)C . (13,49)D . (9,49)9. （2分） (2016高二上·河北期中) 样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（）A . ﹣1B . 1C . 2D .10. （2分）如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）A .B .C .D .11. （2分） 4名同学参加3项不同的课外活动，若每名同学可自由选择参加其中的一项，则每项活动至少有一名同学参加的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高一上·秦安期末) 两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（）A . 4B .C .D .二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分）三进制数121（3）化为十进制数为________14. （1分）同时抛掷两枚均匀地骰子，所得点数之和为8的概率是________．15. （1分） (2019高二上·集宁月考) 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是________.16. （1分） (2016高二上·苏州期中) 入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是________17. （1分）(2017·南通模拟) 抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为________．三、解答题 (共5题；共65分)18. （10分）已知直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0）．（1）若l1∥l2，求m的值；（2）若l1⊥l2，求m的值．19. （15分） (2016高二下·晋江期中) 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．（1）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（3）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．20. （10分）(2020·漳州模拟) 高三学生为了迎接高考，要经常进行模拟考试，锻炼应试能力，某学生从升入高三到高考要参加次模拟考试，下面是高三第一学期某学生参加次模拟考试的数学成绩表：参考公式：， .模拟考试第次考试成绩分（1）已知该考生的模拟考试成绩与模拟考试的次数满足回归直线方程，若高考看作第次模拟考试，试估计该考生的高考数学成绩；（2）把次模拟考试的成绩单放在五个相同的信封中，从中随机抽取个信封研究成绩，求抽取的个信封中恰有个成绩不等于平均值的概率.21. （15分）某校在参加第五届中学生篮球联赛竞赛前，欲从甲、乙两人中挑选一人参赛，已知赛前甲、乙最近参加的六场比赛得分情况如下：甲797488979082乙747781929690（1）用茎叶图表示这两组数据，并写出乙组数据的中位数；（2）现要从甲、乙二人中选派一人参加比赛，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；（3）若将乙同学的6次成绩写在完全相同的标签上，并将这6个标签放在盒子中，则从中摸出两个标签，至少有一个标签上写的是不小于90的数字的概率是多少？22. （15分） (2017高一下·赣州期末) 已知直线l的方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4=0，其中m∈R．（1）求证：直线l恒过定点；（2）当m变化时，求点P（3，1）到直线l的距离的最大值；（3）若直线l分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共65分)18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。

2021-2022学年广西南宁市高一下学期期末考试数学试题一、单选题 1．复数i1iz =+（i 为虚数单位）在复平面内的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限A【分析】根据复数的除法和乘法的运算法则化简复数，进而即得. 【详解】复数()()()()i 1i i 1i i 11i 1i 1i 1i 222z --====+++-， 所以复平面上对应的点11,22⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限.故选：A.2．已知在ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，若sin :sin A B a ==b 的值为（ ）A ．1BC ．2D ．C【分析】根据正弦定理可得sin :sin :A B a b =，结合a 的值可求b 的值.【详解】由正弦定理sin sin a bA B=可得sin :sin :A B a b =，所以:a b =因为a =2b =. 故选：C.3．已知向量(1,2),(3,5)a b =-=-，则32a b +等于（ ） A ．(3,4)- B ．(0,4)-C ．(3,6)D ．(0,6)A【分析】由向量坐标运算直接求解即可. 【详解】323(1,2)2(3,5)(3,4)a b +=-+-=-. 故选：A4．下列说法不正确的是（ ） A ．长方体是平行六面体 B ．正方体是平行六面体 C ．直四棱柱是长方体 D ．平行六面体是四棱柱C【分析】根据长方体和直四棱柱的性质判断即可. 【详解】对于A ，长方体的各个对面是平行的，故正确；对于B，正方体的各个对面是平行的，故正确；对于C，直四棱柱的对面未必平行，故错误；对于D，按照四棱柱的定义，平行六面体是的侧棱是平行的，是四棱柱，故正确；故选：C.5．某新闻机构想了解全国人民对《长津湖之水门桥》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本.若3个区人口数之比为2：3：4，且人口最少的一个区抽出100人，则这个样本的容量为（）A．550 B．500 C．450 D．400C【分析】根据分层抽样的抽取比例相同求解即可【详解】设这个样本的容量为n，则2234100n++=，解得450n=.故选：C6．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如835=+．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个素数，其和不是合数的概率是( )A．25B．310C．35D．710B【分析】根据已知条件分别求出基本事件总个数和满足任意两个素数之和不是合数的基本事件数即可求解.【详解】在“2，3，5，7，11”这5个素数中任取两个，其和有10种不同的情况如下：5、7、8、9、10、12、13、14、16、18，其中两素数之和不是合数的有5，7，13共3种，所以任取两个素数，其和不是合数的概率为3 10.故选：B.7．在四棱锥P-ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（）A ．平面P AB ⊥平面P AD B ．平面P AB ⊥平面PBC C ．平面PBC ⊥平面PCD D ．平面PCD ⊥平面P AD C【分析】由面面垂直的判定定理对选项逐一判断【详解】已知P A ⊥底面ABCD ，可得,PA AD PA CD ⊥⊥，又底面ABCD 为矩形 ,AD AB CD AD ∴⊥⊥而,AB PA A AD PA A =⋂=AD ∴⊥平面PAB ，CD ⊥平面PAD∴平面P AD ⊥平面P AB ，平面PCD ⊥平面P AD又//BC ADBC ∴⊥平面PAB ，平面PBC ⊥平面P AB选项A ，B ，D 可证明 故选：C8．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为11,,BC CC BB 的中点，则下列说法正确的序号为（ ）①直线1A G 与直线DC 所成角的正切值为12 ②直线1A G 与平面AEF 不平行 ③点C 与点G 到平面AEF 的距离相等④平面AEF 截正方体所得的截面面积为98A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④A【分析】由11B AG ∠为直线1A G 与直线DC 所成角即可判断①；取11B C 中点N ，证得平面1A NG ∥平面AEF 即可判断②；由平面AEF 不过CG 的中点即可判断③；先找出截面，再计算面积即可判断④.【详解】对于①，易得11DC A B ，则11B AG ∠即为直线1A G 与直线DC 所成角，则111111tan 2B G B AG A B ∠==，①正确； 对于②，取11BC 中点N ，连接1,A N GN ，易得1,A NAE NGEF ，1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以1A N ∥平面AEF ，同理可得NG ∥平面AEF ，又1A NNG N =，1,A N NG ⊂平面1A NG ，所以平面1A NG ∥平面AEF ，又1AG ⊂平面1A NG ，则1A G ∥平面AEF ，②错误； 对于③，若点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于H ，显然H 不是CG 的中点，则平面AEF 不过CG 的中点，即点C 与点G 到平面AEF 的距离不相等，③错误； 对于④，连接11,AD D F ，则1AD EF ∥，1AE D F =，易得等腰梯形1AEFD 即为平面AEF 截正方体所得的截面， 易知11252,AD EF AE D F ====1,AD EF 之间的距离为221322AD EF AE -⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则1AEFD 面积为12329228⨯=⎭，④正确. 故选：A.二、多选题9．下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ） A ．一条直线 B ．一条直线和一个点 C ．两条相交的直线 D ．两条平行的直线CD逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：一条直线不能确定一个平面，故选项A 不正确；对于选项B ：一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面，一条直线和直线上的一个点不能确定一个平面，故选项B 不正确；对于选项C ：两条相交的直线可以确定一个平面，故选项C 正确； 对于选项D ：两条平行的直线可以确定一个平面，故选项D 正确； 故选：CD10．给定一组数据5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则这组数据的（ ） A ．平均数为3 B ．标准差为85C ．众数为2和3D ．第85百分位数为4.5 AC【分析】A.利用平均数公式求解判断；B.利用标准差公式求解判断；C.利用众数的定义判断；D.利用第百分位数求解判断. 【详解】A ．平均数为()15543332221310+++++++++=，故正确；B.=，故错误； C.众数为出现次数最多的2和3，故正确；D.将数据按从小到大顺序排列，则 1,2,2,2,3,3,3,4,5,5，一共10个数，10858.5i =⨯%=，8.5不是整数，则第9项5是第85百分位数，故错误；故选：AC11．已知事件A ，B ，且()0.5P A =，()0.2P B =，则下列结论正确的是（ ） A ．如果B A ⊆，那么()0.2P A B =，()0.5P AB = B ．如果A 与B 互斥，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB = C ．如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB = D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.4P AB =，()0.4P AB =BD【分析】A 选项在B A ⊆前提下，计算出()0.5P A B =，()0.2P AB =，即可判断；B 选项在A 与B 互斥前提下，计算出()0.7P A B ⋃=，()0P AB =，即可判断；C 、D 选项在A 与B 相互独立前提下，计算出()0.7P A B ⋃=，()0.1P AB =， ()()()0.4P AB P A P B =⋅=，()()()0.4P AB P A P B =⋅=，即可判断.【详解】解：A 选项：如果B A ⊆，那么()0.5P A B =，()0.2P AB =，故A 选项错误； B 选项：如果A 与B 互斥，那么()0.7P A B ⋃=，()0P AB =，故B 选项正确； C 选项：如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=，()0.1P AB =，故C 选项错误； D 选项：如果A 与B 相互独立，那么()()()0.4P AB P A P B =⋅=，()()()0.4P AB P A P B =⋅=，故D 选项正确.故选：BD.本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.12．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且():():()9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论错误的是（ ） A ．sin :sin :sin 4:5:8A B C = B ．ABC 的最小内角是最大内角的一半C ．ABC 是钝角三角形D ．若6c =，则ABC ACD【分析】不妨设9a b m +=，10a c m +=，11b c m +=，解得4a m =，5b m =，6c m =．对四个选项一一验证：由正弦定理可以判断选项A ；先判断出最大的内角为C ，最小的内角为A ，再由余弦定理求出12A C =，即可判断选项B ；由余弦定理判断出C 为锐角，即可判断选项C ；用正弦定理可以判断选项D ．【详解】不妨设9a b m +=，10a c m +=，11b c m +=，解得4a m =，5b m =，6c m =． 对于A ，由正弦定理知sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，故A 错误； 对于B ，∵c b a >>，∴最大的内角为C ，最小的内角为A ，由余弦定理知，2222222536163cos 22564b c a m m m A bc m m +-+-===⨯⨯，2222221625361cos 022458a b c m m m C ab m m +-+-===>⨯⨯，2231cos 22cos 121cos 48A A C ⎛⎫=-=⨯-== ⎪⎝⎭，故12A C =，即B 正确；对于C ，∵cos 0C >，∴C 为锐角，ABC 是锐角三角形，即C 错误； 对于D ，∵1cos 8C =，∴sin C =∵2sin c R C =，∴ABC的外接圆直径2R =D 错误．故选：ACD. 三、填空题13．已知复数z 满足(2i)|34i |z -=-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数是______．2i -；【分析】由复数的模和除法法则求得z 后可得其共轭复数．【详解】由已知34i 2i 2i z -==+-，所以2i z =-．故2i -．14．已知圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的表面积为___________.24π【分析】先求解出圆锥的底面半径，然后根据侧面积加上底面积求解出表面积.3=， 则圆锥的表面积为235324πππ⨯⨯+⨯=. 故答案为.24π15．在棱长为9的正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F 分别在棱AB ，DD '上，满足2AE D E DFB F '==，点P 是DD '上一点，且//PB 平面CEF ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为______.178π以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P t ，由//PB 平面CEF 可得P 点的坐标，根据四棱锥P ABCD -的特点可得外接球的直径可得答案. 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，DD '分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， (0,0,0)D ，由2AE D E DFB F '==， 则(9,6,0),(0,9,0)EC ，(0,0,3)F ，(9,9,0)B ，设(0,0,)P t ， ∴()9,3,0EC =-， ()0,9,3CF =-，()9,9,PB t =-设平面FEC 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n EC n CF ⎧=⎨=⎩，即930930x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，不妨令3z =，则11,3y x ==，得1,1,33n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为//PB 平面CEF ，所以0PB n ⋅=，即1919303t ⨯+⨯-=，解得4t =， 所以(0,0,4)P ，由PD ⊥平面ABCD ，且底面是正方形， 所以四棱锥P ABCD -外接球的直径就是PB ，由()9,9,4PB =-，得229916178PB =++=，所以外接球的表面积241782PB S ππ⎛⎫⎪== ⎪⎝⎭. 故答案为.178π本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力. 四、双空题16．在ABC 中，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 是BC 中点，E 在边AC 上，AE AC λ=，12AD BE ⋅=，则||=AD ________，λ的值为________.713【分析】由()2212AD AB AC ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，结合平面向量数量积的运算即可得AD ；由平面向量的线性运算可得()()1122AB AC AB AC λ+⋅-=，再由平面向量数量积的运算即可得λ. 【详解】因为2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，所以cos1203AB AC AB AC ⋅=⋅=-，由题意()12AD AB AC =+，BE BA AE AC AB λ=+-=， 所以()()222211224AD AB AC AB AB AC AC ⎡⎤=+=+⋅+⎢⎥⎣⎦()1746944=-+=， 所以72AD =由12AD BE ⋅=可得()()()2211222211AB AC AB AC AB AC AB AC λλλ+-⋅-=+⋅- ()31122229123λλλ=---=-=， 解得13λ=.13. 本题考查了平面向量线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题. 五、解答题17．已知()2,1a =，25b =. (1)若//a b ，求b 的坐标；(2)若()()52a b a b -⊥+，求a 与b 的夹角. (1)()4,2或()4,2--； (2)3π. 【分析】（1）设()2,b a λλλ==，利用向量的模长公式可求得实数λ的值，即可得出向量b 的坐标；（2）由已知可得()()520a b a b -⋅+=，可求得cos ,a b <>的值，利用平面向量夹角的取值范围即可得解.【详解】(1)解：因为//a b ，设()2,b a λλλ==，则()22b λ===得2λ=±.因此，()4,2b =或()4,2--.(2)解：由已知可得221a =+=()()52a b a b -⊥+， 则()()22525233150a b a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⋅-=，可得5a b ⋅=，所以，1cos ,2a b a b a b⋅<>==⋅，0,a b π≤<>≤，则,3a b π<>=.18．某市3000名市民参加亚运会相关知识比赛，成绩统计如下图所示．(1)求a 的值，并估计该市参加考试的3000名市民中，成绩在[80,90)上的人数； (2)若在本次考试中前1500名参加复赛，则进入复赛市民的分数应当如何制定（结果用分数表示）．(1)0.005a =，成绩在[80,90)上的人数为900人. (2)5407【分析】（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图即可求得a ，再求得成绩在[80,90)的频率，根据频数计算公式即可求得结果；（2）根据频率分布直方图中位数的求解，结合已知数据，即可求得结果. 【详解】(1)依题意，(37622)101a a a a a ++++⨯=，故0.005a =. 成绩在[80, 90)上的频率为61060600.0050.30a a ⨯==⨯=， 所以，所求人数为3000×0.30=900. (2)依题意，本次初赛成绩前1500名参加复赛，即求该组数据的中位数， 因为70(0.50.10.15)0.035+--÷5407=所以，进入复赛市民的分数应当为5407. 19．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，90PCD ∠=︒，2PA AB AC ===(1)证明：AC ⊥CD ；(2)若E 是棱PC 的中点，求直线AD 与平面PCD 所成的角 (1)证明见解析 (2)6π【分析】（1）由线面垂直得到PA CD ⊥，再由90PCD ∠=︒得到PC CD ⊥，即可证明CD ⊥平面PAC ，从而得到AC CD ⊥；（2）由CD ⊥平面PAC ，即可得到CD AE ⊥，再由等腰三角形三线合一得到AE PC ⊥，即可得到AE ⊥平面PCD ，则EDA ∠即为直线AD 与平面PCD 所成的角，再根据锐角三角函数计算可得；【详解】(1)证明：因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，所以PA CD ⊥， 因为90PCD ∠=︒，所以PC CD ⊥，PA PC P =，,PA PC ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC ，因为AC ⊂平面PAC ， 所以CD AC ⊥．(2)解：由（1）CD ⊥平面PAC ，,AC AE ⊂平面PAC ，所以CD AE ⊥，CD AC ⊥， 因为2PA AC ==，E 为PC 的中点，所以AE PC ⊥，因为PC CD C =，,PC CD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥平面PCD ，所以EDA ∠即为直线AD 与平面PCD 所成的角，因为2PA AB AC ===，所以2222AD AC CD +2222PC AP AC +=122AE PC =21sin 222AE EDA AD ∠===，因为0,2EDA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以6EDA π∠=，即直线AD 与平面PCD 所成的角为6π；20．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． (1)若2,3c C π==，且ABC 的面积3S =a ，b 的值；(2)若sin sin()sin 2C B A A +-=，判断ABC 的形状．(1)2a b ==；(2)ABC 是直角三角形或等腰三角形.【分析】（1）根据余弦定理可得224a b ab +-=，由三角形面积得到4ab =，进而即得； （2）根据题中条件及两角和与差的正弦公式，得到cos sin sin cos A B A A =，求出cos 0A =或sin sin A B =，进而可得出结果.【详解】(1)因为2,3c C π==，又余弦定理可得：2222cos c a b ab C =+-，即224a b ab +-=，又ABC 的面积S =所以1sin 2ab C =4ab =，；解得：2a b ==；(2)因为()()sin sin sin 2A B B A A ++-=，所以sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos A B A B B A B A A A ++-=， 即cos sin sin cos A B A A =， 所以cos 0A =或sin sin A B =， 因此2A π=或A B =，所以ABC 是直角三角形或等腰三角形.21．某快餐配送平台针对外卖员送餐准点情况制定了如下的考核方案：每一单自接单后在规定时间内送达､延迟5分钟内送达､延迟5至10分钟送达､其他延迟情况，分别评定为,,,A B C D 四个等级，各等级依次奖励3元､奖励0元､罚款3元､罚款6元.假定评定为等级,,A B C 的概率分别是313,,4832.(1)若某外卖员接了一个订单，求其不被罚款的概率；(2)若某外卖员接了两个订单，且两个订单互不影响，求这两单获得的奖励之和为3元的概率. (1)78(2)316【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由条件可知两单共获得的奖励为3元即事件()()1221A B A B ⋃，同样利用互斥事件和的概率，即可求解.【详解】(1)设事件,,,A B C D 分别表示“被评为等级,,,A B C D ”，由题意，事件,,,A B C D 两两互斥，所以()31311483232P D =---=，又A B ⋃=“不被罚款”， 所以317()()()488P A B P A P B ⋃=+=+=. 因此“不被罚款”的概率为78；(2)设事件,,,i i i i A B C D 表示“第i 单被评为等级,,,A B C D ”，1,2i =， 则“两单共获得的奖励为3元”即事件()()1221A B A B ⋃， 且事件1221,A B A B 彼此互斥， 又()()12213134832P A B P A B ==⨯=，所以()()()()122112213323216P P A B A B P A B P A B =⋃=+=⨯=⎡⎤⎣⎦. 22．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，E 为1AA 中点，12AA AB ==.(1)求证：1AC ∥平面11B D E ； (2)求三棱锥11A B D E -的体积；(3)在1AC 上是否存在点M ，满足1AC ⊥平面11MB D ？若存在，求出AM 的长；若不存在，说明理由. (1)证明见解析 3(3)存在，322【分析】（1）连11A C 交11B D 于点F ，连EF ，由中位线定理以及线面平行的判定证明即可；（2）过1B 作111⊥B H D A 的延长线于点H ，由线面垂直的判定证明1B H ⊥平面11AA D D ，最后由1111113AED B AED V S B H =⋅三棱锥-△得出体积；（3）由线面垂直的性质证明111AC B D ，作1⊥FM AC ，垂足为M ，由线面垂直的判定证明1AC ⊥平面11MB D ，最后得出AM 的长. 【详解】(1)证明：连11A C 交11B D 于点F ，连EF ，∵1111D C B A 是菱形，∴F 是11A C 中点，∵E 是1AA 中点，∴1∥EF AC ， ∵EF ⊂平面11B D E ，1AC ⊄平面11B D E ，∴1AC ∥平面11B D E . (2)解：过1B 作111⊥B H D A 的延长线于点H ，由1AA ⊥底面ABCD 知1AA ⊥平面1111D C B A ，则11⊥AA B H ，又1111=⋂AA A A ，1B H ⊥平面11AA D D .由11160∠=∠=︒A B C ABC 知1160︒∠=A H B ，又112A B =，则13B H =1111111113123332AED A B D E B AED V V SB H --==⋅=⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥 (3)解：∵1AA ⊥平面ABCD ，平面1111∥A B C D 平面ABCD ， ∴1AA ⊥平面1111D C B A ，∵11B D ⊂平面1111D C B A ，∴111⊥B D AA ， ∵菱形1111D C B A 中1111B D A C ⊥，1111A C AA A =，11A C ，1AA ⊂平面11AA C ，∴11B D ⊥平面11AA C ，又1AC ⊂平面11AA C ，∴111AC B D ，过F 在11Rt AAC △中，作1⊥FM AC ，垂足为M ，则由11⋂=M B F D F ，FM ，11B D ⊂平面11MB D 知1AC ⊥平面11MB D ，∴存在M 满足条件，在11Rt AAC △中，1112AA AC ==，122AC =F 是11A C 中点，∴1==C M FM ∴=-=AM。

广西南宁市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设，那么“”是“”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2019高一下·扬州期末) 直线的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·应县期末) 《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（）A .B .C .D .4. （2分）已知a1,x,y,a2成等差数列, b1,x,y,b2成等比数列.则的取值范围是（）A . (0,2]B . [-2,0)(0,2]C .D .5. （2分）已知△ABC满足，则角C的大小为（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·吉林月考) 已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（）A . 1B . 2C .D . 47. （2分） (2016高一上·清远期末) 设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β下面命题正确的是（）A . 若l∥β，则α∥βB . 若α⊥β，则l⊥mC . 若l⊥β，则α⊥βD . 若α∥β，则l∥m8. （2分） (2016高一上·天河期末) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC= ，AA1=1，则异面直线AD 与BC1所成角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°9. （2分） (2016高一下·黔东南期末) 已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为（）A . 2B .C . ﹣3D . 310. （2分）设是等差数列，若，则数列前8项的和为（）A . 128B . 80C . 64D . 5611. （2分）已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积等于（）A .B .C .D .12. （2分）已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·洛阳期中) 已知数列的前项和，若此数列为等比数列，则 ________．14. （1分） (2016高二上·徐州期中) 过点（﹣1，3）且与直线x﹣2y+1=0垂直的直线方程为________．15. （1分） (2018高二上·无锡期末) 若一个正六棱柱的底面边长为，侧面对角线的长为，则它的体积为________．16. （1分）某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）如图，是正方形的中心，底面，是的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面．18. （15分） (2017高二上·桂林月考) 已知数列的前n项的和Sn ，点（n，Sn）在函数 =2x2+4x 图象上：（1）证明是等差数列；（2）若函数，数列{bn}满足bn= ，记cn=an•bn，求数列前n项和Tn；（3）是否存在实数λ，使得当x≤λ时，f(x)=﹣x2+4x﹣≤0对任意n∈N*恒成立？若存在，求出最大的实数λ，若不存在，说明理由．19. （10分）(2020高三上·兴宁期末) 已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的周长．20. （5分）已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a≤0}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．21. （5分） (2019高一下·临沂月考) 已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）设过点的直线与圆交于不同的两点，以为邻边作平行四边形 .是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行?如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.22. （10分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且满足|A1N|=3|NC1|．（1）求MN的长；（2）试判断△MNC的形状．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

2023-2024学年广西南宁三中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z =(3−4i)i ，则z 的虚部为( )A. 3iB. 3C. 4iD. 42.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用按比例分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从乙种型号的产品中抽取件数为( )A. 24B. 9C. 36D. 183.四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是( )A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2C. 平均数为2，方差为2.4D. 中位数为3，方差为2.84.已知在平行四边形ABCD 中，E 为AC 上靠近点A 的三等分点，设BA =a ,BC =b ，则BE =( )A. 23−a +13−b B. 1a +23b C. 512a−12b D. 43a−13b 5.已知圆锥的底面半径为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为( )A. 63π B. 2 63π C. 4 63π D. 8 63π6.已知向量m =(2,λ)，n =(2−λ,−4)，若m 与n 共线且反向，则实数λ的值为( )A. 4B. 2C. −2D. −2或47.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑P−ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥CB ，PA =2BC =2，AC = 3，则此四面体的外接球表面积为( )A. 3πB. 8πC. 9πD. 8 23π8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )A. 甲与乙互斥B. 丙发生的概率为16C. 甲与丁相互独立 D. 乙与丙相互独立二、多选题：本题共3小题，共18分。

广西南宁市 2021 学年高一数学下学期期末考试试题〔无答案〕第一卷一、选择题：〔本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分〕1. sin 1200A.1B.1 C.3 D.3 22222. 向量 a 1, 1 ， b x , 2 ， 假设 a // b ， 那么xA. 1B. -1C. 2D. -23. 某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100 名学生进行调查，那么宜采用的抽样方法是〔 〕A. 抽签法B. 随机数法C.系统抽样法D.分层抽样法4. 阅读图中所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是 ( )A. 3B. 11C. 38D. 1235. 假设角 的始边是 x 轴正半轴 , 终边过点P 4, 3 , 那么 cos 的值是 ()A. 4B. -3C.4 35D.56. 欧阳修?卖油翁?中写到 :( 翁) 乃取一葫芦置于地 , 以钱覆其口 , 徐以杓酌油沥之 , 自钱孔入 , 而钱不湿 . 可见“行行出状元〞 , 卖油翁的技艺让人叹为观止 . 假设铜钱是直径为 2cm 的圆 ,中间有边长为 1cm 的正方形孔 , 假设你随机向铜钱上滴一滴油, 那么油 ( 油滴的大小忽略不计 ) 正2好落入孔中的概率是〔 〕1 B.4C.1 2A.D.427. x ， y 的取值如下表所示：x23456 y97865如果 y 与 x 呈线性相关，且线性回归方程为y 3x b ，那么b 4A. 21B. 10C. 11D.43 248.小明同学 5 次上学途中所花时间 ( 单位 : 分钟 ) 分别为x , y,10,11, 9 , 这组数据的平均数为10,方差为2,那么x y的值为()A. 1B. 2C. 3D. 49 . a 与 b 的夹角为1200，a3,a b13 ，那么bA. 1B. 3C. 4D. 510.为了得到函数y sin2 x3的图象，只需把函数y sin 2 x 的图象上所有的点A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度33C. 向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度6611.设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a b0 ,那么a cbc 的最小值为( )A. -2B.12C. -1D. 2 212.函数f x A sin x A0,的局部图象如2图所示 , 假设x1, x23,5，且 f x1f x 2，那么6f x1x 2A. 11C.2D.3 B.22 2第II 卷二、填空题：〔本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分〕13.sin 20 0 cos10 0cos 20 0 sin 100________．14.执行如下图的程序框图，假设输出的 b 的值为31，那么图中判断框内①处应填 _________.15.盒子里共有大小相同的 3 只白球 ,1 只黑球 . 假设从中随机摸出两只球, 那么它们颜色不同的概率是.16. 假设方程sin2x sin x a 0 在x R 上有解,那么a的取值范围是_______.三、解答题：〔本大题共 6 小题，共70 分。

广西南宁市高一下学期期末数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·南昌期中) 已知为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二下·深圳期中) 已知正项等比数列{an}，若向量，，，则＝（）A . 12B .C . 5D . 183. （2分） (2017高一下·新乡期中) 在△ABC中，a= b，A=120°，则B的大小为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°4. （2分）下面多面体是五面体的是（）A . 三棱锥B . 三棱柱C . 四棱柱D . 五棱锥5. （2分） (2018高一下·百色期末) 一个直三棱柱的三视图如图1所示，其俯视图是一个顶角为的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（）A .B .C .D .6. （2分）(2019·江南模拟) 中，角，，所对的边分别为，，，若，且的面积为，则（）A .B .C . ，D . ，7. （2分）已知各项均为正数的等比数列满足，则的值为（）A . 4B . 2C . 1或4D . 18. （2分） (2019高二上·广州期中) 边长为的三角形中的第二大的角是（）A . 60°B . 45°C . 90°D . 30°9. （2分）已知2a+1＜0，关于x的不等式x2﹣4ax﹣5a2＞0的解集是（）A . {x|x＞5a或x＜﹣a}B . {x|﹣a＜x＜5a}C . {x|x＜5a或x＞﹣a}D . {x|5a＜x＜﹣a}10. （2分） (2017高三上·蕉岭开学考) 设点（x，y）在不等式组所表示的平面区域上，若对于b∈[0，1]时，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是（）A . （，4）B . （，+∞）C . （4，+∞）D . （2，+∞）11. （2分）已知函数的定义域是R，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）将个正整数、、、…、（）任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数、（）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当时, 数表的所有可能的“特征值”最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）不等式≥0的解集为________．14. （1分） (2018高二上·杭州期中) 已知正数满足，则的取值范围是________.15. （1分）在等比数列{an}中，an＞0，且a3a5+a2a10+2a4a6=100，则a4+a6的值为________．16. （1分） (2019高三上·泰州月考) 已知向量满足且与的夹角的正切为，与的夹角的正切为，，则的值为________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高二下·无锡月考) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a ， b ， c ， AD为边BC 上的中线．（1）若a＝4，b＝2，AD＝1，求边c的长；（2）如，求角B的大小．18. （5分） (2019高三上·武汉月考) 函数 (A，，常数，A>0， >0， )的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数的解析式；(Ⅱ)將函数的图象向左平移t(0<t< )单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，若的图象过点( ，2)，求函数的单调递减区间.19. （10分） (2020高一下·句容期中) 如图，在中，，， .是内一点，且 .（1）若，求线段的长度；（2）若，求的面积.20. （10分） (2019高一下·雅安期末) 已知是等差数列的前n项和，且 .（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．21. （20分） (2019高一上·和平月考) 求下列函数的最值（1）求函数的最小值.（2）求函数的最小值.（3）设，，若，求的最小值. （4）若正数，满足，求的最小值. 22. （10分） (2019高二下·福州期中) 已知数列满足（1）请写出这个数列的前4项，并猜想这个数列的通项公式. （2）请证明你猜想的通项公式的正确性.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、答案：21-4、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

广西南宁市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分）已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________．2. （1分）如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是区间（﹣3，3）的子集，则实数a的取值范围是________ ．3. （1分） (2018高二上·南京月考) 已知中，是角的对边，则其中真命题的序号是________.①若，则在上是增函数；②若，则是直角三角形；③ 的最小值为；④若，则；⑤若，则 .4. （1分）(2016·嘉兴模拟) 如图，直线平面，垂足为，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的棱长为2，在平面内，是直线上的动点，当到的距离为最大时，正四面体在平面上的射影面积为________．5. （1分） (2017高一上·福州期末) 已知直线恒经过一个定点，则过这一定点和原点的直线方程是________．6. （1分） (2020·河南模拟) 在数列中，，，曲线在点处的切线经过点，下列四个结论：① ；② ；③ ；④数列是等比数列；其中所有正确结论的编号是________.7. （1分）(2018·陕西模拟) 在中，内角的对边分别为，已知,且 ,则的面积是________．8. （1分）在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB=6，，O为AC的中点，过C作BO的垂线，交BO、AB分别于R、D．若∠DPR=∠CPR，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为________．9. （1分）(2018·兰州模拟) 若变量满足约束条件，则目标函数的最大值是________．10. （1分） (2018高二下·西宁期末) 已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为：（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为：，则圆C截直线l所得弦长为________．11. （1分） (2015高二上·怀仁期末) 在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC= ，AB=AC=AA1=1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若G D⊥EF，则线段DF的长度的最小值为________．12. （1分）(2014·辽宁理) 对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣ + 的最小值为________．13. （1分） (2019高二上·慈溪期中) 将一张坐标纸折叠一次，使得点P(1，2)与点Q(-2，1)重合，则直线y=x+4关于折痕对称的直线为_________.14. （1分） (2017高一下·芜湖期末) 已知数列{an}满足a1=0，an+1= ，则a2017=________．二、解答题 (共6题；共50分)15. （5分） (2016高二上·大名期中) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（ sinB﹣cosB）（ sinC﹣cosC）=4cosBcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．16. （5分） (2017高二下·和平期末) 如图，在三棱锥S﹣ABC中，SB⊥底面ABC，且SB=AB=2，BC=，D、E分别是SA、SC的中点．（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角S﹣BD﹣E的平面角的大小．17. （15分）已知数列{an}中，a1=1，an+1= （n∈N*）．（1）求a2、a3的值；（2）求{an}的通项公式an；（3）设bn=（4n﹣1）• •an，记其前n项和为Tn，若不等式2n﹣1λ＜2n﹣1Tn+ 对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．18. （5分） (2018高一上·广西期末) 求圆心为直线和的交点，且与直线相切的圆的方程.19. （10分） (2016高一上·高青期中) 据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC 在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）．（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来．20. （10分） (2018高一下·宜昌期末) 已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且成等比数列；（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围。