朱向新西北大学高等数学试题+答题纸+试题答案

陕西省西北大学附中2024届中考三模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB的长等于（）A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm'''由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为（）2．如图，在平面直角坐标系xOy中，△A B CA．（0，1）B．（1，-1）C．（0，-1）D．（1，0）3．八边形的内角和为（）A．180°B．360°C．1 080°D．1 440°4．如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1 等于( )A．120︒B．105︒C．60︒D．45︒5．在平面直角坐标系中，点（-1，-2）所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．已知方程x2﹣x﹣2=0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1+x2+x1x2的值为（）A．﹣3 B．1 C．3 D．﹣17．主席在2018年新年贺词中指出，2017年，基本医疗保险已经覆盖1350000000人．将1350000000用科学记数法表示为（ ） A ．135×107B ．1.35×109C ．13.5×108D ．1.35×10148．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°, BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ，若AC=9，则AE 的值是 （ ）A ．63B ．63C ．6D ．49．如图所示的图形，是下面哪个正方体的展开图（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知点()2,4P -，与点P 关于y 轴对称的点的坐标是（ ） A ．()2,4--B ．()2,4-C ．()2,4D ．()4,2-11．cos60°的值等于（ ） A ．1B ．12C ．22D 312．不等式组21x x ≥-⎧⎨>⎩的解集在数轴上表示为（ ）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．早春二月的某一天，大连市南部地区的平均气温为﹣3℃，北部地区的平均气温为﹣6℃，则当天南部地区比北部地区的平均气温高_____℃．14．如果a2﹣b2=8，且a+b=4，那么a﹣b的值是__．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点Q在对角线OB上，若OQ=OC，则点Q的坐标为_______.16．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心．大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点p(a，b)，则a与b的数量关系是________．17．如图，点A为函数y=9x（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y=4x（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△OBC的面积为____．18．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2：甲乙丙丁平均数（cm）561 560 561 560方差s 2（cm 2） 3.5 3.5 15.5 16.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择_____． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC ． （1）求sinB 的值；（2）现需要加装支架DE 、EF ，其中点E 在AB 上，BE ＝2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为点F ，求支架DE 的长．20．（6分）如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ． （1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．21．（6分）在围棋盒中有 x 颗黑色棋子和 y 颗白色棋子，从盒中随机地取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是38；如果往盒中再放进 10 颗黑色棋子，则取得黑色棋子的概率变为12．求 x 和 y 的值． 22．（8分）已知C 为线段AB 上一点，关于x 的两个方程()112x m +=与()23x m m +=的解分别为线段AC BC ，的长，当2m =时，求线段AB 的长；若C 为线段AB 的三等分点，求m 的值.23．（8分）一个口袋中有1个大小相同的小球，球面上分别写有数字1、2、1．从袋中随机地摸出一个小球，记录下数字后放回，再随机地摸出一个小球．（1）请用树形图或列表法中的一种，列举出两次摸出的球上数字的所有可能结果； （2）求两次摸出的球上的数字和为偶数的概率．24．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO交x轴于点C（2，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t．（1）如图1，当0＜t＜2时，求证：DF∥CB；（2）当t＜0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论；（3）若点M的坐标为（4，-1），在点P运动的过程中，当△MCE的面积等于△BCO面积的58倍时，直接写出此时点E的坐标．25．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．26．（12分）某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：每人销售件数1800 510 250 210 150 120人数 1 1 3 5 3 2（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；假设销售负责人把每位营销员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额，并说明理由．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A3，1）在反比例函数kyx的图象上．求反比例函数kyx的表达式；在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=12S△AOB，求点P的坐标；若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解题分析】【分析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD，再求BD.【题目详解】因为，AB=10cm，BC=4cm，所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm）因为，点D是线段AC的中点，所以，CD=3cm,所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm）故选D【题目点拨】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.2、B【解题分析】试题分析：根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.试题解析：由图形可知，对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线过点（0，-1），根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心.故旋转中心坐标是P（1，-1）故选B.考点：坐标与图形变化—旋转.3、C【解题分析】试题分析：根据n边形的内角和公式（n-2）×180º可得八边形的内角和为（8-2）×180º=1080º，故答案选C. 考点：n边形的内角和公式.4、B【解题分析】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°=45°+60°=105°．故选B．点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．5、C【解题分析】：∵点的横纵坐标均为负数，∴点（-1，-2）所在的象限是第三象限，故选C6、D【解题分析】分析：根据一元二次方程根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2的值，然后代入x1＋x2＋x1x2计算即可.详解：由题意得，a=1,b=-1,c=-2,∴121==11b x x a -+=--,122==21c x x a -⋅=-, ∴x 1＋x 2＋x 1x 2=1+(-2)=-1. 故选D.点睛：本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）根与系数的关系，若x 1,x 2为方程的两个根，则x 1,x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅= . 7、B 【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数.【题目详解】将1350000000用科学记数法表示为：1350000000=1.35×109，故选B ．【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法. 科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值及n 的值.8、C 【解题分析】由角平分线的定义得到∠CBE=∠ABE ，再根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB ，则∠A=∠ABE ，可得∠CBE=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到BE=2EC ，即AE=2EC ，由AE+EC=AC=9，即可求出AC ． 【题目详解】解：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE=∠ABE ， ∵ED 垂直平分AB 于D ， ∴EA=EB ， ∴∠A=∠ABE ， ∴∠CBE=30°，∴BE=2EC ，即AE=2EC ， 而AE+EC=AC=9， ∴AE=1．9、D 【解题分析】根据展开图中四个面上的图案结合各选项能够看见的面上的图案进行分析判断即可. 【题目详解】A. 因为A 选项中的几何体展开后,阴影正方形的顶点不在阴影三角形的边上,与展开图不一致,故不可能是A :B. 因为B 选项中的几何体展开后,阴影正方形的顶点不在阴影三角形的边上，与展开图不一致,故不可能是B ; C .因为C 选项中的几何体能够看见的三个面上都没有阴影图家,而展开图中有四个面上有阴影图室，所以不可能是C.D. 因为D 选项中的几何体展开后有可能得到如图所示的展开图,所以可能是D ; 故选D. 【题目点拨】本题考查了学生的空间想象能力, 解决本题的关键突破口是掌握正方体的展开图特征. 10、C 【解题分析】根据关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【题目详解】解：点()2,4P -，与点P 关于y 轴对称的点的坐标是()2,4， 故选：C ． 【题目点拨】本题考查了关于y 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 11、A 【解题分析】根据特殊角的三角函数值直接得出结果. 【题目详解】 解：cos60°=12故选A. 【题目点拨】识记特殊角的三角函数值是解题的关键.【解题分析】根据不等式组的解集在数轴上表示的方法即可解答.【题目详解】∵x≥﹣2，故以﹣2为实心端点向右画，x＜1，故以1为空心端点向左画．故选A．【题目点拨】本题考查了不等式组解集的在数轴上的表示方法，不等式的解集在数轴上表示方法为：＞、≥向右画，＜、≤向左画，“≤”、“≥”要用实心圆点表示；“<”、“>”要用空心圆点表示.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、3【解题分析】用南部气温减北部的气温，根据“减去一个数等于加上这个数的相反数”求出它们的差就是高出的温度．【题目详解】解：（﹣3）﹣（﹣6）＝﹣3+6＝3℃．答：当天南部地区比北部地区的平均气温高3℃，故答案为：3.【题目点拨】本题考查了有理数的减法运算法则，减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．14、1．【解题分析】根据(a+b）（a-b）=a1-b1，可得（a+b）（a-b）=8，再代入a+b=4可得答案．【题目详解】∵a1-b1=8，∴（a+b）（a-b）=8，∵a+b=4，∴a-b=1，故答案是：1．【题目点拨】考查了平方差，关键是掌握（a+b）（a-b）=a1-b1．15、(,)【解题分析】如图，过点Q 作QD ⊥OA 于点D ，∴∠QDO=90°.∵四边形OABC 是正方形，且边长为2，OQ=OC ，∴∠QOA=45°，OQ=OC=2，∴△ODQ 是等腰直角三角形，∴OD=OQ==. ∴点Q 的坐标为.16、a+b=1．【解题分析】试题分析：根据作图可知，OP 为第二象限角平分线，所以P 点的横纵坐标互为相反数，故a+b=1.考点：1角平分线；2平面直角坐标系.17、6【解题分析】根据题意可以分别设出点A 、点B 的坐标，根据点O 、A 、B 在同一条直线上可以得到A 、B 的坐标之间的关系，由AO=AC 可知点C 的横坐标是点A 的横坐标的2倍，从而可以得到△OBC 的面积．【题目详解】设点A 的坐标为(a,9a),点B 的坐标为(b,4b )， ∵点C 是x 轴上一点，且AO=AC ，∴点C 的坐标是(2a,0)，设过点O(0,0),A(a,9a )的直线的解析式为：y=kx ， ∴9a=k ⋅a ， 解得k=29a ，又∵点B(b, 4b )在y=29ax 上， ∴4b =29a ⋅b,解得,a b =32或a b =−32(舍去)， ∴S △OBC =422a b ⋅=6.故答案为：6.【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质与反比例函数的图象以及三角形的面积公式.18、甲【解题分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【题目详解】 ∵==x x x x 甲乙丁丙＞ ，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵22S S 甲丙＜ ，∴选择甲参赛，故答案为甲．【题目点拨】此题考查了平均数和方差，关键是根据方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）sinB＝13；（2）DE ＝1． 【解题分析】（1）在Rt △ABD 中，利用勾股定理求出AB ，再根据sinB=AD AB计算即可； （2）由EF ∥AD ，BE=2AE ，可得23EF BF BE AD BD BA ===,求出EF 、DF 即可利用勾股定理解决问题； 【题目详解】 （1）在Rt △ABD 中，∵BD=DC=9，AD=6，∴AB=222296BD AD++=313，∴sinB=6=313ADAB=21313．（2）∵EF∥AD，BE=2AE，∴23EF BF BEAD BD BA===，∴2693EF BF==，∴EF=4，BF=6，∴DF=3，在Rt△DEF中，DE=2222=43EF DF++=1．考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.20、（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解题分析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC 和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC 时，则有=2，解得t=﹣1（与P 点重合，舍去）或t=7，此时M （2，7）；③当MP=PC 时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M （2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）； 综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）； （3）如图，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设E （x ，x 2﹣4x+3），则F （x ，﹣x+3），∵0＜x ＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x 2﹣4x+3）=﹣x 2+3x ，∴S △CBE =S △EFC +S △EFB =EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x 2+3x ）=﹣（x ﹣）2+，∴当x=时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为（，），即当E 点坐标为（，）时，△CBE 的面积最大．考点：二次函数综合题．21、x=15,y=1【解题分析】根据概率的求法：在围棋盒中有x 颗黑色棋子和y 颗白色棋子，共x+y 颗棋子，如果它是黑色棋子的概率是38，有38x x y +＝成立．化简可得y 与x 的函数关系式； （2）若往盒中再放进10颗黑色棋子，在盒中有10+x+y 颗棋子，则取得黑色棋子的概率变为12，结合（1）的条件，可得38101102x x y x x y ⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪++⎩＝＝，解可得x=15，y=1．【题目详解】依题意得，38101102x x y x x y ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪++⎩， 化简得，53010x y x y -=⎧⎨-=-⎩， 解得，1525x y =⎧⎨=⎩ .， 检验当x=15,y=1时，0x y +≠，100x y ++≠，∴x=15,y=1是原方程的解，经检验，符合题意.答：x=15,y=1.【题目点拨】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n． 22、（1）4AB =；（2）47=m 或1. 【解题分析】（1）把m=2代入两个方程，解方程即可求出AC 、BC 的长，由C 为线段AB 上一点即可得AB 的长；（2）分别解两个方程可得m BC 2=，AC 2m 1=-，根据C 为线段AB 的三等分点分别讨论C 为线段AB 靠近点A 的三等分点和C 为线段AB 靠近点B 的三等分点两种情况，列关于m 的方程即可求出m 的值.【题目详解】（1）当m 2=时，有()1x 122+=，()2x 223+=， 由方程()1x 122+=，解得x 3=，即AC 3=. 由方程()2x 223+=，解得x 1=，即BC 1=. 因为C 为线段AB 上一点，所以AB AC BC 4=+=.（2）解方程()1x 1m 2+=，得x 2m 1=-， 即AC 2m 1=-.解方程()2x m m 3+=，得m x 2=， 即m BC 2=. ①当C 为线段AB 靠近点A 的三等分点时，则BC 2AC =，即()m 22m 12=-，解得4m 7=. ②当C 为线段AB 靠近点B 的三等分点时， 则AC 2BC =，即m 2m 12?2-=，解得m 1=. 综上可得，4m 7=或1. 【题目点拨】本题考查一元一次方程的几何应用，注意讨论C 点的位置，避免漏解是解题关键.23、（1）画树状图得：则共有9种等可能的结果；（2）两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为：．【解题分析】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，再利用概率公式即可求得答案．试题解析：（1）画树状图得：则共有9种等可能的结果；（2）由（1）得：两次摸出的球上的数字和为偶数的有5种情况，∴两次摸出的球上的数字和为偶数的概率为：．考点：列表法与树状图法．24、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解题分析】（1）求出∠PBO+∠PDO=180°，根据角平分线定义得出∠CBO=12∠PBO，∠ODF=12∠PDO，求出∠CBO+∠ODF=90°，求出∠CBO=∠DFO，根据平行线的性质得出即可；（2）求出∠ABO=∠PDA，根据角平分线定义得出∠CBO=12∠ABO，∠CDQ=12∠PDO，求出∠CBO=∠CDQ，推出∠CDQ+∠DCQ=90°，求出∠CQD=90°，根据垂直定义得出即可；（3）分为两种情况：根据三角形面积公式求出即可．【题目详解】（1）证明：如图1．∵在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），∴∠AOB=90°．∵DP⊥AB于点P，∴∠DPB=90°，∵在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，∴∠PBO+∠PDO=180°，∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，∴∠CBO=12∠PBO，∠ODF=12∠PDO，∴∠CBO+∠ODF=12（∠PBO+∠PDO）=90°，∵在△FDO中，∠OFD+∠ODF=90°，∴∠CBO=∠DFO，∴DF∥CB．（2）直线DF与CB的位置关系是：DF⊥CB，证明：延长DF交CB于点Q，如图2，∵在△ABO中，∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，∵在△APD中，∠APD=90°，∴∠PAD+∠PDA=90°，∴∠ABO=∠PDA，∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，∴∠CBO=12∠ABO，∠CDQ=12∠PDO，∴∠CBO=∠CDQ，∵在△CBO中，∠CBO+∠BCO=90°，∴∠CDQ+∠DCQ=90°，∴在△QCD中，∠CQD=90°，∴DF⊥CB．（3）解：过M作MN⊥y轴于N，∵M（4，-1），∴MN=4，ON=1，当E在y轴的正半轴上时，如图3，∵△MCE的面积等于△BCO面积的58倍时，∴12×2×OE+12×（2+4）×1-12×4×（1+OE）=58×12×2×4，解得：OE=72，当E在y轴的负半轴上时，如图4，1 2×（2+4）×1+12×（OE-1）×4-12×2×OE=58×12×2×4，解得：OE=32，即E的坐标是（0，72）或（0，-32）．【题目点拨】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，坐标与图形性质，三角形的面积的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．25、见解析【解题分析】根据角平分线的定义可得∠ABF=∠CBF，由已知条件可得∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，根据余角的性质可得∠AFB=∠BED，即可求得∠AFE=∠AEF，由等腰三角形的判定即可证得结论．【题目详解】∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵∠BAC=90°，AD⊥BC，∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，∴∠AFB=∠BED，∵∠AEF=∠BED，∴∠AFE=∠AEF，∴AE=AF．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，根据余角的性质证得∠AFB=∠BED是解题的关键．26、（1）平均数为320件，中位数是210件，众数是210件；（2）不合理，定210件【解题分析】试题分析：（1）根据平均数、中位数和众数的定义即可求得结果；（2）把月销售额320件与大部分员工的工资比较即可判断.（1）平均数件，∵最中间的数据为210，∴这组数据的中位数为210件，∵210是这组数据中出现次数最多的数据，∴众数为210件；（2）不合理，理由：在15人中有13人销售额达不到320件，定210件较为合理.考点：本题考查的是平均数、众数和中位数点评：解答本题的关键是熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．27、（1）3yx=；（2）P（3-，0）；（3）E（3-1），在．【解题分析】（1）将点A 1）代入k y x=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）先由射影定理求出BC=3，那么B ，﹣3），计算求出S △AOB =12×4=则S △AOP =12S △AOB ．设点P 的坐标为（m ，0），列出方程求解即可；（3）先解△OAB ，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E ，﹣1），即可求解．【题目详解】（1）∵点A 1）在反比例函数k y x=的图象上，∴k=∴反比例函数的表达式为y =（2）∵A 1），AB ⊥x 轴于点C ，∴AC=1，由射影定理得2OC =AC•BC ，可得BC=3，B 3），S △AOB =12×4=∴S △AOP =12S △AOB 设点P 的坐标为（m ，0），∴12×|m|×，∴|m|=∵P 是x 轴的负半轴上的点，∴m=﹣∴点P 的坐标为（-0）；（3）点E 在该反比例函数的图象上，理由如下：∵OA ⊥OB ，OA=2，OB=AB=4，∴sin ∠ABO=OA AB =24=12， ∴∠ABO=30°，∵将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE ，∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，∴BO=BD=OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣BC﹣DE=1，∴E（1），∵（﹣1）∴点E在该反比例函数的图象上．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；坐标与图形变化-旋转．。

陕西省西北大学附中2024届高一上数学期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．函数的零点个数为（） A.0 B.1 C.2D.32．已知全集{}06U x N x =∈≤≤，集合{}4,5,6A =，则UA（ ）A.{}1,2,3,4B.{}0,1,2,3C.{}03x x ≤≤D.{}1,2,33． “α是第一或第二象限角”是“sin 0α>”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．若角a (0≤a ≤2π)的终边过点(sin,1cos )55P ππ-，则a =( ) A.1110πB.710π C.25πD.10π 5．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 A.若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B.若//,//l ααβ，则l β⊂ C.若,//l ααβ⊥，则l β⊥D.若//,l ααβ⊥，则l β⊥6．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（） A.1y x=B.1y x =-C.2xy -=D.ln y x =7．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图（斜二测画法）为A B C '''，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的表面积为（）A.442+B.842+C.845+D.885+8． “25x <<”是“34x <<”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9．已知0a >且1a ≠，函数()()()2360(0)xa x a x f x ax ⎧-+-≤=⎨>⎩，满足对任意实数()1212,x x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数a 的取值范围是（）A.()2,3B.(]2,3C.72,3⎛⎫⎪⎝⎭ D.72,3⎛⎤ ⎥⎝⎦10．已知a ，b ，c R ∈，那么下列命题中正确的是（ ） A.若22ac bc >，则a b > B.若a bc c>，则a b > C.若33a b >，且0ab <，则11a b< D.若22a b >，且0ab >，则11a b< 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2022级高三第一学期月考（二）考试试题数学本试卷共4页，19小题，考试时长120分钟，满分150分．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.42.设1i z =-，则2i z +=（）A.1B.iC.i -D.1-3.若()*13N nx n x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为16，则其展开式中的常数项为（）A.54B.54- C.108D.108-4.已知a =3log b =2log c =）A.b a c << B.c a b<< C.c b a<< D.b c a <<5.已知,αβ都是锐角，()cos ,sin 510αβα+==，则cos β=（）A.10B.10C.22D.106.连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n = 与向量()1,1b =- 的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（）A.512 B.12C.712D.567.已知数列{}n a 是正项数列，()2*3n n n +=+∈N ，则9122310a a a++⋅⋅⋅+=（）A.216B.260C.290D.3168.已知函数222,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩的图像与直线y k x =-有3个不同的交点，则实数k 的取值范围是（）A.1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.(0,)+∞ C.1,24⎛⎤-⎥⎝⎦D.(]0,2二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC V 满足sin :sin :sin 3A B C =，且334ABC S =△，则（）A.ABC V 外接圆的半径为3B.若A ∠的平分线与BC 交于D ，则AD 的长为4C.若D 为BC 的中点，则AD 的长为134D.若O 为ABC V 的外心，则()5AO AB AC ⋅+=10.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 、F 分别是BC 、11A C 的中点，D 在线段11B C 上，则下面说法中正确的有（）A.//EF 平面11AA B BB.直线EF 与平面ABC 所成角的正弦值为5C.若D 是11B C 的中点，若M 是11B A 的中点，则F 到平面BDM 的距离是5D.直线BD 与直线EF 所成角最小时，线段BD 长为32211.已知O 为坐标原点，点()2,1A 在抛物线()2:20C x py p =>上，抛物线的焦点为F ，过点()0,1B -的直线l 交抛物线C 于P ，Q 两点（点P 在点B ，Q 的之间），则（）A.直线AB 与抛物线C 相切B.6OP OQ ⋅=C.若P 是线段BQ 的中点，则2||||PF QF = D.存在直线l ，使得||||2||PF QF BF +=三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知ABC V 中，7BC =，8AC =，60C =︒，则BC CA ⋅=___________.13.甲和乙玩纸牌游戏，已知甲手中有2张10和4张3，乙手中有4张5和6张2，现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方，则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为____14.已知函数()2sin e exxf x x -=-+，则关于x 的不等式()()2430f x f x -+<的解集为______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某同学参加射击比赛，每人配发3颗子弹.射击靶由内环和外环组成，若击中内环得8分，击中外环得4分，脱靶得0分.该同学每次射击，脱靶的概率为14，击中内环的概率为14，击中外环的概率为12，每次射击结果相互独立.只有前一发中靶，才能继续射击，否则结束比赛.（1）若已知该同学得分为8分的情况下，求该同学只射击了2发子弹的概率；（2）设该同学最终得分为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是11B C 的中点．（1）证明：1A D ⊥平面1A BC ；（2）求二面角11B A D B --的平面角的正切值．17.已知函数()ln ()f x x ax a R =-∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明不等式2()x e ax f x --≥恒成立.18.如图，曲线y =设第n 个正三角形1n n n Q P Q - （0Q 为坐标原点）的边长为n a．（1）求12,a a 的值；（2）求出的通项公式；（3）设曲线在点n P 处的切线斜率为n k ，求证：*12233413(2,N 4)n n k k k k k k k k n n -++++<≥∈ ．19.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，右顶点为)E.,A B 为双曲线C 右支上两点，且点A 在第一象限，以AB为直径的圆经过点E .（1）求C 的方程；（2）证明：直线AB 恒过定点；（3）若直线AB 与,x y 轴分别交于点,M P ，且M 为PA 中点，求PBEMBES S 的值.2022级高三第一学期月考（二）考试试题数学本试卷共4页，19小题，考试时长120分钟，满分150分．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合{}21,9,A a =，{}9,3B a =，则满足A B B = 的实数a 的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】利用A B B = ，知B A ⊆，求出a 的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案．【详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，即31a =或者23a a =，解之可得13a =或0a =或3a =，当13a =时，11,9,9A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}9,1B =符合题意；当0a =时，{}1,9,0A =，{}9,0B =符合题意；当3a =时，{}1,9,9A =，{}9,9B =根据集合元素互异性可判断不成立。

2025届山东济宁一中高三第二次诊断性检测数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ） A ．3B ．5C ．3D ．53．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．16004．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥5．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π6．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 7．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线交两渐近线于,M N 两点，与双曲线的其中一个交点为P ，若(,)OP OM ON R λμλμ=+∈，且625λμ=，则该双曲线的离心率为( ) A 32B 52C 53D 568．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④ 9．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 210．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =B ．22y x =±C ．52y x =±D ．22y x =±12．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ）A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2015-2016学年陕西省西北大学附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上．）1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则（A∩B）∪C=（）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}2．将化成分数指数幂为（）A．B．C．D．3．若函数f（x）=3x的反函数是y=f﹣1（x），则f﹣1（3）的值是（）A．1 B．0 C．D．34．函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．5．函数的值域是（）A． B．（﹣∞，0）C．（0，1）D．（1，+∞）6．已知f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．77．若函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）A．[0，2]B．[0，16]C．[﹣2，2] D．[﹣2，0]8．已知函数f（x）=ax+1，存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．a＞1 C．a＜﹣1 D．a＜﹣1或a＞19．当函数f（x）=2﹣|x|﹣m的图象与x轴有交点时，实数m的取值范围是（）A．0＜m≤1 B．0≤m≤1 C．﹣1≤m＜0 D．m≥110．函数y=f（x），y=g（x）的图象如下，f（1）=g（2）=0，不等式的解集是（）A．{x|x＜1或x＞2}∪{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2}C．{x|x≤1或x＞2}∪{x|1＜x＜2} D．{x|1≤x≤2}二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填在答题表中）11．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为______．12．设a=，b=，c=，则a，b，c从小到大的顺序是______．13．已知函数f（x）是奇函数，当x≤0，时，f（x）=x2﹣2x，那么当x＞0时，f（x）的解析式是______．14．函数y=log a（2﹣ax）在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是______．15．设函数，则方程x+1=（2x﹣1）f（x）的解集为______．三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分，解答应写出文字说明证明过程或演算）16．根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．17．已知函数f（x）=2+log3x（1≤x≤9），函数g（x）=f2（x）+f（x2），求函数g（x）的值域．18．设函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，N；（2）集合M∪N，C R N．19．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？四、附加题：20．已知偶函数f（x）在[0，π]上单调递增，那么下列各式正确的是（）A．f（﹣π）＞f（log2）＞f（） B．f（log2）＞f（﹣）＞f（﹣π）C．f（﹣π）＞f（﹣）＞f（log2）D．f（﹣）＞f（log2）＞f（﹣π）21．若函数y=在（﹣∞，1]总有意义，求a的取值范围______．22．设f（x）=x2+px+q，集合A={x|x=f（x）}，B={x|f[f（x）]=x}，（1）求证：A⊆B；（2）若集合A={﹣1，3}，求集合B．2015-2016学年陕西省西北大学附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上．）1．设集合A={1，2}，B={1，2，3}，C={2，3，4}，则（A∩B）∪C=（）A．{1，2，3}B．{1，2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】属于集合简单运算问题．此类问题只要审题清晰、做题时按部就班基本上就不会出错．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={1，2，3}，∴A∩B=A={1，2}，又∵C={2，3，4}，∴（A∩B）∪C={1，2，3，4}故选D．2．将化成分数指数幂为（）A．B．C．D．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】直接利用根式与分数指数幂的互化化简求值．【解答】解：=．故选：A．3．若函数f（x）=3x的反函数是y=f﹣1（x），则f﹣1（3）的值是（）A．1 B．0 C．D．3【考点】指数型复合函数的性质及应用；指数函数的图象与性质；反函数．【分析】利用函数与反函数的定义域与值域的对应关系，直接求出f﹣1（3）的值．【解答】解：函数f（x）=3x的反函数是y=f﹣1（x），则f﹣1（3）就是3=3x所以x=1．所以f﹣1（3）=1．故选A．4．函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】把函数y=的图象先经过左右平移得到y=的图象，再经过上下平移得到y=+1的图象．【解答】解：将函数y=的图象向右平移1个单位，得到y=的图象，再把y=的图象向上平移一个单位，即得到y=+1的图象，故选A．5．函数的值域是（）A． B．（﹣∞，0）C．（0，1）D．（1，+∞）【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】利用指数函数的单调性即可求出．【解答】解：∵3x＞0，∴y＞0；又∵，∴函数的值域是（0，1）．故选C．6．已知f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．7【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数奇偶性和周期性的关系进行推导即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f（x+3）=f（x），则f（0）=0，f（3）=0，∵f（2）=0，∴f（﹣2）=﹣f（2）=0，f（2+3）=f（5）=f（2）=0，则f（﹣2+3）=f（1）=f（4）=0，当x=﹣时，f（﹣+3）=f（﹣）=﹣f（），即f（）=﹣f（），则f（）=0，则f（）=f（+3）=f（），则方程f（x）=0在区间（0，6）内解为1，2，3，4，5，，，此时至少有7个，故选：D7．若函数f（x）的定义域为[0，4]，则函数f（x2）的定义域为（）A．[0，2]B．[0，16]C．[﹣2，2] D．[﹣2，0]【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）的定义域是[0，4]，函数f（x2）中x2∈[0，4]，求解即可．【解答】解：函数f（x）的定义域是[0，4]，函数f（x2）中x2∈[0，4]，解得x∈[﹣2，2]．则函数f（x2）的定义域为[﹣2，2]．故选C．8．已知函数f（x）=ax+1，存在x0∈（﹣1，1），使f（x0）=0，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．a＞1 C．a＜﹣1 D．a＜﹣1或a＞1【考点】函数与方程的综合运用；函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，若函数f（x）=ax+1在（﹣1，1）上存在x0，使f（x0）=0，则表示函数f（x）=ax+1在（﹣1，1）上存在有零点，则f（﹣1）•f（1）＜0，由此我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．【解答】解：若函数f（x）=ax+1在（﹣1，1）上存在x0，使f（x0）=0，则表示函数f（x）=ax+1在（﹣1，1）上存在零点则f（﹣1）•f（1）＜0即（1﹣a）•（1+a）＜0解得：a＜﹣1或a＞1故选D．9．当函数f（x）=2﹣|x|﹣m的图象与x轴有交点时，实数m的取值范围是（）A．0＜m≤1 B．0≤m≤1 C．﹣1≤m＜0 D．m≥1【考点】函数与方程的综合运用；指数函数的图象与性质．【分析】题目中条件：“函数f（x）=2﹣|x|﹣m的图象与x轴有交点，”转化成函数m=2﹣|x|的图象与x轴有交点，即函数的值域问题求解．【解答】解：∵函数f（x）=2﹣|x|﹣m的图象与x轴有交点，∴函数m=2﹣|x|的图象与x轴有交点，∴即函数m=2﹣|x||的值域问题．∴m=2﹣|x||的∈（0，1]．故实数m的取值范围是：0＜m≤1．故选A．10．函数y=f（x），y=g（x）的图象如下，f（1）=g（2）=0，不等式的解集是（）A．{x|x＜1或x＞2}∪{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2}C．{x|x≤1或x＞2}∪{x|1＜x＜2} D．{x|1≤x≤2}【考点】其他不等式的解法．【分析】先将分式不等式通过符号规则等价转化为不等式组，结合函数的图象求出不等式的解集．【解答】解：同解于或由图象得或即1≤x＜2故选B二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填在答题表中）11．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为2．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数，即方程2x|log0.5x|﹣1=0根个数，即方程|log0.5x|=（）x根个数，即函数y=|log0.5x|与y=（）x图象交点的个数，画出函数图象，数形结合，可得答案．【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数，即方程2x|log0.5x|﹣1=0根个数，即方程|log0.5x|=（）x根个数，即函数y=|log0.5x|与y=（）x图象交点的个数，在同一坐标系中画出函数y=|log0.5x|与y=（）x图象，如下图所示：由图可得：函数y=|log0.5x|与y=（）x图象有2个交点，故函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点有2个，故答案为：212．设a=，b=，c=，则a，b，c从小到大的顺序是c＜a＜b．【考点】不等式比较大小．【分析】利用根式的性质化为同次根式、利用单调性即可得出大小关系．【解答】解：∵a===，b==，∴a＜b．∵a===，c==，∴c＜a．∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．13．已知函数f（x）是奇函数，当x≤0，时，f（x）=x2﹣2x，那么当x＞0时，f（x）的解析式是f（x）=﹣x2﹣2x．【考点】奇函数．【分析】由题意设x＞0利用已知的解析式求出f（﹣x）=x2+2x，再由f（x）=﹣f（﹣x），求出x＞0时的解析式．【解答】解：由题意可得：设x＞0，则﹣x＜0；∵当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=x2+2x，因为函数f（x）是奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以x＞0时f（x）=﹣x2﹣2x，故答案为f（x）=﹣x2﹣2x．14．函数y=log a（2﹣ax）在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】先将函数f（x）=log a（2﹣ax）转化为y=loga t，t=2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数求解．【解答】解：令y=log a t，t=2﹣ax，（1）若0＜a＜1，则函y=loga t，是减函数，而t为增函数，需a＜0此时无解．（2）若a＞1，则函y=log a t，是增函数，则t为减函数，需a＞0且2﹣a×1＞0此时，1＜a＜2，综上：实数a 的取值范围是（1，2）故答案为：（1，2）．15．设函数，则方程x+1=（2x﹣1）f（x）的解集为{0，2， } ．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】当x＞0时，由方程x+1=（2x﹣1）f（x）得x+1=2x﹣1，解得x=2；当x=0时，由方程x+1=（2x﹣1）f（x）得x+1=1，解得x=0；当x＜0时，由方程x+1=（2x﹣1）f（x）得x+1=（2x﹣1）﹣1，解得x=，或x=（舍）．【解答】解：当x＞0时，f（x）=1，由方程x+1=（2x﹣1）f（x）得x+1=2x﹣1，解得x=2；当x=0时，f（x）=0，由方程x+1=（2x﹣1）f（x）得x+1=1，解得x=0；当x＜0时，f（x）=﹣1，由方程x+1=（2x﹣1）f（x）得x+1=（2x﹣1）﹣1，解得x=，或x=（舍）；故答案为：{0，2， }．三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分，解答应写出文字说明证明过程或演算）16．根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】利用原始的定义进行证明，在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2，只要证f（x2）＜f（x1）就可以可，把x1和x2分别代入函数f （x）=﹣x3+1进行证明．【解答】证明：证法一：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2则f（x2）﹣f（x1）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0．当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2＞0；当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；∴f（x2）﹣f（x1）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）所以，函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．证法二：在（﹣∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=x13﹣x23=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）．∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0．∵x1，x2不同时为零，∴x12+x22＞0．又∵x12+x22＞（x12+x22）≥|x1x2|≥﹣x1x2∴x12+x1x2+x22＞0，∴f（x2）﹣f（x1）=（x1﹣x2）（x12+x1x2+x22）＜0．即f（x2）＜f（x1）．所以，函数f（x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．17．已知函数f（x）=2+log3x（1≤x≤9），函数g（x）=f2（x）+f（x2），求函数g（x）的值域．【考点】函数的值域．【分析】由函数f（x）=1+log3x的定义域是（1，9]，可求得g（x）的定义域，化简g（x）=f2（x）+f（x2）求值域．【解答】解：由已知函数f（x）的定义域为x∈{x|1≤x≤9}，则g（x）的定义域满足，所以1≤x≤3，所以g（x）的定义域为{x||1≤x≤3}；，g（x）在x∈[1，3]单调递增，则g（x）的最大值为g（x）max=g（3）=13，g（x）的最小值为g（x）min=g（1）=6．故g（x）的值域为[6，13]．18．设函数f（x）=lg（2x﹣3）的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（1）集合M，N；（2）集合M∪N，C R N．【考点】补集及其运算；并集及其运算．【分析】（1）对数的真数大于0求出集合M；开偶次方的被开方数非负且分母不等于0，求出集合N；（2）直接利用集合的运算求出集合M∪N，C R N．【解答】解：（1）由题意2x﹣3＞0 所以M={x|x＞}；因为所以N={x|x＜1或x≥3}（2）由（1）可知∁R N={x|1≤x＜3}．19．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可；（Ⅱ）从月租金与月收益之间的关系列出目标函数，再利用二次函数求最值的知识，要注意函数定义域优先的原则．作为应用题要注意下好结论．【解答】解：（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车．（Ⅱ）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，整理得．所以，当x=4050时，f（x）最大，最大值为f已知偶函数f（x）在[0，π]上单调递增，那么下列各式正确的是（）A．f（﹣π）＞f（log2）＞f（） B．f（log2）＞f（﹣）＞f（﹣π）C．f（﹣π）＞f（﹣）＞f（log2）D．f（﹣）＞f（log2）＞f（﹣π）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由偶函数的性质可知，函数f（x）在区间[﹣π，0]上单调递减，结合图象便可知答案选A．【解答】解：∵函数f（x）在区间[0，π]是单调增函数又∵函数f（x）是偶函数∴函数f（x）的图象关于y轴对称即函数f（x）在区间[﹣π，0]上是减函数，﹣π＜log2=﹣2＜，∴f（﹣π）＞f（log2）＞f（），故选：A．21．若函数y=在（﹣∞，1]总有意义，求a的取值范围{a|a≥﹣1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】先根据函数有意义列出需满足的不等式，据题意得到恒成立的不等式，将a分离出来，通过判断函数的单调性求出函数的最大值得到a的范围．【解答】解：据题意得1+2x+a3x≥0在（﹣∞，1]恒成立∴在（﹣∞，1]恒成立∵在（﹣∞，1]递增∴的最大值为﹣1∴a≥﹣1故答案为{a|a≥﹣1}22．设f（x）=x2+px+q，集合A={x|x=f（x）}，B={x|f[f（x）]=x}，（1）求证：A⊆B；（2）若集合A={﹣1，3}，求集合B．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】（1）若x∈A，则x=f（x）成立，则f[f（x）]=f（x）=x必成立，进而根据集合包含关系的定义，得到结论；（2）由A={x|f（x）=x}={x|x2+px+q=x}={x|x2+（p﹣1）x+q=0}={﹣1，3}，结合方程根与系数关系可求p，q，进而可求，f（x），然后代入B={x|f[f（x）]=x}整理可求【解答】证明：（1）若x∈A，则x=f（x）成立，则f[f（x）]=f（x）=x必成立，即x∈B，故A⊆B；（2）∵A={x|f（x）=x}={x|x2+px+q=x}={x|x2+（p﹣1）x+q=0}={﹣1，3}∴﹣1，3是方程x2+（p﹣1）x+q=0的根∴，即p=﹣1，q=﹣3，f（x）=x2﹣x﹣3∴B={x|f[f（x）]=x}={x|f（x2﹣x﹣3）=x}={x|（x2﹣x﹣3）2﹣（x2﹣x﹣3）﹣3=x}化简可得，（x2﹣x﹣3）2﹣x2=0∴（x2﹣3）（x2﹣2x﹣3）=0∴x=或x=﹣或x=3或x=﹣1∴B={，﹣，﹣1，3}2016年9月29日。

2025届山东省济宁邹城一中高考数学三模试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．12．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a bA AB C++=+-，求sin b A =（ ） A ．32B ．23C ．12D ．623．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 4．已知数列{}n a 满足：11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，则6a =( ) A ．16B ．25C ．28D ．335．设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且122PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A 3B ．2C 5D 66．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ<D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>7．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．17318．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅9．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π10．已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭11．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ）A ．12B ．14C D 12．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2025届山东省济宁邹城一中高考数学必刷试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，(2)c f m =+则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．3．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π4．已知函数1212log ,18()2,12x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） 参考数据：2ln 20.69,ln 20.48≈≈A ．12B ．24C ．2log 3D ．225．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．6．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．2 C ．62D ．629．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83π3B ．4π1633C 16343π+D ．43π310．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．1311．已知实数,x y 满足约束条件30202x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ．-5B ．2C ．7D ．1112．已知全集U =R ，集合{}{}237,7100A x x B x x x =≤<=-+<，则()UA B ⋂=（ ）A ．()(),35,-∞+∞B ．(](),35,-∞+∞C ．(][),35,-∞+∞ D ．()[),35,-∞+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

诚信保证本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。

本人签字：编号：2005-2006学年第一学期期中开课学院理学院课程高等数学(上) 学时90注：1. 命题纸上一般不留答题位置，试题请用小四、宋体打印且不出框。

2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。

共7页第1页西北工业大学命题专用纸(6,9)是(5,7)(6,8)是f, 3x=, xx=, 5教务处印制共7页第2页西北工业大学命题专用纸教务处印制共7页第3页答题纸教务处印制共7页第4页答题纸教务处印制共7页第5页答题纸教务处印制共7页第6页答题纸高等数学05-06学年第一学期期中考试试卷评分标准一、填空题(每小题4分, 共32分) 1. 15; 2. 9; 3. 1, 4-; 4. 2-; 5.12x-; 6.d x; 7.2ln 21-; 8.2-.二、选择题(每小题4分, 共32分)1. ( B ) ;2. ( D ) ;3. ( C ) ;4. ( B ) ;5. ( D ) ;6. ( B ) ;7. ( B ) ;8. ( C ).三、计算(6分⨯2=12分)1. 求极限 011lim()1sin x x x e x-→+--;解 011lim()1sin x x x e x-→+--0sin (1)(1)lim sin (1)x x x x x e x e --→+--=-.............................1分20sin (1)1lim xx x x e x -→+-+=..............................2分 0cos (1)sin lim 2xx x x x e x-→++-=...........................4分 0sin (1)cos cos lim 2xx x x x x e -→-++++=....................5分 32=................................................6分 2. 设 21,cos .x t y t ⎧=+⎨=⎩ 求22d d y x . 解 2d (c o s )s i n d (1)2y t t x t t '-=='+...................................2分 222sin ()d 2d (1)t y t x t -'='+.........................................4分 3sin cos 4t t t t -=.....................................6分 四、(8分) 设2,0,()sin ,0.x e b x f x ax x ⎧+≤=⎨>⎩ (1) ,a b 为何值时, ()f x 在0x =处可导?(2) 若另有()F x 在0x =处可导, 讨论[()]F f x 在0x =处的可导性.解 (1) (0)1f b =+, 20(00)lim()1x x f e b b -→-=+=+, 0(00)lim sin 0x f ax +→+==, ()f x 在0x =处可导, 则必连续, 故10,b += 即1b =-...................................2分又 220002(0)lim lim 201x x x x e b e f x ---→→+-'===-, 0sin 0(0)lim 0x ax f a x ++→-'==-, 要使()f x 在0x =处可导,必有2a =.......................................3分即当2a =,1b =-时, ()f x 在0x =处可导, 且(0)2f '=;(2) 0(())((0))((0))lim 0x F f x F f F f x →-'=-...................................4分 0(())((0))()(0)lim ()(0)0x F f x F f f x f f x f x →--=⋅--........................7分 00()(0)()(0)lim lim (0)(0)2(0)00y x F y F f x f F f F y x →→--'''=⋅=⋅=--........8分 故[()]F f x 在0x =处可导.五、(8分) 在圆弧224x y +=(0,0)x y >>上找一点, 使该点的切线与圆弧及两坐标 轴所围成的图形的面积最小,并求最小面积.解 设切点坐标为00(,)x y 00(0,0)x y >>,切线方程为 0000()x y y x x y -=--...........................2分 令0x =, 有04y y =, 令0y =, 有04x x =,.............................3分 目标函数为8S xy ππ=-=-.............................5分 由2322216(2)()0(4)x S x x x --'==-,得唯一驻点x =分由于驻点唯一, 依实际意义,当00x y =时, 最小面积4S π=-...........8分六、(8分) 设()f x 在闭区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)内可导, (0)(1)0f f ==,122()1lim 11()2x f x x →-=-, 证明: (1) 存在1(,1)2η∈, 使得()f ηη=; (2) 对任意的R λ∈, 必存在(0,)ξη∈, 使得()[()]1f f ξλξξ'--=;(3) ()f x 在[0,1]上的最大值大于1.证明 (1)作 ()()g x f x x=-, ...............................1分 (1)(1)1010g f =-=-<, 又122()1lim11()2x f x x →-=-, 故12lim (()1)0x f x →-=, 1()12f =, 故 1111()()102222g f =-=->.............................................2分 由于()g x 在1[,1]2上连续, 且1()(1)02g g ⋅<, 由零点定理, 在1(,1)2内至少存在一点η, 使()0g η=, 即()f ηη=............................3分(2) 作 ()[()]x F x e f x x λ-=-,...........................4分由于()F x 在[0,]η上连续, 在(0,)η内可导, 由拉格朗日中值定理, 在(0,)η内至少存在一点ξ, 使得()(0)()0F F F ηξη-'=-, .........................5分 即 ()[()]1f f ξλξξ'--=........................6分 (3) 由极限的局部保号性, 102δ∃>>, 1(,)2x U δ∀∈, 2()101()2f x x ->-, 故 ()1f x >,.........................7分又 ()f x 在闭区间[0,1]上连续, 一定存在最大值M , 故1M >..............8分。

习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nnnx y y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0, , .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n m m m n nx nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a ab n m b xb x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+033233223220312(1212)5lim(112)55lim .3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+-=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nnn r x x x x n n n r e x x E x E x E x e ee e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解33332233222 00002.,:(1);(2)0;(3)sin5.()(1)lim(33)lim lim(33)3. (2)lim limlimxx xx xxy ax y p y xa x x axyxx x x x x x xa a x x x x axxyx∆→∆→∆→∆→→→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆'==∆=根据定义求下列函数的导函数解00000limlim5(2)52cos sinsin5()sin522(3)lim lim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim5lim cos lim5522xxx xx x xx x xx x xyx xx x x xx xx→→∆→∆→∆→∆→∆→===+∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2xx=00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln2,(0)ln2,1ln2(-0),(ln2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)xxy f x M x f xy M y x By y y x y xy x y y xy px p M x y x y===+''==-==+ ''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2pF x⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴2000,().(),.,2,.2,.p py y M PMN Y y X x yy p y x N X y X x X x x y p p FN x FM p x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-=+=====+=∠=∠∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()()11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x xf x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:1(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22x xyx xxxy a bxyxx xa b a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==(13)ln(121(14)(ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e y x y y x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'==+==-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8()16sin811()8,,,()16.2161616m/s.x t t x t t t t t x ππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。

2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔课标卷，含答案〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求的〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分〕.1. 集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，那么MN =〔 C 〕〔A 〕 (1,2) 〔B 〕 [1,2) 〔C 〕 (1,2] 〔D 〕 [1,2] 2. 以下函数中，既是奇函数又是增函数的为〔 D 〕〔A 〕 1y x =+ 〔B 〕 3y x =- 〔C 〕 1y x=〔D 〕 ||y x x = 3. 设,a b R ∈，i 是虚数单位，那么“0ab =〞是“复数ba i+为纯虚数〞的〔 B 〕〔A 〕充分不必要条件 〔B 〕 必要不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕 既不充分也不必要条件 4. 圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，那么〔 A 〕〔A 〕l 与C 相交 〔B 〕 l 与C 相切 〔C 〕l 与C 相离 〔D 〕 以上三个选项均有可能5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -，12CA CC CB ==，那么直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为〔 A 〕〔A 〕55 〔B 〕53 〔C 〕 255 〔D 〕 356. 从甲乙两个城分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进展统计，统计数据用茎叶图表示〔如下图〕，设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲，m 乙，那么〔 B 〕 〔A 〕 x x <甲乙，m 甲>m 乙 〔B 〕 x x <甲乙，m 甲<m 乙 〔C 〕 x x >甲乙，m 甲>m 乙 〔D 〕 x x >甲乙，m 甲<m 乙7. 设函数()xf x xe =，那么〔 D 〕〔A 〕 1x =为()f x 的极大值点 〔B 〕1x =为()f x 的极小值点 〔C 〕 1x =-为()f x 的极大值点 〔D 〕1x =-为()f x 的极小值点8. 两人进展乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，那么所有可能出现的情形〔各人输赢局次的不同视为不同情形〕一共有〔 C 〕〔A 〕 10种 〔B 〕15种 〔C 〕 20种 〔D 〕 30种9. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，假设2222a b c +=，那么cos C 的最小值为〔 C 〕〔A 〕3 〔B 〕 2 〔C 〕 12 〔D 〕 12- 10. 右图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P 表示估计结果，那么图中空白框内应填入〔 D 〕〔A 〕 1000NP = 〔B 〕 41000NP =〔C 〕 1000MP =〔D 〕 41000MP =二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分〕 11. 观察以下不等式213122+< 231151233++<，222712344+++<……照此规律，第五个．．．不等式为 2222211111111++234566+++<. 12. 5()a x +展开式中2x 的系数为10， 那么实数a 的值是 1 。

陕西省西北大学附属中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上。

）1. 已知集合{}12A =，，{}123B =，，，{}234C =，，，则()A B C I ∪＝（ ） A ．{}123，，B. {}124，，C. {}234，，D. {}1234，，， 2.将322化成分数指数幂的形式是（ ）A ．122- B. 122 C. 132 D. 562 3.若函数()3x f x =的反函数是1()y f x -=，则1(3)f -的值是（ ）A ．1 B.0 C.13 D.34.函数111y x =+-的图象是（ ） yx OyxOyOxOyxA B C D5. 函数331xx y =+的值域是（ ）1.(0,1).(,0).(,1).(1,)2A B C D -∞+∞6. f(x)定义在R 上以3为周期的奇函数，且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间（0,6）内解的个数最小值是：( )A.2B.3C.4D.57.若函数()f x 的定义域为[]04，，则函数2()f x 的定义域为（ ）A ．[]02， B. []016，C. []22-，D. []20-，8.已知函数()1f x ax =+，存在0(11)x ∈-，，使0()0f x =，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<< B.1a > C.1a <- D.1a <-或1a >9.当函数||()2x f x m -=-的图象与x 轴有交点时，实数m 的取值范围是（ ）A ．01m <≤ B.01m ≤≤ C.10m -<≤ D.1m ≥ 10.函数()()y f x y g x ==，的图象如下，(1)(2)0f g ==，不等式()0()f xg x ≥的解集是（ ） x y Oy=f (x )1xO yy=g (x )12A ．{}{}|12|12x x x x x <><<U 或 B.{}|12x x <≤ C ．{}{}|12|12x x x x x ><<U ≤或 D. {}|12x x ≤≤二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填在答题表中） 11. 函数0.5()2log 1xf x x =-的零点个数为 ; 12.设535,3,2===c b a ，则a b c ，，从小到大的顺序是____ .13.已知函数()f x 是奇函数，当0x ≤，时，2()2f x x x =-，那么当0x >时，()f x 的解析式是_____________.14.函数)2(log ax y a -=在[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是______ .15\设函数1(0)()0(0)1(0)x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则方程()1(21)f x x x +=-的解为 ；三、解答题（本大题共4小题，每题10分，共40分，解答应写出文字说明证明过程或演算） 16、试用函数单调性的定义证明函数1)(3+-=x x f 在R 上是单调减函数。

2025届陕西省西安高新第一中学高考数学全真模拟密押卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()ln 1f x x =+，()122x g x e -=，若()()f m g n =成立，则m n -的最小值是（ ） A ．1ln 22+B ．2e -C ．1ln 22-D ．12e - 2．231+=-i i（ ） A ．15i 22-+ B ．1522i -- C ．5522i + D ．5122i - 3．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π12 4．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为2y x =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( )A ．9B ．5C ．2或9D ．1或55．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”2.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ）A ．400米B ．480米C ．520米D ．600米6．设{}n a 是等差数列，且公差不为零，其前n 项和为n S ．则“*n N ∀∈，1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数()eln mx f x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞ 8．已知抛物线()220y px p =>经过点()2,22M ，焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ） A ．22 B ．24 C ．22 D ．22-9．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ）A ．5B ．5C ．13D ．13 10．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则U M N =（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[)0,1 D ．(],1-∞11．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（ ）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定12．已知集合{}1A x x =<，{}1x B x e =<，则（ ）A ．{}1AB x x ⋂=<B ．{}A B x x e ⋃=<C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<< 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

热点探究训练(五) 平面解析几何中的高考热点问题1．(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac .2分将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.5分(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴， 所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4，即b 2＝4a . ①8分 由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧－c －x 1＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.10分代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得a 2－4a 4a 2＋14a＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.12分 2．已知椭圆C 的方程为：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为坐标原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.2分因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.5分 (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0， 所以tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.8分又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2＝x 2＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋－x 2x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4).10分 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.12分3．如图4，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．图4(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值.【导学号：31222333】(1)证明：依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8. 直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.2分解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1，注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2. 因此D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0).5分(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0.8分由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0，化简整理得b ＝－a 2. 故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2. 分别令y ＝2，y ＝－2得N 1，N 2的坐标为N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2，10分则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a－a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.12分4．(2017·郑州质检)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M . 【导学号：31222334】(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．∵b ＝1，e ＝22， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝1＋c 2，解得a 2＝2.3分故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)，由于点A (m ，n )在椭圆C 上， ∴－1<n <1.5分∵直线PA 的方程为y －1＝n －1mx ， ∴x M ＝m1－n，则 M ⎝⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0.(2)∵点B 与点A 关于x 轴对称， ∴B (m ，－n )．设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.8分“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |. ∵x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1， ∴y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n2＝2.10分∴y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ . 点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2).12分5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，右顶点为A ，且|AF |＝1.图5(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且只有一个交点P ，且与直线x ＝4交于点Q ，问：是否存在一个定点M (t,0)，使得 MP →·MQ →＝0.若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 【导学号：31222335】(1)由c ＝1，a －c ＝1，得a ＝2，∴b ＝3，3分 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.5分(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ∴Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＝0， 即m 2＝3＋4k 2.8分设P (x P ，y P )，则x P ＝－4km 3＋4k 2＝－4k m， y P ＝kx P ＋m ＝－4k 2m ＋m ＝3m，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k m，3m .∵M (t,0)，Q (4,4k ＋m )，∴MP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－t ，3m ，MQ →＝(4－t,4k ＋m )，10分∴MP →·MQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4k m－t ·(4－t )＋3m ·(4k ＋m )＝t 2－4t ＋3＋4k m(t －1)＝0恒成立，故⎩⎪⎨⎪⎧t －1＝0，t 2－4t ＋3＝0，即t ＝1.∴存在点M (1,0)符合题意.12分6．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设直线l 1的方程为y ＝a ，直线l 2的方程为y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2.记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.2分 (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以AR ∥FQ .5分(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2.8分 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1).10分 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1. 所以，所求的轨迹方程为y 2＝x －1.12分。

2024～2025学年第一学期高三期中调研试卷数学注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，若i 是虚数单位，复数z 与21i -关于虚轴对称，则z =（ ）A. 1i +B. 1i-- C. 1i-+ D. 1i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算和几何意义求解即可.【详解】()221i 21i 1i 1i+==+--，复数z 与21i-关于虚轴对称，故1i z =-+.故选：C2. 若对于任意的实数R x ∈都有cos()sin cos cos sin x x x θθθ-=+成立，则θ的值可能是（ ）A.π4B. π2-C. π4-D. 0【答案】A 【解析】【分析】利用两角和差公式和诱导公式求解即可.【详解】cos()sin cos cos sin sin()sin(2)x x x x x θθθθθθ-=+=+=-+，故π22π,Z 2k k θ=+∈，即ππ,Z 4k k θ=+∈，当0k =时，π.4θ=故选：A3. 下列说法中不正确的是（ ）A. “1a >”是“2a >”的必要不充分条件B. 命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++<”C. “若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题D. 设m ，R n ∈，则“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD ；利用命题的否定即可判断选项B ；利用赋值法即可判断选项C.【详解】对于A, “1a >”是“2a >”的必要不充分条件,故A 正确；对于B ，命题“R x ∀∈，2220x x ++>”的否定是“R x ∃∈，2220x x ++≤”，故B 错误；对于C ，当5,1a b ==时，满足8a b +<，不满足4a <且4b <，故“若a ，R b ∈，8a b +<，则4a <且4b <”是假命题，故C 正确；对于D ，“0m =或0n =”是“0mn =”的充要条件，故D 正确.故选：B4. 在数列{}n a 中，12n n a a n ++=，则数列{}n a 前24项和24S 的值为（ ）A. 144 B. 312C. 288D. 156【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合12n n a a n ++=，将{}n a 前24项和24S 转化为等差数列求和问题.【详解】因为12n n a a n ++=，所以()2412324122462610462882S a a a a ⨯+=++++=++++== ，故选：C.5. 已知实数0x y >>，则223x x y xy y +-的最小值为（ ）A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】B 【解析】【分析】将xy看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可.【详解】22233,1x y x x x x y xy y y y⎛⎫ ⎪⎝⎭+=+--设1xt y=-，0x y >>，故0t >，()()222131314559t x x t t y xy ytt ++=++=++≥=-，当且仅当14t t =，即12t =时，等号成立.故选：B6. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为（ ）A.14B.C.12D.【答案】D 【解析】【分析】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R ，由圆柱表面积等于圆锥侧面积建立方程，求半径比.【详解】设圆柱和圆锥底面半径分别为r ，R，设圆柱高为h ，则h R r R R-=，=-h R r ，由题，()2π2π2πR r r R r ⨯=+⨯-，得r R =.故选：D .7. 已知()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，若存在常数R a ∈，使得()y f x a =+为偶函数，则ω的值可以为（ ）A.3π8B.π3C.π4D.π2【答案】A 【解析】【分析】求出()y f x a =+的解析式，得()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解．详解】由()()()2R,4sin f x x x ωω∈=-⋅，得()()()24sin x a x f a a x ω+-⋅=++⎡⎤⎣⎦是偶函数，因为()24y x a =+-不可能是奇函数，所以()24y x a =+-和()sin y x a ω⎡⎤=+⎣⎦都是偶函数，()()()2224244y x a x a x a =+-=+-+-为偶函数，则40a -=，即4a =，()()sin 4sin 4y x x ωωω⎡⎤=+=+⎣⎦为偶函数，则π4π2k ω=+，Z k ∈，ππ48k ω=+，Z k ∈，只有1k =时，3π8ω=，故选：A8. 已知函数()e e (0)x x f x x ax b ab a =--+>，若()0f x ≥，则1b a-最大值为（ ）A. 2e -B. 1e - C. eD. 2e 【答案】A 【解析】【分析】将()0f x ≥转化为函数y x b =-和e x y a =-的零点相同，然后利用ln b a =，构造函数()ln 1a g a a-=求最值即可.【详解】()()()e e e xxxf x x ax b ab x b a =--+=--，因为0a >，且函数y x b =-和e xy a =-都是增函数，故若()0f x ≥恒成立，则函数y x b =-和e xy a =-的零点相同，即ln b a =.故1ln 1b a aa--=，设()ln 1,a g a a -=则()22ln ,ag a a-'=【故在()20,e，()0g a '>，()g a 单调递增；在()2e ,∞+，()0g a '<，()g a 单调递减.故()()22max e e,g a g -==故1b a-最大值为2e -.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知向量(),2a x x =-，()1,b x =-- ，则下列说法中正确的是（ ）A. 若a b∥，则2x =-或1 B. 若a b ⊥，则0x =或-3C. 若a b =，则1x =或3D. 若1x =-，则向量a ，b【答案】AC 【解析】【分析】根据向量平行求参判断A 选项，根据向量垂直求参判断B 选项，应用模长相等计算判断C 选项，根据向量坐标的模长公式先求模长再根据夹角余弦公式计算判断D 选项.【详解】A 选项，若//a b，有()22x x --=-，解得1x =或2x =-，A 选项正确；B 选项，若a b ⊥，有()20x x x ---=，解得0x =或3，B 选项错误，；C 选项，若a b =，有=，解得1x =或3x =，C 选项正确；D 选项，当=1x -时，()1,3a =-，()1,1b =-，a =，b = ，4a b ⋅= ，向量a ，b 夹角的余=D 选项错误．故选：AC10. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中正确的是（ ）A. 若ABC V 为锐角三角形，则sin cos B A >B. 若60B =︒，2b ac =，则ABC V 是直角三角形C. 若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是等腰三角形.D. 若ABC V 为钝角三角形，且3AB =，5AC =，13cos 14C =，则ABC V 【答案】AC 【解析】【分析】利用正弦函数的单调性和诱导公式即可判断A 选项；利用余弦定理即可判断B 选项；利用正弦定理边化角即可判断C 选项；利用余弦定理求出7a =或167a =，再进行分类讨论即可判断D 选项.【详解】对于A, 若ABC V 为锐角三角形，则π,2A B +> 即ππ22B A >>-，故πsin sin cos 2B A A ⎛⎫>-=⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，若60B =︒，2b ac =，则222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-=，即()22220,0a c ac a c +-=-=，故a c =，且60B =︒，故ABC V 是等边三角形，故B 错误；对于C ，若cos cos b C c B b +=，则sin cos sin cos sin ,B C C B B +=即()sin sin ,B C B +=即s s n n ,i i A B =故A B =，ABC V 是等腰三角形.故C 正确；对于D ，222225913cos 21014a b c a C ab a +-+-===，解得7a =或167a =，且sin C ==，当7a =时，cos 0A <，A 为钝角，故1sin 2ABC S ab C ==△，当167a =时，cos 0B <，B 为钝角，故1sin 2ABC S ab C ==V D 错误.故选：AC11. 已知α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++，(),a b ∈R 两个不同的零点，且1αβ⋅=，1x ，2x 是函数()f x 两个极值点，则（ ）A. a b =B. 3a >或2a <-C.22(2)a b +-值可能为11D. 使得()()1243f x f x +=的a 的值有且只有1个【答案】ACD【解析】【分析】由,αβ是()f x 的零点且1αβ=得()()()(1)f x x x x αβ=--+，展开后与已知比较可得1a b αβ==--，可判断A ，由2()()(1)10x x x a x αβ--=+-+=有两个不等实解，得a 的范围，可判断B ，直接解方程22(2)11a a +-=可判断C ，由韦达定理得出1212,x x x x +，代入124()()3f x f x +=，化为关于a 的方程，引入函数32()299g a a a =-+，由导数确定它的单调性，结合零点存在定理得零点范围，结合B 中范围可判断D ．【详解】由已知2()32f x x ax b '=++有两个零点，24120a b ∆=->，又α，()βαβ≠是函数32()1f x x ax bx =+++两个不同的零点且1αβ⋅=，所以()()()(1)f x x x x αβ=--+，即32()(1)()f x x x x αβαβαβαβ=+--+--+32(1)(1)1x x x αβαβ=+--+--+所以1a αβ=--，1b αβ=--，即a b =，A 正确；224124120a b a a ∆=-=->，解得3a >或0a <，(0)10=>f ，322()1(1)[(1)1]f x x ax ax x x a x =+++=++-+，由已知2(1)10x a x +-+=有两个不等实根,αβ，所以21(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-，所以3a >或1a <-，B 错；222222(2)(2)2442(1)211a b a a a a a +-=+-=-+=-+=，解得1a =-或1a =+，满足3a >或1a <-，C 正确；由2()320f x x ax a '=++=，得1223a x x +=-，123ax x =，322212121212()()()()2f x f x x x a x x a x x +=++++++32121212121222()3()[()2]()2x x x x x x a x x x x a x x =+-+++-+++322282422()2273933a a a a a a =-++--+23422273a a =-+，由2342422733a a -+=整理得322990a a -+=，设32()299g a a a =-+，则2()6186(3)g a a a a a '=-=-，0a <或3a >时，()0g a '>，0<<3a 时，()0g a '<，()g a 在在(,0)-∞和(3,)+∞上递增，在(0,3)上递减，又(0)90,(3)180g g =>=-<，(1)20g -=-<，33(9)29990g =⨯-+>，所以()g a 在(1,0)-，(0,3)，(3,)+∞上各有一个零点，又1a <-或3a >，因此()0g a =只在(3,)+∞上在一个解，D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究函数的零点，极值，对计算要求较高，对多项式函数1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，如果α是它的一个零点，则121210()()()n n n n f x x b x b x b x b α----=-++++ ，因此本题中在已知()f x 有两个乘积为1的零点时，结合常数项可设()()()(1)f x x x x αβ=--+，展开后得出,a b 与,αβ的关系，从而使得问题可解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,1上的值域为[],m n ，且3n m -=，则ω的值为______.【答案】11π12【解析】【分析】利用整体代入法，结合正弦函数的图像求解即可.【详解】[]0,1x ∈，故πππ,444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为π()2sin 4f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间[0,1]上的值域为[],m n ，且3n m -=，故必有2,1,n m ==-，如图所示，则π7π,46ω+=故11π.12ω=故答案为：11π1213. 如图，边长为1的正ABC V ，P 是以A 为圆心，以AC 为半径的圆弧 BC上除点B 以外的任一点，记PAB 外接圆圆心为O ，则AO AB ⋅=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用三角形外心的性质将AO AB ⋅转化为()AD DO AB +⋅ 即可.【详解】取AB 的中点D ，因为ABC V 为正三角形，故CD 为AB 的中垂线，则PAB 外接圆圆心O 一定在CD 上，如图所示，，故()21122AO AB AD DO AB AD AB AB ⋅=+⋅=⋅== .故答案为：1214. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，则称直线y kx b =+为()f x 和()g x 的“媒介直线”.已知函数2()(R)f x x x =∈，1()(0)g x x x=<，若()f x 和()g x 之间存在“媒介直线”y kx b =+，则实数b 的范围是______.【答案】[]4,0-【解析】【分析】结合函数图像，利用临界情况，y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切求解即可.【详解】()()f x kx b g x ≥+≥恒成立，即y kx b =+的图像一直在()f x 和()g x 之间，，当y kx b =+同时与()f x 和()g x 均相切时，方程2()f x x kx b ==+和方程1()g x kx b x==+均只有一个解，即20x kx b --=和210kx bx +-=均只有一个解，故224040k b b k ⎧+=⎨+=⎩或2400k b k ⎧+=⎨=⎩，解得0b =或4-，结合图像可知，“媒介直线”y kx b =+的截距[]4,0b ∈-.故答案为：[]4,0-【点睛】思路点睛：本题考查函数新定义，注意理解新定义，然后数形结合，利用临界情况求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 是公差大于1的等差数列，23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列，若数列{}n b 前n 项和为n S ，并满足2n n S b n =+，*n N ∈.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式.（2）若()()11n n n c a b =--，求数列{}n c 前n 项的和n T .【答案】（1）21n a n =-；12nn b =-（2）()2228.n n T n +=--【解析】【分析】（1）利用等差数列的基本量可求出n a ；利用n S 和n b 的关系，构造出()1121n n b b --=-即可求出n b ；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，由23a =，且11a +，31a -，63a -成等比数列知：()()()12111315321a d a a d a d +=⎧⎪⎨++-=+-⎪⎩，整理得：251240d d -+=，即2=d 或者25d =，因为公差大于1，故2=d .且131a d =-=，故21n a n =-.数列{}n b 前n 项和n S ，并满足2n n S b n =+ ①，且11121b S b ==+，解得11b =-，故当2n ≥时，1121n n S b n --=+- ②，①式减②式得：11221n n n n n S S b b b ----==+，即()1121n n b b --=-，故{}1n b -是公比为2的等边数列，则()111122n n n b b --=-⨯=-，故12nn b =-【小问2详解】()()()()()11122212n n n n n c a b n n +=--=--=--，故()345102223212,n n T n +=--⨯-⨯---……则()4562202223212,n n T n +=--⨯-⨯---……故()()3234512222222221212,12n n n n n n T T n n ++++--=-----+-=-+--……故()2228,n n T n +-=-+则()2228.n n T n +=--的为16. 已知向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，()21f x a b =⋅-.（1）求函数()f x 解析式，写出函数()f x 的最小正周期、对称轴方程和对称中心坐标.（2）试用五点作图法作出函数()f x 在一个周期上的简图（要求列表，描点，连线画图）.（3）根据（2）中的图象写出函数()()y f x x =∈R 的单调增区间、最小值及取得最小值时相应x 值的集合.【答案】（1）见解析 （2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换求出()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后利用整体代入法求解即可；（2）利用五点作图法求解即可；（3）根据函数图像求解即可.【小问1详解】向量(sin ,cos )a x x =，,cos )b x x = ，则2ππ2T ==，)2π()212cos cos 12cos 22sin 26f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅-=+-=+=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期2ππ2T ==，当 ππ2=π,62x k k ++∈Z 时，ππ,62k x k =+∈Z ，当 π2=π,6x k k +∈Z 时，ππ,122k x k =-+∈Z ，故()f x 的对称轴方程为ππ,62k x k =+∈Z ，对称中心为ππ,0,122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z .【小问2详解】列表：π26x +π2π3π22πxπ12-π65π122π311π12π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0202-0描点，连线，画图得：【小问3详解】由图可知，()f x 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；最小值为2-；取最小值时相应x 值的集合为：2ππ,3x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .17. 如图①，在平面四边形ABCD 中，CB CD ==，tan CDB ∠=，O 为对角线BD 中点，F为BC 中点，E 为线段AD 上一点，且BE AO ⊥，CO AB =，AB BD ⊥.（1）求AE 的长.（2）从下面（i ）与（ii ）中选一个作答，如果两个都作答，则只按第一个解答计分.（i ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图②，当面CBD ⊥面ABD 时，求异面直线OF 与BE 所成角余弦值.（ii ）在平面四边形ABCD 中，以BD 为轴将BCD △向上折起，如图③，当60COE ∠=︒时，求三棱锥C ABD -的体积.【答案】（1 （2）见解析【解析】的【分析】（1）利用勾股定理和正弦定理结合三角函数求解即可；（2）若选（i ），利用空间向量求解即可；若选（ii ），利用等体积法求解即可.【小问1详解】因为CB CD == O 为对角线BD 中点，故CO BD ⊥,因为tan CDB ∠=故sin CDB CDB ∠=∠=，即sin CO DO CDB CDB CD CD ∠==∠==，解得2CO DO ==,故24,BD DO AB CO ====,则AD ==，AO ==,因为AB BD ⊥，BE AO ⊥，则π2ABE EBO ∠+∠=，π2AOB EBO ∠+∠=,所以ABE AOB ∠=∠,所以sin sin AB ABE AOB AO ∠=∠==cos ABE ∠=且sin sin BD BAD ABE AD ∠===∠,故ABEBAD ∠=∠,则在等腰ABE 中，由正弦定理得：sin sin AB AEAEB ABE=∠∠，sin AEABE=∠，则AE ===.【小问2详解】若选（i ）：当面CBD ⊥面ABD 时，因为CO BD ⊥,面CBD ⋂面ABD BD =,CO ⊂面CBD ,故CO ⊥面ABD ，又AB BD ⊥，故以点B 为坐标原点，BD 为x 轴，BA 为y 轴，过点B 做CO 的平行线为z 轴，可以建如图所示空间直角坐标系，由（1）知，12AE AD ==,故E 为AD 中点，则易得()(())0,2,0,,0,0,0,2,0,O F B E则()0,,2,0,OF BE =-=设异面直线OF 与BE 所成角为θ，则cos cos ,OF θ= .若选（ii ）：由（1）知，12AE AD ==,故E 为AD 中点，故12OE BA ==,当60COE ∠=︒时，1sin 602COE S CO OE =⋅⋅= ，因为//OE BA ，BD BA ⊥,故BD OE ⊥，且BD CO ⊥，OE CO O ⋂=,故BD ⊥面COE ,因为E 为AD 中点，O 为BD 中点，故4ABD DOE S S = ,则三棱锥C ABD -的体积:14443C ABD C DOE D COE COE V V V S OD ---===⨯⨯= .18. 已知函数()ln(1)f x a x =-，2()2g x x x =-.（1）如果函数()f x 在(2,(2))f 处的切线，也是()g x 的切线，求实数a 的值.（2）若()()()F x g x f x =-在11,e 1e⎡⎤++⎢⎥⎣⎦存在极小值()0F x ，试求()0F x 的范围.（3）是否存在实数a ，使得函数2(1)G()(1)2(1)g x x f x x +=+-+有3个零点，若存在，求出所有实数a 的取值集合，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2 （2）(2e 1,0⎤--⎦ （3）()0,1【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用极值点的定义，得出()2021a x =-，然后构造函数求出()0F x 的范围即可；（3）根据G()x 的单调性对a 进行分类讨论，注意1G(G()0x x+=，然后转化为G()x 在()1,+∞上有唯一零点求解即可.【小问1详解】(2)0f =，(),(2)1af x f a x ''==-，故()f x 在(2,(2))f 处的切线为()2y a x =-，()2y a x =-也是()g x 的切线，故方程()222x x a x -=-只有一个解，即()2220x a x a -++=只有一个解，()2280a a +-=，解得2a =.【小问2详解】()2()()()2ln 1F x g x f x x x a x =-=---，()221()2211x a a F x x x x --'=--=--，当0a ≤时，()0F x '>，()F x 无极值点，不符合题意；当0a >时，在1,1⎛+ ⎝上，()0F x '<，()F x 单调递减；在1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上，()0F x '>，()F x 单调递增；故()F x的极小值点01x =+，则()2021a x =-，故()()()02020002112ln F x x x x x =----，设01t x =-，011,e 1e x ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦，则1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时()2201ln 2F x t t t =--，设()221l 2n h t t t t =--，则()4ln h t t t '=-，1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '>，()h t 单调递增；()1,e t ∈时，()0h t '<，()h t 单调递减；()()22131,e e 1,10e eh h h ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，故()(2e 1,0h t ⎤∈--⎦,即()(20e 1,0F x ⎤∈--⎦【小问3详解】2(1)1G()(1)2ln 2(1)1g x x x f x a x x x +-=+-=-++，0x >，()()()222144()11a x x a G x x x x x +-'=-=++， 当0a ≤时，()0G x '<，G()x 在()0,∞+单调递减，不存在3个零点；当1a ≥时，()()()()22221414()011a x x x x G x x x x x +-+-'=≥≥++，G()x 在()0,∞+单调递增，不存在3个零点；当01a <<时，()()221414()112a x x G x a x x x x x ⎛⎫⎪+-'==- ⎪+ ⎪++⎝⎭，因为12y x x=++在()1,+∞上单调递增，设()412q x a x x=-++，则()q x 在()1,+∞上也是单调递增，且()110q a =-<，当x →+∞，(),0q x a a →>，故存在唯一一个()01,x ∈+∞，使()00q x =，即在()01,x ，()4012q x a x x=-<++，14()012G x a x x x ⎛⎫ ⎪'=-< ⎪ ⎪++⎝⎭，G()x 单调递减；在()0,x +∞，()0q x >，()0G x '>，G()x 单调递增；且G(1)0=，故0G()G(1)0x <=，且224G(e )0e 1aa=>+，故G()x 在()1,+∞有唯一零点，1G()ln 21x x a x x -=-+，故1G()G()0x x+=，当1x >时，101x<<，因为G()x 在()1,+∞有唯一零点，故G()x 在()0,1也有唯一零点，故当01a <<，G()x 有3个零点;综上所述，所有实数a 的取值集合为()0,1.【点睛】关键点点睛：本题的解题过程中，需通过导数分析函数的性质，并将问题转化为函数零点的讨论，充分体现了数学思想方法的应用．在解题时，要特别注意导数符号的变化对函数单调性的影响，确保分类讨论的全面性和严谨性．19. 对于任意*N n ∈，向量列{}n a 满足1n n a a d +-=.（1）若1(0,3)a =- ，(1,1)=d ，求n a 的最小值及此时的n a .（2）若(),n n n a x y = ，(,)d s t =，其中n x ，n y ，s ，t R ∈，若对任意*n ∈N ，120n x x x +++≠ ，设函数()||f x x x =，记()()()1212()n nf x f x f x F n x x x +++=+++ ，试判断()F n 的符号并证明你的结论.（3）记1(0,0)a = ，0d ≠，n n c a = ，对于任意*m ∈N ，记123()m S m c c c c =+++ ，若存在实数1c =和2，使得等式123123()m m S m c c c c c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 成立，且有()507S m =成立，试求m 的最小值.【答案】（1）min ||n a = ()22,1a =- 或()321,a =-（2）()0F n >，证明见解析 （3）30【解析】【分析】（1）利用累加法求出()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--，进而得到答案；（2）分别在各项均为0的常数列，非零常数列，公差不为0的数列，结合题意证明即可；（3）根据题意构造函数，根据函数的性质建立不等关系，进行求解.【小问1详解】因为1n n a a d +-=对任意*N n ∈成立，所以有21a a d -= 23a a d-= L L L L 1n n a a d--= 将上述各式相加得()11n a a n d =+- ，又因为1(0,3)a =- ，(1,1)=d ,所以()()()()110,31,11,4n a a n d n n n n =+-=-+--=--，所以有n a === ，又*N n ∈，当2n =或3n =时，min ||n a = ()21,2a =- 或()32,1a =-.【小问2详解】可判定()0F n >，（1）因为*N n ∈，120n x x x +++≠ 所以数列{}n x 不可能是各项均为0的常数列；（2）当数列{}n x 为非零常数列时，任意*N n ∈，10n x x =≠若1>0x ，则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++===>+++ ，若10x <，则()()()()212111210n nf x f x f x nx F n x x x x nx +++-===->+++ ，故当数列{}n x 为非零常数列时，()0F n >.（3）当数列{}n x 为公差不为0的数列时，因*N n ∈，120n x x x +++≠ ，若()11202n n n x x x x x ++++=> ①，由等差数列性质有1213210n m n n n m x x x x x x x x --+-+=+=+==+> ，其中2,1,,m n= 又()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数，且在R 上单调递增，则由10m n m x x +-+>可得1n m m x x +->-，所以有()()()11m n m n m f x f x f x +-+->-=-，即()()10m n m f x f x +-+->，2,1,,m n = ，所以有()()()()()()()()()12121120n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++++>⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，即()()()120n f x f x f x +++> ②，所以由①②知()0F n >.同理可证明若()11202n n n x x x x x ++++=< ，利用函数()22,0,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩为奇函数，且在R 上单调递增，可证()()()120n f x f x f x +++< ，所以有()0F n >.综上可知()0F n >恒成立.【小问3详解】()()111n a a n d n d =+-=-，所以()1n n c a n d ==- ，即{}n c 为等差数列，所以()()()12310212mm m S m c c c c d d m d d -=+++=++++-=，由题意知()1231231111m m S m c c c c c c c c =+++=-+-+-+- 123|2||2||2||2|507m c c c c =-+-+-+-= ，构造函数()23507f x x d x d x d x m d =-+-+-++-=，则()1215070m m m m f c d c c c c --+=++++-=，()121111115070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--=，()121222225070m m m m f c d c c c c --+-=-+-+-++--= ，所以函数()f x 至少有三个零点: ||,||,1,||2m m m c d c d c d ++-+- 若使得()f x 有三个零点，则存在区间,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，使得()f x 为常数，且三个零点均在,122m m d d ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 内，所以m 必为偶数，且||2d ≥ ， 于是有21122(1)02m m m m m d c d c d c d d m d f ⎧⎛⎫≤+-≤+-≤+≤+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫+⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭⎩ ， 故有225074d m d ⎧≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，其中()()()2(1)132150722224m dm d m d m m d m f d ⎛⎫+---- ⎪=+++=- ⎪⎝⎭ ，实际上2(1)15072224m d m m m f f d f d d ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，化简得224507m ≤⨯，解得31m ≤，又m 为偶数，故m 的最大值为30.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了空间向量与数列相结合的知识点，包括数列的通项公式以及求和公式，难度较大，解得本题的关键在于理解题意，然后结合数列的相关知识解答.。

数学试卷注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）．3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑．5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共24分）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1. 下列实数中，属于无理数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的识别及求立方根、算术平方根，无限不循环小数叫无理数，化简立方根与算术平方根，再根据无理数的定义逐项分析即可．正确化简立方根及算术平方根，熟练掌握无理数的定义是解题关键．【详解】解：A．是无限循环小数，属于有理数，不符合题意，B，是整数，属于有理数，不符合题意，C是开方开不尽数，是无理数，符合题意，D，整数，属于有理数，不符合题意，故选：C．2. 甲骨文是我国目前发现最早的文字，其显著特点是图画性强，下列甲骨文图画是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的是0.30.3【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据定义“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形”逐项判断即可．【详解】解：A ，不是轴对称图形，不合题意；B ，是轴对称图形，符合题意；C ，不是轴对称图形，不合题意；D ，不是轴对称图形，不合题意；故选B ．3. 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．根据平行线的性质解答即可．【详解】解：如图，两条入射光线平行，，，，故选：C ．4. 计算的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 1100∠=︒2∠60︒70︒80︒100︒13100∴∠=∠=︒23180∠+∠=︒ 280∴∠=︒322x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭322x y 362x y 346x y 368x y【解析】【分析】本题考查的是分式的乘方运算．分别把分子、分母乘方是正确解答本题的关键．详解】解：，故选D ．5. 如图，在中，，，平分交于点D ，则图中等腰三角形的个数为（ ）A. 0个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【解析】【分析】本题考查了三角形内角和、等腰三角形的知识；根据等腰三角形性质，得为等腰三角形，结合三角形内角和、角平分线的性质，得、为等腰三角形，从而完成求解．【详解】∵，∴为等腰三角形，∵，，BD 平分交AC 于点D ，∴∴，∴，∴、为等腰三角形，∴图中等腰三角形的个数为3个故选：B ．6. 若将一次函数的图象关于x 轴对称，所得的图象经过点，则b 的值为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】A【解析】【33322362(2)8x x x y y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭ABC AB AC =72C ∠=︒BD ABC ∠AC ABC ABD △BDC AB AC =ABC AB AC =72C ∠=︒ABC ∠113622CBD ABD ABC C ∠=∠=∠=∠=︒18036A ABC C =︒--=︒∠∠∠18072BDC CBD C ∠=︒-∠-∠=︒A ABD ∠=∠C BDC∠=∠ABD △BDC y x b =+(2,4)6-【分析】本题主要考查了一次函数图象的对称，先写出一次函数的图象关于x 轴对称的函数解析式，然后再将点代入即可求得b 的值．【详解】解：∵函数解析式为一次函数的图象关于x 轴对称∴关于x 轴对称的函数解析式即∵所得的图象经过点∴，解得．故选A ．7. 如图，直角三角板的锐角顶点A 落在上，其中，边、分别与交于D 、E 两点，连接，若的半径为4，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积，先根据圆周角定理得到的度数，然后利用计算是解题的关键．【详解】解：连接，，∵，∴，∴，y x b =+(2,4)y x b =+y x b -=+=y x b--(2,4)42b =--6b =-ABC O 45A ∠=︒AB AC O DE O 48π-28π-4π216π-DOE ∠ODE ODE S S S =- 阴影扇形OD OE 45A ∠=︒90DOE ∠=︒2904144483602S ππ⨯=-⨯⨯=-阴影故选A ．8. 抛物线（为常数，且）的顶点坐标为，其部分图象如图所示，以下结论错误的是（）A. B. C. D. 若，则【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与轴的交点可以对进行判断；根据抛物线与一元二次方程的关系，可对进行判断；根据抛物线的对称轴可对C 进行判断；根据当时，可对D 进行判断；．【详解】解：抛物线开口方向向上，对称轴为，，，，故选项C 符合题意；抛物线轴的交点在轴负半轴，，，故选项A 符合题意；抛物线与x轴有两个交点，2y ax bx c =++a b c 、、0a ≠(1,)n -0abc <240b ac ->2b a=20x -≤≤y c<y A 2y ax bx c =++B 0x = =1x -0a ∴>12b a-=-0,2b b a ∴<= y y 0c ∴<0abc ∴> 2y ax bx c =++一元二次方程有两个根，即，故选项B 符合题意；当时，，故选项D 不符合题意．故选∶D ．第二部分（非选择题 共96分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9. 实数，，的大小关系是__________．（用“<”号连接）【答案】【解析】进行比较大小，即可得出答案．【详解】解：∵，，即，∴．故答案为：10. 水利部相关负责人3月14日介绍，全国水利工程供水能力超9000亿立方米．南水北调东、中线建成以来，累计调水量超过69800000000立方米．其中，数据69800000000用科学记数法表示为__________．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．【详解】解：数据69800000000用科学记数法表示为，故答案为：．∴20ax bx c ++=240b ac ->0x =y c =2-3-32-<<-459<<<<23<<32-<<-32-<<-106.9810⨯10n a ⨯110a ≤<a n 10n a ⨯110a ≤<n 106.9810⨯106.9810⨯11. 如图，是矩形的对角线，点在对角线上，连接并延长，交于点，若，，，则的长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查勾股定理、矩形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．利用勾股定理求出，根据矩形的性质得出，可证明，根据相似三角形的性质可求出的长，进而可得答案．【详解】解：∵是矩形对角线，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴．故答案为：．12. 如图，在平面直角坐标系中，的边平行于x 轴，过点A 作的垂线，交于点B ，且，反比例函数（k 为常数，且，）的图象经过点A ，若的面积为4，则k 的值为__________．的AC ABCD F AC BF AD E 3AB =5AC =14EF BF =DE 34BC =AD BC ∥AEF CBF ∽△△AE AC ABCD AD BC ∥90ABC ∠=︒AD BC =3AB =5AC =BC 4=AD BC ∥AEF CBF ∽△△14EF AE BF BC ==144AE =1AE =413DE AD AE BC AE =-=-=-=3AOC AC AC CO 2BC BO =k y x=0k ≠0x <ABC【答案】【解析】【分析】本题考查已知图形面积求值，相似三角形的判定和性质，延长交轴于点，证明，求出的面积，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，进而求出的面积，再根据值的几何意义，进行求解即可．【详解】解：延长交轴于点，∵轴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，∵的面积为4，∴，，∴，6-k CA y D CAB CDO ∽△△OCD ACO △AOD ∠k CA y D AC x ∥CD OD ⊥AB AC ⊥AB OD ∥CAB CDO ∽△△2BC BO =3OC BO =32OC BC =239:24COD CABS S ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 3:2COA CAB S S = ABC 9COD S =△6COA S = 3AOD COD COA S S S =-=∵反比例函数（k 为常数，且，）的图象经过点A ，且双曲线在第二象限，∴，∴；故答案为：．13. 如图，在中，，，，点D 在BC 上，且，过点D 作等腰，，当点M 在AB 上运动时，B 、N 两点间距离的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解决本题的关键由题意可得，过D 作，且，连接交于，交于点G ，证明，再证，点N 在过点P 且与垂直的直线上，即为B 、N 两点间距离的最小值（当N 与重合时，B 、N 两点间距离最小），过D 作于H ，然后解直角三角形得到，是等腰直角三角形，则，即可求得的长．【详解】解：过D 作，且，连接交于，交于点G ，过D 作于H∵等腰，，∴，∴，k y x =0k ≠0x <32AOD k S =-= 6k =-6-ABC AB AC =120A ∠=︒12BC =2CD BD =Rt DMN △DM DN =2+4BD =DP BC ⊥DP BD =PN OA N 'PD AB PDN BDM ∽△△PN AB ⊥AB BN 'N 'DH AB ⊥122DH BD ==BH =DHN '△2HN DH '==BN 'DP BC ⊥DP BD =PN OA N 'PD AB DH AB ⊥Rt DMN △DM DN =90MDN ∠=︒=BDM PDN ∠∠∴，∴，∴，又∵，∴，∴ 点N 在过点P 且与垂直的直线上，记与的交点为点，∴，当N 与重合时，B 、N 两点间距离最小∵，，∴ ∵，，∴，∴，在中，∴，在和中，，∴，∴，故答案为：．三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14. 求不等式的最大整数解．【答案】最大整数解为1【解析】【分析】去括号，移项、合并同类项，系数化成1即可求得不等式的解集，然后确定最大的整数解．DN DM DP BD=PDN BDM ∽△△B P ∠=∠PGA BGD ∠=∠PN AB ⊥AB PN AB N 'BN BN'≥N 'AB AC =120A ∠=︒180120302B ︒-︒∠==︒12BC =2CD BD =4CD =cos30sin 302BH BD DH BD =⋅︒==⋅︒=Rt BDG △tan 30DG BD =⋅︒=4PG =Rt DHG Rt PGN '△12HG DG ==122GN PG '==22HN '=-=2BN '=+2+533(2)x x +<+【详解】解：，，，．则不等式的最大整数解为1．【点睛】考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．15. 计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查实数的运用，涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，根据相关运算法则求解即可．【详解】解：．16. 先化简，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】本题考查代数式求值、平方差公式和完全平方公式、多项式除以单项式的法则，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．先利用平方差公式和完全平方公式进行计算，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，最后把，代入计算即可．【详解】解：原式，当，时，533(2)x x +<+ 5363x x ∴+<+5363x x -<-32x <201( 3.14)tan 453π-⎛⎫+--︒ ⎪⎝⎭9201( 3.14)tan 453π-⎛⎫+--︒ ⎪⎝⎭911=+-9=2(2)(2)(2)(4)a b b a b a a ⎡⎤--+-÷⎣⎦12a =2b =2a b -1-12a =2b =()2222444(4)a ab b b a a ⎡⎤=-+--÷⎣⎦()2222444(4)a ab b b a a =-+-+÷()284(4)a ab a =-÷2a b =-12a =2b =原式．17. 如图，在中，，请用直尺和圆规在边上确定点D ，使得．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】本题考查基本作图—垂直平分线，掌握以A ，C为圆心，大于长为半径作弧，交于两点，过两个交点作直线交于点D ，即可解题．【详解】解：如图所示，点D 为所作．18. 如图，在中，，，，点D 是边上一点，连接，且．求的长．【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形，熟知利用三角函数解直角三角形是解题的关键．根据的正弦值，求出的长，再利用勾股定理求出即可解决问题．【详解】解：在中，，12212=⨯-=-ABC 25C ∠=︒BC 50ADB ∠=︒12AC BC ABC 90ACB ∠=︒4sin 5B =10AB =AB CD BC BD =BD 6BD =B ∠AC BD Rt ABC △sin AC B AB=，即，，．又，．19. 如图，在和中，，于点D，于点E ，相交于点F ，求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，得到，利用线段的和差关系即可得证．【详解】证明：，，∴，在和中，，．，，，．20. 纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行．科学实验是实践的重要形式，是获取经验事实和检验科学假说，理论真理性的重要途径．某校为进一步培养学生实践创新能力，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，该活动为学生准备了四项科学小实验：A ．自动升高的水；B ．不会湿的纸；C ．漂浮的硬币；D ．生45AC AB ∴=4105AC =8AC ∴=6BC ∴===BC BD = 6BD =∴ABD △ACE △AB AC =BD AC ⊥CEAB ⊥BD CE 、BE CD =(AAS)ABD ACE ≌△△AD AE =BD AC ⊥ CEAB ⊥90ADB AEC ∠=∠=︒ABD △ACE △ADB AEC A AAB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ABD ACE ∴△≌△AD AE ∴=AC AB = AC AD AB AE ∴-=-BE CD ∴=气的瓶子．筹备组将四项科学小实验依次制成如图所示的A ，B ，C ，D 四张不透明的卡片（卡片形状、大小、质地、背面完全相同），把四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．参与该活动的萌萌同学先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．（1）萌萌从四张卡片中随机抽取一张，抽到“D ．生气的瓶子”卡片的概率为 ；（2）请用列表法或画树状图法求萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C ．漂浮的硬币”的概率．【答案】（1） （2）【解析】【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．（1）运用直接列举法求概率即可解题；（2）运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可．【小问1详解】从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“D ．生气的瓶子”的概率为，故答案为：；【小问2详解】画树状图为：由图可知，共有16种等可能的结果数，其中萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C ．漂浮的硬币”的结果数为9，所以萌萌同学两次随机抽得的卡片都没有实验项目“C ．漂浮的硬币”的概率为．21. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：项目主题：测量学校旗杆高度149161414916问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如标杆，镜子，测角仪……确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．成果展示：下面是同学们进行交流展示时的其中两种测量方案：方案一方案二测量工具测量角度的仪器，皮尺皮尺，标杆测量方案示意图说明点C 、D 、A 在同一条直线上，A 、E 、C 三点共线，D 、F 、B 三点共线，、、均垂直于测量数据，，标杆，小明的身高，，参考数据，，任务解决：请选择其中一个方案及其数据计算学校旗杆的高度．【答案】学校旗杆的高度是【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用和三角形相似，熟练掌握三角函数中各边的关系和相似三角形中对应边成比例是解题的关键，选择方案一：易证 是等腰直角三角形，设，则，，在中，利用，解得的值即可得到答案；选择方案二：过D 作于M 交于N ，易证 ，得到，即可得到，进而得到的值．AB AC ⊥CD EF AB AC37ACB ∠=︒45ADB ∠=︒4m CD =2m EF = 1.5m CD =1m CE =20mAE =sin 370.60︒≈cos370.80︒≈tan 370.75︒≈AB AB 12mABD △AB x =AD AB x ==4AC AD CD x =+=+Rt ABC △tan AB ACB AC∠=x DM AB ⊥EF DFN DBM ∽△△FN DN BM DM=MB AB【详解】解：选择方案一解答如下，由题意得：，，，是等腰直角三角形，，设，则，，在中，，，解得：，即学校旗杆的高度是．选择方案二解答如下，如图，过D 作于M 交于N ，则四边形，四边形都是矩形，，，，，，，，，，即，，，即学校旗杆的高度是．22. “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了如图所示的简易计时装置．他们设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获90BAD ∠=︒37ACB ∠=︒45ADB ∠=︒ABD ∴ AB AD ∴=AB x =AD AB x ==4AC AD CD x =+=+Rt ABC △tan tan 370.75AB ACB AC∠==︒≈0.754x x ∴≈+12x =AB 12m DM AB ⊥EF CDNE AMNE 1DN CE ∴==20MN AE == 1.5E AM CD ===2 1.50.5FN FE EN ∴=-=-=21DM DN MN =+=DNF DMB ∠=∠FDN BDM ∠=∠DFN DBM ∴∽△△FN DN BM DM ∴=0.5121BM =10.5MB ∴=10.5 1.512AB AM MB ∴=+=+=AB 12m 30cm 10min得的数据如表，发现水面高度与流水时间（t 为正整数）之间满足一次函数关系．流水时间010203040…水面高度（观察值）3028262422…（1）求水面高度h 与流水时间t 之间的函数关系式；（2）按此速度，流水时间为1小时时，水面高度为多少厘米？（3）按此速度，经过多长时间，甲容器内的水恰好流完？【答案】（1）水面高度h 与流水时间t 之间的函数关系式为（2）流水时间为1小时时，水面高度为18厘米（3）经过，甲容器内的水恰好流完【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用：（1）结合题意，根据一次函数待定系数法建立二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，根据一次函数的性质计算，即可得到答案；（3）结合（1）的结论，根据一次函数的性质列一元一次方程并求解即可．【小问1详解】设水面高度h 与流水时间t 之间的函数关系式为，把，代入得：解得，∴水面高度h 与流水时间t 之间的函数关系式为；【小问2详解】当分钟时，，(cm)h (min)t /min t /cmh 1305h t =-+150min h kt b =+(0,30)(10,28)301028b k b =⎧⎨+=⎩1530k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩1305h t =-+60t =16030185h =-⨯+=∴流水时间为1小时时，水面高度为18厘米；【小问3详解】当时，的，∴，即经过，甲容器内的水恰好流完．23. 2024年是我国人民代表大会成立70周年．自成立以来，人大制度为我国法治建设、经济发展和社会稳定提供了重要制度保障．某校组织全校学生开展了“学习两会精神，争做好少年”的主题阅读活动．为了解同学们的阅读篇数情况，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的阅读篇数（单位：篇）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的阅读篇数为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．八年级20名学生的阅读篇数条形统计图（不完整）如图：七、八年级抽取的学生的阅读篇数的平均数、众数、中位数如表所示：年级平均数众数中位数七年级7.577八年级a8b 根据以上信息，解答下列问题：（1）补全条形统计图，上表中 ， ；（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生此次阅读情况较好？请说明理由；（写出一条理由即可）0h =10305t =-+150t =150min =a b =（3）该校八年级共有600名学生参加了此次阅读活动，估计该校八年级此次阅读活动阅读篇数达到8篇以上（含8篇）的学生人数是多少？【答案】（1）补全图形见解析，7.5，7.5（2）八年级学生此次阅读情况较好，理由见解析（3）300【解析】【分析】（1）求出阅读9篇的人数，即可补全条形图．根据平均数和中位数的定义即可求出a ，b 的值；（2）根据平均数、众数、中位数的意义分析判断即可；（3）用300乘以阅读篇数达到8篇以上（含8篇）的学生人数比例，即可解答．【小问1详解】八年级阅读9篇的学生有（人），故补全条形图如图所示：八年级学生阅读篇数的平均数为，即；由条形统计图可知，八年级学生阅读篇数处于第10位的是7篇，第11位的是8篇，故中位数为，即；故答案为：7.5，7.5【小问2详解】八年级学生此次阅读情况较好．理由：由于七、八年级学生的阅读篇数的平均数相同，但八年级学生阅读篇数的众数、中位数均比七年级高，因此八年级学生此次阅读情况较好．【小问3详解】20244532-----=52647485921037.520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=7.5a =787.52+=7.5b =（人），答：估计该校八年级此次阅读活动阅读篇数达到8篇以上（含8篇）的学生人数是300人．【点睛】本题考查了条形统计图、统计表，中位数、众数、平均数的意义，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握中位数、平均数、众数、样本的百分比含量的计算方法是解题的关键．24. 如图，内接于，为的直径，过点D 作的切线，过点B 作的垂线，交于点E ，交的延长线于点C ，延长，交于点F ．（1）求证：；（2）若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理．（1）连接OD ，利用切线的性质结合题意证得，再利用等边对等角结合平行线的性质证明；（2）过点O 作于点H ，证明四边形ODEH 是矩形，利用垂径定理结合即可求解．【小问1详解】证明：如图，连接OD ，是的切线，，，∴，，，，；【小问2详解】52360030020++⨯=ABD △O AB O O DE DE BC DE AD CB O A C ∠=∠6BE BF ==DE DE =∥OD BC A C ∠=∠OH BF ⊥DE O DE OD ∴⊥DE BC ⊥ ∥OD BC ODA C ∴∠=∠OA OD = ODA A ∴∠=∠A C ∴∠=∠解：过点O 作于点H ，则，，四边形ODEH 是矩形，，，，，．25. 如图，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）C 为该抛物线上的一个动点，点D 为点C 关于直线l 的对称点（点D 在点C 的左侧），点M 在坐标平面内，请问是否存在这样的点C ，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），（2）存在这样的点C ，使得四边形是正方形，点C 的坐标为或【解析】【分析】（1）将二次函数化为顶点式，然后求出点A 的坐标；把代入抛物线的解析式，求出，得出点B的坐标即可；OH BF ⊥90ODE DEH OHE ∠=∠=∠=︒132BH BF ==∴OD EH ∴=OH DE =9OD EH BE BH ∴==+=OH ∴===DE OH ∴==211342y x x =--ACMD ()1,0A ()0,3B -ACMD (12-+(32+0x =3y =（2）分两种情况进行讨论，当在x 轴下方时，当M 在x 轴上方时，分别画出图形，求出结果即可．【小问1详解】解：，，当时，，．【小问2详解】解：存在，理由如下：由题意四边形是正方形，则是以点A 为直角顶点的等婹直角三角形．设，①当在x 轴下方时，如图1，过点C 作轴于E ，此时是等腰直角三角形，，，（舍去），，此时．②当M 在x 轴上方时，如图2，过点C 作轴于F，M 22111133(1)4244y x x x =--=-- ()1,0A ∴0x =3=-y (0,3)B ∴-ACMD ACD 211,342C t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭M CE x ⊥ACE △AE CE ∴=2111342t t t ∴-=-++11t ∴=-21t =-(12C -+CF x ⊥同理可得：，，，（舍去），此时．综上所述，存在这样的点C ，使得四边形是正方形，此时点C 的坐标为或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．26. 问题探究：（1）将一直角梯形放在如图1所示的正方形网格（图中每个小正方形的边长均为一个单位长度）中，梯形的顶点均在格点上，请你在图中作一条直线l ，使它将梯形分成面积相等的两部分；（画出一种即可）（2）如图2，，点A 、D 上，点B 、C 在上，连接、，交于点O ，连接、．试说明：；问题解决：（3）如图3，在平面直角坐标系中，不规则五边形是李大爷家的一块土地的示意图，顶点B 在y 轴正半轴上，边在x 轴正半轴上，平行于x 轴，的中点P 处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点Q ，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计）．①请你利用有刻度的直尺在图中画出的位置，并简要说明作图过程；②若点A 的坐标为，，，，，请求出直线的解析式．在CF AF =2111342t t t ∴-=--33t ∴=+43t =∴(32C +ACMD (12--(32+ABCD ABCD ABCD 12l l ∥1l 2l AC BD AB CD AOB DOC S S =△△ABCDE CD AE AE CD PQ PQ PQ (2,4)1OB =4OC =12OD =6AE =PQ【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②直线的解析式为【解析】【分析】本题考查同底等高的三角形的面积关系、用待定系数法求一次函数解析式、一次函数平移的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）根据网格和梯形的面积公式求解即可；（2）根据，，即可求解；（3）①如图，连接，平移，使其经过点B ，交x 轴于点M ，连接，交于点N ，量出的中点Q ，连接，由，可得，从而可得，可证，再由平分梯形的面积，即可求解；②由题意可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再根据一次函数平移的规律可设直线的解析式为，再把代入求得直线的解析式为，从而可得，再利用待定系数法求解即可．【详解】解：（1）直线l 的位置如图所示．（答案不唯一），理由如下：如图，直线l 分别交、于点E 、F ，∵，，∵；（2）设、之间的距离为h ，∵，，PQ 16205y x =-+ABC DCB S S =△△ABC BOC DCB BOC S S S S -=-△△△△AC AC AM BC DM PQ BM AC ∥ABC AMC S S = CMN ABN S S =△△ABCDE AMDE S S =五边形梯形PQ AMDE 5,4P ()AC 28y x =-+BM 2y x t =-+(0,1)B BM 21y x =-+25,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭AD BC ()464202ABCD S +⨯==梯形()234102ABFE S +⨯==梯形10EFCD ABCD ABFE S S S =-=四边形梯形梯形1l 2l AD BC ∥12ABC DCB S S BC h ∴==⋅△△，．（3）①如图，连接，平移，使其经过点B ，交x 轴于点M ，连接，交于点N ，量出的中点Q ，连接，的位置如图所示．∵，∴，又∵，∴，，∵平分梯形的面积，∴平分五边形的面积，②由题意得，，，，，，．设直线的解析式为，将，，代入得，解得，∴直线的解析式为，故可设直线的解析式为，将代入，得，∴直线的解析式为．当时，，解得．．，设直线的解析式为，ABC BOC DCB BOC S S S S -=- △△△△AOB DOC S S ∴=△△AC AC AM BC DM PQ PQ BM AC ∥ABC AMC S S = ABC ANC AMC ANC S S S S -=- CMN ABN S S =△△ABCDE AMDE S S ∴=五边形梯形PQ AMDE PQ ABCDE (2,4)A (0,1)B (4,0)C (12,0)D (8,4)E (5,4)P ∴AC y kx b =+(2,4)A (4,0)C 2440k b k b +=⎧⎨+=⎩28k b =-⎧⎨=⎩AC 28y x =-+BM 2y x t =-+(0,1)B 1t =BM 21y x =-+0y =210x -+=12x =1,02M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭25,04Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭PQ y mx n =+将，，代入得，解得，∴直线的解析式为．5,4P ()25,04Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭542504m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩16520m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩PQ 16205y x =-+。

西北大学成人教育学院2011-2012学年第二学期期末考试高等数学（90分钟）试题2012年7月一、选择题（每题3分，共30分）1、函数()y f x =在点0x 处有定义是0lim ()x xf x →存在的（ ）A 、必要条件B 、充分条件C 、充要条件D 、无关条件 2、当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ ）.A 、x eB 、x sinC 、sin x xD 、1sin x3、下列表达式中正确的是（ ）A 、20sin lim 1x x x →=B 、0sin lim 1x x x →=C 、20sin lim 1x x x →=D 、sin lim 1x xx→∞= 4、极限233lim9x x x →-=-（ ）A 、1B 、13C 、16D 、195、曲线sin y x =在（0,0）处的切线方程是（ ）A 、2y x =B 、y x =C 、12y x =D 、y x =- 6、若函数)(x f 在点0x x =处可导，且000(2)()lim 1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则0()f x '=（ ） A 、1 B 、0 C 、3 D 、127、函数cos 2y x =，则y '=（ ）A 、2sin xB 、2cos 2xC 、2sin 2x -D 、2cos x - 8、sin xdx -=⎰（ ）A 、cos x -B 、cos xC 、sin xD 、sin x -9、如果()f x 为区间[,]a b 上的连续函数，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则()bbf x dx =⎰（ ）A 、()()F b F a -B 、()()F b F a +C 、()()F a F b -D 、无法确定10、 （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、以上都不对二、填空题（每题4分，共20分）11、 12、函数x =13、函数23410y x x =-+，则y '=14、0(tan )x x ='=15、 三、判断题（每题4分，共20分）16、 （ ） 17、当0→x 时， 为无穷小量 ( )18、若)(x f 在x 处可导，则)(x f 在0x 处必连续 （ ） 19、曲线y =(1,)e （ ）20、(1)xxe x dx xe +=⎰（ ） 四、计算题（每题5分，共30分）求极限 21、 22、 求导数 23、2(21)y x x =+ 24、2sin y x =求积分 25、 26、 五、解答题（共10分）求曲线3y x =在（1,2）处切线的方程。