2018届一轮复习人教A版 三角恒等变换与解三角形 学案

第三章 三角恒等变换学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2.二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3.升幂缩角公式 1＋cos 2α＝2cos 2α. 1－cos 2α＝2sin 2α. 4.降幂扩角公式sin x cos x ＝sin 2x 2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin 2x ＝1－cos 2x 2.5.和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). 6.辅助角公式y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋θ).类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1 已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值.解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139.∵β是锐角，∴cos β＝91050.反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等.跟踪训练1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为31010，255.(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值. 解 (1)由题可知，cos α＝31010，cos β＝255. 由于α，β为锐角，则sin α＝1010，sin β＝55， 故tan α＝13，tan β＝12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－121＋16＝－17.(2)因为tan(α＋β)＝13＋121－16＝1，sin α＝1010<22，sin β＝55<22， 即α＋β<π2，故α＋β＝π4.类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值. 解 设sin x ＋cos x ＝t ， 则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin x ＋22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12.∵f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ， ∴g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2].当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1， 此时，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z .当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12，此时，由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1，解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z .综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12. 反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域. 解 令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4知，t ∈[－2，2].又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2， ∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54.当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1，54.类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3 已知函数f (x )＝23sin(x －3π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π2－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，求cos 2x 0的值.解 (1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为π.又因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以f (x )的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知，f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6.又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45，cos 2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310. 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.跟踪训练3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值. 解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin xcos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x . ∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， 又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－43.∴cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35－45＝－210. ∴sin x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4－sin π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－7210， sin 2x ＝725.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝－2875.类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例4 已知sin x ＋2cos y ＝2，求2sin x ＋cos y 的取值范围.解 设2sin x ＋cos y ＝a .由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋2cos y ＝2，2sin x ＋cos y ＝a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＝2a －23，cos y ＝4－a3，从而⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2a －23≤1，－1≤4－a3≤1，解得1≤a ≤52.故2sin x ＋cos y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52. 反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4 已知关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0，2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值.解 设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＋a ＝0，消去y ，并整理得4x 2＋23ax ＋a 2－1＝0.①由已知得cos α，cos β是①的两个实数解， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝－32a ，cos αcos β＝a 2－14.∴sin αsin β＝(3cos α＋a )(3cos β＋a ) ＝3cos αcos β＋3(cos α＋cos β)a ＋a 2＝a 2－34.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝a 2－14－a 2－34＝12.1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2等于( )A.－5B.－513C.1213 D.5答案 A解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－513，又∵α是第三象限角，∴cos α＝－1213.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－513＝－5.2.已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ等于( )A.223B.－223C.23D.－23答案 A解析 由59＝sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ，得12sin 22θ＝49，即sin 22θ＝89. 又∵2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π<2θ<4k π＋3π(k ∈Z )， 故sin 2θ＝223.故选A.3.已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ .答案 －5972解析 由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝1336，得2sin(α－β)＝－5936，即sin(α－β)＝－5972.4.设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为 . 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝725， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π4 ＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝17250. 5.已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值.解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3). 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.课时作业一、选择题1.cos 2 017°cos 1 583°－sin 2 017°sin 1 583°等于( ) A.0 B.12 C.22 D.1答案 D解析 原式＝cos(2 017°＋1 583°)＝cos 3 600°＝1. 2.函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x (x ∈R )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22－12，22－12 答案 C解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x2＝22(22sin 2x －22cos 2x )＋12 ＝22sin(2x －π4)＋12. ∵x ∈R ，∴2x －π4∈R ，∴sin(2x －π4)∈[－1，1]，∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22＋12，22＋12.3.函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π，1 B.π，2 C.2π，1 D.2π，2答案 A解析 ∵f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴最小正周期T ＝π，振幅A ＝1.4.已知tan(α＋π4)＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)等于( )A.255B.－255C.－355D.－31010答案 B解析 sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2cos α(sin α－cos α)22(sin α－cos α)＝22cos α.∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－12， ∴tan α＝－3 ， ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－1010. 则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)＝22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255. 5.已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(2，2cos α－2)(π2<α<π)，若a ⊥b ，则sin(α－π4)等于( ) A.－32B.－12C.12D.32答案 D 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2sin α＋2cos α－2＝22sin(α＋π4)－2＝0， ∴sin(α＋π4)＝12. ∵π2<α<π， ∴3π4<α＋π4<5π4， ∴cos(α＋π4)＝－32. ∴sin(α－π4)＝－sin(π4－α)＝－cos(α＋π4)＝32. 6.若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( ) A.－65B.－45C.45D.65答案 D解析 由题意知，tan θ＝13， 则cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝65. 7.函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－3 答案 B 解析 y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－ 3 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6， ∴函数图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，－32. 二、填空题8.若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝ . 答案 －2解析 由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋2－2tan 2αtan 2α＋1＝－4＋2－2×45＝－2. 9.函数y ＝(a cos x ＋b sin x )cos x 有最大值2，最小值－1，则实数a ＝ ，b ＝ . 答案 1 ±2 2解析 y ＝a cos 2x ＋b sin x cos x＝b 2sin 2x ＋a 2cos 2x ＋a 2＝a 2＋b 22sin(2x ＋φ)＋a2， a 2＋b 22＋a2＝2，－a 2＋b 22＋a 2＝－1， a ＝1，b ＝±2 2.10.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝ .答案 4解析 由已知得4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，即tan α－tan β1＋tan αtan β＝4. ∴tan(α－β)＝4.三、解答题11.已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围. 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12， 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35， 所以f (α)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12， 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 所以f (x )的取值范围为[0，1＋22]. 12.已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b ，且a ，b 满足：a ·b＝－9，|a |＝3，|b | ＝5，θ为a ，b 的夹角.求sin(B ＋θ).解 2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，4cos 2B －8cos B ＋3＝0，解得cos B ＝12，sin B ＝32， cos θ＝a·b |a ||b |＝－35，sin θ＝45， sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 13.设函数f (x )＝sin 2x ＋cos(2x ＋π3). (1)求函数f (x )的最大值及此时x 的取值集合；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，已知cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值.解 (1)∵f (x )＝1－cos 2x 2＋12cos 2x －32sin 2x＝12－32sin 2x ， ∴当sin 2x ＝－1时，f (x )max ＝1＋32， 此时2x ＝2k π－π2(k ∈Z )，x ＝k π－π4(k ∈Z )， ∴x 的取值集合为{x |x ＝k π－π4，k ∈Z }. (2)∵f (C 2)＝12－32sin C ＝－14， ∴sin C ＝32. ∵C 为锐角，∴C ＝π3. 由cos B ＝13，得sin B ＝1－cos 2B ＝223， ∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32cos B ＋12sin B ＝3＋226. 四、探究与拓展14.若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝ . 答案 2215.已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0].向量m ＝(2，1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA→－n ).(1)求向量OA →；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值. 解 (1)∵OA →＝(cos α，sin α)，∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5).∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0，∴2cos α＋sin α＋5＝0.① 又sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255， ∴OA →＝(－255，－55). (2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210. 又∵0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210. 又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45，cos 2α＝2cos 2α－1 ＝2×45－1＝35， ∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β ＝35×(－210)＋45×7210＝25250＝22.。

第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒 应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B考点一 三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二 辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三 三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3， 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二 三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1， 由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1， 又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形． 探究三 三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45， 所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组 考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期． 解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ， 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值． 解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组 高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。

《三角恒等变换与解三角形》教学设计一、学情分析：（1）这是一节高三的一轮复习课，复习《三角恒等变换与解三角形》之前，已经提前预习了和、差、二倍角公式，正、余弦定理，部分同学具备分析问题的能力；（2）本班是理科班，数学基础良好，学生思维较活跃，能够运用所学知识解决实际问题；（3）根据学生特点制定了由浅入深地来复习三角恒等变换与解三角形这一课时的教学计划，同时通过实例提高学生的学习兴趣。

二、教学内容分析：《三角恒等变换与解三角形》既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。

为培养学生的应用意识，提高学生分析问题解决问题的能力，教学中应结合具体问题，教给学生解题的基本方法、步骤。

三、教学目标：1、课标要求：能够运用三角恒等变换与正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

2、（1）熟练掌握和差、二倍角公式，根据问题的条件灵活进行公式变形；会选择恰当的公式，根据问题的条件进行公式变形；加强对换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。

运用正弦定理、余弦定理提高学生分析问题、解决问题的能力。

（2）通过三角变换，加强学生对换元、逆向思维等思想方法的认识。

通过解三角形在实际中的一些应用，开放多种思路，引导学生发现问题，培养学生分析问题、解决问题的能力；四、教学的重点和难点：重点：在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。

难点：从中找到解决问题的关键。

五、教学策略选择与设计：重视提出问题、解决问题策略的指导。

学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，学生不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此在教学中引导学生发现问题、提出问题是非常必要的。

针对这一节课的内容，以及学生特点，我制定了由浅入深的教学计划：首先，将所授内容分为三大类——正余弦定理的应用，解三角形与实际应用问题；其次，在每一类型中，有代表性地各选取一道例题，遵循由浅入深的原则进行顺序上的安排。

三角恒等变换复习教案学习目标:(1)了解两角和与差正弦、余弦、正切公式之间的内在联系.培养逻辑推理能力.(2)掌握两角和与差的正弦公式、正切公式,并会运用它们进行有关计算、化简、证明.(3)通过实例熟悉一些解题的技巧并增强利用公式解决具体问题的灵活性. 重点:熟练、灵活的应用三角公式. 难点:变换中的技巧. 复习与巩固两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系：三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化，而转化的依据就是一系列三角公式，如:①同角三角函数关系——可实现函数名称的转化；②诱导公式及和、差角的三角函数——可实现角的形式的转化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换，即对公式要“三会”:正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角.()()S C αβαβ++()()S C αβαβ--ββ-以代ββ-以代一、关于和角与差三角公式 特别注意公式的结构,用活公式.:sin()sin cos cos sin ;sin()sin cos cos sin ,,:2sin cos sin()sin();2cos sin sin()sin().αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=+-=-=++-=+--如在公式中应用方程的思想得:2cos cos cos()cos();2sin sin cos()cos()C C αβαβαβαβαβαβαβαβ+-=++--=+--同理由公式可得 tan tan :tan(),:1tan tan tan tan tan()(1tan tan ),tan tan ,tan tan ,.αβαβαβαβαβαβαβαβ++=-+=+-+又如公式可以变形为特别是公式中有式子因此常又与一元二次方程联系在一起二、习题复习与巩固231.sin ,,cos ,,tan().34αβαβαβ==-++例已知且是第二象角求的值tan(60)tan(30)2..1tan(60)tan(30)αααα+-+++⋅+o o o o例计算的值 1113.sin ,cos(),,(0,),7142πααβαββ=+=-∈例已知且求的值31234.,cos(),sin(),sin 2,sin 224135ππβααβαβαβ<<<-=+=-例已知求的值42sin 3cos (1)55.(1)sin().32cos 3sin (2)547(2)8sin 5cos 6,sin(),808cos 5sin .αβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩+=+=+例已知求的值求的值6(1):3cos 3sin ;(2):;(3):sin.1212x x x x ππ-+例化简化简求值 7.:tan15tan 30tan15tan 30++o o o o 例计算():1.[0,];22.;3.;4.π请同学们把下列内容记一记或默一默间的特殊角的三角函数值同角三角函数基本关系式九组诱导公式两角和与差的三角函数公式三、综合训练题28.0(0)tan ,tan ,tan().ax bx c a a c αβαβ++=≠≠+例已知一元二次方程且的两个根为求的值tan tan :tan()1tan tan αβαβαβ++=-分析tan tan .tan tan b a c a αβαβ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩而代入即可 21.670tan ,tan ,:sin()cos()x x αβαβαβ++=+=+变式题已知一元二次方程的两个根为求证22.,(tan ,0),(tan ,0)()(23)20(0),tan().m A B f x mx m x m m y αβαβ=+-+-=≠=+变式题设为实数是二次函数图象上的两点求的最小值min 923:00,(,0)(0,],tan tan ,4233tan tan tan(),.24m m m mm y m y m αβαβαβ-∆≥≠∈-∞+=--=∴=+==-∴=-Q U L 分析且得9.:tan tan tan tan tan tan ABC A B C A B C ∆++=⋅⋅例在中,求证 :tan()tan .A B C +=-分析利用10.,(0,),:(1tan )(1tan )2:.24A B A B A B ππ∈++=+=例已知求证的充要条件是:tan tan tan()(1tan tan )2T αβπαβαβαβ++=+-分析利用的变式.:(1tan1)(1tan 2)(1tan 3)(1tan 44)++++ooooL 变式题化简11.:[2sin50sin10(1)]+o o o 例求值:50,10,80,60,90,.o o o o o 分析都不特殊角但其和却是特殊角故可考虑逆用两角和公式求其三角函数值:cos10(2sin 50sin10)cos102cos(6010)(2sin 50sin10)cos1050cos10cos50sin10)60+=+-=++==o o ooooo oo o ooo o o o o 思路一原式:[2sin 50sin10(1tan 60tan10)]80tan 60tan10)[2sin 50sin10]tan(6010)2cos50(2sin 50sin10)cos10=++-=+-=+==o o o o o o o oooo o oooo oL 思路二原式2222sin()sin()tan 12.:1.sin cos tan αβαββαβα+-=-例求证 :,,.分析观察左右两边的差异从左向右证明要解决角的差异如果从右向左证明解决名称的差异32sin 13.:tantan .22cos cos 2x x x x x-=+例求证 :,,.,,.分析此题各式间的差异较大不仅角之间的差异而且函数名称及结构之间也存在较大差异为此要重点抓住某一特征差异进行分析以求突破 3sin tantan ;322cos cos 222sin sin .333cos()cos()cos cos222222x x x x xx xx x x x x x =-=⋅==-++⋅左边右边114.,0,cos(),22292sin(),tan .232ππβαπβαααββ<<<<-=-+-=例已知求的值:()(),,22242,,,4222αββαπβαβαππαπαββ+=---<-<+<-<分析而再求出的正弦余弦则问题可解22sin;cos tan 22722αβαβαβ+++==∴=33:,0,cos(),4444535sin(),sin().413ππππαβαπβαβ<<<<-=-=+变式题已知求的值15.,,,,tan tan tan .2222ABC A B C A C A C∆++例在已知成等差数列求的值:,,223tan()22,tan tan tan 2222A C A CA C A Cπ+=∴+=++=分析由题意得由公式变形得 2cos10sin 2016.cos 20-o o o例求的值:103020=-o o o分析 17.sin(2)2sin 0,:tan 3tan().αββααβ++==+例已知求证:2();()αβαβαβαβα+=++=+-分析518.sin(),0,:4134cos 2.cos()4x x xx πππ-=<<+例已知求的值 :2()();().44424cos 22413cos()4x x x x x x x ππππππ=+--+=--==+L 分析 2219.(1)tan 5,sin 5(1tan 5tan 2.5).3tan 15(2).13tan 15a =+--o o o o oo例已知求的值求的值 :(1),;(2),分析切化弦再逆用公式因式分解后引入辅助角再逆用公式20.,,,lgsin lgsin lgsin lg 2..A B C ABC A B C ∆--=例已知是的三个内角且试判断此三角形的形状特征 :,:sin sin()A B C =+分析利用在三角形中有。

4.6 正、余弦定理及其应用举例考纲要求1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．.2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝__________；b2＝__________；c2＝__________变形形式①a＝____，b＝______，c＝____；②sin A＝____，sin B＝__________，sin C＝__________；③a∶b∶c＝__________；④a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A.cos A＝__________；cos B＝__________；cos C＝__________.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两个角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线__________的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图①)．3．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．4．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．5．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．1．(广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝( )．A．4 3 B．2 3 C. 3 D.322．在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )．A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是( )．A．5海里/时B．5 3 海里/时C．10海里/时D．10 3 海里/时4．如图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，无法求出AB长度的是( )．A．α，a，b B．α，β，aC．a，b，γD．α，β，γ5．△ABC中，若a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝__________.一、利用正弦、余弦定理解三角形【例1－1】 (辽宁高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．【例1－2】△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，sin(B－A)＝cos C.(1)求A，C；(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.方法提炼应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷就用哪一个定理．A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜b sin A a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解请做演练巩固提升1 二、三角形形状的判定【例2－1】 △ABC 满足sin B ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【例2－2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 方法提炼判断三角形的形状的基本思想是：利用正、余弦定理进行边角的统一．即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形．如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．提醒：1.在△ABC 中有如下结论sin A ＞sin B a ＞b .2．当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形；3．当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形． 请做演练巩固提升2三、与三角形面积有关的问题【例3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积． 方法提炼1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用；在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．2．解三角形过程中，要注意三角恒等变换公式的应用． 请做演练巩固提升5四、应用举例、生活中的解三角形问题【例4－1】 某人在塔的正东沿着南偏西60° 的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．【例4－2】 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．方法提炼1．测量距离问题，需注意以下几点：(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型； (2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解； (3)应用题要注意作答．2．测量高度时，需注意：(1) 要准确理解仰、俯角的概念；(2)分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应用正、余弦定理； (3)注意铅垂线垂直于地面构成的直角三角形．3．测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键． 请做演练巩固提升6忽视三角形中的边角条件而致误【典例】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．错解：由1＋2cos(B ＋C )＝0，知cos A ＝12，∴A ＝π3.根据正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，∴B ＝π4或3π4.以下解答过程略．错因：忽视三角形中“大边对大角”的定理，产生了增根． 正解：∵在△ABC 中，cos(B ＋C )＝－cos A ，又∵1＋2cos(B ＋C )＝0，∴1－2cos A ＝0，∴A ＝π3.在△ABC 中，根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin B ＝b sin A a ＝22. ∴B ＝π4或3π4.∵a ＞b ，∴B ＝π4.∴C ＝π－(A ＋B )＝512π.∴sin C ＝sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ＝22×12＋22×32＝6＋24. ∴BC 边上的高为b sin C ＝2×6＋24＝3＋12. 答题指导：1．考查解三角形的题在高考中一般难度不大，但稍不注意，会出现“会而不对，对而不全”的情况，其主要原因就是忽视三角形中的边角条件．2．解三角函数的求值问题时，估算是一个重要步骤，估算时应考虑三角形中的边角条件． 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )．A ．－12B ．12C ．－1D ．12．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状为__________． 3．(福建高考)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝__________.4．(陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝______.5．(山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tanC.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.6．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．参考答案基础梳理自测知识梳理1.asin A＝bsin B＝csin Cb2＋c2－2bc·cos A c2＋a2－2ca·cos B a2＋b2－2ab·cos C①2R sin A2R sin B2R sin C②a2R b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin Cb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2．上方下方基础自测1．B 解析：由正弦定理得BCsin A＝ACsin B，即32sin 60°＝ACsin 45°，解得AC＝2 3.2．B 解析：∵cos2B2＝a＋c2c，∴2cos2B2－1＝a＋cc－1，∴cos B＝ac，∴a2＋c2－b22ac＝ac，∴c2＝a2＋b2.3．C 解析：如图，A，B为灯塔，船从O航行到O′，OO′BO＝tan 30°，OO′AO＝tan 15°，∴BO＝3OO′，AO＝(2＋3)OO′.∵AO－BO＝AB＝10，∴OO′·[(2＋3)－3]＝10，∴OO′＝5，∴船的速度为512＝10海里/时．4．D 解析：利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；利用正弦定理，可由a，α，β求出AB，当只知α，β，γ时，无法计算AB.5．2 3 解析：由cos C＝13，得sin C＝223，∴S△ABC＝12ab sin C＝12×32×b×223＝43.∴b＝2 3.考点探究突破【例1－1】解：(1)由已知2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝12.(2)方法一：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据正弦定理得sin2B＝sin A sin C，所以sin A sin C＝1－cos2B＝34.方法二：由已知b2＝ac，及cos B＝12，根据余弦定理得cos B＝a2＋c2－ac2ac，解得a＝c，所以B＝A＝C＝60°，故sin A sin C＝34.【例1－2】解：(1)因为tan C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，即sin Ccos C＝sin A＋sin Bcos A＋cos B，所以sin C cos A＋sin C cos B＝cos C sin A＋cos C sin B，即sin C cos A－cos C sin A＝cos C sin B－sin C cos B，得sin(C－A)＝sin(B－C)．所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，即2C＝A＋B，得C＝π3，所以B＋A＝2π3.又因为sin(B－A)＝cos C＝12，则B－A＝π6或B－A＝5π6(舍去)，得A＝π4，B＝5π12.(2)S△ABC＝12ac sin B＝6＋28ac＝3＋3，又asin A＝csin C，即a22＝c32，得a＝22，c＝2 3.【例2－1】 A 解析：∵sin B＝cos A·sin C，∴b＝b2＋c2－a22bc·c.∴b2＋a2＝c2.∴△ABC为直角三角形，选A.【例2－2】解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.①由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－12，A＝120°.(2)由①得，sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．【例3】解：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12ab sin C＝3，得ab＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A)＝4sin A co s A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233.所以△ABC 的面积 S ＝12ab sin C ＝12×433×233×32＝233； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ， 由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝233，b ＝433.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×233×433×32＝233.综上知，△ABC 的面积为233.【例4－1】 解：依题意画出图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的距离最短，即BE ⊥CD 时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB ＝ABBE，AB 为定值，BE 最小时，仰角最大．在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°. 由正弦定理，得CDsin∠DBC ＝BDsin∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.在Rt△BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°，BE ＝BD sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt△ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．∴所求的塔高为103(3－3)米．【例4－2】 解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298， DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝(BE －FC )2＋BC 2＝902＋1202＝150. 在△DEF 中，由余弦定理，cos∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.演练巩固提升1．D 解析：根据正弦定理a sin A ＝bsin B＝2R 得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，∴a cos A ＝b sin B 可化为sin A cos A ＝sin 2B .∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.2．等边三角形 解析：∵(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝3ab . ∴a 2＋b 2－c 2＝ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12.∴C ＝π3.∵a cos B ＝b cos A ，∴sin A cos B ＝sin B cos A . ∴sin(A －B )＝0. ∴A ＝B .故△ABC 为等边三角形． 3. 2 解析：如图：由正弦定理得ACsin B ＝BCsin A ，即ACsin 45°＝3sin 60°，即AC 22＝332，故AC ＝ 2.4．2 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4， ∴b ＝2.5．(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sinB ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C ， 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sinC .由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)解：因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－(2)22×1×2＝34，因为0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.6．解：(1)解法一：设相遇时小艇的航行距离为s 海里，则s ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300.故当t ＝13时，s min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向，如图，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt△OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10. 又AC ＝30t ，OC ＝vt ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图，设小艇与轮船在B 处相遇，由题意，可得(vt )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)．化简，得v 2＝400t 2－600t ＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675. 由于0＜t ≤12，即1t ≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。

3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标　1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一　二倍角公式的推导思考1　二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案　sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝.2tan α1－tan2α思考2　根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答案　cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二　二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，12cos 2α－sin 2α＝cos 2α，＝tan 2α.2tan α1－tan2α2.二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，1＋cos α＝2cos 2，1－cos α＝2sin 2 .α2α2降幂公式cos 2α＝，sin 2α＝.1＋cos 2α21－cos 2α2类型一　给角求值例1　求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)－cos 215°；1323(3)；(4)－.1－tan275°tan 75°1sin 10°3cos 10°解　(1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝＝＝.2sin 72°cos 72°4sin 36°sin 144°4sin 36°14(2)－cos 215°＝－(2cos 215°－1)＝－cos 30°＝－.1323131336(3)＝2·＝2·＝－2.1－tan275°tan 75°1－tan275°2tan 75°1tan 150°3(4)－＝1sin 10°3cos 10°cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2(12cos 10°－32sin 10°)sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10°＝＝4.4sin 20°sin 20°反思与感悟　对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1　求下列各式的值：(1)cos cos cos ；2π74π76π7(2)＋.1sin 50°3cos 50°解　(1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝＝sin4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7sin 8π7cos 6π74sin 2π7＝＝＝.sin π7cos π74sin 2π7sin 2π78sin 2π718(2)原式＝＝＝＝＝4.cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°2(12cos 50°＋32sin 50°)12×2sin 50°cos 50°2sin 80°12sin 100°2sin 80°12sin 80°类型二　给值求值例2　(1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝ .13答案　89解析　(sin α－cos α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2⇒sin 2α＝1－2＝.(13)(13)89(2)若tan α＝，则cos 2α＋2sin 2α等于( )34A. B.64254825C.1D.1625答案　A解析　cos 2α＋2sin 2α＝＝.cos2α＋4sin αcos αcos2α＋sin2α1＋4tan α1＋tan2α把tan α＝代入，得34cos 2α＋2sin 2α＝＝＝.1＋4×341＋(34)2425166425故选A.引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝，求sin 2α.13解　由题意，得(sin α＋cos α)2＝，19∴1＋2sin αcos α＝，19即1＋sin 2α＝，19∴sin 2α＝－.89反思与感悟　(1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2　已知tan α＝2.(1)求tan 的值；(α＋π4)(2)求的值.sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－1解　(1)tan ＝＝＝－3.(α＋π4)tan α＋tan π41－tan αtan π42＋11－2×1(2)sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin2α＋sin αcos α－2cos2α＝＝＝1.2tan αtan2α＋tan α－22×24＋2－2类型三　利用倍角公式化简例3　化简.2cos2α－12tan (π4－α)sin2(π4＋α)解　方法一　原式＝2cos2α－12·sin (π4－α)cos (π4－α)sin2(π4＋α)＝＝2cos2α－12·sin (π4－α)cos (π4－α)cos2(π4－α)2cos2α－1sin (π2－2α)＝＝1.cos 2αcos 2α方法二　原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α(22sin α＋22cos α)2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2＝＝＝1.cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)cos 2αcos2α－sin2α反思与感悟　(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角.②降幂或升幂.③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练3　化简下列各式：(1)＜α＜，则＝ ；π4π21－sin 2α(2)α为第三象限角，则－＝ .1＋cos 2αcos α1－cos 2αsin α答案　(1)sin α－cos α　(2)0解析　(1)∵α∈(，)，∴sin α＞cos α，π4π2∴＝1－sin 2α1－2sin αcos α＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝＝sin α－cos α.(sin α－cos α)2(2)∵α为第三象限角，∴cos α＜0，sin α＜0，∴－ 1＋cos 2αcos α1－cos 2αsin α＝－2cos2αcos α2sin2αsin α＝－＝0.－2cos αcos α－2sin αsin α1.sin cos 的值等于( )12π12π12A.B. 1418C.D.11612答案　B 解析　原式＝sin ＝.14π6182.sin 4－cos 4等于( )π12π12A.－ B.－ C. D.12321232答案　B解析　原式＝·(sin2π12＋cos2π12)(sin2π12－cos2π12)＝－＝－cos ＝－.(cos2π12－sin2π12)π6323.＝ .tan 7.5°1－tan27.5°答案　1－32解析　＝·tan 7.5°1－tan27.5°122tan 7.5°1－tan27.5°＝tan 15°＝1－.12324.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是 .(π2，π)答案　3解析　∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈，(π2，π)∴sin α≠0，2cos α＋1＝0即cos α＝－，12sin α＝，tan α＝－，323∴tan 2α＝＝＝.2tan α1－tan2α－231－(－3)235.已知sin ＝，0<x <，求的值.(π4－x )513π4cos 2xcos (π4＋x )解　原式＝sin (π2＋2x )cos (π4＋x )＝＝2sin .2sin (π4＋x )cos (π4＋x )cos (π4＋x )(π4＋x )∵sin ＝cos ＝，且0<x <，(π4－x )(π4＋x )513π4∴＋x ∈，π4(π4，π2)∴sin ＝ ＝，(π4＋x)1－cos2(π4＋x )1213∴原式＝2×＝.121324131.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二32α2α4倍；是的二倍；＝(n ∈N *).α3α6α2n 2·α2n ＋12.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝；1＋cos 2α2③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝.1－cos 2α2课时作业一、选择题1.已知α是第三象限角，cos α＝－，则sin 2α等于( )513 A.－B.12131213C.－D.120169120169答案　D解析　由α是第三象限角，且cos α＝－，513得sin α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D.1213(－1213)(－513)1201692.若tan θ＝－，则cos 2θ等于( )13A.－ B.－ C. D.45151545答案　D解析　tan θ＝－，则cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ13＝＝＝.cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ1－tan2θ1＋tan2θ453.已知x ∈(－，0)，cos x ＝，则tan 2x 等于( )π245A. B.－ C. D.－724724247247答案　D解析　由cos x ＝，x ∈(－，0)，得sin x ＝－，45π235所以tan x ＝－，34所以tan 2x ＝＝＝－，故选D.2tan x1－tan2x 2×(－34)1－(－34)22474.已知sin 2α＝，则cos 2等于( )23(α＋π4)A. B.1613C. D.1223答案　A解析　因为cos 2＝(α＋π4)1＋cos [2(α＋π4)]2＝＝，1＋cos (2α＋π2)21－sin 2α2所以cos 2＝＝＝，故选A.(α＋π4)1－sin 2α21－232165.如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )155π2θ2A.－ B.105105C.－D.155155答案　C解析　∵<θ<3π，|cos θ|＝，5π215∴cos θ<0，cos θ＝－.15又∵<<，∴sin <0.5π4θ23π2θ2∴sin 2＝＝，θ21－cos θ235sin ＝－.θ21556.已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α等于( )33A.－B.－5359C.D.5953答案　A解析　由题意得(sin α＋cos α)2＝，13∴1＋sin 2α＝，sin 2α＝－.1323∵α为第二象限角，∴cos α－sin α<0.又∵sin α＋cos α>0，∴cos α<0，sin α>0，且|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0，∴cos 2α＝－ 1－sin22α＝－＝－ ＝－，故选A.1－(－23)21－49537.若cos ＝，则sin 2α等于( )(π4－α)35A.B.72515C.－D.－15725答案　D解析　因为sin 2α＝cos (π2－2α)＝2cos 2－1，(π4－α)又因为cos ＝，(π4－α)35所以sin 2α＝2×－1＝－，故选D.925725二、填空题8.2sin 222.5°－1＝ .答案　－22解析　原式＝－cos 45°＝－.229.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ .答案　116解析　原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝＝＝.sin 96°16cos 6°cos 6°16cos 6°11610.设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝x ，则tan 2α＝ .15答案　247解析　cos α＝＝，xx 2＋42x 5∴x 2＝9，x ＝±3.又∵α是第二象限角，∴x ＝－3，∴cos α＝－，sin α＝，3545∴tan α＝－，tan 2α＝＝＝432×(－43)1－(－43)2－831－169－83－79＝＝.722124711.已知tan x ＝2，则tan 2(x －)＝ .π4答案　3412.若tan α＋＝，α∈，则sin ＋2cos cos 2α＝ .1tan α103(π4，π2)(2α＋π4)π4答案　0解析　由tan α＋＝，1tan α103得tan α＝或tan α＝3.13又∵α∈，∴tan α＝3.(π4，π2)∴sin α＝，cos α＝ .310110∴sin ＋2cos cos 2α(2α＋π4)π4＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＋2cos cos 2απ4π4π4＝×2sin αcos α＋(2cos 2α－1)＋cos 2α22222＝sin αcos α＋2cos 2α－2222＝××＋2×2－23101102(110)22＝－＝0.521022三、解答题13.已知角α在第一象限且cos α＝，求的值.351＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)解　∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.3545∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－，725sin 2α＝2sin αcos α＝，2425∴原式＝1＋2(cos 2αcosπ4＋sin 2αsin π4)cos α＝＝.1＋cos 2α＋sin 2αcos α145四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为 .23答案　459解析　设A 是等腰△ABC 的顶角，则cos B ＝，23sin B ＝＝＝.1－cos2B 1－(23)253所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin 2B＝2sin B cos B ＝2××＝.532345915.已知π<α<π，化简：32＋.1＋sin α1＋cos α－1－cos α1－sin α1＋cos α＋1－cos α解　∵π<α<π，∴<<π，32π2α234∴＝|cos |＝－cos ，1＋cos α2α22α2＝|sin |＝sin .1－cos α2α22α2∴＋1＋sin α1＋cos α－1－cos α1－sin α1＋cos α＋1－cos α＝＋1＋sin α－2(cosα2＋sin α2)1－sin α2(sin α2－cos α2)＝＋(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2)＝－cos .2α2。

专题六 三角函数、三角恒等变换与解三角形一、考试内容：角的概念的推广．弧度制．任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法． 二、考试要求：（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示． （7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sin α/cos α=tan α,tan α•cos α=1”． 三、命题热点高考对给部分考查的主要内容为：任意角的概念和弧度制、任意角的三角函数的概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理，并能步运用它们解斜三角形，并结合平面向量的概念和线性运算、平面向量的数量积、平面向量的应用。

高考对该部分的考查重基础，虽然该部分内容在试卷中试题数量多、占有的分值较多，但是试题以考查基础为主，试题的难度一般是中等偏下。

第五节 三角恒等变换[考纲传真] 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan α. 3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2.[常用结论] 1．公式的常用变式tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α. 2．降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α.3．升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin2α2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22；1－sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(2)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) (3)cos θ＝2cos2θ2－1＝1－2sin2θ2.( )(4)当α是第一象限角时，sin α2＝1－cos α2.( ) [答案](1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α为( ) A.210 B ．－210C.7210D ．－7210A [∵co s α＝－35，α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－45.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22(cos α－sin α)＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝210 .故选A.]3．已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C.29D.79A [∵sin α－cos α＝43，∴1－2sin αcos α＝169，∴sin 2α＝1－169＝－79，故选A.]4．函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. π3 [由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.]三角函数的给值求值问题【例1】 (1)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718(2)(2018·某某高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.①求cos 2α的值； ②求tan(α－β)的值．(1)C [由3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.故选C.] (2)[解] ①因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255， 因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan α＋β1＋tan 2αtan α＋β＝－211.[规律方法] 已知三角函数值，求三角函数式值的一般思路 1先化简所求式子.2观察已知条件与所求式子之间的联系从三角函数名及角入手. 3将已知条件或已知条件的变形式代入所求式子，化简求值.(1)已知角α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值为( ) A.1225B.2425 C ．－2425D ．－1225(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235C ．－45D.45(1)B (2)C [(1)∵α是锐角，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2×35×45＝2425，故选B. (2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，∴32cos α＋32sin α＝435， ∴12cos α＋32sin α＝45，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45，故选C.]三角函数的给值求角问题【例2】 (1)(2019·某某模拟)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4B.9π4C.5π4或7π4 D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．(1)A (2)－3π4 [(1)因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π，又sin 2α＝55， 所以2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，故cos 2α＝－255.又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， 所以β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4，又sin(β－α)＝1010， 故cos(β－α)＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22， 且α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，故α＋β＝7π4.故选A.(2)∵tan(α－β)＝12，tan β＝－17，∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝12－171－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝13.∴tan(2α－β)＝tan(α－β＋α) ＝tan α－β＋tan α1－tan α－βtan α＝1.又∵tan α＝13＜33，tan β＝－17＞－33，α，β∈(0，π)，∴0＜α＜π6，5π6＜β＜π，∴－π＜2α－β＜－π2，∴2α－β＝－3π4.][规律方法] 1.解决给值求角问题的一般步骤 1求角的某一个三角函数值； 2确定角的X 围；3根据角的X 围求出要求的角.2.在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的X 围内为单调函数.(1)已知A ，B 均为钝角，sin 2A ＋cos ⎛⎪⎫A ＋π＝5－15，且sin B ＝10，则A ＋B ＝( ) A.3π4B.5π4 C.7π4D.7π6(2)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝a d －bc .若cos α＝17， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β＝________. (1)C (2)π3[(1)因为sin 2A 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＝5－1510， 所以1－cos A 2＋12cos A －32sin A ＝5－1510，即12－32sin A ＝5－1510，解得sin A ＝55. 因为A 为钝角，所以cos A ＝－1－sin 2A ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝－255. 由sin B ＝1010，且B 为钝角，可得cos B ＝－1－sin 2B ＝－1－⎝⎛⎭⎪⎫10102＝－31010. 所以cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又A ，B 都为钝角，即A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以A ＋B ∈(π，2π)，故A ＋B ＝7π4，故选C.(2)根据题意得，sin αcos β－cos αsin β＝3314，即sin(α－β)＝3314，又∵0＜β＜α＜π2，0＜α－β＜π2，∴sin α＝437，cos(α－β)＝1314，∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32，又β为锐角， ∴β＝π3.]三角函数的化简求值【例3】 (1)已知α∈(0，π)，化简：1＋sin α＋cos α·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，若1712π＜x ＜74π，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．(1)cos α [原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos2α2.因为α∈(0，π)，所以α2∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α2＞0，所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22cosα2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2＝cos2α2－sin2α2＝cos α.](2)[解] 由1712π＜x ＜74π，得53π＜x ＋π4＜2π.又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，所以cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x sin π4＝35×22－45×22＝－210， 从而sin x ＝－7210，tan x ＝7.则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210·⎝ ⎛⎭⎪⎫－210＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－721021－7＝－2875.[规律方法] 1三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系和、差、倍、互余、互补等，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.3主要手段有：化弦、通分、倍角公式、辅助角公式等.(1)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝_______.(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________. (1)12cos 2α (2)6 [(1)原式＝ 124cos 4α－4cos 2α＋12×si n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－124sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋sin 10°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3×sin 10°cos 10°×2sin 80°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin 50°＋sin 10°cos 10°＋3sin 10°cos 10°·2sin 80°＝2sin 50°cos 10°＋2sin 10°sin 40°cos 10°·2sin 80°＝2sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°cos 10°·2sin 80°＝2sin 60°cos 10°·2cos 10°＝ 6.]1.(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89B.79 C ．－79D ．－89B [cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.]2．(2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725D [因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725.]3．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.] 4．(2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2B [由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.] 5．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为______． 1 [∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.]6.(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.－12[∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin 2α＋cos 2β＋2sin αcos β＝1①，cos 2α＋sin 2β＋2cos αsin β＝0②，①②两式相加可得sin 2α＋cos 2α＋sin 2β＋cos 2β＋1 2.]2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－。