浅谈纳维-斯托克斯方程

材料工程基础系别：专业：姓名：学号：班级：浅谈纳维-斯托克斯方程在我们所学习的《材料工程基础》的书中流体力学基础中提到动量平衡是流体运动的遵循的另一普遍规律，其含义是：对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外力总和。

其数学表达式即为运动方程。

=我们所学习的《材料工程基础》中的推导来看一下n-s 方程的具体细节： 设τ时刻控制体内的动量为ρu dxdydz ，则在ττ∆+时刻控制体内的动量为τρρ∂∂+）（u d x d y d z u d x d y d z τ∆。

于是，控制体内的动量变化率为τρ∂∂dxdydz u ）（。

至于动量通量的净变化率，是经过六个控制面微元迁移动量的总和。

在ABCD 面上，τ∆时间内流入的动量为u u x ρdydz τ∆。

在EFGH 面上，τ∆时间内流出的动量为u d y d z u x ρτ∆+(x ∂∂udydz u x ρτ∆）dx 。

于是，τ∆时间内经此两相对面微元的动量净流出量为dydzdx u xx ρ(∂∂τ∆）。

同理，经AEHD 、BFGC 两相对面微元的动量净流出量为dydzdx u x x ρ(∂∂τ∆），经AEFB 、DHGC 两相对面微元的动量净流出量为dxdydz u u zz )ρ∂∂τ∆。

于是，经全部控制面的恒定流动通量的净变化率：dxdydz zu u y u u x u u z u u y u u x u u dxdydz u u z u u y u u x z y x z y x z y x ])()(()()()([)])()∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ρρρρρρρρρ将微元体中的动量增量速率和动量流出的净通量结合起来得到的方程右端的数学形式为dxdydz u u u ])([∇+∂∂τρ 下面计算作用的微元六面体上的力。

作用于微元六面体上的力包含质量力和表面力。

设A 点单位质量上的质量力为F ，则微元体上的质量力为Fdxdydz ρ最后计算表面力， 面元ABCD 左侧流体作用于微元体内流体的力为dydz k P j P i P x xz xy xx |)(++-面元AEHD 左侧流体作用于微元体内流体的力为dzdx k P j P i P y yz yy yx |)(++-面元AEFB 左侧流体作用于微元体内流体的力为dxdy k P j P i P z zz zy zx |)(++-面元EFGH 、BFGC 、DHGC 外侧流体对微元体内流体施加的力分别为dydz dx k P j P i P xk P j P i P xz xy xx x xz XY X ])(|)[(++∂∂+++ dzdx dy k P j P i P y k P j P i P yz yy yz y xz yy yx ])(|)[(++∂∂+++ dxdy dz k P j P i P z k P j P i P zz zy zx z zz zy zx ])(|)[(++∂∂+++ 以上三项恰是矢量（dxdydz zP y P x P z y x ∂∂+∂∂+∂∂）dxdydzx 在x 、y 、z 轴上的三个投影。

因此，作用于该微元六面体内流体的全部表面力为dxdydz zP y P x P z y x ∂∂+∂∂+∂∂）dxdydzx 依据动量定理，几式之间满足如下关系：dxdydz zP y P x Px F dxdydz d du z y b )(∂∂+∂∂+∂∂+=ρτρ 约去dxdydz ，得 divP F d du b +=ρτρ上式就是微分形式的流体运动方程。

将上式代入，可得τρd du x =x P F bx ∂∂-ρ++∂∂x u x 22(μ2222zu y u x x ∂∂+∂∂)+μμμ∇∂∂+∇∂∂-∂∂+∂∂+∂∂∂∂x u u x z u y u xu x z y x 32)(3 τρd du y =y P F by ∂∂-ρ++∂∂xu y 22(μ2222z u y u y y∂∂+∂∂)+ μμμ∇∂∂+∇∂∂-∂∂+∂∂+∂∂∂∂yu u y z u y u x u y z yx32)(3τρd du z =z P F bz ∂∂-ρ++∂∂x u z 22(μ2222zu y u z z ∂∂+∂∂)+ μμμ∇∂∂+∇∂∂-∂∂+∂∂+∂∂∂∂zu u z z u y u x u z z yx32)(3 如果动力学粘性系数μ不随位置改变，上三式可合并成矢量式)(312u u P F d du b ∇∇+∇+∇-=μμρτρ 当流体微不可压缩时，简化为)2u P F d du b ∇+∇-=μρτρ 为纳维斯托克斯方程或N-S 方程。

我们来具体介绍此方程。

它的名称由来是因为其描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。

简称N-S 方程。

在1821年以克劳德-路易·纳维（如下右图）(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯（如下左图）而命名，它是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。

这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系。

这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。

这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。

他们所提出的纳威-斯托克斯方程是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。

它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。

它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。

纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。

这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系。

用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。

这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。

这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。

实际应用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。

这些情况通常涉及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。

对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。

这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。

虽然湍流是日常经验中就可以遇到的，但这类问题极难求解。

一个$1,000,000的大奖由克雷数学学院于2000年5月设立，奖给对于能够帮助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人。

同时，纳维-斯托克斯方程意义:后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的纳维-斯托克斯方程。

以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。

纳维-斯托克斯方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。

它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的流动问题上能求得精确解；但在有些情况下，可以简化方程而得到近似解。

例如当雷诺数时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中粘性项可以忽略，纳维-斯托克斯方程简化为理想流动中的欧拉方程；而在边界层内，纳维-斯托克斯方程又可简化为边界层方程，等等。

在计算机问世和迅速发展以后，纳维-斯托克斯方程的数值求解才有了很大的发展。

其中对于纳维-斯托克斯方程的基本假设:在解释纳维-斯托克斯方程的具体细节之前，我们必须对流体作出几个必要的假设。

第一个假设就是流体要连续的，这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。

而另一个必要的假设则是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度，温度Q，等等。

该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。

对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。

该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。

流体的粘性作用不能忽略不计时，由牛顿第二定律得出的流体运动方程。

又称纳维-斯托克斯方程。

当流体运动时，相邻两流体隔离体之间的相互作用，一方面体现为压力(一般说来，压力这个量依赖于密度和温度)；另一方面体现为粘性力（而粘性力和变形率有关）。

斯托克斯假设应力张量同变形率张量成正比。

在最一般的情形下，用直角坐标系x、y、z和时间t作自变量，这些方程把速度的三个分量 u、υ、w 同密度ρ、压力p用下列三个微分方程联系起来： N-S方程相配的固体壁边界条件是紧靠固体壁的流体附着在固体壁上，并和固体壁同速运动，这叫做流体的附着条件.同欧拉方程相比，N-S方程多了同粘性有关的项（包含η和η'的项），它们的项数多、阶次高；固体壁边界条件也多，附着条件比欧拉方程的绕流条件（即允许流体沿固体壁滑过去，也就是比允许沿固体壁切面方向，流体有不同于固体壁的分速度）增多了要求。

可见解 N-S方程比解欧拉方程难得多。

用位势流理论可以求解欧拉方程，但不用它解N-S方程，关键在于满足不了附着条件。

在很多情形下，流线型物体的边界层的厚度可以不计（或者是把它理解成固体壁的加厚），边界层以外的粘性力（粘度小、变形率也小）也可以不计(见雷诺数)，那就相当于在纳维-斯托克斯方程中置η=η'=0，使N-S 方程就变成了欧拉方程。

方程简化了，固体壁处的条件也就松了，即可将绕流条件代替附着条件。

纳维-斯托克斯方程同欧拉方程的上述关系（包括边界条件），说明了在流体力学中不同形式的基本运动方程之间的逻辑上的和谐一致.从1845年纳维-斯托克斯方程建立起，准确满足这方程的有实际意义的解还不多。

1970年以来，电子计算机和数值计算方法都有很大发展。

用数值方法求解纳维-斯托克斯方程的论文多如星辰，其前途也很有希望，但仍很艰巨。

困难至少有三方面（同解欧拉方程相比）：固体壁附近的粘性起显著作用的有旋流动和附着条件过于复杂，尤其是在实际情况下，固体壁的几何形状都很复杂，这就要求计算机有很大的储存量和很高的运算速度；其次是由于激波打到边界层上或由于物体表面形状和外界条件的综合作用，会引起脱体现象，这也是很难算准的；另外更大的困难是对湍流基本机理的理解还不足.依靠实验室的观测和对实际流动的观测研究，用边界层理论近似地配合欧拉方程求解以获得定量结果，至今仍是多数实际问题的求解方法。