平行投影与正投影

第二章投影的基本知识一、投影概念在投影面上作出物体投影的方法，称为投影法。

二、投影的分类投影法分为两类：中心投影法和平行投影法。

.中心投影法所有投影线都相交于投影中心的投影方法。

平行投影法由互相平行的投影线在投影面上作出物体投影的方法。

按投影线与投影面是否垂直，可分为斜投影法和正投影法两种。

(1)斜投影法：投影线倾斜于投影面的平行投影法。

(2)正投影法：投影线垂直于投影面的平行投影法。

特点：其投影反映了物体的真实形状和大小，并且与物体到投影面的距离无关。

所以建筑图样一般均采用这种投影法绘制，所得的投影称为正投影，简称投影。

1、正投影法概念：投影线垂直于投影面的平行投影法。

2 、正投影的基本特性：1）真实性----平行于投影面的物体，投影反映实形；2）积聚性----垂直投影面的平面或直线，其投影积聚成直线或一点；3）类似性----物体上的平面与投影面倾斜时，其投影为缩小的类似形；4）从属性---- 直线或平面上的点，其投影仍在直线或平面的投影上。

真实性、积聚性、类似性和从属性是正投影的四个重要特性，在画图和读图中将经常用到，必须牢固掌握。

三、三面投影图1、三面投影图的形成我们将形体正放在三个互相垂直的投影面之间，并分别向三个投影面进行投影，就能得到该形体在三个投影面上的投影图，将这三个投影图结合起来观察，就能准确地反映出该形体的形状和大小。

这三个互相垂直的投影面分别为水平投影面（或称H面，用字母H表示）、正立投影面（或称V 面，用字母V表示）和侧立投影面（或称W面，用字母W表示）。

这三个投影面组合起来就构成了三面投影体系（三投影面体系）。

三个投影面两两相交构成的三条轴称为OX、OY、OZ轴，且OX⊥OY⊥OZ，三条轴的交点O称为原点。

形体在三个投影面上的投影分别称为水平投影、正面投影和侧面投影。

注：OX轴的正方向为水平向左，OY轴的正方向为正对观察者，OZ轴的正方向为铅直向上。

2、三面投影图的展开因为形体的三个投影分别在三个不共面的平面上，因此无法绘制在同一平面图纸上，为此，需将三个投影面进行展开，使其共面。

初中数学平面图形的投影有哪些种类
在平面图形的投影中，有几种常见的投影类型。

下面将介绍其中的几种：
1. 正投影：正投影是指物体在投影面上的垂直投影。

当投影面与物体垂直时，投影线段与物体相交的点与投影面上相应的点重合。

正投影保持了物体的形状和大小。

2. 平行投影：平行投影是指物体在投影面上的平行投影。

当投影面与物体平行时，投影线段与物体相交的点与投影面上相应的点重合。

平行投影保持了物体的形状，但不保持物体的大小。

3. 斜投影：斜投影是指物体在投影面上的斜向投影。

当投影面与物体倾斜时，投影线段与物体相交的点与投影面上相应的点不重合。

斜投影会改变物体的形状和大小。

4. 正交投影：正交投影是指物体在投影面上的投影线段与物体的边缘垂直相交。

正交投影保持了物体的形状和大小，并且可以准确表示物体的各个面。

5. 斜交投影：斜交投影是指物体在投影面上的投影线段与物体的边缘不垂直相交。

斜交投影会改变物体的形状和大小，并且无法准确表示物体的各个面。

6. 阴影投影：阴影投影是指投影面上的阴影区域，用来表示物体的阴影效果。

阴影投影可以增加图形的立体感和逼真度。

以上是平面图形投影的几种常见类型。

具体使用哪种类型取决于投影面的位置和物体的形状。

通过合理选择投影类型，可以准确地表示平面图形在不同视角下的投影效果。

希望这个解释对你有所帮助。

投影面平行面的投影特性
平行投影的基本性质：
积聚性
当直线或平面平行于投射线（在正投影中则垂直于投影面）时，其投影积聚于一点或一直线。

这样的投影称为积聚投影。

在正投影中，直线AB平行于投射线，其投影积聚为一点a（b），平面□ABCD平行于投射线，其投影积聚为一直线ad.投影的这种性质称为积聚性。

显实性（或实形性）
当直线或平面平行于投影面时，它们的投影反映实长或实形。

直线AB平行于H面，其投影ab反映AB的真实长度，即ab=AB.平面ABCD平行于H面，其投影反映实形，即□abcd≌□ABCD.
类似性
一般情况下，直线或平面不平行于投影面，因而点的投影仍是点，直线的投影仍是直线，平面的投影仍是平面。

当直线倾斜于投影面时，在该投影面上的投影短于实长，当平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影比实形小，这种情况下，直线和平面的投影不反映实长或实形，其投影形状是空间形状的类似形，因而把投影的这种性质称为类似性。

专训1 平行投影、中心投影、正投影间的关系名师点金：1．平行投影的投影线是平行的，在同一时刻物体的影长与物高成正比；中心投影的投影线相交于一点，在同一时刻物体的影长与物高不一定成正比．2．平行投影在同一时刻的影子总在同一方向；中心投影在同一时刻的影子不一定在同一方向．3．正投影是投影线垂直于投影面的平行投影．利用平行投影与中心投影的定义判断投影1．如图，下列判断正确的是( )(第1题)A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子C．图①和图②都是在阳光下的影子D．图①和图②都是在灯光下的影子2．如图，下面是北半球一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是( )(第2题) A．③④②①B．②④③①C．③④①②D．③①②④利用平行投影与中心投影的特征作图3．如图，两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子．(用线段表示)(第3题)4．如图①②分别是两棵树及其影子的情形．(第4题)(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？(2)你是用什么方法判断的？(3)请分别画出图中表示小丽影子的线段．正投影的识别与画法5．如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是( )(第5题)6．一个正方体框架上面嵌有一根黑色的金属丝，如图所示．若正方体的面平行于投影面P，且垂直于投影面Q，画出这个物体在两个投影面上的正投影．(第6题)答案1．B点拨：图①中影子的方向不同，是在灯光下的影子；图②中影子的方向相同，且影长与树高成正比，是在阳光下的影子．2．C3．解：如图，过树和影子的顶端分别画两条光线1，1.观察可知，1∥1，故两棵树的影子是在太阳光下形成的．(第3题)过旗杆的顶端C画1(或1)的平行线1，交地面于点C1，连接旗杆底端O和点C1，则线段1即为同一时刻旗杆的影子．点拨：根据物体和影子之间的关系可以判断是平行投影，然后根据平行投影的特征即可完成题中的要求．4．解：(1)题图②反映了阳光下的情形，题图①反映了路灯下的情形．(2)题图①中过影子顶端与树顶端的直线相交于一点，符合中心投影的特点，因此题图①反映了路灯下的情形；题图②中过影子顶端与树顶端的直线平行，符合平行投影的特点，因此题图②反映了阳光下的情形．(第4题)(3)路灯下小丽的影子如图①所示，表示影子的线段为；阳光下小丽的影子如图②所示，表示影子的线段为., 误区诊断)：平行投影和中心投影对应的光线是不同的，形成平行投影的光源发出的光线是平行光线，而形成中心投影的光源发出的光线交于一点；同一时刻，平行投影下的影子的方向总是在同一方向，而中心投影下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向．5．C点拨：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，故选C.6．解：画出的正投影如图所示．这个物体在投影面P上的正投影是正方形A1B1C1D1及线段E1F1；在投影面Q上的正投影是正方形C2D2G2H2.(第6题)点拨：当物体的某个面(或某条边)与投影面平行时，这个面(或这条边)的正投影和这个面(或这条边)相同；当物体的某个面(或某条边)与投影面垂直时，这个面(或这条边)的正投影是一条线段(或一个点)．。

正投影总结什么是正投影正投影是一种常见的几何学概念，它将一个对象投影到垂直于特定平面的平面上。

正投影常用于制图和工程设计中，可以用来显示三维对象在二维平面上的形状和尺寸。

正投影在工程、建筑、制造和计算机图形等领域中都有广泛的应用。

正投影的原理正投影的原理基于平行投影，即从无限远处以平行光线投射物体。

在正投影中，物体与投影平面垂直，所以投影是以直角的方式映射到平面上的。

正投影可以用数学的方法描述。

设物体上的一个点为P，该点的坐标为（x，y，z），投影面为xy平面。

则该点的投影为（x，y，0），其中0表示在z轴上的坐标为0。

正投影的应用正投影在各个领域中都有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用：1. 工程制图工程制图中常常需要将三维物体转换为二维平面上的图纸。

通过正投影，可以将多个视图绘制在图纸上，呈现出物体的形状和尺寸。

这对于建筑设计、机械制造和电气工程等领域来说非常重要。

2. 计算机图形学在计算机图形学中，正投影常用于将三维模型转换为屏幕上的二维图像。

通过正投影，可以确定物体在屏幕上的位置和大小，并进行后续的渲染和处理。

3. 地图制作在地图制作中，正投影被广泛应用于制作平面地图。

通过将地球或其他地理物体进行正投影，可以在平面上准确地描绘出地理信息，包括位置、距离和方位等。

4. 光学研究在光学研究中，正投影可以用于模拟光线在物体上的传播和反射。

通过正投影，可以确定光线在物体上碰撞的位置和角度，从而帮助研究光学现象。

正投影的优势和限制正投影具有以下优势：•简单：正投影的计算和转换相对简单，可以快速获得物体在二维平面上的表示。

•保留形状和尺寸：正投影可以准确地保留物体的形状和尺寸，便于进行测量和分析。

•易于理解：正投影产生的图像易于理解和解释，适合用于交流和展示。

然而，正投影也有一些限制：•无法表达深度：正投影只能将物体在一个平面上表示，无法表达物体的深度信息。

•失真问题：由于正投影是通过平行光线进行投影，所以在远离投影平面的部分，物体的形状可能会出现失真。