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习题4弯曲内力与5弯曲应力教材

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材料力学弯曲应力_图文

材料力学弯曲应力_图文

§5-3 横力弯曲时的正应力
例题6-1
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力
B
x
180
K
30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa，
FBY
C 截面的曲率半径ρ y
解：1. 求支反力
x 90kN M
x
（压应力）
目录
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
正应力分布
z
M
C
zzy
x
dA σ
y
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
6-2
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
弹性力学精确分析表明 ，当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时 ，纯弯曲正应力公式对于横 力弯曲近似成立。 横力弯曲最大正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
FS 90kN
120
2. C 截面最大正应力
B
x
180
K
30 C 截面弯矩 z
FBY
y
C 截面惯性矩
x 90kN M
x
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m

材料力学——4梁的弯曲内力

材料力学——4梁的弯曲内力

21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。

《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案

《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案

0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB

刘鸿文材料力学 I 第6版_4_弯取内力

刘鸿文材料力学 I 第6版_4_弯取内力
43
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0

弯曲内力与弯曲应力

弯曲内力与弯曲应力

Y 0
Fs (x) q(x)dx Fs (x) dFs (x) 0
q(x)dx dFs (x)
y
q(x)
dFs x qx
Fs(x)+d Fs(x)
dx
1、固定端——有三个约束反力。
FXA
MA
9
FAY
2、固定铰支座——有二个约束反力。 3、可动铰支座——有一个约束反力。
FAY FAX
FAY
10
（五）、梁的三种基本形式： 1、悬臂梁：
2、简支梁：
q(x)— 分布力
L M — 集中力偶
3、外伸梁：
L q — 均布力
F — 集中力
L
L
（L称为梁的跨长）
顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。
Fs(+)
Fs(–)
Fs(+)
Fs(–)
②弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。
M(+)
M(+)
M(–)
M(–)
15
三、注意的问题 1、在截开面上设正的内力方向。 2、在截开前不能将外力平移或简化。
四、简易法求内力： Fs=∈Fi（一侧） ， M=∈mi。（一侧）。 左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。
2
§5—1 工程实例、基本概念
一、实例 工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：
F
F
F
F
F
F
3
楼房的横梁：
阳台的挑梁：
4
5
二、弯曲的概念： 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。 四、平面弯曲的概念：

弯曲内力与弯曲应力

弯曲内力与弯曲应力

21
五、剪力方程、弯矩方程：把剪力、弯矩表达为截面位置x的 函数式。 Fs=Fs(x）————剪力方程 M=M(x) ————弯矩方程 q
Fs ( x) qx
A L B
(0 x l )
x
1 2 M ( x ) qx (0 x l ) 2
注意：不能用一个函数表达的要分段， 分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。
q
F2
M
纵向对称面
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。 变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。 7
五、弯曲的分类：
1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。 2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。 3、按杆的横截面有无对称轴分—— 有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
1
1 a
2 2
q
解（1）确定支座反力（可省略） （2）截面法求内力。 1--1截面处截取的分离体 如图（b）示。
b
图（a） qL A M1 x1 Fs1
Y 0 qL F
Fs1 qL
s1
0
m
A
( Fi ) 0 qLx1 M 1 0
M 1 qLx1
24
[例] 求下列图示梁的内力方程并画出内力图。 F 解：①求支反力 A MA L B FAY F ; M A FL FAY Fs(x) X F ②写出内力方程
Fs ( x) FAY F
M ( x) FAY x M A F ( x L)
(0 x l )
(0 x l )

刘鸿文《材料力学》(第5版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲内力(圣才出品)

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图 4-3
2．载荷的简化 （1）集中载荷：载荷的作用范围远小于杆件轴向尺寸。 （2）分布载荷：沿轴向连续分布在杆件上的载荷，常用 q 表示单位长度上的载荷，称 为载荷集度，如风力、水力、重力。常用的有均布载荷，线性分布载荷。 （3）集中力偶
3．静定梁的基本形式 为方便梁的求解，通常将梁简化，以便得到计算简图。当梁上支反力数目与静力平衡方 程式的数目相同时，即支反力通过静力平衡方程即可完全确定时，称之为静定梁，以下三种 形式的梁均为静定梁。 （1）简支梁：一端为固定铰支座，一端为可动铰支座，如图 4-4 所示。
图 4-4 （2）外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁，如图 4-5 所示。
4.2 课后习题详解
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4.1 试求图 4-8 所示各梁中截面 1-1，2-2，3-3 上的剪力和弯矩，这些截面无限接近 于截面 C 或截面 D。设 F，q，a 均为已知。
图 4-8 解：（a）①1-1 截面：沿该截面断开，对右部分进行受力分析，根据平衡条件：
④若
FS
(x)
=
0 ，则
dM (x) dx
=
FS
(x)
=
0
。此时该截面上弯矩有极值（极大值或极小
值）。此外，弯矩的极值还可能出现在集中力和集中力偶作用处截面。
3．外力与内力图的内在联系
（1）斜率规律
剪力图在任一截面处的斜率值等于该截面外力分布载荷的集度值，同理弯矩图图在任一
截面处的斜率值等于该截面剪力值：
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材料力学第5章弯曲应力

3 R2
4）
最大切应力： max
k
FS A
矩形：k =3/2 工字形：k =1 圆形：k =4/3
5）
切应力强度条件： max
F S* S max z max Izb
[
]
梁的强度条件小结：
1）应力公式：
正应力： My
Iz
最大值在距中 性轴最远处 max
M W
切应力：
FS Sz* Izb
最大值在 中性轴处
。 F位于跨中时，M最大
FRA
F
FRB
Mmax=Fl/4 F靠近支座时，FS最大 Qmax=F 按弯曲正应力强度条件选择截面
Wz
Fl
4
3.0 104 m3
300cm 3
max
FS z max Izd
14.11MPa
选择 22a工字钢
Iz / Szmax 18.9cm
d=7.5mm
5.16 铸铁梁的载荷及横截面尺寸如图所示。许用 拉应力[ t ] 40，MP许a 用压应力 [ c ] 。 1试60按MP正a 应力
My Iz
My
zdA
E
yzdA
E
I yz
0——y为主惯轴
总结： • 应力应变沿高度线性变化，中间有零应力应变层
• 应力应变公式的适用范围 • 最大应力、应变点在哪里
§5.3 横力弯曲时的正应力
1）横力弯曲时的正应力公式
横力弯曲时，基本假设不成立，但
My 满足精度要求，可使用。
Iz
max
Mmax ymax Iz
应变： (bb bb) / bb
(
y)d d
d
y
2）物理方程： E Ey /

模块4 弯曲内力《工程力学》材料力学教学课件

对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例.
§4–1 工程实际中的弯曲问题 ⑤ 非对称弯曲
若梁不具有纵向对称面，或者梁虽具有纵向对称 面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为 非对称弯曲.
以后两章所研究的弯曲问题都是平面弯曲.
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图
梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便 于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图.
作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类 型：集中力、集中力偶和分布载荷.
① 集中力 F
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图
(3) 载荷简化
②分布力
q
q(x)
③集中力偶、分布力偶
M
m
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图
(4) 支座简化
A
① 固定铰支座
2个约束，1个自由度.
内力符号按变形规定
剪力FS :
左上右下错动，剪力 为正；反之为负.
弯矩M：
使梁弯曲成凹形时的 弯矩为正，反之为负.
§4–2 剪力和弯矩
例4-1 简支梁AB，在C点作用集中力F=10 kN，求 距A点0.8 m处截面n-n的剪力和弯矩. 解：（1）求支座反力
FA 6.25kN FB 3.75kN
(1) 构件本身的简化
通常取梁的轴线来代替梁. FP
A
梁的轴线 P
B
l/2
l/2
l/2
l/2
§4–1 工程实际中的弯曲问题
2.梁的计算简图
(2) 梁的三种基本形式 ①简支梁
②悬臂梁 ③外伸梁
以上梁的约束反力可由静力平衡方程求得，统称静定梁.
§4–1 工程实际中的弯曲问题

材料力学课件ppt-4弯曲内力

2．确定控制面 在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力
内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。
目录
29
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
1kN.m
A
CD E F B
3．建立坐标系
0.89 kN= FAY
FS (kN)
O
0.89
1.5m
2kN
1.5m
1.5m
1.11
(+)
(-)
MA A FAy a
qa/2 Fs
M qa2/2
（-）
（+）
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
qa
例题4-8试画出图示有中间
q
铰梁的剪力图和弯矩图。
D
B
C
a
a
FBy
qa
解：1．确定约束力 从铰处将梁截开
qa
（+）
（-）
qa/2 qa2/2
（-）
MA FAy
FDy
q
FDy qa / 2
FDy FBy
FBy 3qa / 2
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
FBy
FSE
FBy
F 3
Mo 0
3a M E FBy 2 Fa
3Fa ME 2
目录
18
§4-3 剪力和弯矩
FBy
F 3
FAy
5F 3
FAy
FBy
FSE
FAy
2F
截面上的剪力等于截 面任一侧外力的代数和。
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YB M
的 2正qa值，方m向B ）12如qa图2。（取e）右段，设正后（注意此Q3时Q3q、
3
3
mB
Y
Q3
q
a 2
2qa
0
Q 3
qa
M3 3 B
a / 2 YB (e)
mO
(F)
M3
q
a 2
a 4
2qa
a 2
1 2
qa2
0
M 3
3 8
ห้องสมุดไป่ตู้qa2
结果与取左段相同，符合同一截面上两侧的内力为
作用反作用关系。因此4）也可作为步骤3）所得结果
弯曲内力与弯曲应力
一、填空
1）图示外伸梁受均布载荷作用，欲使MA = MB = -MC。 则要求l / a 的比值为（ ）；欲使MC =0，则要求比值为 （ ）。
q
A
B
C
a l/2
l/2
a
答案： l / a 2 2；l / a 2。
3. 图示矩形截面纯弯梁受弯距M 作用，梁发生弹性变形， 横截面上图示阴影面积上承担的弯距为（ ）。
Q、M 值应为（ ）。 （A）QC 0.89kN,MC 0.891.5 1 2.335kN m （B）QD 0.89kN,M D 0.891.5 1 0.335kN m （C）QE 1.11kN,M E 1.111.5 1.665kN m （D）QF 1.11kN,M F 1.111.5 1.665kN m
答案：
四、计算题
1.梁受力如图（a）所示，求1-1，2-2，3-3面上的剪力 与弯距。其中1-1面与2-2面分别在紧靠外力偶m作用面C 的左则与右则。
qa
A
m 2qa2
12 3
q
mB
1
C2
a 2
3
B
YB
a
a
（a）
解：现用设正法
1）求1-1截面上Q1、M1 用截面1 1截取梁左段为研究对象。如图（b）所示，设
答案： B
A
C
0.89kN
1.5m
1kN m
D EF
2kN
1.5m 1.5m
B
1.11kN
P 3. 梁受力如图，剪力图和
弯距图正确的是（ ）。
P
a
2a
a
（A） P
P Q Pa
Pa M
（B） P
P Q
Pa
M
Pa
（C） P （D） P
P Q
Pa
M
Pa
P
P Q
Pa
M
Pa
答案： D
4.纯弯梁的横截面形状、尺寸如图（a）、（b）、（c）所示。
2a
（A）（a x 2a），（a x 2a） （B）（a x 2a），（a x 2a）
（C）（a x 2a），（a x 2a） （D）（a x 2a），（a x 2a）
答案： C
A
a
YA
=
3m 2a
m
C
a
B a
YB
=
3m 2a
2m
Dx
2.梁受力如图所示，指kN定截面C、D、E、F上正确的
正确性的校核。
2.列方程作图（a）所示梁的剪力图与弯距图
P
Ax
m Pa
C
x
mB 3Pa
Bx
YB P
2a
2a
（a）
解：如图（a）建x轴，列方程作Q、M图的步骤如下： 1）求支承约束力 用整梁平衡条件求得YB P、mB 3Pa（ 图（a））。
2）列Q x、M x方程 AC段Q x P（ 0<x 2a） M x Px（ 0 x<2a） CB段Q x P（ 2a x<4a） M x PxPa（ 2a<x<4a）
2)求2-2截面上Q2、M 2 取截面，设正后研究对象受力如图（c） qa
Y qa Q2 0
Q2 qa
A
a
2qa2
2 O
M2
2
Q2
mO (F ) M 2 qa a 2qa2 0
(c)
M 2 qa2
对Q2的说明同1）；M
为正值，说明它实际转向与所设
2
相同，即逆时针，按弯距+、-号规定也应为正值。
率也为-P），得M图如图（c）。
Q
M
x
P
（b）
Pa
x
2Pa
3Pa
（c）
3.简支梁受线性分布载荷作用如图（a)所示，试作
Q、M图，并写出 Q 、M 。
max
max
A
YA
1 6
q0l
R
1 6
q0l
qx
q0
Bx
x
l/3
l
YB
1 3
q0l
a
解：1）求支承约束力
此时可视为分布载荷的合力R=
1 2
截面上作用有正向Q1、M1，O为截面形心。由静力平衡条件
Y qa Q1 0
Q1 qa A
mO (F ) M1 qa a 0 YA
M1 qa2
q
1Q1 M1
a O1
(b)
Q1为负值，说明它实际方向向上。同时，按剪力
+、-号规定也应为负值，说明它实际转向为顺时针，
按弯距+、-号规定也应为负值。
（b）
2b
（c）
三、判断题
1.在集中力作用处，梁的剪力图要发生突变，弯距图的斜率 要发生突变。 （ ）
答案：
2.在Q=0处，弯距必取 M 。 max 答案：
（）
3.钢梁与铝合金梁具有相同的横截面形状和尺寸，在相同
的弯距作用下将产生同样大在最大正应力。
（）
答案：
4.平面弯曲是指梁的横截面变形前是平面， 受力变弯后仍为平面的弯曲。 （ ）
3）求3-3截面上Q3、M 3 方法同上，由图（d）有
Y
qa
q
a 2
-Q3
0
qa
2qa2 q
3
M3
A a C a / 2 3 Q3
(d )
Q 3
qa
mO (F )
M3
qa
3a 2
q
a 2
a 4
2qa2
0
M 3
3 8
qa2
对Q3、M 3的说明同2）。
4）取右段平衡求Q3、M 3 为此应先由整梁平衡（见图（a））求出固定端约束力
）给定分段面（控制面）上Q、M 值并连线作图
根据AC、CB段Q x P，知Q图为一水平线（图（b））。
AC段M x Px，M A M O 0，MC左 M 2a 2Pa 弯距图为一斜直线（斜率为 P）。CB段M x PxPa，
MC右 M 2a Pa，M B左 3Pa，弯距图为一斜直线（斜
答案： 7 M
8
h/4
M
h
h/4
b
4.图示横截面为等腰梯形的纯弯梁受弯距M 作用，已知
B 3b、h 2b则最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力之比
（ max）t （/ max）c为（ ）。
b
答案： 5
7
M
h
B
二、选择题
1.图示梁CB段的剪力、弯距方程为Q（x）=-3m / 2a， M（x）=- 3mx m，其相应的适用区间分别为（ ）。
它们都是在2b
2h的矩形内对称于y轴挖空一个面积为b
h 2
的
小矩形。在相同弯距作用下，它们最大弯曲正应力大小的排
序是（ ）。
（A）（a）>（b）>（c）
（B）（b）>（a）>（c）
（C）（a）<（b）<（c）
答案： A
by
h 2
h
2h 2
（D）（b）<（a）<（c）
by
y
b
h
h
h
2
h
h
2b
（a）
2b