刚体定轴转动定律

M z＝ M zi
5
合外力矩
o
二. 刚体定轴转动定律 1 。一个质点的情况 见右下平面图 法向力 切向力
o
F
Fn 对轴的矩为零
F ma mr
对轴的矩
F F
Mz rF mr 2
r

Fn
F
2。连续质量分布刚体的情况 设某刚体绕固定轴—Z轴转动 （刚体类似于多质点系） Z 取质量元mi，其到转轴的距离 Fi ri 受力如图示，根据牛顿定律： f
A
二. 刚体平动的描述
刚体的平动 1。质心的位矢 设N个质点m1,m2,,mN， 定义： 质心的位矢 对应的位矢 可用质心运动来代表整体的运动
miri rc mi
xc 1 xdm M yc 1 ydm M zc 1 zdm M
r1, r2 rN
xc 1 mi xi M yc 1 mi yi M
zc 1 mi zi M
质心 重心
2。质心运动定理
drc d 1 质心的速度： Vc ( miri ) dt dt M 1 m dri 1 m v i i M i dt M dVc d ( 1 m v ) 质心的加速度： ac dt M i i dt 1 m dvi 1 miai i dt M M 设mi 受力 Fi外、fi内 则： miai Fi fi 0 M miai Fi fi F合外 对所有质点求和： M F合外 Mac —— 质心运动定理
2
若桌面光滑，摩擦力矩为零
解法2
由系统角动量定理
取 m1 、m2 、 J 为系统
m2 g
m2
T2
J 0
（任一时刻）（对滑轮转轴） 外力矩
T1 m1 m1 g y
M m1 gr m2 g r
L m1r 2 m2r 2 J 系统的角动量
由角动量定理
dL M dt
d 2 2 m1 gr m2 g r (m1r m2 r J ) dt
M rF sin roF
F 2） 不在垂直oo 的平面内 o o F// F F 总可分解成两个分量： F r 对刚体绕oo
. P
ro
r F
. P

o
F F F// 轴转动无贡献 计算力矩时只需考虑 F 的力矩
2.转动 如果刚体上所有各点绕同 一直线（转轴）作圆周运动， 则称为刚体的转动。
转动时，轴外各 点在同一时间间隔内 走过的弧长虽然不一 样，但角位移全同。
固定转轴：转轴不随时间变化 —— 刚体定轴转动 瞬时转轴：转轴随时间变化 —— 一般转动
3.刚体的一般运动 在研究刚体一般运动时，我们一般将它分解为 质心的平动（应用质心运动定理）和刚体绕过质心 轴的转动（应用转动定律）。
d Mz J J dt
M

a
m
F
m 反映质点的平动惯性 J 反映刚体的转动惯性
J
3。理解注意
dω Jβ dLz （1） M z M iz dt J dt i 1 这是角动量定理在刚体定轴转动情形下的特例 M z 是合外力矩
n
（2） 这条定律表明，刚体绕定轴转动时，它的角加 速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体对 转轴的转动惯量成反比。 （3） 内力矩成对抵消，不能改变刚体的角动量，因 而不能改变刚体的角速度。
a r
T1
对质点用牛顿定律
m1 m1 g y
对刚体用转动定律
限制性条件
解得：
m1 m2 a g 2 m1 m2 J / r
( m2 m2 J / r ) T1 m1 g 2 m1 m2 J / r
2
(m1 m1 J / r ) T2 m2 g 2 m1 m2 J / r
例如，一个车轮的滚 动，可以分解为车轮随着 转轴的平动和整个车轮绕 转轴的转动。
A
B
一个汽车轮子在 地上的滚动
A、B、C、…各点的
C
B
o
A A C
C
A C
运动都不相同
o
B
o
B
B C
刚体的运动＝平动＋转动
平动：刚体上所有点运动状态都相同 转动：各质元均作圆周运动
o o轮子的平动
o
绕过o 轴的转动
三. 转动惯量及计算 对刚体定义
J r 2dm
—转动惯量
单位：kg∙m2
质量连续分布 质量离散分布
J r 2dm
J mi ri 2
i
单质点
dm ─质量元
J mr
2
mi ─第 i 个质点的质量 ri
─ m到转轴的距离 i
r ─ dm到转轴的距离
质量为线分布 质量为面分布
转动平 面
o
r
·
p

6.2 刚体的定轴转动定律
一. 刚体定轴转动所受力矩
M r F
力矩
一般定义：
此处 M
即可是对某点也可是对某轴而言
o
当刚体作定轴转动时，力矩 就可以用标量来表示。 习惯上 把定轴用z表示 力矩 表示为
Mz
oห้องสมุดไป่ตู้
F 1） 在垂直oo 的平面内
o
ro fj fi
M (m r 2) ii | ri Fi | 合外
0
由
定义
M合外 ( m r 2)
ii 2
J miri
——刚体对定轴（z 轴）的 转动惯量
则有 M z J ——定轴转动定律
与牛顿定律比较： M J 或
F ma
6.1 刚体的运动与描述
质点的运动只代表物体的平动，物体实际上是 有形状、大小的，它可以平动、转动，甚至更复杂 的运动。因此，对于机械运动的研究，只限于质点 的情况是不够的。
刚体是一种特殊的质点系，无论在多大外力作 用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。 即物体的形状、大小都不变的固体称为刚体（rigid body ）。 刚体考虑了物体的形状和大小，但不考虑它的 形变，刚体同质点一样，也是一个理想化模型。
一、刚体的运动 1.平动
固联在刚体上的任一 条直线，在各个时刻的位 臵始终保持彼此平行的运 动，叫做刚体的平动。 刚才的动画演示了一个圆柱体的平动。在运动 过程中，我们看到，刚体中所有质点的位移都是相 同的。 而且在任何时刻，各个质点的速度和加速度也 都相同。这时我们可以选取刚体上任一点的运动来 代表刚体的运动。
m1 gr m2 g r (m1r 2 m2r 2 J )
这也是定轴转动定律(整体分析方法) 由
a/r
m2 g
m2
T2
J 0
m1 m2 g 解得： a 2 m1 m2 J / r
再由牛顿定律可得张力。
T1 m1 m1 g y
例题9 ：
普通物理学教案
例题3 ：
普通物理学教案
求质量为m 、半径为R 的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。 解： 取质量元
dm dx
J R2dm R2 dm
mR 2
O
R
dm
例题4 ：
普通物理学教案
求质量为m 、半径为R 均匀圆盘的转动 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。 解： 这样的一个圆盘可以视 为半径不等的有宽度的 圆环拼接而成。 任取其中一环 dm 2 rdr 利用前例环的转动惯量结果 dJ r 2dm 2 r 3dr R 1 3 J dJ 2 r dr R 4 0 2 m 2 R
即：质心运动如同一质点，只是将质量全部集中于该点， 所受的力是质点系受的所有外力。 注：质心上可能既无质量，又未受力。
miri rc mi
2
三. 刚体（定轴）转动的角量描述
角位臵θ

角速度ω
d ＝lim dt t 0 t
角加速度α
d d 2 ＝lim 2 dt dt t 0 t
1 2 m ( R2 R12 ) 2
R2
R1
R2
例题6 ：
普通物理学教案
质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中 心轴的转动惯量。 解：在球面取一圆环带， 半径 r R sin m dm 2 rRd 2 4 R
R sin d
J r 2dm

2 2 mR sin d mR 2 3 0
2 3
2
例题7 ：
普通物理学教案
质量为m 半径为R 的匀质球体绕过球心 轴的转动惯量。 解： 把球体看作无数个同心薄球壳的组合
3m 2 dm 4 r dr 3 r dr 4 R R3 3
2
m
2 J dJ dm r 2 3
M
R
2 2m 4 mR 2 3 r dr 5 R 0
一根均质细杆（ m 、L ），一端可在竖直平 面内自由转动。杆最初静止在水平位臵，由 此下摆 角求角加速度和角速度。 解： 以杆为对象 下摆过程重力矩做功 取质元 dm dl 当杆处在下摆 角时，该质 量元所受重力对 o 点的矩为 dM dm g l cos λgl cos dl θ θ o
ri
i
i mi
i
Fi fi miai
各质元加速度不同， 但角加速度相同
Fi sini fi sini miai 用 ri乘以上式：Fi sini ri fi sini miriai ri 2 a r ri Fi sini ri fi sini miri 2 将所有质元相加： ri Fi sini ri fi sini miri