刚体定轴转动的转动定律

J端点
x2dm
m
o
0Lx2mLdx A
1 mL 2
o
3
x dx
dm L
Bx
（2）如图所示，以过中点垂直于棒的 为oo 轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在棒 上取长度元 ，d则x 由转动惯量的定义有:
o
A
x dx B x
dm
L
L
2 o2
J端点
x2dm
m
L 2 L 2
x2
mLdx
1 12
如: 滑冰运动员的表演.
3.2.4 例题分析
1.一绳跨过定滑轮，两端分别系有质量分 别为m 和M 的物体，且 M . 滑m 轮可看作是 质量均匀分布的圆盘，其质量为 ，半径m为 R ，转轴垂直于盘面通过盘心，如图所示. 由于轴上有摩擦，滑轮转动时受到了摩擦 阻力矩 的作用M阻. 设绳不可伸长且与滑轮间 无相对滑动.求物体的加速度及绳中的张力.
此时有 ，T1物理T2学中称这样的滑轮为“理 想滑轮”，称这样的装置为阿特伍德机.
2.求长为L ，质量为m 的均匀细棒AB 的转
动惯量.
（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴；
（2）对于通过棒的中点与棒垂直的轴.
解 （1）如图所示，以过A 端垂直于棒的 为oo
轴，沿棒长方向为x 轴，原点在轴上，在棒
上取长度元 ，d则x 由转动惯量的定义有:
J miri2
i
适用于离散分布刚体转动惯量的计算
J r2dm m
适用于连续分布刚体转动惯量的计算 在国际单位制（SI）中，转动惯量的单位 为千克二次方米，即 k.g m2
刚体转动惯量的大小与下列因素有关：
（1）形状大小分别相同的刚体质量大的转 动惯量大；
（2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越 远转动惯量越大；
0
W内力 0,
Ek0 12J02,
Ek
1J2.
2
微分形M 式d： d12J2
积
分形式 M： d1J2
0
2
12J02
3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
1. 角动量( 动量矩 )
L
对于定点转动而言： L r P
r m v
P m v
在国际单位制（SI） 中，角动量的单位为 o
r
z
F
o
r F//
F
P
注意:
(1)力矩是对点或对轴而言的; (2)一般规定，使刚体逆时针绕定轴转动 时M；0使刚体顺时针绕定轴转动时 M . 0
2. 刚体定轴转动的转动定律
对质元 ，m由i 牛顿 第二运动定律得
F 外 F 力 内 力 m ia i
其中 a是i 质元 绕m轴i 作圆运动的加速度， 写为分量式如下：
3.2 刚体定轴转动动力学
3.2.1 刚体定轴转动的转动定律 3.2.2 刚体定轴转动的动能定理 3.2.3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 3.2.4 例题分析
3.2.1 刚体定轴转动的转动定律
1. 力矩
M
对于定点转动而言：
MFd
Fsrin
M r F o r
d
F
m
对于定轴转动而言：
M r F rF
v i mi ri
o
2. 刚体定轴转动时力矩所做的功及功率
d W F d r y
F
(Fco)sds
(Fsrin )d
dr
dW M d
o
d
r
P
x
W Md 0
NdW M dM
dt dt
3. 刚体定轴转动的动能定理
W 外 W 内 力 E 力 k E k E k 0
W外力
Md,
m
kgm2s1 rsin
对于绕固定轴oz的转 动的L 质 i元 r i 而 mm 言iiv : i
m iri2k
z
L
vi ri
mi
对于绕固定轴oz 转动 的整个刚体而言:
L Nmiri2J
i
角动量的方向沿轴的正向或负向,所以可
用代数量来描述.
2. 角动量定理（动量矩定理）
M J d dJ dL
dt dt dt
微分 M 形 d d J t式 d： L 积分形 tt0M式 dJ t： J0
的合外力矩为零.
——角动量守恒的条件
则 d d L ： J 0 ， 或 L J 常 . 量
——角动量守恒的内容
注意：在推导角动量守恒定律的过程中受 到了刚体、定轴等条件的限制，但它的适用 范围却远远超过了这些限制.
z ,
F内力
orimi i
i
F外力
F 外c力 oi sF 内c力 oi s m iain F 外s力 in iF 内s力 in i m iai
其中 和a in 是a质i 元 绕轴m作i 圆运动的法向 加速度和切向加速度，所以
法 法向 力向 F 的外 作c力 用： o 线i 过sF 转内 轴c,力 其o 力i 矩s 为m 零iri . 2 切F 向 外s力 i： in F 内s力 iin m iri
据题意可知，绳与滑轮间无相对滑动，所 以滑轮边缘上一点的切向加速度和物体的加 速度相等，即
a a 1 a 2 a R
联立以上三个方程，得
(M m)g M阻
a
R M m m
2
(2Mm)m gmM 阻
T1m(ga)
2
R
Mmm
2
(2mm)MgMM 阻
T2M(ga)
2
R
Mmm
2
注意：当不计滑轮的质量和摩擦阻力矩时，
F 外 r is力 i i n F 内 r is力 i i n m ir i 2
外F 力外 矩r 为is 力 Miin 内F 力内 矩r i为s 力 零iin m ir i2
i
i
i
MJ
刚体定轴转动的转动定律
转动惯量J
3. 转动惯量
转动惯量是刚体作转动时对惯性的量度描述.
mL2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量.
解 受力分析如图所示.对
于上下作平动的两物体，
可以视为质点，由牛顿第 二运动定律得
对 对M m： ：T M 1 gmT2gm M1a2aa
T
1
1
M
oR 阻 m
T2
若以顺时针方向转的力
mM
矩为正，逆时针转的方向 为负，则由刚体定轴转动 G m 的转动定律得
a2 GM
T 2R T 1R M 阻 J 1 2m R 2
（3）对同一刚体而言，转轴不同，质量对 轴的分布就不同，转动惯量的大小就不同.
3.2.2 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体定轴转动的动能( 转动动能 )
对于第i 个质元,动能为
o
Eki 12mivi2 12miri22
对于整个刚体,动能为
N
Ek Eki
i1
1 2
N miri22
i1
1 2
J
2