概率论第七章习题

概率练习册第七章答案在概率论的学习过程中，练习题是帮助学生巩固理论知识和提高解题技巧的重要工具。

以下是第七章概率练习册的一些答案，供参考：问题1：假设有两个骰子，每个骰子有6个面，分别掷一次。

求掷出的两个骰子点数之和为7的概率。

答案：掷出点数之和为7的情况有(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)共6种。

每个骰子有6种可能的结果，所以总共有6*6=36种可能的组合。

因此，点数之和为7的概率是6/36 = 1/6。

问题2：一个袋子里有5个红球和3个蓝球。

随机抽取2个球，求至少有一个红球的概率。

答案：至少有一个红球的情况包括：1红1蓝和2红。

1红1蓝的概率是(5/8)*(3/7)，2红的概率是(5/8)*(4/7)。

所以，至少有一个红球的概率是(5/8)*(3/7) + (5/8)*(4/7) = 15/56。

问题3：一个班级有30个学生，其中15个是男生，15个是女生。

随机选择5个学生，求至少有3个男生的概率。

答案：我们可以使用组合来解决这个问题。

至少有3个男生的情况有：3男2女，4男1女，5男0女。

计算每种情况的概率并相加即可得到最终答案。

问题4：一个工厂每天生产100个零件，其中大约有2%是次品。

求至少有3个次品的概率。

答案：这是一个二项分布问题，其中n=100，p=0.02。

至少有3个次品的概率可以通过1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)来计算，其中P(X=k)是恰好有k个次品的概率。

问题5：一个随机变量X服从正态分布，其均值为μ=50，标准差为σ=10。

求P(40 < X < 60)。

答案：首先，我们需要将区间(40, 60)标准化。

计算Z值：Z1 =(40-50)/10 = -1，Z2 = (60-50)/10 = 1。

然后，使用标准正态分布表查找Z值对应的累积概率，最后相减得到P(40 < X < 60)。

习题7-11. 选择题(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X 为来自X的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .(A) X 和S 2. (B) X 和211()n i i X n μ=-∑. (C) μ和σ2.(D) X 和211()nii X X n=-∑.解 选(D).(2) 设[0,]X U θ, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X 为来自总体X的样本, 则θ的矩估计量是( ) .(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i nX ≤≤. (D) 1min{}i i nX ≤≤.解 选(B).3. 设总体X 的概率密度为(1),01,(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨⎩其它.其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；(2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为1101()()d (1)d 2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰. 令()E X X =, 即12X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为21ˆ1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为1(1),01,0,n n i i i x x L θθ=⎧⎛⎫+<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩∏其它. 当0<x i <1(i =1,2,3,…,n )时, L >0且 ∑=++=ni ixn L 1ln )1ln(ln θθ,令1d ln ln d 1ni i L nx θθ==++∑=0, 得θ的极大似然估计值为 1ˆ1ln nii nxθ==--∑,而θ的极大似然估计量为 1ˆ1ln nii nXθ==--∑.4. 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为e ,0,(,)0,0,x x f x x λλλ->=⎧⎨⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求未知参数λ的矩估计量与极大似然估计量.解 因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆXλ=. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数11nii inxx nni L eeλλλλ=--=∑==∏,取对数 1ln ln ()ni i L n x λλ==-∑.令1d ln 0,d ni i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆxλ=,λ的极大似然估计量为1ˆXλ=. 习题7-22. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)XN μσ的样本, 且Y 1231134X X kX =++为μ的无偏估计量, 问k 等于多少?解 要求1231111()3434E X X kX k μμμμ++=++=, 解之, k =512.,习题7-31. 选择题(1) 总体未知参数θ的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ).(A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值.(C) 未知参数θ有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数θ的真值. 解 选(D).(2) 对于置信水平1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果1-α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-α越小. 解 选（C ）习题7-41. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试, 取得数据如下(单位:小时):1050, 1100, 1080, 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200．设灯泡寿命服从正态分布N (μ, 902), 取置信度为0.95, 试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间.解 计算得到1141.11,x = σ2 =902. 对于α = 0.05, 查表可得/20.025 1.96z z ==α.所求置信区间为/2/2(,)(1141.11 1.96,1141.11 1.96)(1082.31,1199.91).x x z z +=-=αα2. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为105=x 元, 样本标准差28=s 元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间.解 计算可得105,x = s 2 =282.对于α = 0.05, 查表可得0.0252(1)(39) 2.0227t n t α-==.所求μ的置信区间为22((1),(1))(105 2.0227,105 2.0227)x n x n αα--+-=+=(96.045, 113.955).3. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8支为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为18.6毫克, 样本标准差s =2.4毫克. 试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间．解 已知n =8, s 2 =2.42, α = 0.01, 查表可得220.0052(1)(7)20.278n αχχ-==,220.99512(1)(7)0.989n αχχ--==, 所以方差σ 2的置信区间为2222122(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ---=--22(81) 2.4(81) 2.4(,)20.2780.989-⨯-⨯=(1.988, 40.768). 4. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样本:X 1,X 2,…,X 12及Y 1,Y 2,…,Y 17, 算出221210.6g,9.5g, 2.4, 4.7x y s s ====. 假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 其均值分别为12,μμ. 又设两总体方差2212σσ=. 求12μμ-置信水平为0.95的置信区间, 并说明该置信区间的实际意义.解 由题设22121210.6,9.5, 2.4, 4.7,12,17,x y s s n n ======2222112212(1)(1)(121) 2.4(171) 4.71.94212172wn s n s s n n -+--⨯+-⨯===+-+-120.0252(2)(27) 2.05181,t n n t α+-==所求置信区间为122(()(2)((10.69.5) 2.05181 1.94x y t n n s α-±+-=-±⨯ =(-0.40,2.60).结论“21μμ-的置信水平为0.95 的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际意义是：在两总体方差相等时, 第一个正态总体的均值1μ比第二个正态总体均值2μ大-0.40～2.60，此结论的可靠性达到95%.。

一、选择题1、设X 1、X2、…X n 是取自总体X 的一个简单随机样本，DX=σ2，X ̅是样本均值，则下列估计量的期望为σ2的是A 、1n+1∑(X i −X ̅)2n i=1B 、1n ∑(X i −X ̅)2n i=1C 、1n−1∑（X i −X ̅）2 n i=1D 、1n ∑（X i 2−X ̅）2n i=1 2、设X 1、X 2、…X n 是取自总体X 的一个简单随机样本，记EX=μ，DX=σ2，X =̅̅̅̅̅1n ∑X in i=1， S 2=1n∑(X i −X ̅)2n i=1 ，DS>0，则 A 、ES=σ B 、E S ̅2=σ2 C 、E X ̅2=μ2 D 、E(1n ∑(X i )2n i=1)= EX 23、设X ̅是取自总体X 的一个简单随机样本，X 1、X 2、…X n 是样本均值，则X ̅是μ的矩估计，如果A 、 X ~ N （μ，σ2）B 、X 服从参数为μ的指数分布C 、 P |X = m| = μ（1-μ）m -1 ，m=1,2，……D 、X 服从[0，μ]上均匀分布二、填空题1、设X 1，X 2，…，X n 是取自总体X 的简单随机样本，a ∑X i 2n i=1+b X 2的数学期望为σ2，则a=________，b=_________.2、设总体X 服从（a ，b ）上的均匀分布，X 1，X 2，…，X n 是取自X 的简单随机样本，则未知参数a ，b 的矩估计量为 a ̂=，b̂= .三、计算题与应用题1、设总体X 的概率分布为X 01P 1−p p，其中P （0<p<1）是未知参数，又设x 1，x 2，…，x n 是总体X 的一组样本观测值，试求参数p 的矩估计量和最大似然估计量.2、设总体X 的概率密度为ƒ（x ；α，β）={α，−1<x <0,β, 0≤x ＜1,0, 其他，其中α和β是未知参数，利用总体X 的如下样本值-0.5 ，0.3 ， -0.2 ， -0.6 ， -0.1 ， 0.4 ， 0.5 ， -0.8求α的矩估计值和最大似然估计值.3、已知总体X 服从瑞利分布，其密度函数为ƒ（x ；θ）={x θe −x 22θ， x ＞0，0， x ≤0，θ＞0，X 1，…，X n 为取自总体X 的简单随机样本，求θ的矩估计量θ̂并计算E θ̂ 4、接连不断地、独立地对同一目标射击，直到命中为止，假定共进行n （n ≥ 1）轮这样的射击，各轮射击次数相应为k 1，k 2，…，k n ，试求命中率p 的最大似然估计值和矩估计值5、设X 服从[a ，b]上的均匀分布，x 1，…，x n 为简单随机样本，求a ，b 的最大似然估计量6、已知总体X 的密度函数为ƒ（x ；θ，β）={√θ−x−β√θ， x ≥β，θ＞0，0，其他，其中θ，β为未知参数，X 1，…，X n 为简单随机样本，求θ，β的矩估计量7、设总体X 服从韦布尔分布，密度函数为ƒ（x ；θ）={θαx α−1e −θx α， x ＞0，0， x ≤0，其中α＞0为已知，θ＞0是未知参数，试根据来自X 的简单随机样本X 1，X 2，…，X n ，求θ的最大似然估计量8、某种电子器件的寿命（以小时计）T 服从指数分布，概率密度为ƒ（t ）={λe −λt ， t ＞0，0， t ≤0，其中λ＞0未知，现从这批器件中任取n 只在时刻t=0时投入独立寿命试验，试验进行到预定时间T 0结束，此时有k （0<k<n ）只期间失效，试求λ的最大似然估计。

《概率论与数理统计》习题及答案第 七 章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2σ的矩估计.解 μ的矩估计为ˆX μ=，2σ的矩估计为22*211ˆ()ni i X X S n σ==-=∑ 1(27812836280727652858)2809.05X =++++=，*215854.01170.845S =⨯=所以2ˆ2809,1170.8μσ== 2．设12,,,n X X X 是来自对数级数分布1(),(01,1,2,)(1)kp P X k p k lu p k==-<<=-的一个样本，求p 的矩估计.解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1k kk k p p p p p p p μ∞∞==-==-=-⋅----∑∑ （1） 因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩121111ln(1)ln(1)ln(1)kk k x pk k k p p kp kp x p p p μ∞∞∞-===='-⎛⎫==-=- ⎪---⎝⎭∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)x pp x p p x p p ='⎡⎤=-=-⋅⎢⎥----⎣⎦ （2） （1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 212p μμμ-= 所以得p 的矩估计21221111n i i n i i X X X n p X n α==-==-∑∑3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 和p 的矩估计 解 122,(1)()Np Np p Np μμ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ 解之得1/N p μ=， 21(1)p Np μμ-+=， 即1N pμ=，22111p μμμ-=-，所以 N 和p 的矩估计为ˆX N p=，*21S p X =-. 4．设总体X 具有密度11(1)1,,(;)0,.Cx x C f x θθθθ-+⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，12,,,n X X X ，求θ的矩估计解11111111111CCEX C x dx C xθθθθμθθθ+∞--+∞===-⎰111()11C C C C θθθθ-=-⋅=--， 解出θ得11,Cθμ=-92 于是θ的矩估计为 1C Xθ=-. 5．设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计：111210011(1),22EX x dx x ααααμααα++++==+==++⎰解出α得 1112,1μαμ-=- 所以α的矩估计为 121XX α-=-. 再求极大似然估计： 1121(,,;)(1)(1)()nn n i n i L X X x x x x ααααα==+=+∏，1ln ln(1)ln nii L n xαα==++∑，1ln ln 01nii d L nx d αα==++∑，解得α的极大似然估计： 1(1)ln nii nxα==-+∑.6．已知总体X 在12[,]θθ上服从均匀分布，1n X X 是取自X 的样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计： 1212EX θθμ+==，22222211211222()()1243EX θθθθθθθθμ-+++==+=解方程组121221122223θθμθθθθμ⎧+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩得11θμ=±2123(θμμμ=-注意到12θθ<，得12,θθ的矩估计为*1X θ=-，*2X θ=.再求极大似然估计 1121212111(,,;,)()nn ni L X X θθθθθθ===--∏，1122,,,n x x x θθ≤≤，由极大似然估计的定义知，12,θθ的极大似然估计为11(1)min(,,)n X X X θ==；21()max(,,)n n X X X θ==.7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,n x x x ，求参数θ的极大似然估计.（1）1(),0,(;)0,.x x e x f x αθαθαθα--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它;已知（2）||1(;),,2x f x e x θθθ--=-∞<<+∞-∞<<+∞. 解 （1）111111(,,;)()()ni i i nx x n nn i n i L X X x ex x eααθθααθθαθα=----=∑==∏111ln (;)ln ln (1)ln nnn i i i i L X X n n x x αθθααθ===++--∑∑1ln 0ni i d L nx d αθθ==-∑解似然方程1ni i nx αθ==∑，得θ的极大似然估计94 1.ni i nx αθ==∑（2）1||||1111(;)22ni i i n x x n n i L X X e eθθθ=----=∑==∏由极大似然估计的定义得θ的极大似然估计为样本中位数，即1()2()(1)22,1(),.2n n n X n X X n θ++⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数8．设总体X 服从指数分布(),,(;)0,.x ex f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.解 1()11(,,;),,1,2,,.ni i i nx n x n i i L X X eex i n θθθθ=-+--=∑==≥=∏1ln nii L n Xθ==-∑ln 0d Ln d θ=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为(1)x θ= 9．设12,,,n X X X 来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，试求未知参数p 的极大似然估计. 解 1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx n n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏，1ln ln ()ln(1),nii L n p Xn p ==+--∑1ln 0,1ni i X nd L n dp p p=-=--∑解似然方程11nii n X n p p=-+=-∑， 得p 的极大似然估计1p X=。

概率论与数理统计 第七章 参数估计练习题与答案（答案在最后）1．设总体X 的二阶矩存在，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则2EX 的矩估计是（ ）．(A) X (B) ()∑=-n i i X X n 121 (C) ∑=n i i X n 121 (D) 2S2．矩估计必然是（ ）．(A) 总体矩的函数 (B) 样本矩的函数 (C) 无偏估计 (D) 最大似然估计3．某钢珠直径X 服从()1,μN ，从刚生产出的一批钢珠中随机抽取9个，求得样本均值06.31=X ，样本标准差98.0=S ，则μ的最大似然估计是 ．4．设θˆ是未知参数θ的一个估计量，若θθ≠ˆE ，则θˆ是θ的（ ） (A) 最大似然估计 (B) 矩估计 (C) 有效估计 (D) 有偏估计5．设21,X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ估计量中，只有（ ）才是μ的无偏估计．(A) 213432X X + (B) 214241X X + (C)215352X X + (D) 214143X X - 6．设总体X 服从参数为λ的Poisson 分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，则下列说法中错误的是（ ）．(A) X 是EX 的无偏估计量 (B) X 是DX 的无偏估计量 (C) X 是EX 的矩估计量 (D) 2X 是2λ的无偏估计量 7．设321,,X X X 是()1,μN 的一个样本，下面四个关于μ无偏估计量中，根据有效性这个标准来衡量，最好的是（ ）．(A) 321313131X X X ++ (B) 213132X X + (C)321412141X X X ++ (D) 216561X X + 8．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n U X n U X σσ025.0025.0，作为μ的置信区间，其置信水平是（ ）．(A) 0.9 (B) 0.95 (C) 0.975 (D) 0.05 9．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,σμN 的一个样本，其中μ未知，而σ已知，μ的置信水平为α-1的置信区间⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n U X n U X σσαα22 ，的长度是α的减函数，对吗？10．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它101x x x f θθ，其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．11．总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它002222x ex x f x θθ， 其中θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．12．设总体X 服从几何分布：()()11--==x p p x X P ，() ,2,1=x ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数p 的最大似然估计． 13．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,0σN 的一个样本，求参数2σ的最大似然估计．14．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,7t a n σμ+N 的一个样本，其中22πμπ<<-，求参数2,σμ的最大似然估计．15．设n X X X ,,,21 是来自总体()2,~σμN X 的一个样本，对给定t ，求()t X P ≤的最大似然估计．16．一个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，发现其中有k 个白球，求罐中黑球数和白球数之比R 的最大似然估计． 17．总体X 的分布律是：()()()θθθ312,0,21-=====-=X P X P X P ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，求参数θ的矩估计和最大似然估计． 18．设总体X 服从二项分布()p N B ,，N 为正整数，10<<p ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的大样本，求参数p N ,的矩估计量．19．设μ=EX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明：()∑=-=n i i X n T 121μ是总体方差的无偏估计．20．总体X 服从()θθ2,上均匀分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明X 32ˆ=θ是参数θ的无偏估计．21．设总体X 服从二项分布()p m B ,，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，证明∑==ni i X n m p 11ˆ是参数θ的无偏估计． 22．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，且X 服从参数为λ的Poisson 分布，对任意()1,0∈α，证明()21S X αα-+是λ的无偏估计，其中2,S X 分别是样本均值和样本方差．23．设02>=σDX ，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个样本，问2X 是否是()2EX 的无偏估计．24．设321,,X X X 是来自总体()2,σμN 的一个样本，试验证：32112110351ˆX X X ++=μ，32121254131ˆX X X ++=μ，都是参数μ的无偏估计，并指出哪个更有效．25．从总体()1,1μN 抽取一个容量为1n 的样本：1,,,21n X X X ，从总体()4,2μN 抽取一个容量为2n 的样本：2,,,21n Y Y Y ，求21μμα-=的最大似然估计αˆ．假定总的样本容量21n n n +=不变时，求21,n n 使αˆ的方差最小． 26．为了测量一台机床的椭圆度,从全部产品中随机抽取100件进行测量，求得样本均值为mm X 081.0=，样本标准差为mm S 025.0=，求平均椭圆度μ的置信水平为0.95的置信区间．27．自动机床加工的同类零件中，随机抽取9件，测得长度如下：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6，已知零件长度X 服从()2,σμN ，置信水平为0.95，(1) 若15.0=σ，求μ置信区间； (2) 若σ未知，求μ置信区间； (3) 若4.21=μ，求σ置信区间； (4) 若μ未知，求σ置信区间． 28．设总体X 服从()23,μN ，如果希望μ的置信水平为0.9的置信区间长度不超过2，则需要抽取的样本容量至少是多少？29．某厂利用两条自动化流水线灌装面粉，分别从两条流水线上抽取12和17的两个独立样本，其样本均值和样本方差分别为：6.10=X ，4.221=S ，5.9=Y ，7.422=S ，假设两条生产线上灌装面粉的重量都服从正态分布，其均值分别为21,μμ，方差相等，求21μμ-的置信水平为0.9的置信区间． 30．设两位化验员独立对某种聚合物含氯量用相同方法各作10次测定，其测定值的样本方差分别为：5419.021=S ，6065.022=S ，设2221,σσ分别为两位化验员所测定值总体的方差，设两位化验员的测定值都服从正态分布，求方差比2221σσ的置信水平为0.9的置信区间．31．从一批产品中抽取100个产品，发现其中有9个次品，求这批产品的次品率p 的置信水平为0.9的置信区间．答案详解1．C 2．B 3．31.064．D 5．C 6．D 7．A 8．B 9．对10．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX 11+==⎰θθθθdx x ，所以21⎪⎭⎫⎝⎛-=EX EX θ，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为21ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X X θ (2) 最大似然估计似然函数为：()()∏==ni i x f L 1θ()()121-=θθnnx x x ，两边取对数， ()θL ln ()()nx x x n21ln 1ln 2-+=θθ，令()θθd L d ln ()0ln 21221=+=n x x x n θθ， 得参数θ的最大似然估计为：212ln ˆ⎪⎭⎫⎝⎛=∑=ni i x n θ11．(1) 矩估计因为()⎰∞+∞-=dx x xf EX ⎰∞+-=022222dx exx θθ⎰∞+∞--=dx e xx 2222221θθ⎰∞+∞--=dx exx 2222222θθπθπθπ22=， 所以EX πθ2=，而X EX =∧，由此得参数θ的矩估计量为X πθ2ˆ=。

习题7-11. 选择题(1) 设总体X 的均值μ与方差σ2都存在但未知, 而12,,,n X X X L 为来自X 的样本, 则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是( ) .(A) X 和S 2. (B) X 和211()nii X nμ=-∑. (C) μ和σ2. (D) X 和211()nii X X n=-∑.解 选(D).(2) 设[0,]X U θ:, 其中θ>0为未知参数, 又12,,,n X X X L 为来自总体X 的样本, 则θ的矩估计量是( ) .(A) X . (B) 2X . (C) 1max{}i i nX ≤≤. (D) 1min{}i i nX ≤≤.解 选(B).2. 设总体X 的分布律为其中0＜θ＜12n , 试求θ的矩估计量.解 因为E (X )=(-2)×3θ+1×(1-4θ)+5×θ=1-5θ, 令15X θ-=得到θ的矩估计量为ˆ15X θ-=. 3. 设总体X 的概率密度为(1),01,(;)0, x x f x θθθ+<<=⎧⎨⎩其它.其中θ>-1是未知参数, X 1,X 2,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本, 求: (1) θ的矩估计量；(2) θ的极大似然估计量. 解 总体 X 的数学期望为1101()()d (1)d 2E X xf x x x x θθθθ+∞+-∞+==+=+⎰⎰. 令()E X X =, 即12X θθ+=+, 得参数θ的矩估计量为21ˆ1X X θ-=-. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… , X n 的一组观测值, 则似然函数为1(1),01,0,n n i i i x x L θθ=⎧⎛⎫+<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩∏其它. 当0<x i <1(i =1,2,3,…,n )时, L >0且 ∑=++=ni ixn L 1ln )1ln(ln θθ,令1d ln ln d 1ni i L nx θθ==++∑=0, 得θ的极大似然估计值为 1ˆ1ln nii nxθ==--∑,而θ的极大似然估计量为 1ˆ1ln nii nXθ==--∑.4. 设总体X 服从参数为λ的指数分布, 即X 的概率密度为e ,0,(,)0,0,x x f x x λλλ->=⎧⎨⎩≤ 其中0λ>为未知参数, X 1, X 2, …, X n 为来自总体X 的样本, 试求未知参数λ的矩估计量与极大似然估计量.解 因为E (X )=1λ =X , 所以λ的矩估计量为1ˆXλ=. 设x 1, x 2,…, x n 是相应于样本X 1, X 2,… ,X n 的一组观测值, 则似然函数11nii inxx nni L eeλλλλ=--=∑==∏,取对数 1ln ln ()ni i L n x λλ==-∑.令1d ln 0,d ni i L n x λλ==-=∑ 得λ的极大似然估计值为1ˆxλ=,λ的极大似然估计量为1ˆXλ=. 5. 设总体X 的概率密度为,01(,)1,120,x f x x θθθ<<=-⎧⎪⎨⎪⎩，≤≤，其它,其中θ（0<θ<1）是未知参数. X 1, X 2, …, X n 为来自总体的简单随机样本, 记N 为样本值12,,,n x x x L 中小于1的个数. 求: (1) θ的矩估计量; (2) θ的极大似然估计量.解 (1) 1213()d (1)d 2X E X x x x x θθθ==+-=-⎰⎰, 所以32X θ=-矩.(2) 设样本12,,n x x x L 按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下关系:x (1) ≤ x (2) ≤…≤ x (N ) <1≤ x (N +1)≤ x (N +2)≤…≤x (n ) .似然函数为(1)(2)()(1)(2)(1),1()0,,N n N N N N n x x x x x x L θθθ-++-<=⎧⎨⎩L L ≤≤≤≤≤≤≤其它.考虑似然函数非零部分, 得到ln L (θ ) = N ln θ + (n − N ) ln(1−θ ),令d ln ()0d 1L N n N θθθθ-=-=-, 解得θ的极大似然估计值为ˆN nθ=. 习题7-21. 选择题: 设总体X 的均值μ与方差2σ都存在但未知, 而12,,,n X X X L 为X 的样本, 则无论总体X 服从什么分布, ( )是μ和2σ的无偏估计量.(A) 11nii X n=∑和211()nii X X n=-∑. (B)111nii X n =-∑和211()1nii X X n =--∑.(C)111nii X n =-∑和211()1nii X n μ=--∑. (D)11nii X n=∑和211()nii X nμ=-∑.解 选(D).2. 若1X ,2X ,3X 为来自总体2(,)X N μσ:的样本, 且Y 1231134X X kX =++为μ的无偏估计量, 问k 等于多少?解 要求1231111()3434E X X kX k μμμμ++=++=, 解之, k =512.3. 设总体X 的均值为0, 方差2σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X的样本, 试证：2121()2X X -为2σ的无偏估计.证 因为22212112211[()][(2)]22E X X E X X X X -=-+2222112212[()2()()]22E X E X X E X σσ=-+==,所以2121()2X X -为2σ的无偏估计.习题7-31. 选择题(1) 总体未知参数θ的置信水平为0.95的置信区间的意义是指( ). (A) 区间平均含总体95%的值. (B) 区间平均含样本95%的值.(C) 未知参数θ有95%的可靠程度落入此区间. (D) 区间有95%的可靠程度含参数θ的真值. 解 选(D).(2) 对于置信水平1-α(0<α<1), 关于置信区间的可靠程度与精确程度, 下列说法不正确的是( ).(A) 若可靠程度越高, 则置信区间包含未知参数真值的可能性越大. (B) 如果α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (C) 如果1-α越小, 则可靠程度越高, 精确程度越低. (D) 若精确程度越高, 则可靠程度越低, 而1-α越小. 解 选（C ）习题7-41. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取9只进行寿命测试, 取得数据如下(单位:小时):1050, 1100, 1080, 1120, 1250, 1040, 1130, 1300, 1200． 设灯泡寿命服从正态分布N (μ, 902), 取置信度为0.95, 试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间.解 计算得到1141.11,x = σ2 =902. 对于α = 0.05, 查表可得/20.025 1.96z z ==α.所求置信区间为/2/2(,)(1141.11 1.96,1141.11 1.96)(1082.31,1199.91).x x z +=-=αα2. 为调查某地旅游者的平均消费水平, 随机访问了40名旅游者, 算得平均消费额为105=x 元, 样本标准差28=s 元. 设消费额服从正态分布. 取置信水平为0.95, 求该地旅游者的平均消费额的置信区间.解 计算可得105,x = s 2 =282.对于α = 0.05, 查表可得0.0252(1)(39) 2.0227t n t α-==.所求μ的置信区间为22((1),(1))(105 2.0227,105 2.0227)x n x n αα--+-=+=(96.045, 113.955).3. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布. 现随机抽取此种香烟8支为一组样本, 测得其尼古丁平均含量为18.6毫克, 样本标准差s =2.4毫克. 试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间．解 已知n =8, s 2 =2.42, α = 0.01, 查表可得220.0052(1)(7)20.278n αχχ-==, 220.99512(1)(7)0.989n αχχ--==, 所以方差σ 2的置信区间为2222122(1)(1)(,)(1)(1)n S n S n n ααχχ---=--22(81) 2.4(81) 2.4(,)20.2780.989-⨯-⨯=(1.988, 40.768). 4. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱, 分别从两条流水线上抽取样本:X 1,X 2,…,X 12及Y 1,Y 2,…,Y 17, 算出221210.6g,9.5g, 2.4, 4.7x y s s ====.假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布, 且相互独立, 其均值分别为12,μμ. 又设两总体方差2212σσ=. 求12μμ-置信水平为0.95的置信区间, 并说明该置信区间的实际意义.解 由题设22121210.6,9.5, 2.4, 4.7,12,17,x y s s n n ======2222112212(1)(1)(121) 2.4(171) 4.71.94212172wn s n s s n n -+--⨯+-⨯===+-+-120.0252(2)(27) 2.05181,t n n t α+-==所求置信区间为122(()(2)((10.69.5) 2.05181 1.94x y t n n s α-±+-=-±⨯ =(-0.40,2.60).结论“21μμ-的置信水平为0.95 的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际意义是：在两总体方差相等时, 第一个正态总体的均值1μ比第二个正态总体均值2μ大-0.40～2.60，此结论的可靠性达到95%.5. 某商场为了了解居民对某种商品的需求, 调查了100户, 得出每户月平均需求量为10公斤, 方差为9 . 如果这种商品供应10000户, 取置信水平为0.99.(1) 取置信度为0.99,试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计; (2) 问最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需要？ 解 (1) 每户居民的需求量的置信区间为2222((1),(1))()(10 2.575,10 2.575)(9.2275,10.7725).,x n x n x z x αααα-+-≈+=-=10000户居民对此种商品月需求量的置信度为0.99的置信区间为(92275,107725)；（2）最少要准备92275公斤商品才能以99%的概率满足需要.。

第七章试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设总体X服从[0，2θ]上的均匀分布（θ>0），x1, x2, …, x n是来自该总体的样本，x为样本均值，则θ的矩估计 ˆ=（）A．x2B．xC．x D．x212答案：B2．设总体nX X X N X ,,,),,(~212 σμ为来自总体X 的样本，2,σμ均未知，则2σ的无偏估计是（ ） A ．∑=--ni iX Xn 12)(11 B ．∑=--ni iXn 12)(11μ C ．∑=-ni iX Xn12)(1D ．∑=-+ni iXn 12)(11μ答案：A3．设总体X ~ N （2,σμ），其中μ未知，x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的一个样本，则以下关于μ的四个估计：)(41ˆ43211x x x x +++=μ，3212515151ˆx x x ++=μ，2136261ˆx x +=μ，1471ˆx =μ中，哪一个是无偏估计？（ ） A ．1ˆμB ．2ˆμC ．3ˆμD ．4ˆμ答案：A4．设（X 1，X 2）是来自总体X 的一个容量为2的样本，则在下列E （X ）的无偏估计量中，最有效的估计量是（ ） A ．)(2121X X + B ．213132X X + C ．214143X X + D ．215253X X + 答案：A二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

4.设总体X 具有区间[0，θ]上的均匀分布（θ>0），x 1，x 2，…，x n 是来自该总体的样本，则θ的矩估计θˆ=___________。

答案：x 25．设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x αα,x 1，x 2，…x n 为总体X 的一个样本，则未知参数α的矩估计αˆ=___________.答案：x 16．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中λ为未知参数.X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本，则参数λ的矩估计量为___________. 答案：x7．设总体X~N （μ,σ2）,x 1,x 2,x 3为来自X 的样本，则当常数a=____________时，3212141ˆx ax x ++=μ是未知参数μ的无偏估计. 答案：41 8.设总体X ~ N (1,μ),(321,,x x x )为其样本,若估计量3213121ˆkx x x ++=μ为μ的无偏估计量,则k = ___________。

概率论与数理统计第7章参数估计习题及答案第7章参数估计 ----点估计⼀、填空题1、设总体X 服从⼆项分布),(p N B ，10<计量=pXN. 2、设总体)p ,1(B ~X，其中未知参数 01<则 p 的矩估计为_∑=n 1i i X n 1_，样本的似然函数为_ii X 1n1i X )p 1(p -=-∏__。

3、设 12,,,n X X X 是来⾃总体 ),(N ~X 2σµ的样本，则有关于 µ及σ2的似然函数212(,,;,)n L X X X µσ=_2i 2)X (21n1i e21µ-σ-=∏σπ__。

⼆、计算题1、设总体X 具有分布密度(;)(1),01f x x x ααα=+<<，其中1->α是未知参数，n X X X ,,21为⼀个样本，试求参数α的矩估计和极⼤似然估计.解：因?++=+=101α2α1α102++=++=+|a x 令2α1α++==??)(X X EXX --=∴112α为α的矩估计因似然函数1212(,,;)(1)()n n n L x x x x x x ααα=+∑=++=∴ni i X n L 1α1αln )ln(ln ，由∑==++=??ni i X nL 101ααln ln 得，α的极⼤似量估计量为)ln (?∑=+-=ni iXn11α2、设总体X 服从指数分布 ,0()0,x e x f x λλ-?>=??其他，n X X X ,,21是来⾃X 的样本，（1）求未知参数λ的矩估计；（2）求λ的极⼤似然估计.解：（1）由于1()E X λ=，令11X Xλλ=?=i x nn L x x x eλλ=-∑=111ln ln ln 0nii ni ni ii L n x d L n n x d xλλλλλ====-=-=?=∑∑∑故λ的极⼤似然估计仍为1X。

滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第七章 参数估计一、填空题1．假设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值，2S 是样本方差，则对于任意实数α，[]2)1(S X αα-+E = ．2．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则概率{}1≥X P 的最大似然估计量为 ．3．设总体X 的概率密度为： ⎩⎨⎧<≥=--；，，，若若θθθθx x x f x 0e );()(，()n X X X ,,,1 是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的最大似然估计量θˆ= ．4．设来自总体X 的简单随机样本()n X ,,X 1，总体X 的概率分布⎪⎪⎭⎫⎝⎛--θθθ312201~X ，其中0<θ<1/3，未知参数θ的矩估计量θˆ= ．5．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-，，若不然，，若0 10 );(1x x x f θθθ，其中未知参数θ>0，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则θ的矩估计量为 ．6．设正态总体X 的标准差为1，由来自X 的简单随机样本建立的数学期望μ的0.95置信区间，则当样本容量为25时置信区间的长度L = ；为使置信区间的长度不大于0.5，应取样本容量≥n ．7．设总体X 服从参数为λ的泊松分布；),,,(21n X X X 是来自X 的简单随机样本，则2λ的无偏估计量为 ． 二、选择题1．设σ是总体X 的标准差，n X X X ,,,21 是来自总体X 的简单随机样本，则样本标准差S 是总体标准差σ的（ ）．(A) 矩估计量； (B) 最大似然估计量；(C) 无偏估计量； (D) 相合估计量．2．设),(~),,(~22σσb N Y a N X ，并且相互独立；基于分别来自总体X 和Y 容量相应为9和11的简单随机样本，得样本均值X 和Y ，样本方差22yx S S 和；记)(2122212y x S S S +=，)108(181 222y x xy S S S +=，由熟知的事实“服从自由度为ν的2χ分布的随机变量的方差等于2ν”，可见2σ的4个无偏估计量221222,,,xy y x S S S S 中方差最小者是（ ）． (A) 2x S ； (B) 2y S ； (C) 212S ； (D) 2xy S ．3．设()n X X X ,,,21 是来自正态总体),(~2σμN X 的简单随机样本，为使()∑-=+-=1121n i i i X X k D 成为总体方差2σ的无偏估计量，应选k=（ ）．(A)11-n ； (B) n 1； (C) ()121-n ； (D) n 21． 三、解答题1．假设随机变量X 在区间],[b a 上均匀分布，试求区间端点a 和b 最大似然估计量． 2．假设随机变量X 在数集{0,1,2,…,N }上等可能分布，求N 的最大似然估计量． 3．设来自总体X 的简单随机样本()n X X X ,,,21 ，总体X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--22)1()1(2321~θθθθX ，其中0<θ<1．分别以221,νν表示()n X X X ,,,21 中1，2出现的次数，试求(1) 未知参数θ的最大似然估计量； (2) 未知参数θ的矩估计量；(3) 当样本值为（1,1,2,1,3,2）时的最大似然估计值和矩估计值．4．假设一批产品的不合格品数与合格品数之比R （未知常数）．现在按还原抽样方式随意抽取的n 件中发现k 件不合格品．试求R 的最大似然估计值．5．假设总体X 在区间[]θ,0上服从均匀分布，n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本，试求(1) 端点θ的最大似然估计量； (2) 端点θ的0.95置信区间．6．为观察某药对高胆固醇血症的疗效，测定了五名患者服药前和服药一个疗程后的血清胆固醇含量，得如下数据：假设化验结果服从正态分布律．试建立服药前后血清胆固醇含量的均值差的0.95置信区间，并对所得结果作出解释．7．假设随机变量X 在区间]1,[+θθ上均匀分布，其中θ未知；),,,(21n X X X 是来自X 的简单随机样本，X 是样本均值，而{}n X X X X ,,,min 21)1( =是最小观测值；记11ˆ21ˆ)1(21+-=-=n X X θθ， (1) 证明1ˆθ和2ˆθ都是θ的无偏估计量； (2) 证明2ˆθ比1ˆθ更有效，即12ˆˆθθD D ≤． 8．设总体X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--θθθθθ21)1(23210~22X其中)210(<<θθ是未知参数，利用总体X 的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3， 求θ的矩估计值和最大似然估计值． 9．设总体X 的分布律为N k N k X P ,,1,0,11)( =+==，其中N 为未知的正整数，又n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本，试求N 的最大似然估计．10．设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=-其他10)(1x xx f θθ，其中0>θ为未知参数,n X X X ,,,21 为取自总体X 的一个样本, 试求(1) θ的矩估计量； (2) θ的极大似然估计量．11．设),(~ln 2σμN X Z =, 试证22σμ+=eEX , 若从上述总体X (参数2,σμ均未知)中取一个随机样本n X X X ,,,21 , 试求EX 的极大似然估计．12．为了估计湖中有多少条鱼，从湖中捞出1000条鱼，标上记号后又放回湖中，过一段时间后，再捞出150条鱼，发现其中有10条带有标记，估计湖中鱼的总数为多少是使上述事件的概率最大． 13．12,,,n X X X 是正态总体2~(,)X N μσ的简单随机样本，μ，2σ为未知参数，求)2(>X P 的极大似然估计．14．已知11(,),,(,)n n X Y X Y 是独立地取自二元正态22(0,0,,,)N σσρ的样本，求2σ和ρ的极大似然估计．15．设总体X 的k 阶矩1,E ≥=k X k k μ存在. 又设n X X X ,,,21 是X 的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布, k 阶样本（原点）矩∑==n i ki k X n M 11一定是k 阶总体（原点）矩μk 的无偏估计．16．设总体X 的均值为μ，方差为2σ，从中分别抽取容量为21,n n 的两个独立样本，21,X X 分别是两个样本的均值，试证明，对于满足1=+b a 的任何常数a 及b ， 21X b X a Y +=都是μ的无偏估计，并确定常数a 及b ，使Y 的方差达到最小．17．设X ~],0[θU ，参数θ 未知，n X X X ,,,21 是其大小为n 的样本. 则（1） 矩估计量 X M2ˆ=θ是无偏的； （2） 似然估计},,,max{ˆ21)(nn L X X X X ==θ，不是参数θ 的无偏估计， 但 )(1ˆ1n L X nn n n +=+θ是比X M 2ˆ=θ有效的估计量． 18．设总体X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<≥=--μμλμλx x e x f x ，，0)()( ，这里μ 和λ)0(>都是参数. 又设n 21,,,X X X 为该总体的简单样本；（1）设λ已知，求μ的极大似然估计量L μˆ ； （2）设μ已知，求λ的矩估计量M λˆ．（3）μ的极大似然估计L μˆ是μ的无偏估计吗？为什么？ 19．设n X X X 221,,, 是来自方差有限的总体X 的大小为2n 的简单随机样本，令∑∑=====ni i n i i X n T X n X T 1222111,21. 则（1）对总体期望作估计时1T 和2T 是否无偏? 1T 是否比2T 有效? 请说明上述结论的理由； （2）证明2T 是总体期望的一致估计 (即相合估计)． 20．随机从一批零件中抽取16件，测得长度（单位：cm ）为2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11 设零件长度的分布是正态的，试求总体均值μ的95%置信区间． （1）01.0=σ；（2）σ未知．21．对方差2σ为已知的正态总体，要使均值μ的α-1置信区间长度不大于δ2，抽取的样本容量n 至少为多大？22．假设0.50, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体X 的简单样本值. 已知X Y ln =服从正态分布N (,)μ1．(1) 求X 的数学期望EX ；(2) 求μ的置信度为0.95的置信区间；(3) 利用上面结果求b 的置信度为0.95的置信区间．。

概率论第七章习题解答1、随机地取8只活塞，测得它们的直径为（以mm 计）74.00174.00574.00374.00174.00073.99874.00674.002试求总体均值μ及方差2σ的矩估计值，并求样本方差2s 。

解1()E X μμ==22222()()[()]E X D X E X μσμ==+=+解得1μμ=，2221σμμ=-又81118ii A X X ===∑令1A Xμ==（一阶矩估计量）2222A X σμ==-（二阶矩估计量）代入样本值，1(74.00174.00574.00374.0018x =+++74.00073.99874.00674.002)++++74.002=ˆ74.002μ=，（一阶矩估计值）82211ˆ()8i i x x σ==-∑22222221[(0.001)0.0030.001(0.001)0.002(0.004)(0.004)0]8=-+++-++-++即26648ˆ106108σ--=⨯=⨯（二阶矩估计值）因为样本方差22211()1n ii S X X n ==--∑当8n =时，822211()7i i S X X ==-∑所以22661148ˆ()10 6.861077n i i sx x --==-=⨯=⨯∑2、设12,,,n X X X 为总体的样本，12,,,n x x x 为一相应的样本值，求下列总体的概率密度或分布律中的未知参数的矩估计量和矩估计值。

（1）(1),()0,c x x cf x θθθ-+⎧>=⎨⎩其它，其中0c >为已知，θ为未知参数。

（2）1,01()0,xx f x θθ-⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它，其中0θ>，θ为未知参数。

（3）{}(1)x xm xm P X x C p p -==-，0,1,2,,x m = ，其中01p <<，p 为未知参数。

解（1）()()()cE X xf x dx xf x dx∞∞-∞==⎰⎰(1)ccx c x dx c x dxθθθθθθ∞∞-+-==⎰⎰11|111c c c c x c θθθθθθθμθθθ-+∞-+====---，而ˆX μ=故1cX θθ=-，解出θ，得(1)c X θθ=-，()X c X θ-=，ˆ()XX c θ=-。