概率论第一章习题解答

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00第一章 随机事件与概率

I 教学基本要求

1、了解随机现象与随机试验,了解样本空间的概念,理解随机事件的概念,掌握事件之间的关系与运算;

2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义,会计算简单的古典概率和几何概率,理解概率的基本性质;

3、了解条件概率,理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式,会用它们解决较简单的问题;

4、理解事件的独立性概念.

II 习题解答

A 组

1、写出下列随机试验的样本空间

(1) 抛掷两颗骰子,观察两次点数之和; (2) 连续抛掷一枚硬币,直至出现正面为止; (3) 某路口一天通过的机动车车辆数; (4) 某城市一天的用电量.

解:(1) {2,3,

,12}Ω=;

(2) 记抛掷出现反面为“0”,出现正面为“1”,则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=;

(3) {0,1,2,

}Ω=;

(4) {|0}t t Ω=≥.

2、设A 、B 、C 为三个事件,试表示下列事件: (1) A 、B 、C 都发生或都不发生; (2) A 、B 、C 中至少有一个发生; (3) A 、B 、C 中不多于两个发生.

解:(1) ()()ABC ABC ;

(2) A

B C ;

(3) ABC 或A

B

C .

3、在一次射击中,记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”,写出下列事件:(1) AB ;(2) A

B ;(3) ()A B

C ;(4) ABC .

解:(1) AB 为“命中5环”; (2) A

B 为“命中0至1环或3至10环”;

(3) ()A B

C 为“命中0至2环或5至10环”;

(4) ABC 为“命中2至4环”.

4、任取两正整数,求它们的和为偶数的概率?

解:记取出偶数为“0”,取出奇数为“1”,则其出现的可能性相同,于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”,则

{(0,0),(1,1)}A =,从而1

()2

p A =

. 5、从一副52张的扑克中任取4张,求下列事件的概率:

(1) 全是黑桃;(2) 同花;(3) 没有两张同一花色;(4) 同色?

解:从52张扑克中任取4张,有4

52C 种等可能取法.

(1) 设A 为“全是黑桃”,则A 有413

C 种取法,于是413

452

()C p A C =;

(2) 设B 为“同花”,则B 有413

4C 种取法,于是413

452

4()C p B C =;

(3) 设C 为“没有两张同一花色”,则C 有4

13种取法,于是4

452

13()p C C =;

(4) 设D 为“同色”,则D 有426

2C 种取法,于是426

452

2()C p D C =.

6、把12枚硬币任意投入三个盒中,求第一只盒子中没有硬币的概率?

解:把12枚硬币任意投入三个盒中,有12

3种等可能结果,记A 为“第一个盒中没有硬币”,则A 有12

2种结果,于是12

2()()3

p A =.

7、甲袋中有5个白球和3个黑球,乙袋中有4个白球和6个黑球,从两个袋中各任取一球,求取到的两个球同色的概率?

解:从两个袋中各任取一球,有11

810C C ⨯种等可能取法,记A 为“取到的两个球同色”,则A 有1

111

5

4

3

6C C C C

⨯+⨯种取法,于是

1111543611

81019

()40

C C C C p A C C ⨯+⨯==⨯. 8、把10本书任意放在书架上,求其中指定的三本书放在一起的概率?

解:把10本书任意放在书架上,有10!种等可能放法,记A 为“指定的三本书放在一起”,则A 有3!8!⨯种放法,于是3!8!1

()10!15

p A ⨯=

=. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯,假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求5个人在不同楼层走出的概率?

解:5个人从第二层开始走出电梯,有5

10种等可能结果,记A 为“5个人在不同楼层

走出”,则A 有510

P 种结果,于是510

5()10

P p A =.

10、n 个人随机地围一圆桌而坐,求甲乙两人相邻而坐的概率?

解:设甲已坐好,只考虑乙的坐法,则乙有1n -种坐法,记A 为“甲乙两人相邻而坐”,则A 有2种坐法,于是2

()1

p A n =

-. 11、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是可能的,若甲船的停泊时间为一小时,乙船的停泊时间为两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率?

解:设x 、y 分别为甲、乙两艘轮船到达码头的时间,则{(,)|0,24}x y x y Ω=≤≤,

其面积2

24S Ω=,记A 为“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”,于是

{(,)|12}

A x y y x x y =-≥-≥或,其面积

221

(2322)

2

A S =+,从而

22

2

2322()0.879224A S p A S Ω+===⨯.

12、在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率?

解:设x 、y 分别为取出的两个数,则{(,)|0,1}x y x y Ω=≤≤,其面积1S Ω=,记A 为“两数之和小于6/5”,于是6

{(,)|}5A x y x y =+<,其面积2

141()25

A S =-

,从而17()0.6825

A S p A S Ω=

==. 13、设0a >,有任意两数x 、y ,且0,x y a <<.试求2

4

a xy <的概率?

解:由题意知{(,)|0,}x y x y a Ω=<<,其面积2

S a Ω=,记2

{(,)|}4

a A x y xy =<,

则其面积

24

44

22

2

23ln 4()()(1)444

a a a

x

a a

a

A a S a dy dx a a dx a x =-=--=-+⎰⎰⎰

从而3ln 4

()10.596644

A S p A S Ω=

=-+=. 14、从0、1、2、…、9这十个数字中任选三个不同的数字,试求下列事件的概率: