B OCDA高三数学周练检测试卷满分：60分 时间:60分钟 命题人：王绍青 审核人：郑宇邻内容:大题专练 使用时间：_2016年2月6日1．已知函数)22,0()sin()(πϕπωϕω<<->++=b x x f 相邻两对称轴间的距离为2π，若将)(x f 的图像先向左平移12π个单位，再向下平移1个单位，所得的函数)(x g 为奇函数。
（1）求)(x f 的解析式，并求)(x f 的对称中心；（2)若关于x 的方程02)()]([32=+⋅+x g m x g 在区间]2,0[π上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围。
2．数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1n n S a +=,数列{}n b 满足114,32n n b b b +==-。
（1）求数列{}n a 和{}nb 的通项公式； （2）设数列{}nc 满足()321log 1n n n c a b -=-，其前n 项和为n T ，求n T ．3．如图，将边长为2,有一个锐角为60°的菱形ABCD ，沿着较短的对角线BD 对折，使得6=AC ，O 为BD 的中点。
若P为AC 上的点，且满足PC AP 2=。
（Ⅰ）求证：；平面BCD AO ⊥(Ⅱ)求三棱锥BPD C -的体积；（Ⅲ）求二面角D BC A --的余弦值。
4．甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止.设甲在每局中获胜的概率为P （)21>P ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为95。
（1）求P 的值；（2）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望ξE .5．已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆C 过点()且与抛物线28y x=-有一个公共的焦点．（1)求椭圆C方程；(2)斜率为k的直线l过右焦点F，且与椭圆交于B A,两点，求弦AB的长；2（3）P为直线3x=上的一点，在第（2）题的条件下,若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．。
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}|11,|01x M x x N x x ⎧⎫=-<<=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．{}|01x x ≤< B ．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤ 2.复数()1z i i =+在复平面内所对应点的坐标为（ ） A ．()1,1 B ．()1,1-- C ．()1,1- D ．()1,1- 3.如图所示程序框图中，输出S =（ ） A ．45 B ．-55 C ．-66 D ．664.“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ）条件.A ．必要而不充分B ．充分不必要C ．充分必要D ．既不充分也不必要5.命题：①为了了解800名学生对学习某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；②线性回归方程y b x a ∧∧∧=+恒过样本中心(),x y ，且至少过一个样本点； ③在某项测量中，测量结果ξ服从正太分布()()22,0N σσ>，若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在()2,3内取值的概率为0.4；其中真命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．36.同时具有性质“⑴最小正周期是π；⑵图象关于直线6x π=对称；⑶在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数”的一个函数可以是（ ） A ．5sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ） A ．27 B ．30 C ．32 D ．368.在ABC 中，,33,3,6A AB ACD π===在边BC 上，且2CD DB =，则AD （ ）A ．19B ．21C ．5D ．279.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，没接至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．6种10.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线by x a=-的垂线，垂足为A 交双曲线左支于B点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2C ． 5D ．711.在菱形ABCD 中，60,3A AB =︒=，将ABD 折起到PBD 的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为（ ） A ．43πB ．32πC ．776πD ．772π12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,01421,14xx x f x x π⎧⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭ D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()7270127x m a a x a x a x -=+++的展开式中4x 的系数是-35，则127a a a ++= .14.设不等式组00x y x y y π+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图像与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内概率为 .15.已知12,F F 为222116x y a +=的左、右焦点，M 为椭圆上一点，则12MF F 内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则2a = .16.关于x 的方程2ln x x x a-=有唯一的解，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()231n n S a n N+=-∈，等差数列{}nb 满足11323,3b a b S ==+.⑴求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； ⑵设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18（本小题满分12分）2015年4月21日上午10时，省会首次启动重污染天气II 级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁）[)15,25[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75频数 5 10 15 10 55 赞成人数469634⑴完成被调查人员的频率分布直方图；19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，,AB AP E =为棱PD 的中点. ⑴证明：AE CD ⊥；⑵求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点21F F ，其离心率为21=e ，点P 为椭圆上的一个动点，21F PF ∆内切圆面积的最大值为34π. （1）求b a ,的值；（2）若D C B A 、、、是椭圆上不重合的四个点，且满足1111//,//,0F A FC F B F D AC BD ⋅=,求AC BD +的取值范围.21.（本小题满分12分）已知()ln 1mf x n x x =++（,m n 为实数），在1x =处的切线方程为20x y +-=. ⑴求()y f x =的单调区间；⑵若任意实数1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的上恒有()3222f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，20,10,PA PB BAC ==∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E . ⑴求证：AB PC PA AC ⋅=⋅； ⑵求AD AE ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=，与1C ，2C 各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=，这两个交点重合.⑴分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；⑵设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为11,A B ，当4πα=-，l 与1C ，2C 的交点分别为22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()22,f x x x a a R =---∈. ⑴当3a =时，解不等式()0f x >；⑵当(),2x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试高三理科数学答案1-12 ADBAB DDABC CC 13.1 14.28π 15.25 16.0a <或1a =17、⑴当1n =时，111231,1S a a =-∴=设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+⑵1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++① 234113572133333n n n T ++=++++②，由①-②得， 223n n n T +=-.18、⑴各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图⑵ξ的所有可能取值为：0,1,2,3()226422510615150104575C C P C C ξ==⋅=⋅=()211126464422225105104156243411045104575C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()212264442222510510415662221045104575C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⋅+⋅=()1244225106643104575C C P C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：ξ 0 1 2 3P1575 3475 2275 475所以ξ的数学期望是153422460123757575755E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19、⑴证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，所以CD ⊥面PAD ，由于AE ⊂面PAD ，所以有CD AE ⊥； ⑵依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系不妨设2AB AP ==，()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P点E 为棱PD 的中点，得()()()()0,1,1,0,1,1,2,2,0,2,0,2E AE BD PB ==-=-设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则0n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩不妨令1y =，可得()1,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以6cos ,3AE EF 〈〉=所以，直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值为63； ⑶向量()()()2,2,2,2,2,0,2,0,0CP AC AB =--== 由点M 在棱PC 上，设(),01CM CP λλ=≤≤故()12,22,2FM FC CM λλλ=+=--，由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=因此，()()312222204λλλ-⨯+-⨯=∴=，所以13PM MC =20、（1）当P 为椭圆上下顶点时，21F PF ∆内切圆面积取得最大值，设21F PF ∆内切圆半径为r,332,342=∴=r r ππ. r PF PF F F bc b F F S F PF )(212121212121++==⋅=∆3322a c 221⨯+=）（,化为)(332c a bc +=，又222,21c b a a c +==，联立解得32,2,4===b c a ..........4分 （2）∵满足0,//,//1111=⋅BD AC D F B F C F FA∴直线AC ，BD 垂直相交于点1F ,由（1）椭圆方程1121622=+y x ，)0,2(1-F . ①直线AC ，BD 有一条斜率不存在时，1486=+=+BD AC .②当AC 斜率存在且不为0时，设方程为),(),,(),2(2211y x C y x A x k y +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=11216)2(22y x x k y ，化为0481616)43(2222=-+++k x k x k .22212221434816,4316k k x x k k x x +-=+-=+∴.4110,1,11216822≤-<∴>-+=+∴t t t tt BD AC ，)14796[，∈+∴BD AC . 综上可得：BD AC +∴的取值范围是[14,796) .......12分 21、⑴()()'21mn fx xx =-++，由条件可得：()()'111,112,2f f m n ==∴==- ()()()()''2210021f x x f x f x xx ∴=-+>∴<∴+的减区间为()0,+∞，没有递增区间；⑵由⑴可知，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()11f =∴只需3221212t t at a t t t --≤∴≥-+对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立令()()()()22'2212111,21t t t g t t t g t t t t t-++=-+=--= ∴当112t ≤<时，()()'0,g t g x <单调递减，当12t <≤时，()()'0,g t g x >单调递增 而()()1202g g g t ⎛⎫-<∴⎪⎝⎭的最大值为()522g =∴只需55224a a ≥∴≥； ⑶由⑴可知，()f x 在(]0,1上单调递减，∴对任意的正整数n ，都有()111f f n ⎛⎫≥=⎪⎝⎭即：211ln 1121n n -≥+成立，整理可得：4+ln 2+1n n n ≥ 则有：48124ln12;ln 22;ln 32,,ln 22341n n n +≥+≥+≥+≥+以上各式相加可得：()124ln1ln 2ln 2231n n n n ⎛⎫++++++≥ ⎪+⎝⎭22、⑴PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=，又P ∠为公共角，,PABPCA AB PC PA AC ∴⋅=⋅⑵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，240,30PA PB PC BC ∴=⋅==又22290,900CAB AC AB BC ∠=︒∴+==又由⑴知125,65AB PAAC AB AC PC=∴==，连接EC ，则CAE EAB ∠=∠ ,,65125360AB AD ACEADB AD AE AB AC AE AC=⋅=⋅=⨯=23、⑴1C 是圆，2C 是椭圆.当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()1,0,,0a 因为这两点间的距离为2，所以3a = 当2πα=，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()0,1,0,b 因为这两点重合，所以1b =；⑵1C ，2C 的普通方程为22221,19x x y y +=+= 当4πα=时，射线l 与1C 交点1A 的横纵表是22x =，与2C 交点1B 的横坐标是'31010x = 当4πα=-时，射线l 与1C ，2C 的两个交点22,A B 分别与交点11,A B 关于x 轴对称，因此四边形1221A AB B 为梯形，故四边形1221A A B B 的面积为()()''22225x x x x +-=. 24、⑴()1,2353,2231,2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ 当2x >时，10x ->，即1x <，解得∅ 当322x ≤≤时，530x ->，即535323x x <∴≤< 当32x <时，10x ->即3112x x >∴<< 不等式解集为5|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； ⑵220222x x a x x a x a ---<⇒-<-⇒<-或23a x +>恒成立，即4a ≥.。
2016年河北省邯郸市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（C U A）∪B=（）A．{4} B．{2，3，4} C．{0，3，4} D．{0，2，3，4}2．若复数z满足3﹣i（z+1）=i，则z=（）A．﹣2+3i B．﹣2﹣3i C．2+3i D．2﹣3i3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=ln|x| B．y=cosx C．D．y=﹣x2+14．命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∀x∈R，x2+x+1＞0C．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≥05．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，] D．（1，]6．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．17．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）A．2 B．C．﹣ D．﹣38．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S7=35，a2+a3+a10=12，则S n的最大值为（）A．28 B．36 C．45 D．559．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种10．已知M（x0，y0）是曲线C：﹣y=0上的一点，F是C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线图是一个几何体的三视图，则此几何体外接球的表面积为（）A．25π B．25πC．50π D．50π12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，则a 的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x﹣）dx= ．14．已知||=2，||=4，⊥（），则向量与的夹角的余弦值是．15．如图为某小区100为居民2015年月平均用水量（单位：t）的频率分布直方图的一部分，据此可求这100位居民月平均用水量的中位数为吨．16．关于函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法：①周期为2π；②最小值为﹣；③在区间（0，）单调递增；④关于x=对称，其中正确的是（填上所有正确说法的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n﹣2（n∈N+）（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．18．△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足a2+ac=b2．（Ⅰ）求A的取值范围；（Ⅱ）若a=2，A=，求△ABC的面积．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，△PAB是等边三角形，∠ABC=60°，AB=2，PC=（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．20．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）=•e﹣ax（a＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．2016年河北省邯郸市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，则（C U A）∪B=（）A．{4} B．{2，3，4} C．{0，3，4} D．{0，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集、补集与并集的定义，进行计算即可．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={3，4}，∴C U A={0，4}，∴（C U A）∪B={0，3，4}．故选：C．2．若复数z满足3﹣i（z+1）=i，则z=（）A．﹣2+3i B．﹣2﹣3i C．2+3i D．2﹣3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，和利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由3﹣i（z+1）=i，得i（z+1）=3﹣i，∴z+1=，则z=﹣2﹣3i．故选：B．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=ln|x| B．y=cosx C．D．y=﹣x2+1【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：y=ln|x|是偶函数，则（0，+∞）上单调递增，不满足条件．y=cosx是偶函数，则（0，+∞）上不单调，不满足条件．是奇函数，则（0，+∞）上单调递减，不满足条件．y=﹣x2+1是偶函数，则（0，+∞）上单调递减，满足条件．故选：D4．命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0 B．∀x∈R，x2+x+1＞0C．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 D．∀x∈R，x2+x+1≥0【考点】命题的否定．【分析】特称命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是：把∃改为∀，其它条件不变，然后否定结论，变为一个全称命题．即“∀x∈R，x2+x+1＞0”．【解答】解：特称命题“∃x0∈R，x02+x0+1≤0”的否定是全称命题：“∀x∈R，x2+x+1＞0”．故选B．5．若直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．[，+∞）B．[，+∞）C．（1，] D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得渐近线的斜率的正值不大于2，由a，b，c 的关系和离心率公式，可得范围．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由直线y=2x与双曲线﹣=1没有公共点，可得≤2，即b≤2a，又e==≤=，但e＞1，可得1＜e≤．故选：D．6．已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则的最大值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．1【考点】简单线性规划．【分析】先画出平面区域D，进行数量积的运算即得z=2x+y﹣5，所以y=﹣2x+5+z，所以根据线性规划的方法求出z的最大值即可．【解答】解：表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，的=（2，1）•（x﹣2，y﹣1）=2x+y﹣5；∴y=﹣2x+5+z；∴5+z表示直线y=﹣2x+5+z在y轴上的截距，所以截距最大时z最大；如图所示，当该直线经过点A（2，2）时，截距最大，此时z最大；所以点（2，2）带人直线y=﹣2x+5+z即得z=1．故选：D．7．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S的值是（）A．2 B．C．﹣ D．﹣3【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=2017时不满足条件i≤2016，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=2，i=1满足条件i≤2016，S=﹣3，i=2满足条件i≤2016，S=﹣，i=3满足条件i≤2016，S=，i=4满足条件i≤2016，S=2，i=5…观察规律可知S的取值周期为4，由2016=504×4可得满足条件i≤2016，S=，i=2016满足条件i≤2016，S=2，i=2017不满足条件i≤2016，退出循环，输出S的值为2．故选：A．8．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S7=35，a2+a3+a10=12，则S n的最大值为（）A．28 B．36 C．45 D．55【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意和等差数列的求和公式和性质可得a4=5，a5=4，进而可得通项公式，可得数列前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，可得结论．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，S7=35，a2+a3+a10=12，∴S7=7a4=35，a2+a3+a10=3a5=12，∴a4=5，a5=4，∴公差d=a5﹣a4=﹣1，故a n=5﹣（n﹣4）=9﹣n，故数列的前8项为正数，第9项为0，从第10项开始为负数，故数列的前8或9项和最大为S9=9a5=36，故选：B．9．现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意1个，则恰有1个题目没有被这4为选手选中的情况有（）A．36种B．72种C．144种D．288种【考点】计数原理的应用．【分析】利用间接法，先确定4个选手无遗漏的选择，再去掉恰好2、3、4道题目被选的情况，即可得出结论．【解答】解：由题意，每个选手都有4种选择，所以4个选手无遗漏的选择是44种，其中恰好2道题目被选的有C42（C43A22+C42）=84、恰好3道未被选（四人选了同一题目，有4种）、恰好0道题未被选的（4个题目都被选，有A44=24种）．故共有256﹣84﹣4﹣24=144种．故选：C．10．已知M（x0，y0）是曲线C：﹣y=0上的一点，F是C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若＜0，则x0的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（﹣1，1）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可设M（x0，），（x0≠0），求得N的坐标，求出抛物线的焦点坐标，运用向量的数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由题意可设M（x0，），（x0≠0），由题意可得N（x0，0），又抛物线x2=2y的焦点F（0，），即有=（﹣x0，﹣），=（0，﹣），由＜0，即为（﹣）•（﹣）＜0，即有x02＜1且x0≠0），解得﹣1＜x0＜0且0＜x0＜1．故选：A．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线图是一个几何体的三视图，则此几何体外接球的表面积为（）A．25π B．25πC．50π D．50π【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，补充为长方体，长宽高分别为3，4，5，求出对角线长，可得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，补充为长方体，长宽高分别为3，4，5，其对角线长为=5，∴此几何体外接球的半径为∴外接球的表面积S=4π×（）2=50π．故选：C．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，则a 的取值范围是（）A．（0，） B．（0，） C．（，）D．（，1）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据条件先求出f（1）=0，即函数f（x）是周期为2的周期函数，然后根据奇偶性求出函数在一个周期内的图象，结合函数与方程之间的关系转化两个函数的交点个数问题，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：∵偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），∴令x=﹣1，得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），即f（1）=f（1）﹣f（1）=0，则f（1）=0，即对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1）=f（x），则函数f（x）是周期为2的周期函数，∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，∴f（1）=1+b=0，则b=﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）=x﹣1，若x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]时，则f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），则当x∈[﹣1，0]时，f（x）=x+1，由函数y=f（x）﹣log a（x+1）=0，得f（x）=log a（x+1），作出f（x）和g（x）=log a（x+1）在（0，+∞）上的图象若函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，则等价为两个函数f（x）和g（x）在（0，+∞）上恰好有三个交点，若a＞1，两个函数只有一个交点，不满足条件．若0＜a＜1，要使两个函数有三个交点，则点A（2，﹣1）则g（x）的图象的下方，B（4，﹣1）在g（x）的上方，即，即，即＜a＜，即实数a的取值范围是（，），故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x﹣）dx= 1﹣ln2 ．【考点】定积分．【分析】根据：积分公式化简求解∫（x﹣）dx=（x﹣lnx）|，利用牛顿莱布尼兹定理得出答案即可．【解答】解：∫（x﹣）dx=（x﹣lnx）|=2﹣ln2﹣1+ln1=1﹣ln2，故答案为：1﹣ln214．已知||=2，||=4，⊥（），则向量与的夹角的余弦值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由便可得出，进行数量积的运算便可得到，从而便可得出向量与夹角的余弦值．【解答】解：∵；∴；即=；∴；即向量与夹角的余弦值是．故答案为：．15．如图为某小区100为居民2015年月平均用水量（单位：t）的频率分布直方图的一部分，据此可求这100位居民月平均用水量的中位数为 2.02 吨．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.44×0.5=0.49＜0.5，0.49+0.5×0.5=0.74＞0.5，设中位数为a，则0.49+（a﹣2）×0.5=0.5，解得a=2.02，∴估计中位数是2.02．故答案为：2.02．16．关于函数f（x）=sin2x+sinx+cosx，以下说法：①周期为2π；②最小值为﹣；③在区间（0，）单调递增；④关于x=对称，其中正确的是①②④（填上所有正确说法的序号）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】①由f（x+2π）=f（x）即可得证；②换元法，设t=sinx+cosx，由三角函数知识可得t∈[﹣，]，且sin2x=t2﹣1，可得y=t2+t﹣1，由二次函数区间的最值可得．③由②利用二次函数的性质即可得解；④证明f（﹣x）=f（x），即可判断正误．【解答】解：①∵f（x+2π）=sin[2（x+2π）]+sin（x+2π）+cos（x+2π）=sin2x+sinx+cosx=f （x），∴函数周期为2π，故①正确；②设t=sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，∴t2=（sinx+cosx）2=1+sin2x，∴sin2x=t2﹣1，∴y=sin2x+sinx+cosx=t2﹣1+t=t2+t﹣1=（t+）2﹣，t∈[﹣，]，由二次函数可知，当t∈[﹣，﹣]时，函数y=t2+t﹣1单调递减，当t∈[﹣，]时，函数y=t2+t﹣1单调递增，∴当t=﹣时，函数取最小值y min=﹣，故②正确；③由②可知y=t2+t﹣1，t∈[﹣，]，故③错误；④∵f（﹣x）=sin[2（﹣x）]+sin（﹣x）+cos（﹣x）=sin（π﹣2x）+sinx+cosx=sin2x+sinx+cosx=f（x），∴函数关于x=对称，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．S n为数列{a n}的前n项和，S n=2a n﹣2（n∈N+）（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）通过S n=2a n﹣2与S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n≥2）作差，进而可知数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）得b n=3n×2n，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）依题意，S n=2a n﹣2，S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n≥2），两式相减得：a n=2a n﹣1，又∵S1=2a1﹣2，即a1=2，∴数列{a n}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n=2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）得b n=3n×2n，∴T n=3×2+6×22+9×23+…+3n×2n，2T n=3×22+6×23+…+3（n﹣1）×2n+3n×2n+1，两式相减得：﹣T n=3（2+22+23+…+2n）﹣3n×2n+1=3•﹣3n×2n+1=﹣3（n﹣1）2n+1﹣6，∴T n=6+3（n﹣1）2n+1．18．△ABC的内角A，B，C的对边a，b，c满足a2+ac=b2．（Ⅰ）求A的取值范围；（Ⅱ）若a=2，A=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由余弦定理得a2﹣b2=c2﹣2bccosA，由a2+ac=b2得a2﹣b2=﹣ac，故c2﹣2bccosA=﹣ac，即cosA=，因为a+c＞b，所以cosA，得出A的范围；（2）将A=和a=2分别代入a2+ac=b2和b2+c2﹣a2=2bccosA，联立方程组解出b，c，使用S=bcsinA求出面积．【解答】解：（1）由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，∴a2﹣b2=c2﹣2bccosA，又∵a2+ac=b2，∴a2﹣b2=﹣ac．∴c2﹣2bccosA=﹣ac，∴cosA=，∵a+c＞b，∴cosA．∴0＜A＜．（2）∵a2+ac=b2，∴4+2c=b2，∵b2+c2﹣a2=2bccosA，∴b2+c2﹣4=bc，联立方程组，解得b=2，c=4．S△ABC=bcsinA==2．19．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，△PAB是等边三角形，∠ABC=60°，AB=2，PC=（1）证明：平面PAB⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AB中点O，连结OP，OC，AC，推导出OP⊥AB，OP⊥OC，从而OP⊥面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OB，OC，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取AB中点O，连结OP，OC，AC，∵△PAB是等边三角形，∴OP=，且OP⊥AB，由题意知△ABC为等边三角形，且OC=，在△POC中，∵OC2+OP2=CP2，∴OP⊥OC，∴OP⊥面ABC，∵OP⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD．解：（2）以O为原点，OB，OC，OP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），P（0，0，），A（﹣1，0，0），D（﹣2，，0），设=（x，y，z）是平面PBC的法向量，=（﹣1，，0），=（﹣1，0，），则，取x=，得=（），设平面PCD的法向量=（a，b，c），=（0，，﹣），=（﹣2，，﹣），则，取b=1，得=（0，1，1）＜cos＜＞==，由图形得二面角B﹣PC﹣D的平面角为钝角，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为﹣．20．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．【考点】条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P （ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=，能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（ξ=1）=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×=，P（ξ=2）=++=，P（ξ=3）==，∴随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，则P（A）=++=，P（AB）==，P（B|A）===．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦点和一个顶点在圆x2+y2=4上．（1）求椭圆的方程；（2）已知点P（﹣3，2），若斜率为1的直线l与椭圆G相交于A、B两点，试探讨以AB为底边的等腰三角形ABP是否存在？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，由此能求出椭圆G的方程．（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆G的右焦点为F（c，0），由题意可得：b=c，且b2+c2=8，∴b2=c2=4，故a2=b2+c2=8，∴椭圆G的方程为（Ⅱ）以AB为底的等腰三角形ABP存在．理由如下设斜率为1的直线l的方程为y=x+m，代入中，化简得：3x2+4mx+2m2﹣8=0，①因为直线l与椭圆G相交于A，B两点，∴△=16m2﹣12（2m2﹣8）＞0，解得﹣2，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．③于是AB的中点M（x0，y0）满足=﹣，．已知点P（﹣3，2），若以AB为底的等腰三角形ABP存在，则k PM=﹣1，即=﹣1，④，将M（﹣）代入④式，得m=3∈（﹣2，2）满足②此时直线l的方程为y=x+3．22．已知函数f（x）=•e﹣ax（a＞0）．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=处的切线方程；（2）讨论方程f（x）﹣1=0根的个数．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=2时，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．（2）由f（x）﹣1=0得f（x）=1，求函数的导数f′（x），判断函数的单调性，利用函数单调性和最值之间的关系进行判断即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=•e﹣2x．f（）=3e﹣1，又f′（x）=•e﹣2x，∴f′（）=2e﹣1，故所求切线方程为y﹣3e﹣1=2e﹣1（x﹣），即y=x+．（Ⅱ）方程f（x）﹣1=0即f（x）=1．f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），当x＜﹣1或x＞1时，易知f（x）＜0，故方程f（x）=1无解；故只需考虑﹣1≤x≤1的情况，f′（x）=•e﹣2x，当＜a≤2时，f′（x）≥0，所以f（x）区间[﹣1，1）上是增函数，又易知f（0）=1，所以方程f（x）=1只有一个根0；当a＞2时，由f′（x）=0可得x=±，且0＜＜1，由f′（x）＞0可得﹣1≤x＜﹣或＜x＜1，由f′（x）＜0可得﹣＜x＜，所以f（x）单调增区间为[﹣1，﹣）和（，1）上是增函数，f（x）单调减区间为（﹣，），由上可知f（）＜f（0）＜f（﹣），即f（）＜1＜f（﹣），在区间（﹣，）上f（x）单调递减，且f（0）=1，所以方程f（x）=1有唯一的根x=0；在区间[﹣1，﹣）上f（x）单调递增，且f（﹣1）=0＜1，f（﹣）＞1，所以方程f（x）=1存在唯一的根0在区间（，1）上，由f（）＜1，x→1时，f（x）→+∞，所以方程f（x）=1有唯一的根；综上所述：当0＜a≤2时，方程f（x）=1有1个根；当a＞2时，方程f（x）=1有3个根．。
邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|11,|01x M x x N x x ⎧⎫=-<<=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N ⋂=（ ） A ．{}|01x x ≤< B ．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤ 2.复数()1z i i =+在复平面内所对应点的坐标为（ ） A ．()1,1 B ．()1,1-- C ．()1,1- D ．()1,1- 3.如图所示程序框图中，输出S =（ ） A ．45 B ．-55 C ．-66 D ．664.“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ）条件.A ．必要而不充分B ．充分不必要C ．充分必要D ．既不充分也不必要5.命题：①为了了解800名学生对学习某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；②线性回归方程y b x a ∧∧∧=+恒过样本中心(),x y ，且至少过一个样本点；③在某项测量中，测量结果ξ服从正太分布()()22,0N σσ>，若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在()2,3内取值的概率为0.4； 其中真命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．36.同时具有性质“⑴最小正周期是π；⑵图象关于直线6x π=对称；⑶在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数”的一个函数可以是（ ） A ．5sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2cos 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ） A ．27 B ．30 C ．32 D ．368.在ABC 中，,3,6A AB ACD π===在边BC 上，且2CD DB =，则AD （ ）A ．5 D ．9.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，没接至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种B ．30种C ．24种D ．6种10.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作直线b y x a =-的垂线，垂足为A 交双曲线左支于B 点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2 C ．11.在菱形ABCD 中，60,A AB =︒=ABD 折起到PBD 的位置，若二面角P BD C --的大小为23π，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为（ ）A ．43π B．2 C．6 D．212.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,01421,14xx x f x x π⎧⎛⎫-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭ D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知()7270127x m a a x a x a x -=+++ 的展开式中4x 的系数是-35，则127a a a ++= .14.设不等式组00x y x y y π+≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图像与x 轴所围成的区域为N ，向M 内随机投一个点，则该点落在N 内概率为 .15.已知12,F F 为222116x y a +=的左、右焦点，M 为椭圆上一点，则12MF F 内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则2a = .16.关于x 的方程2ln x x x a-=有唯一的解，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()231n n S a n N +=-∈，等差数列{}n b 满足11323,3b a b S ==+.⑴求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；⑵设3nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18（本小题满分12分）2015年4月21日上午10时，省会首次启动重污染天气II 级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：⑴完成被调查人员的频率分布直方图；19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，,AB AP E =为棱PD 的中点.⑴证明：AE CD ⊥；⑵求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；⑶若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PMMC的值，若不存在，说明理由.20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点21F F ，其离心率为21=e ，点P 为椭圆上的一个动点，21F PF ∆内切圆面积的最大值为34π. （1）求b a ,的值；（2）若D C B A 、、、是椭圆上不重合的四个点，且满足1111//,//,0F A FC FB FD AC BD ⋅=,求AC BD + 的取值范围. 21.（本小题满分12分）已知()ln 1mf x n x x =++（,m n 为实数），在1x =处的切线方程为20x y +-=.⑴求()y f x =的单调区间；⑵若任意实数1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的上恒有()3222f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，20,10,PA PB BAC ==∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E . ⑴求证：AB PC PA AC ⋅=⋅； ⑵求AD AE ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=，与1C ，2C 各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2πα=，这两个交点重合.⑴分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值； ⑵设当4πα=时，l 与1C ，2C 的交点分别为11,A B ，当4πα=-，l 与1C ，2C 的交点分别为22,A B ，求四边形1221A A B B 的面积.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()22,f x x x a a R =---∈. ⑴当3a =时，解不等式()0f x >；⑵当(),2x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试高三理科数学答案1-12 ADBAB DDABC CC 13.1 14.28π15.25 16.0a <或1a = 17、⑴当1n =时，111231,1S a a =-∴=设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=()31321n b n n ∴=+-⨯=+⑵1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++ ① 234113572133333n n n T ++=++++ ②，由①-②得， 223n n n T +=-.18、⑴各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图⑵ξ的所有可能取值为：0,1,2,3()226422510615150104575C C P C C ξ==⋅=⋅=()211126464422225105104156243411045104575C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()212264442222510510415662221045104575C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⋅+⋅=()1244225106643104575C C P C C ξ==⋅=⋅=所以ξ的分布列是：所以ξ的数学期望是0123757575755E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19、⑴证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AD CD ⊥，所以CD ⊥面PAD ，由于AE ⊂面PAD ，所以有CD AE ⊥； ⑵依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系不妨设2AB AP ==，()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P点E 为棱PD 的中点，得()()()()0,1,1,0,1,1,2,2,0,2,0,2E AE BD PB ==-=-设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 不妨令1y =，可得()1,1,1n = 为平面PBD 的一个法向量，所以cos ,3AE EF 〈〉=所以，直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值为3⑶向量()()()2,2,2,2,2,0,2,0,0CP AC AB =--==由点M 在棱PC 上，设(),01CM CP λλ=≤≤故()12,22,2FM FC CM λλλ=+=--，由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=因此，()()312222204λλλ-⨯+-⨯=∴=，所以13PM MC = 20、（1）当P 为椭圆上下顶点时，21F PF ∆内切圆面积取得最大值，设21F PF ∆内切圆半径为r,332,342=∴=r r ππ. r PF PF F F bc b F F S F PF )(212121212121++==⋅=∆3322a c 221⨯+=）（,化为)(332c a bc +=，又222,21c b a a c +==，联立解得32,2,4===b c a ..........4分（2）∵满足0,//,//1111=⋅F F F∴直线AC ，BD 垂直相交于点1F ,由（1）椭圆方程1121622=+y x ，)0,2(1-F . ①直线AC ，BD1486=+=.②当AC 斜率存在且不为0时，设方程为),(),,(),2(2211y x C y x A x k y +=，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=11216)2(22y x x k y ，化为0481616)43(2222=-+++k x k x k .22212221434816,4316kk x x k k x x +-=+-=+∴.4110,1,11216822≤-<∴>-+=t t t tt，)14796[，.综上可得：[14,796) .......12分 21、⑴()()'21mn f x xx =-++，由条件可得：()()'111,112,2f f m n ==∴==- ()()()()''2210021f x x f x f x xx ∴=-+>∴<∴+ 的减区间为()0,+∞，没有递增区间；⑵由⑴可知，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()11f =∴只需3221212t t at a t t t --≤∴≥-+对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立令()()()()22'2212111,21t t t g t t t g t t t t t -++=-+=--=∴当112t ≤<时，()()'0,g t g x <单调递减，当12t <≤时，()()'0,g t g x >单调递增 而()()1202g g g t ⎛⎫-<∴⎪⎝⎭的最大值为()522g =∴只需55224a a ≥∴≥； ⑶由⑴可知，()f x 在(]0,1上单调递减，∴对任意的正整数n ，都有()111f f n ⎛⎫≥=⎪⎝⎭即：211ln 1121n n -≥+成立，整理可得：4+ln 2+1n n n ≥ 则有：48124ln12;ln 22;ln 32,,ln 22341nn n +≥+≥+≥+≥+ 以上各式相加可得：()124ln1ln 2ln 2231n n n n ⎛⎫++++++≥⎪+⎝⎭22、⑴PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=，又P ∠为公共角，,PAB PCA AB PC PA AC ∴⋅=⋅⑵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，240,30PA PB PC BC ∴=⋅== 又22290,900CAB AC AB BC ∠=︒∴+==又由⑴知AB PAAC AB AC PC=∴==EC ，则CAE EAB ∠=∠,,360AB ADACE ADB AD AE AB AC AE AC=⋅=⋅==23、⑴1C 是圆，2C 是椭圆.当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()1,0,,0a 因为这两点间的距离为2，所以3a = 当2πα=，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()0,1,0,b 因为这两点重合，所以1b =；- 11 - ⑵1C ，2C 的普通方程为22221,19x x y y +=+= 当4πα=时，射线l 与1C 交点1A的横纵表是2x =，与2C 交点1B的横坐标是'10x = 当4πα=-时，射线l 与1C ，2C 的两个交点22,A B 分别与交点11,A B 关于x 轴对称，因此四边形1221A A B B 为梯形，故四边形1221A A B B 的面积为()()''22225x x x x +-=. 24、⑴()1,2353,2231,2x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ 当2x >时，10x ->，即1x <，解得∅ 当322x ≤≤时，530x ->，即535323x x <∴≤< 当32x <时，10x ->即3112x x >∴<< 不等式解集为5|13x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； ⑵220222x x a x x a x a ---<⇒-<-⇒<-或23a x +>恒成立，即4a ≥.。
