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(g(x) HO).第三章 导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算本节主要包括2个知识点：1•导数的概念及运算； 2.导数的儿何意义.突破点（一）导数的概念及运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1. 瞬时速度和瞬时加速度‘ ‘ △ S △s⑴瞬时速度：对于tE [心，to+ A 刃时的平均速度v =R:,当A f-*o 时，v 趋 近于一个常数，这个常数就是t=t.的瞬时速度.-------------------------------------------------- △ V -- △ V （2）瞬时加速度：对于tE [ to, to+ A 刃时的平均加速度a =冬〒，当A r-*0时，a =冬〒趋近于一个常数，这个常数就是t=h 的瞬时加速度.2. 函数y=f （x ）在/=*）处的导数A / 设函数尸心）在区|'可（臼，b ）上有定义，心b ）,若厶/无限趋近于0吋，比值二函数fd ）在处的导数，记作尸（心）.3. 函数厂（0的导函数若函数f （x ）在区间（曰，方）内任意一点都可导,则代方在各点的导数也随着自变量丸 的变化而变化，因而也是自变量/的函数,该函数称为fd ）的导函数,记作尸3.4. 基本初等函数的求导公式原函数a X R (日>0,且 N HI)log^(c?>0,且占1)X eIn x sin x cos X导函数a xaln a1 x\x\ aeA丄 Xcos X — sin x5.导数运算法则(1) [fd)±g3]‘ =f (方 ±呂’ 3；(2) [f (动 g(x) ]' =f (x)g(x)+f(x)g‘(力；(3) [g)]‘ =Cf C Y )(C 为常数)；f Xo+ A X — f XoA T无限趋近于 个常数昇,则称f （x ）在X=Ab 处可导,并称常数A 为In xI IIx — x fIn x= 2X一 • x~ln x x1 —In x= 2 ・ Xsin x ' cos x —sin xcos xcos"cos xcos x —sin x —sin /coshIICOS X(4)/ =(3VT — (2')‘ +(e)z= (3・ e”+3W)' —(2・ = 3A (ln 3)・ e'+3 e A -2v ln 2 = (ln 3+1) • (3e)J-2'ln 2.［方法技巧］导数的运算方法考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”"一已知函数的解析式求导数［例1］求下列函数的导数:(3)y=tan x\ ⑷ y=3e x -2v +e.(3)/pin x (cos x.(2)/(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导.(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导.(4)根式形式：先化为分数指数幕的形式，再求导.(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.二导数运算的应用［例2］(1) (2017 •济宁二模)已知函数f3=/(2 017+ln 方，F仏)=2 018,则Xa= ________ .(2)已知£(力=*#+2/尸(2 017) +2 0171n %,则f' (1)= .［解析］(1)由题意可知尸(^) = 2 017 + ln x+x• ~=2 018 +In x.由尸(%o) =2 018, x得］n Ao=O,解得Xo=［.9 ni7(2)由题意得尸(力=才+2尸(2 017)+ ------------- ,2017所以尸(2 017)=2 017 + 2尸(2 017)+亍而■即f (2 017) =-(2 017 + 1)=-2 018.故尸(1)=1+2X (-2 018)+2 017 = -2 018.［答案］仃)1⑵-2 018［方法技巧］能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.［考点二 1 (2018 •太仓中学月考)已知£(A) = sin x+cos “ iE fi(x)= f i(x),石3 =f 2(方，…，力(劝n-dx)且刀22),则彳£+彳£------------ _________________ •解析：fig = f i(x)=cosx—sin “ fi(x) = f 2(A r) = —sin cos x, f\3=f‘ 3(方= sin cos x, =f 4(x)=sin x+cos x.故周期为4,前四项和为0,所以原式=答案：12.［考点X］（2018 •徐州期初检测）记定义在R上的函数y =f（0的导函数为f （0.如果存在刃£3,方］,使得flS = F（心）。
§3.1导数的概念及运算考纲解读2017),y=x,y=,y=x分析解读本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为5分左右,属于容易题.五年高考考点一导数的概念与几何意义1.(2016山东,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x3答案 A2.(2014陕西,10,5分)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A.y=x3-x2-xB.y=x3+x2-3xC.y=x3-xD.y=x3+x2-2x答案 A3.(2017天津,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案 14.(2017课标全国Ⅰ,14,5分)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=05.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x≤0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是.答案y=2x6.(2015课标Ⅰ,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a= .答案 17.(2015课标Ⅱ,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .答案88.(2014江西,11,5分)若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.答案(e,e)教师用书专用(9—15)9.(2014广东,11,5分)曲线y=-5e x+3在点(0,-2)处的切线方程为.答案5x+y+2=010.(2013江西,11,5分)若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α= .答案 211.(2013广东,12,5分)若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .答案12.(2015山东,20,13分)设函数f(x)=(x+a)ln x,g(x)=.已知曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.解析(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为2,所以f '(1)=2,又f '(x)=ln x++1,所以a=1.(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-,当x∈(0,1]时,h(x)<0.又h(2)=3ln 2-=ln 8->1-1=0,所以存在x0∈(1,2),使得h(x0)=0.因为h'(x)=ln x++1+,所以当x∈(1,2)时,h'(x)>1->0,当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,所以当x∈(1,+∞)时,h(x)单调递增.所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,且x∈(0,x0)时, f(x)<g(x),x∈(x0,+∞)时, f(x)>g(x),所以m(x)=当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],m(x)≤0;若x∈(1,x0),由m'(x)=ln x++1>0,可知0<m(x)≤m(x0);故m(x)≤m(x0).当x∈(x0,+∞)时,由m'(x)=,可得x∈(x0,2)时,m'(x)>0,m(x)单调递增;x∈(2,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,可知m(x)≤m(2)=,且m(x0)<m(2).综上可得函数m(x)的最大值为.13.(2014山东,20,13分)设函数f(x)=aln x+,其中a为常数.(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解析(1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞),此时f '(x)=,可得f '(1)=,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f '(x)=+=.当a≥0时,f '(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).①当a=-时,Δ=0,f '(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.③当-<a<0时,Δ>0,设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,则x1=,x2=.由于x1==>0,所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)单调递减,x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f '(x)>0,函数f(x)单调递增,x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f '(x)<0,函数f(x)单调递减.综上可得:当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;当-<a<0时,f(x)在,上单调递减,在上单调递增.14.(2014北京,20,13分)已知函数f(x)=2x3-3x.(1)求f(x)在区间[-2,1]上的最大值;(2)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围;(3)问过点A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论)解析(1)由f(x)=2x3-3x得f '(x)=6x2-3.令f '(x)=0,得x=-或x=.因为f(-2)=-10, f=, f=-, f(1)=-1,所以f(x)在区间[-2,1]上的最大值为f=.(2)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0),则y0=2-3x0,且切线斜率为k=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0.设g(x)=4x3-6x2+t+3,则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.g'(x)=12x2-12x=12x(x-1).g(x)与g'(x)的变化情况如下表:所以,g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值.当g(0)=t+3≤0,即t≤-3时,此时g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点. 当g(1)=t+1≥0,即t≥-1时,此时g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有1个零点,所以g(x)至多有2个零点. 当g(0)>0且g(1)<0,即-3<t<-1时,因为g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点.由于g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调,所以g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点. 综上可知,当过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(-3,-1).(3)过点A(-1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切;过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切;过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切.15.(2013北京,18,13分)已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.(1)若曲线y=f(x)在点(a, f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.解析由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f '(x)=x(2+cos x).(1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,所以f '(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).解得a=0,b=f(0)=1.(2)令f '(x)=0,得x=0.f(x)与f '(x)的情况如下:所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,所以f(0)=1是f(x)的最小值.当b≤1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;当b>1时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b,所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b.由于函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点. 综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+∞).考点二导数的运算1.(2016天津,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)e x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为.答案 32.(2015天津,11,5分)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数, f '(x)为f(x)的导函数.若f '(1)=3,则a的值为.答案 3三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一导数的概念与几何意义1.(2018广东佛山一中期中考试,11)已知f(x)=(x+a)e x的图象在x=-1与x=1处的切线互相垂直,则a=( )A.-1B.0C.1D.2答案 A2.(2017四川名校一模,6)已知函数f(x)的图象如图, f '(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是( )A.0<f '(2)<f '(3)<f(3)-f(2)B.0<f '(3)<f '(2)<f(3)-f(2)C.0<f '(3)<f(3)-f(2)<f '(2)D.0<f(3)-f(2)<f '(2)<f '(3)答案 C3.(2017湖北百所重点高中联考,4)已知函数f(x+1)=,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的斜率为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 A4.(2018福建六校联考,13)曲线y=e x-e在A(1,0)处的切线方程是.答案y=ex-e5.(2018河北“名校联盟”高三教学质量监测,16)设函数y=f(x)在其图象上任意一点(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(3-6x0)(x-x0),且f(3)=0,则不等式≥0的解集为.答案(-∞,0)∪(0,1]∪(3,+∞)6.(2017湖南衡阳八中期中,14)曲线f(x)=xe x在点(1,f(1))处的切线的斜率是.答案2e7.(2017广东韶关六校联考,14)已知函数f(x)=ln x-ax2,且曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率是-,则a= .答案8.(2016北京东城期中,16)若过曲线f(x)=xln x上的点P的切线斜率为2,则点P的坐标为.答案(e,e)9.(人教A选1—1,三,2,B1,变式)已知函数f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,则a= ,切线方程为.答案;x-2ey+e2=0考点二导数的运算10.(2018福建福安一中测试,6)已知f(x)=e-x+ex的导函数为f '(x),则f '(1)=( )A.e-B.e+C.1+D.0答案 A11.(2018福建福州八县联考,11)已知函数f(x)的导函数是f '(x),且满足f(x)=2xf '(1)+ln,则f(1)=( )A.-eB.2C.-2D.e答案 B12.(2017山西名校联考,3)若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为( )A.f(x)=3cos xB.f(x)=x3+x2C.f(x)=1+sin 2xD.f(x)=e x+x答案 C13.(2016河北衡水中学二调,10)若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为( )A.1B.C.D.答案 BB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:55分时间:50分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2018福建福州八县联考,9)函数f(x)=4x3-6x2+a的极大值为6,那么f(a-5)的值是( )A.6B.5C.4D.3答案 C2.(2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,10)设函数f(0)(x)=sin x,定义f(1)(x)=f '[f(0)(x)], f(2)(x)=f '[f(1)(x)],……, f(n)(x)=f '[f(n-1)(x)],则f(1)(15°)+f(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(2 017)(15°)的值是( )A. B. C.0 D.1答案 A3.(2016江西赣中南五校2月第一次联考,11)已知函数f n(x)=x n+1,n∈N的图象与直线x=1交于点P,若图象在点P 处的切线与x轴交点的横坐标为x n,则log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012的值为( )A.-1B.1-log2 0132 012C.-log2 0132 012D.1答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)4.(2017山西名校联考,16)设函数f(x)=且f '(-1)=f '(1),则当x>0时,f(x)的导函数f '(x)的极小值为.答案 25.(2017天津红桥期中联考,16)若曲线f(x)=ax5+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案(-∞,0)三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2018广东惠州一调,21)设函数f(x)=.(1)求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;(2)当x≥1时,不等式f(x)-≥恒成立,求a的取值范围.解析(1)根据题意可得,f(e)=,f '(x)=,所以f '(e)==-,所以曲线在点(e,f(e))处的切线方程为y-=-(x-e),即x+e2y-3e=0.(2)根据题意可得,f(x)--=≥0在x≥1时恒成立,令g(x)=ln x-a(x2-1)(x≥1),所以g'(x)=-2ax,当a≤0时,g'(x)>0,所以函数y=g(x)在[1,+∞)上单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,所以不等式f(x)-≥成立,故a≤0符合题意;当a>0时,令-2ax=0,解得x=(舍负),令=1,解得a=,①当0<a<时,>1,所以在上,g'(x)>0,在上,g'(x)<0,所以函数y=g(x)在上单调递增,在上单调递减,g=ln-a=-ln a-+a,令h(a)=-ln a-+a,则h'(a)=-++1=,易知h'(a)>0恒成立,又0<a<, 所以h(a)<h=-ln-2+=ln 2-<0,所以存在g<0,所以0<a<不符合题意;②当a≥时,≤1,g'(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函数y=g(x)在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(1)=0,显然a≥不符合题意.综上所述,a的取值范围为{a|a≤0}.7.(2017皖南八校12月联考,21)已知函数f(x)=e x-ax2-2ax-1.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;(2)当x>0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=e x-x2-2x-1,f(-1)=,所以切点坐标为,f '(x)=e x-2x-2,所以f '(-1)=,故曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-=[x-(-1)],即y=x+.(2)对f(x)=e x-ax2-2ax-1求导得f '(x)=e x-2ax-2a,令g(x)=f '(x)=e x-2ax-2a(x>0),则g'(x)=e x-2a(x>0).①当2a≤1,即a≤时,g'(x)=e x-2a>1-2a≥0,所以g(x)=f '(x)=e x-2ax-2a在(0,+∞)上为增函数,所以g(x)>g(0)=1-2a≥0,则f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)>f(0)=1-0-0-1=0,故a≤时符合题意.②当2a>1,即a>时,令g'(x)=e x-2a=0,得x=ln 2a>0,当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表,当x∈(0,ln 2a)时,g(x)<g(0)=1-2a<0,即f '(x)<0.所以f(x)在(0,ln 2a)上为减函数,所以f(x)<f(0)=0,与条件矛盾,故舍去.综上,a的取值范围是.8.(2017河南新乡第一次调研,20)已知函数f(x)=e x-x2+2ax.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=e x-x2+2x,f '(x)=e x-2x+2,∴f '(1)=e,f(1)=e+1,∴所求切线方程为y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0.(2)f '(x)=e x-2x+2a,∵f(x)在R上单调递增,∴f '(x)≥0在R上恒成立,∴a≥x-在R上恒成立.令g(x)=x-,则g'(x)=1-,令g'(x)=0,得x=ln 2,∵在(-∞,ln 2)上,g'(x)>0,在(ln 2,+∞)上,g'(x)<0,∴g(x)在(-∞,ln 2)上单调递增,在(ln 2,+∞)上单调递减,∴g(x)max=g(ln 2)=ln 2-1,∴a≥ln 2-1,∴实数a的取值范围为[ln 2-1,+∞).C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 求函数的导数的方法1.(2018河南许昌、平顶山联考,3)已知f(x)是偶函数,在(-∞,0)上满足xf '(x)>0恒成立,则下列不等式成立的是( )A.f(-3)<f(4)<f(-5)B.f(4)<f(-3)<f(-5)C.f(-5)<f(-3)<f(4)D.f(4)<f(-5)<f(-3)答案 A2.(2017辽宁大连期中联考,6)已知函数f(x)=x2 008,则f '=( )A.0B.1C.2 006D.2 007答案 B方法2 利用导数的几何意义求曲线的切线方程3.(2018河南天一大联考,10)已知f(x)是定义在R上的单调函数,满足f[f(x)-e x]=1,则曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为( )A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1答案 A4.(2016辽宁实验中学分校期中,20)已知函数f(x)=x3-x2+bx+a(a,b∈R),其导函数f '(x)的图象过原点.(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程;(2)若存在x<0,使得f '(x)=-9,求a的最大值;解析(1)f '(x)=x2-(a+1)x+b,由题意得f '(0)=0,故b=0.所以f '(x)=x(x-a-1).当a=1时,f(x)=x3-x2+1,f '(x)=x(x-2),故f(3)=1,f '(3)=3.故函数f(x)的图象在x=3处的切线方程为y-1=3(x-3),即3x-y-8=0.(2)由f '(x)=-9,得x(x-a-1)=-9.当x<0时,-a-1=-x-=(-x)+≥2=6,所以a≤-7.当且仅当x=-3时,a=-7,故a的最大值为-7.。
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第四节导数与函数的综合问题A组基础题组1。
若某商品的年利润y(万元)与年产量x（百万件）的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0），则获得最大年利润时的年产量为( )A。
1百万件B。
2百万件C。
3百万件 D.4百万件2.（2014课标Ⅰ,12,5分）已知函数f（x）=ax3—3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0,且x0>0，则a的取值范围是( ）A。
（2，+∞）B.(1，+∞）C.(—∞，-2）D.(-∞，-1）3。
(2016北京朝阳期中）已知函数f(x）=aln x+—（a+1)x.(1)当a>0时，求函数f（x）的单调区间；(2）当a=-1时，证明f（x)≥.4.（2018北京海淀期中）已知函数f（x）=x3-x，g(x）=2x-3。
(1)求曲线y=f（x)在点(1， f(1))处的切线方程;（2)求函数f（x）在[0,2］上的最大值；（3)求证：存在唯一的x0，使得f(x0)=g（x0）.5。
（2016北京海淀二模)已知f(x）=x3+ax2-a2x-1，a>0。
(1）当a=2时，求函数f(x)的单调区间;（2）若关于x的不等式f(x）≤0在［1,+∞)上有解，求实数a的取值范围；(3）若存在x0既是函数f(x）的零点，又是函数f(x）的极值点，请写出此时a的值。
2019-2020年高三数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数的综合应用夯基提能作业本理1.(xx山东枣庄一模,10)设函数f(x)在R上存在导数f '(x),∀x∈R,有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上, f '(x)<x,若f(4-m)-f(m)≥8-4m,则实数m的取值范围为( )A.[-2,2]B.[2,+∞)C.[0,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)2.(xx安徽A10联盟3月模拟,12)已知函数f(x)=-k,若x=2是函数f(x)的唯一一个极值点,则实数k的取值范围为( )A.(-∞,e]B.[0,e]C.(-∞,e)D.[0,e)3.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应定为.4.(xx北京,19,13分)设函数f(x)=-kln x,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.5.(xx天津,20,14分)已知函数f(x)=nx-x n,x∈R,其中n∈N*,且n≥2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证:|x2-x1|<+2.B组提升题组6.设函数f(x)=ae x(x+1)(其中e=2.718 28…),g(x)=x2+bx+2,已知它们的图象在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)求函数f(x)在[t,t+1](t>-3)上的最小值;(3)判断函数F(x)=2f(x)-g(x)+2的零点个数.7.设f(x)=+xln x,g(x)=x3-x2-3.(1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;(2)如果对任意的s,t∈都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.答案全解全析A组基础题组1.B 令g(x)=f(x)-x2(x∈R),∵g(-x)+g(x)=f(-x)-x2+f(x)-x2=0,∴函数g(x)为奇函数.∵x∈(0,+∞)时,g'(x)=f '(x)-x<0,故函数g(x)在(0,+∞)上是减函数,可知g(x)在R上是减函数,∴f(4-m)-f(m)=g(4-m)+(4-m)2-g(m)-m2=g(4-m)-g(m)+8-4m≥8-4m,∴g(4-m)≥g(m),∴4-m≤m,解得m≥2,故选B.2.A f '(x)=-k=(x>0).设g(x)=,则g'(x)=,则g(x)在(0,1)内单调减,在(1,+∞)内单调增.∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为g(1)=e,结合g(x)=与y=k的图象可知,要满足题意,只需k≤e,选A.3.答案40解析易知y'=x2-39x-40.令y'=x2-39x-40=0,得x=-1(舍去)或x=40,当0<x<40时,y'<0;当x>40时,y'>0,所以当x=40时,y有最小值.4.解析(1)由f(x)=-kln x(k>0)得f '(x)=x-=.由f '(x)=0解得x=.f(x)与f '(x)在区间(0,+∞)上的情况如下表:所以, f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞); f(x)在x=处取得极小值f()=.(2)证明:由(1)知, f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以≤0,从而k≥e.当k=e时, f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点.当k>e时, f(x)在区间(0,)上单调递减,且f(1)=>0, f()=<0,所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点. 综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.5.解析(1)由f(x)=nx-x n,可得f '(x)=n-nx n-1=n(1-x n-1),其中n∈N*,且n≥2.下面分两种情况讨论:①当n为奇数时.令f '(x)=0,解得x=1,或x=-1.当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:所以, f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)内单调递增.②当n为偶数时.当f '(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f '(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.所以, f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=, f '(x0)=n-n2.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f '(x0)(x-x0),即g(x)=f '(x0)(x-x0).令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f '(x0)(x-x0),则F'(x)=f '(x)-f '(x0).由于f '(x)=-nx n-1+n在(0,+∞)上单调递减,故F'(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为F'(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F'(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)=0,即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).(3)证明:不妨设x1≤x2.由(2)知g(x)=(n-n2)(x-x0).设方程g(x)=a的根为x'2,可得x'2=+x0.当n≥2时,g(x)在(-∞,+∞)上单调递减.又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x'2),可得x2≤x'2.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx.当x∈(0,+∞)时, f(x)-h(x)=-x n<0,即对于任意的x∈(0,+∞), f(x)<h(x).设方程h(x)=a的根为x'1,可得x'1=.因为h(x)=nx在(-∞,+∞)上单调递增,且h(x'1)=a=f(x1)<h(x1),因此x'1<x1.由此可得x2-x1<x'2-x'1=+x0.因为n≥2,所以2n-1=(1+1)n-1≥1+=1+n-1=n,故2≥=x0.所以,|x2-x1|<+2.B组提升题组6.解析(1)f '(x)=ae x(x+2),g'(x)=2x+b.由题意,两函数图象在x=0处有相同的切线,∴f '(0)=2a,g'(0)=b.∴2a=b, f(0)=a=g(0)=2,∴a=2,b=4.∴f(x)=2e x(x+1),g(x)=x2+4x+2.(2)由(1)得f '(x)=2e x(x+2).由f '(x)>0得x>-2,由f '(x)<0得x<-2,∴f(x)在(-2,+∞)上单调递增,在(-∞,-2)上单调递减.∵t>-3,∴t+1>-2.当-3<t<-2时, f(x)在[t,-2]上单调递减,在[-2,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(-2)=-2e-2.当t≥-2时, f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=2e t(t+1).∴当-3<t<-2时, f(x)min=-2e-2;当t≥-2时, f(x)min=2e t(t+1).(3)由(1)得F(x)=4e x(x+1)-x2-4x.求导得F'(x)=4e x(x+1)+4e x-2x-4=2(x+2)·(2e x-1),由F'(x)>0得x>-ln 2或x<-2,由F'(x)<0得-2<x<-ln 2,所以F(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减,故F(x)极小值=F(-ln 2)=2+2ln 2-(ln 2)2=2+ln 2(2-ln 2)>0,F(-4)=4e-4×(-4+1)-16+16=-12e-4<0,故函数F(x)=2f(x)-g(x)+2只有一个零点.7.解析(1)存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等价于[g(x1)-g(x2)]max≥M,因为g(x)=x3-x2-3,所以g'(x)=3x2-2x=3x,列表分析如下:x 0 2 g'(x) - 0 +g(x) -3 递减- 递增 1 由上表可知在区间[0,2]上,g(x)min=g=-,g(x)max=g(2)=1,所以[g(x1)-=g(x)max-g(x)min=,所以满足条件的最大整数M=4.(2)对任意的s,t∈都有f(s)≥g(t)成立等价于在区间上,函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值.由(1)知,在区间上,g(x)的最大值为g(2)=1.所以在区间上, f(x)min≥1.又因为f(1)=a,所以a≥1.下面证当a≥1时,在区间上, f(x)≥1恒成立.当a≥1且x∈时,f(x)=+xln x≥+xln x,记h(x)=+xln x,则h'(x)=-+ln x+1,h'(1)=0,当x∈时,h'(x)=-+ln x+1<0;当x∈(1,2]时,h'(x)=-+ln x+1>0,所以函数h(x)=+xln x在区间上递减,在区间(1,2]上递增,所以在区间上,h(x)min=h(1)=1,即h(x)≥1,所以当a≥1且x∈时, f(x)≥1恒成立,故满足条件的a的取值范围为[1,+∞).2019-2020年高三数学一轮复习第三篇导数及其应用第1节导数的概念与计算基丛点练理【选题明细表】知识点、方法题号导数的概念与运算1,2,9,11导数的几何意义3,4,5,6,7,8,10导数的综合12,13,14,151.(xx莆田模拟)已知f(x)=ln x,则f′(e)的值为(D)(A)1 (B)-1 (C)e (D)解析:因为f(x)=ln x,所以f′(x)=,则f′(e)=.2.(xx榆林模拟)函数y=x2sin x的导数为(A)(A)y′=2xsin x+x2cos x (B)y′=2xsin x-x2cos x(C)y′=x2sin x+2xcos x (D)y′=x2sin x-2xcos x解析:y′=(x2)′sin x+x2 (sin x)′=2xsin x+x2cos x.3.(xx山西大学附中模拟)曲线y=在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)(A)e2(B)2e2(C)4e2(D)e2解析:曲线y=在点(4,e2)处的切线斜率为k=e2,切线为y-e2=e2(x-4),令x=0,y=-e2,令y=0得x=2,所以S=e2.4.(xx北京房山模拟)如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f′(4)等于(A)(A) (B)3(C)4 (D)5解析:直线过点(0,3),(4,5),所以直线斜率k=,即f′(4)=.5.(xx成都模拟)函数f(x)=2ln x+x2-bx+a(b>0,a∈R)在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是(B)(A)2 (B)2 (C) (D)1解析:因为f(x)=2ln x+x2-bx+a,所以f′(x)=+2x-b,所以k=f′(b)=+2b-b=+b≥2,当且仅当=b时取等号,即b=时,k取得最小值2.6.设曲线y=在点（,1）处的切线与直线x-ay+1=0平行,则实数a等于(A)(A)-2 (B)1 (C)-1 (D)2解析:因为y′==,所以y′=-1,由条件知=-1,所以a=-1.7.(xx三明质检)已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(D)(A)[0,) (B)[,)(C)(,] (D)[,π)解析:函数导数y′==-4×,因为e x+≥2,所以y′∈[-1,0),所以α∈[π,π).8.若曲线y=2x2的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则切线l的方程为.解析:设切点为(x0,y0),y′=4x,则4x0=4⇒x0=1,所以y0=2,所以切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.答案:4x-y-2=09.已知函数f(x)=sin x+cos x,且f′(x)=2f(x),f′ (x)是f(x)的导函数,则=.解析:f′(x)=cos x-sin x,由f′(x)=2f(x)得-cos x=3sin x,即tan x=-.====.答案:10.已知点M是曲线y=x3-2x2+3x+1上任意一点,曲线在M处的切线为l,求:(1)斜率最小的切线方程;(2)切线l的倾斜角α的取值范围.解:(1)y′=x2-4x+3= (x-2)2-1≥-1,所以当x=2时,y′=-1,y=,所以斜率最小的切线过(2,),斜率为-1,所以切线方程为x+y-=0.(2)由(1)得k≥-1,所以tan α≥-1,所以α∈[0,)∪[,π).能力提升练(时间:15分钟)11.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图象可以为(C)解析:根据题意得g(x)=cos x,所以y=x2g(x)=x2cos x为偶函数.又x=0时,y=0.故选C.12.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是(C)(A)y=2x-1 (B)y=x(C)y=3x-2 (D)y=-2x+3解析:令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,两边求导可得f′(2-x)·(2-x)′=4x-7,令x=1可得-f′(1)=-3,即f′(1)=3.所以所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.13.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.解析:f′(x)=x-a+.因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以x+-a=0有解,所以a=x+≥2.答案:[2,+∞)14.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,若两个正数a,b满足f(2a+b)<1,则的取值范围是.解析:观察图象,可知f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数,由f(2a+b)<1=f(4),可得画出以(a,b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示),而可看成(a,b)与点P(-1,-1)连线的斜率,可求得(,5)为所求范围.答案:(,5)15.设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.(1)求f(x)的解析式;(2)证明:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值. 解:(1)f′(x)=a-,于是解得或因a,b∈Z,故f(x)=x+.(2)在曲线上任取一点(x0,x0+).由f′(x0)=1-知,过此点的切线方程为y-=[1-](x-x0).令x=1得y=,即切线与直线x=1交点为(1,).令y=x,得y=2x0-1,即切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1).直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).从而所围成的三角形的面积为|-1||2x0-1-1|=|||2x0-2|=2.所以,所围成的三角形的面积为定值2.精彩5分钟1.已知曲线方程f(x)=sin2x+2ax(x∈R),若对任意实数m,直线l:x+y+m=0都不是曲线y=f(x)的切线,则a的取值范围是(B)(A)(-∞,-1)∪(-1,0) (B)(-∞,-1)∪(0,+∞)(C)(-1,0)∪(0,+∞) (D)a∈R且a≠0,a≠-1解题关键:转化为方程f′(x)=-1无解,其中-1为直线l的斜率.解析:f′(x)=2sin xcos x+2a=sin 2x+2a,直线l的斜率为-1,由题意知关于x的方程sin 2x+2a=-1无解,所以|2a+1|>1,解得a<-1或a>0.2.(xx长春模拟)已知曲线y=-3ln x+1的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(A)(A)3 (B)2 (C) 1 (D)解题关键:设切点的横坐标为x0,由方程y′=求得x0.解析:设切点的横坐标为x0,则y′=-=,解得x0=3或x0=-2.又x0>0,所以x0=3.故选A.3.曲线y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值是.解题关键:转化为求两平行线的距离.解析:如图,所求最小值即曲线的斜率为2的切线与y=2x两平行线间的距离,也即切点到直线y=2x的距离.由y=ln(2x),得y′==2,得x=,y=ln(2×)=0,即与直线y=2x平行的曲线y=ln(2x)的切线的切点坐标是(,0),y=ln(2x)上任意一点P到直线y=2x的距离的最小值,即=.答案:。
