不确定度的计算方法(可编辑修改word版)

1.2不确定度与测量结果不确定的表达由于误差的存在，使得测量结果具有一定程度的不确定性.为了加强国际间的交流与合作，1996年，中国计量科学研究院在国际权威文件《测量不确宙度表达指南》的基础上，制定了我国的《测量不确定度规范》O从此，物理实验的不确定度评泄有了国际公认的准则。

下而将结合对测量结果的评定对不确定度的概念、分类、合成等问题进行讨论。

121不确定度的概念不确定度是评价测量质量的一个新概念•是表达测量结果具有分散性的一个参数，它是被测量的真值在某个量值范围内的一个评世-不确圧度反映了可能存在的误差分布范围，是決差的数字指标。

不确楚度愈小，测量结果可信赖程度愈高：不确建度愈大，测量结果可信赖程度愈低。

在实验和测量工作中，不确世度是作为估计而言的，因为误差是未知的，不可能用指出误差的方法去说明可信赖程度，而只能用误差的某种可能的数值去说明可信赖程度，所以不确迫度更能表示测量结果的性质和测屋的质量。

用不确左度评定实验结果的误差，其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的讣算又反映了这些误差所服从的分布规律，这是更准确地表述了测量结果的可靠程度，因而有必要采用不确楚度的概念。

122测量结果的表示和合成不确定度在做物理实脸时，要求表示出测量的最终结果。

在这个结果中既要包含待测量的近似貞实值7,又要包含测量结果的不确定度6还要反映出物理量的单位。

因此，要写成物理含意深刻的标准表达些式，即x=x±.（单位）(1—4）式中X为待测S: 是测量的近似貞•实值Q是合成不确楚度，一般保留一位有效数字，若首数是1或2时可取2位。

这种表达形式反应了三个基本要素：测呈值、合成不确定度和单位。

在物理实验中，直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正，一般就取多次测量的算术平均值；作为近似貞实值：若在实验中有时只需测一次或只能测一次，该次测II值就为被测量的近似真实值。

如果要求对被测量进行一总系统误差的修正，通常是将一定系统误差（即绝对值和符号都确定的可估计出的误差分量）从算术平均值；或一次测量值中减去，从而求得被修正后的宜接测量结果的近似真实值。

不确定度和相对不确定度公式
不确定度和相对不确定度是测量或计算过程中用来描述结果精
度的重要参数。

不确定度是指测量或计算结果与真实值之间的差异，而相对不确定度则是指不确定度与测量或计算结果的比值。

计算不确定度和相对不确定度的公式如下：
不确定度 = √(Σ(xi - x) / (n - 1))
其中，xi表示每个测量值，x表示所有测量值的平均值，n表示测量次数。

相对不确定度 = 不确定度 / (测量结果的平均值)
通过计算不确定度和相对不确定度，可以评估测量或计算结果的可靠性和精度，有助于确定是否需要采取更精确的测量或计算方法以提高结果的准确性。

- 1 -。

丁二酮肟分光光度法测定合金钢中镍含量不确定度的评定1被测对象满足 GB/T 223.23-1994 丁二酮肟分光光度法测定镍含量的合金钢试样。

2引用文件GB/T 223.23-1994 丁二酮肟分光光度法测定镍量JJF 1059-1999 测量不确定度评定与表示CNAL/AG 07：2002 化学分析中不确定度评估指南CSM 01 01 01 00-2006 化学成分分析测量不确定度评定导则3分析方法和测量参数概述称取 0.1000g 某合金钢试样于锥形瓶中，用酸溶解，高氯酸冒烟，加水溶解盐类，冷却定容至100mL 容量瓶中。

吸取 10.00mL 试液于 100mL 容量瓶中，以酒石酸为掩蔽剂，在强碱性介质中，以过硫酸铵为氧化剂，生成丁二酮肟镍红色络合物，测量其吸光度。

每个工作曲线溶液测量三次，试液测量两次，由工作曲线查出试液中镍的浓度，计算镍的质量分数。

7 次重复测量结果分别为1.886%，1.898%，1.878%，1.886%，1.892%，1.892%，1.886%。

使用 10mL 滴定管分别移取了 2.00mL，4.00mL，6.00mL，8.00mL 和 10.00mL 镍标准溶液[（50± 0.12）μg/mL（k=2）]于100mL 容量瓶中，以下直接发色，操作同试样，绘制工作曲线。

分析所使用的仪器和标准溶液试剂有：天平：万分之一，检定允许差±0.1mg容量瓶：100mL，B 级，允许差±0.2mL吸量管：10mL，A 级，允许差±0.05mL滴定管：10mL，A 级，允许差±0.025mL镍标准溶液：（50±0.12）μg/mL，k=24测量的数学模型w =c ⨯V ⨯V0 ⨯100-6m ⨯V1⨯10式中：w Ni－镍的质量分数，%Ni7 c －试液中镍的浓度，μg/mL V －测量溶液的体积，mL V 1－分取试料溶液的体积，mL V 0－试料溶液的定容体积，mL m －试料的质量，gc 为从工作曲线方程（A=a ＋bc ）上查出试液中镍的浓度（μg/100mL），A 为镍的吸光度。

不确定度计算公式不确定度是一个衡量测量结果与真实值之间差异的指标，用来表示测量结果的可靠程度。

在科学实验或工程测量中，不确定度的计算对于数据的正确解释和有效应用至关重要。

不确定度的计算需要考虑多个因素，如测量仪器的精确度、测量方法的误差、环境因素的影响等。

根据国际标准ISO5725-1中的定义，不确定度是测量结果的一个参数，该参数表征了测量结果与被测量值的偏差的范围。

不确定度的计算涉及到数理统计的理论和方法。

根据统计学的原理，不确定度可以通过标准偏差、置信区间和扩展不确定度等方法进行计算。

下面分别介绍这些方法。

1.标准偏差：标准偏差是一种常用的不确定度度量指标，用来描述测量结果的离散程度。

它通过计算测量数据集合的平均值与每个数据值之间的差异，并取平均值的平方根得到。

标准偏差越小，表示测量结果越稳定、可靠。

标准偏差的计算公式如下：s=√(∑(x-x̄)²/(n-1))其中，s为标准偏差，x为每个测量数据值，x̄为数据集合的平均值，n为数据集合的样本数量。

2.置信区间：置信区间是一种常用的不确定度度量方法，用来描述测量结果的范围。

置信区间表示了测量结果与真实值之间的差异可能存在的范围。

通常以置信水平来表示，如95%的置信区间表示在95%的概率下真实值位于置信区间内。

置信区间的计算公式如下：CI=x̄±t*(s/√n)其中，CI为置信区间，x̄为数据集合的平均值，t为t分布的临界值，s为标准偏差，n为数据集合的样本数量。

3.扩展不确定度：扩展不确定度是一种常用的不确定度度量方法，用来描述测量结果的范围。

扩展不确定度首先计算标准偏差，再乘以一个覆盖系数，将标准偏差扩展到一定的置信水平下的区间范围内。

扩展不确定度的计算公式如下：U=k*s其中，U为扩展不确定度，k为覆盖系数，s为标准偏差。

上述的计算公式是一种简单的不确定度计算方法，对于特定的测量数据集合和测量需求，可能需要考虑更复杂的数学模型和统计方法。

不确定度计算2、不确定度各分量的评定根据测量步骤可知，测量氨氮质量的不确定度来源有几个方面，一是由标准曲线配制所产生的不确定度，二是测试过程所产生的不确定度。

按《化学分析中不确定度的评估指南》，对于只涉及积或商的模型，例如：c N=m/v，合成标准不确定度为：式中，u(c)为质量m和体积v的合成标准测量不确定度，mg/L；u(m)为质量m的标准测量不确定度，ug；u(v)为体积v的标准测量不确定度，mL。

2.1 取样体积引入的相对不确定度u rel(v)所取水样用50mL单标线吸管移取。

查JJG 196－2006《常用玻璃量器检定规程》，A级50mL 单标线吸管的容量允差为0.05mL，根据JJF 1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，标定体积为三角分布，则容量允差引入的不确定度为：u(△V)=0.050/√6 。

根据制造商提供的信息，吸量管校准温度为20℃，设实验室内温度控制在±5℃范围内波动，与校准时的温差为5℃，由膨胀系数(以水的膨胀系数计算)为2.1×10-4/℃得到50mL水样的标准不确定度为（假定为均匀分布）：2.2重复性测定引入的相对不确定度u rel(rep)采用A类方法评定，与重复性有关的合成标准不确定度均包含其中。

对某水样进行7次重复性测定，所得结果如下：1.33、1.35、1.34、1.34、1.35、1.38、1.35mg/L，平均值1.35 mg/L。

重复测量数据的标准不确定度为：2.3 铵（以氮计）的绝对量m引入的不确定度u rel(m)配制过程中引入的不确定度u rel(1)a.) 标准贮备液的不确定度u rel(1－1)：包括纯度、称量、体积及摩尔质量计算4个部分，其中，摩尔质量计算不确定度可省略不计（与其它因素相比，其对标准浓度计算相差1－2个数量级）。

纯度p：按供应商提供的参考数据，分析纯氯化铵[NH4Cl]纯度为≥99.5%，将该不确定度视为矩形分布，则标准不确定度为u(p) =0.5/√3＝28.9×10-4；称量m：经检定合格的天平最大允许误差±0.1mg，将该不确定度视为矩形分布，标准偏差为0.058mg，称量3.819g时的相对标准偏差为u(m) =0.152×10-4；体积v：影响体积的主要不确定度有校准及温度。

测量误差与不确定度评定测量误差1、测量误差和相对误差〔1〕、测量误差测量结果减去被测量的真值所得的差,称为测量误差,简称误差.这个定义从20世纪70年代以来没有发生过变化,以公式可表示为：测量误差=测量结果一真值.测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值,是客观存在的量的实验表现,仅是对测量所得被测量之值的近似或估计,显然它是人们熟悉的结果,不仅与量的本身有关,而且与测量程序、测量仪器、测量环境以及测量人员等有关.真值是量的定义的完整表达,是与给定的特定量的定义完全一致的值,它是通过完善的或完美无缺的测量,才能获得的值.所以,真值反映了人们力求接近的理想目标或客观真理,本质上是不能确定的,量子效应排除了唯一真值的存在, 实际上用的是约定真值,须以测量不确定度来表征其所处的范围.因而, 作为测量结果与真值之差的测量误差,也是无法准确得到或确切获知的.过去人们有时会误用误差一词,即通过误差分析给出的往往是被测量值不能确定的范围,而不是真正的误差值.误差与测量结果有关,即不同的测量结果有不同的误差,合理赋予的被测量之值各有其误差并不存在一个共同的误差.一个测量结果的误差,假设不是正值〔正误差〕就是负值〔负误差〕,它取决于这个结果是大于还是小于真值.实际上,误差可表示为：误差=测量结果一真值=〔测量结果一总体均值〕+ 〔总体均值一真值〕=随机误差+系统误差1(2)、相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商,称为相对误差.2、随机误差和系统误差(1)、随机误差测量结果与重复性条件下,对同一被测量进行无限屡次测量所得结果的平均值之差,称为随机误差.随机误差=测量结果一屡次测量的算术平均值(总体均值) 重复性条件是指在尽量相同的条件下,包括测量程序、人员、仪器、环境等,以及尽量短的时间间隔内完成重复测量任务.此前,随机误差曾被定义为：在同一量的屡次测量过程中,以不可预知方式变化的测量误差的分量.随机误差的统计规律性：①对称性：绝对值相等而符号相反的误差,出现的次数大致相等, 也即测得值是以它们的算术平均值为中央而对称分布的.由于所有误差的代数和趋于零,故随机误差又具有低偿性,这个统计特性是最为本质的；换言之,凡具有低偿性的误差,原那么上均可按随机误差处理.①有界性：测得值误差的绝对值不会超过一定的界限,也即不会出现绝对值很大的误差.③单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差数目多,也即测得值是以它们的算术平均值为中央而相对集中地分布的.(2)、系统误差在重复性条件下,对同一被测量进行无限屡次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差,称为系统误差.它是测量结果中期望不为零的误差分量.系统误差=屡次测量的算术平均值一被测量真值由于只能进行有限次数的重复测量,真值也只能用约定真值代替, 因此可能确定的系统误差只是其估计值,并具有一定的不确定度.系统误差大抵来源于影响量,它对测量结果的影响假设已识别并可定量表述,那么称之为“系统效应〞.该效应的大小假设是显著的,那么可通过估计的修正值予以补偿.但是,用以估计的修正值均由测量获得,本身就是不确定的.至于误差限、最大允许误差、可能误差、引用误差等,它们的前面带有正负(土)号,因而是一种可能误差区间,并不是某个测量结果的误差.对于测量仪器而言,其示值的系统误差称为测量仪器的“偏移〞, 通常用适当次数重复测量示值误差的均值来估计.过去所谓的误差传播定律,所传播的其实并不是误差而是不确定度, 故现已改称为不确定度传播定律.还要指出的是：误差一词应按其定义使用,不宜用它来定量说明测量结果的可靠程度.3、修正值和偏差(1)、修正值和修正因子用代数方法与未修正测量结果相加,以补偿其系统误差的值,称为修正值.含有误差的测量结果,加上修正值后就可能补偿或减少误差的影响. 由于系统误差不能完全获知,因此这种补偿并不完全.修正值等于负的系统误差,这就是说加上某个修正值就像扣掉某个系统误差,其效果是一样的,只是人们考虑问题的出发点不同而已,即真值=测量结果+修正值=测量结果一误差在量值溯源和量值传递中,常常采用这种加修正值的直观的方法.用高一个等级的计量标准来校准或检定测量仪器,其主要内容之一就是要获得准确的修正值.换言之,系统误差可以用适当的修正值来估计并予以补偿.但应强调指出：这种补偿是不完全的,也即修正值本身就含有不确定度.当测量结果以代数和方式与修正值相加后,其系统误差之模会比修正前的小,但不可能为零,也即修正值只能对系统误差进行有限程度的补偿.修正因子：为补偿系统误差而与未修正测量结果相乘的数字因子, 称为修正因子.含有系统误差的测量结果,乘以修正因子后就可以补偿或减少误差的影响.但是,由于系统误差并不能完全获知,因而这种补偿是不完全的, 也即修正因子本身仍含有不确定度.通过修正因子或修正值已进行了修正的测量结果,即使具有较大的不确定度,但可能仍然十分接近被测量的真值(即误差甚小).因此,不应把测量不确定度与已修正测量结果的误差相混淆.(2)、偏差：一个值减去其参考值,称为偏差.这里的值或一个值是指测量得到的值,参考值是指设定值、应有值或标称值.例如：尺寸偏差=实际尺寸一应有参考尺寸偏差=实际值一标称值在此可见,偏差与修正值相等,或与误差等值而反向.应强调指出的是：偏差相对于实际值而言,修正值与误差那么相对于标称值而言,它们所指的对象不同.所以在分析时,首先要分清所研究的对象是什么.常见的概念还有上偏差〔最大极限尺寸与参考尺寸之差〕、下偏差〔最小极限尺寸与参考尺寸之差〕,它们统称为极限偏差.由代表上、下偏差的两条直线所确定的区域,即限制尺寸变动量的区域,统称为尺寸公差 i+t 巾.二、测量不确定度的评定与表示1、测量不确定度表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数, 称为测量不确定度.“合理〞意指应考虑到各种因素对测量的影响所做的修正,特别是测量应处于统计限制的状态下,即处于随机限制过程中.“相联系〞意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起〞的参数,在测量结果的完整表示中应包括测量不确定度.此参数可以是诸如标准［偏］差或其倍数, 或说明了置信水准的区间的半宽度.测量不确定度从词意上理解,意味着对测量结果可信性、有效性的疑心程度或不肯定程度,是定量说明测量结果的质量的一个参数.实际上由于测量不完善和人们的熟悉缺乏,所得的被测量值具有分散性,即每次测得的结果不是同一值,而是以一定的概率分散在某个区域内的许多个值.虽然客观存在的系统误差是一个不变值,但由于我们不能完全认知或掌握,只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内,而这种概率分布本身也具有分散性.测量不确定度就是说明被测量之值分散性的参数,它不说明测量结果是否接近真值.为了表征这种分散性,测量不确定度用标准［偏］差表示.在实际使用中,往往希望知道测量结果的置信区间,因此规定测量不确定度也可用标准［偏］差的倍数或说明了置信水准的区间的半宽度表示.为了区分这两种不同的表示方法,分别称它们为标准不确定度和扩展不确定度.(1)测量不确定度来源在实践中,测量不确定度可能来源于以下十个方面：①对被测量的定义不完整或不完善；②实现被测量的定义的方法不理想；③取样的代表性不够,即被测量的样本不能代表所定义的被测量；④对测量过程受环境影响的熟悉不周全,或对环境条件的测量与限制不完善；③对模拟仪器的读数存在人为偏移；③测量仪器的分辩力或鉴别力不够；③赋予计量标准的值或标准物质的值不准；⑧引用于数据计算的常量和其它参量不准；③测量方法和测量程序的近似性和假定性；③在外表上看来完全相同的条件下,被测量重复观测值的变化.由此可见,测量不确定度一般来源于随机性和模糊性,前者归因于条件不充分,后者归因于事物本身概念不明确.这就使测量不确定度一般由许多分量组成,其中一些分量可以用测量列结果(观测值)的统计分布来进行评价,并且以实验标准［偏］差表征；而另一些分量可以用其它方法(根据经验或其它信息的假定概率分布)来进行评价,并且也以标准［偏］差表征.所有这些分量,应理解为都奉献给了分散性.假设需要表示某分量是由某原因导致时,可以用随机效应导致的不确定度和系统效应导致的不确定度.(2)标准不确定度和标准［偏］差以标准［偏］差表示的测量不确定度,称为标准不确定度.标准不确定度用符号u表示,它不是由测量标准引起的不确定度, 而是指不确定度以标准［偏］差表示,来表征被测量之值的分散性.这种£( -)Xi - x分散性可以有不同的表示方式,例如：用—表示时,由于正残差与负 £Xi - X| 残差可能相消,反映不出分散程度；用—表示时,那么不便于进行解析 运算.只有用标准［偏］差表示的测量结果的不确定度,才称为标准不确 定度.当对同一被测量作n 次测量,表征测量结果分散性的量s 按下式算 出时,称它为实验标准［偏］差：式中：X j 为第i 次测量的结果；,为所考虑的n 次测量结果的算术平均值.对同一被测量作有限的n 次测量,其中任何一次的测量结果或观测 值,都可视作无穷屡次测量结果或总体的一个样本.数理统计方法就是 要通过这个样本所获得的信息(例如算术平均值,和实验标准［偏］差s 等),来推断总体的性质(例如期望N 和方差.2等).期望是通过无穷多 次测量所得的观测值的算术平均值或加权平均值,又称为总体均值N , 显然它只是在理论上存在并表示为lim ZN =i : J 方差.2那么是无穷屡次测量所得观测值x 与期望N 之差的平方的算 i 术平均值,它也只是在理论上存在并可表示为lim Z 一 02=3"「小四- i =1方差的正平方根.,通常被称为标准［偏］差,又称为总体标准［偏］ 差或理论标准［偏］差；而通过有限屡次测量得的实验标准［偏］差S,又称 为样本标准［偏］差.这个计算公式即为贝赛尔公式,算得的S 是.的估 计值. S 是单次观测值x i 的实验标准［偏］差,s/旬才是n 次测量所得算术 平均值工的实验标准［偏］差,它是工分布的标准［偏］差的估计值.为易于 区别,前者用s(x)表示,后者用$(x )表示,故有s(x )=s(x)/、n.通常用s(x)表征测量仪器的重复性,而用s(x )评价以此仪器进行n 次测量所得测量结果的分散性.随着测量次数n 的增加,测量结果的分 散性s(x )即与打成反比地减小,这是由于对屡次观测值取平均后,正、 负误差相X1Z 一 X -互抵偿所致.所以,当测量要求较高或希望测量结果的标准［偏］差较小时,应适当增加n；但当n>20时,随着n的增加,s(x)的减小速率减慢.因此,在选取n的多少时应予综合考虑或权衡利弊,由于增加测量次数就会拉长测量时间、加大测量本钱.在通常情况下,取nN3, 以n =4〜20为宜.另外,应当强调s〔1〕是平均值的实验标准［偏］差, 而不能称它为平均值的标准误差.2.不确定度的A类、B类评定及合成由于测量结果的不确定度往往由许多原因引起,对每个不确定度来源评定的标准［偏］差,称为标准不确定度分量,用符号u .表示.对这些标准不确定度分量有两类评定方法,即A类评定和B类评定.〔1〕不确定度的A类评定用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度,称为不确定度的A类评定,有时也称A类不确定度评定.通过统计分析观测列的方法,对标准不确定度的进行的评定,所得到的相应标准不确定度称为A类不确定度分量,用符号u A表示.这里的统计分析方法,是指根据随机取出的测量样本中所获得的信息,来推断关于总体性质的方法.例如：在重复性条件或复现性条件下的任何一个测量结果,可以看作是无限屡次测量结果〔总体〕的一个样本,通过有限次数的测量结果〔有限的随机样本〕所获得的信息〔诸如平均值工、实验标准差$〕,来推断总体的平均值〔即总体均值N或分布的期望值〕以及总体标准［偏］差.,就是所谓的统计分析方法之一.A 类标准不确定度用实验标准［偏］差表征.〔2〕不确定度的B类评定用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度,称为不确定度的B类评定,有时也称B类不确定度评定.这是用不同于对测量样本统计分析的其他方法,进行的标准不确定度的评定,所得到的相应的标准不确定度称为B类标准不确定度分量, 用符号u B表示.它用根据经验或资料及假设的概率分布估计的标准［偏］差表征,也就是说其原始数据并非来自观测列的数据处理,而是基于实验或其他信息来估计,含有主观鉴别的成分.用于不确定度B类评定的信息来源一般有：①以前的观测数据；②对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；③生产部门提供的技术说明文件；④校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别,包括目前仍在使用的极限误差、最大允许误差等；⑤手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；⑥规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R.不确定度的A类评定由观测列统计结果的统计分布来估计,其分布来自观测列的数据处理,具有客观性和统计学的严格性.这两类标准不确定度仅是估算方法不同,不存在本质差异,它们都是基于统计规律的概率分布,都可用标准［偏］差来定量表达,合成时同等对待.只不过A 类是通过一组与观测得到的频率分布近似的概率密度函数求得.而B类是由基于事件发生的信任度〔主观概率或称为经验概率〕的假定概率密度函数求得.对某一项不确定度分量究竟用A类方法评定,还是用B类10 方法评定,应由测量人员根据具体情况选择.特别应当指出：A类、B类与随机、系统在性质上并无对应关系,为防止混淆,不应再使用随机不确定度和系统不确定度.(3)合成标准不确定度当测量结果是由假设干个其他量的值求得时,按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度,称为合成标准不确定度.在测量结果是由假设干个其他量求得的情形下,测量结果的标准不确定度,等于这些其他量的方差和协方差适当和的正平方根,它被称为合成标准不确定度.合成标准不确定度是测量结果标准［偏］差的估计值, 用符号也表示.方差是标准［偏］差的平方,协方差是相关性导致的方差.当两个被测量的估计值具有相同的不确定度来源,特别是受到相同的系统效应的影响(例如：使用了同一台标准器)时,它们之间即存在着相关性.如果两个都偏大或都偏小,称为正相关；如果一个偏大而另一个偏小,那么称为负相关.由这种相关性所导致的方差,即为协方差.显然,计入协方差会扩大合成标准不确定度,协方差的计算既有属于A类评定的、也有属于B类评定的.人们往往通过改变测量程序来防止发生相关性,或者使协方差减小到可以略计的程序,例如：通过改变所使用的同一台标准等.如果两个随机变量是独立的,那么它们的协方差和相关系数等于零, 但反之不一定成立.合成标准不确定度仍然是标准［偏］差,它表征了测量结果的分散性. 所用的合成的方法,常被称为不确定度传播律,而传播系数又被称为灵11 敏系数,用c i表示.合成标准不确定度的自由度称为有效自由度,用 v eff表示,它说明所评定的u c的可靠程度.通常在报告以下测量结果时, 可直接使用合成标准不确定度u c(y),同时给出自由度v eff：①根底计量学研究；②根本物理常量测量；③复现国际单位制单位的国际比对.3.扩展不确定度和包含因子(1)扩展不确定度扩展不确定度是确定测量结果区间的量,合理赋予被测量之值分布的大局部可望含于此区间.它有时也被称为展伸不确定度或范围不确定度.实际上扩展不确定度是由合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度,通宵用符号U表示.它是将合成标准不确定度扩展了k倍得到的, 即U=ku c,这里k值一般为2,有时为3,取决于被测量的重要性、效益和风险.扩展不确定度是测量结果的取值区间的半宽度,可期望该区间包含了被测量之值分布的大局部.而测量结果的取值区间在被测量值概率分布中所包含的百分数,被称为该区间的置信概率、置信水准或置信水平, 用符号p表示.这时扩展不确定度用符号U p表示,它给出的区间能包含被测量可能值的大局部(比方95%或99%等).按测量不确定度的定义,合理赋予的被测量之值的分散区间理应包含全部的测得值,即100%地包含于区间内,此区间的半宽通常用符号a12表示.假设要求其中包含95%的被测量之值,那么此区间称为概率为p=95%的置信区间,其半宽就是扩展不确定度与；类似地,假设要求99%的概率, 那么半宽为以.这个与置信概率区间或统计包含区间有关的概率,即为上述的置信概率.显然,在上面例举的三个半宽之间存在着U95VU99Va的关系,至于具体小多少或大多少,还与赋予被测量之值的分布情况有关.归纳上述内容,可将测量不确定度的分类简示为：测量不确定度：标准不确定度：A类标准不确定度B类标准不确定度合成标准不确定度扩展不确定度：U (k=2, 3)U p(p为置信概率)值得指出的是：在20世纪80年代曾用术语总不确定度,由于在报告最终测量结果时既可用扩展不确定度也可用合成标准不确定度,为避免混淆,目前在定量表示时一般不再使用总不确定度这个术语.(2)包含因子和自由度为求得扩展不确定度,对合成标准不确定度所乘之数字因子,称为包含因子,有时也称为覆盖因子.包含因子的取值决定了扩展不确定度的置信水平.鉴于扩展不确定度有U与U p两种表示方式,它们在称呼上并无区别,但在使用时k 一般为2或3,而k p那么为给定置信概率p所要求的数字因子.在被测量估计值拉近于正态分布的情况下,k p就是t分布(学生分布)中的t值.评定扩展不确定度U p时,p与自由度v,即可查表得到k p,进而求得13U p.参见JJF1059-1999?测量不确定度评定与表示?的附录A：“t分布在不同置信概率p与自由度v的t p〔v〕值〞.自由度一词,在不同领域有不同的含义.这里对被测量假设只观测一次,有一个观测值,那么不存在选择的余地,即自由度为0.假设有两个观测值,显然就多了一个选择.换言之,本来观测一次即可获得被测量值, 但人们为了提升测量的质量〔品质〕或可信度而观测n次,其中多测的〔n-1〕次实际上是由测量人员根据需要自由选定的,故称之为“自由度〞.在A类标准不确定度评定中,自由度用于说明所得的标准［偏］差的可靠程度.它被定义为“在方差计算中,和的项数减去对和的限制数〞. 按贝塞尔公式计算时,取和符号工后的项数等于n,而n个观测值与其平均值,之差〔残差〕的和显然为零,即工〔x i-工〕=0.这就是一个限制条件,即限制数为1,故自由度v=n-1.通常,自由度等于测量次数n减去被测量的个数叫即丫中小.实际上,自由度往往用于求包含因子k p,如果只评定U而不是U p,那么不必计算自由度及有效自由度.4.测量不确定度的评定和报告〔1〕测量不确定度的评定流程下列图简示了测量不确定度评定的全部流程.在标准不确定度分量评定环节中,JJF1059-1999建议列表说明,即列出标准不确定度一览表, 以便一目了然.14开始规定被测量第一步第二步第三步第四步结束下列图简示了扩展不确定度评定的流程.当以U报告最终测量结果时,可采用以下两种形式之一,但均须指明 k 值.例如：u (y)=0.35mg,取包含因子 k = 2,U = 2X0.35mg = 0.70mg,贝(a)m = 100.02147g, U = 0.70mg； k = 2(b)m=(100.02147±0.00070) g； k = 2当以U p报告最终测量结果时,可采用以下四种形式之一,但均须指明有效自由度v®.例如：u c(y)=0.35mg, v e ef = 9 按 p = 95%,查 JJF1059-1999?测量不确定度评定与表示?的附录A表得k p = t95(9)=2.26;U95=2.26X0.35mg=0.79mg,那么(a)m = 100.02147g； U95=0.79mg, 丫^ = 9.(b)m = 100.02147 (79) g; 丫^ = 9,括号内为45之值,其末位与前面结果内末位数对齐.(c)m = 100.02147 (0.00079) g；丫^ = 9,括号内为 U*之值,与前面结果有相同计量单位.(d)m=(100.02147±0.00079) g；丫^ = 9,括号内第二项为 U95之值.为明确起见,建议用以下方式说明：“式中,正负号后的值为扩展不确定度4广屋ujm),而合成标准不确定度ujm) =0.35由8,自由度v eef=9,包含因子k p = t95 (9)=2.26,从而具有约95%概率的置信区间工报告最终测量结果时,应注意有效位数：通常ujy)和U (或U p) 最多取2位有效数字,且y与y c(y)或U (或U p)的修约间隔应相同.不确定度也可以相对形式u r/y)或U@报告.三、测量误差与测量不确定度归纳上述内容,可将测量误差与测量不确定度之间存在的主要区别列于下表测量误差与测量不确定度的主要区别常用玻璃量器比对测量结果不确定度评定一、目的用衡量法检定10 ml分度吸管.二、检定步骤取容量50 ml的洁净量瓶,在电子天平上称量,去皮重〔清零〕,用被检定的10 ml分度吸管分别参加总容量的1/10、半容量和总容量的纯水〔自流液口起〕,天平显示的数值即为被检容量的质量值鲸〕,称完后将数字温度计直接插入瓶内测温,然后在JJG196-90衡量法用表〔二〕中查得质量值〔m〕,根据公式计算标准温度20℃时的实际容量. 三、被测量V20——标准温度20℃时量器的实际容量〔ml〕量器在标准温度20℃时的实际容量计算公式：V20 = V0+〔m0—m〕 / p式中：V20——量器在标准温度20℃时的实际容量〔ml〕；V0——量器的标称容量〔ml〕；m0——称得的纯水质量值〔g〕;m——衡量法用表〔二〕中查得的质量值〔g〕;pw——1℃时纯水密度值,近似为1 〔g/ml〕. 四、不确定度来源的识别根据被测量的计算公式可了解到,对被测量及其不确定度的影响主要有以下四个因素：19。

标准不确定度计算公式在科学实验和工程设计中，我们经常需要评估测量结果的不确定度。

不确定度是指对测量结果的不确定程度的度量，它是表示测量结果的范围的一种方式。

标准不确定度是一种常用的不确定度度量方法，它可以帮助我们更好地理解测量结果的可靠性和精确度。

本文将介绍标准不确定度的计算公式及其应用。

标准不确定度的计算公式如下：u(x) = k σ。

其中，u(x)表示测量结果的标准不确定度，k表示扩展不确定度的系数，σ表示测量结果的标准偏差。

标准偏差是对测量结果离散程度的度量，它可以反映测量结果的稳定性和精确度。

扩展不确定度的系数k是一个常数，它通常取2，表示置信水平为95%。

在一些特殊情况下，k的取值也可能会有所不同。

在实际应用中，我们可以通过以下步骤来计算测量结果的标准不确定度：1. 收集数据，首先，我们需要进行实验或测量，得到一组数据集合。

2. 计算平均值，然后，我们计算这组数据的平均值，作为测量结果的估计值。

3. 计算标准偏差，接下来，我们计算这组数据的标准偏差，用来衡量数据的离散程度。

4. 计算标准不确定度，最后，我们利用上述公式，将标准偏差乘以扩展不确定度系数k，得到测量结果的标准不确定度。

通过上述计算，我们可以得到测量结果的标准不确定度，从而更好地评估测量结果的可靠性和精确度。

标准不确定度的计算公式是一种简单而有效的方法，它可以帮助我们在科学实验和工程设计中更好地处理测量结果的不确定度问题。

需要注意的是，标准不确定度的计算公式是基于一些假设和条件的，例如数据服从正态分布、测量误差是独立同分布的等。

在实际应用中，我们需要根据具体情况对这些假设进行合理的评估和修正，以确保计算结果的准确性和可靠性。

总之，标准不确定度的计算公式是一种重要的不确定度度量方法，它可以帮助我们更好地理解测量结果的不确定性。

通过对测量结果的标准不确定度进行评估和控制，我们可以提高实验和设计的可靠性和精确度，从而更好地满足科学研究和工程实践的需求。

不确定度的计算引言在实验测量中，我们经常会遇到不确定度的问题。

不确定度是指对于一个测量结果的不确定程度，用于描述测量值的精确程度。

在科学研究中，不确定度的计算是非常重要的，因为它可以提供对实验结果的合理评估，从而为准确的分析和判断提供依据。

本文将介绍不确定度的计算方法以及应用。

1. 确定误差和不确定度在开始讨论不确定度之前，首先需要明确什么是确定误差和不确定度。

确定误差是指测量结果与真实值之间的差异，可以通过准确度的提高来减小确定误差。

而不确定度是指对于一个测量值的范围估计，用于表示测量结果可能的变动范围，不确定度可以通过精度的提高来减小。

2. 不确定度的计算方法不确定度的计算方法主要有两种，分别是类型A不确定度和类型B不确定度。

下面将分别进行介绍。

2.1 类型A不确定度类型A不确定度是指基于一系列测量得到的数据进行统计分析得出的不确定度。

它采用统计学方法，通过对重复测量数据进行处理，计算数据的平均值和标准偏差，从而得出不确定度。

具体计算步骤如下：1.对一组重复测量数据进行测量。

2.计算数据的平均值和标准偏差。

3.通过标准偏差的一定倍数来估计不确定度。

2.2 类型B不确定度类型B不确定度是指基于其他因素进行评估的不确定度，它不依赖于统计处理。

常用的方法有：•根据设备的分辨率和引导书提供的具体值进行估计。

•根据厂家提供的数据手册进行估计。

2.3 不确定度的合成在实际测量中，往往需要将类型A和类型B的不确定度进行合成，得到最终的不确定度。

合成不确定度的计算方法有两种，即加法合成和乘法合成。

•加法合成：对于不相关的不确定度，可以直接将其平方和开根号，得到合成不确定度。

•乘法合成：对于相关的不确定度，需要进行相关系数的计算，并应用合成法则进行计算。

3. 不确定度的应用不确定度的应用主要有两个方面，一是用于得出测量结果的合理范围，二是用于比较测量结果的精确程度。

对于合理范围的评估，不确定度可以用于构建置信区间。

标准不确定度计算公式在测量和实验中，我们经常会遇到不确定度的概念。

不确定度是指测量结果的范围，它告诉我们测量结果的可信程度。

在科学和工程领域，我们需要对测量结果的不确定度进行评估和计算，以确保结果的准确性和可靠性。

标准不确定度是一种常用的不确定度表示方法，它能够帮助我们更好地理解和评估测量结果的可靠性。

标准不确定度的计算公式是一个重要的工具，它能够帮助我们确定测量结果的不确定度范围。

标准不确定度的计算公式通常基于测量数据的统计分析，包括测量值的平均值和标准偏差。

下面，我们将介绍标准不确定度的计算公式及其应用。

标准不确定度的计算公式如下：\[ u = \frac{s}{\sqrt{n}} \]其中，\( u \) 表示标准不确定度，\( s \) 表示测量值的标准偏差，\( n \) 表示测量值的数量。

标准偏差是测量值与其平均值的偏差的平方和的平均值的平方根。

标准不确定度的计算公式基于这一统计分析方法，能够帮助我们评估测量结果的不确定度范围。

在实际应用中，我们可以通过以下步骤来计算标准不确定度：1. 收集测量数据，首先，我们需要收集测量数据，包括测量值的数量和具体数值。

2. 计算平均值，然后，我们计算测量值的平均值，即所有测量值的总和除以测量值的数量。

3. 计算标准偏差，接下来，我们计算测量值的标准偏差，即测量值与其平均值的偏差的平方和的平均值的平方根。

4. 计算标准不确定度，最后，我们利用标准不确定度的计算公式，将标准偏差和测量值的数量代入公式，计算得到标准不确定度。

通过以上步骤，我们可以得到测量结果的标准不确定度。

标准不确定度是测量结果的不确定度范围的一个重要指标，它能够帮助我们评估测量结果的可靠性和准确性。

除了标准不确定度的计算公式，我们还可以通过其他方法来评估和计算测量结果的不确定度，例如扩展不确定度法、蒙特卡洛方法等。

这些方法都能够帮助我们更好地理解和评估测量结果的不确定度范围，确保结果的准确性和可靠性。

测量结果的正确表达
被测量X的测量结果应表达为：
其中是测量值的平均值，是不确定度。

例如：
用最小刻度为cm的直尺测量一长度最终结果为：L=(0.750±0.005cm；
测量金属丝杨氏模量的最终结果为：E=(1.15±0.07×1011Pa。

1. 不确定度的计算方法
直接测量不确定度的计算方法
其中：为标准差；
是仪器误差，一般按仪器最小分度的一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算。

也可按仪器级别计算或查表。

间接测量不确定度的合成方法
间接测量的平均值公式为：；
不确定度合成公式为：。

也可根据表1中的公式计算间接测量的不确定度。

表1 常用函数不确定度合成公式
函数表达式合成公式
1
2
3
注:
1. 在函数关系是乘除法时,先计算相对不确定度(比较方便.例如表中第二行的公式.
2. 不确定度合成公式可以联合使用.
例如: 若,令，则.
根据表中第二行公式,有:;
根据表中第一行公式,有: ;
根据表中第三行公式,有: .
所以,。

计算不确定度的公式
计算不确定度的公式是：不确定度=±标准偏差/√样本数量
其中，标准偏差表示数据的离散程度，样本数量表示数据的数量。

拓展：
1.当样本数量增加时，不确定度会减小，因为有更多的数据可以
用来计算标准偏差。

2.不同类型的测量方法可能会导致不同的不确定度。

比如，直接
测量比间接测量更准确，因此其不确定度更小。

3.不确定度与精度和准确度有关。

精度是指数据值之间的差异，
准确度是指数据值与真实值之间的差异。

如果一个测量具有高精度和
准确度，那么其不确定度应该很小。

4.不确定度是一个范围，而不是一个确切的数值。

这意味着测量
结果的真实值有可能处于不确定度范围内的任何位置。

因此，处理数
据时应该考虑不确定度的影响。

不确定度的计算
不确定度的计算是通过估计和分析测量结果和测量过程中
的误差来进行的。

以下是一些常用的不确定度计算方法：
1. 精确度不确定度：也称为随机不确定度，是由于测量设
备的分辨率和测量过程中的随机误差导致的不确定度。

计
算方法包括标准差、方差等统计量的计算。

2. 系统不确定度：也称为偏差不确定度，是由于测量设备
或测量方法本身的固有偏差导致的误差。

可以通过校准、
比较测量等方法进行估计。

3. 组合不确定度：将多个不确定度来源按照一定规则进行
合成得到的不确定度。

常用的合成方法包括根据误差传递
法则进行计算，或者使用不确定度的加法法则或乘法法则。

4. 确定性不确定度：是一种在理论计算中估计结果的不确定度。

它取决于输入量的不确定度的准确度和测量结果的依赖程度。

以上是一些常用的不确定度计算方法，计算过程通常需要依赖统计和数学方法。

在实际应用中，根据具体情况，可能还会使用其他的不确定度计算方法。

不确定度的计算什么是不确定度？在实际测量或计算中，很难完全准确地得到一个结果。

由于各种因素的限制，测量结果或计算结果都会有一定的误差。

不确定度是用来描述测量或计算结果的误差范围的一个概念。

不确定度的类型不确定度可以分为两种类型：随机不确定度和系统不确定度。

•随机不确定度：由于测量或计算的过程中存在各种随机误差，导致多次重复测量或计算得到的结果会有一定的变化。

随机不确定度可以通过重复测量或计算来评估。

•系统不确定度：由于测量或计算的过程中存在系统误差，导致测量或计算结果与真实值之间存在偏差。

系统不确定度需要通过分析和估计来评估。

表示不确定度的方法不确定度通常用一个数值来表示。

常见的表示方法有：•标准偏差（Standard Deviation）：用来描述一组测量结果的离散程度。

标准偏差越大，表示测量结果的离散程度越大，测量的不确定性就越高。

•标准误差（Standard Error）：用来描述重复测量结果的精确度。

标准误差越小，表示重复测量结果的精确度越高。

•相对不确定度（Relative Uncertnty）：用来表示不确定度与测量结果的比值。

相对不确定度越小，表示测量结果的准确度越高。

不确定度的计算方法不确定度的计算方法根据具体情况的不同，可以采用不同的方法。

下面介绍几种常用的计算方法。

1. 同一次测量的不确定度当测量只进行了一次时，可以按照以下步骤计算不确定度：1.首先，确定测量结果(x)的误差范围。

这可以通过分析测量过程中可能存在的各种因素，如仪器误差、环境条件等来估计误差范围。

2.然后，根据误差范围计算标准偏差或标准误差。

标准偏差的计算公式为：σ = (上限值 - 下限值) / 2，标准误差的计算公式为：SE = σ / √n，其中，n为测量次数。

3.最后，可以根据需要计算相对不确定度。

相对不确定度的计算公式为：u(%) = (标准偏差或标准误差 / x) * 100。

2. 多次测量的不确定度当进行了多次测量时，可以按照以下步骤计算不确定度：1.首先，记录每次测量的结果，并计算平均值(x)。

大学物理实验-不确定度公式的计算参数假设Xi 是每次仪器测量的示值或读数X上面有一横线（x），是每次测量结果的平均值n为测量次数计算方差对同一量，进行多次计量，然后算出平均值。

对于偏离平均值的正负差值，就是其不确定度。

其差值越大，则计量的不确定度就越大。

在数理统计学上，一般用方差（S）来表示：S^2＝｛(x1－X)^2+(x2-X)^2+(x3-X)^2……＋(xn-X)^2｝/(n-1)。

注：X为平均值，n为测量的次数。

方差越大，其不确定度则越大；方差越小，其不确定度就越小。

启用标准偏打开计算器> 查看(V) > 选择"科学型" > 单击计算器左边的"Sta"按钮(此时会弹出一个统计框)数据编辑(例子:数据[25,34,13])在统计框内单击"全清(A)"按钮> 返回计算器> 输入数据"25" > 单击计算器左边的"Dat"按钮> 输入数据"34" > 单击计算器左边的"Dat"按钮> 输入数据"13" > 单击计算器左边的"Dat"按钮(此时统计框已记录下数据[25,34,13])标准偏差计算平均值-- "Ave" 按钮总和-- "Sum" 按钮样本标准差[不是标准差或方差] -- "s" 按钮方差：先求出样本标准差,然后平方,除以样本数量,再乘以(样本数量减1)，才得出方差标准差：将方差开方在测量过程中，各项误差合成后得到的总极限误差称为测量的不确定度，他是表示由于测量过程中各项误差影响而使测量结果不能肯定的误差范围。

测量误差=测量值-真值，测量值>真值，为正差；测量值<真值，为负差。

不确定度不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度.反过来，也表明该结果的可信赖程度。

它是测量结果质量的指标.不确定度愈小，所述结果与被测量的真值愈接近,质量越高,水平越高，其使用价值越高；不确定度越大,测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越低。

在报告物理量测量的结果时,必须给出相应的不确定度，一方面便于使用它的人评定其可靠性，另一方面也增强了测量结果之间的可比性.不确定度的作用测量不确定度是目前对于误差分析中的最新理解和阐述，以前用测量误差来表述，但两者具有完全不同的含义．现在更准确地定义为测量不确定度．是指测量获得的结果的不确定的程度．不确定度的计算不确定度的值即为各项值距离平均值的最大距离。

例：有一列数.A1,A2,。

..,An,他们的平均值为A，则不确定度为：max{|A-Ai｜，i=1,2，...,n｝不确定度的定义表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数不确定度统计学家与测量学家一直在寻找合适的术语正确表达测量结果的可靠性。

譬如以前常用的偶然误差，由于“偶然”二字表达不确切，已被随机误差所代替，近年来，人们感到“误差"二字的词义较为模糊，如讲“误差是±1%"，使人感到含义不清晰。

但是若讲“不确定度是±1％”则含义是明确的。

因而用随机不确定度和系统不确定度分别取代了随机误差和系统误差。

测量不确定度与测量误差是完全不同的概念,它不是误差,也不等于误差。

1．测量不确定度和标准不确定度表征合理的赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数,称为测量不确定度.这是JJF1001—1998《通用计量术语及定义》中，对其作出的最新定义。

测量不确定度是独立而又密切与测量结果相联系的、表明测量结果分散性的一个参数。

在测量的完整的表示中,应该包括测量不确定度。

测量不确定度用标准偏差表示时称为标准不确定度，如用说明了置信水准的区间的半宽度的表示方法则成为扩展不确定度2．不确定度的A类、B类评定及合成由于测量结果的不确定度往往由多种原因引起的，对每个不确定度来源评定的标准偏差，称为标准不确定度分量，用符号表示.（1）不确定度的A类评定用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度,称为不确定度A类评定；所得到的相应标准不确定度称为A类不确定度分量,用符号表示。

测量误差与不肯定度评定一、测量误差1、测量误差和相对误差（1）.测量误差测量成果减去被测量的真值所得的差,称为测量误差,简称误差.这个界说从20世纪70年月以来没有产生过变更,以公式可暗示为：测量误差＝测量成果－真值.测量成果是由测量所得到的付与被测量的值,是客不雅消失的量的实验表示,仅是对测量所得被测量之值的近似或估量,显然它是人们熟悉的成果,不但与量的本身有关,并且与测量程序.测量仪器.测量情况以及测量人员等有关.真值是量的界说的完全表现,是与给定的特定量的界说完全一致的值,它是经由过程完美的或完美无缺的测量,才干获得的值.所以,真值反应了人们力图接近的幻想目标或客不雅真谛,本质上是不克不及肯定的,量子效应消除了独一真值的消失,现实上用的是商定真值,须以测量不肯定度来表征其所处的规模.因而,作为测量成果与真值之差的测量误差,也是无法精确得到或确实获知的.曩昔人们有时会误用误差一词,即经由过程误差剖析给出的往往是被测量值不克不及肯定的规模,而不是真正的误差值.误差与测量成果有关,即不合的测量成果有不合的误差,合理付与的被测量之值各有其误差其实不消失一个配合的误差.一个测量成果的误差,若不是正值（正误差）就是负值（负误差）,它取决于这个成果是大于照样小于真值.现实上,误差可暗示为：误差＝测量成果－真值＝（测量成果－总体均值）＋（总体均值－真值）＝随机误差＋体系误差（2）.相对误差测量误差除以被测量的真值所得的商,称为相对误差.2、随机误差和体系误差（1）.随机误差测量成果与反复性前提下,对统一被测量进行无穷多次测量所得成果的平均值之差,称为随机误差.随机误差＝测量成果－多次测量的算术平均值（总体均值）反复性前提是指在尽量雷同的前提下,包含测量程序.人员.仪器.情况等,以及尽量短的时光距离内完成反复测量义务.此前,随机误差曾被界说为：在统一量的多次测量进程中,以不成预知方法变更的测量误差的分量.随机误差的统计纪律性：○1对称性：绝对值相等而符号相反的误差,消失的次数大致相等,也即测得值是以它们的算术平均值为中间而对称散布的.因为所有误差的代数和趋于零,故随机误差又具有低偿性,这个统计特征是最为本质的;换言之,凡具有低偿性的误差,原则上均可按随机误差处理.○2有界性：测得值误差的绝对值不会超出必定的界线,也即不会消失绝对值很大的误差.○3单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差数量多,也即测得值是以它们的算术平均值为中间而相对分散地散布的.（2）.体系误差在反复性前提下,对统一被测量进行无穷多次测量所得成果的平均值与被测量的真值之差,称为体系误差.它是测量成果中期望不为零的误差分量.体系误差＝多次测量的算术平均值－被测量真值因为只能进行有限次数的反复测量,真值也只能用商定真值代替,是以可能肯定的体系误差只是其估量值,并具有必定的不肯定度.体系误差大抵起源于影响量,它对测量成果的影响若已辨认并可定量表述,则称之为“体系效应”.该效应的大小若是明显的,则可经由过程估量的修改值予以抵偿.但是,用以估量的修改值均由测量获得,本身就是不肯定的.至于误差限.最大许可误差.可能误差.引用误差等,它们的前面带有正负（±）号,因而是一种可能误差区间,其实不是某个测量成果的误差.对于测量仪器而言,其示值的体系误差称为测量仪器的“偏移”,通经常应用恰当次数反复测量示值误差的均值来估量.曩昔所谓的误差传播定律,所传播的其实其实不是误差而是不肯定度,故现已改称为不肯定度传播定律.还要指出的是：误差一词应按其界说应用,不宜用它来定量标明测量成果的靠得住程度.3.修改值和误差（1）.修改值和修改因子用代数办法与未修改测量成果相加,以抵偿其体系误差的值,称为修改值.含有误差的测量成果,加上修改值后就可能抵偿或削减误差的影响.因为体系误差不克不及完全获知,是以这种抵偿其实不完全.修改值等于负的体系误差,这就是说加上某个修改值就像扣失落某个体系误差,其后果是一样的,只是人们斟酌问题的动身点不合罢了,即真值＝测量成果＋修改值＝测量成果－误差在量值溯源和量值传递中,经常采取这种加修改值的直不雅的办法.用高一个等级的计量尺度来校准或检定测量仪器,其重要内容之一就是要获得精确的修改值.换言之,体系误差可以用恰当的修改值来估量并予以抵偿.但应强调指出：这种抵偿是不完全的,也即修改值本身就含有不肯定度.当测量成果以代数和方法与修改值相加后,其体系误差之模会比修改前的小,但不成能为零,也即修改值只能对体系误差进行有限程度的抵偿.修改因子：为抵偿体系误差而与未修改测量成果相乘的数字因子,称为修改因子.含有体系误差的测量成果,乘以修改因子后就可以抵偿或削减误差的影响.但是,因为体系误差其实不克不及完全获知,因而这种抵偿是不完全的,也即修改因子本身仍含有不肯定度.经由过程修改因子或修改值已进行了修改的测量成果,即使具有较大的不肯定度,但可能仍然十分接近被测量的真值（即误差甚小）.是以,不该把测量不肯定度与已修改测量成果的误差相混杂.（2）.误差：一个值减去其参考值,称为误差.这里的值或一个值是指测量得到的值,参考值是指设定值.应有值或标称值.例如：尺寸误差＝现实尺寸－应有参考尺寸误差＝现实值－标称值在此可见,误差与修改值相等,或与误差等值而反向.应强调指出的是：误差相对于现实值而言,修改值与误差则相对于标称值而言,它们所指的对象不合.所以在剖析时,起首要分清所研讨的对象是什么.罕有的概念还有上误差（最大极限尺寸与参考尺寸之差）.下误差（最小极限尺寸与参考尺寸之差）,它们统称为极限误差.由代表上.下误差的两条直线所肯定的区域,即限制尺寸变动量的区域,统称为尺寸公役带.二、测量不肯定度的评定与暗示1、测量不肯定度表征合理地付与被测量之值的疏散性.与测量成果相接洽的参数,称为测量不肯定度.“合理”意指应斟酌到各类身分对测量的影响所做的修改,特殊是测量应处于统计控制的状况下,即处于随机控制进程中.“相接洽”意指测量不肯定度是一个与测量成果“在一路”的参数,在测量成果的完全暗示中应包含测量不肯定度.此参数可所以诸如尺度[偏]差或其倍数,或说清楚明了置信水准的区间的半宽度.测量不肯定度从词意上懂得,意味着对测量成果可托性.有效性的疑惑程度或不肯定程度,是定量解释测量成果的质量的一个参数.现实上因为测量不完美和人们的熟悉缺少,所得的被测量值具有疏散性,即每次测得的成果不是统一值,而是以必定的概率疏散在某个区域内的很多个值.固然客不雅消失的体系误差是一个不变值,但因为我们不克不及完全认知或控制,只能以为它是以某种概率散布消失于某个区域内,而这种概率散布本身也具有疏散性.测量不肯定度就是解释被测量之值疏散性的参数,它不解释测量成果是否接近真值.为了表征这种疏散性,测量不肯定度用尺度[偏]差暗示.在现实应用中,往往愿望知道测量成果的置信区间,是以划定测量不肯定度也可用尺度[偏]差的倍数或说清楚明了置信水准的区间的半宽度暗示.为了区分这两种不合的暗示办法,分离称它们为尺度不肯定度和扩大不肯定度.（1）测量不肯定度起源在实践中,测量不肯定度可能起源于以下十个方面：○1对被测量的界说不完全或不完美;○2实现被测量的界说的办法不睬想;○3取样的代表性不敷,即被测量的样本不克不及代表所界说的被测量;○4对测量进程受情况影响的熟悉不周全,或对情况前提的测量与控制不完美;○5对模仿仪器的读数消失工资偏移;○6测量仪器的分辨力或辨别力不敷;○7付与计量尺度的值或尺度物资的值不准;○8引用于数据盘算的常量和其它参量不准;○9测量办法和测量程序的近似性和假定性;10在概况上看来完全雷同的前提下,被测量反复不雅测值的变更.○由此可见,测量不肯定度一般起源于随机性和隐约性,前者归因于前提不充分,后者归因于事物本身概念不明白.这就使测量不肯定度一般由很多分量构成,个中一些分量可以用测量列成果（不雅测值）的统计散布来进行评价,并且以实验尺度[偏]差表征;而另一些分量可以用其它办法（依据经验或其它信息的假定概率散布）来进行评价,并且也以尺度[偏]差表征.所有这些分量,应懂得为都进献给了疏散性.若须要暗示某分量是由某原因导致时,可以用随机效应导致的不肯定度和体系效应导致的不肯定度.（2）尺度不肯定度和尺度[偏]差以尺度[偏]差暗示的测量不肯定度,称为尺度不肯定度.尺度不肯定度用符号u 暗示,它不是由测量尺度引起的不肯定度,而是指不肯定度以尺度[偏]差暗示,来表征被测量之值的疏散性.这种疏散性可以有不合的暗示方法,例如：用()n x i x ni -=∑1暗示时,因为正残差与负残差可能相消,反应不出疏散程度;用n xi x n i -=∑1暗示时,则便利于进行解析运算.只有效尺度[偏]差暗示的测量成果的不肯定度,才称为尺度不肯定度.当对统一被测量作n 次测量,表征测量成果疏散性的量s 按下式算出时,称它为实验尺度[偏]差：S =()121--=∑n x x n i式中：x i 为第i 次测量的成果;x 为所斟酌的n 次测量成果的算术平均值.对统一被测量作有限的n 次测量,个中任何一次的测量成果或不雅测值,都可视作无穷多次测量成果或总体的一个样本.数理统计办法就是要经由过程这个样本所获得的信息（例如算术平均值x 和实验尺度[偏]差s 等）,来揣摸总体的性质（例如期望µ 和方差σ2等）.期望是经由过程无穷多次测量所得的不雅测值的算术平均值或加权平均值,又称为总体均值µ,显然它只是在理论上消失并暗示为µ ＝∞→n lim n 1i x n i ∑=1方差σ2则是无穷多次测量所得不雅测值x i 与期望µ之差的平方的算术平均值,它也只是在理论上消失并可暗示为σ2＝∞→n lim ［n 1()21μ-=∑i x n i ］方差的正平方根σ,平日被称为尺度[偏]差,又称为总体尺度[偏]差或理论尺度[偏]差;而经由过程有限多次测量得的实验尺度[偏]差s ,又称为样本尺度[偏]差.这个盘算公式即为贝赛尔公式,算得的s 是σ的估量值.s 是单次不雅测值x i 的实验尺度[偏]差,s /n 才是n 次测量所得算术平均值x 的实验尺度[偏]差,它是x 散布的尺度[偏]差的估量值.为易于差别,前者用s (x )暗示,后者用s (x )暗示,故有s (x )=s (x )/n .通经常应用s (x )表征测量仪器的反复性,而用s (x )评价以此仪器进行n 次测量所得测量成果的疏散性.跟着测量次数n 的增长,测量成果的疏散性s (x )即与n 成反比地减小,这是因为对多次不雅测值取平均后,正.负误差互相抵偿所致.所以,当测量请求较高或愿望测量成果的尺度[偏]差较小时,应恰当增长n ;但当n ＞20时,跟着n 的增长,s(x )的减小速度减慢.是以,在拔取n 的若干时应予分解斟酌或衡量利弊,因为增长测量次数就会拉长测量时光.加大测量成本.在平日情况下,取n ≥3,以n =4～20为宜.别的,应该强调s (x )是平均值的实验尺度[偏]差,而不克不及称它为平均值的尺度误差.2.不肯定度的A 类.B 类评定及合成因为测量成果的不肯定度往往由很多原因引起,对每个不肯定度起源评定的尺度[偏]差,称为尺度不肯定度分量,用符号u i 暗示.对这些尺度不肯定度分量有两类评定办法,即A 类评定和B 类评定.(1) 不肯定度的A 类评定用对不雅测列进行统计剖析的办法来评定尺度不肯定度,称为不肯定度的A类评定,有时也称A类不肯定度评定.经由过程统计剖析不雅测列的办法,对尺度不肯定度的进行的评定,所得到的响应尺度不肯定度称为A类不肯定度分量,用符号u A暗示.这里的统计剖析办法,是指依据随机掏出的测量样本中所获得的信息,来揣摸关于总体性质的办法.例如：在反复性前提或复现性前提下的任何一个测量成果,可以看作是无穷多次测量成果（总体）的一个样本,经由过程有限次数的测量成果（有限的随机样本）所获得的信息（诸如平均值x.实验尺度差s）,来揣摸总体的平均值（即总体均值µ或散布的期望值）以及总体尺度[偏]差σ,就是所谓的统计剖析办法之一.A类尺度不肯定度用实验尺度[偏]差表征.(2) 不肯定度的B类评定用不合于对不雅测列进行统计剖析的办法来评定尺度不肯定度,称为不肯定度的B类评定,有时也称B类不肯定度评定.这是用不合于对测量样本统计剖析的其他办法,进行的尺度不肯定度的评定,所得到的响应的尺度不肯定度称为B类尺度不肯定度分量,用符号u B暗示.它用依据经验或材料及假设的概率散布估量的尺度[偏]差表征,也就是说其原始数据并不是来自不雅测列的数据处理,而是基于实验或其他信息来估量,含有主不雅鉴此外成分.用于不肯定度B类评定的信息起源一般有：①以前的不雅测数据;②对有关技巧材料和测量仪器特征的懂得和经验;③临盆部分供给的技巧解释文件;④校准证书.检定证书或其他文件供给的数据.精确度的等别或级别,包含今朝仍在应用的极限误差.最大许可误差等;⑤手册或某些材料给出的参考数据及其不肯定度;⑥划定实验办法的国度尺度或相似技巧文件中给出的反复性限r或复现性限R.不肯定度的A类评定由不雅测列统计成果的统计散布来估量,其散布来自不雅测列的数据处理,具有客不雅性和统计学的严厉性.这两类尺度不肯定度仅是估算办法不合,不消失本质差别,它们都是基于统计纪律的概率散布,都可用尺度[偏]差来定量表达,合成时一致看待.只不过A类是经由过程一组与不雅测得到的频率散布近似的概率密度函数求得.而B类是由基于事宜产生的信赖度（主不雅概率或称为经验概率）的假定概率密度函数求得.对某一项不肯定度分量毕竟用A类办法评定,照样用B类办法评定,应由测量人员依据具体情况选择.特殊应该指出：A类.B类与随机.体系在性质上并没有对应关系,为防止混杂,不该再应用随机不肯定度和体系不肯定度.(3) 合成尺度不肯定度当测量成果是由若干个其他量的值求得时,按其他各量的方差和协方差算得的尺度不肯定度,称为合成尺度不肯定度.在测量成果是由若干个其他量求得的情况下,测量成果的尺度不肯定度,等于这些其他量的方差和协方差恰当和的正平方根,它被称为合成尺度不肯定度.合成尺度不肯定度是测量成果尺度[偏]差的估量值,用符号u c暗示.方差是尺度[偏]差的平方,协方差是相干性导致的方差.当两个被测量的估量值具有雷同的不肯定度起源,特殊是受到雷同的体系效应的影响（例如：应用了统一台尺度器）时,它们之间即消失着相干性.假如两个都偏大或都偏小,称为正相干;假如一个偏大而另一个偏小,则称为负相干.由这种相干性所导致的方差,即为协方差.显然,计入协方差会扩大合成尺度不肯定度,协方差的盘算既有属于A类评定的.也有属于B类评定的.人们往往经由过程转变测量程序来防止产生相干性,或者使协方差减小到可以略计的程序,例如：经由过程转变所应用的统一台尺度等.假如两个随机变量是自力的,则它们的协方差和相干系数等于零,但反之不必定成立.合成尺度不肯定度仍然是尺度[偏]差,它表征了测量成果的疏散性.所用的合成的办法,常被称为不肯定度传播律,而传播系数又被称为敏锐系数,用c i暗示.合成尺度不肯定度的自由度称为有效自由度,用νeff暗示,它标明所评定的u c的靠得住程度.平日在陈述以下测量成果时,可直接应用合成尺度不肯定度u c(y),同时给出自由度νeff：①基本计量学研讨;②根本物理常量测量;③复现国际单位制单位的国际比对.(1)扩大不肯定度扩大不肯定度是肯定测量成果区间的量,合理付与被测量之值散布的大部分可望含于此区间.它有时也被称为展伸不肯定度或规模不肯定度.现实上扩大不肯定度是由合成尺度不肯定度的倍数暗示的测量不肯定度,彻夜用符号U暗示.它是将合成尺度不肯定度扩大了k倍得到的,即U=ku c,这里k值一般为2,有时为3,取决于被测量的重要性.效益和风险.扩大不肯定度是测量成果的取值区间的半宽度,可期望该区间包含了被测量之值散布的大部分.而测量成果的取值区间在被测量值概率散布中所包含的百分数,被称为该区间的置信概率.置信水准或置信程度,用符号p 暗示.这时扩大不肯定度用符号U p暗示,它给出的区间能包含被测量可能值的大部分（比方95%或99%等）.按测量不肯定度的界说,合理付与的被测量之值的疏散区间理应包含全体的测得值,即100%地包含于区间内,此区间的半宽通经常应用符号a暗示.若请求个中包含95%的被测量之值,则此区间称为概率为p=95%的置信区间,其半宽就是扩大不肯定度U95;相似地,若请求99%的概率,则半宽为U99.这个与置信概率区间或统计包含区间有关的概率,即为上述的置信概率.显然,在上面例举的三个半宽之间消失着U95＜U99＜a的关系,至于具体小若干或大若干,还与付与被测量之值的散布情况有关.归纳上述内容,可将测量不肯定度的分类简示为：测量不肯定度：尺度不肯定度：A类尺度不肯定度B类尺度不肯定度合成尺度不肯定度扩大不肯定度：U（k=2,3）U p(p为置信概率)值得指出的是：在20世纪80年月曾用术语总不肯定度,因为在陈述最终测量成果时既可用扩大不肯定度也可用合成尺度不肯定度,为防止混杂,今朝在定量暗示时一般不再应用总不肯定度这个术语.(2)包含因子和自由度为求得扩大不肯定度,对合成尺度不肯定度所乘之数字因子,称为包含因子,有时也称为笼罩因子.包含因子的取值决议了扩大不肯定度的置信程度.鉴于扩大不肯定度有U与U p两种暗示方法,它们在称呼上并没有差别,但在应用时k一般为2或3,而k p则为给定置信概率p所请求的数字因子.在被测量估量值拉近于正态散布的情况下,k p就是t散布（学生散布）中的t值.评定扩大不肯定度U p时,已知p与自由度ν,即可查表得到k p,进而求得U p.拜见JJF1059-1999《测量不肯定度评定与暗示》的附录A：“t散布在不合置信概率p 与自由度ν的t p(ν)值”.自由度一词,在不合范畴有不合的寄义.这里对被测量若只不雅测一次,有一个不雅测值,则不消失选择的余地,即自由度为0.如有两个不雅测值,显然就多了一个选择.换言之,本来不雅测一次即可获得被测量值,但人们为了进步测量的质量（品德）或可托度而不雅测n次,个中多测的（n-1）次现实上是由测量人员依据须要自由选定的,故称之为“自由度”.在A类尺度不肯定度评定中,自由度用于标明所得的尺度[偏]差的靠得住程度.它被界说为“在方差盘算中,和的项数减去对和的限制数”.按贝塞尔公式盘算时,取和符号∑后的项数等于n,而n个不雅测值与其平均值x之差（残差）的和显然为零,即∑(x i-x)=0.这就是一个限制前提,即限制数为1,故自由度ν=n-1.平日,自由度等于测量次数n减去被测量的个数m,即ν=n-m.现实上,自由度往往用于求包含因子k p,假如只评定U而不是U p,则不必盘算自由度及有效自由度.(1)测量不肯定度的评定流程下图简示了测量不肯定度评定的全体流程.在尺度不肯定度分量评定环节中,JJF1059-1999建议列表解释,即列出尺度不肯定度一览表,以便一目了然.当以U陈述最终测量成果时,可采取以下两种情势之一,但均须指明k值.例如：u c(y)＝0.35mg,取包含因子k＝2,U＝,则（a）m＝100.02147g,U＝0.70mg;k＝2（b）m7±）g;k＝2当以U p陈述最终测量成果时,可采取以下四种情势之一,但均须指明有效自由度v eef .例如：u c(y)＝0.35mg,v eef＝9,按p＝95％,查JJF1059-1999《测量不肯定度评定与暗示》的附录A表得k p＝t95(9)=2.26;U95×0.35mg=0.79mg,则（a）m＝100.02147g;U95=0.79mg,v eef＝9.（b）m＝100.02147（79）g;v eef＝9,括号内为U95之值,其末位与前面成果内末位数对齐.（c）m＝100.02147（0.00079）g;v eef＝9,括号内为U95之值,与前面成果有雷同计量单位.（d）m±0.00079）g;v eef＝9,括号内第二项为U95之值.为明白起见,建议用以下方法解释：“式中,正负号后的值为扩大不肯定度U95=k95 u c(m),而合成尺度不肯定度u c(m)＝0.35mg,自由度v eef＝9,包含因子k p＝t95(9)=2.26,从而具有约95％概率的置信区间”.陈述最终测量成果时,应留意有效位数：平日u c(y)和U（或U p）最多取2位有效数字,且y与y c（y）或U（或U p）的修约距离应雷同.不肯定度也可以相对情势u rel(y)或U rel陈述.三、测量误差与测量不肯定度归纳上述内容,可将测量误差与测量不肯定度之间消失的重要差别列于下表测量误差与测量不肯定度的重要差别经常应用玻璃量器比对测量成果不肯定度评定一、目标用衡量法检定10 ml分度吸管.二、检定步调取容量50 ml的干净量瓶,在电子天平上称量,去皮重（清零）,用被检定的10 ml分度吸管分离参加总容量的1/10.半容量和总容量的纯水（自流液口起）,天平显示的数值即为被检容量的质量值（m0）,称完后将数字温度计直接拔出瓶内测温,然后在JJG196-90衡量法用表（二）中查得质量值（m）,依据公式盘算尺度温度20℃时的现实容量.三、被测量V20——尺度温度20℃时量器的现实容量（ml）量器在尺度温度20℃时的现实容量盘算公式：V20＝V0＋（m0－m）/ρw式中：V20——量器在尺度温度20℃时的现实容量（ml）;V0——量器的标称容量（ml）;m0——称得的纯水质量值（g）;m——衡量法用表（二）中查得的质量值（g）;ρw——t℃时纯水密度值,近似为1（g/ml）.四、不肯定度起源的辨认依据被测量的盘算公式可懂得到,对被测量及其不肯定度的影响重要有以下四个身分：1、V20反复性不肯定度u v20。

1、数学模型 被e = 被e -+标标
标S e e -- 被S
式中：被e ——被检热电偶在某检定点实际电势值
被e -——被检热电偶在某检定点附近温度下测得的热电动势算术平均值 标e ——标准热电偶证书上某检定点的热电动势值 标e -——标准热电偶在某检定点附近温度下测得的热电动势算术平均值 标S 、被S ——分别表示标准、被检热电偶在检定点温度的微分热电动势 灵敏系数
c 1=被被
-∂∂e e =1
c 2= 标被
e e ∂∂=标
被S S c 3= 标被-
∂∂e e = — 标被S S 2、单次实验标准差为
1s =12
)(--∑-n e e 被被
3、实际测量n 次(实际做6次)
p s =6 (26)
2221s s s ++
u (1被e )=n p
s
自由度1被v =m(n-1)=54 估计)4(u )4(u 被被e e ∆为0.20则自由度4被v =12 u (被e )=3
0.8
合成不确定度
c u =∑++2223
21标标被e E u c u c u c
合成自由度用惟尔其——萨特思韦特公式：
eff v =
∑=N I i c v y u 144)(。