第八讲 扩展不确定度的计算

（整理）不确定度的计算⽅法.精品⽂档测量结果的正确表达被测量X 的测量结果应表达为：)(单位U X X ±= 其中X 是测量值的平均值，U 是不确定度。

例如：⽤最⼩刻度为cm 的直尺测量⼀长度最终结果为：L =(0.750±0.005)cm ；测量⾦属丝杨⽒模量的最终结果为：E = (1.15±0.07)×1011Pa 。

1. 不确定度的计算⽅法直接测量不确定度的计算⽅法22仪?+=S U其中： 1)(2--=∑n X XS i为标准差；仪?是仪器误差，⼀般按仪器最⼩分度的⼀半计算，但是游标卡尺和⾓游标按最⼩分度计算。

也可按仪器级别计算或查表。

间接测量不确定度的合成⽅法间接测量）??=,,,(z y x f N 的平均值公式为：）??=,,,(z y x f N ；不确定度合成公式为： +++=222222)()()(Z Y X N U ZN U Y N U X N U 。

也可根据表1中的公式计算间接测量的不确定度。

表1 常⽤函数不确定度合成公式函数表达式合成公式2γβαZY X N =222222)()()(ZUY U X U N U Z Y X N γβα++= 注:1. 在函数关系是乘除法时,先计算相对不确定度(NU N)⽐较⽅便.例如表中第⼆⾏的公式.2. 不确定度合成公式可以联合使⽤.例如:若φθτ3sin =,令θsin =u ，φ3=w 则wu=τ.精品⽂档根据表中第⼆⾏公式,有:22)()(wUu U U w u +=ττ; 根据表中第⼀⾏公式,有: φφU U U w 332 2==; 根据表中第三⾏公式,有: θθU U u ?=cos . 所以, 2222)( )sin cos ()33()sin cos (φθθτφθθτφθφθτU U U U U +??=+??=。

不确定度计算2、不确定度各分量的评定根据测量步骤可知，测量氨氮质量的不确定度来源有几个方面，一是由标准曲线配制所产生的不确定度，二是测试过程所产生的不确定度。

按《化学分析中不确定度的评估指南》，对于只涉及积或商的模型，例如：c N=m/v，合成标准不确定度为：式中，u(c)为质量m和体积v的合成标准测量不确定度，mg/L；u(m)为质量m的标准测量不确定度，ug；u(v)为体积v的标准测量不确定度，mL。

2.1 取样体积引入的相对不确定度u rel(v)所取水样用50mL单标线吸管移取。

查JJG 196－2006《常用玻璃量器检定规程》，A级50mL 单标线吸管的容量允差为0.05mL，根据JJF 1059-1999《测量不确定度评定与表示》的规定，标定体积为三角分布，则容量允差引入的不确定度为：u(△V)=0.050/√6 。

根据制造商提供的信息，吸量管校准温度为20℃，设实验室内温度控制在±5℃范围内波动，与校准时的温差为5℃，由膨胀系数(以水的膨胀系数计算)为2.1×10-4/℃得到50mL水样的标准不确定度为（假定为均匀分布）：2.2重复性测定引入的相对不确定度u rel(rep)采用A类方法评定，与重复性有关的合成标准不确定度均包含其中。

对某水样进行7次重复性测定，所得结果如下：1.33、1.35、1.34、1.34、1.35、1.38、1.35mg/L，平均值1.35 mg/L。

重复测量数据的标准不确定度为：2.3 铵（以氮计）的绝对量m引入的不确定度u rel(m)配制过程中引入的不确定度u rel(1)a.) 标准贮备液的不确定度u rel(1－1)：包括纯度、称量、体积及摩尔质量计算4个部分，其中，摩尔质量计算不确定度可省略不计（与其它因素相比，其对标准浓度计算相差1－2个数量级）。

纯度p：按供应商提供的参考数据，分析纯氯化铵[NH4Cl]纯度为≥99.5%，将该不确定度视为矩形分布，则标准不确定度为u(p) =0.5/√3＝28.9×10-4；称量m：经检定合格的天平最大允许误差±0.1mg，将该不确定度视为矩形分布，标准偏差为0.058mg，称量3.819g时的相对标准偏差为u(m) =0.152×10-4；体积v：影响体积的主要不确定度有校准及温度。

·４６·质量技术监督研究Ｑｕａｌｉｔｙ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｓｕｐｅｒｖｉｓｉｏｎ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ２０１０年第１期（总第７期）ＮＯ．１．２０１０Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｎｏ．７一、引言在测量不确定度评定过程，需要选择包含因子ｋ或ｋｐ，在ＪＪＦ　１０５９－１９９９《测量不确定度评定与表示》（以下简称“ＪＪＦ　１０５９”）中７．１条，对计算扩展不确定度有两种方法：一种直接选择ｋ＝２或３，乘合成标准不确定度ｕｃ（ｙ）得扩展不确定度Ｕ；另一种在给定概率ｐ下，查“ｔ分布临界值”的ｋｐ，然后乘合成标准不确定度ｕｃ（ｙ）得扩展不确定度Ｕ。

但没有明确在什么情况下选择那种包含因子评定扩展不确定度，只提到“但ｖｅｆｆ充分大时，可以近似认为ｋ９５＝２、ｋ９９＝３”。

因此本文主要根据ＩＳＯ、ＩＥＣ等７个国际组织联合制定并发布《测量不确定度表达指南》〔（ＧＵＭ）ＩＳＯ：１９９３（Ｅ）〕有关内容阐述如何简单选取包含因子计算扩展不确定度。

二、对《测量不确定度表达指南》中推荐的简单方法的理解根据《测量不确定度表达指南》附录Ｇ选取包含因子简单选择方法有：在Ｙ和ｕｃ（ｙ）表征的概率分布近似为状态分布，且ｕｃ（ｙ）的有效自由度ｖｅｆｆ较大时，可取ｋ＝２，其所形成的区间±２ｕｃ（ｙ）具有置信概率约为９５％；若取ｋ＝３，其所形成的区间±３ｕｃ（ｙ）具有置信概率约为９９％。

具体成立条件为：１、被测量Ｙ的估计值ｙ，是由适当的输入量Ｘi 的估计值ｘi 得到的，Ｘi 由良好概率分布描述，如正态分布或矩形分布；２、可由Ａ类或Ｂ类评定输入量的估计值的标准不确定度ｕ（ｘi ），它们对测量结果合成不确定度ｕｃ（ｙ）有一定的贡献；３、由不确定度传播律要求的线性近似是合适的；４、ｕｃ（ｙ）的不确定度是很小的，因其有效自由度ｖｅｆｆ具有足够的大小，如ｖｅｆｆ＞１０。

实际评定测量不确定度对上述４个条件中大部分满足前３条。

测量结果的正确表达
被测量X的测量结果应表达为：'- !
其中是测量值的平均值，是不确定度。

例如：用最小刻度为cm的直尺测量一长度最终结果为：L=(0.750 ±.005cm；测量金属丝杨氏模量的最终结果为：E=(1.15 0.07 >1011Pa。

1.不确定度的计算方法
直接测量不确定度的计算方法
; ------ _
其中：为标准差；
是仪器误差，一般按仪器最小分度的一半计算，但是游标卡尺和角游标按最小分度计算。

也可按仪器级别计算或查表。

间接测量不确定度的合成方法
间接测量’的平均值公式为：•；
不确定度合成公式为：。

也可根据表1中的公式计算间接测量的不确定度。

表1常用函数不确定度合成公式
1.在函数关系是乘除法时，先计算相对不确定度（＞比较方便.例如表中第二行的公式•
2.不确定度合成公式可以联合使用.
sin & u
例如:若，令，则根据表中第二行公式，有：；
U = iVu1 = W7
根据表中第一行公式，有：；根据表中第三行公式，有：•
U t 所以，
普八（与
sin 3 0
皿i
1」
1sin0 0
U
、
U^= cos X U。

评定扩展不确定度时包含因子k的计算方法摘要本文介绍了评定扩展不确定度时，利用Excel办公软件特有的NORMSDIST和NORMSINV函数获得任意置信概率下的包含因子值的计算方法，并举例验证了该方法的正确性。

这种方法极大地提高了数理统计处理的效率及准确性。

关键词Excel；正态分布；统计；包含因子；函数1 正态分布下置信概率与包含因子的关系在精密测量中，总会有各种因素影响着测量，使每次测量结果都不相同。

为此人们采用重复测量，利用平均值作为测量值的估计值。

为表示测量结果质量的优劣，提出了不确定度的概念：测量不确定度是测量结果的一个参数，它表征被测量之值的分散性。

在测量中，若输入量xi 受到多个独立量的影响，且影响程度相近，xi则可视为正态分布。

在正态分布中，约68.3%的值在总体均值的正负一个标准差内；约95.5%的值在总体均值的两个标准差内；约99.7%的值在总体均值的三个标准差内。

如图1所示。

当测量结果受多种因素影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度来表示。

合成标准不确定度采用标准差的估计值，用符号uc表示，它表征了测量结果的分散性。

合成标准不确定度仅对应于标准差，由其所表示的测量结果为y±uc ，结果中含被测量Y的真值的概率仅为68%。

在工程技术中，置信概率P 通常取较大值，此时的不确定度称为扩展不确定度。

常用标准不确定度的k倍表示，即。

它是将合成标准不确定度扩展了k 倍得到的。

这里的k值称作包含因子，正态分布的置信概率p 与包含因子kp 的关系如表1所示。

然而此表在很多书中并不提供，即使提供也很简单。

即使给出几个特定p 值所对应的k值，使用时也必须查表，因此非常不方便。

2 利用Excel函数计算任意置信概率下的包含因子值正态分布情况下，可以利用Excel办公软件特有的NORMSDIST函数和NORMSINV函数可以很准确方便地获得不同置信概率p下的包含因子k值，极大地提高了数理统计处理的工作效率及准确性。

五、交流标准电流源电流测量不确定度评定一、概 述1.1 目 的评定交流标准电流源测量不确定度。

1.2 依据标准暂无，参考JJG445-1986《直流标准电压源检定规程》。

1.3 使用的仪器设备交流数字电压表，仪器校准后1年内，在1.5V ，50Hz 点示值最大允许误差为： 80×10-6 ×(读数) +10×2×10-6 ⨯(满量程) 6位半显示,经检定合格。

交流电流电压变换器，型号：ＬＹＢ－０２，准确度等级：0.005%。

1.4 测量程序由被检交流标准电流源输出1A 加到交流电流－电压变换器，调准被检源交流电流为1A ，由交流电流电压变换器将1A ，50Hz 交流电流转换为1.5V ，50Hz 交流电压，读取交流数字电压表值。

1.5 不确定度评定结果的应用符合上述条件或十分接近上述条件同类测量结果，一般可以参照本例方法评定。

二、数学模型测量结果直接由交流数字电压表读数给出I x =CE 0式中： I x ——被检标准源的输出电流值，A ；E 0——交流数字电压表的显示值，V （为避免与不确定度符号U 混淆，采用字母E 表示电压）；C ——常数，交流电流-电压变换器的变比值，C =1.5V/1A 。

三、不确定度来源直流标准电压源测量不确定度来源主要包括：(1) 测量重复性的不重复引入的不确定度u A ，采用A 类方法评定； (2) 交流数字电压表准确度引入的不确定度u B1，采用B 类方法评定； (3) 交流数字电压表上级标准传递引入的不确定度u B2，采用B 类方法评定； (4) 交流数字电压表分辨力引入的不确定度u B3，采用B 类方法评定； (5) 交流电流－电压变换器准确度引入的不确定度u B4，采用B 类方法评定。

(6) 交流电流电压变换器上级传递引入的不确定度u B5，采用B 类方法评定。

测量重复性数字式电压表引入的不确交流数字电压表上级标准传递引入的不确定度交流电流-电压变换器引入的不确定度交流电流电压变换器上级标准传递引入的不确定度图1 各种不确定度分量关系图四、标准不确定度评定4.1交流标准电流源测量重复性引入的标准不确定度u A对被测交流标准电流源选1A 点进行测量，在重复性条件下进行10次测量，经交流电流电压变换器将交流电流变换为1.5V 交流电压，结果如表1所示：表1 交流标准电压源电压测量结果将测得的电压平均值转换为电流的平均值I =CE =5.14999131.1=0.99994A算得单次的实验标准差为：1)x()(12--=∑=n x x s ni ii =4.12×10-5 V)(i i s =)(C x s i =C x s i )(=5.1)(i x s =2.75×10-5A日常检测中，通常只取一次测量结果，所以标准不确定度分量：)(i A i s u ==2.75×10-5 A4.2 交流数字电压表误差引起的不确定度交流数字电压表测量1.5V 的最大允许误差定为80×10-6 ×(读数) +10×2×10-6 ⨯(满量程), 区间内服从均匀分布，包含因子B1=k 1α=3.2×10-5，则标准不确定度：u B1=C31040.14-⨯=5.39×10-5 AC ——交流电流-电压变换器的变比值，C =1.5V/1A4.3 交流数字电压表上级传递引起的不确定度已知上级传递给定的不确定度U =10×10-5，包含因子k B2=3, 则标准不确定度：u B2= U /3=C310105-⨯×1.5V=3.33×10-5 AC ——交流电流-电压变换器的变比值，C =1.5V/1A4.4 交流数字电压表分辨力引入的标准不确定度u B3。

化学分析中扩展不确定度的计算及评估1 概述在分析化学中化学定量分析是占主导地位的部分,很多重要的决策都是建立在化学定量分析的结果基础上,在过去主要是把重点放在通过特定的方法获得的结果的精密度,这导致人们所从事的分析工作经常被要求证明其结果的质量,特别是通过度量结果的可信度来证明结果的适宜性,而这通常与所使用的分析方法无关。

其弊端在于只能对实验结果的精密度进行评价,而对于实验方法的可行性和科学性无法作出客观评估,这就导致可信的结果不一定适宜和合理,因此必须引入的一个有用的方法就是测量不确定度。

在我国过去沿用的国家化学基础标准中,对于分析结果的评定一直是使用精密度来度量,即对结果数据的平均偏差和极差进行计算并要求其不超出一定的范围,现今国家最新使用的基础标准版本已经对此进行了很大的改动,主要就是把对分析结果的偏差度量改为使用不确定度来评估结果。

侧重于评估这些实验结果在多大程度上是可靠的。

这就大大满足用户对于实验结果的信心。

而达到这一目的的前提是必须建立对非用户自身机构所得数据的信心,这就客观要求实验室必须引进质量保证措施来确保其能够并且正在提供所需质量的数据。

这些质量保证措施包括:使用经确认的分析方法、使用规定的内部质量控制程序、建立测量结果的溯源性。

这也是实验室评估不确定度所应具备的必需条件。

2 不确定度的计算及评估在评估不确定度时,同样也有一定的方法和程序,它同时要求分析人员注意产生不确定度的所有可能来源,正确的做法是集中精力分析最大的不确定分量,因为合成不确定的数值几乎完全取决于那些重要的不确定分量,实际上初步的分析就可快速确定不确定度的来源,当完成不确定度评估后,经过有关质量控制数据验证后,这一不确定度估计值能可靠地使用于以后该方法所得到的结果中。

为获得测量结果的不确定度估计值所要进行的工作可概括为以下:2.1 规定被测量清楚地写明需要测量什么,包括被测量和被测量所依赖的输入量的关系。

2.2 识别不确定度的来源列出不确定度的可能来源,包括前一步所规定的关系式中所含参数的不确定度来源,但是也可以有其他的来源,必须包括那些由化学假设所产生的不确定度来源。

·４６·质量技术监督研究Ｑｕａｌｉｔｙ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｓｕｐｅｒｖｉｓｉｏｎ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ２０１０年第１期（总第７期）ＮＯ．１．２０１０Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｎｏ．７一、引言在测量不确定度评定过程，需要选择包含因子ｋ或ｋｐ，在ＪＪＦ　１０５９－１９９９《测量不确定度评定与表示》（以下简称“ＪＪＦ　１０５９”）中７．１条，对计算扩展不确定度有两种方法：一种直接选择ｋ＝２或３，乘合成标准不确定度ｕｃ（ｙ）得扩展不确定度Ｕ；另一种在给定概率ｐ下，查“ｔ分布临界值”的ｋｐ，然后乘合成标准不确定度ｕｃ（ｙ）得扩展不确定度Ｕ。

但没有明确在什么情况下选择那种包含因子评定扩展不确定度，只提到“但ｖｅｆｆ充分大时，可以近似认为ｋ９５＝２、ｋ９９＝３”。

因此本文主要根据ＩＳＯ、ＩＥＣ等７个国际组织联合制定并发布《测量不确定度表达指南》〔（ＧＵＭ）ＩＳＯ：１９９３（Ｅ）〕有关内容阐述如何简单选取包含因子计算扩展不确定度。

二、对《测量不确定度表达指南》中推荐的简单方法的理解根据《测量不确定度表达指南》附录Ｇ选取包含因子简单选择方法有：在Ｙ和ｕｃ（ｙ）表征的概率分布近似为状态分布，且ｕｃ（ｙ）的有效自由度ｖｅｆｆ较大时，可取ｋ＝２，其所形成的区间±２ｕｃ（ｙ）具有置信概率约为９５％；若取ｋ＝３，其所形成的区间±３ｕｃ（ｙ）具有置信概率约为９９％。

具体成立条件为：１、被测量Ｙ的估计值ｙ，是由适当的输入量Ｘi 的估计值ｘi 得到的，Ｘi 由良好概率分布描述，如正态分布或矩形分布；２、可由Ａ类或Ｂ类评定输入量的估计值的标准不确定度ｕ（ｘi ），它们对测量结果合成不确定度ｕｃ（ｙ）有一定的贡献；３、由不确定度传播律要求的线性近似是合适的；４、ｕｃ（ｙ）的不确定度是很小的，因其有效自由度ｖｅｆｆ具有足够的大小，如ｖｅｆｆ＞１０。

实际评定测量不确定度对上述４个条件中大部分满足前３条。

扩展不确定度的计算
李慎安
【期刊名称】《中国计量》
【年(卷),期】2000()8
【总页数】2页(P53-54)
【关键词】测量不确定度;扩展不确定度;计算方法
【作者】李慎安
【作者单位】国家质量技术监督局
【正文语种】中文
【中图分类】TB9－32
【相关文献】
1.转速相对扩展不确定度的一种简便计算方法 [J], 谢静;吕伟;高颖
2.测量不确定度基本原理和评定方法及在材料检测中的评定实例第五讲测量不确定度的评定方法(扩展不确定度的评定、报告及表示) [J], 王承忠
3.硝酸盐标准工作液扩展不确定度的计算 [J], 袁盟翔
4.测量不确定度表述讲座第十讲扩展不确定度的计算 [J], 黄战备;李慎安
5.测量不确定度表述讲座第九讲扩展不确定度的计算 [J], 黄战备;李慎安
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

求扩展不确定度的模拟统计方法
杨述武
【期刊名称】《物理实验》
【年(卷),期】2005(25)9
【摘要】不使用方和根公式,采用计算机模拟统计方法,求得扩展不确定度.
【总页数】3页(P20-21,24)
【作者】杨述武
【作者单位】东北师范大学,物理学院,吉林,长春,130024
【正文语种】中文
【中图分类】O4-34;O4-39
【相关文献】
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不确定度不确定度的含义是指由于测量误差的存在，对被测量值的不能肯定的程度。

反过来，也表明该结果的可信赖程度.它是测量结果质量的指标。

不确定度愈小,所述结果与被测量的真值愈接近，质量越高，水平越高，其使用价值越高;不确定度越大，测量结果的质量越低，水平越低，其使用价值也越低。

在报告物理量测量的结果时，必须给出相应的不确定度,一方面便于使用它的人评定其可靠性，另一方面也增强了测量结果之间的可比性.不确定度的作用测量不确定度是目前对于误差分析中的最新理解和阐述，以前用测量误差来表述,但两者具有完全不同的含义．现在更准确地定义为测量不确定度．是指测量获得的结果的不确定的程度．不确定度的计算不确定度的值即为各项值距离平均值的最大距离。

例：有一列数.A1，A2,。

.。

，An,他们的平均值为A，则不确定度为:max｛|A-Ai｜，i=1，2，。

，n}不确定度的定义表征合理地赋予被测量之值的分散性,与测量结果相联系的参数不确定度统计学家与测量学家一直在寻找合适的术语正确表达测量结果的可靠性。

譬如以前常用的偶然误差，由于“偶然”二字表达不确切，已被随机误差所代替，近年来，人们感到“误差”二字的词义较为模糊，如讲“误差是±1％”，使人感到含义不清晰。

但是若讲“不确定度是±1%”则含义是明确的。

因而用随机不确定度和系统不确定度分别取代了随机误差和系统误差。

测量不确定度与测量误差是完全不同的概念，它不是误差，也不等于误差。

1．测量不确定度和标准不确定度表征合理的赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数,称为测量不确定度。

这是JJF1001—1998《通用计量术语及定义》中,对其作出的最新定义。

测量不确定度是独立而又密切与测量结果相联系的、表明测量结果分散性的一个参数。

在测量的完整的表示中，应该包括测量不确定度。

测量不确定度用标准偏差表示时称为标准不确定度，如用说明了置信水准的区间的半宽度的表示方法则成为扩展不确定度2．不确定度的A类、B类评定及合成由于测量结果的不确定度往往由多种原因引起的，对每个不确定度来源评定的标准偏差,称为标准不确定度分量，用符号表示。

一、由被检表读数引入的标准不确定度)(x R u1. 由被检表测量重复性引入的标准不确定度)(1x R u取最小分辨力，取半区间,按均匀分布考虑，k =3。

由此引入的不确定度为：)(2x R u =3最小分辨力一半2. 由被检表读数分辨力引入的标准不确定度)(2x R u一个检定点做10遍,算标准差s （：S=)1(/)(2--∑n X X i ） 所以 )(1x R u =n S /二、由标准器引入的标准不确定度)(n R u1. 标准器具一)(1n R u 如果只知道允许误差：)(1n R u =3最大允许误差。

按均匀分布考虑，k =32. 标准器具二)(2n R u 如果有校准证书：)2(n R u =2/包含因子扩装不确定度（K 一般为2;正态分布k=2,概率95。

45%)一个测量值需要用2个标准器具：两个标准器具共同引来的标准不确定度为:)(n R u =)2(2)1(2n R u n R u +三、最后合成标准不确定度：(灵敏系数)(x R c =x R f ∂∂=1 )(n R c =nR f ∂∂=—1) )()()()(2222n n x x c R u R c R u R c u +=四、扩展不确定度：U=c u * Krel U =实际值K* c u 注：一般标准装置的扩展不确定度应小于被校测量仪器的最大允许误差绝对值的1/3 正态分布：K=2～3 相应的置信概率P 为0.95～0。

99均匀分布:k =3三角分布:k=6相应置信概率P≈1反正弦分布：k=2其他因数带来的影响：●测量的方法●检定点的选择●环境的影响●人为读数的实效性●测量仪器的分辨力●标准不准●重复性。