导数及其应用
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(一)
一、选择题：
1．满足f(x)＝f ′(x)的函数是（）A．f(x)＝1－x B．f(x)＝x C．f(x)＝0D．f(x)＝1 2．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数
3．曲线y＝
x3－3x
＋1在点（1，－1）处的切线方程为（）A．y＝3x－4B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3D．y＝4x－5 4．在导数定义中，自变量x的增量△x
( )
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不等于0 5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)内可导，且f ′(x)>0，则下列结论正确的是（）
A．f(x)在R上单调递减B．f(x)在R上是常数
C．f(x)在R上不单调D．f(x)在R上单调递增
6．下列说法正确的是( ) A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．在闭区间上的连续函数一定存在最值7．下列命题正确的是（）A．极大值比极小值大B．极小值不一定比极大值小
C．极大值比极小值小D．极小值不大于极大值
8．抛物线y= x2上点M(1
2
，
1
4
)的切线倾斜角是( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
9．函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A．1，－1 B．3，-17 C．1，－17D．9，－19
二、填空题：
10．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________．
11．若曲线上每一点处的切线都平行于x轴，则此曲线的函数必是．12．在曲线y=x3+3x2+6x－10的切线斜率中斜率最小的切线方程是.
A B C D
13．两曲线y =x 2+1与y =3－x 2
在交点处的两切线的夹角为 。
三、解答题：
14．已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行． ⑴求f (x )的解析式；
⑵求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间。
15．已知f (x )=x 3+ax 2
+bx+c ,在x ＝1与x ＝－2时，都取得极值。
⑴求a ，b 的值； ⑵若x ∈[－3，2]都有f (x )>112
c
-
恒成立，求c 的取值范围。
16．（本小题满分12分）设函数.10,323
1)(2
2
3<<+-+-=a b x a ax
x x f
⑴求函数)(x f 的单调区间、极值.
⑵若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.．
17．(本小题满分12分) 已知a 为实数，))(4()(2
a x x x f --=。
⑴求导数)(x f '；
⑵若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值； ⑶若)(x f 在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a 的取值范围。
18．(本小题满分14分) 已知函数x bx
ax x f 3)(23
-+=在1±=x 处取得极值。
⑴讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； ⑵过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程。
（二）
一．选择题
1．已知函数()()2
2332y x x =+-，则1'|x y ==（ ）
)(A 19 )(B 5 )(C 11 )(D 2
1889x x -+
2．0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的（ ） )(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件
)(C 充要条件 )(D 既不充分又不必要条件
3．已知32
()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为（ ）
)(A 37- )(B 29- )(C 5- )(D 11-
4．函数42
25y x x =-+的单调减区间为（ ）
)(A (,1]-∞-和[0,1] )(B (1,0)-和[1,)+∞ )(C [1,1]- )(D (,1)-∞-和[1,)+∞
5．将长为l 的铁丝剪成两段，各围成长与宽之比为2：1和3：2的两个矩形，当两矩形的面积之和最小时，两矩形的长依次为（ ）
)
(A 1215,37
37
l l )
(B 915,2652
l l )
(C 36183,
97
485l l )(D 9
75
,52
416l l
6． 设函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是（ ）
(A )13
k <
(B ) 103
k <≤
(C ) 103
k ≤< (D ) 13
k ≤
7．已知f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) )(A －1<a <2 )(B －3<a <6 )(C a <－1或a >2 )(D a <－3或a >6 （二）填空题
8．某汽车启动阶段的路程函数为32
()25S t t t =-，则2t =秒时，汽车的瞬时速度是 ．
9．抛物线2
y x =上点A 处的切线与直线310x y -+=的夹角为45
，则点A 的坐标为 ．
10．函数331y x x =-+的单调减区间为 ． 11．函数3
2
()23f x x x a =-+的极大值为6，则________a =．
12．已知曲线32
3610y x x x =++-上一点()1,14P --，则过曲线上P 点的切线方程为_______________________，此切线是曲线的所有切线中_____________最小的切线方程。
（三）解答题
13．已知函数53
()1f x x ax bx =+++，当且仅当1x =-，1x =时取得极值，且极大值比极小值大4，求a 、b 的值．
14．在曲线y ＝x 3－x 上有两个点O （0，0），A （2，6），求弧OA 上点I 的坐标，使△AOI 的面积最大．
15．设函数()n
y x a =-，求证：()
1
'n y n x a -=-。
（二）答案
13． 解：4
2
'()53f x x a x b =++。
因为当且仅当1x =-，1x =时()f x 取得极值，所以，一方面，
()()'1'10f f -==。
即。
530a b ++=
另一方面，由于()()2
2
'()1553f x x x a =-++，所以，530a +>。
所以，()f x 必在1x =-取得极大值，在1x =取得极小值， 所以，()()114f f --=，即3a b +=-， 与530a b ++=联立，解得：1,2a b =-=-。
14． 解：当过点I 的切线平行于直线OA 时，△AOI 的面积最大。
2
'31y x =-，3O A k =。
令'3y =，解得：3
x =±。
所以，3
9I ⎛
⎪⎝⎭。
