江苏省盐城市2020届高三年级第四次模拟考试数学试卷

2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第I 卷(必做题，共160分)一、填空题 (本大题共14小题，每小题5 分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．) 1．已知集合A ＝{2 ，5} ，B＝{3 ，5} ，则A U B＝．1 2i2．已知复数z满足i(i 为虚数单位) ，则复数z的实部为．z3．A，B，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值为．5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为．6．已知数列a n 满足a1 1，且3a n 1a n a n 1 a n 0 恒成立，则a6 的值为7．已知函数f (x) Asin( x ) (A> 0， > 0，的值为．22xy 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 2 21(a> 0，b>0)的焦距为2c，若过右焦点且ab与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c2，则双曲线的离心率为9．已知m，n 为正实数，且m＋n＝mn，则m＋2n 的最小值为．10．已知函数f (x) x x 4 ，则不等式f (a 2) f (3) 的解集为< 2) 的部分图象如图所示，则f (0)第 4 题第7题第11 题第12 题2 的圆锥形容器中，装有深度为 h 的水，再放入一 个半径为 1 半球的大圆面、 水面均与容器口相平， 则 h 的值为 ．ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是 BC ，CD 的中uuur uuur uuur uuur点，若 AE DE 1 ，则 AF CD 的值为13．函数 f(x)满足 f (x) f(x 4)，当 x [﹣2，2)时，f(x)若函数 f （x ）在［0，2020）上有 1515个零点，则实数 a 的范围为14．已知圆 O ：x 2 y 2 4，直线 l 与圆O 交于 P ，Q 两点， A （2 ，2），若AP 2＋AQ 2＝ 40， 则弦 PQ的长度的最大值为 ．二、解答题 （本大题共 6 小题，共计 90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤． ）15．（本小题满分 14 分） 如图，已知在三棱锥 P —ABC 中，PA ⊥平面 ABC ，E ，F ，G 分别为 AC ，PA ，PB 的中 点，且 AC ＝2BE ．（ 1）求证： PB ⊥BC ；（ 2）设平面 EFG 与 BC 交于点 H ，求证： H 为 BC 的中点．16．（本小题满分 14 分） ur r 在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 m ＝（a ，b ﹣c ），n ＝（sinA ﹣ ur ur rsinB ， sinB ＋ sinC ）， p ＝ （1，2），且 m ⊥ n ．（1）求角 C 的值；r ur（2）求 n p 的最大值．11．如图，在一个倒置的高为的不锈钢制的实心半球后，12．如图，在梯形 322 x 3x a ,2 x a1 x, a x 217．（本小题满分 14 分）18．（本小题满分 16 分） 管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具， 现欲用清洁棒清洁一个 如图 1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图 2所示，一根长度为 L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于 AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小， （0， ））．2（ 1）请用角 表示清洁棒的长 L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长 度．22 已知椭圆 C ：x 2 y 2 a 2 b 21（a >b >0）的左顶点为 A ，左右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为 12 ，P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合） 称点为 Q ，直线 AP ，QF 2 交于点 M ．（ 1）求椭圆方程；，且△ PF 1F 2的周长为 6，点 P 关于原点的对2）若直线 PF 2 与椭圆交于另一点N ，且 S △AF 2M 4S △AF 2N ，求点P 的坐标．是否存在正整数 m ，使得 S m T m 1 恰好是数列 a n 或 b n 中的项？若存在，求Sm Tm出所有满足条件的 m 的值；若不存在，说明理由．20．(本小题满分 16 分)4 x a已知函数 f (x) (1 )e x，g(x)1( a R)( e 是自然对数的底数， e ≈2.718⋯)．xx(1)求函数 f (x) 的图像在 x ＝1处的切线方程；f ( x)(2)若函数 y在区间 [4，5]上单调递增，求实数 a 的取值范围；g(x)( 3)若函数 h(x) f(x) g(x)在区间(0， )上有两个极值点 x 1，x 2(x 1< x 2)，且 h(x 1) m 恒成立，求满足条件的 m 的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)19．(本小题满分16 分)已知等差数列a n和等比数列 b n 的各项均为整数，它们的前 n 项和分别为 S n ，T n ，且 b 1 2a 1 2 ，b 2S 354， a 2 T 2 11． 1) 求数列 a nb n 的通项公式；2) 求M na 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 La nb n ；3)第 II 卷（附加题，共 40 分）21．【选做题】本题包括 A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计 20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修 4—2：矩阵与变换1 a ur 已知矩阵 M ＝ （a ，b R ）不存在逆矩阵， 且非零特征值对应的一个特征向量b 41 ，求 a ， b 的值．1B ．选修 4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴， 且在两种坐标系中取相同的长度单位， 建立极坐标系， 已知曲线 C 1： sin （ ） 4 （ 为参数），求曲线 C 1，C 2 交点的直角坐标．C ．选修 4—5：不等式选讲已知凸 n 边形 A1A 2A 3⋯A n 的面积为 1，边长 A i A i ＋1＝ a i （i ＝1，2，⋯，n ﹣1），A n A 1＝an ，其内部一点P 到边 A i A i ＋1＝ a i （i ＝1，2，⋯，n ﹣1）的距离分别为 d 1，d 2，d 3，⋯，d n ．求证：2a 1 2a 2 d 1d 2L 2d a nn (n na 1a 2 L a n )2．2，曲线 C 2： x cos2y sin【必做题】第22 题、第23 题，每题10 分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC，AB ⊥BC，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD．（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；uuurCP （0≤≤1），且直线BQ 与平面PDC 所成角为，求的值．323．（本小题满分10 分）如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30 秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1 分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线（I →F，I→H）等可能选择，且总是走最近路线．（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？uuur2）若CQ备用图参考答案⑵设2=島+島朋(0 •升 则/.'(0)■一g¾∙8曲U 汐・ (6)分sm∙0Co¥0sm'tfcos∙0令 ∕/(¢)-0. Wl tan l d≡^.即 tan 0=y. ....................................................................................................... 8 分 设 Ae<O∙-≡∙).H.tan Λl =y∙M当 氏 W∙e )时∙"n tf<4 .L ∖θ)<O.所以LW)单問递减；17.M≡<1)因为椭IMl 的离心华为y∙ΔPF F 的周长为6•设椭関的悠片为2-2ci + 2<∙- 6∙ w⅛4・ ..................................................................................................................................... 2分Ir +/ —a : •斜得 α 2∙C = 1 ∙Λ~y3 •所以捕Bl 方《1为；+β⅛F∙ ................................................................................................................... 4分負 上⑵设 PS •”》•则¥ + '；• = 1∙ H. Q< —“『•一”>• 所U AP 的方秤为、='鳥( r+2)(D∙/W I L若≡= -I.MIJ QF 的方Ig 为r-10.Il 1对祢性不妨令点P 在丁轴I:方•J — 1 • ()9 即 M(l∙*)∙则 P(-l∙寻)∙QU∙-弓〉.联走(D∙PF Z 的方程为~(χ-D.R 人馳圈方程側N 谭•一却•Sa z 寺皿 IE VUSr ∣ΛF: IyVl I ^l2—=7H4∙不符合条 I —« IH若 ∕Λ≠-1.则 QF 的ZfTV 为 y=二•即 V=A T=I '“一“③•{r 3//1 ♦ 1 ■.、 所以 M(3W +4∙3Q∙ ....................................................................................... 8 分y ■ 3w •M 为 S “屮= 4Sg 八•所以* ×ΛF z X NI =4 X * X ΛF i X |八 | •即 IMI =4 IyS .乂 1月为M∙N 位于∙r 轴*駕•所以V 、N —普. 冈为P ・F ：・N 三点共线.即丙IjF 茂廉线. 所以 W<X ∖ -D = -γ<m-1).即 Xv = -一严所以÷<】•所以(十一"A —加=等・駢彳？加=*•所以刃=士呼•所以点P 的唯标为(*・晋 > 或 ........................................................10分12分Il 分所以^O=A 时丄(刃取衍极小值. ......................................................... 11分 所以 L(^mh-UΛ).因为 Ian G =号"•所以 Sin 9 ="∣-co∙ 9 • 乂 Sin ^>÷cos 2β — U 所以 ∞s'β)≡s 占♦又β>6(0∙:).所以CoSa)=-^ •所以 Zn 仇 =-^= • .................................................. M ........................................................................................................................................................................ 分/13 /13所以 L(Λ∙)-~■ + —⅛-13 /T3(cm).SIn a. CoS 仇所以能通过JltWft 的铁Iwt 大长度为13/13 CnL ................................................................................. 16分19•解s (l>ftft 列｛<⅛｝的公差为水数刘仏> 的公比为g∙固为 6∣≡2α∣≡2.¼S l ≡54.<⅛ ÷7⅛≡11.所以(∣.≡2∕!-b¼-2∙3∙-1. ............................................................................................................................ 4 ........................................................................................................................................................................ 分(2)ιVf M =αΛ+αt ¼+αa ¼+-+α>ll = l×2÷3×2×3+5×2×3t +∙∙∙+(2w -l)×2×3j ,・ 3Λt -l×2×3+3×2×3f + ∙∙∙+ (2Λ-3)×2×3∙ ,+(2w-l)×2×3β. 所以一2M∙ = 2+4(3+3' 3- l ) (2Λ-1)×2×3∙= 4-< lw-4) ∙ 3*∙所以 M t = 2(w-∣) ∙r+2. .......................................................................................................................... 8 ........................................................................................................................................................................ 分(3 川 I(I)Uf {⅛S --√.K≡3M - 1.因为装⅜1是数列几;或人中的•项•所以山定“ •所以(L-Ixm-1) = (3-L)3-∙M 为肿一 l≥O∙L>O∙所以 1V1≤3∙又 L ∈N∙ ∙WL=2⅛L=3. (12)....................................................................................................................................................................... 分IML=2时•冇S-I) =犷•即U⅛J = 1∙令 /S )=型F∙UΛZZ 1 «> c 、(m÷l)x -1 ι∙r 2 — 1 JU∕(Λ+1) /(m)- ----------- 尹T ---- 3." Zm t —2nι—3 1I 加=1 时∙∕( 1)<∕(2)I l ∣ m≥2 Rj√(m÷ 1 )-∕(m)<0t即 /(i)<∕(2)>∕(3)>∕(4)>∙∙∙・Ih/(i)=o.∕(2)≡-J-.⅛ι0z,^1-≡ι 无整½⅜r. ....................................................................................................... H 分当L=3时•右F —】=0・即存在m=l 便得霜二If =3∙是数列UU 中的第2项•故存存正療l⅛"L ∣∙使得笔丢1是数列d>中的琨•……20. IW ：(I)N 为 /(J ∙> = <1--)c r .所以 ∕<x)≡(l 一* +Λ><^,∙当 J=I ∏∙t√(l) = -3c∙∕<l>=c. 所以切线方f⅛为y ( Se)-e(τ 1).即y=er 仏/S (X —4)e , ∙ -Lr t -α+4λr+3α+4]<√</( 1 +d)=9∙ c∕÷2g=8∙所以5=L +7^∣ X÷τΓ∕√-l÷3"t ZW-I+3m 10分“V4 戒 α>5∙所以 S 4,-ω+4)×4+3d+4≤O∙52-(<r÷<l)×5+3α+4≤O. αV4 flftα>5∙ 心4∙ > 9 &右•16分所以¾(3+3<∕) -51. l+<∕+2+2g -ll. 宀T ・d=5冈为隕数y在区何M∙5]上单俱递增•所以“ G[4∙5]∙[Lβ√20恒戚立•所以¢1J(U 的取值范IM½(5∙+∞). .......................................................................................................... 7分 (3W*)∙∕Cr)+g(Q.g 二 42±S 二刃二“ f 子_ 3因为瞋数Mn=/O)+/; Cr)在区间(0∙+oo)上冇曲个极值点.所以方K∕∕<x)-O 在(0・+8〉上右网不等实根・即(F-4∙r+4h√ -“■()•令 m(x) = (√ —4,r+4)e r —“•则 ∕w (x) = <τ* —2x)e r ∙由 ZW (X)X).f⅛ Z>2∙所以刑Cr)在(0.2)±ΦMiiJ⅛.ft(2.+oo>上单调述增. ......................................... 9分又山 m(3)≡c ,-α>23-a=8-a>0.所以 j⅛∈(2.3).且当 x ∈(O.χ1 ) ftl(j ∙2 . +∞)H ∣ .√(x)>O.Λ(x) φ-iβ∣il 增. x ∈<x i ∙Λ⅛)Bt.^(x><O∙Λ(x>单调递Itsm 是极值点• .................................. M 分 此(I M5〉= 5二4>eV~<ιH=5一40+5一5 + 4)「一^=5-3^. -1.才1 J r i令 H(X)-(X- 3)e t - I(Xe(O∙2>)•则 √(x)-(x 2)σf <0.所以nCr)在<0∙2)上单调递碱•所以Λ(x l )<Λ<0) = -4.因为ACrl)VHdI 立•所以m≥-4. ........................................................................................................ 13分 若一 12VnrV —彳■収Kl= — ∙ -LIM ∣n=-Axι —4.所以 Λ(x ∣)-ιw≡(x ∣ ,3)e f < +4x ∣ +3.〉川 八=Cr-3)u 丨 l√ • 3( r>O)∙W // √ •(./ 一2)ι∙' + l∙∕f )=Cr-I - 当 x ∈(O∙l)时∙Ar(X)<0；当 χ∈(h +∞)H∙f ∙H^(X)>0. 所以 H'Cr)∙∙ = H'(l) = -ι+4>0∙所以 //(J)-(J 3)e β+4x+3 ft(O.÷∞)±Φ-Wi⅛m.W 以 H(x)>H(O)-O∙WXi--J-I 使科》3E•不合βM∙満足条件的刑的■小值为一4∙ ............................................................................................................. 16分21. A. Ih 因为M 不存住連矩阵∙<kι(M)令 ∕<λ>-0.Wλ≡3utλ≡0.BL 解：因为^in<∂+γ)二-√2 •所以 ∕>sin Q+pcos O= —2・ 所以曲线Cl 的直角坐标方程为x+y+2-O. ............................................................................................ 2分 (x≡cos 20.心(x≡ 1 —2!<in r <?.由 ・A 側 I y= ^ln σ∙ I i y=Sln 0∙所以曲线G 的修通方聊为χ=l-2y∙j ∈[-l.lJ. ............................................................................................ 5分 (无范HGIl 1分)∣x÷y÷2=O• 由 :、得2"—，一3・0・ ........................................................................................... 7分 ∣Ll-2y •所以>1 ≡ - 1 m y < ).所以丿|・ L所以曲线G∙G 的交点蚩标为(-1∙-1). ..................................................................................................... 10分 CHrW 为凸〃边形的啲枳为1•所以"M+M+∙∙∙+"∕∙ 2. ......................................................................... 3分 所以 ⅜1÷⅜÷∙∙∙÷⅜2 = 2(⅞L + 5l ÷∙∙∙÷5ija ∣ at <43 a ∖ 血 G= (a l <∕ι +<!：</： + •••+“/■)「： +： ÷∙∙∙ + τi )所以 ///<)) I —<^>0∙ m(2)= PV0∙∙W ∣O<4iV4∙且 jr ∣∈(0∙2)∙(xf ÷4)e F i =u.・0•所以uΛ-i - J. 距FiM 的待征多项式为/Wλ÷l —a —b A —4-=λ2-3λ-4-<ι6≡λ2~3λ. 所以'b λa∙即 1 ・ u=3∙ 6÷4=3∙ 10分 所以<∕∣<∕j U 1≥（ √α∣c∕∣^^+i∙∙+ >2（IhMl ,⅛不尊式得）-（Cll ÷α∙十•••十α∙ ）* ≥（w 7α∣αj∙∙∙α∏）2. <由均值不等式得） ............................................... 10分 22. 解：（1）分別取ΛIi.CD 的中点为Q∙E∙连结PO∙FUN 为AD 〃反•・所以（疋〃 Be∣∙ 因为AB 丄HC∙所以ABIC*：. Zk因为侧面I i An 为幫边三介形.∕p∖ 所以 ABIoR / β \乂 W 为平而 PAB 丄 Trti AIM'D. R j ∖ \平面 PABn 平而 AB （VJ=ABJ ）PCYiftj PAH. 护痴 所以QP 丄平而Λ!K D. j 产〜Y所 WOP.OE.OB ∣⅛∣⅛⅜Λ. .................................................................... 2 分 X以O 为空阀坐标系的跟点•分别以OE.OU.OP 所在直线为∙r∙y∙=袪建立如图所示的空刚克角至标系•因 为 AB=W =2AD=2,WJ(KO∙0∙O)∙A(0∙-kO).∕K0.kO)∙C(2.1∙O) JXk 1∙0)∙P(0.0<√3).Z5Γ=(E 2.0)∙T i Γ = (2.1. √3).Jro=I∙W ,∣ r≡-2.r=-√3.所以 n=(-2.1.-√3). ............................................................................................... I 分 乂ID=(1.0.0)为半面PAB 的法向址•设平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为0•則CoS 9= lra <∙∙λβ>l =⅛⅛=√(-2>,+J +f .75,,=<∙所以半血PAB 与半血PDC 所成的悦二血如的大小为' ..................................... 6分(2)∣h<l>得•半Iftl PDC 的法向域为π = <-2∙h -√3)∙73t ,= (2∙l∙-√3)∙所以处 7^'^λ(75 ■(一2λ+2∙-A∙"Q(O≤λMl)・乂伍线IiQ 与平Ei PDr 所成角为号•所以 ICo*<n.∕⅞> I = 5∣n 专.即］；；=弩・ ............................................ K 分 即 _________________ 142—4_2—3入 ________________ =T3√(-2)2 + l 2+(-√3>2 ×√(-2λ+2)2 + (-λ)2 + (√3λ>2 2 *化简得βλ2-6λ+l-0∙所以AN 违旦.符合题恵・ ............................................ 10分I .Usd ）路途中可以看成必.走过2条横KHI 2 山•即从1条術中选择2条HHJ 即叭忖『以踣线」C ι≡6^. ..................................................................................................................................................... 2 分 （2〉小期途中恰好经过E 处•共右4条箱线：① 当⅛ 1→H→E ∙D→A 时•全程不年红绿灯的M Ψ Z∙∣-⅛×T×⅛×>-⅜>② 幷疋/-//-E-Zi-A 时•全鼻不务红绿灯的tt Ψ ^=y×y×y×y = ⅛*（Vui I >F -E " •八时•全樫不等红绿灯的ttΨ A -JX-I-XyXl 二扣④当走∕→F -E→β→A 时•全程不等红绿灯的Λ∙-y×y×γ×y -⅛所以途中恰好经过E 处・R 全程不务信号灯的槪率3 1 3 1 I 1 3 11 亡八Pf 4 化∙S+N=范小页 ⅛ TZ«=64• ......................................................................................................... 6 分«3）设以F 第，条的豁线尊信号灯的次数为变ttX.∙M①第一条 i l→H→E→l>→A ∙X ∣ 〜〃（1 •斗）•则 E （Xj =斗； 4 4(Z)第二条 JYFfCfB ・A.X,-β(3.y)∙WE<X 2) =3×-^ = y ∣设YlftPDC 的法向鈕为"Λx.y.z ）.则n ∙ 7J Γ*=()∙ 5 J j∙+2y=0∙ 2∙r + y √3τ-0.③另外四条路线Jf!∣mW ^H→K→H→Λ；∕→∕∙→E→∕>→Λ;∕→∕∙→E M.X,~B(2∙-γXr = 3∙4∙5∙6)∙则E(X I)=2×γ=4<t=3.4.5∙6).综上•小明上学的量佳路线为1→H→E→D→A I IΛ尽fit進开l→F→C→B→A• ......................... 10分。

2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学文试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{2，5}，B ＝{3，5}，则A U B ＝ ． 2．已知复数z 满足12ii z+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 3．A ，B ，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为 ． 4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值 为 ．5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 ．6．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为 ． 第4题7．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜2π)的部分图象如图所示，则(0)f 的值为 ．第11题 第12题 第7题8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，若过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c 2，则双曲线的离心率为 ． 9．已知m ，n 为正实数，且m ＋n ＝mn ，则m ＋2n 的最小值为 ． 10．已知函数()4f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为 ．11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一 个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为 ．12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，若AE DE 1⋅=-u u u r u u u r ，则AF CD ⋅u u u r u u u r的值为．13．函数()f x 满足()(4)f x f x =-，当x ∈[﹣2，2)时，3223 2()1, 2x x a x af x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩,，若函数()f x 在[0，2020)上有1515个零点，则实数a 的范围为 ．14．已知圆O ：224x y +=，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2，2)，若AP 2＋AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F ，G 分别为AC ，PA ，PB 的中点，且AC ＝2BE ．（1）求证：PB ⊥BC ；（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m u r ＝(a ，b ﹣c )，n r＝(sinA ﹣sinB ，sinB ＋sinC)，p u r ＝(1，2)，且m u r ⊥n r ．（1）求角C 的值；（2）求n p ⋅r u r的最大值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF 1F 2的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，QF 2交于点M ．（1）求椭圆方程；（2）若直线PF 2与椭圆交于另一点N ，且22AF M AF N 4S S =△△，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，θ∈(0，2π)）． （1）请用角θ表示清洁棒的长L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．19．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，且1122b a ==，2354b S =，2211a T +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ； （3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数4()(1)e xf x x=-，()1ag x x=-(a ∈R)（e 是自然对数的底数，e ≈2.718…）． （1）求函数()f x 的图像在x ＝1处的切线方程；（2）若函数()()f x yg x =在区间[4，5]上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0，+∞)上有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且1()h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；（2）若CQ CP λ=u u u r u u u r (0≤λ≤1)，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3π，求λ的值．23．（本小题满分10分）如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线(I →F ，I →H)等可能选择，且总是走最近路线．（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？备用图参考答案。

江苏省盐城市滨海县八滩中学2020届高三数学下学期四模考试试题（含解析）一､填空题1. 已知集合{}2430A x Z x x =∈-+<，{}0,1,2B =，则AB =______.【答案】{}2 【解析】 【分析】先求集合A ，然后求AB 即可.【详解】解：由2430x x -+<，得13x <<，所以{}{}{}2430132A x Z x x x Z x =∈-+<=∈<<=，因为{}0,1,2B =，所以{}2A B =，故答案为：{}2【点睛】此题考查了一元二次不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题. 2. 已知复数11iz i+=-(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z z ⋅=______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求得21(1)111i i z i i ++===-+，z i =-，从而求得1z z ⋅=，得到答案.【详解】复数21(1)111i i z i i ++===-+，因为z 是z 的共轭复数，z i =-， 所以1z z ⋅=， 故答案：1.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的共轭复数，属于基础题目.3. 已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．【答案】90. 【解析】分析：先由茎叶图得数据，再根据平均数公式求平均数.详解：由茎叶图可知，5位裁判打出的分数分别为8989909191，，，，，故平均数为89+89+90+91+91905=.点睛：12,,,n x x x 的平均数为12nx x x n+++.4. 已知双曲线22221()00a x y a bb >-=>，的离心率为32，则该双曲线的渐近线方程是_______. 【答案】52y x =± 【解析】 【分析】 由离心率32e =可得5b a =，再代入渐近线方程即可. 【详解】由已知可知离心率32c e a ==，2222294c a b a a +==，即2254b a =， 又双曲线焦点在x 轴上，渐近线方程为b y x a =±，即52y x =±. 故答案为：52y x =±. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.利用双曲线的离心率求出a ，b 关系，然后求解渐近线方程即可.5. 把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是_____.【答案】1 12【解析】【分析】先确定“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意排成一排的所有可能情况，再求概率即可．【详解】“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意排成一排，共有44432124A=⨯⨯⨯=种故能能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是212412P==，故答案为：1 12．【点睛】本题主要考查了古典概型的概率，解题的关键是确定基本事件的种数，属于中档题.6. 如图是一个算法流程图，则输出的b的值为_____．【答案】7【解析】【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算b的值，并输出满足a<15的b的值，模拟程序的运行过程可得答案．【详解】第1步：a＝1，b＝3；满足a<15；第2步：a＝5，b＝5；满足a<15；第3步：a＝21，b＝7，不满足a<15；退出循环，所以，b ＝7. 故答案为7．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．7. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1234a a a ++=，610S =，则3a =______. 【答案】149【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意，求得1,a d 的值，再利用等差数列的通项公式，即可求求解.【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，可得123161334656102a a a a d S a d ++=+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得110929a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以311429a a d =+=. 故答案为：149. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和求和公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了计算能力. 8. 已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上.则球的体积与圆柱的体积的比值为__________. 【答案】169【解析】 【分析】画图分析可得,该球的直径与圆柱的底面直径和高构成直角三角形,进而求得圆柱的底面半径,进而求得球的体积与圆柱的体积的比值.【详解】如图有外接球的体积31432233V ππ=⨯=,圆柱的底面直径224223d -=,故底面半径3r =故圆柱体积2326V ππ=⨯=.故球的体积与圆柱的体积的比值为3216369ππ=.故答案为：169【点睛】本题主要考查了圆柱与外接球的关系,需要根据球的直径和圆柱的底面直径和高构成直角三角形进行求解.属于基础题.9. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，110(){2011ax x f x bx x x +-≤<=+≤≤+，，，，其中a b R ∈，．若1322f f，则3a b +的值为 ． 【答案】－10 【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，所以31()()22f f =-，且(1)(1)f f -=，故11()()22f f =-，从而121211212b a +=-++，322a b +=-①.由(1)(1)f f -=，得212b a +-+=，故2b a =-. ② 由①②得2a =，4b =-，从而310a b +=-.点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.10. 已知锐角α满足sin 22cos21αα-=-，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______. 【答案】12- 【解析】 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式结合弦化切思想可得出关于tan α的二次方程，可解出正数tan α的值，然后利用两角差的正切公式可求得tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【详解】sin 22cos21αα-=-，()222sin cos 2cos sin 1αααα∴--=-，即22222sin cos 2sin 2cos 1sin cos αααααα+-=-+，即222tan 2tan 21tan 1ααα+-=-+， 整理得23tan 2tan 10αα+-=，α为锐角，所以tan 0α>，解得1tan 3α=，因此，11tan tan134tan 1421tan tan 1143παπαπα--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭++⨯. 故答案为：12-.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及两角差的正切公式求值，利用弦化切思想求出tan α的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.11. 设0021a ,b ,a -b >>=,则22(4)(1)a b ab++的最小值为________.【答案】4 【解析】 【分析】将式子变形可得()22222244(4)(1)a b a b ab a b ab ab+-++++=，根据已知条件可得22(4)(1)54a b ab ab ab++=++利用基本不等式可得最小值.【详解】解：()222222222244(4)(1)44a b a b ab a b a b a b ab ab ab+-+++++++==0021a ,b ,a -b >>=2222(4)(1)455444a b a b ab abab ab ab ++++∴==++≥=当且仅当5ab ab=时取等号，故最小值为4+ 故答案为：4【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．12. 已知直线:30l mx y +-=与圆()()22124x y -+-=交于A，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若4AB =，则CD =______． 【答案】【解析】 【分析】因为4AB =所以直线l 过圆心，求出直线l 的方程，利用直线l 的倾斜角和AB 的长即可求出CD ．【详解】圆22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)，半径2r，4AB =，∴直线:30l mx y +-=过圆心(1,2)，230m ∴+-=，1m ∴=，∴直线:30l xy +-=，倾斜角为0135，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，0sin 45AB CD ∴===， 故答案为：【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，是基础题．13. 若平面向量a 、b 、c 满足3a =，2b =，1c =，且()1a b c a b +⋅=⋅+，则a b -的最大值为______.【答案】1 【解析】 【分析】求得132a b a b -=-⋅，由()1a b c a b+⋅=⋅+推导出23a b -≤⋅≤，利用不等式的基本性质可求得a b -的最大值. 【详解】平面向量a 、b 、c 满足3a =，2b =，1c =，()22222132a b a ba b a b a b ∴-=-=+-⋅=-⋅，由题意可得()1a b a b c a b c a b ⋅+=+⋅≤+⋅=+，()222212132a b a b a b a b a b ∴⋅+≤+=++⋅=+⋅，()212a b∴⋅≤，所以23ab -≤⋅≤，所以，1321341a b a b -=-⋅≤+=. 故答案为：1.【点睛】本题考查利用平面向量数量积求模的最值，考查了平面向量数量积的性质的应用，考查计算能力，属于中等题.14. 已知函数()2ln 2,05,04x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩图象上有且仅有两个不同的点关于直线2y =-的对称点在30kx y --=的图象上，则实数k 的取值范围是________． 【答案】()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】求出直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程10kx y ++=，然后将问题转化为直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点，构造函数()1ln 2,015,04x x xg x x x x ⎧+->⎪⎪=⎨⎪++<⎪⎩，将问题转化为直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点，利用数形结合思想可求出实数k 的取值范围.【详解】直线30kx y --=关于直线2y =-对称的直线l 的方程为()430kx y ----=，即10kx y ++=，对应的函数为1y kx =--.所以，直线l 与函数()y f x =的图象有两个交点.对于一次函数1y kx =--，当0x =时，1y =-，且()00f =. 则直线l 与函数()y f x =的图象交点的横坐标不可能为0. 当0x ≠时，令()1kx f x --=，可得()1f x k x+-=，此时，令()()1ln 2,0115,04x x f x xg x x x x x ⎧+->⎪+⎪==⎨⎪++<⎪⎩.当0x >时，()22111x g x x x x-'=-=，当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>. 此时，函数()y g x =区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，函数()y g x =的极小值为()11g =-；当0x <时，()222111x g x x x-'=-=，当1x <-时，()0g x '>；当10x -<<时，()0g x '<. 此时，函数()y g x =在区间(),1-∞-上单调递增，在区间()1,0-上单调递减， 函数()y g x =的极大值为()314g -=-. 作出函数yk =-和函数()y g x =的图象如下图所示：由图象可知，当1k -<-或34k ->-时，即当34k <或1k >时，直线y k =-与函数()y g x =的图象有两个交点.因此，实数k 的取值范围是()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：()3,1,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用函数图象交点个数求参数的取值范围，同时也考查了对称思想的应用，解题的关键就是将问题转化为两函数图象的交点个数来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 二､解答题15. 如图，在三棱锥A -BCD 中，点M ，N 分别在棱AC ，CD 上，且N 为CD 的中点．（1）当M 为AC 的中点时，求证：AD //平面BMN ； （2）若平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊥BC ，求证：BC ⊥AD . 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）由中位线定理可得//MN AD ，根据线面平行判定定理即可得结果；（2）在平面ADB 内，作AO BD ⊥，垂足为O ，根据面面垂直性质定理可得AO ⊥平面BCD ，进而AO BC ⊥，结合AB BC ⊥易得BC ⊥平面ABD ，即可得BC AD ⊥.【详解】证明：（1）在ACD △中，因为M ，N 分别为棱AC ，CD 的中点， 所以//MN AD ，又AD ⊄平面BMN ，MN ⊂平面BMN ， 所以AD平面BMN ．（2）如图，在平面ADB 内，作AO BD ⊥，垂足为O ，因为平面ABD ⊥平面BCD ，ABD BCD BD =平面平面， AO ABD ⊂平面，所以AO ⊥平面BCD ．因为BC BCD ⊂平面，所以AO BC ⊥， 又AB BC ⊥，AO ，AB ABD ⊂平面，AB AO A =，所以BC ABD ⊥平面， 又AD ABD ⊂平面， 所以BC AD ⊥．【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直性质定理的应用以及通过证明线面垂直得到线线垂直的过程，属于中档题.16. 已知向量()cos ,sin a x x =，()3,3b =-，()0,x π∈. （1）若//a b ，求x 的值； （2）若2a b ⋅=，求5cos 212x π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）56π，（224-【解析】 【分析】（1）由//a b 得3sin x x -=，从而可求出x 的值；（2）由2a b ⋅=得3cos 2x x -+=，再利用辅助角公式化简得sin()3x π-=，再利用二倍角公式求出223x π-的正余弦，而522(2)1234x x πππ-=-+，再利用两角和的余弦公式可得结果.【详解】（1）因为向量()cos ,sin a x x =，(3,3b =-，且//a b ，所以3sin x x -=，即sin cos x x =，tan x =， 因为 ()0,x π∈，所以56x π=， （2）因为2a b ⋅=，所以3cos 2x x -+=，即1sin 2x x -=所以sin()3x π-=，因为 ()0,x π∈，所以2(),333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，而0sin()3x π<-=<，所以()0,33x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以cos()33x π-==，所以2sin(2)2sin()cos()2333333x x x πππ-=--=⨯⨯=，2221cos 212sin ()12333x x ππ⎛⎫-=--=-⨯= ⎪⎝⎭， 所以52cos 2cos[(2)]1234x x πππ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 22cos(2)cos sin(2)sin 3434x x ππππ=---12222243-=⨯-⨯= 【点睛】此题考查的是向量与三角函数的综合题，考查了共线向量、向量的数量积、同角三角函数的关系、辅助角公式、二倍角公式、两角和的余弦公式等知识，综合性强，考查运算能力和转化能力，属于中档题.17. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦（不经过原点），直线()0y kx k =>经过弦AB 的中点，与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线AB 的斜率为1k .（1）若点Q 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，求椭圆C 的方程；（2）求证：1k k 为定值；（3）过P 作x 轴的垂线，垂足为R ，若直线AB 和直线QR 倾斜角互补，且PQR 的面积为26C 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析；（3）221129x y +=.【解析】 【分析】（1）根据题意得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，由此可求得椭圆C 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，利用点差法可得出212b k k a=-，再利用12c a =可求得1k k 的值；（3）设点()(),0,0Q s t s t >>，根据直线AB 和QR 的倾斜角互补和面积公式计算出点Q 的坐标，进而可求得椭圆C 的方程.【详解】（1）由已知条件得22222191412a b c a a b c⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，则线段AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，12c a =，222222314b ac c a a a -⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭.由题意可得1212121222y y y y k x x x x ++==++，12112y y k x x -=-，22121212122121212y y y y y y k k x x x x x x +--∴=⋅=+--， 由于点A 、B 都在椭圆上，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得22221212220x x y y a b--+=，2221212221234y y b k k x x a -∴==-=--（定值）； （3）设点()(),0,0Q s t s t >>，则(),P s t --、(),0R s -，22QR t k k s ==， 直线AB 与直线QR 的倾斜角互补，12kk ∴=-， 又134k k =-，且0k >，则2324k -=-，解得2k =. PQR△的面积为PQR S st ==△t k s ==，解得2s=，t =即点(Q . 222461b a a b ⎧=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，解得3a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，因此，椭圆C 的标准方程为221129x y +=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查了点差法的应用，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于难题.18. 如图，某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形，其中：AB CD ∥，AB BC ⊥，75DAB ∠=︒，AD 长1千米，AB 长2千米，公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ，扇形DAE 以AD 长为半径，弧DE 为湖岸，其余部分为滩地，B ，D 点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道：线段BQ -线段QP -弧PD ，其中Q 在线段BC 上（异于线段端点），QP 与弧DE 相切于P 点（异于弧端点］根据市场行情BQ ，OP 段的建造费用是每千米10万元，湖岸段弧PD 的建造费用是每千米()20213+万元（步行道的宽度不计），设PAE ∠为θ弧度观光步行道的建造费用为w 万元.（1）求步行道的建造费用w 关于θ的函数关系式，并求其走义域； （2）当θ为何值时，步行道的建造费用最低？ 【答案】（1）)1cos 251021sin 312w θπθθ⎡-⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，定义域：5,412ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）当3πθ=时，步行道的建造费用最低. 【解析】 【分析】（1）以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，可得DE 所在圆的方程为221x y +=，可得()cos ,sin P θθ，从而求得PQ 所在直线方程，与BC 所在直线方程联立求得Q 坐标，即可得到BQ 与PQ ，再由弧长公式求DP 的长，再根据QP 与DE 相切于P 点（异于弧端点）与512DAB π=∠，即可求得函数关系式与其定义域； （2）令()1cos 25sin 312f θπθθθ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用导数求使步行道的建造费用最低时的θ值．【详解】（1）以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则DE 所在圆的方程为221x y +=，()cos ,sin P θθ，)2,0B，直线PQ ：cos sin 1x y θθ+=.∵直线BC 的方程为2x =∴122,sin Q θθ⎫⎪⎪⎭. 所以12cos BQ θ-=，2cos PQ θ-=PD 长512πθ=-， 所以)2021122cos 510sin sin 312w θθπθθθ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得)1cos 251021sin 312w θπθθ⎡-⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∵QP 与DE 相切于P 点（异于弧端点），512DAB π=∠ ∴定义域：5,412ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （2）令()1cos 25sin 312fθπθθθ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，求导得()21cos 2sin 3f θθθ-'=-，令()21cos 20sin 3f θθθ-'=-=， cos 1θ=（舍去），1cos 2θ=，3πθ=，θ,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3π5,312ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当3πθ=时，()fθ最小，即w 最小，当3πθ=时，步行道的建造费用最低.【点睛】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查直线与圆位置关系的应用，利用导数求最值，是中档题．19. 已知函数2()ln 2x f x a x ax =-+.（1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程； （2）当0a >时，讨论()f x 的单调性；（3）若()f x 有两个极值点1x 、()212x x x ≠，且不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）2230x y --=（2）见解析（3）[2ln 23,)-+∞ 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，求出切线方程的斜率，再求出该点的函数值，利用点斜式求解；（2）利用导函数的正负判断原函数的单调性，再分类讨论；（3）从函数()f x 在(0,)+∞上有两个极值点，根据韦达定理得到1x 与()212x x x ≠的关系，分离出参数λ，从而得到关于a 的新函数，再求最值.【详解】解：（1）当1a =时，2()ln 2x f x x x =-+，1(1)2f =-，1()1f x x x '=-+，(1)1f '=，所以，函数()y f x =在1x =处的切线方程为112y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，即2230x y --=； （2）函数()y f x =定义域为(0,)+∞，2()a x ax af x a x x x'-+=-+=，二次函数2y x ax a =-+的判别式24a a ∆=-.①若240a a ∆=-≤时，即当04a <≤时，对任意的0x >，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =单调递增区间为(0,)+∞，无减区间； ②若240a a ∆=->时，即当4a >时，由2()0x ax a f x x '-+==，得02a x -=>或02a x +=>.当02a x <<，或2a x +>时，()0f x '>，当22a a x -<<时，()0f x '<， 此时，函数()y f x =单调递增区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为,22a a ⎛+⎪⎝⎭； （3）由（2）知，4a >，且1212x x a x x a +=⎧⎨=⎩，不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立等价于()()()()121212f x f x f x f x x x aλ++>=+恒成立，()()()()()()()22121112222212121211ln ln 221ln ln 2f x f x a x x x a x x x a x x a x x x x +=-++-+=+-+++()()()2121212122221ln 221ln 221ln 2a x x a x x x x x x a a a a a a a a a⎡⎤=-+++-⎣⎦=-+-=--所以()()12121ln 12f x f x a a x x +=--+，令1ln 1(4)2y a a a =-->，则1102y a '=-<，所以1ln 12y a a =--在(4,)+∞上单调递减，所以2ln 23y <-，所以2ln 23λ≥-. 因此，实数λ的取值范围是[2ln 23,)-+∞.【点睛】本题考查的是函数导数的综合应用，第一问是求在某点处的切线，关键是求得确定直线的切线斜率和该切点的坐标，利用点斜式求解，第二问讨论函数的单调性，关键是对二次函数进行讨论，先从判别式入手，第二层再从根的情况入手（要注意方程的根和定义域区间端点进行比较），从而得到导数的正负，得到原函数的增减，第三问是多元化最值，关键是把三个量都用一个量表示 ，得到新函数，再求值域即可.20. 对于数列{}n a ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}n a 为P 数列.（1）若{}n a 的前n 项和32nn S =+，试判断{}n a 是否是P 数列，并说明理由；（2）设数列12310,,,,a a a a 是首项为1-、公差为d 的等差数列，若该数列是P 数列，求d 的取值范围；（3）设无穷数列{}n a 是首项为a 、公比为q 的等比数列，有穷数列{}n b ，{}n c 是从{}n a 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为1T ，2T ，求{}n a 是P 数列时a 与q 所满足的条件，并证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列”.【答案】（1）是，理由见解析；（2）80,27⎛⎫⎪⎝⎭；（3）当{}n a 是P 数列时，a 与q 满足的条件为02a q >⎧⎨≥⎩或01(0,1)2a q <⎧⎪⎛⎫⎨∈⋃ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，证明见解析. 【解析】 【分析】(1)由P 数列定义知，仅需验证当*N k ∈时，10k k a S +->恒成立即可； (2)写出n S ，1n a +的表达式，则10n n S a +-<对满足1,2,3,9n =的任意n 都成立，则将此问题转化为不等式恒成立的问题，然后据此去求解d 的范围；(3)根据数列{}n a 是P 数列，可以得到12a S a aq =<=，所以需要分0a >，1q >和0a <，1q <去讨论，和(2)相似，还是去求解使得1n n a S +>的,a q 取值范围，仍然是将其转化为不等式的恒成立问题，然后在不同的情况下求出对应的q 的取值范围即可.在证明命题“若0a >且12T T =，则{}n a 不是P 数列”时，考虑使用反证法：先排除掉数列{}n b 的项都在数列{}n c 中、数列{}n c 的项都在数列{}n b 中的情况.若数列{}n b 至少有一项不在数列{}n c 中，且数列{}n c 至少有以一项不在数列{}n b 中,先去掉其公共项得到数列{}n b '，{}n c '，设数列{}nb '的最大项为)2(ma m ≥，且数列{}nb '的最大项比数列{}nc '的最大项大，然后根据数列{}n a 是P 数列的性质,得到21T T '<',从而推出矛盾，进而所求证得证.【详解】(1)∵32nn S =+，∴1123(2)n n n n a S S n --=-=⋅，当1n =时，115a S ==，故15,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩， 那么当*N k ∈时，12332320k k kk k a S +-=⋅--=->，符合题意，故数列{}n a 是P 数列；(2)由题意知，该数列的前n 项和为(1)2n n n S n d -=-+，11n a nd +=-+， 由数列12310,,,,a a a a 是P 数列，可知211a S a >=，故公差0d >，21311022n n d S a n d n +⎛⎫-=-++< ⎪⎝⎭对满足1,2,3,9n =的任意n 都成立，则239911022d d ⎛⎫⋅-++< ⎪⎝⎭，解得827d <， 故d 的取值范围为80,27⎛⎫ ⎪⎝⎭； (3)①若{}n a 是P 数列，则12a S a aq =<=，若0a >，则1q >，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q ->⋅-，即12nq q ⎛⎫-< ⎪⎝⎭对一切正整数n 都成立，由10n q ⎛⎫> ⎪⎝⎭，1lim 0nn q →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，故20q -≤，可得2q ≥；若0a <，则1q <，又由1n n a S +>对一切正整数n 都成立，可知11n nq aq a q ->⋅-，即()21n q q -<对一切正整数n 都成立，又当,1(]q ∈-∞-时，()21nq q -<当2n =时不成立，故有(0,1)(2)1q q q ∈⎧⎨-<⎩或2(1,0)(2)1q q q ∈-⎧⎨-<⎩，解得(0,1)q ⎫∈⋃⎪⎪⎝⎭， ∴当{}n a 是P 数列时，a 与q 满足的条件为02a q >⎧⎨≥⎩或01,0(0,1)2a q <⎧⎪⎛⎫⎨∈⋃ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩；②假设{}n a 是P 数列，则由①可知，2q ≥，0a >，且{}n a 中每一项均为正数， 若{}n b 中的每一项都在{}n c 中，则由这两数列是不同数列，可知12T T <； 若{}n c 中的每一项都在{}n b 中，同理可得12T T ；若{}n b 中至少有一项不在{}n c 中且{}n c 中至少有一项不在{}n b 中，设{}n b '，{}n c '是将{}n b ，{}n c 中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为1T '，2T '，不妨设{}n b '，{}n c '中最大的项在{}n b '中，设为)2(m a m ≥， 则21211m m T a a a a T -≤+++<≤''，故21T T '<'，故总有12T T ≠与12T T =矛盾，故假设错误，原命题正确.【点睛】本题考查不等关系、不等式的恒成立及数列的综合知识，属于创新题，同时也是难题.21. 已知矩阵1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 的逆矩阵111202=B -⎡⎤⎢-⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB ． 【答案】51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦【解析】 【分析】 由11001B B -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求出矩阵B ，再由矩阵的乘法，即可求解. 【详解】解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1110220122a c b d cd ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故1121022021a c b d c d ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d =⎧⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩，所以114102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因此，151121440210102AB ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查用待定系数法求逆矩阵，以及矩阵乘法计算，属于基础题. 22. 已知直线l 的参数方程：{12x ty t==+（t 为参数）和圆C的极坐标方程：4p πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）将直线l 的参数方程化为方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l 和圆C 的位置关系.【答案】（1）210x y -+=，22(1)(1)2x y -+-=；（2）相交. 【解析】 【分析】（1）直接利用已知条件把直线的参数方程转化为直角坐标方程，进一步把圆的极坐标方程转化为直角坐标方程．（2）利用圆心到直线的距离与半径比较求出直线和远的位置关系． 【详解】解：（1）直线的参数方程：12x ty t=⎧⎨=+⎩（为参数），消去参数，得直线的普通方程为21y x =+． 圆C 的极坐标方程：22sin()4πρθ=+．转化为：22(1)(1)1x y -+-=． （2）圆心(1,1)C 到直线的距离22211251521d -+==<+． 所以直线和圆C 相交．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式的应用．23. 已知抛物线C ：22(0)y px p =>，焦点为F ，直线l 交抛物线C 于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，00(,)D x y 为AB 的中点，且012AF BF x +=+．（1）求抛物线C 的方程；（2）若12121x x y y +=-，求0x AB的最小值．【答案】（1）22y x =；（22【解析】【详解】试题分析：（1） 根据抛物线的定义知12AF BF x x p +=++，122D x x x +=， ∵12D AF BF x +=+，从而可求出1p =，进而可得结果；（2）设直线l 的方程为x my b =+，代入抛物线方程，得2220y my b --=，根据韦达定理，弦长公式将0x AB用m 表示，换元后利用基本不等式可得结果.试题解析：（1）根据抛物线的定义知12AF BF x x p +=++，122D x x x +=， ∵12D AF BF x +=+， ∴1p =， ∴22y x =．（2）设直线l 的方程为x my b =+，代入抛物线方程，得2220y my b --=，∵12121x x y y +=-，即22111214y y y y +=-，∴122y y =-，即1222y y b =-=-， ∴1b =，∴122y y m +=，122y y =-，12AB y =-==()222212111212121244D x x y y x y y y y m ++⎡⎤===+-=+⎣⎦，∴20x AB = 令21t m =+，[)1,t ∈+∞，则04x AB ==≥．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求抛物线方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求解的. 24. 棋盘上标有第0、1、2、、100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设棋子位于第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋手所走步数之和X 的分布列与数学期望； （2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）求99P 、100P 的值.【答案】（1）分布列见解析，随机变量X 的数学期望为92；（2）证明见解析； （3）9910021132P ⎛⎫=-⎪⎝⎭，1009911132P ⎛⎫=+⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）根据题意得出随机变量X 的可能取值有3、4、5、6，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量X 在相应取值时的概率，可列出随机变量X 的分布列，由此计算出随机变量X 的数学期望；（2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，也可以由第()1n -站跳2站得到，由此得出111122n n n P P P +-=+，并在该等式两边同时减去n P ，可得出所证等式成立；（3）结合（1）、（2）可得1112n n n P P ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，利用累加法求出数列{}n P 的通项公式，从而可求出99P 和100P 的值.【详解】（1）由题意可知，随机变量X 的可能取值有3、4、5、6.()311328P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31313428P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()32313528P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()311628P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，随机变量X 的数学期望为13319345688882EX =⨯+⨯+⨯+⨯=； （2）根据题意，棋子要到第()1n +站，由两种情况，由第n 站跳1站得到，其概率为12n P ，也可以由第()1n -站跳2站得到，其概率为112n P -，所以，111122n n n P P P +-=+.等式两边同时减去n P 得()()111111198222n n n n n n P P P P P P n +---=-+=--≤≤； （3）由（2）可得01P =，112P =，210113224P P P =+=. 由（2）可知，数列{}1n n P P +-是首项为2114P P -=，公比为12-的等比数列， 111111422n n n n P P -++⎛⎫⎛⎫∴-=⋅-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()()()23999912132999811112222P P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-+-++-=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭98100111421211123212⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，又9999989911=22P P ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，则989921132P ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.。

2020届江苏省盐城中学高三下学期一模考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)1.已知集合{}13A x =-<<,{}|2=≤B x x ,则A B =_________ .【答案】(-1,2]【解析】根据交集定义求解．【详解】由题意{|12}A B x x =-<≤故答案为：(1,2]-．2.设,R a b ∈,i 为虚数单位,若()25a bi i i +=-,则ab 的值为__________【答案】10【解析】根据复数乘法法则计算()a bi i +,利用复数相等即可求解.【详解】()25a bi i b ai i +=-+=-,5,2a b ∴=-=-,10ab ∴=,故答案为：103.如图所示的流程图的运行结果是______．【答案】20试题分析：第一次循环：5,4S a ==,第二次循环：20,34S a ==<,结束循环,输出20.S = 考点：循环结构流程图4.某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中任选2门课程学习,则该同学“选到文科类选修课程”的概率为______. 【答案】710【解析】先求出基本事件总数为2510n C ==,该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=,由此能求出该同学“选到文科类选修课程”的概率． 【详解】某校开设5门不同的选修课程,其中3门理科类和2门文科类,某同学从中任选2门课程学习,基本事件总数为2510n C ==,该同学恰好“选到文科类选修课程”包含的基本事件个数为2112327m C C C =+=. ∴该同学“选到文科类选修课程”的概率是710m p n ==. 故答案为：710. 5.“2a =”是“直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行”的______条件.(填“充分不必要”,“必要不充分”,“充分必要”或“既不充分又不必要”)【答案】充分不必要【解析】根据充分条件和必要条件的定义以及直线平行的性质,即可得到结论．【详解】若“2a =”则直线2210x y ++=和直线3310x y +-=平行,即充分性成立,若0a =,直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行为210y +=和直线310x y +-=不平行,若0a ≠,若直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行,则312a a +=, 即(1)6a a +=,解得2a =或3a =-,经检验3a =-或2a =均满足,即必要性不成立,故“2a =”是直线210ax y ++=和直线()3120x a y ++-=平行的充分不必要条件,。