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新教材湘教版2019版数学必修第二册第5章知识点清单目录第5章概率5. 1 随机事件与样本空间5. 2 概率及运算5. 3 用频率估计概率5. 4 随机事件的独立性第5章概率5. 1 随机事件与样本空间5. 1. 1 随机事件一、确定性现象与随机现象1. 在一定条件下必然发生(出现)的现象称为确定性现象.2. 在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果. 我们把这种现象称为随机现象.二、随机试验、样本点与样本空间1. 随机试验对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验. 随机试验一般用大写字母E表示.2. 样本点对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为样本点，常用ω(或带下标)表示.3. 样本空间将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间，用Ω表示.用集合的语言描述时，试验的样本空间是该试验所有样本点构成的全集，样本点是该全集的元素. 它们之间的关系可用如图刻画.4. 有限样本空间如果样本空间中样本点的个数是有限的，则称该样本空间为有限样本空间.三、随机事件1. 随机事件一般地，当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的子集A是Ω的随机事件，简称为事件，一般用大写字母A，B，C，…来表示.对于样本空间Ω，A是事件和A⊆Ω等价.2. 基本事件由一个样本点组成的集合，称为基本事件.当试验结果(即试验的样本点)ω∈A时，就称事件A发生，否则称A不发生，即样本点ω∈A和事件A发生等价.3. 必然事件Ω也是Ω的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生. 我们称样本空间Ω是必然事件.4. 不可能事件空集⌀也是Ω的子集，所以空集⌀是事件. 空集⌀中没有样本点，永远不会发生，所以我们称⌀是不可能事件.四、随机事件、必然事件与不可能事件的理解1. 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)还是一定不发生(不可能事件).五、样本点与样本空间的确定1. 样本空间是由试验的所有可能结果组成的集合，而试验的每种可能结果称为该试验的样本点，样本点具有以下性质：(1)样本点是不能再分的最简单的可能结果；(2)样本点和样本空间是元素和集合的关系.2. 随机事件的结果是相对于条件而言的，要弄清某一个随机事件的所有结果，必须首先明确事件发生的条件，再根据题意，按一定的次序列出问题的答案.3. 探求样本空间中的样本点通常用字典排列法、画树状图法和列表法三种方法.(1)“从n个元素中任取m个元素”常采用字典排列法；(2)“依次取出”常采用画树状图法；(3)“从两个集合中分别任取一个”常采用列表法.5. 1. 2 事件的运算一、事件的关系二、事件的运算三、互斥事件与对立事件四、概率论中事件的运算性质1. 概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的，主要包括：(1)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，C∩(A∪B)=(C∩A)∪(C∩B)；(4)A∪B=A∩B，A∩B=A∪B.五、互斥事件与对立事件的判断1. 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2. 判断两个事件是互斥事件还是对立事件可以先对样本点进行逻辑划分，再进行分析.3. 可以利用Venn图，类比集合的关系进行分析判断.六、事件的运算事件间运算的方法1. 利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果(可以是样本点，也可以是具有相同特点的一些样本点的集合)，分析并利用这些结果进行事件间的运算.2. 利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，从而进行运算.3. 对复杂事件的研究，通常将复杂事件表示为简单事件的和或积的形式.5. 2 概率及运算5. 2. 1 古典概型一、概率1. 定义设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同. 当Ω中的事件A包含了m个样本点时，称P(A)=mn为事件A发生的概率，简称为A的概率. 2. 概率的基本性质(1)任何事件的概率在0~1之间，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件包含样本空间Ω中的所有样本点，因而P(Ω)=1.(3)不可能事件不包含任何样本点，因而P(⌀)=0.二、古典概型1. 定义：我们把概率定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型.2. 特点(1)样本空间中只有有限个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相等.3. 计算公式P(A)=A中的样本点个数Ω中的样本点个数.三、求古典概型的概率1. 解决古典概型实际问题的步骤 四、古典概型的综合应用1. 有关古典概型与统计结合的题型，一般利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，就能解决此类问题.2. 有关古典概型与其他数学知识结合的题型，可利用有关数学知识得出限制事件的条件，进而解决概率问题.5. 2. 2 概率的运算一、概率的运算1. 互斥事件的概率加法公式如果Ω中的事件A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).推广：如果事件A1，A2，A3，…，A n两两互斥，那么事件A1∪A2∪A3∪…∪A n发生(是指A1，A2，A3，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件的概率的和，即P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).2. 对立事件的概率公式：如果A是样本空间Ω的事件，则P(A)=1-P(A).3. 一般概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).二、利用概率的运算性质求事件的概率1. 已知简单事件的概率求复杂事件的概率的一般步骤(1)事件表示：将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示；(2)事件运算：将已知概率的事件进行适当运算得到要求概率的事件；(3)求概率：利用互斥事件、对立事件等的概率公式求相关概率.5. 3 用频率估计概率一、频率与概率1. 设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件. 在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称F n(A)=n次试验中A发生的次数n是n次独立重复试验中事件A发生的频率.2. 一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率F n(A)也愈大；反之，如果F n(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大. 因此，频率与概率间应有紧密的联系.3. 理论和实践都证明：在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用F n(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，F n(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A)，即F n(A)是P(A)的估计.4. 频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画，但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性；而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性，因此频率不能完全反映概率.二、用频率估计概率1. 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.2. 解此类题目的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率.5. 4 随机事件的独立性一、事件的相互独立1. 在概率论中，设A，B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立.(1)事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响.(2)若事件A，B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B).二、事件相互独立的性质2. 相互独立事件与互斥事件的区别三、判断事件的独立性1. 判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.(2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即两个事件同时发生的概率是否等于每个事件发生的概率的乘积.(3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与B或A与B或A与B 是否相互独立.四、利用事件的独立性求复杂事件的概率1. 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 解题时要注意(1)对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生(乘法)求出概率.(2)已知两个事件A，B，那么①A，B中至少有一个发生为事件A+B.②A，B都发生为事件AB.③A，B都不发生为事件A B.④A，B恰有一个发生为事件A B+B A.⑤A，B中至多有一个发生为事件A B+B A+A B.(3)求较复杂事件的概率的一般步骤①列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.②厘清事件之间的关系(事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式.③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.④当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.。
