- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
1
2x
e
,
x
0,
0, x 0,
因而N的概率密度为
fmin
(x)
2
2x
e
,
x
0,
0, x 0,
于是N的数学期望为: E(N)
xfmin (x)dx
2x
e
2x
dx
.
0
2
例3，例4，例5
例4 某商店对某种家用电器的销售 采用先使用后付款的方式。记使用寿 命为X（以年计），规定：
-
-
1 xy
f
(x,y)dxdy
dx
1
x
dy 1 3
1 xy 2x3y2
x
3. 5
例10 设生产x件，获利Q，
mY n(x Y) Y x
Q Q(x, Y)
mx
Yx
E(Q) QfY (y)dy
0
x
[my
n(x
y)
1
ey
/
dy
mx
1
ey
/
dy
0
x
(m n) (m n)ex / nx
§2.随机变量的方差 方差描述了r.v.对其数学期望的离散 程度, 在概率论和数理统计中十分重要.
一、定义
设X为r.v., 若E X-E(X)2 存在,
则称它为X的方差, 记作D(X) ,即
D(X) E X-E(X)2 .
称 D(X)为X的均方差或标准差.
若X为离散型r.v.其分布律为 P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 则
X 1，一台付款1500元；1<X 2，一台付款2000元； 2<X 3，一台付款2500元；X>3，一台付款3000元；
设寿命X服从指数分布, 概率密度为
f
(x)
1
10
x
e 10
x0
0 x 0
试求该商店一台收费Y的数学期望。
3. 随机变量函数的数学期望公式:
定理: 设Y是r.v.X的函数, Y g(X) (g是连续函数)
xf (x)dx 绝对收敛, 则称积分 xf (x)dx的值为
-
-
r.v.X的数学期望, 记为E(X). 即 E(X)
xf (x)dx.
-
数学期望简称期望, 又称为均值.
例1. 甲,乙两人进行打靶, 所得分数分别记为 X1, X2, 它们的分布律分别为: X1 0 1 2 X2 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1 试评定他们的成绩好坏.
立的且都服从0--1分布: P{Xi=1}=p, P{Xi=0}=q, X表
示n次独立重复试验中A发生的次数,Xi表示第i次试
验的结果:Xi=1表示A发生, Xi=0表示A不发生, 所以
n
n
X= Xi 故 E(X) E(Xi ) np.
i=1
i 1
说明: 将X分解成数个r.v.之和,然后利用r.v.和的数 学期望等于r.v.的数学期望之和来求解. 这个方法 具有一定的普遍意义.
d E(Q) 0, 得x ln( n )
dx
mn
4.均值的性质: (1) E(c)=c; (c为常数) (2) E(cX)=cE(X);( c为常数) (3) E(X+Y)=E(X)+E(Y); (4) 设X,Y相互独立, 则E(XY)=E(X)E(Y); (5) |E(XY)|2≤E(X2)E(Y2).(柯西-许瓦尔兹不等式)
解: 计算X1的均值, 由定义有 E(X1) =00+1 0.2+2 0.8=1.8
E(X2)=00.6+1 0.3+2 0.1=0.5
显然,乙的成绩比甲的差.
例2. 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命Xk (k 1, 2 )服从同一指数分布, 其概率密度为:
f(x)
1
θ
x
e
,
g(x)f(x)dx.
-
说明: 1. 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求 E(Y)时不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可 以了. 2. 上述定理可以推广到多维r.v.函数. 如Z g(X, Y)(g是连续函数)是r.v.X, Y的函数,若二
维r.v.(X, Y)的概率密度为f (x,y),则r.v.Z的期望为
(假设级数绝对收敛)
例. 设随机变量(X, Y)的概率密度为
f(x,y)
3 2x3 y 2
,
1 x
y
x.x
1
0,
其它,
试求 : E(Y),E( 1 ) XY
解: 由(4.1)式可得
E(Y)
yf (x,y)dxdy
- -
dx
1
x
1
y
3 2x3y2
dy
x
3. 4
E( 1 ) XY
第五章 随机变量的数字特征
§1. 随机变量的数学期望
1. 定义: 设离散型r.v.X的分布律为:
P X x p , k 1, 2, L
k
k
若级数 x p 绝对收敛, 则称级数 x p 的和为随机变
kk
kk
k 1
k 1
量的数学期望,记作E(X),即 E(X) x p . kk 2. 定义: 设连续型r.v.X的概率密度为kf1(x), 若积分
(i) X是离散型r.v., 它的分布律为
pk PX xk ,k 1, 2, L ,
若 g(xk )pk 绝对收敛,则 k 1
E(Y) Eg(X) g(xk )pk . k 1
(ii) X是连续型r.v., 它的概率密度为f(x), 若
g(x)f(x)dx 绝对收敛, 则 -
E(Y) Eg(X)
x
0,
0,
0, x 0,
若将这2个电子装置串联工作组成整机,
求整机寿命N的数学期望.
解: Xk(k=1,2)的分布函数为:
F(x)
1
x
e
,
x
0,
0, x 0,
由前面介绍的N min(X, Y)的分布函数可知 N min(X1 , X2 )的分布函数为
Fmin (x) 1
1 F(x)
D(X) xk E(X)2 pk ,
说明:i. 性质(3)和(4)可以推广到有限个r.v. (X1, X2, …, Xn)的情况.
ii. 对于“和”,不要求X1,X2,…,Xn相互独立; 对 于“积”要求X1,X2,…,Xn相互独立.
例. 二项分布的均值的计算:
设X~b(n,p),引入r.v.Xi(i=1, 2, …, n), 它们是相互独
E(Z) Eg(X, Y)
g(x,y)f (x, y)dxdy,
(4.1)
(假设积分绝对收敛)
又若(X, Y)为离散型r.v.
其分布律为P X xi , Y y j pij , i,j 1, 2, 3,L
则有E(Z) Eg(X, Y) g(xi ,y j )pij , (4.2) j1 i1
