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概率论第五章

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概率第五章_大数定律与中心极限定理090505

概率第五章_大数定律与中心极限定理090505
加法法则
P ( − Eξ ε ) = ξ ≥
P(ξ ≥ Eξ + ε ) + P (ξ ≤ Eξ − ε )
k
=
≤
k : xk ≥ E +
∑ξ ε p
k
+
k : xk ≤ E −
∑ξ ε p
pk +
k :xk ≥ E +
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
ε
2
k :xk ≤ E −
∑ξ ε
( x − Eξ ) 2
， 方差 Dξ n ( n = 1, 2,L)，且 Dξi < l (i = 1, 2,L) 其中 l 与 i 无关的
1 Eξ = (1 + 2 + 3 + L + 6) 6
35 7 故 Eξ = Dξ = 12 2
4 2 = P (ξ = 5) + P(ξ = 6) + P (ξ = 1) + P (ξ = 2) = = 6 3 7 1 P( − 2 ) = P(ξ ≥ 5.5) + P(ξ ≤ 1.5) = P (ξ = 6) + P (ξ = 1) = ξ ≥
即
lim P ( − p < ε ) = 1 n →∞ n
ξ
此定理表明：当试验在不变的条件下重复进行很多次时， 随机事件的频率 频率在它的概率 概率附近摆动。 频率 概率 由贝努里大数定律可知，若事件A的概率很小很小时，则 它的频率也很小很小，即事件A很少发生或几乎不发生， 这种事件叫小概率事件。反之，若随机事件的概率很接近1， 则可认为在个别试验中这事件几乎一定发生。 同分布的两个或多个随机变量: 同分布的两个或多个随机变量 离散型: 它们的概率分布律相同. 离散型 它们的概率分布律相同 连续型: 它们的概率密度函数相同. 连续型 它们的概率密度函数相同 所以它们的期望与方差一定相同. 所以它们的期望与方差一定相同

概率论第五章

概率论第五章
1 2 n
因此可用算术平均值作为μ的估计 辛钦大数定律是Bernoulli大数定律推广
§5.2
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理，也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
定理3（独立同分布下的中心极限定理） 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…，则
设nA是n次独立重复试验中事件 A发生的 次数，p是事件A在每次试验 中发生的概率，则对任给的ε> 0,有
贝努利
nA lim P{| p | } 1 n n
贝努利大数定律表明：当重复试验次数 n充分大时，事件A发生的频率nA/n几乎等于 事件A的概率p。因此可用事件发生的频率 作为相应概率的估计。
ε> 0，
或
Sn lim P{| p | } 1 n n Sn lim P{| p | } 0 n n
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理. 定理一（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ， i=1,2,…, 则对任给 >0,
由题给条件知，诸Xi独立，
E(Xi)=100, D(Xi)=10000 16只元件的寿命的总和为 Y X k
k 1 16
依题意，所求为P(Y>1920)
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 由题给条件知,诸Xi独立, E(Xi)=100,D(Xi)=10000
16只元件的寿命的总和为 Y X k

概率论 第五章汇总

概率论 第五章汇总

1
t2
e 2 dt ( x).
n np(1 p) 2
证 由§4.2例知, n可以看成n个相互独立的服从同一(0-1)分
布的随机变量X1,...,Xn之和，即 近n 似X1 X2 Xn
np n
N (0,1) E(X i ) p, D(Xi ) p(1 p),
i 1,2,, n
➢ 伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.
§5.2 中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量,它们是由 大量的相互独立的随机因素的综合影响所 形成的,而其中每一个别因素在总的影响中 起到的作用都是微小的.这种随机变量往往 近似的服从正态分布.这种现象就是中心极 限定理的客观背景.
本节只介绍三个常用的中心极限定理.
lim
~ ~ n
Fn
(
X
xY) nnlim
P
nn
N i i11
XXi
i近n似 nx近
nnn
似 0x,N121(0e,1)t22
dt
( x). (证明略)
定理表明,当n充分大时,Yn近似服从标准正态分布.
例1 一盒同型号螺丝钉共100个，已知该型号的螺丝钉的重量是
一个随机变量，期望值是100g，标准差是10g ，求一盒螺丝钉 的重量超过10.2kg的概率.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
第五章 大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计是研究随机现象统计 规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相 同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出 来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然 的法则，应该研究大量随机现象.
研究大量的随机现象，常常采用极限 形式，由此导致对极限定理进行研究. 极 限定理的内容很广泛，其中最重要的有两 种:

概率论课件第五章资料

概率论课件第五章资料

vn n
np 1
n2
p
p 1
n
p
由切比雪夫不等式，对任意正数ε，有
0
P
vn n
p
p 1 p
n 2
n 0
lim
P
n
vn n
p
0
历史上，伯努利是第一个研究弱大数定理的， 他在1713年发表的论文中，提出了上述定理， 那是概率论的第一篇论文。
依概率收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量
可以证明，若 Xn a.s Y 则 Xn P Y
强大数定律讨论的就是以概率1收敛.
二、强大数定律 定义
设有独立随机变量序列X1, X2,…, Xn，如
n
Xi EXi
P lim i=1
=0 1
n
n
则称{Xn}满足强大数定律。
柯尔莫哥洛夫不等式 （引理5.1.2）
设X1, X2,…, Xn为独立随机变量序列，具有 有限的数学期望和方差，则对任意 >0 ，有
n i 1
X
i
1 n2
n
Var Xi
i 1
2 n
P{Yn
EYn
}
Var Yn
2
2
n 2
0
(n )
得证。
辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是独
立同分布的随机变量序列，且有有限的期望μ， 则对任意ε>0，有
lim
n
P
X1
X2 n
Xn
0
显然
E
X1
X2
n
Xn
n
证
令Var Xi 2,
n i 1
EX i

概率论第五章

概率论第五章
i =1
n
i =1
常用的统计量
样本均值、样本方差和样本矩。 样本均值、样本方差和样本矩。
⋯ 定义 5.2 设 X 1，X 2， ，X n 是来自总体 X 长度为 n
的一个样本，则称 的一个样本， 1 n Sample mean X = ∑ Xi （5-3） n i =1 1 n 2 S = ( X i − X )2 （5-4） ∑ n − 1 i =1 Sample variance n 1 k m k = ∑ X i ( k = 1， ⋯) 2， （ 5-5） n i =1 1 n ′ m k = ∑ ( X i − X ) k ( k = 1， ⋯) 2， （ 5-6） n i =1 分别为样本均值、 样本方差、 分别为样本均值、 样本方差、样本 k 阶原点矩和样本 k 阶中心矩。 阶中心矩。 Central moments Origin moments
1 n ES 2 = E[ ( X i − X )2 ] ∑ n − 1 i =1 1 n 2 2 = E[ ∑ ( X i − 2 X X i + X )] n − 1 i =1 n 1 2 2 = E(∑ X i − n X ) n − 1 i =1 1 n [ ∑ ( DX i + ( EX i ) 2 ) − n ( D X + ( E X ) 2 )] = n − 1 i =1 2 n 1 σ 2 2 = [ ∑ (σ + µ ) − n ( + µ 2 )] = σ 2 n − 1 i =1 n
频率直方图 frequency histogram
是连续型随机变量时， 当总体 X 是连续型随机变量时 ， 可用直方图来 处理数据（ 样本值）。 ）。设 处理数据（ 样本值 ）。设 x1 , x 2 ,⋯ , x n 是总体 X 的一 组样本值。 处理步骤如下： 组样本值 。 处理步骤如下 ：

概率论第五章

概率论第五章
X − 14 14 − 14 ( 2 ). P { X > 1 4} = P{ > } 0.2 0.2 X − 14 = 1 − P{ ≤ 0} ≈ 1 − Φ (0) = 1 − 0.5 = 0.5 0.2
第五章 大数定律及中心极限定理
例6 一加法器同时收到20个噪声电压 Vk (k = 1,2,⋯,20) ， 设它们是互相独立的随机变量，且都在区间(0,10)上 服从均匀分布，记 20
2
2
P{| X − µ |< ε } ≥ 1 − σ / ε
2
2
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第五章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
这个不等式给出了随机变量 X 的分布未知情 况下，事件{| X − µ |< ε } 的概率的一种估计方法。
例 如 ： 在上 面 不等 式 中， 取 ε = 3σ , 4σ ， 有 ：
第五章 大数定律及中心极限定理
例4 某单位有200台电话分机，每台分机有5%的时间要 使用外线通话。假定每台分机是否使用外线是相互独 立的，问该单位总机要安装多少条外线，才能以90%以 上的概率保证分机用外线时不等待？ 解：设有X部分机同时使用外线，则有 X ~ B ( n, p ),
X − np N − np P ≤ P{ X ≤ N } = np (1 − p ) np (1 − p ) N − np ≈ = Φ 0 N − 10 . Φ0 np (1 − p ) 3.08 N - 10 查表得Φ (1.28) = 0.90.故 N 应满足条件 ≥ 1.28, 3.08 即 N ≥ 13.94. 取 N = 14, 即至少要安装 14 条外线。
§1 大数定律
定理（切比雪夫定理的特殊情况） 设随机变量 X 1 ,⋯, X n ,⋯ 相互独立， 且具有相同的数学期

概率论课件(第5章)


解：设 X 表示总错误个数，X i 表示第 i 页上的错误数 , 则
400
X Xi i 1
而 EXi 0.2 , DXi 0.2 由中心极限定理一可知
400
X X i ～ N (n , n 2 ) N (80,80) 故所求为： i 1
P(0
X
88)
88
80 80
0 80 80
4. 甲、乙两队进行某项比赛，规定一方先胜三场则结束，设每场双方 获胜的概率均为0.5，以 X 表示比赛的场数，试求 EX .
解： X 可取： 3 , 4 , 5 .
“ X = 3 ” 表示 “ 甲连胜3局” 或“乙连胜3局 ”则，
P( X
3)
1 3 2
1 3 2
1 4
“ X = 4 ” 表示 “ 甲（或乙）胜第4局且前3局胜2局 ” 则
解： 由已知，EX = 2/3，EY = 2/3， DX = 2/9，DY = 2/9， [2014，三]
又 XY cov( X ,Y ) EXY EXEY 0.5 EXY = 5/9 ，
DX DY
DX DY
而 EXY 11 P(X 1,Y 1) P(X 1,Y 1) 5/ 9 则
三、中心极限定理 （定理一、定理二）
1. 设 D( X ) , D( Y ) 存在且不等于0，则 D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y )
是 X 与 Y _________.
(A) 不相关的充分但不必要条件； (B) 独立的充分但不必要条件；
(C) 不相关的充分必要条件；
(D) 独立的充分必要条件.
n
n
分析：从公式直接得到：当
n

概率论第五章


28 March 2011
湖南大学
第五章 大数定律与中心极限定理
第10页 10页
切比雪夫大数定律
设随机变量序列X1, X2 ,K, Xn ,K相互独立，且 E( Xi ), D( Xi )存在，若存在常数C, 使得D( Xi ) ≤ C,
1 n 1 n lim P{| ∑Xi − ∑E( Xi ) |< ε} =1 n→∞ n i=1 n i=1
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则称{Xn} 服从大数定律.
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第五章 大数定律与中心极限定理
第9页
定义:
设a为一常数 X1, X2 ,K, Xn， 为一随机变量序列， 若 , K 对任意的ε > 0, 有 lim P{| Xn − a |< ε} =1,
n→∞
则 X1, X2 ,K, Xn ,K 概 收 于 称 依 率 敛 a
10 0.8
9 0.1
8 0.05
7 0.02
6 0.03
= Φ( − 3.53) −Φ(-6.85)= 1-0.9998=0.0002
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第五章 大数定律与中心极限定理
第17页 17页
二项分布的正态近似
棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理 设µn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有
∑X limP n→∞ σ
n i =1
i
− nµ n
≤ y = Φ( y)
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第五章 大数定律与中心极限定理
第15页 15页
例3 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100 克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一箱味 精的净重大于20500克的概率? 解: 设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布， 且 E(Xi)=100， D(Xi) =100， 由中心极限定理得，所求概率为：

概率论m5

lim P{| Yn a | } 1 是 指 ：
n
n
当 n很 大 时 ， 不 等 式 Yn a 成立的概率很大 .
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第五章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
说明2： X n P a , Yn P b , g ( x , y ) 在 点(a , b )连 续 若
§1 大数定律
定理 3（辛钦大数定律） 设 X 1 ,, X n , 相互独立同分布，且具有数学期 望 EX k ，k 1,2, , n, ，
则：对任意的 0 ，有
n
lim P {|
1
X i | } 1 n i 1
n
注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。
§2 中心极限定理
V - 100 V - 100 P 0.387 1 P 0.387 (10 / 12) 20 (10 / 12) 20
1 ( 0 .387 ) 0 .348
例2 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是 随机的。假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。 若用最大载重量为5吨的汽车承用，试利用中心极限 定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载 的概率大于0。977。
§2 中心极限定理
2
设X 1 ,, X n ,相 互 独 立 ， 且 k k，DXk k 0, EX
1 使得当 时， 2 n Bn
E{| X k k |2 } 0
k 1
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
n
lim P {
1 ( X k k ) k DX k
n

概率论与数理统计 第五章


贝努里定理. 它的叙述如下:设是n次重复独立 对于任意给定的ε>0,有
lim P{| nA p | } 1
n
n
lim P{| nA p | } 1
n
n
其中nA/n是频率,p是概率,即次数多
时事件发生的频率收敛于概率.表示频率的稳定性.
定理3
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
| } 1
数理统计的方法属于归纳法,由大量的资料作依据,而不
是从根据某种事实进行假设,按一定的逻辑推理得到的.例
如统计学家通过大量观察资料得出吸烟和肺癌有关,吸烟
者得肺癌的人比不吸烟的多好几倍.因此得到这个结论.
数理统计的应用范围很广泛.在政府部门要求有关的资
料给政府制定政策提供参考.由局部推断整体,学生的假期
第五章 大 数 定 律 与 中 心 极 限 定 律
§ 5.1大 数 定 律
定理1(切比雪夫定理) 设X1,X2,...,Xn,...是相互独立的随机变
量序列若存在常数C,使得D(Xi)≤C. (i=1,2,...n),则对任意给
定的ε>0,有
lim P{|
n
1 n
n i 1
[Xi
E( X i )] |
7200 6800 2
200 1
D 2
1
2100 2002
0.95
可见虽有10000盏灯,只要电力供应7200盏灯即有相当大的保 证率切贝谢夫不等式对这类问题的计算有较大价值,但它的精度 不高.为此我们研究下面的内容.
2021/9/5
10
§ 5.2 中 心 极 限 定 理
在随机变量的一切可能性的分布律中，正态分布占有特殊的
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1 2
一个统计量 θ = θ ( x1 , L , xn ) 的取值作为θ的估 ) 计值，θ 称为θ的点估计（量），简称估计。 ) 在这里如何构造统计量θ 并没有明确的规定， 只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到 二个问题： 其一 是如何给出估计，即估计的方法问题； 其二 是如何对不同的估计进行评价，即估 计的好坏判断标准。
第23页 23页
矩估计一般都具有相合性。比如： 样本均值是总体均值的相合估计； 样本标准差是总体标准差的相合估计； 样本变异系数是总体变异系数的相合估计。
28 July 2011
华东师范大学
第五章 参数估计
第24页 24页
§5.2 习题
1， 1， 2， 4,
P295
7
28 July 2011
华东师范大学
ˆ σ = sn
28 July 2011
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第五章 参数估计
第35页 35页
3− µ 3− x 概率P( X < 3) =Φ 的MLE是Φ ； σ s
第五章 参数估计
第25页 25页
§5.3 极大似然估计
5.3.1 极大似然估计的基本思想： 口袋中有黑、白两种球， 从中任取一只， 发现是白球， 则可以认为：
口袋中白球比黑球多
28 July 2011
华东师范大学
第五章 参数估计
第26页 26页
5.3.2
求极大似然估计的方法
设总体含有待估参数 θ ， 得到样本观测值 x1, x2,…, xn
28 July 2011
华东师范大学
第五章 参数估计
第21页 21页
定义 设θ∈Θ为未知参数， θˆn = θˆn (x1,L, xn ) 是θ的一个估计量，n是样本容量，若对任何 一个ε>0，有
ˆ lim n→∞ P(| θ n − θ |> ε ) = 0
ˆ 则称 θ n 为θ参数的相合估计。
n
28 July 2011
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第五章 参数估计
第29页 29页
将lnL(µ,σ 2)分别关于二个分量求偏导并令 其为0, 即得到似然方程组
∂ ln L(µ,σ 2 ) 1 n = 2 ∑ ( xi − µ ) = 0 ∂µ σ i =1 ∂ln L(µ,σ 2 ) 1 n n 2 = 4 ∑(xi − µ) − 2 = 0 2 ∂σ 2σ i=1 2σ
设 θˆ = θˆ( x1,L, xn )是θ的一个估计，若
ˆ E (θ ) = θ
ˆ 则称 θ 是θ的无偏估计，否则称为有偏估计。
28 July 2011
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第五章 参数估计第14页 14页注源自点X 是 E(X) 的无偏估计
S2 是 Var(X) 的无偏估计
Sn2 不是 Var(X) 的无偏估计
第8页
例 x1 , x2 , …, xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b) 的样本，a与b均是未知参数，这里k=2，由于
a+b (b − a)2 EX = , Var ( X ) = , 2 12
不难推出
a = EX − 3Var ( X ), b = EX + 3Var ( X ),
由此即可得到a, b的矩估计：
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第五章 参数估计
第28页 28页
例 对正态总体N(µ,σ 2)，θ=(µ,σ 2)是二维参数，
设有样本x1 , x2 , …, xn，则似然函数及其对数分 别为
( xi − µ )2 1 L(µ,σ 2 ) = ∏{ exp{− }} 2 2σ 2πσ i =1 1 n = (2πσ 2 )−n / 2 exp{− 2 ∑ ( xi − µ )2 } 2σ i =1 1 n n n 2 2 2 ln L(µ,σ ) = − 2 ∑ ( xi − µ ) − ln σ − ln(2π ) 2σ i =1 2 2
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第五章 参数估计
第18页 18页
课堂练习
ˆ ˆ 设 θ1, θ2 是参数θ 的两个独立的无偏估计，
ˆ ˆ 且 Var θ1 = 2Var θ2 , 找出常数 k1, k2，使得
ˆ ˆ ˆ θ = k1θ1 +k2θ2 也是θ 的无偏估计，
( )
( )
并使它在所有这种形状的估计中的方差最小. k1= 1/3,
第五章 参数估计
第1页
第五章 参数估计
数理统计的主要任务之一是依据样本推断总体. 推断的基本内容包括两个方面: 一是依据样本寻找总体未知参数的近似值和近似 范围，这是第五章的内容。 二是依据样本对总体未知参数的某种假设作出真 伪判断，这是第六章的内容（假设检验）。
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华东师范大学
1 n k 用样本矩 Ak = ∑Xi , n i=1
k
ˆ 代替母体矩 µk = E( X ) = g (θ )
k
即 A = µk = gk (θ ) k 从中解出θ .
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第五章 参数估计
第6页
注 意 点 (1)
若估计一个未知参数 θ ，则解方程
∑X n
i =1
1
ˆ ˆ 则找一个 θ =θ( X1, X2, L Xn ) ,
使得x1, x2,…, xn出现的可能性最大。
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第五章 参数估计
第27页 27页
极大似然估计的关键点
x1, x2,…, xn出现的可能性： (1) 离散场合：L(θ; x1, x2 , ..., xn ) = ∏P( Xi = xi )
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第五章 参数估计
第31页 31页
虽然求导函数是求极大似然估计最常用的方 法，但并不是在所有场合求导都是有效的。
例 设 x1 , x2 , …, xn是来自均匀总体
U(0,θ)的样本，试求θ的极大似然估计。
28 July 2011
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第五章 参数估计
第32页 32页
i =1 n i =1 n
(2) 连续场合：L(θ; x1, x2 , ..., xn ) = ∏ p( xi ) 称以上 L 的为似然函数。 注意：(1) L 是 θ 的函数， x1, x2,…, xn 固定。 (2) θ 可以是多维的 。 ˆ θMLE (3) 下面任务是求 L的极大点
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第五章 参数估计
第2页
• 一般常用θ表示参数，参数θ所有可能取值
组成的集合称为参数空间，常用Θ表示。参 数估计问题就是根据样本对上述各种未知参 数作出估计。
• 参数估计的形式有两种：点估计与区间估计。
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第五章 参数估计
第3页
• 设x ,x , …, xn是来自总体的一个样本，我们用
28 July 2011
)
)
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第五章 参数估计
第4页
一、点估计 §5.1 矩法估计 §5.2 点估计优劣的评价标准 §5.3 极大似然估计 二、区间估计 §5.4 区间估计 §5.5 单侧置信限
28 July 2011
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第五章 参数估计
第5页
§5.1
矩法估计
矩法估计的基本思想：
解 似然函数
L(θ ) =
1
θ
n
,
x(n) ≤ θ
n
要使L(θ)达到最大，即1/θ 尽可能大，所以 θ的取值应尽可能小，但θ不能小于x(n)，由此 ) 给出θ的极大似然估计：
ˆ θ = x( n )
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第五章 参数估计
第33页 33页
5.3.3
MLE的不变性 MLE的不变性
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第五章 参数估计
第22页 22页
相合性被认为是对估计的一个最基本要求, 如果一个估计量, 在样本量不断增大时，它 都不能把被估参数估计到任意指定的精度, 那末这个估计是很值得怀疑的。 样本容量越大,估计应当越精确
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第五章 参数估计
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k2 = 2/3
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第五章 参数估计
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均方误差
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相合性
点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量， 我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。 但我们可以要求估计量随着样本量的不断增大 而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下。
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第五章 参数估计
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例 设x1 , x2 , …, xn是取自某总体的样本，记总体均 ˆ ˆ x 值为µ ，总体方差为σ 2，则 µ1 = x1, µ2 = , 都是µ 的无偏估计，但
ˆ ˆ Var ( µ1 ) = σ 2 , Var ( µ2 ) = σ 2 / n ˆ ˆ 显然，只要n>1， µ2 比 µ1 有效。这表明，用全部
代替µ1 ，ν2 ，得α,λ的矩估计为
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第五章 参数估计
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§5.1 习题
1， 1， 4, 5
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§5.2 点估计优劣的评价标准
对同一个未知参数，采用不同的方法找到的 点估计可能不同。那么，自然要问：究竟是 用哪一个更“好”些呢? 这里介绍点估计的 评价标准. 如Poisson（ λ ）分布均值，方差均为λ，