初中数学--圆单元测试题
1．某品牌婴儿罐装奶粉圆形桶口如图所示,它的内直径(⊙O 直径)为10cm,弧AB 的度数约为90°,则弓形铁片ACB(阴影部分)的面积约为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．Rt △ABC 中，∠C=90o，AC=8cm ，BC=6cm ，以点C 为圆心，5cm 为半径的圆与直线AB 的位置关系是( )
A ． 相切
B ． 相交
C ． 相离
D ． 无法确定
3．圆锥体的高h ＝2 cm ，底面圆半径r ＝2 cm ，则圆锥体的全面积为( )
A ． 4π cm 2
B ． 8π cm 2
C ． 12π cm 2
D ． (4＋4)π cm 2
4．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度(∠BAC )为120°，
骨柄AB 的长为30 cm ，扇面的宽度BD 的长为20 cm ，那么这把折扇
的扇面面积为( )
A ． cm 2
B ． cm 2
C ． cm 2
D ． 300πcm 2
5．如图，在⊙O ， AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻
折交AB 于点D ，连接CD ，如果18BAC ∠=?，则BDC ∠=（ ）．
A ． 62?
B ． 72?
C ． 60?
D ． 52?
6．如图，在半径为6cm 的⊙O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上
一点，且∠D =30o下列四个结论：①OA ⊥BC ；②BC =63cm ；③cos ∠AOB=
3；④四边形ABOC 是菱形. 其中正确结论的序号是（ ）
A ． ①③
B ． ①②③④
C ． ①②④
D ． ②③④
7．如图，⊙O 的半径为1，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC
与∠BOC 互补，则弦BC 的长为（ ）
A ．
B ． 2
C ． 3
D ． 1.5
8．如图，中，弦与半径相交于点，连接，.若，，则的度数是（）
A． B． C． D．
9．如图，AB为⊙0的弦，AB=6，点C是⊙0上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是（）
A．22 B．3 C．32 D．33
10．已知正方形的边长为2cm，那么它外接圆的半径长是_______cm．
11．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=3，以点B为圆心，AB为半径作
弧交AC于点E，则图中阴影部分面积是____________。
12．如图，用一个半径为30cm扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），经测量圆锥的底面半径r为10cm，则扇形铁皮的面积为________ cm2．（结果保留π）
13．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切
点为F，若∠ACF=64°，则∠E=______．
14．14．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为_____．
15．如图半径为30cm的转动轮转过80°时，传送带上的物体A
平移的距离为_____．
16．如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，
若C（0，16），D（0，﹣4），则线段AB的长度为_________.
17．如图，△ABC内接于⊙O，要使过点A的直线EF与⊙O相切于A点，
则图中的角应满足的条件是________(只填一个即可)．
18．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，且∠BAC=50°，则∠ACD=______°．
19．如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点
E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图
中阴影部分的面积是_____．
20．如图，AB是⊙O的直径，AE交⊙O于点F，且与⊙O的切线CD互相垂直，垂足为D．（1）求证：∠EAC=∠CAB；
（2）若CD=4，AD=8，求⊙O的半径.
21．如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的的值.
22．如图,有一长为4 cm,宽为3 cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向),木板上的顶点A的位置变化为A→A1→A2,其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住,使木板边沿A2C 与桌面成30°角,则点A翻滚到A2位置时,共走过的路径长为____.
23．如图，已知圆的半径为r，求外接正六边形的边长．
24．如图，己知AB是⊙O 的直径，C是⊙O 上一点，∠ACB的平分线交⊙O 于点D，作PD∥AB，交CA的延长线于点P．连结AD，BD．
求证：（1）PD是⊙O 的切线；
（2）△PAD△DBC．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E．过点D作DF⊥AC 交AC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
26．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE
的面积为48，试求正六边形的周长．
27．如图，已知正五边形ABCDE，M是CD的中点，连接AC，BE，AM. 求证：(1)AC＝BE；
(2)AM⊥CD.
答案：
1．A
分析：连接OA 、OB ，根据三角形的面积公式求出S△AOB，根据扇形面积公式求出弓形铁片ACB 的面积，计算即可．
详解：连接OA 、OB ,
∵弧AB 的度数约为90°,
∴∠AOB =90°，
∴S △AOB =××=，
扇形ACB (阴影部分)=，
则弓形铁片ACB(阴影部分)的面积为(+)cm2，
故选A.
2．B 解：过C 点作CD ⊥AB ，垂足为D ．∵∠C =90°，BC =6，AC =8，由勾股定理得：AB 22BC AC +，根据三角形计算面积的方法可知：BC ×AC =AB ×CD ，∴CD =
6810
?=4.8＜5，∴⊙C 与直线AB 相交．故选B ．
3．C
分析：先利用勾股定理求出圆锥的母线长，然后根据表面积=底面积+侧面积计算即可． 详解：底面圆的半径为2，
∵底面半径为2cm 、高为2cm ， ∴圆锥的母线长为=4cm ，
∴侧面面积=π×2×4=8π；
底面积为=π×22=4π，
全面积为：8π+4π=12πcm 2．
故选C ．
4．C
解：∵AB =30cm ，BD =20cm ，∴AD =30﹣20=10（cm ），∴S 阴影=S 扇形BAC ﹣S 扇形DAE ===cm 2．故选C ．
5．B
如图，连接BC ，
∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=?，
∵18BAC ∠=?，
∴9072B BAC ∠=?-∠=?，
根据折叠的性质， AC ADC =，
∴180ADC B ∠+∠=?，
∴180********ADC B ∠=?-∠=?-?=?，
∴72BDC ∠=?．
故选B．
6．C
如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧BC的中点，点D是优弧BC上一点，且∠D=30o下
列四个结论：①OA⊥BC；②BC=63cm；③cos∠AOB=3
；④四边形ABOC是菱形. 其中正确
结论的序号是（）
A. ①③
B. ①②③④
C. ①②④
D. ②③④试题解析：∵点A是劣弧BC的中点，OA过圆心，
∴OA⊥BC，故①正确；
∵∠D=30°，
∴∠ABC=∠D=30°，
∴∠AOB=60°，
∵点A是劣弧BC的中点，
∴BC=2CE，
∵OA=OB，
∴OA=OB=AB=6cm，
∴BE=AB?cos30°=6×
3
2
3，
∴3cm，故②正确；∵∠AOB=60°，
∴sin∠AOB=sin60°=3
，
故③错误；
∵∠AOB=60°，
∴AB=OB，
∵点A是劣弧BC的中点，
∴AC=AB，
∴AB=BO=OC=CA，
∴四边形ABOC是菱形，
故④正确．
故选C．
7．A
分析：作OH⊥BC于H，首先证明∠BOC=120，在Rt△BOH中，BH=OB?sin60°=1×，即可推出BC=2BH=，
详解：作OH⊥BC于H．
∵∠BOC=2∠BAC，∠BOC+∠BAC=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OH⊥BC，OB=OC，
∴BH=HC，∠BOH=∠HOC=60°，
在Rt△BOH中，BH=OB?sin60°=1×＝，
∴BC=2BH=.
故选A．
8．D
分析: 直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出∠B以及∠ODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.
详解: ∵∠A=60°，∠ADC=85°，
∴∠B=85°-60°=25°，∠CDO=95°，
∴∠AOC=2∠B=50°，
∴∠C=180°-95°-50°=35°
故选：D.
9．C
解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=1
2
AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，
当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=62，∴MN=1
2
AD=32，故选
C．
10．
分析：运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出外接圆半径．详解：∵正方形的边长为2,
由中心角只有四个可得出：
∴中心角是：
正方形的外接圆半径是：sin∠AOC
∵ ∴
故答案为：
11．36π- 解：连接BE ．∵∠B =90°，∠C =30°，BC =3，∴∠A =60°，AB =1．∵AB =EB ，∴△ABE 是等
边三角形，∴∠ABE =60°，∴S 弓形=S 扇形ABE ﹣S △ABE =260113113602π?-???=36π-．故答案为： 36π
-．
12．300π
扇形铁皮的面积即为圆锥的侧面积，圆锥的侧面积=π×底面圆半径×母线长，
所以扇形铁皮的面积为：π×10×30=300π（cm 2），
故答案为：300π.
13．52°．
试题解析：连接OF ，
∵EF是⊙O切线，
∴OF⊥EF，
∵AB是直径，AB经过CD中点H，
∴OH⊥EH，
又∵∠AOF=2∠ACF=128°，
在四边形EFOH中，∵∠OFE+∠OHE=180°
∴∠E=180°-∠AOF=180°-128°=52°
故答案为：52°
14．（6，2）．
设圆心坐标为（x，y）；
依题意得，
A（4，6），B（2，4），C（2，0）
则有，
即（4﹣x）2+（6﹣y）2=（2﹣x）2+（4﹣y）2=（2﹣x）2+y2，化简后得x=6，y=2，
因此圆心坐标为（6，2）．
故答案是：(6,2).
15．40 3
π
解：由题意得，R=30cm，n=80°，故l= 8030
180
π?
=
40
3
π（cm）．
故答案为：40
3
π．
点睛：本题考查了弧长公式的运用，关键是理解传送带上的物体A平移的距离为半径为30cm 的转动轮转过80°角的扇形的弧长．
16．
连接BE，
∵C（0，16），D（0，﹣4），
∴OC=16，OD=4，
∴CD=20，
∴ED=EB=10，
∴EO=6，
∴BO=8.
∵ED⊥AB，
∴AO=BO=8，
∴AB=16.
故答案为16.
17．∠BAE＝∠C或∠CAF＝∠B
所填写的条件只需要使EF垂直于过点A的半径即可.
故答案为∠BAE＝∠C或∠CAF＝∠B.
18．40．
解：连接OC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC=50°．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ACD=∠OCD ﹣∠OCA=40°．故答案为：40．
19．
1 22
42
π
-
∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBF=45°，∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=1，
由勾股定理得，BE=2，∵点E是AD的中点，
∴
AD=22，
∴阴影部分的面积=22×1﹣
()2
45211
1122
360242ππ
?
-??=--，
故答案为：
1 22
42
π
--．
20．（1）证明见解析；（2）⊙O的半径为5．
试题分析：（1）首先连接OC，由CD是O的切线，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得∠EAC=∠CAB；
（2）连接BC，易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，继而可得⊙O的半径长.
（1）证明：连接OC．
∵CD是⊙O的切线，
∴CD⊥OC，
又∵CD⊥AE，
∴OC∥AE，
∴∠1=∠3，
∵OC=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
即∠EAC=∠CAB；
（2）解：连接BC．
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，∴∠ACB=∠ADC=90°，
∵∠1=∠2，
∴△ACD∽△ABC，
∴AD AC AC AB
=，
∵AC2=AD2+CD2=42+82=80，
∴AB=
280
8
AC
AD
==10，
∴⊙O的半径为10÷2=5．
21．（1）证明见解析；（2）cos∠BCA =
分析：（1）连接OB、OP，如图，结合相似三角形的性质可推出△BDC∽△PDO，进一步分析可得BC∥OP，由此通过角之间的等量转化便不难得到△BOP≌△AOP，至此结合全等三角形的性质，问题（1）便可得以解决；
（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，由此借助勾股定理以及线段间的比例关系即可用含a的代数式表示出OP以及OA的长.
详解：（1）证明：连接OB、OP .
∵且∠D=∠D,
∴△BDC∽△PDO ,
∴∠DBC=∠DPO ,
∴ BC∥OP,
∴∠BCO=∠POA , ∠CBO=∠BOP.
∵ OB=OC ,
∴ ∠OCB=∠CBO ,
∴ ∠BOP=∠POA.
又∵ OB=OA ， OP=OP ,
∴ △BOP ≌△AOP ,
∴ ∠PBO=∠PAO.
又∵ PA ⊥AC ,
∴ ∠PBO=90° ,
∴ 直线PB 是⊙O 的切线.
（2）由（1）知∠BCO=∠POA ,
设PB ，则. 又∵
,
∴ . 又∵ BC ∥OP ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ cos ∠BCA=cos ∠POA= .
22．3.5πcm
试题解析：由勾股定理,得2234 5(cm).
第一次翻滚,点A 绕点B 转到点A 1的位置,转过的圆心角为90°,半径是线段AB 的长度;第二次
翻滚,点A 1绕点C 转到点A 2的位置,转过的圆心角为90°-30°=60°,半径是3 cm,两次翻滚点
A共走过的路径长是两次转过的弧长之和,为90π560π3
180180
??
+=3.5π(cm).
故答案为： 3.5πcm.
23．
首先连接OA，OB，OC，由外接正六边形的性质，可证得△OAB是等边三角形，继而求得答案．解：如图，连接OA，OB，OC，则∠AOB==60°，
∵⊙O是内切圆，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=OB，∠OAB=60°，
∵OC=r，
∴OA==r，
∴AB=r．
即外接正六边形的边长为：r．
24．见解析
分析：（1）根据角平分线的定义得出∠1=∠3，得出弧AD=弧BD，根据垂径定理可得出OD⊥AB，再根据PD∥AB，就可证得OD⊥PD，即可得证；
（2）根据圆内接四边形的定理，可证得∠2=∠CBD，再根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质，可证得∠ADP=∠1，然后根据相似三角形的判定定理，可证得结论.
详解：（1）证明：如图，连接OD
∵CD平分∠ACB
∴∠1=∠3
∴弧AD=弧BD
∴OD⊥AB
∵PD∥AB
∴OD⊥PD
∵OD是半径
∴PD是⊙O的切线
（2）证明：∵四边形ADBC是圆的内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD=180°
∵∠2+∠CAD=180°
∴∠2=∠CBD
∵AB是圆的直径
∴∠ADO+∠BDO=90°，∠1+∠3=90°，即∠1=45°
∵弧AD=弧BD，OD⊥AB
∴AD=BD
∴∠ADO=45°
∵∠ADO+∠ADP=90°
∴∠ADP=45°=∠1
∴△PAD∽△DBC
25．（1）证明见解析；（2）S
= 16π﹣32．
阴影
试题分析：
（1）连接OD，AD，由AB是⊙O的直径可得∠ADB=90°，结合AB=AC可得点D是BC的中点，结合点O是AB中点可得OD是△ABC的中位线，由此可得OD∥AC，结合DF⊥AC即可得到DF⊥OD，由此可得DF是⊙O的切线；
（2）连接OE ，由DF ⊥AC 于点F 结合∠CDF=22.5°可得∠C=67.5°，这样结合AB=AC 可得∠B=67.5°，从而可得∠BAC=45°，再结合AO=EO 即可得到∠AOE=90°，这样就可由S 阴影=S 扇形AOE -S △AOE 求出S 阴影的大小了.
试题解析：
（1）连接OD ，AD ．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC ，∠ADB=90°，
∴BD=CD ，
∵AO=BO ，
∴OD 是△ABC 的中位线，
∴OD ∥AC ，
∵DF ⊥AC ，
∴半径OD ⊥DF ，
∴DF 是⊙O 的切线．
（2）连接OE ．
∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°，
∴∠C=67.5°，
∵AB=AC ，
∴∠C=∠B=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE ，
∴∠AOE =90°，
又∵⊙O 的半径为8，
∴S 阴影=S 扇形AOE ﹣S △AOE =16π﹣32．
