初中九年级数学圆的测试题及答案(两套题)

人教版九年级数学上册 圆 几何综合单元测试卷（含答案解析）一、初三数学 圆易错题压轴题（难）1．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离： (3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长． 【答案】（1）1502AOD α∠=︒-；（2）7AD =3）33133122or 【解析】【分析】（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.（2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.【详解】(1)如图1：连接OB 、OC.∵BC=AO∴OB=OC=BC∴△OBC 是等边三角形∴∠BOC=60°∵点D 是BC 的中点∴∠BOD=1302BOC ∠=︒ ∵OA=OC∴OAC OCA ∠=∠=α∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α(2)如图2：连接OB、OC、OD.由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=130 2BOC∠=︒∵OB=2，∴OD=OB∙cos30︒=3∵B为AC的中点，∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOD=90°根据勾股定理得：AD=227AO OD+=（3）①如图3.圆O与圆D相内切时：连接OB、OC，过O点作OF⊥AE∵BC是直径，D是BC的中点∴以BC为直径的圆的圆心为D点由（2）可得：3D的半径为1∴31设AF=x 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=-+- 解得：331x 4+= ∴AE=3312AF +=②如图4.圆O 与圆D 相外切时：连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE∵BC 是直径，D 是BC 的中点∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点由（2）可得：3D 的半径为1∴31在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，2222OA AF OD DF -=-即()2222331x x -=-解得：331x 4-= ∴AE=3312AF -=【点睛】本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.2．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3【解析】试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；（2）证法同（1）；（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（2）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（3）CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AE＝1【解析】【分析】（1）由AB为直径知∠ACB＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°．由∠MAC＝∠ABC可证得∠MAC+∠CAB＝90°，则结论得证；（2）①证明∠BDE＝∠DGF即可．∠BDE＝90°﹣∠ABD；∠DGF＝∠CGB＝90°﹣∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD＝∠CBD．则问题得证；②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，可得AE＝CH．根据AB＝BH可求出答案．【详解】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°；∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线；（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC＝∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD＝90°，∵∠DBC ＝∠ABD ，∴∠FDG ＝∠CGB ＝∠FGD ，∴FD ＝FG ；②解：连接AD 、CD ，作DH ⊥BC ，交BC 的延长线于H 点．∵∠DBC ＝∠ABD ，DH ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴DE ＝DH ，在Rt △BDE 与Rt △BDH 中，DH DE BD BD=⎧⎨=⎩， ∴Rt △BDE ≌Rt △BDH （HL ），∴BE ＝BH ，∵D 是弧AC 的中点，∴AD ＝DC ，在Rt △ADE 与Rt △CDH 中，DE DH AD CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDH （HL ）．∴AE ＝CH ．∴BE ＝AB ﹣AE ＝BC+CH ＝BH ，即5﹣AE ＝3+AE ，∴AE ＝1．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABC 的边BC 在y 轴的正半轴上，点A 在x 轴的正半轴上，点C 的坐标为（0，8），将△ABC 沿直线AB 折叠，点C 落在x 轴的负半轴D （−4，0）处．（1）求直线AB 的解析式；（2）点P 从点A 出发以每秒5AB 方向运动，过点P 作PQ ⊥AB ，交x 轴于点Q ，PR ∥AC 交x 轴于点R ，设点P 运动时间为t （秒），线段QR 长为d ，求d 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N 是射线AB 上一点，以点N 为圆心，同时经过R 、Q 两点作⊙N ，⊙N 交y 轴于点E ，F ．是否存在t ，使得EF =RQ ？若存在，求出t 的值，并求出圆心N 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x =-+（2）d =5t （3）故当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）．【解析】 试题分析：（1）由C （0，8），D （-4，0），可求得OC ，OD 的长，然后设OB=a ，则BC=8-a ，在Rt △BOD 中，由勾股定理可得方程：（8-a ）2=a 2+42,解此方程即可求得B 的坐标，然后由三角函数的求得点A 的坐标，再利用待定系数法求得直线AB 的解析式；（2）在Rt △AOB 中，由勾股定理可求得AB 的长，继而求得∠BAO 的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR ，则可求得d 与t 的函数关系式；（3）首先过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ，易证得四边形NTOS 是正方形，然后分别从点N 在第二象限与点N 在第一象限去分析求解即可求解;试题解析：（1）∵C （0，8），D （-4，0），∴OC=8，OD=4，设OB=a ，则BC=8-a ，由折叠的性质可得：BD=BC=8-a ，在Rt △BOD 中，∠BOD=90°，DB 2=OB 2+OD 2，则（8-a ）2=a 2+42， 解得：a=3，则OB=3，则B （0，3），tan ∠ODB=34OB OD = ， 在Rt △AOC 中，∠AOC=90°，tan ∠ACB=34OA OC = ， 则OA=6，则A （6，0），设直线AB 的解析式为：y=kx+b ，则60{3k bb+==，解得：1{23kb=-=，故直线AB的解析式为：y=-12x+3；（2）如图所示：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，则22135,tan2OBOB OA BAOOA+=∠==，255OAcos BAOAB∠==，在Rt△PQA中，905APQ AP t∠=︒=，则AQ=10cosAPtBAO=∠,∵PR∥AC，∴∠APR=∠CAB，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB，∴∠BAO=∠APR，∴PR=AR，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，∴∠PQA=∠QPR，∴RP=RQ，∴RQ=AR，∴QR=12AQ=5t,即d=5t;（3）过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，∵EF=QR，∴NS=NT，∴四边形NTOS是正方形，则TQ=TR=1522QR t=，∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t==-=-=（）（），分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上， 则132n n -=-+ ， 解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6，即1564t = ， 解得：85t = ; 若点N 在第一象限，设N （N ，N ），可得：132n n =-+ , 解得：n=2，故N （2，2），NT=2， 即1524t =, 解得：t=815∴当 t =85，或815，时，QR =EF ，N （-6，6）或（2，2）。

一、选择题1．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在⊙O 上，点D 在优弧ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A ．165°B ．155°C ．145°D ．135°2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，过B ，C 两点的O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交O 于点F ．连接BF ，CF ，若135EDC ∠=︒，2AE =，4BE =，则CF 的值为（ ）．A ．10B ．22C ．23D ．33．如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB ，点O 是这段弧所在的圆的圆心，20cm AB =，点C 是AB 的中点，点D 是AB 的中点，且5cm CD =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）A ．10cmB ．12.5cmC ．15cmD ．17cm 4．如图，正方形ABCD 内接于O ，直径//MN AD ，则阴影部分的面积占圆面积的（ ）A ．12B ．16C ．13D ．14 5．如图所示，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，21BDC ∠=︒，则AOC ∠的度数是（ ）A ．136°B ．137°C ．138°D ．139° 6．如图，A 、B 、C 三点在O 上，D 是CB 延长线上的一点，40ABD ∠=︒，那么AOC ∠的度数为（ ）．A ．80°B ．70°C ．50°D ．40° 7．已知O 的半径为5，若4PO =，则点P 与O 的位置关系是（ ） A ．点P 在O 内 B ．点P 在O 上 C ．点P 在O 外 D ．无法判断 8．如图，O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 可取的整数值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，⊙O 的半径为1，点 O 到直线 a 的距离为2，点 P 是直线a 上的一个动点，PA 切⊙O 于点 A ，则 PA 的最小值是（ ）A ．1B ．3C ．2D ．510．如图，点M 是矩形ABCD 的边BC 、CD 上的点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP ，若AB=6，AD=4，则DP 的长的最小值为（ ）A ．2B ．121313C ．4D ．511．如图，在平行四边形ABCO 中，45C ∠=︒，点A ，B 在O 上，点D 在ADB 上，DA DB =，则AOD ∠的度数为（ ）A ．112.5°B ．120°C ．135°D ．150° 12．如图，P 与y 轴交于点()0,4M -，()0,10N -，圆心P 的横坐标为4-，则P 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题13．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________°．14．如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，AC 是O 的直径，35BAC ∠=︒，则P ∠的度数为________.15．如图，点A ，B ，C 在O 上，顺次连接A ，B ，C ，O ．若四边形ABCO 为平行四边形，则AOC ∠=________︒．16．将面积为3πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为_____cm ．17．如图，O 的半径为6，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是O 上任意一点，过点P 作PM AB ⊥于M ，PN CD ⊥于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周从点D 逆时针方向运动到点C 的过程中，当∠QCN 度数取最大值时，线段CQ 的长为______．18．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.19．如图，已知点,,A B C 在O 上，若50ACB ∠=，则AOB ∠=_____________________度．20．已知三角形三边分别为3、4、5，则该三角形内心与外心之间的距离为_____．三、解答题21．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形BEFG 中，点E 在AB 的延长线上，点G 在BC 上，点O 在线段AB 上，且AO BO ≥．以OF 为半径的O 与直线AB 交于点M 、N ．（1）如图1，若点O 为AB 中点，且点D ，点C 都在O 上，求正方形BEFG 的边长． （2）如图2，若点C 在O 上，求证：以线段OE 和EF 为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．（3）如图3，若点D 在O 上，求证：DO FO ⊥． 22．如图，已知AB 是O 的一条弦，DE 是O 的直径且DE AB ⊥于点C ． （1）若3,5OC OA ==，求AB 的长；（2）求证：EAO BAD ∠=∠．23．如图，AB 是O 的一条弦，⊥OD AB ，垂足为C ，OD 交O 于点D ，点E 在O 上，若50AOD ．（1）求DEB ∠的度数：（2）若3OC =，5OA =，①求弦AB 的长；②求劣弧AB 的长．24．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的斜边AB 在y 轴上，∠C=90°，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分∠BAC 交边BC 于点E ，经过点A 、D 、E 的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 轴相交于另一点G ．(1)求证：BC 是⊙F 的切线；(2)若点A 、D 的坐标分别为A(0,−1)，D(2,0)，求⊙F 的半径；(3)请直接写出线段AG 、AD 、CD 三者之间满足的数量关系：___________________．25．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB AC =，BD AC ⊥，垂足为E ．（1）若40BAC ∠=︒，求ADC ∠的度数；（2）求证：2BAC DAC ∠=∠．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A （0，1），点P （t ，0）为x 轴上一动点(不与原点重合)．以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，以AB 为直角边在AB 的右上方作等腰直角三角形ABC ，且∠BAC =90°，直线BC 于⊙P 的另一个公共点为F ，连接PF ．（1）当t = 2时，点C 的坐标为（ ， ）；（2）当t >0时，过点C 作x 轴的垂线l ．①判断当点P 运动时，直线l 的位置是否发生变化？请说明理由；②试说明点F 到直线l 的距离始终等于OP 的长；（3）请直接写出t 为何值时，CF =2BF ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】连接OB ，根据平行四边形的性质可得∠OAB=∠C=45°，再根据等腰三角形的等边对等角得∠OBA=∠OAB=45°，则∠AOB=90°，由DA=DB 得∠AOD=∠BOD ，进而可求得∠AOD 的度数．【详解】解：连接OB ，∵四边形ABCO 是平行四边形，∴∠OAB=∠C=45°，∵OA=OB ，∴∠OBA=∠OAB=45°，∴∠AOB=90°，∵DA=DA ，∴∠AOD=∠BOD=12（360°﹣90°）=135°， 故选：D ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆心角、弧、弦的关系等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质，熟知等弦所对的圆心角相等是解答的关键． 2．A解析：A【分析】由四边形BCDE 内接于⊙O 知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC ，由EF 是⊙O 的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE ，再根据四边形BECF 是⊙O 的内接四边形知∠AEC=∠BFC ，从而证△ACE ≌△BCF 得AE=BF ，根据Rt △ECF 是等腰直角三角形知EF 2=20，继而可得答案．【详解】∵四边形BCDE 内接于O ，且135EDC ∠=︒， ∴18045EFC ABC EDC ︒∠=∠=-∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴ABC 是等腰三角形，∴AC BC =， 又∵EF 是O 的直径， ∴90EBF ECF ACB ∠=∠=∠=︒，∴BCF ACE ∠=∠，∵四边形BECF 是O 的内接四边形，∴AEC BFC ∠=∠，∴()ACE BFC ASA ≅△△，∴AE BF =，Rt BEF △中，22222224220EF BF BE BE AE =+=+=+=，Rt ECF △中，45EFC ∠=︒，∴CE CF =，∴2222220CE CF CF EF +===，∴210CF =， ∴CF =故选:A ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理．3．B解析：B【分析】根据题意，可以推出AD ＝BD ＝10，若设半径为r ，则OD ＝r ﹣5，OA ＝r ，结合勾股定理可推出半径r 的值．【详解】解：∵OC ⊥AB ，AB ＝20，∴AD ＝DB ＝10，在Rt AOD 中，OA 2＝OD 2+AD 2，设半径为r 得：r 2＝（r ﹣5）2+102，解得：r ＝12.5，∴这段弯路的半径为12.5，故选：B ．【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r 后，用r 表示出OD 、OA 的长度．4．D解析：D【分析】连接OC 、OD ，设O 半径为r ，利用正方形性质得：MN ∥BC ，根据三角形面积公式得：S △DON ＝S △AON ，S △CON ＝S △BON ，利用面积差可得S 阴影部分＝S 扇形COD ，再利用正方形的性质得到∠COD ＝90°，则S 扇形＝214r π，所以阴影部分面积是圆的面积的14【详解】解：如图，连接OC、OD，设O半径为r，∵直径//MN AD，AD∥BC∴MN∥BC，根据三角形面积公式得：S△DON＝S△AON，S△CON＝S△BON，∴S阴影部分＝S扇形COD，∵四边形ABCD是正方形∴∠COD＝90°，∴S扇形＝290360rπ︒︒＝214rπ，∵圆的面积为2rπ∴所以阴影部分面积是圆的面积的14故选：D【点睛】本题考查扇形面积计算公式、正方形的性质，利用了面积的和差计算不规则图形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式.5．C解析：C【分析】利用圆周角定理求出∠BOC即可解决问题．【详解】解：∵∠BOC=2∠BDC，∠BDC=21°，∴∠BOC=42°，∴∠AOC=180°-42°=138°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．6．A解析：A【分析】作弧ABC所对的圆周角∠AEC，如图，先利用邻补角计算出∠ABC=140°，再利用圆内接四边形的性质计算出∠E=40°，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数．【详解】解：作弧ABC所对的圆周角∠AEC，∵∠ABD=40°，∴∠ABC=180°-40°=140°，∵∠AEC+∠ABC=180°，∴∠E=40°，∴∠AOC=2∠AEC=2×40°=80°．故选：A．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，以及圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7．A解析：A【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d 时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【详解】∵⊙O的半径为5，若PO=4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．8．C解析：C【分析】当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小，从而确定OM的取值范围即可解决问题．【详解】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB=8，OA=5，∴AM′=1×8=4，2∴在Rt△OAM′中，OM′=2222-'=3，OA AM=-54∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．所以，OM的取值范围是：3≤OM≤5，故线段OM长的整数值为3，4，5，共3个．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．9．B解析：B【分析】因为PA为切线，所以△OPA是直角三角形．又OA为半径为定值，所以当OP最小时，PA 最小．根据垂线段最短，知OP=2时PA最小．运用勾股定理求解．【详解】解：作OP⊥a于P点，则OP=2．根据题意，在Rt△OPA中，AP=22-21=3-=22OP OA故选：B．【点睛】此题考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PA最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上．10．A解析：A【分析】易证∠APB ＝90°，则P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，取AB 的中点为O ，连接OD ，OD 与半圆的交点P′就是DP 的长的最小值时的位置，OP′＝OA ＝12AB ＝3，OD ＝5，DP′＝OD−OP′＝2，即可得出结果． 【详解】解：∵BN ⊥AM ，∴∠APB ＝90°，∵AB ＝6为定长，则P 点的运动轨迹是以AB 为直径，在AB 上方的半圆，取AB 的中点为O ，连接OD ，OD 与半圆的交点P′就是DP 长的最小值时的位置，如图所示：∵AB ＝6，AD ＝4，∴OP′＝OA ＝12AB ＝3， OD 22AD +OA 224+3＝5，∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∴DP 的长的最小值为2，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轨迹等知识；判断出P 点的运动轨迹，找出DP 长的最小值时的位置是解题的关键．11．C解析：C【分析】延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，证明△△AOD BOD ≅，OD 是AOB ∠的角平分线，求得290345∠=︒-∠=︒，进行求解即可；【详解】延长DO 交AB 于点H ，连接OB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，45C ∠=︒，∴345∠=︒，∵DA DB =，OA OB =，∴△△AOD BOD ≅，∴OD 是AOB ∠的角平分线，又∵AO BO =，∴DH AB ⊥，∴290345∠=︒-∠=︒，又∵221∠=∠，∴18045135AOD ∠=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算，结合全等三角形的性质和角平分线的性质计算即可． 12．C解析：C【分析】过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，由垂径定理得DM ＝3，在Rt △PMD 中，由勾股定理可求得PM 为5即可．【详解】解：过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，如图所示：∵⊙P 与y 轴交于M （0，−4），N （0，−10）两点，∴OM ＝4，ON ＝10，∴MN ＝6，∵PD ⊥MN ，∴DM ＝DN ＝12MN ＝3， ∴OD ＝7， ∵点P 的横坐标为−4，即PD ＝4，∴PM5，即⊙P 的半径为5，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．二、填空题13．125【分析】根据三角形内角和性质结合题意可计算得的值；根据内切圆的性质分析可计算得的值从而完成求解【详解】∵∠A ＝70°∴∵⊙O 是△ABC 的内切圆∴∴∴故答案为：125【点睛】本题考查了三角形内角解析：125【分析】根据三角形内角和性质，结合题意，可计算得ABC ACB ∠+∠的值；根据内切圆的性质分析，可计算得OBC OCB ∠+∠的值，从而完成求解．【详解】∵∠A ＝70°∴180110ABC ACB A ∠+∠=-∠=∵⊙O 是△ABC 的内切圆 ∴12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠ ∴11111055222OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠=⨯= ∴180********BOC OBC OCB ∠=-∠-∠=-=故答案为：125．【点睛】本题考查了三角形内角和、三角形内切圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形内切圆的性质，从而完成求解．14．70°【分析】根据题意可以求得∠OAP 和∠OBP 的度数然后根据∠BAC ＝35°即可求得∠P 的度数【详解】解：连接OB ：∵PAPB 是⊙O 的两条切线AB 是切点AC 是⊙O 的直径∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°解析：70°【分析】根据题意可以求得∠OAP 和∠OBP 的度数，然后根据∠BAC ＝35°，即可求得∠P 的度数．【详解】解：连接OB：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠BAC＝35°，OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA＝35°，∴∠PAB＝∠PBA＝55°，∴∠P＝180°−∠PAB−∠PBA＝70°，即∠P的度数是70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查切线的性质，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用切线的性质解答问题．15．120【分析】连接OB先证明四边形ABCD是菱形然后再说明△AOB△OBC 为等边三角形最后根据等边三角形的性质即可解答【详解】解：如图：连接OB∵点在上∴OA=OC=OB∵四边形为平行四边形∴四边形解析：120【分析】连接OB，先证明四边形ABCD是菱形，然后再说明△AOB、△OBC为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．【详解】解：如图：连接OB∵点A，B，C在O上∴OA=OC=OB∵四边形ABCO为平行四边形∴四边形ABCO是菱形∴OA=OC=OB=AB=BC∴△AOB、△OBC为等边三角形∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOC=120°．故答案为120．【点睛】本题主要考查了圆的性质和等边三角形的性质，根据题意证得△AOB 、△OBC 为等边三角形是解答本题的关键．16．1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm 底面圆的半径为rcm ∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面扇形的圆心角是120解析：1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案．【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm ，底面圆的半径为rcm ，∵面积为3πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°， ∴2120360R π⨯＝3π， 解得：R ＝3，由题意可得：2πr ＝1203180π⨯， 解得：r ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确得出母线长是解题关键． 17．【分析】利用矩形的性质得出OQ ＝MN ＝OP ＝3再利用当CQ 与此圆相切时∠QCN 最大此时在直角三角形CQ′O 中通过勾股定理求得答案【详解】连接OQ ∵MN ＝OP （矩形对角线相等）⊙O 的半径为6∴OQ ＝M 解析：33【分析】利用矩形的性质得出OQ ＝12MN ＝12OP ＝3，再利用当CQ 与此圆相切时，∠QCN 最大，此时，在直角三角形CQ′O 中，通过勾股定理求得答案．【详解】连接OQ，∵MN＝OP（矩形对角线相等），⊙O的半径为6，∴OQ＝12MN＝12OP＝3，可得点Q的运动轨迹是以O为圆心，3为半径的半圆，当CQ与此圆相切时，∠QCN最大，此时，在直角三角形CQ′O中，∠CQ′O＝90°，OQ′＝3，CO＝6，∴CQ′＝22CO OQ-'＝33，即线段CQ的长为33．故答案为：33．′【点睛】此题主要考查了矩形的性质、点的轨迹，圆的切线等，得出当CQ与此圆相切时，∠QCN 最大是解题的关键．18．3或5【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切过P 作PE⊥CD与E根据切线的性质得到PE=1cm再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm则⊙P的圆心在直线AB上解析：3或5【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间．【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E，∴PE=1cm，∵∠AOC=30°，∴OP=2PE=2cm ，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8-2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间=822-=3（秒）； 当点P 在射线OB 时⊙P 与CD 相切，如图，过P 作PE ⊥CD 与F ，∴PF=1cm ，∵∠AOC=∠DOB=30°，∴OP=2PF=2cm ，∴⊙P 的圆心在直线AB 上向右移动了（8+2）cm 后与CD 相切，∴⊙P 移动所用的时间=822+=5（秒）． 故答案为3或5．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质．解题关键是熟练掌握以上性质. 19．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论【详解】解：∵∠ACB 与∠AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角∠ACB=50°∴∠AOB=100°故答案是：100°【点睛】本题考查的是圆周角定理熟知在同圆或等圆中解析：100【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】解：∵∠ACB 与∠AOB 是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ACB=50°，∴∠AOB=100°．故答案是：100°．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．20．【分析】利用三角形三边分别为345可得三角形是直角三角形根据内切圆的性质可判定四边形OECE 是正方形所以用r 分别表示：CE ＝CD ＝rAE ＝AN ＝3−rBD ＝BN ＝4−r ；再利用AB 作为相等关系求出r5 【分析】利用三角形三边分别为3、4、5，可得三角形是直角三角形，根据内切圆的性质可判定四边形OECE是正方形，所以用r分别表示：CE＝CD＝r，AE＝AN＝3−r，BD＝BN＝4−r；再利用AB作为相等关系求出r＝1，则可得AN＝2，N为圆与AB的切点，M为AB的中点，根据直角三角形中外接圆的圆心是斜边的中点，即M为外接圆的圆心；在Rt△OMN中，先求得MN＝AM−AN＝12，由勾股定理可求得OM的长．【详解】解：∵三角形三边分别为3、4、5，∴32+42＝52，∴三角形是直角三角形，如图，设Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，∵∠C＝90°，∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝3﹣r，BD＝BN＝4﹣r，∴4﹣r+3﹣r＝5，解得r＝1，∴AN＝2，在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝12，∴OM＝52．则该三角形内心与外心之间的距离为52．故答案为：52．【点睛】此题考查了直角三角形的外心与内心概念、勾股定理的逆定理、内切圆的性质．解决本题的关键是掌握直角三角形的外心与内心概念．三、解答题21．（1）12；（2）见解析；12；（3）证明见解析【分析】（1）连接OC，设BE=EF=x，则OE=x+12，得出(x+12)2+x2＝(12)2+12，解得：x=12，则答案求出；（2）连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，得出x2+（x+y）2=y2+12，即x（x+y）=12，则结论可得证；（3）连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，可得出12+a2=（1-a+b）2+b2，得出a=b，则OA=EF，证明Rt△AOD≌Rt△EFO（HL），则得出∠FOE=∠ODA，结论得出．【详解】解：（1）连接OC∵四边形ABCD和四边形BEFG为正方形，∴AB=BC=1，BE=EF，∠OEF=∠ABC=90°，∵点O为AB中点，∴OB=12AB=12，设BE=EF=x，则OE=x+12，在Rt△OEF中，∵OE2+EF2=OF2，∴(x+12)2+x2＝OF2，在Rt△OBC中，∵OB2+BC2=OC2，∴(12)2+12=OC2，∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC=OF，∴(x+12)2+x2＝(12)2+12，解得：x=12，∴正方形BEFG的边长为12；（2）证明：如图2，连接OC，设OB=y，BE=EF=x，同（1）可得，OE2+EF2=OF2，OB2+BC2=OC2，∴OF2=x2+（x+y）2，OC2=y2+12∵OC，OF为⊙O的半径，∴OC=OF，∴x2+（x+y）2=y2+12，∴2x2+2xy=1，∴x2+xy=12，即x（x+y）=12，∴EF×OE=12，∴以线段OE和EF为邻边的矩形的面积为定值，这个定值为12．（3）证明：连接OD，设OA=a，BE=EF=b，则OB=1-a，则OE=1-a+b，∵∠DAO=∠OEF=90°，∴DA2+OA2=OD2，OE2+EF2=OF2，∴12+a2=OD2，（1-a+b）2+b2=OF2，∵OD=OF，∴12+a2=（1-a+b）2+b2，∴（b+1）（a-b）=0，∵b+1≠0，∴a-b=0，∴a=b，∴OA=EF，在Rt△AOD和Rt△EFO中，OD OF OA EF ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △AOD ≌Rt △EFO （HL ），∴∠FOE=∠ODA ，∵∠DAO=90°，∴∠ODA+∠AOD=90°，∴∠FOE+∠AOD=90°，∴∠DOF=90°，∴DO ⊥FO ．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的面积等知识，熟练运用方程的思想是解题的关键．22．（1）8AB =；（2）见解析【分析】（1）由DE ⊥AB ，得∠OCA ＝90°，OC ＝3，OA ＝5，通过勾股定理即可求出AC ；由DE 是⊙O 的直径，所以DE 平分AB ，得到AB ＝2AC ，即可得到AB ；（2）由OA ＝OE ，得∠EAO ＝∠E ，而直径DE ⊥AB ，则AD BD =，所以∠E ＝∠BAD ，由此得到∠EAO ＝∠BAD ．【详解】（1）∵DE ⊥AB∴∠OCA=90°，则OC 2+AC 2=OA 2又∵OC ＝3，OA ＝5，∴AC=4，∵DE 是⊙O 的直径，且DE ⊥AB ，∴AB ＝2AC=8（2）证明∵ EO=AO ，∴∠E=∠EAO又∵DE 是⊙O 的直径，且DE ⊥AB ，∴AD BD =，∴∠E=∠BAD∴∠EAO ＝∠BAD ．【点睛】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了垂径定理以及勾股定理．23．（1）25°；（2）①8；②25π9【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理求解即可；（2）①根据勾股定理和垂径定理求解即可；②先求出100AOB ∠=︒，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：（1）∵⊥OD AB ，∴AD BD =， ∴11502522DEB AOD ∠=∠=⨯︒=︒； （2）①∵3OC =，5OA =，⊥OD AB ，∴4AC ==，∴AB=2AC=8；②∵50AOD ，AD BD =，∴100AOB ∠=︒， ∵5OA =，∴弧AB 的长π1005π25π1801809n r ⨯===． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，以及弧长公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．24．（1）见解析；（2）52；（3）AG=AD+2CD ． 【分析】（1）连接EF ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ，得到FE ∥AC ，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论；（2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（3）作FR ⊥AD 于R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂径定理解答即可．【详解】（1）证明：连接EF ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ，∵FA=FE ，∴∠FAE=∠FEA ，∴∠FEA=∠EAC ，∴FE ∥AC ，∴∠FEB=∠C=90°，即BC 是⊙F 的切线；（2）解：连接FD ，∵A(0,−1)，D(2,0)，∴OA=1,OD=2.在Rt △FOD 中，∵222OF OD DF += 设⊙F 的半径为r ，∴r 2=（r-1）2+22，解得，r=52，即⊙F 的半径为52； （3）解：AG=AD+2CD ．证明：作FR ⊥AD 于R ，则∠FRC=90°，又∵BC 是⊙F 的切线；∴∠FEC=∠C=∠FRC=90°，∴四边形RCEF 是矩形，∴EF=RC=RD+CD ，∵FR ⊥AD ，AF=FD,∴AR=RD ， ∴EF=RD+CD=12AD+CD ， ∴AG=2FE=AD+2CD ．【点睛】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用、矩形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．25．（1）110ADC ∠=︒；（2）证明见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【详解】（1）解：AB AC =，40BAC ∠=︒，70ABC ACB ∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是O 的内接四边形，180110ADC BAC ∴∠=︒-∠=︒，（2）证明：BD AC ⊥，90AEB BEC∴∠=∠=︒，90ACB CBD∴∠=︒-∠，AB AC=，90ABC ACB CBD∴∠=∠=︒-∠，18022BAC ABC CBD∴∠=︒-∠=∠，DAC CBD∠=∠，2BAC DAC∠=∠∴；【点睛】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．26．（1）1，3+2）①不变，理由见解析；②见解析；（3）4 3±【分析】（1）过C作y轴的垂线交y轴与D点，先根据题意求得PA、OB的长，然后再证明△ACD≌△AOB，最后根据图形即可解答；（2）①过点C作CH⊥y轴，垂足为点H，先证明△HAC≌△OBA，进一步得到C点的横坐标恒为1，即可说明；②过F作FM⊥l交l与M,过点F作FN⊥x轴，垂足为点N，即∠APF=90°，再说明∠APF、=90°，再证得△AOP≌△PBF，最后根据图形运用线段的和差即可解答；（3）分t＞0和t＜0两种情况分别求解即可【详解】解：（1）如图：过C作y轴的垂线交y轴与D点∵t=2，P（2,0），A（0,1）∴=∴∵∠BAC=90°，∠CDA=90°，∴∠DAC+∠OAB=90°, ∠DAC+∠DCA=90°,∴∠OAB=∠DCA在△ACD和△AOB中∠OAB=∠DCA，∠CDA=∠AOB=90°，AC=AB∴△ACD≌△AOB（AAS）∴∴C（1，3+）；（2）①不变、理由如下：过点C作CH⊥y轴，垂足为点H，易证△HAC≌△OBA，得HC=OA=1，∴点C的横坐标是定值为1，∴直线l是过点（1，0）且垂直于x轴的直线，直线l的位置不发生变化；②如图：过F作FM⊥l交l与M,过点F作FN⊥x轴，垂足为点N，即∠APF=90°，∵△ACB 为等腰直角三角形，∠CAB=90°∴∠ABC=45°∴∠APF=2∠ABC=90°同理（1）可得△AOP ≌△PBF ，∴PN =OA ，OP=FN∴ON=OP+PN=OP+OA∵直线l 为l=1∴FM=OP ；（3）∵CF=2BF∴当t ＞0，如图，22311MF OP BQ OB OQ t t ===-++- ∴3t=22212t t ++-，即：()3340t t -=，解得t=43 或t=0（舍去） 同理可得t ＜0时，可得t=-43． 综上，当t=43±时，CF=2BF ．【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了圆的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的解法等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．。

人教版九年级数学上册《24.1.1圆》同步测试题带答案一、单选题1．下列命题中正确的有( ) A ．长度相等的弧是等弧 B ．相等的圆心角所对的弦相等 C ．等边三角形的外心与内心重合D ．任意三点可以确定一个圆2．如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O 的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）A ．只有甲是扇形B ．只有乙是扇形C ．只有丙是扇形D ．只有乙、丙是扇形3．如图AB 为⊙O 的定直径，过圆上一点C 作弦CD AB ⊥，OCD ∠的平分线交⊙O 于点P ，当点C （不包括A ，B 两点）在⊙O 上移动时，点P （ ）A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分弧DBD ．随C 点移动而移动4．下列命题中，⊙直径是圆中最长的弦；⊙长度相等的两条弧是等弧；⊙半径相等的两个圆是等圆；⊙半径不是弧，半圆包括它所对的直径，其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，以三角形三个顶点为圆心画半径为2的圆，则阴影部分面积之和为（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π6．如图，在Rt ⊙ABC 中，⊙ACB =90°， AC =3，以点C 为圆心、CA 为半径的圆与AB 交于点D ，若点D 巧好为线段AB 的中点，则AB 的长度为（ ）A ．32B ．3C ． 6D ．9二、填空题7．到点O 的距离等于7cm 的点的集合是 ．8．下图中，点O 是( )，线段OA 是圆的( )，线段BC 是圆的( )．9．已知，如图AB ，AD 是O 的弦 30B ∠=︒，点C 在弦AB 上，连结CO 并延长交O 于点D ，35D ∠=︒则BAD ∠的度数是 ．10．如图，半径为r 的O 沿着边长为a 的正方形ABCD 的边作无滑动地滚动一周回到原来的位置，O 自身转动的圈数是 ．（用含a r ，的代数式表示）11．下列说法：⊙直径是弦；⊙弦是直径；⊙大于半圆的弧是优弧；⊙长度相等的弧是等弧，其中正确的是 ．12．顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫做圆外角．圆外角的两边所夹的两条弧的度数与该角的度数之间的数量关系是：圆外角的度数等于 ．三、解答题13．如图，O 的弦,AB CD 的延长线交于点P ，连接OP ，且OP 平分APC ∠．求证：PA PC =．14．如图，点O 是同心圆的圆心，大圆半径OA ，OB 分别交小圆于点C ，D ，求证：AB CD ∥．15．如图所示，AB 为O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ，的延长线交于点E ，已知220AB DE AEC =∠=︒，．求AOC ∠的度数．16．如图，O 的半径5cm OA =，AB 是弦，C 是AB 上一点，且OC OA ⊥，OC BC =求A ∠的度数．17．如图,破残的圆形轮片上,弦AB 的垂直平分线交弧AB 于C,交弦AB 于D ．（1）求作此残片所在的圆的圆心（不写作法,保留作图痕迹）； （2）若AB=8cm,CD=2cm,求（1）中所作圆的半径．18．如图，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，延长AB ，CD 相交于点P ，且2AB DP = 18P ∠=︒ 求AOC ∠的度数．题号 1 2 3 4 5 6 答案CBBCD C7．以点O 为圆心，7cm 为半径的圆 8． 圆心 半径 直径 9．65︒ 10．21a r π+/21arπ+ 11．①③/③①12．两条弧度数差值的绝对值的一半 15．60AOC ∠=︒ 16．30︒17．(2) 圆的半径为5cm. 18．54。

一、选择题1．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．65°B ．115°C ．115°或65°D ．130°或65° 2．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是（ ）A ．54°B ．30°C ．36°D ．60°3．如图，AB 是半圆O 的直径，20BAC =︒∠，则D ∠的度数是（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120° 4．已知O 的直径10CD cm ，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且8AB cm =，则AC 的长为（ ） A ．25 B ．43 C ．25或45 D ．23或43 5．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，7AB =，4AC =，以点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于点D ，求弦AD 的长为（ ）A 433B ．327C 233D ．1676．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（ ）A ．13cmB ．12cmC ．11cmD ．10cm 7．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为3cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（ ）A ．212cm πB ．224cm πC ．236cm πD ．248cm π 8．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（ ）A ．5B ．10C ．52D ．102 9．已知O 的半径为4，点P 在O 外，OP 的长可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 10．如图，PA 、PB 、CD 是O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若60APB ∠=︒，则COD ∠的度数（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．75° 11．如图，AB 是⊙的直径，DB 、DE 分别切⊙O 于点B 、C ，若∠ACE ＝35°，则∠D 的度数是（ ）A ．65°B ．55°C ．60°D ．70° 12．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上，若∠OCA =50°，OB =2，则弧BC 的长为（ ）A ．103πB ．59π C ．109π D ．518π 二、填空题13．已知ABC 的周长为30，面积为20，其内角平分线交于点O ，则点O 到边BC 的距离为________．14．如图，AB 、AC 、BD 是O 的切线，P 、C 、D 为切点，如果8AB =，5AC =，则BD 的长为_______．15．如图，点A ，B ，C 在O 上，顺次连接A ，B ，C ，O ．若四边形ABCO 为平行四边形，则AOC ∠=________︒．16．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，64A ∠=︒，则OBC ∠=______°．17．如图，点C ，D 是半圈O 的三等分点，直径43AB =．连结AC 交半径OD 于E ，则阴影部分的面积是_______．18．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．19．如图，已知AD 为半圆形O 的直径，点B ，C 在半圆形上，AB BC =，30BAC ∠=︒，8AD =，则AC 的长为________．20．如图，AB 是O 的直径，CD AB ⊥于E ，24CD =，8BE =，则AB =__________．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．E 为CD 边上的一个动点（不与C 、D 重合），⊙O 是BCE 的外接圆．（1）若2CE =，⊙O 交AD 于点F 、G ．求FG 的长度；（2）若CE 的长度为m ，⊙O 与AD 的位置关系随着m 的值变化而变化，试探索⊙O 与AD 的位置关系及对应的m 的取值范围．22．如图，已知圆内接四边形ABDC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，AD 为它的对角线． 求证：AD ＝BD+CD ．23．如图，已知在△ABC 中，∠A ＝90°．（1）作∠ABC 的角平分线交AC 于点P ，以点P 为圆心，PA 长为半径作⊙P ，则⊙P 与BC 的位置关系是 ．（2）在（1）的条件下，若AB=3，BC=5，求⊙P 的面积．24．如图，四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=，以AD 为直径作O ，与CD 交于点P ．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，过点O 作AB 边的平行线OE ；（2）在图2中，过点C 作AB 边上的高CF ．25．如图，在ABC 中，45C ∠=︒，以AB 为直径的O 经过BC 的中点D ． （1）求证：AC 是O 的切线；（2）取AD 的中点E ，连接OE ，延长OE 交AC 于点F ，若2EF =，求O 的半径．26．图①、图②均为 4×4 的正方形网格，线段 AB 、BC 的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．（1）在图①中画一个四边形 ABCD ，点D 在格点上，使四边形 ABCD 有一组对角相等，并求=四边形ABCD S ．（2）在图②中画一个四边形 ABCE ，点E 在格点上，使四边形 ABCE 有一组对角互补，并求ABCE S =四边形 ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据切线的性质得到OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，求出∠BOC ，分点P 在优弧BC 上、点P 在劣弧BC 上两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可．【详解】解：∵AB 、AC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠OBA ＝90°，∠OCA ＝90°∵∠A ＝50°，∴∠BOC ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，如图，当点P 在优弧BPC 上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°， 当点P ′在劣弧BC 上时，∠BP ′C ＝180°﹣65°＝115°，故选：C ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理是解题的关键．2．C解析：C【分析】根据圆周角定理求出∠AOB ，根据等腰三角形的性质求出∠ABO=∠BAO ，根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：∵∠ACB ＝54°，∴圆心角∠AOB ＝2∠ACB ＝108°，∵OB ＝OA ，∴∠ABO ＝∠BAO ＝12（180°﹣∠AOB ）＝36°， 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB 的度数是解此题的关键． 3．C解析：C【分析】先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据直角三角形的性质可得70B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质即可得．【详解】AB 是半圆O 的直径，90ACB ∴∠=︒，20BAC ∠=︒，9070B BAC ∴∠=︒-∠=︒， 又四边形ABCD 是圆O 内接四边形，180110D B ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．4．C解析：C【分析】连结OA ，由AB CD ⊥，根据垂径定理可以得到4AM =,结合勾股定理可以得到3OM =．在分类讨论，如图，当8CM =和2CM =时，再结合勾股定理即可求出AC ．【详解】连结OA ，∵AB CD ⊥， ∴118422AM BM AB ===⨯=， 在Rt OAM 中，5OA =，∴223OA OM AM -==，当如图时，538CM OC OM =+=+=，在Rt ACM △中，2245AC AM CM =+=，当如图时，532CM OC OM =-=-=，在Rt ACM △中，2225AC AM CM +=故选C ．【点睛】 本题考查垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”．分类讨论思想也是解决本题的关键．5．B解析：B【分析】过C 作CF ⊥AB 于F ，根据垂径定理得出AD=2AF ，根据勾股定理求BC ，根据三角形面积公式求出CF ，根据勾股定理求出AF 即可．【详解】过C 作CF ⊥AB 于F ，∵CF⊥AB，CF过圆心C，∴AD=2AF．∵△ABC中，∠ACB是直角，AC=4，AB=7，∴由勾股定理得：22227433AB AC-=-=由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CF，即33=7CF，∴433在△AFC中，由勾股定理得：222243316477 AC CF⎛⎫-=-=⎪⎪⎝⎭，∴AD=2AF=327．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出AF的长．6．B解析：B【分析】先根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•5•OA=65π，可求出OA=13，然后利用勾股定理计算圆锥的高．【详解】解：根据题意得12•2π•5•OA=65π，解得：OA=13，所以圆锥的高2213512．故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．C解析：C【分析】首先证明△OCD 是等边三角形，求出OC=OD=CO=3cm ，再根据S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD ，求解即可．【详解】解：如图，连结CD ．∵OC=OD ，∠O=60°，∴△OCD 是等边三角形，∴OC=OD=CO=3cm ，∴OA=OC+AC=15cm ，∴OB=OA=15cm ，∴S 阴影=S 扇形OAB -S 扇形OCD =226015603360360ππ⋅⋅⋅⋅-=236cm π． 故选C ．【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质与判定等知识．扇形的面积=2360n r π︒． 8．C解析：C【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B ，得出△ABC 是等腰直角三角形，进而解答即可．【详解】∵AC=AC ，∴∠D=∠B ，∵∠BAC=∠D ，∴∠B=∠BAC ，∴△ABC 是等腰三角形，∵AB 是直径，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵AC=5，∴AB=52故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B ．9．D解析：D【分析】根据题意可以求得OP 的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：∵O 的半径为4，点P 在⊙O 外，∴OP ＞4，故选：D ．【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP 的取值范围． 10．B解析：B【分析】连接AO ，BO ，OE 由切线的性质可得90PAO PBO ︒∠=∠=，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出AOB 的度数，再由切线长定理即可求出COD 的度数.【详解】如图，连接AO ，BO ，OE ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴∠PAO =∠PBO =90∘，∵60APB ∠=︒，∴36029060120AOB ∠=︒-⨯︒-︒=︒，∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠ACO =∠ECO ，∠DBO =∠DEO ，∴∠AOC =∠EOC ，∠EOD =∠BOD ， ∴1602COD COE EOD AOB ∠=∠+∠=∠=︒， 故选B.【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.11．D解析：D【分析】连结BC ，则由已知可以求得∠BCD 与∠CBD 的度数，最后由三角形的内角和定理可以得到∠D 的度数．【详解】解：如图，连结BC ，则由弦切角定理可知：∠ABC=∠ACE=35°，∵DB 与⊙O 相切，∴∠CBD=90°-∠ABC=90°-35°=55°，∵AB 是⊙的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=180°-∠ACE-∠90°=55°，∴∠D=180°-∠BCD-∠CBD=70°，故选D ．【点睛】本题考查圆的应用，灵活运用直线与圆相切的性质求解是解题关键．12．C解析：C【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠A ，再利用圆周角定理求得∠BOC ，最后根据弧长公式求求解即可．【详解】解：∵∠OCA =50°，OA =OC ，∴∠A =50°，∴∠BOC =100°∵BO =2， ∴1002101809BC l ππ⨯==． 故答案为C ．【点睛】 本题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，根据题意求得∠BOC 是解答本题的关键．二、填空题13．【分析】过O 作OD ⊥BC 于DOE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 连接OAOBOC 根据三角形的内心和角平分线的性质得出OE=OD=OF 再根据三角形的面积公式求出即可【详解】如图过O 作OD ⊥BC 于DOE ⊥AB 于解析：4 3【分析】过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，根据三角形的内心和角平分线的性质得出OE=OD=OF，再根据三角形的面积公式求出即可．【详解】如图，过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，∵O是△ABC内角平分线的交点，∴OE=OF=OD，∵△ABC的面积是20，∴S△AOB+S△BOC+S△AOC=20，∴111AB OE BC OD222⨯⨯+⨯⨯+×AC×OF=20，∴(AB+BC+AC)×OD=40，∵△ABC的周长为30，∴AB+BC+AC=30，∴OD=404303=，∴即O到BC的距离是43，故答案为：43．【点睛】本题考查了三角形的内心，角平分线的性质和三角形的面积等知识点，能求出OD=OE=OF 是解此题的关键．14．【分析】由于ABACBD是⊙O的切线则AC=APBP=BD求出BP的长即可求出BD的长【详解】解：∵ACAP为⊙O的切线∴AC=AP∵BPBD为⊙O的切线∴BP=BD∴BD=PB=AB-AP=8-5解析：3【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．【详解】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB-AP=8-5=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．15．120【分析】连接OB先证明四边形ABCD是菱形然后再说明△AOB△OBC 为等边三角形最后根据等边三角形的性质即可解答【详解】解：如图：连接OB∵点在上∴OA=OC=OB∵四边形为平行四边形∴四边形解析：120【分析】连接OB，先证明四边形ABCD是菱形，然后再说明△AOB、△OBC为等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可解答．【详解】解：如图：连接OB∵点A，B，C在O上∴OA=OC=OB∵四边形ABCO为平行四边形∴四边形ABCO是菱形∴OA=OC=OB=AB=BC∴△AOB、△OBC为等边三角形∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOC=120°．故答案为120．【点睛】本题主要考查了圆的性质和等边三角形的性质，根据题意证得△AOB、△OBC为等边三角形是解答本题的关键．16．26【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=128°然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC的度数【详解】解：∵∠A=64°∴∠BOC=2∠A=128°∵OB=OC∴∠OBC=∠解析：26【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=2∠A=128°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算∠OBC的度数．【详解】解：∵∠A=64°，∴∠BOC=2∠A=128°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC=12（180°-128°）=26°．故答案为26．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．17．【分析】连接OC由点CD是半圆O的三等分点得到根据垂径定理得到OD⊥AC∠DOC=60°求得OE=CE=3根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论【详解】解：连接OC∵点CD是半圆O的三等分点∴∴OD解析：33 2π-【分析】连接OC，由点C，D是半圆O的三等分点，得到AD CD CB==，根据垂径定理得到OD⊥AC，∠DOC=60°，求得OE=3，CE=3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OC，∵点C，D是半圆O的三等分点，∴AD CD CB ==，∴OD ⊥AC ，∠DOC=60°，∴∠OCE=30°， ∵AB =∴∴CE=3，∴S阴影=S 扇形COD -S △OCE =2601236022ππ⋅⋅-⨯=-．故答案为：22π-． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 18．120【分析】根据三角形的内心是三角形角平分线的交点结合公式求出即可【详解】解：为的内心故答案是：120【点睛】注意此题中的结论：若是内心则熟记公式可简化计算解析：120【分析】 根据三角形的内心是三角形角平分线的交点，结合公式1902BOC A ∠=+∠︒求出即可． 【详解】解：60A ∠=︒，O 为ABC ∆的内心， 1190906012022BOC A ， 故答案是：120．【点睛】注意此题中的结论：若O 是内心，则1902BOC A ∠=+∠︒．熟记公式可简化计算． 19．【分析】连接CD 由已知可以得到∠B=120°所以∠D=60°然后在Rt △ACD 中计算AC 即可【详解】解：如图所示连接CD ∵∴∠B=120°∴∠D=60°∵AD 为直径∴∠ACD=90°∴CD=4∴AC解析：【分析】连接CD ，由已知可以得到∠B=120°，所以∠D=60°，然后在Rt △ACD 中计算AC 即可．【详解】解：如图所示，连接CD∵AB BC =，30BAC ∠=︒∴∠B=120°∴∠D=60°∵AD 为直径∴∠ACD=90°∴CD=4 ∴AC=43【点睛】本题主要考查圆的内接四边形对角性质，掌握直径所对的圆周角是90°和圆的内接四边形对角互补是解题的关键．20．【分析】连接OD 设的半径为r 则OE=r-8再根据勾股定理求出r 最后根据直径和半径的关系即可解答【详解】解：如图：设的半径为r 则OE=r-8∵AB ⊥CD 于E 且CD=24∴DE=CD=12在Rt △ODE解析：26【分析】连接OD ，设O 的半径为r ，则OE=r-8，再根据勾股定理求出r ，最后根据直径和半径的关系即可解答． 【详解】解：如图：设O 的半径为r ，则OE=r-8，∵AB ⊥CD 于E ，且CD=24，∴DE=12CD=12， 在Rt △ODE 中，OD=r ，OE=r-8，DE=12，∴OE 2+DE 2=OD 2，∴（r-8）2+122=r 2，解得r=13∴AB=2r=26．故答案为26．【点睛】本题主要考查了垂径定理，正确作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键．三、解答题21．（1）2FG =；（2）当704m <<时，⊙O 与AD 相离；当74m =时，⊙O 与AD 相切；当744m <<时，⊙O 与AD 相交 【分析】（1）过点O 作OM FG ⊥于点M ，延长MO 交BC 于点N ，连接OG ．在Rt BCE ∆中，利用勾股定理求出BE ，再在Rt OMG ∆中求出MG 即可解决问题．（2）如图1中，当O 与AD 相切于点M 时，连接OM 并反向延长交BC 于点N ．求出相切时，m 的值即可判断．【详解】解：（1）解：过点O 作OM FG ⊥于点M ，延长MO 交BC 于点N ，连接OG ，四边形ABCD 是矩形，90C D ∴∠=∠=︒，BE ∴是O 的直径．90C D DMN ∠=∠=∠=︒，∴四边形MNCD 是矩形，MN BC ∴⊥，4MN CD AB ===，BN CN ∴=．OB OE =，ON ∴是BCE ∆的中位线，112ON CE ∴==， 413OM ∴=-=，在Rt BCE ∆中，22210+=BE BC CE1102OG BE ∴==， 在Rt OMG ∆中，221-=MG OG OM ，22FG MG ∴==．（2）解：如图1中，当O 与AD 相切于点M 时，连接OM 并反向延长交BC 于点N ．由（1）易得1122==ON CE m ，142==-OB OM m ，3BN =， 在Rt BON ∆中，222+=ON BN OB ，即22211()3(4)22m m +=-， 解得74m =， ∴当704m <<时，O 与AD 相离， 当74m =时，O 与AD 相切， 当744m <<时，O 与AD 相交． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．见解析．【分析】连接BC ，证明∠ADB ＝∠ADC ＝60°，在AD 上取点E 、F ，使DE ＝DB 、DF ＝DC ，连接BE 、CF ，证明△BDE 、△CDF 为正三角形，再证明∠AEB ＝∠CFA ＝120°，∠EAB ＝∠FCA ，证明△ABE ≌△CAF ，可得AE ＝CF ，从而可得结论．【详解】解：连接BC ， ∠BAC ＝60°，AB ＝AC ，∴ △ABC 为等边三角形，∴ ∠ABC ＝∠ACB ＝60°，,,AC AC AB AB ==∴ ∠ADC ＝∠ABC 60,=︒ ∠ADB ＝∠ACB 60,=︒在AD 上取点E 、F ，使DE ＝DB 、DF ＝DC ，连接BE 、CF ，∴△BDE 、△CDF 为等边三角形，∴∠DEB ＝∠DFC ＝60°，,,DE BD CF DC ==∴∠AEB ＝∠CFA ＝120°，又∠FAC+∠FCA ＝∠DFC ＝60°、∠FAC+∠EAB ＝∠BAC ＝60°，∴∠EAB ＝∠FCA ，在△ABE 和△CAF 中，∵EAB FCA AEB CFA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CAF （AAS ），∴AE ＝CF ，∴AD ＝DE+AE ＝BD+FC ＝BD+CD ．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．23．（1）相切；（2）94π 【分析】（1）先利用角平分线的性质得到点P 到BC 的距离等于PA ，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．（2）由全等三角形的性质，先求出CD=2，由勾股定理求出AC=4，再利用勾股定理求出PD 的长度即可．【详解】解：（1）作PD ⊥BC ，交BC 于点D ，如图：∵PB 平分∠ABC ，∴点P 到BC 的距离等于PA ，∴PA=PD ，∴BC 为⊙P 的切线．故答案为：相切．（2）由（1）可知，易得△ABP ≌△DBP ，∴BD=AB=3，∴CD=5-3=2，∵在直角△ABC 中，由勾股定理，得 22534AC =-=，设PA PD r ==，∴4PC r =-，在直角△PDC 中，由勾股定理，则()22242r r -=+， 解得：32r =， ∴圆的面积为：223924S r πππ==•=()． 【点睛】 本题考查了圆的定义，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD 、AC 交于点E ，连接OE ；（2）连接BD ，则点P 和BD 与O 的交点的延长线与AB 的交点即为F 点．【详解】（1）如图所示，∵四边形ABCD 是菱形，∴E 是BD 中点，∵O 是DA 中点，∴//OE AB ；（2）如图所示，∵120BAD ∠=，∴60ADC ∠=︒，∵AD CD =，∴ACD △是等边三角形，∵AD 是直径，∴90APD ∠=︒，即AP DC ⊥，∴P 是CD 中点，通过如图所示找到的点F 是AB 的中点，∵ABC 也是等边三角形，∴CF AB ⊥．【点睛】本题考查作图，解题的关键是要熟悉各种几何的性质，比如：等边三角形的性质，中位线的性质，菱形的性质，圆的性质．25．（1）见解析；（2）22+ 【分析】（1）连接AD ，先由圆周角定理得∠ADB ＝90°，则AD ⊥BC ，再由线段垂直平分线的性质得AB ＝AC ，则∠B ＝∠C ＝45°，求得∠BAC ＝90°，即可得出结论；（2）作EH ⊥OF 交AF 于H ，则EH 是⊙O 的切线，先由垂径定理得OE ⊥AD ，AG ＝DG ，再证出△EFH 是等腰直角三角形，得EH ＝EF ＝2，则FH ＝2EF ＝2，然后由切线长定理得AH ＝EH ＝2，则AF ＝AH ＋FH ＝2＋2，最后由等腰直角三角形的性质得OA ＝AF ＝2＋2即可．【详解】（1）证明：连接AD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，OA 是⊙O 的半径，∴AD ⊥BC ，∵D 是BC 的中点，∴AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠BAC ＝180°−45°−45°＝90°，∴AC ⊥OA ，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：作EH ⊥OF 交AF 于H ，如图所示：则EH 是⊙O 的切线，∵E是AD的中点，∴OE⊥AD，AG＝DG，∵AD⊥BC，∴OF∥BC，∴∠EFH＝∠C＝45°，∵EH⊥OF，∴△EFH是等腰直角三角形，∴EH＝EF2FH2EF＝2，∵AC是⊙O的切线，∴AH＝EH2∴AF＝AH＋FH2＋2，由（1）得：∠BAC＝90°，∴△AOF是等腰直角三角形，∴OA＝AF2＋2，即⊙O2＋2．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质、垂径定理和圆周角定理是解题的关键．26．（1）图见详解，6 ；（2）图见详解，4.5【分析】（1）过C画AB的平行线，过A画BC的平行线，两线交于一点D，根据平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可知∠CBA=∠CDA，然后用用割补法求出面积即可；（2）根据图中正方形网格和∠B的特点，作出∠E与∠B互补，然后用割补法求面积即可．【详解】解：（1）如图，S四边形ABCD=3×4-122⨯×2-222⨯-112⨯=6；（2）如图，S四边形ABCE=3×3-122⨯×2-222⨯-112⨯=92．【点睛】此题主要考查了应用设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后利用割补法求面积．。

九年级上册数学《圆》单元测试卷[考试时间：90分钟满分：120分]一．选择题（共8小题）1．（2020•锦州一模）如图,在△A B C 中,A B ＝A C ,以A B 为直径作半圆O,交B C 于点D ,交A C 于点E,若∠C ＝72°,则∠D OE的度数是（）A ．30°B ．35°C ．36°D ．40°2．（2020•新北区一模）如图,A B 是半圆的直径,点D 是弧A C 的中点,∠A B C ＝50°,则∠B C D ＝（）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°3．（2020•西宁一模）如图,⊙O的直径A B 垂直于弦C D ,垂足是点E,∠C A O＝22.5°,OC ＝8,则弦C D 的长为（）A ．8√2B ．4√2C ．8√3D ．4√34．（2020•铜山区一模）如图,在平面直角坐标系中．点A 的坐标是（20,0）,点B 的坐标是（16,0）,点C ,D 在以OA 为直径的半圆M 上,四边形OC D B 是平行四边形．则点C 的坐标为（ ）A ．（1,7）B ．（2,6）C ．（2,7）D ．（1,6）5．（2020春•宜兴市校级月考）如图,▱A B C D 的三个顶点A 、B 、D 均在⊙O 上,且对角线A C 经过点O ,B C 与⊙O 相切于点B ,已知⊙O 的半径为6,则▱A B C D 的面积为（ ）A ．36B ．3845C ．54√3D ．72+72√556．（2020•内乡县一模）如图,A B 是⊙O 的直径,弦C D 与A B 相交,连接C O ,过点D 作⊙O 的切线,与A B 的延长线交于点E ,若D E ∥A C ,∠B A C ＝40°,则∠OC D 的度数为（ ）A ．65°B ．30°C ．25°D ．20°7．（2020•拱墅区校级一模）如图,已知A B 是⊙O 的直径 P 为⊙O 外一点,PC 切⊙O 于C ,PB 与⊙O 交于A 、B 两点．若P A ＝1,PB ＝5,则PC ＝（ ）A ．3B ．√5C ．4D ．无法确定8．（2020•郯城县一模）如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,若∠B A C ＝45°,OC ＝2,则图中阴影部分的面积是（ ）A ．π﹣2B ．π﹣4C ．23π−1D ．23π−2 二．填空题（共10小题）9．如图,A B ⊙O 的直径,C D 为⊙O 的弦,若A B ⊥C D 于E ,下列结论：①C E ＝D E ,②BĈ=BD ̂．③AC ̂=AD ̂,④A C ＝A D ．其中正确的有 （填序号）．10．⊙O 的弦A B 长为4√3C m ,弦A B 所对的圆心角为120°,则弦A B 的弦心距为 C m ．11．（2020•碑林区校级四模）如图,在正六边形A B C D EF 中,A B ＝1,B F 是正六边形A B CD EF 的一条对角线,则B F 的长为 ．12．如图,四边形A B C D 是⊙O的内接正方形,点P是劣弧A B 上任意一点（与点B 不重合）,则∠B PC 的度数为．13．如图,A B 为⊙O的弦,点C 在A B 上,若A B ＝4,OC =√2,∠OC B ＝45°,则⊙O的半径为．14．如图,在直角平面坐标系中,⊙O是以原点为圆心、半径为4的圆,已知有一条直线y＝kx﹣2（k+1）与⊙O有两个交点A 、B ,则弦A B 长的最小值为．15．如图,已知Rt△A B C 中,∠C ＝90°∠A ＝36°,以C 为圆心,C B 为半径的圆交A B 于P,则弧B P的度数是°．̂的中点,则四边形A 16．如图,A 、B 是半径为3的⊙O上的两点,若∠A OB ＝120°,C 是AB OB C 的周长等于．17．如图,P A ,PB 是⊙O的两条切线,切点分别为A ,B ．连接OA ,OB ,A B ,PO,PO与A B 交于点C ．若∠A PB ＝60°,OC ＝1,则△P A B 的周长为．18．（2020•碑林区校级四模）如图,正六边形A B C D EF的边长为2,则△A C E的周长为．三．解答题（共7小题）19．已知⊙O的半径为5,点A 、B 、C 都在⊙O上,∠C A B 的平分线交⊙O于点D ．（1）如图1,若B C 为⊙O的直径,A B ＝6,求A C 和B D 的长；（2）如图2,若∠C A B ＝60°,过圆心O作OE⊥B D 于点E,求OE的长．20．如图,A B 为圆O的直径,C D 为弦,A M⊥C D 于M,B N⊥C D 于N．（1）求证：C M＝D N．（2）若A B ＝10,C D ＝8,求B N﹣A M的值．21．如图,在⊙O中,A D 、B C 相交于点E,OE平分∠A EC ．（1）求证：A B ＝C D ；（2）如果⊙O的半径为5,A D ⊥C B ,D E＝1,求A D 的长．22．如图,在△A B C 中,A B ＝A C ,以A B 为直径的⊙O交A C 于点D ,交B C 于点E,延长A E至点F,使EF＝A E,连接FB ,FC ．（1）求证：四边形A B FC 是菱形；（2）若A D ＝7,B E＝3,求⊙O和菱形A B FC 的面积．23．已知：如图,A B 是⊙O的直径,弦C D ⊥A B 于点E,G是A C 上一动点,A G,D C 的延长线交于点F,连接B C ．（1）若A B ＝4,∠B ＝60°,求C D 的长；（2）设∠D GF＝β°,∠B C D ＝α°,求β关于α的函数表达式．24．（2020•通州区一模）如图,⊙O的圆心O在△A B C 的边A C 上,A C 与⊙O分别交于C ,D 两点,⊙O与边A B 相切,且切点恰为点B ．（1）求证：∠A +2∠C ＝90°；（2）若∠A ＝30°,A B ＝6,求图中阴影部分的面积．25．如图,在⊙O中,半径OA ⊥OB ,过点OA 的中点C 作FD ∥OB 交⊙O于D 、F两点,̂,交OB 于E点．且C D =√3,以O为圆心,OC 为半径作CE（1）求⊙O的半径OA 的长；（2）计算阴影部分的面积．答案与解析一．选择题（共8小题）1．（2020•锦州一模）如图,在△A B C 中,A B ＝A C ,以A B 为直径作半圆O,交B C 于点D ,交A C 于点E,若∠C ＝72°,则∠D OE的度数是（）A ．30°B ．35°C ．36°D ．40°[考点]等腰三角形的性质和圆周角定理．[答案]C[解析]解：如图,连接A D ．∵A B ＝A C ,∠C ＝72°,∴∠A B C ＝∠C ＝72°．∴∠C A B ＝36°．∵A B 是圆O的直径,∴A D ⊥B D ．又∵A B ＝A C ,∴B D ＝C D ．∴A D 是∠C A B 的平分线,∴∠C A D =12∠C A B ＝18°．∴∠D OE＝2∠C A D ＝36°．故选：C ．[小贴士]本题主要考查了圆周角定理,等腰三角形的性质,圆心角、弧、弦的关系等知识点,正确作出辅助线是解题的难点．2．（2020•新北区一模）如图,A B 是半圆的直径,点D 是弧A C 的中点,∠A B C ＝50°,则∠B C D ＝（）A ．105°B ．110°C ．115°D ．120°[考点]圆心角、弧、弦和圆周角定理．[答案]C[分析]连接A C ,然后根据圆内接四边形的性质,可以得到∠A D C 的度数,再根据点D 是弧A C 的中点,可以得到∠D C A 的度数,直径所对的圆周角是90°,从而可以求得∠B CD 的度数．[解析]解：连接A C ,∵∠A B C ＝50°,四边形A B C D 是圆内接四边形,∴∠A D C ＝130°,∵点D 是弧A C 的中点,∴C D ＝A C ,∴∠D C A ＝∠D A C ＝25°,∵A B 是直径,∴∠B C A ＝90°,∴∠B C D ＝∠B C A +∠D C A ＝115°,故选：C ．3．（2020•西宁一模）如图,⊙O的直径A B 垂直于弦C D ,垂足是点E,∠C A O＝22.5°,OC ＝8,则弦C D 的长为（）A ．8√2B ．4√2C ．8√3D ．4√3[考点]垂径定理和圆周角定理．[答案]A[分析]先根据垂径定理得到C E＝D E,再根据圆周角定理得到∠B OC ＝2∠A ＝45°,则△OC E为等腰直角三角形,所以C E=√22OC ＝4√2,从而得到C D 的长．[解析]解：∵C D ⊥A B ,∴C E＝D E,∵∠B OC ＝2∠A ＝2×22.5°＝45°,∴△OC E为等腰直角三角形,∴C E=√22OC =√22×8＝4√2,∴C D ＝2C E＝8√2．故选：A ．4．（2020•铜山区一模）如图,在平面直角坐标系中．点A 的坐标是（20,0）,点B 的坐标是（16,0）,点C ,D 在以OA 为直径的半圆M上,四边形OC D B 是平行四边形．则点C 的坐标为（）A ．（1,7）B ．（2,6）C ．（2,7）D ．（1,6）[考点]平行四边形的性质和圆周角定理．[答案]B[解析]解：如图,连接OD ,A D ,D M,作D F⊥OA 于F．∵A （20,0）,B （16,0）,∴OA ＝20,OB ＝16,∴A B ＝20﹣16＝4,∵四边形A B C D 是平行四边形,∴C D ∥OB ,C D ＝OB ＝16,OC ＝B D ,∴∠C D O ＝∠D OA ,∴OĈ=AD ̂, ∴OC ＝A D ＝B D ,∵D F ⊥B A ,∴B F ＝F A ＝2,∴OF ＝18,∴在Rt △D MF 中．D F =√DM 2−MF 2=√102−82=6,∴D （18,6）,C （2,6）,故选：B ．[小贴士]平行四边形的性质,圆周角定理,垂径定理,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．5．（2020春•宜兴市校级月考）如图,▱A B C D 的三个顶点A 、B 、D 均在⊙O 上,且对角线A C 经过点O ,B C 与⊙O 相切于点B ,已知⊙O 的半径为6,则▱A B C D 的面积为（ ）A ．36B ．3845C ．54√3D ．72+72√55[考点]圆周角定理和切线的性质．[答案]C[分析]连接OB ,延长B O交A D 于E,如图,先根据切线的性质得OB ⊥B C ,再利用平行四边形的性质得A D ∥B C ,A D ＝B C ,所以B E⊥A D ,接着根据垂径定理得到A E＝D E,然后证明△A OE∽△C OB ,利用相似比求出OE＝3,OC ＝12,则根据勾股定理可计算出B C ,然后利用平行四边形的面积公式求解．[解析]解：连接OB ,延长B O交A D 于E,如图,∵B C 与⊙O相切于点B ,∴OB ⊥B C ,∵四边形A B C D 为平行四边形,∴A D ∥B C ,A D ＝B C ,∴B E⊥A D ,∴A E＝D E=12A D =12B C ,∵A E∥B C ,∴△A OE∽△C OB ,∴OEOB =OAOC=AEBC=12,∴OE=12OB ＝3,OC ＝2OA ＝12,在Rt△OC B 中,B C =√122−62=6√3,∴▱A B C D 的面积＝B E•B C ＝（3+6）×6√3=54√3．故选：C ．6．（2020•内乡县一模）如图,A B 是⊙O的直径,弦C D 与A B 相交,连接C O,过点D 作⊙O 的切线,与A B 的延长线交于点E,若D E∥A C ,∠B A C ＝40°,则∠OC D 的度数为（）A ．65°B ．30°C ．25°D ．20°[考点]圆周角定理和切线的性质．[答案]C[分析]连接OD ,如图,先利用平行线的性质得∠E＝∠B A C ＝40°,再根据切线的性质得OD ⊥D E,则可计算出∠D OE＝50°,接着根据圆周角定理得到∠B OC ＝2∠A ＝80°．然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OC D 的度数．[解析]解：连接OD ,如图,∵D E∥A C ,∴∠E＝∠B A C ＝40°,∵D E为切线,∴OD ⊥D E,∴∠D OE＝90°﹣40°＝50°,∵∠B OC ＝2∠A ＝80°．∴∠C OD ＝80°+50°＝130°,∵OC ＝OD ,∴∠OC D ＝∠OD C =12（180°﹣130°）＝25°．故选：C ．7．（2020•拱墅区校级一模）如图,已知A B 是⊙O的直径P为⊙O外一点,PC 切⊙O于C ,PB 与⊙O交于A 、B 两点．若P A ＝1,PB ＝5,则PC ＝（）A ．3B ．√5C ．4D ．无法确定[考点]切线的性质．[答案]B[分析]求出半径的长,求出PO长,根据切线的性质求出∠PC O＝90°,再根据勾股定理求出即可．[解析]解：∵P A ＝1,PB ＝5,∴A B ＝PB ﹣P A ＝4,∴OC ＝OA ＝OB ＝2,∴PO＝1+2＝3,∵PC 切⊙O于C ,∴∠PC O＝90°,在Rt△PC O中,由勾股定理得：PC =√PO2−OC2=√32−22=√5,故选：B ．[小贴士]圆的切线垂直于过切点的半径．8．（2020•郯城县一模）如图,点A 、B 、C 在⊙O 上,若∠B A C ＝45°,OC ＝2,则图中阴影部分的面积是（ ）A ．π﹣2B ．π﹣4C ．23π−1D ．23π−2 [考点圆周角定理和扇形面积的计算．[答案]A[分析]根据S 阴＝S 扇形OB C ﹣S △OB C ,计算即可．[解析]解：∵∠B OC ＝2∠B A C ＝90°,∴S 阴＝S 扇形OB C ﹣S △OB C =90⋅π⋅22360−12×2×2＝π﹣2,故选：A ． [小贴士]本题考查扇形的面积,圆周角定理,三角形的面积等知识,属于中考常考题型．二．填空题（共10小题）9．如图,A B ⊙O 的直径,C D 为⊙O 的弦,若A B ⊥C D 于E ,下列结论：①C E ＝D E ,②BĈ=BD ̂．③AC ̂=AD ̂,④A C ＝A D ．其中正确的有 ①②③④ （填序号）．[考点]圆心角、弧、弦的关系．[答案]①②③④．[分析]根据垂径定理得到C E＝D E,BĈ=BD̂,AĈ=AD̂,根据圆心角、弧、弦的关系定理得到A C ＝A D ,得到答案．[解析]解：∵A B ⊙O的直径,C D 为⊙O的弦,A B ⊥C D ,∴C E＝D E,BĈ=BD̂,AĈ=AD̂,①②③正确,∵AĈ=AD̂,∴A C ＝A D ,④正确,10．⊙O的弦A B 长为4√3C m,弦A B 所对的圆心角为120°,则弦A B 的弦心距为2 C m．[考点]垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．[答案]2[分析]OC ⊥A B 于C ,如图,根据垂径定理得A C =12A B ＝2√3,再利用∠A ＝∠B ,∠AOB ＝120°,得到∠A ＝30°,然后根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC =√33A C ＝2．[解析]解：作OC ⊥A B 于C ,如图,∴A C ＝B C =12A B ＝2√3C m,∵OA ＝OB ,∴∠A ＝∠B ,而∠A OB ＝120°,∴∠A ＝30°,∴OC =√33A C =√33×2√3=2,即A B 的弦心距为2C m．故答案为：2．11．（2020•碑林区校级四模）如图,在正六边形A B C D EF中,A B ＝1,B F是正六边形A B CD EF的一条对角线,则B F的长为√3．[考点]正多边形和圆．[答案]见试题解析内容[分析]根据正多边形的性质得出A B ＝A F,求出∠B A F度数,解直角三角形即可得到结论．[解析]解：∵六边形A B C D EF是正六边形,∴A B ＝A F,∠B A F=(6−2)×180°6=120°,∴∠A FB ＝∠A B F=12（180°﹣∠B A F）＝30°,过A 作A H⊥B F于H,则∠A HB ＝90°,B F＝2B H,∵A B ＝1,∴B H=√32A B =√32,∴B F＝2B H=√3,故答案为：√3．12．如图,四边形A B C D 是⊙O的内接正方形,点P是劣弧A B 上任意一点（与点B 不重合）,则∠B PC 的度数为45°．[考点]正多边形和圆．[答案]45°[分析]接OB ,OC ,根据四边形A B C D 是正方形可知∠B OC ＝90°,再由圆周角定理即可得出结论．[解析]解：连接OB ,OC ,∵四边形A B C D 是正方形,∴∠B OC ＝90°,∴∠B PC =12∠B OC ＝45°．故答案为：45°．[小贴士]本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解析此题的关键．13．如图,A B 为⊙O的弦,点C 在A B 上,若A B ＝4,OC =√2,∠OC B ＝45°,则⊙O的半径为√5．[考点]勾股定理和垂径定理．[答案]√5[分析]作OD ⊥A B ,连接OB ,据此得B D =12A B ＝2,根据OC =√2,∠OC B ＝45°得OD ＝1,利用勾股定理可得答案．[解析]解：如图,过点O作OD ⊥A B 于点D ,连接OB ,则B D =12A B ＝2,∵OC =√2,∠OC B ＝45°,∴OD ＝1,则OB =√OD2+BD2=√12+22=√5,故答案为：√5．14．如图,在直角平面坐标系中,⊙O是以原点为圆心、半径为4的圆,已知有一条直线y＝kx﹣2（k+1）与⊙O有两个交点A 、B ,则弦A B 长的最小值为4√2．[考点]一次函数图象上点的坐标特征和垂径定理．[答案]4√2[分析]如图,设⊙O交x轴于D （4,0）,交y轴于C （0,﹣4）,连接OE．而直线y＝kx﹣2（k+1）,经过定点E（2,﹣2）,由OE⊥C D ,推出当直线A B 与直线C D 重合时,弦C D 的值最小．[解析]解：如图,设⊙O交x轴于D （4,0）,交y轴于C （0,﹣4）,连接OE．∵C D 的中点E（2,﹣2）,又∵直线y＝kx﹣2（k+1）,经过定点E（2,﹣2）,∵OE⊥C D ,∴当直线A B 与直线C D 重合时,弦C D 的值最小,最小值为4√2,故答案为4√2．[小贴士]本题考查垂径定理,一次函数的应用,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．15．如图,已知Rt△A B C 中,∠C ＝90°∠A ＝36°,以C 为圆心,C B 为半径的圆交A B 于P,则弧B P的度数是72°．[考点]圆心角、弧、弦的关系．[答案]72[分析]连C P,由∠C ＝90°∠A ＝36°,根据互余求得∠B ＝90°﹣36°＝54°,又根据等腰三角形的性质得∠C PB ＝∠B ＝54°,再根据三角形的内角和定理得到∠PC B ＝180°﹣54°﹣54°＝72°,最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到即可弧B P的度数．[解析]解：连C P,如图,∵∠C ＝90°∠A ＝36°,∴∠B ＝90°﹣36°＝54°,又∵C B ＝C P,∴∠C PB ＝∠B ＝54°,∴∠PC B ＝180°﹣54°﹣54°＝72°,∴弧B P的度数＝72°．故答案为72．̂的中点,则四边形A 16．如图,A 、B 是半径为3的⊙O上的两点,若∠A OB ＝120°,C 是ABOB C 的周长等于12．[考点]等边三角形的判定与性质和圆心角、弧、弦的关系．[答案]12．[分析]通过等弧所对的圆心角相等和∠A OB ＝120°,得到△A OC 和△B OC 都是等边三角形,再求出四边形A OB C 的周长．̂的中点[解析]解：∵C 是AB∴∠A OC ＝∠B OC ,而∠A OB ＝120°∴∠A OC ＝∠B OC ＝60°∴△A OC 和△B OC 都是等边三角形∴OA ＝OB ＝C A ＝C B ＝3所以四边形A OB C 的周长等于12．故填12．17．如图,P A ,PB 是⊙O的两条切线,切点分别为A ,B ．连接OA ,OB ,A B ,PO,PO与A B 交于点C ．若∠A PB ＝60°,OC ＝1,则△P A B 的周长为6√3．[考点]切线的性质．[答案]6√3[分析]根据切线的性质得到OA ⊥P A ,OB ⊥PB ,OP平分∠A PB ,P A ＝PB ,推出△P A B 是等边三角形,根据直角三角形的性质求出A C ,由A B ＝2A C ,于是得到结论．[解析]解：∵P A 、PB 是⊙O的两条切线,∴OA ⊥P A ,OB ⊥PB ,OP平分∠A PB ,P A ＝PB ,∵∠A PB ＝60°,∴△P A B 是等边三角形,A B ＝2A C ,PO⊥A B ,∴∠P A B ＝60°,∴∠OA C ＝∠P A O﹣∠P A B ＝90°﹣60°＝30°,∴A O＝2OC ,∵OC ＝1,∴A O＝2,∴A C =√3,∴A B ＝2A C ＝2√3,∴△P A B 的周长＝6√3．故答案为：6√3．18．（2020•碑林区校级四模）如图,正六边形A B C D EF的边长为2,则△A C E的周长为6√3．[考点]正多边形和圆．[答案]6√3[解析]解：作B G⊥A C ,垂足为G．如图所示：则A C ＝2A G,∵A B ＝B C ,∴A G＝C G,∵六边形A B C D EF是正六边形,∴∠A B C ＝120°,A B ＝B C ＝2,∴∠B A C ＝30°,∴A G＝A B •C os30°＝2×√32=√3,∴A C ＝2×√3=2√3,∴△A C E的周长为3×2√3=6√3．故答案为6√3．三．解析题（共7小题）19．已知⊙O的半径为5,点A 、B 、C 都在⊙O上,∠C A B 的平分线交⊙O于点D ．（1）如图1,若B C 为⊙O的直径,A B ＝6,求A C 和B D 的长；（2）如图2,若∠C A B ＝60°,过圆心O作OE⊥B D 于点E,求OE的长．[考点]圆周角定理．[解析]解：（1）如图1,∵B C 为⊙O的直径,∴B C ＝10,且∠B A C ＝∠B D C ＝90°,则在Rt△A B C 中,B C ＝10,A B ＝6,∴AC=√BC2−AB2=8,又∵A D 是∠C A B 的平分线∴∠C A D ＝∠B A D ,̂=BD̂,∴CD∴C D ＝B D ,∴△B D C 是等腰直角三角形,∵B C ＝10∴BD=5√2；（2）如图2,连接B O,D O,∵A D 是∠C A B 的平分线,∠C A B ＝60°,∴∠B A D ＝30°,∴∠B OD ＝2∠B A D ＝60°,又∵OB ＝OD ,∴△B OD 是等边三角形,又∵OE⊥B D ,∴∠B OE＝30°,B E＝B D ,又∵OB ＝5,∴BE=12OB=52,∴OE=√OB2−BE2=√52−(52)2=52√3．[小贴士]解题的关键是学会添加常用辅助线．20．如图,A B 为圆O的直径,C D 为弦,A M⊥C D 于M,B N⊥C D 于N．（1）求证：C M＝D N．（2）若A B ＝10,C D ＝8,求B N﹣A M的值．[考点]勾股定理和垂径定理．[解析]（1）证明：过O作OF⊥C D 于F,∵A M⊥C D 于M,B N⊥C D 于N,∴A M∥FO∥NB ,∵OA ＝OB ,∴MF ＝NF ,∵OF ⊥C D ,O 为圆心,∴C F ＝FD ,∴C F ﹣MF ＝FD ﹣FN ,即MC ＝ND ；（2）解：连结OD ,∵A B ＝10,C D ＝8,∴OD ＝5,FD ＝4,∴OF ＝3,设OE ＝x ,则EB ＝x +5,A E ＝5﹣x ,∵NB ∥FO ,∴△EB N ∽△EOF ,∴BN OF =BE OE ,即B N ：3＝（5+x ）：x ,∴B N =15+3x x,① ∵MA ∥FO ,∴△A ME ∽△OFE ,∴A M ：3＝（5﹣x ）：x ,∴A M =15−3x x ② 两式相减即可得到,B N ﹣A M ＝6．21．如图,在⊙O中,A D 、B C 相交于点E,OE平分∠A EC ．（1）求证：A B ＝C D ；（2）如果⊙O的半径为5,A D ⊥C B ,D E＝1,求A D 的长．[考点]垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．̂= [分析]（1）过点O作OM⊥A D ,ON⊥B C ,从而得出OM＝ON,根据垂径定理可得出AD BĈ,然后可得AB̂=CD̂,继而得出结论．（2）先判断OM＝ME,然后利用勾股定理得出A M的方程,解出后,根据A D ＝2A M,即可得出答案．[解析]证明：（1）过点O作OM⊥A D ,ON⊥B C ,∵OE平分∠A EC ,∴OM＝ON,̂=BĈ,AD̂−BD̂=BĈ−BD̂,即AB̂=CD̂,∴AD∴A B ＝C D ．（2）∵OM⊥A D ,∴A M＝D M,∵A D ⊥C B ,OE平分∠A EC ,∴∠OEM＝45°,∴∠MOE＝45°,∴∠OEM＝∠EOM,∴OM＝ME,在Rt△A OM中,OA 2＝OM2+A M2,即25＝（A M﹣1）2+A M2,解得：A M＝4或A M＝﹣3（舍去）故A D 的长为8．22．如图,在△A B C 中,A B ＝A C ,以A B 为直径的⊙O交A C 于点D ,交B C 于点E,延长A E至点F,使EF＝A E,连接FB ,FC ．（1）求证：四边形A B FC 是菱形；（2）若A D ＝7,B E＝3,求⊙O和菱形A B FC 的面积．[考点]圆周角定理．[解析]（1）证明：∵A B 是直径,∴∠A EB ＝90°,∴A E ⊥B C ,∵A B ＝A C ,∴B E ＝C E ,∵A E ＝EF ,∴四边形A B FC 是平行四边形,∵A C ＝A B ,∴四边形A B FC 是菱形．（2）设C D ＝x ．连接B D ．∵A B 是直径,∴∠A D B ＝∠B D C ＝90°,∴A B 2﹣A D 2＝C B 2﹣C D 2,∴（7+x ）2﹣72＝62﹣x 2,解得x ＝2或﹣9（舍弃）∴A B ＝9,B D =√92−72=4√2,∴S 菱形A B FC ＝36√2．∴S ⊙O ＝π•（92）2=814π．[小贴士]本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、线段的垂直平分线的性质勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型．23．已知：如图,A B 是⊙O的直径,弦C D ⊥A B 于点E,G是A C 上一动点,A G,D C 的延长线交于点F,连接B C ．（1）若A B ＝4,∠B ＝60°,求C D 的长；（2）设∠D GF＝β°,∠B C D ＝α°,求β关于α的函数表达式．[考点]圆周角定理．[分析]（1）连接OC ．证明△OB C 是等边三角形,解Rt△OEC 即可解决问题；（2）利用圆周角定理即可解决问题；[解析]解：（1）连接OC ．∵OB ＝OC ,∠B ＝60°,∴△OB C 是等边三角形,∴∠B OC ＝60°,OB ＝OC ＝2,∴D E＝EC ,∠OEC ＝90°,∴EC ＝OC •sin60°=√3,∴C D ＝2EC ＝2√3．（2）连接OD ．∵∠A OD ＝2∠A GD ＝2（180﹣β°）,∠D OB ＝2∠D C B ＝2α°,∵∠A OD +∠D OB ＝180°,∴2（180°﹣β°）+2α°＝180°∴2β﹣2α＝180,∴β＝90+α（0＜α＜90）．[小贴士]本题考查圆周角定理,垂径定理,勾股定理,等边三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．24．（2020•通州区一模）如图,⊙O的圆心O在△A B C 的边A C 上,A C 与⊙O分别交于C ,D 两点,⊙O与边A B 相切,且切点恰为点B ．（1）求证：∠A +2∠C ＝90°；（2）若∠A ＝30°,A B ＝6,求图中阴影部分的面积．[考点]切线的性质和扇形面积的计算．[解析]（1）证明：连接OB ,如图,∵O与边A B 相切,且切点恰为点B ．∴∠OB A ＝90°,∴∠A +∠A OB ＝90°,∵∠A OB ＝2∠C ,∴∠A +2∠C ＝90°；（2）解：在Rt △A OB 中,∵∠A ＝30°,∴∠A OB ＝60°,OB =√33A B ＝2√3,作OH ⊥B C 于H ,则B H ＝C H ,∵∠C =12∠A OB ＝30°,∴OH =12OC =√3,C H =√3OH ＝3,∴B C ＝2C H ＝6,∴图中阴影部分的面积＝S △OB C +S 扇形B OD=12×6×√3+60×π×(2√3)2360 ＝3√3+2π．25．如图,在⊙O 中,半径OA ⊥OB ,过点OA 的中点C 作FD ∥OB 交⊙O 于D 、F 两点,且C D =√3,以O 为圆心,OC 为半径作CÊ,交OB 于E 点． （1）求⊙O 的半径OA 的长；（2）计算阴影部分的面积．[考点]垂径定理和扇形面积的计算．[解析]解；（1）连接OD ,∵OA ⊥OB ,∴∠A OB ＝90°,∵C D ∥OB ,∴∠OC D ＝90°,在RT△OC D 中,∵C 是A O中点,C D =√3,∴OD ＝2C O,设OC ＝x,∴x2+（√3）2＝（2x）2,∴x＝1,∴OD ＝2,∴⊙O的半径为2．（2）∵sin∠C D O=COOD=12,∴∠C D O＝30°,∵FD ∥OB ,∴∠D OB ＝∠OD C ＝30°,∴S阴＝S△C D O+S扇形OB D ﹣S扇形OC E=12×1×√3+30π×22360−90π⋅12360=√32+π12．[小贴士]本题考查扇形面积、垂径定理、勾股定理、有一个角是30度的直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会利用分割法求面积．学会把求不规则图形面积转化为求规则图形面积,属于中考常考题型．。

一、选择题1．在ABC 中，90,4,3C AC BC ∠=︒==，把它绕AC 旋转一周得一几何体，该几何体的表面积为（ ）A ．24πB ．21πC ．16.8πD ．36π2．如图，,AB AC 分别是O 的直径和弦，OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC ．若10,8AB AC ==，则BD 的长是（ ）A ．25B ．4C ．213D ．2453．如图，AB 是⊙O 的弦，AO 的延长线交过点B 的⊙O 的切线于点C ，如果∠ABO =30°，则∠C 的度数是（ ）A ．70°B ．45°C ．30°D ．20°4．如图，AB 是半圆O 的直径，20BAC =︒∠，则D ∠的度数是（ ）A ．70°B ．100°C ．110°D ．120° 5．点P 到圆上各点的最大距离为10cm ，最小距离为6cm ，则此圆的半径为（ ）A ．8cmB ．5cm 或3cmC ．8cm 或2cmD ．3cm 6．已知⊙O ，如图， （1）作⊙O 的直径AB ；（2）以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交⊙O 于C ，D 两点；（3）连接CD 交AB 于点E ，连接AC ，BC ．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CE DE =；②3BE AE =；③2BC CE =．其中正确的推断的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 7．若圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为265cm π，则该圆锥的高是（ ） A ．13cmB ．12cmC ．11cmD ．10cm 8．如图，⊙O 的半径为2，四边形ADBC 为⊙O 的内接四边形，AB ＝AC ，∠D ＝112.5°，则弦BC 的长为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．23 9．如图，AB 为⊙O 的直径，,C D 为⊙O 上的两点，若7OB BC ==．则BDC ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒10．如图，⊙P 与y 轴相切于点C （0，3），与x 轴相交于点A （1，0），B （7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P 的面积，那么k 的值是（ ）A ．12B ．45C ．1D ．4311．如图，在△ABC 中，（1）作AB 和BC 的垂直平分线交于点O ；（2）以点O 为圆心，OA 长为半径作圆；（3）⊙O 分别与AB 和BC 的垂直平分线交于点M ，N ；（4）连接AM ，AN ，CM ，其中AN 与CM 交于点P ．根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论：①BC ＝2NC ；②AB ＝2AM ；③点P 是△ABC 的内心；④∠MON ＋2∠MPN ＝360°． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 12．一个圆锥的底面直径为4 cm ，其侧面展开后是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）A ．4πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．16πcm 2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．如图，点A ，B ，C 在圆O 上，54ACB ∠=︒，则ABO ∠的度数是______．14．如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，AC 是O 的直径，35BAC ∠=︒，则P ∠的度数为________.15．已知扇形的圆心角为120︒，面积为π，则扇形的半径是___________．16．ABC 是边长为5的等边三角形，点D 在ABC 的外部且30BDC ∠=︒，则AD 的最大值是______．17．已知O 的直径10AB =cm ，CD 是O 的弦，AE CD ⊥，垂足为点E ，BF CD ⊥，垂足为点F ，且8CD =cm ，则BF AE -的长为________cm ．18．如图，已知AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，2BC =，30CDB ∠=︒，则O 的半径为_____．19．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，若以C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 相切，则r 的值是________20．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度AB =12米，拱高CD =4米，则该拱桥的半径为____米．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD （每一小格为一个单位长度），将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转90°后得到新的图形．（1）请画出旋转后的图形，旋转后C 点对应点的坐标为______．（2）请计算点C 在旋转过程中的路径长．22．如图，四边形ABCD 为菱形，且120BAD ∠=，以AD 为直径作O ，与CD 交于点P ．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，过点O 作AB 边的平行线OE ；（2）在图2中，过点C 作AB 边上的高CF ．23．如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点．求证：AP=BP ．24．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，求大正方形的面积．25．如图，O 中，AB CD =，A C ∠=∠，AB 与CD 交于点P ．求证=DP BP ．26．如图，长方形的长为a ，宽为2a ，用整式表示图中阴影部分的面积，并计算当2a =时阴影部分的面积（π取3.14）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】 以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是圆锥的侧面积加底面积，根据圆锥的侧面积公式计算即可．【详解】解：根据题意得：圆锥的底面周长6π=，所以圆锥的侧面积165152ππ=⨯⨯=， 圆锥的底面积239ππ=⨯=，所以以直线AC 为轴旋转一周所得到的几何体的表面积15924πππ=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．2．C解析：C【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到CD=AD=12AC=4，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】解：∵AB 为直径，∴∠ACB=90°，∴22221086BC AB AC =-=-=，∵OD ⊥AC ，∴CD=AD=12AC=4，在Rt △CBD 中，BD ==故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．3．C解析：C【分析】由BC 是⊙O 的切线，OB 是⊙O 的半径，得到∠OBC =90°，根据等腰三角形的性质得到∠A =∠ABO =30°，由外角的性质得到∠BOC =60°，即可求得∠C =30°．【详解】∵BC 是⊙O 的切线，OB 是⊙O 的半径，∴∠OBC =90°，∵OA =OB ，∴∠A =∠ABO =30°，∴∠BOC =60°，∴∠C =30°．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．4．C解析：C【分析】先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据直角三角形的性质可得70B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质即可得．【详解】AB 是半圆O 的直径，90ACB ∴∠=︒，20BAC ∠=︒，9070B BAC ∴∠=︒-∠=︒， 又四边形ABCD 是圆O 内接四边形，180110D B ∴∠=︒-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．5．C解析：C【分析】分析题意，本题应分两种情况讨论：（1）点P在圆内；（2）点P在圆外；根据“一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上”可知，点P到圆的最大距离与最小距离的和或差即是圆的直径，进而即可得出半径的长．【详解】当点P在圆内时，圆的直径是10+6=16cm，所以半径是8cm．当点P在圆外时，圆的直径是10-6=4cm，所以半径是2cm．故选C．【点睛】本题考查了圆的有关性质，熟知一个点到圆的最大距离和最短距离都在过圆心的直线上是解题的关键．6．D解析：D【分析】①根据作图过程可得AC AD=，根据垂径定理可判断；②连接OC，根据作图过程可证得△AOC为等边三角形，由等边三角形的性质即可判断；③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断．【详解】解：①∵以点A为圆心，AO长为半径画弧，交⊙O于C，D两点，∴AC AD=，根据垂径定理可知，AB⊥CE，CE=DE，∴①正确；②连接OC，∵AC=OA=OC，∴△AOC为直角三角形，∵AB⊥CE，∴AE=OE，∴BE=BO+OE=3AE，∴②正确；③∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=60°，∴∠ABC=30°，∴BC=2CE，∴③正确，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质，理解基本作图知识，熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键．7．B解析：B【分析】先根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到12•2π•5•OA=65π，可求出OA=13，然后利用勾股定理计算圆锥的高．【详解】解：根据题意得12•2π•5•OA=65π，解得：OA=13，所以圆锥的高2213512．故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．C解析：C【分析】如图：连接OB、O C,先根据圆的内接四边形对角互补得到∠C=67.5°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAC=45°，再根据圆周角定理可得∠BOC=90°，最后根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，∠D＝112.5°∴∠C=180°-∠D＝180°-112.5°=67.5°∵AC=AB∴∠BAC=180°-2∠C=45°∴∠BOC=90°∴BC=22222222OB OC+=+=．故答案为C．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解答本题的突破口．9．B解析：B【分析】如图（见解析），先根据圆的性质可得OC OB=，再根据等边三角形的判定与性质可得60BOC∠=︒，然后根据圆周角定理即可得．【详解】如图，连接OC，由同圆半径相等得：OC OB=，7OB BC==，OC OB BC∴==，BOC∴是等边三角形，60BOC∴∠=︒，由圆周角定理得：1230BOCBDC∠=︒=∠，故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、同圆半径相等、圆周角定理，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．10．C解析：C【分析】连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，根据切线的性质可知PC⊥y轴，故可得出四边形PDOC是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB的长，由垂径定理可得出AD的长，故可得出OD 的长，进而得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y=kx-1即可得出结论．【详解】解：连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，∵⊙P与y轴相切于点C（0，3），∴PC⊥y轴，∴四边形PDOC是矩形，∴PD=OC=3，∵A（1，0），B（7，0），∴AB=7-1=6，∴AD=12AB=12×6=3，∴OD=AD+OA=3+1=4，∴P（4，3），∵直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积，∴3=4k-1，解得k=1．故选：C．【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P点坐标即可得出结论．11．C解析：C【分析】利用垂径定理可对①②进行判断；利用圆周角定理可得到CM、AN为角平分线，则利用三角形内心的定义可对③进行判断；根据P是△ABC的内心得出∠APC=90°+12∠B，进而得出∠MON+∠B=180°，再代入求解即可．【详解】解：作BC的垂直平分线，则ON平分BC，则BC＝2NC，所以①正确；作AB的垂直平分线，则OM平分AB，则AB＝2AM，2AM＞AB，所以②错误；∵M点为AB的中点，∴∠ACM=∠BCM，∵点N 为BC 的中点，∴∠BAN=∠CAN ，故P 点为△ABC 的内心，所以③正确；∵∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=180°-12∠BAC-12∠BCA=180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12(180°-∠B)=90°+12∠B ， ∴2∠MPN=2∠APC=180°+∠B ，又OM ⊥AB ，ON ⊥BC ，∴∠MON+∠B=180°，∴∠MON+2∠MPN=∠MON+180°+∠B=180°+180°=360°，故④正确，∴正确的结论有3个，故选：C ．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形内心及外心的性质、线段的垂直平分线的尺规作图等，熟练掌握各图形的性质及尺规作图步骤是解决本题的关键．12．D解析：D【分析】设展开后的圆半径为r ，根据圆锥性质可知底面周长就等于展开后扇形的弧长，然后算出展开后扇形的半径，进而计算出扇形的面积．【详解】解：设展开后的扇形半径为r ，由题可得：4π=2r π解得r =8∴S 扇形=14π×82 =16π故选：D【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图与各部分对应情况是解题关键． 二、填空题13．36°【分析】根据圆周角定理可得再利用等腰三角形的性质即可求解【详解】解：∵∴∵∴故答案为：36°【点睛】本题考查圆周角定理掌握圆周角定理是解题的关键解析：36°【分析】根据圆周角定理可得2108AOB ACB ∠=∠=︒，再利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】解：∵54ACB ∠=︒，∴2108AOB ACB ∠=∠=︒，∵OA OB =， ∴()1180362ABO BAO AOB ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：36°．【点睛】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 14．70°【分析】根据题意可以求得∠OAP 和∠OBP 的度数然后根据∠BAC ＝35°即可求得∠P 的度数【详解】解：连接OB ：∵PAPB 是⊙O 的两条切线AB 是切点AC 是⊙O 的直径∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°解析：70°【分析】根据题意可以求得∠OAP 和∠OBP 的度数，然后根据∠BAC ＝35°，即可求得∠P 的度数．【详解】解：连接OB ：∵PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 是切点，AC 是⊙O 的直径，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠BAC ＝35°，OA ＝OB ，∴∠BAC ＝∠OBA ＝35°，∴∠PAB ＝∠PBA ＝55°，∴∠P ＝180°−∠PAB−∠PBA ＝70°，即∠P 的度数是70°，故答案为：70°．【点睛】本题考查切线的性质，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用切线的性质解答问题．15．【分析】根据扇形的面积公式S 扇形=即可求得【详解】解：∵S 扇形=∴r2==3∴r=（负值舍去）故答案为：【点睛】本题主要考查扇形面积的计算解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S 扇形=3【分析】根据扇形的面积公式S 扇形=2360n r π 即可求得． 【详解】解：∵S 扇形=2360n r π， ∴r 2=360360 120S n πππ==3， ∴（负值舍去），【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握扇形面积的计算公式：S 扇形=2360n r π． 16．【分析】作A 点关于BC 的对称点A 以A 点为圆心以BC 的长为半径作圆连接AA 交BC 于E 点延长AA 交⊙A 与点D 连接BDCD 则∠BDC ＝∠BAC ＝×60°＝30°此时AD 为最大值根据等边三角形的性质可求解A解析：5【分析】作A 点关于BC 的对称点A'，以A'点为圆心，以BC 的长为半径作圆，连接AA'交BC 于E 点，延长AA'交⊙A'与点D ，连接BD ，CD ，则∠BDC ＝12∠BA'C ＝12×60°＝30°，此时AD为最大值，根据等边三角形的性质可求解A'E ＝AE ，A'D ＝A'B ＝AB ＝5，进而可求解．【详解】作A 点关于BC 的对称点A'，以A'点为圆心，以BC 的长为半径作圆，连接AA'交BC 于E 点，延长AA'交⊙A'与点D ，连接BD ，CD ，则∠BDC ＝12∠BA'C ＝12×60°＝30°，此时AD 为最大值，∵△ABC 是边长为5的等边三角形，∴BC ＝AB ＝5，∴BE=12BC=52∴A'E ＝AE A'D ＝A'B ＝AB ＝5， ∴AD ＝AE ＋A'E ＋A'D ＝5．故答案为5．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理等知识的综合运用，解题的关键是根据题意作出示意图进行求解．17．6【分析】如图作OH⊥CD于H连接AH延长AH交BF于K连接OC证明AE=FK利用勾股定理求出OH再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题【详解】解：如图作OH⊥CD于H连接AH延长AH交BF于解析：6【分析】如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．证明AE=FK，利用勾股定理求出OH，再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题．【详解】解：如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．∵OH⊥CD，∴CH=DH=4（cm），∠CHO=90°，∴2222-=-=3（cm），OC CH54∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OH∥BF，∵OA=OB，∴EH=FH，∵∠AEH=∠KFH=90°，∠AHE=∠FHK，∴△AEH≌△KFH（AAS），∴AH=HK，AE=FK，∵AO=OB，∴OH=12BK，∴BK=6（cm），∴BF-AE=BF-FK=BK=6（cm）．故答案为6．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．18．2【分析】根据圆周角定理得出∠A=∠CDB∠ACB=90°根据含30°角的直角三角形的性质得出AB=2BC求出AB再求出半径即可【详解】解：∵∴∠A=∠CDB∵∠CDB=30°∴∠A=30°∵AB为解析：2【分析】根据圆周角定理得出∠A=∠CDB，∠ACB=90°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AB=2BC，求出AB，再求出半径即可．【详解】解：∵=BC BC∴∠A=∠CDB，∵∠CDB=30°，∴∠A=30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC=2，∴AB=2BC=4，∴⊙O的半径是1422⨯=，故答案为：2．【点睛】本题考查了圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能根据圆周角定理得出∠A=∠CDB和∠ACB=90°是解此题的关键．19．【分析】根据相切的定义可得利用等面积法即可求解【详解】解：∵∠C＝90°AC＝3cmBC＝4cm∴由题意可得∴即故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的位置关系勾股定理掌握相切的定义是解题的关键解析：12 5【分析】根据相切的定义可得CD AB ⊥，利用等面积法即可求解．【详解】解：∵∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ， ∴225cm AB AC BC =+=，由题意可得CD AB ⊥，∴1122AC BC AB CD ⋅=⋅，即125CD =， 故答案为：125． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、勾股定理，掌握相切的定义是解题的关键．20．65【分析】根据垂径定理的推论此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 根据垂径定理和勾股定理求解【详解】根据垂径定理的推论知此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 拱桥的跨度AB=12m解析：6.5【分析】根据垂径定理的推论，此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ．连接OA ．根据垂径定理和勾股定理求解．【详解】根据垂径定理的推论，知此圆的圆心在CD 所在的直线上，设圆心是O ，连接OA ． 拱桥的跨度AB =12m ，拱高CD =4m ，根据垂径定理，得AD=6 m ，利用勾股定理可得：()22264AO AO =--，解得：AO =6.5m ．即圆弧半径为6.5米，故答案为：6.5．【点睛】本题综合运用了勾股定理以及垂径定理．注意由半径、半弦、弦心距构造的直角三角形进行有关的计算． 三、解答题21．（1）图见解析，(2,3)-；（2）52π． 【分析】 （1）先根据旋转的性质分别画出点,,B C D 旋转后的对应点,,B C D '''，再顺次连接点,,,A B C D '''可得旋转后的图形，然后根据旋转的性质可得四边形AB C D '''是矩形，,AD AD C D CD '''==，由此即可得；（2）先利用矩形的性质、勾股定理求出AC 的长，再利用弧长公式即可得．【详解】（1）先根据旋转的性质分别画出点,,B C D 旋转后的对应点,,B C D '''，再顺次连接点,,,A B C D '''可得旋转后的图形，如图所示：由题意得：(2,0),(5,0),(5,4),(2,4)A B C D ，2,3,4OA AB CD BC AD ∴=====，由旋转的性质得：4,3AD AD C D CD '''====，四边形AB C D '''是矩形， 2,OD AD OA C D AD '''''∴=-=⊥，∴点C '的坐标为(2,3)C '-，即旋转后C 点对应点的坐标为(2,3)-；（2）由题意得：点C 在旋转过程中的路径长为CC '的长，如图所示：四边形ABCD 是矩形，3,4AB BC ==，∴对角线225AC AB +BC ，由旋转的性质得：90CAC '∠=︒，则CC '的长为90551802ππ⨯=， 即点C 在旋转过程中的路径长为52π． 【点睛】本题考查了画旋转图形、旋转的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD 、AC 交于点E ，连接OE ；（2）连接BD ，则点P 和BD 与O 的交点的延长线与AB 的交点即为F 点．【详解】（1）如图所示，∵四边形ABCD 是菱形，∴E 是BD 中点，∵O 是DA 中点，∴//OE AB ；（2）如图所示，∵120BAD ∠=，∴60ADC ∠=︒，∵AD CD =，∴ACD △是等边三角形，∵AD 是直径，∴90APD ∠=︒，即AP DC ⊥，∴P 是CD 中点，通过如图所示找到的点F 是AB 的中点，∵ABC 也是等边三角形，∴CF AB ⊥．【点睛】本题考查作图，解题的关键是要熟悉各种几何的性质，比如：等边三角形的性质，中位线的性质，菱形的性质，圆的性质．23．见解析【分析】根据切线的性质得出OP ⊥AB ，根据垂径定理得出即可．【详解】证明：如图，连接OP ，∵大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，∴OP⊥AB，∵OP过O，∴AP=BP．【点睛】本题考查了切线的性质和垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．24．64cm2【分析】连接OA、OB、OE，证Rt△ADO≌Rt△BCO，推出OD=OC，设AD=a，则OD=12a，由勾股定理求出OA=OB=OE=5a，求出EF=FC=4cm，在△OFE中由勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】解：连接OA、OB、OE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°，∵在Rt△ADO和Rt△BCO中∵OA OB AD BC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ADO≌Rt△BCO，∴OD=OC，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，设AD=acm，则OD=OC=12DC=12AD=12acm，在△AOD中，由勾股定理得：5acm，∵小正方形EFCG的面积为16cm2，∴EF=FC=4cm ，在△OFE 中，由勾股定理得：a)2=42+(12a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8，∴正方形面积为264cm故答案为：64cm²．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想．25．见解析．【分析】根据已知条件和圆周角定理证明△APD ≌△CPB 即可得到DP=BP ．【详解】证明：∵AB CD =，∴CD = AB ，∴ CD- CA= AB - AC ，∴ AD = BC.又∵∠A=∠C ，∠APD=∠CPB ，∴△APD ≌△CPB.∴DP=BP .【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及圆心角定理：在同圆或等圆中圆心角相等，弧相等，弦相等，弦心距相等，在这几组相等关系中，只要有一组成立，则另外几组一定成立． 26．2(2)4a π-，1.14 【分析】根据对称性用a 表示出阴影的面积，再将a=2代入求解即可．【详解】解：由题意可知：S 阴=211442222a a a π⎡⎤⎛⎫-⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2(2)4a π-= 当2a =时，S 阴=(3.142)4 1.144-⨯=． 【点睛】本题考查列代数式、代数式求值、圆的面积公式、三角形的面积公式，解答的关键是找出面积之间的关系，利用基本图形的面积公式解决问题．。

人教版数学九年级上学期《圆》单元测试(满分120分，考试用时120分钟)一、单选题OP ，则点P与O的位置关系是( ) 1．已知O的半径为5，同一平面内有一点P，且7A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．无法确定2．已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是()A．1 B C．2 D．23．如图，已知在⊙O中，BC是直径，AB＝DC，∠AOD＝80°，则∠ABC等于( )A．40°B．65°C．100°D．105°4．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D=85°，则∠B=( )A．85°B．95°C．105°D．115°5．如图，已知AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．65°B．25°C．15°D．35°6．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，AD CD，如果∠CAB＝40°，那么∠CAD的度数为()A．25°B．50°C．40°D．80°7．已知⊙O的半径为4，直线l上有一点与⊙O的圆心的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系为() A．相离B．相切C．相交D．相切、相交均有可能8．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，若点P的坐标是(3，4)，则点P与⊙O的位置关系是()A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．点P在⊙O上或在⊙O外9．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1，2)，点P的坐标是(5，2)，那么点P的位置为()A．在⊙A内B．在⊙A上C．在⊙A外D．不能确定10．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是()A．20°B．30°C．40°D．70°11．如图，MN是⊙O的直径，MN＝4，∠AMN＝30°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则P A+PB的最小值为()A．4 B．C．D．212．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小，，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是:“CD为O的直径，弦AB CD垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意得CD的长为( )A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸二、填空题13．如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC切⊙O于C，连接AC，若∠CAB＝30°，则∠D ＝_____度．14．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为______.15．若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______．16．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为______．三、解答题17．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证:MC=NC．18．如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证:AC平分∠BAE．19．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BD 是∠ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ．(1)求证:△AED ≌△CFD;(2)若AB ＝10，BC ＝8，∠ABC ＝60°，求BD 的长度．20．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4AD =．作DE ⊥AC 于点E ，作AF ⊥BD 于点F ．(1)求AF 、AE 的长;(2)若以点A 为圆心作圆， B 、C 、D 、E 、F 五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求A的半径 r 的取值范围．21．如图，已知O ．(1)用尺规作正六边形，使得O 是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹; (2)用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．22．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑(图示是其主视图)，经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA 的长为多少？23．如图，P是⊙O外一点，P A是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且P A＝PB，延长BO分别与⊙O、切线P A相交于C、Q两点．(1)求证:PB是⊙O的切线;(2)QD为PB边上的中线，若AQ＝4，CQ＝2，求QD的值．24．如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径OB 的中点，8CD cm =，求直径AB 的长．25．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，点C 为BD 的中点．若40A ∠=，求B ∠的度数．26．如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．(不写作法，保留作图痕迹)参考答案一、单选题12．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题:“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是:“CD 为的直径，弦，垂足为E ，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD 的长”，依题意得CD 的长为( )A ．12寸B ．13寸C ．24寸D ．26寸【答案】D 【解析】【分析】连接AO ，设直径CD 的长为寸，则半径OA=OC=寸，然后利用垂径定理得出AE ，最后根据勾股定理进一步求解即可.【详解】如图，连接AO ，设直径CD 的长为寸，则半径OA=OC=寸，∵CD 为的直径，弦，垂足为E ，AB=10寸，∴AE=BE=AB=5寸，根据勾股定理可知， O AB CD⊥2xx 2x x O AB CD ⊥12在Rt △AOE 中，，∴，解得:，∴，即CD 长为26寸.【点评】本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.二、填空题13．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是AB 延长线上一点，DC 切⊙O 于C ，连接AC ，若∠CAB ＝30°，则∠D ＝_____度．【答案】30【解析】【分析】连接OC ，如图，根据切线的性质得∠OCD =90°，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠COD =60°，然后利用互余计算∠D 的度数．【详解】连接OC ，如图，∵DC 切⊙O 于C ，∴OC ⊥CD ，∴∠OCD =90°．∵OA =OC ，∴∠ACO =∠CAB =30°，∴∠COD =∠ACO +∠CAB =60°，∴∠D =90°﹣∠COD =90°﹣60°=30°． 故答案为30．222AO AE OE =+()22251x x =+-13x =226x=【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质． 14．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB=2，C 、D 是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC 的长为______.【答案】1【解析】【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB 是⊙O 的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB ，从而得出结论． 【详解】解:∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=∠CDB=30°，∴BC=AB=， 故答案为1．【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．15．若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为_______．12121212⨯=【答案】【解析】【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．【详解】设扇形的半径为r．根据题意得:6π解得:r＝故答案为【点评】本题考查了扇形的面积公式．熟练将公式变形是解题的关键．16．如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为______．【答案】10cm【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•30=300π，然后解方程即可．【详解】解:根据题意得•2π•r•30=300π，解得r=10(cm)．245360rπ=1212故答案为:10cm．【点评】本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．三、解答题17．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证:MC=NC．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由M、N分别是半径OA、OB的中点，可得OM=ON，利用SAS判定△MOC≌△NOC，继而证得结论．【详解】证明:∵弧AC和弧BC相等，∴∠AOC=∠BOC，∵OA=OB又∵M、N分别是OA、OB的中点∴OM=ON，在△MOC和△NOC中，OM ONAOC BOCOC OC，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MOC≌△NOC(SAS)，∴MC=NC．【点评】此题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键．18．如图，AB为⊙O的直径，过点C的切线DE交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E．求证:AC平分∠BAE．【答案】证明见解析【解析】【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质得到∠EAC=∠CAO，即AC平分∠BAE．【详解】如图:连接OC．∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE．又∵AE⊥DC，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠EAC．∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠EAC=∠OAC，∴AC平分∠BAE．【点评】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．19．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BD 是∠ABC 的角平分线，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ．(1)求证:△AED ≌△CFD;(2)若AB ＝10，BC ＝8，∠ABC ＝60°，求BD 的长度．【答案】(1)见解析【解析】【分析】(1)由角平分线性质定理可得DE ＝DF ，由圆内接四边形性质可得∠A ＋∠BCD ＝180°，然后代换可得∠A ＝∠DCF ，又∠DEA ＝∠F ＝90°， 所以△AED ≌△CFD;(2)由三角形全等可得AE ＝CF ，BE ＝BF ，设AE ＝CF ＝x ，可得x ＝1;在Rt △BFD ，根据30°所对的直角边是斜边的一半，则BD ＝2DF ，利用勾股定理解得BD ＝【详解】(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠A ＋∠BCD ＝180°，又∵∠DCF ＋∠BCD ＝180°，∴∠A ＝∠DCF∵BD 是∠ABC 的角平分线，又∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE ＝DF ，∠DEA ＝∠F ＝90°，∴△AED ≌△CFD.(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，BE ＝BF ，设AE ＝CF ＝x ，则BE ＝10－x ，BF ＝8＋x ，即10－x ＝8＋x ，解得x ＝1，在Rt △BFD ，∠DBC ＝30°，设DF ＝y ，则BD ＝2y ，∵BF 2＋DF 2＝BD 2，∴y 2＋92＝(2y)2，y ＝BD ＝【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，由条件灵活转移线段关系是解题关键. 20．如图，矩形中，，．作DE ⊥AC 于点E ，作AF ⊥BD 于点F ． (1)求AF 、AE 的长;(2)若以点为圆心作圆， 、、、E 、F 五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求的半径 的取值范围．【答案】(1)，;(2) 【解析】【分析】(1)先利用等面积法算出AF=，再根据勾股定理得出; (2)根据题意点F 只能在圆内，点C 、D 只能在圆外，所以⊙A 的半径r 的取值范围为.【详解】解:如图，ABCD 3AB =4AD =A B C D Ar 125AF =165AE = 2.44r <<125165AE = 2.44r <<(1)在矩形中，，．∴∵DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，∴ ; ∴AF=， 同理，DE=, 在Rt △ADE 中，=, (2) 若以点为圆心作圆， 、、、E 、F 五点中至少有1个点在圆内，则r>2.4,当至少有2个点在圆外，r<4,故⊙A 的半径r 的取值范围为:21．如图，已知．(1)用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹; (2)用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．ABCD 3AB =4AD =11··22ABD S AB AD BD AF ==△125125165A B C D 2.44r <<O O【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析【解析】【分析】(1)利用正六边形的性质外接圆边长等于外接圆半径;(2)连接对角线以及利用正六边形性质．【详解】解:(1)如图所示:,(2)如图所示:【点评】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形和正六边形的性质，根据正六边形性质得出作法是解题关键.22．校运会期间，小捷同学积极参与各项活动．在铅球项目中，他掷出的铅球在场地上压出一个小坑(图示是其主视图)，经测量，其中坑宽AB为8cm，小坑的最大深度为2cm，请帮助小捷同学计算铅球的半径OA 的长为多少？【答案】5cm【解析】【分析】先根据垂径定理求出AD 的长，设OA=rcm ，则OD=(r-2)cm ，再根据勾股定理求出r 的值即可．【详解】解:作OD ⊥AB 于D ，如图所示:∵AB=8cm ，OD ⊥AB ，小坑的最大深度为2cm ，∴AD=AB=4cm ． 设OA=rcm ，则OD=(r-2)cm在Rt △OAD 中，∵OA 2=OD 2+AD 2，即r 2=(r-2)2+42，解得r=5cm;即铅球的半径OA 的长为5cm ．【点评】本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．23．如图，P 是⊙O 外一点，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，B 是⊙O 上一点，且P A ＝PB ，延长BO 分别与⊙O 、切线P A 相交于C 、Q 两点．(1)求证:PB 是⊙O 的切线;(2)QD 为PB 边上的中线，若AQ ＝4，CQ ＝2，求QD 的值．12【答案】(1)详见解析;(2)QD【解析】【分析】(1)要证明PB 是⊙O 的切线，只要证明∠PBO=90°即可，根据题意可以证明△OBP ≌△OAP ，从而可以解答本题;(2)根据题意和勾股定理的知识，可以求得QD 的值．【详解】(1)证明:连接OA ，在△OBP 和△OAP 中，，∴△OBP ≌△OAP (SSS )，∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 是⊙O 的切线，A 是切点，∴∠OAP ＝90°，∴∠OBP ＝90°，∵OB 是半径，∴PB 是⊙O 的切线;(2)连接OCPA PB OB OAOP OP ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∵AQ＝4，CQ＝2，∠OAQ＝90°，设OA＝r，则r2+42＝(r+2)2，解得，r＝3，则OA＝3，BC＝6，设BP＝x，则AP＝x，∵PB是圆O的切线，∴∠PBQ＝90°，∴x2+(6+2)2＝(x+4)2，解得，x＝6，∴BP＝6，∴BD＝3，∴QD，即QD【点评】本题考查切线的判定与性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．24．如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，求直径的长．【解析】【分析】连接OC ，根据垂径定理可求CM =DM =4cm ，再运用勾股定理可求半径OC ，则直径AB 可求．【详解】连接OC ．设圆的半径是r ．∵直径AB ⊥CD，∴CM =DM =CD =4cm ． ∵M 是OB 的中点，∴OM =r ，由勾股定理得:OC 2=OM 2+CM 2，∴r 2=(r )2+42，解得:r =，则直径AB =2r =(cm )．【点评】本题考查了垂径定理，解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．25．如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点．若，求的度数． O AB CD M M OB 8CD cm =AB 1212123ABCD O AB O C BD 40A ∠=B ∠【答案】.【解析】【分析】连接AC ，根据圆周角定理可得∠ACB=90°，∠BAC=∠BAD ，然后根据∠B 与∠BAC 互余即可求解.【详解】解:连接，∵是直径，∴，∵点为的中点，，∴， ∴在中，．【点评】本题主要考查圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．26．如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆．(不写作法，保留作图痕迹)【答案】见解析70B ∠=12AC AB 90ACB ∠=C BD 40BAD ∠=11402022BAC BAD ∠=∠=⨯=Rt ABC 902070B ∠=-=【解析】【分析】根据圆的性质，弦的垂直平分线过圆心，所以只要找到两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，有圆心就可以作出圆轮．【详解】如图:圆O为所求．【点评】本题考查了圆的基本性质，是一种求圆心的作法．作圆的方法有:①圆心半径;②三个圆上的点．。

人教版九年级数学上册《圆的有关性质》能力测试题及参考答案一、选择题1.如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面,若油面宽AB=8cm,则油面的深度为（）A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm第1题第2题第3题第4题2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是⊙O上的两点,连接AC,OD,CD,且AC//OD,若AB=6,∠ACD=15°,则AC的长为（）A.2√2B.4C.3√2D.3√33.如图,点A,B,C,D都在⊙O上,BD为⊙O的直径,若∠A=65°,则∠DBC的值是（）A.15°B.25°C.35°D.65°4.如图,AB为⊙O的直径,点C,D都在⊙O上,若BD=BC,∠ABC=65°,则∠BOD 的度数（）A.65°B.60°C.50°D.25°5.如图,AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,连接AC,AD,∠BAC=28°,则∠D的度数是（）A.56°B.58°C.60°D.62°第5题第6题第7题第8题6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠BOD=84°,则∠C的度数为（）A.88°B.92°C.106°D.138°7.如图,在⊙O中,弦AB,CD相交于点P,∠A=45°,∠APD=80°,则∠B的大小是（）.A.35°B.45°C.60°D.70°8.如图,点A,B,C是⊙O上的三点,且四边形ABCO是平行四边形,OF⊥OC交⊙O于点F,则∠BAF等于（）A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°̂的中点,连接9.如图,在⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为E,F为CBDAF,BF,AC,AF交CD于点M,过点F作FH⊥AC,垂足为G,交⊙O于点H.̂=DF̂②HC = BF③MF = FC④DF̂+AĤ= BF̂+AF̂.其中现有以下结论:①CF成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,点P在⊙O的直径AB上,作正方形PCDE和正方形PFGH,其中点D,G在直径所在的直线上,点C,E,F,H 都在⊙O 上.若两个正方形的面积之和为16,OP=√2,则DG 的长是（ ） A.6√2 B.2√14 C.7 D.4√3第10题 第11题 第12题 第13题11.如图,⊙O 经过菱形ABCD 的顶点A,B,C,顶点D 在⊙O 内,延长AD,CD 与⊙O 分别交于点E,F,连接 BE,BF.下列结论:①BE=BF ②AB ̂=AF ̂=EF ̂③∠ABC=90°+ 12∠EBF,其中正确的结论是（ ） A.①② B. ①③ C. ②③ D.①②③12.如图,△ABC 内接于⊙O,∠BAC=45°,AD ⊥BC,垂足为D,BD=6,DC=4,则AB 的长（ ）A.6√2B.10C.12D.6√513.如图,在半径为√13的⊙O 中,弦AB 与CD 交于点E,∠DEB=75°,AB=6,AE=1,则CD 的长（ ）A.2√6B.2√10C.2√11D.4√314.过三点A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为（ ）A.(4,176) B .(4,3) C.(5,176) D .(5,3) 15.如图,△ABC 为等边三角形,AB=3.若P 为△ABC 内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB 长度的最小值为（ ）A.1.5B.√3C.√3D.216.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上的一点,AB=4,∠AOC=120°,P 为⊙O 上的一动点,Q 为AP 的中点,连接CQ,则线段CQ 的最大值为（ ）A.3B.1+√6C.1+3√2D.1+√7二、填空题17.如图,在⊙O 的内接五边形ABCDE 中,∠CAD=35°,则∠B+∠E 的度数_______.18.如图,AB,CD 是⊙O 的直径,弦BE 与CD 交于点F,F 为BE 中点,AF//ED,若AF 的长为 2√3,则BC 的长为___.第17题 第18题 第19题19.如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD,垂足为E,AB̂=BF ̂,CE =1,AB=6,则弦AF 的长度为___. 20.如图,⊙E 与y 轴相交于A,B 两点(点A 在点B 的上方),与x 轴的正半轴相交于点C,且圆心E 的坐标为(m,0),半径为5;直线l 的函数表达式为y=34x+n,且经过点A 并与x 轴相交于点D(-/2,0).若以C为顶点的抛物线过点B,则该抛物线的函数表达式为___.第20题第21题第22题21.如图,AB是⊙O的弦,AB= 6√3,∠AOB=120°,C为⊙O上的一动点,D,E分别是AC,OB的中点,连接DE,则线段DE的取值范围是____.22.如图,等边△ABC的边长为3,F为BC上的动点,DF⊥AB于点D,EF⊥AC于点E,则DE长的最小值为____.三、解答题̂的中点,连结CD,CA,AD.23.如图 1,AB是⊙O的直径,点D为AB下方⊙O上一点,点C为ABD(1)求证:OC平分∠ACD.(2)如图 2,延长AC,DB相交于点E.①求证:OC//BE.②若CE = 4√5,BD =6,求⊙O的半径.24.如图,⊙O为Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,BC=4√3,AC=4,点D是⊙O上的动点,且点C,D 分别位于AB的两侧.(1)求⊙O的半径;(2)当CD=4√2时,求∠ACD的度数;(3)设AD的中点为M,在点D的运动过程中,线段CM是否存在最大值?若存在,求出CM的最大值;若不存在,请说明理由.25.如图,在△ACE 中,AC=CE,⊙O 经过点A,C 且与边AE,CE 分别交于点D,F,点B 是AĈ上一点,且DF̂=BC ̂,连接AB,BC,CD. (1)求证:△CDE ≌△ABC;(2)若AC 为⊙O 的直径,填空:①当∠E =______时,四边形ABCD 为正方形;②当∠E =____时,四边形OCFD 为菱形.26.已知⊙O 中,弦AB=AC,点P 是∠BAC 所对弧上一动点,连接PA,PB.(1)如图①,把△ABP 绕点A 逆时针旋转到△ACQ,连接PC,求证:∠ACP+∠ACQ=180°;(2)如图②,若∠BAC=60°,试探究PA,PB,PC 之间的关系.参考答案一、选择题1-5 ADBCD 6-10 DABCB 11-15 BDCAB 16 D二、填空题17. 215° 18.2√619.485 20.y=−116(x −8)221.3√3-3≤DE ≤3√3+322.94 三、解答题23.(1)提示：圆心角定理，垂径定理.(2)①略②半径长5.24(1)半径长4.(2)15°(3)2√ 3+225.(1)略(2)①45°②60°26.(1)略(2)①PA=PB+PC。

一、选择题1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，过B ，C 两点的O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交O 于点F ．连接BF ，CF ，若135EDC ∠=︒，2AE =，4BE =，则CF 的值为（ ）．A ．10B ．22C ．23D ．32．下列说法不正确的是（ ）A ．不在同一直线上的三点确定一个圆B ．90°的圆周角所对的弦是直径C ．平分弦的直径垂直于这条弦D ．等弧所对的圆周角相等3．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是（ ）A ．54°B ．30°C ．36°D ．60°4．如图，分别以AB,AC 为直径的两个半圆，其中AC 是半圆O 的一条弦，E 是弧AEC 中点，D 是半圆ADC 中点.若DE=2,AB=12，且AC˃6，则AC 长为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．2 5．在平面直角坐标系中，以点()3,4-为圆心，半径为5作圆，则原点一定（ ） A ．与圆相切 B ．在圆外 C ．在圆上 D ．在圆内 6．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D 、C ．若∠ACB=30°，AB= 3 ）A ．32B ．33C ．3π26-D ．3π36- 7．在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．如图，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，则∠BDC 的度数（ ）A ．45°B ．55°C ．65°D ．70°8．如图，ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将ABC 绕点B 顺时针旋转到A B C '''的位置，且点A '、C '仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形的面积是（ ）平方单位（结果保留）A ．254πB ．134πC ．132πD ．136π 9．如图，不等边ABC 内接于O ，下列结论不成立的是（ ）A ．12∠=∠B ．14∠=∠C ．2AOB ACB ∠=∠D ．23ACB ∠=∠+∠10．如图，在等边ABC 中，点O 在边AB 上，O 过点B 且分别与边AB BC 、相交于点D 、E ，F 是AC 上的点，判断下列说法错误的是（ ）A ．若EF AC ⊥，则EF 是O 的切线B ．若EF 是O 的切线，则EF AC ⊥ C ．若32BE EC =，则AC 是O 的切线D ．若BE EC =，则AC 是O 的切线11．如图，EM 经过圆心O ，EM CD ⊥于M ，若4CD =，6EM =，则CED 所在圆的半径为（ ）A ．103B ．83C ．3D ．4 12．如图，PA 切O 于点,A PB 切O 于点B PO ，交O 于点C ，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．AB OP ⊥D ．2PAB APO ∠=∠13．如图，在⊙O 中，OA BC ⊥，35ADB ∠=︒．则AOC ∠的度数为（ ）A．40︒B．55︒C．70︒D．65︒14．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD 的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．45°15．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于弦D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等二、填空题16．已知ABC的周长为30，面积为20，其内角平分线交于点O，则点O到边BC的距离为________．17．如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，AC是O的直径，∠=︒，则PBAC35∠的度数为________.18．已知扇形的圆心角为120︒，面积为π，则扇形的半径是___________．19．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是____________．OA=，AB是O的切线，点B是切点，弦20．如图，A是半径为1的O外一点，2BC OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为________．//21．如图，直线AB 、CD 相交于点,30O AOC ∠=︒，半径为1cm 的⊙P 的圆心在直线AB 上，且与点O 的距离为8cm ，如果⊙P 以2cm/s 的速度，由A 向B 的方向运动，那么_________秒后⊙P 与直线CD 相切.22．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．23．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BA 延长线上一点，点D 在⊙O 上，且CD=OA ，CD 的延长线交⊙O 于点E ，若∠BOE=54°，则∠C=______．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，若以C 为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 相切，则r 的值是________25．如图，四边形ABCD 内接于O ，若76A ∠=︒，则C ∠=_______ °．26．如图，MN 是O 的直径，2MN =，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA PB +的最小值为_______．三、解答题27．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形BEFG 中，点E 在AB 的延长线上，点G 在BC 上，点O 在线段AB 上，且AO BO ≥．以OF 为半径的O 与直线AB 交于点M 、N ．（1）如图1，若点O 为AB 中点，且点D ，点C 都在O 上，求正方形BEFG 的边长． （2）如图2，若点C 在O 上，求证：以线段OE 和EF 为邻边的矩形的面积为定值，并求出这个定值．（3）如图3，若点D 在O 上，求证：DO FO ⊥． 28．如图，已知AB 为O 的直径，点C 、D 在O 上，CD BD =，E 、F 是线段AC 、AB 的延长线上的点，并且EF 与O 相切于点D ．（1）求证：2A BDF ∠=∠；（2）若3AC =，5AB =，求CE 的长．29．如图，在ABC 中，45C ∠=︒，以AB 为直径的O 经过BC 的中点D ． （1）求证：AC 是O 的切线；（2）取AD 的中点E ，连接OE ，延长OE 交AC 于点F ，若2EF =，求O 的半径．30．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧CD ，点O 是CD 的圆心，E 为 CD 上一点，OE ⊥CD ，垂足为F ．已知CD=300m ，EF=50m ，求这段弯路的半径．。

人教版数学九年级上学期《圆》单元测试（满分120分，考试用时120分钟）一、选择题（每小题只有一个正确选项，把正确选项的代号填在题后的括号内，本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.有4个命题：①直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两条弧是等弧；③圆中最大的弦是通过圆心的弦；④一条弦把圆分为两条弧，这两条弧不可能是等弧，其中真命题是【 】A ．①③ B ．①③④ C ．①④ D ．①2.如图，在⊙O 中，OC ⊥弦AB 于点C ，AB =4，OC =1，则OB 的长是 【 】 A .3 B .5 C .15 D .173.如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 等于 【 】 A ．116° B ．32° C ．58° D ．64°4.已知⊙O 的半径是6，点O 到直线l 的距离为5，则直线l 与⊙O 的位置关系是 【 】 A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．无法判断5.△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ABC 的度数是 【 】A ．80°B ．160°C ．100°D ．80°或100°6.△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别切于点D 、E 、F ，则∠FDE 与∠A 的关系是A .∠FDE 与21∠A 相等 B .∠FDE 与21∠A 互补 【 】 C .∠FDE 与21∠A 互余 D .无法确定7.如图，圆O 与正方形ABCD 的两边AB 、AD 分别相切于点M 、N ，且DE 与圆O 相切于 E 点．若圆O 的半径为5，且AB =11，则DE 的长度是 【 】 A ．5B ．6C ．D ．（第2题）8.将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 【 】 A . B . C .D . 32二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.如图，AB 是半圆的直径，点D 是AC 的中点，∠ABC =50°，则∠DAB = .10.如图，△ABC 放置在平面直角坐标系中，其中A (3,0)，B (2,1)，C (2,-3)，则这个三角形的外心坐标是__ __.11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为 . 12.正六边形的外接圆与内切圆的半径之比为 .13.如图，△ABC 的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的 格点上，将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A ′BC ′的位置，且点A ′、C ′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）14.平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB =120°，∠ACB =60°，AO =BO =2，则满足 题意的OC 长度为整数的值可以是 ．三、（本大题共2小题，每小题6分，共12分）15. 如图，AB 是⊙O 的弦（非直径），C 、D 是AB 上的两点，并且AC =BD .求证：OC =OD .（第15题）（第9题）（第10题）（第8题）（第7题）（第13题）16.如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，∠BAC =120°，AB =AC ， AD =6，求DC 的长.四、（本大题共2小题，每小题7分，共14分）17．如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD . (1) 求证：BD CD =；(2) 小明说：“B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．” 你认为小明的说法正确吗？请说明理由.18．如图，⊙O 的直径AB =10，C 、D 是圆上的两点，且．设过点D 的切线ED 交AC的延长线于点F ．连接OC 交AD 于点G ． （1）求证：DF ⊥AF ． （2）求OG 的长．五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 19.如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点（点C 不与A B ，重合），设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．20.如图，点B 、C 、D 都在⊙O 上，过点C 作AC ∥BD 交OB 延长线于点A ，连接CD ， 且∠CDB =∠OBD =30°，DB =cm ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）求由弦CD 、BD 与弧BC 所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）CBAO（第19题）（第16题）ABCEFD（第17题）（第18题）（第20题）六、填空题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21.如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．（1）求∠ACB的度数；（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．（第21题）22.如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD 上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．(第22题)参考答案一、1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.A二、9. 650； 10. (-2,-1)； 11. 1或5 ； 12.23： ； 13.1334-π ； 14.2或3或4 三、15.证明：方法一.如图，连结OA ，OB ，∵∠OCD =∠ODC∴∠OCA =∠ODB 又∵OA =OB ∴∠OAC =∠OBD∴△AOC ≌△BOD （SAS ） ∴AC =BD方法二.如图，过O 作OE ⊥AB 于点E ，∵OE ⊥AB ∴EA =EB∵∠OCD =∠ODC ∴OC =OD∴CE =DE ∴AC =BD 16.解：∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =∠BCD =90°，∵∠BAC =120°，∴∠CAD =120°﹣90°=30°， ∴∠CBD =∠CAD =30°， 又∵∠BAC =120°，∴∠BDC =180°﹣∠BAC =180°﹣120°=60°， ∵AB =AC ，∴∠ADB =∠ADC ，∴∠ADB =∠BDC =×60°=30°，∵AD =6，∴在Rt △ABD 中，BD =AD ÷cos60°=6÷=4，在Rt △BCD 中，DC =BD =×4=2．四、17.（1）证明：∵AD 为直径，AD BC ⊥，∴BD CD =.∴BD CD =.（2）答：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. 理由：由（1）知：BD CD =，∴BAD CBD ∠=∠.∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠，DEB BAD ABE ∠=∠+∠，CBE ABE ∠=∠， ∴DBE DEB ∠=∠.∴DB DE =由（1）知：BD CD =.∴DB DE DC ==.∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. 18.解：（1）连接OD ，∵，OBAC DOBAC DE∴∠CAD =∠DAO =∠ODA =30°，∠ABD =60°， ∵ED 是⊙O 的切线∴∠ODF =90°∴∠ADF =60°，∴∠CAD +∠ADF =90°， ∴∠AFD =90°∴DF ⊥AF ．（2）连结BD ，在Rt △ABD 中，∠BAD =30°，AB =10， ∴BD =5， ∵=，∴OG 垂直平分AD ，∴OG 是△ABD 的中位线， ∴OG =BD =．五、19.（1）解：连接OB ，则OA OB =，35OBA OAB ∴∠=∠=．180110AOB OAB OBA ∴∠=-∠-∠=． 1552C AOB β∴=∠=∠=．（2）答：α与β之间的关系是90αβ+=． 连接OB ，则OAOB =．OBA OAB α∴∠=∠=．1802AOB α∴∠=-．11(1802)9022C AOB βαα∴=∠=∠=-=-．90αβ+=．20.（1）证明：连结OC ，OD ，根据圆周角定理得：∠COB =2∠CDB =2×30°=60°， ∵AC ∥BD ，∴∠A =∠OBD =30°，∴∠OCA =180°﹣30°﹣60°=90°，即OC ⊥AC ， ∵OC 为半径，∴AC 是⊙O 的切线；（2）解：∵AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ． ∵AC ∥BD ， ∴OC ⊥BD ．由垂径定理可知，MD =MB =BD =．在Rt △OBM 中，∠COB =60°，OB ===6．在△CDM 与△OBM 中，第20题∴△CDM ≌△OBM ∴S △CDM =S △OBM∴阴影部分的面积S 阴影=S 扇形BOC ==6πcm 2．六、21.解：（1）证明：在△AEB 和△DEC 中，∴△AEB ≌△DEC （ASA ），∴EB=EC ，又∵BC=CE ，∴BE=CE=BC ，∴△EBC 为等边三角形，∴∠ACB =60°； （2）解：∵OF ⊥AC ，∴AF=CF ，∵△EBC 为等边三角形，∴∠GEF =60°， ∴∠EGF =30°， ∵EG =2，∴EF =1，又∵AE=ED =3，∴CF=AF =4， ∴AC =8，EC =5，∴BC =5，作BM ⊥AC 于点M ，∵∠BCM =60°， ∴∠MBC =30°， ∴CM =52，BM =22532BC CM -=，∴AM =AC ﹣CM =112， ∴AB =227AM BM +=．（1）根据题意，当AP =DQ 时，四边形APQD 为矩形．此时，4t =20﹣t ，解得t =4（s ）．答：t 为4时，四边形APQD 为矩形； （2）当PQ =4时，⊙P 与⊙Q 外切．①如果点P 在AB 上运动．只有当四边形APQD 为矩形时，⊙P 与⊙Q 外切． PQ=4．由（1），得t =4（s ）；②如果点P 在BC 上运动．此时t ≥5，则CQ ≥5，PQ ≥CQ ≥5＞4， ∴⊙P 与⊙Q 外离；③如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的右侧．可得CQ =t ，CP =4t ﹣24．当CQ ﹣CP =4时，⊙P 与⊙Q 外切．此时，t ﹣（4t ﹣24）=4，解得；④如果点P 在CD 上运动，且点P 在点Q 的左侧．当CP ﹣CQ =4时，⊙P 与⊙Q 外切． 此时，4t ﹣24﹣t =4，解得，∵点P 从A 开始沿折线A ﹣B ﹣C ﹣D 移动到D 需要11s ， 点Q 从C 开始沿CD 边移动到D 需要20s ，而，∴当t为4s，，时，⊙P与⊙Q外切．22.证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．即PN与⊙O相切．（2）成立．证明：连接ON，则∠ONA=∠OAN，∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．在Rt△AOM中，∴∠OMA+∠OAM=90°，∴∠PNM+∠ONA=90°．∴∠PNO=180°﹣90°=90°．即PN与⊙O相切．（3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，∵∠PON=60°，∠AON=30°．作NE⊥OD，垂足为点E，则NE=ON•sin60°=1×=．S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC•OA+CO•NE =×1×1+π﹣×1×=+π﹣．。

人教版九年级上册数学《圆》单元测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.已知与的半径分别为和3，若两圆相交，则两圆的圆心距满足（ ）A ．B ．C ．D ．2.已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是( )A ．2B ．6C ．12D ．73.如图，AB 为O 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（ ）A ． 070B ． 035C ． 030D ．20︒4.在同圆中，CD 的度数小于180︒，且2AB CD =，那么弦AB 和弦CD 的大小关系为（ ）A ．AB CD > B ．AB CD =C ．AB CD < D ．无法确定5.如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE 的大小是（ ）A ．115︒B ．105︒C ．100︒D ．95︒ 6.Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3cm AC =，4cm BC =，给出下列三个结论： ①以点C 为圆心，3 cm 长为半径的圆与AB 相离；②以点C 为圆心，4cm 长为半径的圆与AB 相切；③以点C 为圆心，5cm 长为半径的圆与AB 相交．上述结论中正确的个数是1O 2O 2m 5m =1m =5m >15m <<EDC BA（ ）A ．0个B ．l 个C ．2个D ．3个7.在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（ ）A ．B ．cmC ．cmD ．cm8.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．D ．9.在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图所示，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽度为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ） A ．6分米 B ．8分米 C ．10 分米 D ．12 分米10.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，AB=4，则⊙O 的直径等于（ ）Rt ABC △90C ∠=︒4BC cm =3AC cm =ABC △A 90︒11AB C △B 54π52π5π△22-2A．B． C． D ．７ 二 、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11.已知1O ⊙与2O ⊙半径的长是方程27120x x -+=的两根，且1212O O =，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是___________．12.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是 ．13.如图，ABC ∆内接于O ⊙，120AB BC ABC =∠=︒，，AD 为O ⊙的直径，6AD =，那么BD =_________．14.如图是一个圆锥形型的纸杯的侧面展开图，已知圆锥底面半径为5cm ，母线长为15cm ，那么纸杯的侧面积为 cm 2．（结果保留π）15.已知正六边形的边心距为，则它的周长是 ．三 、解答题（本大题共7小题，共55分）16.如图，以等腰ABC ∆中的腰AB 为直径作O ，交BC 于点D ．过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ．（1）求证：DE 为O 的切线；B（2）若O 的半径为5，60BAC ∠=︒，求DE 的长．17.如图⊙O 半径为2，弦BD ＝，A 为弧BD 的中点，E 为弦AC 的中点，且在BD上。

人教版九年级上册数学圆专题卷（有答案）一、单选题（共12题；共24分）1.如图，AB是半圆的直径，AB＝2r，C、D为半圆的三等分点，则图中阴影部分的面积是（）.A. πr2B. πr2C. πr2D. πr22.若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A. 5B. 6C. 7D. 83.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOB＝80º，则∠ACB的大小（）`A. 40ºB. 60ºC. 80ºD. 100º4.已知AB、CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么与的关系是（）A. =B. ＞C. ＜D. 不能确定5.已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为（）cm．A. 2B. 4C. 8D. 166.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为3和4，若圆心距O1O2=1，则两圆的位置关系是（）:A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切7.两圆的半径分别是5cm和4cm,圆心距为7cm,则两圆的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 外离8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），拱的半径为13米，拱高CD为8米，则拱桥的跨度AB 的长为（）)A. 20米B. 24米C. 28米D. 24米9.如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，若圆O的半径为6，OP=10，则△PDE的周长为（）A. 10B. 12C. 16D. 2010.如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB=4，∠E=75°，则CD的长为（）A. B. 2 C. 2 D. 311.（2017•葫芦岛）如图，点A,B,C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（））A. 30°B. 35°C. 45°D. 70°12.如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的各顶点称为格点，直角△ABC的顶点均在格点上，则满足条件的点C有（）A. 6个B. 8个C. 10个D. 12个二、填空题（共6题；共20分）13.如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB ＝________°．14.（2011•南通）比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点和不同点．例如：它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等．它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形．请你再写出它们的两个相同点和不同点：相同点：①________；②________．不同点：①________；②________．!15.如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有 ________条弦，它们分别是 ________16.如图，在边长为2的正三角形中，将其内切圆和三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则此三角形剩下部分（阴影部分）的面积为________．17.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D （4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是________．18.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与CD是水平的，BC与水平面的夹角为60°，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，那么该小朋友将圆盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线长为________cm．三、综合题（共5题；共56分）19.如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．》（1）求证：AE=ED；（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．20.如图，在半径为2的⊙O中，弦AB长为2．、（1）求点O到AB的距离．（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），求∠BCA的度数．21.（2015•北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD 的延长线交于点P，使∠PED=∠C．^（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．;22.（2017•安顺）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．23.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC的平分线与AC相交于点D，与⊙O过点A的切线相交于点E．（1）∠ACB=________°，理由是：________；（2）猜想△EAD的形状，并证明你的猜想；（3）若AB=8，AD=6，求BD．`答案一、单选题1.B2. A3. A4.D5. B6. C7. A8. B9. C 10.C 11.B 12. C二、填空题13.4414.都是轴对称图形；都有外接圆和内切圆；内角和不同；对角线的条数不同15.三；AE，DC，AD.16.17.618.三、综合题19. （1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；（2）解：∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴．20.（1）解：过点O作OD⊥AB于点D，连接AO，BO．如图1所示：∵OD⊥AB且过圆心，AB=2，∴AD= AB=1，∠ADO=90°，在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=2，AD=1，∴OD= = ．即点O到AB的距离为．（2）解：如图2所示：∵AO=BO=2，AB=2，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°．若点C在优弧上，则∠BCA=30°；若点C在劣弧上，则∠BCA= （360°﹣∠AOB）=150°；综上所述：∠BCA的度数为30°或150°．21.（1）证明：如图，连接OE．∵CD是圆O的直径，∴∠CED=90°．∵OC=OE，∴∠1=∠2．又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1，∴∠PED=∠2，∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°，∴OE⊥EP，又∵点E在圆上，∴PE是⊙O的切线；（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB=∠CED=90°，∴∠3=∠4（同角的余角相等）．又∵∠PED=∠1，∴∠PED=∠4，即ED平分∠BEP；（3）解：设EF=x，则CF=2x，∵⊙O的半径为5，∴OF=2x﹣5，在RT△OEF中，OE2=OF2+EF2，即52=x2+（2x﹣5）2，解得x=4，∴EF=4，∴BE=2EF=8，CF=2EF=8，∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵AB=10，BE=8，∴AE=6，∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°，∴△AEB∽△EFP，∴，即，∴PF=，∴PD=PF﹣DF=﹣2=．22.（1）证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，在Rt△OBD中，BD=CD= BC= ，∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，∵tan∠BOD= = ，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt△OBE中，BE= OB=2 ，∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC=2S△OBE﹣S扇形BOC=2× ×2×2 ﹣=4 ﹣π23.（1）90；直径所对的圆周角是直角（2）解：△EAD是等腰三角形．证明：∵∠ABC的平分线与AC相交于点D，∴∠CBD=∠ABE∵AE是⊙O的切线，∴∠EAB=90°∴∠AEB+∠EBA=90°，∵∠EDA=∠CDB，∠CDB+∠CBD=90°，∵∠CBE=∠ABE，∴∠AED=∠EDA，∴AE=AD∴△EAD是等腰三角形（3）解：∵AE=AD，AD=6，∴AE=AD=6，∵AB=8，∴在直角三角形AEB中，EB=10∵∠CDB=∠E，∠CBD=∠ABE∴△CDB∽△AEB，∴= = =∴设CB=4x，CD=3x则BD=5x，∴CA=CD+DA=3x+6，在直角三角形ACB中，AC2+BC2=AB2即：（3x+6）2+（4x）2=82，解得：x=﹣2（舍去）或x=∴BD=5x=。

圆圆的有关概念与性质1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是 90°，90°所对的弦是直径。

7.三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点。

8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点，叫做三角形的内心。

9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．10.圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d > r，②d = r，③d < r.2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交，②相切，③相离；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d < r，②d = r，③d > r.3.圆与圆的位置关系共有五种：①内含，②相内切，③相交，④相外切，⑤外离；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d < R-r，②d = R-r，③ R-r < d < R+ r，④d = R+r，⑤d > R+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线，切线长相等，这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。

人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）1 / 12《圆》基础测试题时间：90分钟 总分： 100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 下列语句正确的个数是过平面上三点可以作一个圆；平分弦的直径垂直于弦；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；三角形的内心到三角形各边的距离相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 生活中处处有数学，下列原理运用错误的是A. 建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点之间线段最短”的原理B. 修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理C. 测量跳远的成绩是运用“垂线段最短”的原理D. 将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”原理3. 下列说法错误的是( )A. 圆有无数条直径B. 连接圆上任意两点之间的线段叫弦C. 过圆心的线段是直径D. 能够重合的圆叫做等圆4. 下列说法中，正确的是A. 弦是直径B. 半圆是弧C. 过圆心的线段是直径D. 圆心相同半径相同的两个圆是同心圆5. 如图，在 中， ， ，以C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，连接CD ，则A.B.C.D.6. 下列判断中正确的是 A. 长度相等的弧是等弧B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦7. 下列说法： 平面上三个点确定一个圆； 等弧所对的弦相等； 同圆中等弦所对的圆周角相等； 三角形的内心到三角形三边的距离相等，其中正确的共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条9. 中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了A. 一倍B. 二倍C. 三倍D. 四倍10.下列说法：弧分为优弧和劣弧；半径相等的圆是等圆；过圆心的线段是直径；长度相等的弧是等弧；半径是弦，其中错误的个数为A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，小量角器的刻度线在大量角器的刻度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为______ 只考虑小于的角度12.下列说法：直径是弦；经过三点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；长度相等的弧是等弧；平分弦的直径垂直于弦其中正确的是______ 填序号．13.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中B点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为______．14.如图，点A，B，C均在的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为______．15.半径为5的中最大的弦长为______ ．16.圆是中心对称图形，______ 是它的对称中心．17.已知点P到的最近距离是3cm、最远距离是7cm，则此圆的半径是______ ．18.如图，AB为的直径，，，则______ ．19.中若弦AB等于的半径，则的形状是______ ．20.已知中最长的弦为16cm，则的半径为______ cm．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）21.如图所示，AB为的直径，CD是的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知，求的度数．人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）3 / 1222. 如图， 中， ，点D 为BC 上一点，且，过A 、B 、D 三点作圆O ，AE 是圆O 的直径，连接DE ．求证：AC 是圆O 的切线；若 ， ，求AE 的长．四、解答题（本大题共4小题，共32.0分）23. 如图，在平面直角坐标系内，已知点 ，， ．求 的外接圆的圆心点M 的坐标；求 的外接圆在x 轴上所截弦DE 的长．24.已知：如图，中，，．尺规作图：求作的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；求中所求作的圆的面积．25.已知，直线l经过的圆心O，且与交于A、B两点，点C在上，且゜，点P是直线l上的一个动点与O不重合，直线CP与交于点Q，且．如图1，当点P在线段AO上时，求的度数．如图2，当点P在OA的延长线上时，求的度数．如图3，当点P在OB的延长线上时，求的度数．26.如图，已知同心圆O，大圆的半径AO、BO分别交小圆于C、D，试判断四边形ABDC的形状并说明理由．人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）5 / 12答案和解析【答案】1. A2. A3. C4. B5. A6. C7. B8. A9. C10. C11.12.13.14. 515. 1016. 圆心17. 5cm或2cm18.19. 等边三角形20. 821. 解：连接OD，如图，，而，，，，而，，．22. 证明：，，，，由圆周角定理得，，是圆O的直径，，即，，即，是圆O的切线；取AC的中点H，连接DH，，，在中，，，，，，，∽ ，，即，解得，．23. 解：，，线段BC的垂直平分线是，人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）7 / 12 ， ，线段AC 的垂直平分线是 ，的外接圆的圆心M 的坐标为： ；连接OM ，作 于N ，由题意得， ， ，由勾股定理得， ，则 ，由垂径定理得， ．24. 解： 如图所示， 即为所求作的圆．连接OA ，OC ．， ，，是等边三角形，圆的半径是3，圆的面积是 ．25. 解： 如图1，设 ，， ，， ，由三角形的外角性质， ，在 中， ，解得 ，即 ；如图2，设 ，，，，， 由三角形的外角性质， ，，解得 ，；如图3，设 ，，，，，由三角形的外角性质，，解得，．26. 证明：，，四边形ABDC是梯形，即：四边形ABDC是等腰梯形．【解析】1. 解：过平面上不在同一直线上的三点可以作一个圆，错误；平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，错误；三角形的内心到三角形各边的距离相等，正确，正确的有1个，故选A．利用确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质分别判断后即可确定正确的选项；本题考查了确定圆的条件、垂径定理、圆周角定理及三角形的内心的性质等知识，解题的关键是能够了解有关的定义及定理，难度不大．2. 解：A、错误建筑工人砌墙时拉的参照线是运用“两点确定一条直线”的原理；B、正确修理损坏的椅子腿时斜钉的木条是运用“三角形稳定性”的原理；C、正确测量跳远成绩的依据是垂线段最短；D、正确将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理；故选：A．A、这是一道关于两点确定一条直线的应用的题目；B、根据三角形的稳定性进行判断；C、利用点到直线的距离中垂线段最短判断即可；D、根据圆的有关性质进行解答．本题考查了圆的认识、三角形的稳定性、确定直线的条件等知识，解题的关键是熟练掌握这些定理，难度不大．3. 解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；故选：C．根据直径、弧、弦的定义进行判断即可．本题考查圆的认识，学习中要注意区分：弦与直径，弧与半圆之间的关系．4. 解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；B、半圆是弧，正确；C、过圆心的弦是直径，故错误；D、圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误，故选B．利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了圆的认识，了解有关圆的定义及性质是解答本题的关键，难度不大．人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）5. 解：，，，，，；故选：A．先求得，再由等腰三角形的性质求出，则与互余．本题考查了三角形的内角和定理和等腰三角形的性质，是基础知识比较简单．6. 解：A、等弧是能重合的两弧，长度相等的弧不一定是等弧，故选项错误；B、平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧，注意被平分的弦不是直径，故选项错误；C、弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧，正确，故选项正确；D、平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦，故选项错误．故选C．利用等弧的定义以及垂径定理和垂径定理的推论即可作出判断．本题考查了等弧的概念和垂径定理的推论，理解垂径定理的内容是关键．7. 解：平面上不在同一直线上的三个点确定一个圆，所以错误；等弧所对的弦相等，所以正确；同圆中等弦所对的圆周角相等或互补，所以错误；三角形的内心到三角形三边的距离相等，所以正确．故选B．根据确定圆的条件对进行判断；根据圆心角、弦、弧的关系对进行判断；根据圆周角定理和圆内接四边形的性质对进行判断；根据三角形内心的定义对进行判断．本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆也考查了圆心角、弧、弦的关系此题比较简单，注意掌握定理的条件在同圆或等圆中是解此题的关键．8. 解：圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条．故选A．由于直径是圆的最长弦，经过圆心的弦是直径，两点确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条．本题考查了直径和弦的关系，直径是弦，弦不一定是直径，直径是圆内最长的弦．9. 解：设圆的原来的半径是R，增加1倍，半径即是2R，则增加的面积是，即增加了3倍．故选C．根据圆的半径的计算公式即可解决．能够根据圆面积公式计算增加后的面积．10. 解：根据半圆也是弧，故此选项错误，符合题意；由等圆的定义可知，半径相等的两个圆面积相等、周长相等，所以为等圆，故此选项正确，不符合题意；过圆心的线段是直径，根据圆的直径的含义可知：通过圆心的线段，因为两端不一定在圆上，所以不一定是这个圆的直径，故此选项错误，符合题意；长度相等的弧不一定是等弧，因为等弧就是能够重合的两个弧，而长度相等的弧不一定是等弧，所以等弧一定是同圆或等圆中的弧，故此选项错误，符合题意；半径不是弦，故此选项错误，符合题意；故选：C．利用等弧和弦的概念，垂径定理以及弧，弦与圆心角之间的关系进行判断．此题主要考查了确定圆的条件以及圆的相关定义，熟练掌握其定义是解题关键．9 / 1211. 解：设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则，，因而，在小量角器中弧PB所对的圆心角是，因而P在小量角器上对应的度数为．故答案为：；设大量角器的左端点为A，小量角器的圆心为利用三角形的内角和定理求出的度数然后根据圆的知识可求出小量角器上对应的度数．本题主要考查了直径所对的圆周角是90度能把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．12. 解：：直径是弦，所以正确；经过不共线的三点一定可以作圆，所以错误；三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，所以正确；能够完全重合的弧是等弧，所以错误；平分弦非直径的直径垂直于弦．故答案为．根据直径的定义对进行判断；根据确定圆的条件对进行判断；根据三角形外心的性质对进行判断；根据等弧的定义对进行判断；根据垂径定理的推论对进行判断．本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆也考查了圆的认识和垂径定理．13. 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是．故答案为：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置．14. 解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为：5．根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．本题主要考查圆的确定，熟练掌握圆上各点到圆心的距离相等得出其外接圆是解题的关键．人教版九年级数学上24章《圆》基础测试（含答案及解析）11 / 12 15. 解：半径为5的 的直径为10，则半径为5的 中最大的弦是直径，其长度是10．故答案是：10．直径是圆中最大的弦．本题考查了圆的认识 需要掌握弦的定义．16. 解：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．故答案为：圆心．根据圆的定义即可得出结论．本题考查的是圆的认识，熟知圆是中心对称图形是解答此题的关键．17. 解：当点P 在圆内时，点P 到圆的最大距离与最小距离的和为10cm ，就是圆的直径，所以半径是5cm ．当点P 在圆外时，点P 到圆的最大距离与最小距离的差为4cm ，就是圆的直径，所以半径是2cm ．故答案是：5cm 或2cm ．当点P 在圆内时，点P 到圆的最大距离与最小距离之和就是圆的直径 当点P 在圆外时，点P 到圆的最大距离与最小距离的差就是圆的直径 知道了直径就能确定圆的半径． 本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确定圆的半径．18. 解： ，，，，又 ，．故答案为： ．根据半径相等和等腰三角形的性质得到 ，利用三角形内角和定理可计算出 ，然后根据平行线的性质即可得到 的度数．本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等 也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．19. 解：如图， ，为等边三角形．故答案为等边三角形．根据圆的半径相等和等边三角形的判定方法进行判断．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等 也考查了等边三角形的判定．20. 解： 中最长的弦为16cm ，即直径为16cm ，的半径为8cm ．故答案为：8．最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．圆中的最长的弦就是直径，是需要熟记的．21. 连接OD ，如图，由 ， 得到 ，根据等腰三角形的性质得 ，再利用三角形外角性质得到 ，加上 ，然后再利用三角形外角性质即可计算出 ．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等 也考查了等腰三角形的性质．22. 根据等腰三角形的性质、圆周角定理证明 ，根据切线的判定定理证明；取AC的中点H，连接DH，根据等腰三角形的三线合一得到，根据余弦的定义求出CD，根据勾股定理求出DH，根据相似三角形的判定和性质计算．本题考查的是切线的判定定理、相似三角形的判定和性质以及圆周角定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、切线的判定定理是解题的关键．23. 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点解答；连接OM，作于N，根据勾股定理求出DN，根据垂径定理求出DE．本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握三角形的外心的概念、垂径定理的应用是解题的关键．24. 此题主要是确定三角形的外接圆的圆心，根据圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行作图：作线段AB的垂直平分线；作线段BC的垂直平分线；以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．连接OA，先证明是等边三角形，从而得到圆的半径，即可求解．本题考查了作图复杂作图，掌握三角形的外接圆的作法三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个．25. 设，根据等边对等角可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可；设，根据等边对等角可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后列出方程求出x，再根据邻补角的定义列式计算即可得解；设，根据等边对等角可得，，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，然后求出x，从而得解．本题是圆的综合题型，主要利用了等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，读懂题目信息，作出图形更形象直观．26. 首先判断，然后利用半径相等证得其腰相等即可说明其是等腰梯形．本题考查了圆的认识及等腰梯形的判定，解题的关键是了解等腰梯形的判定方法．。