历史的回顾我国数学分析课内容体系的变迁——在第三届大学数学课程论坛上的报告
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述） ；
闭区间上连续函数性质的证明， 特别是一致
连续性 ； 连续 函数 的 Ｒ ｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ可 积 性 与 Ｄ ａ ｂ ｕ ｘ ｅ
万方数据
２ ０ ０ ８ 年 第４ ７ 卷 第２ 期
定理 ；
数 学通报
函数项级数与一致收敛性 ；
无穷积分与奇异积分； Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 级数与Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 积分变换等等．
家” ． 从此， 北大成为理科大学而清华变成工科大 学． 原来设在大学内的医学院， 农学院与师范则单
独成立院校． 当时北京大学成立北大数学力学系， 全面照 搬莫斯科大学数学系的教学计划， 并开始使用苏 联 的教材． 设立 了教研室， 从此教员 中有 了“ 教分
析” “ 教几何” “ 教代数” “ 教高等数学” 之别． 在学生 中， 高年级要分“ 专门化” ， 而专门化一般是限于三 级或四级学科． １ ９ ５ ２ 年的院系调整实际上是一次政府领导 下的教育改革． 我们应当历史地， 一分为二地评价 １ ９ ５ ２ 年院系调整， 既看到它的正面影响， 又要看 到它的负面影响． 全面评价它超出了本文的目的． 这里， 我们主要关注它对数学教育和数学分析课
班， 思考 自己感兴趣的问题． 代个很值得注意的现象是， 虽然我国现代数
学教育与研究起步很晚， 但从一开始， 十分重视同 国外高水平的学者交流， 聘请他们来华任教． 比 如， １ ９ ２ ０ 年至 １ ９ ３ ４ 年期间 ， 北京大学数学门（ 系） 聘请了不少国际数学界大师级人物来校任职， 讲 课一至两年 ， 也带研究生 ， 其中包括 英国著名哲学家、 数理逻辑学家罗素（ １ ９ ２ ０ 一
当时的学时也相应地大大增加 了． 数学分析 课的学时被定为 ４ 个学期 ， ４个学期 中每周学时
分别为 ４ ＋４ ； ４ 十４ 讨＋２ 洪＋２ （大课＋习题课） ．
上述苏联教材在中国产生了很大的影响． 对于菲赫金哥尔茨的书《 微积分教程》 ， 人们 实际上没有把它作为一种教材 ， 而是作为教师与 学生的教学参考书． 但他的《 数学分析原理》 被广 泛使用为教材． 其主要特点是 ： 逻辑严密， 基础坚 实， 理论体系完整， 内容丰富． 但主要问题是初学 者开始时会感到十分困难． Ａ ． Ｙ ． 辛钦的《 数学分析简明教程》 是另外一 种风格的书． 它较重视初学者的困难． 与菲赫金哥 尔茨的《 数学分析原理》 不同， 他没有把实数理论 与严格极限理论都放在一开头． 考虑到初学者 的 困难， 在一开始 ， 他不讲严格的极限定义， 而使用 了极限的朴素描述： 自变量在变化的过程中自某 时刻开始， 因变量与一个 固定的数之距离小于事 先任意给定的正数． 在经过一段 时间使 用 了这 种描述性定义 之 后， 再对极限实行“ 严格化” ， 即使用“ 。 占 ” 与“ 。 Ｎ” 的说法． 辛钦的书中关于实数理论的处理也较好． 在２ ０ 世纪 ５ ０ 年代初期， 有不少学校使用辛 钦的书， 但到 ２ ０ 世纪 ６ ０ 年代之后， 较普遍地采用 了菲赫金哥尔茨的书或 自编的书． 吉米多维奇习题集是 ２ ０ 世纪 ５ ０ 年代数学系 学生们所广泛喜爱的书． 其中题 目难易适中， 丰富 多样． 学生们几乎人手一册， 教师留课外作业， 教 师只要点出题号就可 以 了． 遗憾 的是 ， 到了 ２ ０世 纪８ ０ 年代初， 该书的全套解答的出版， 使这本广 泛使用的习题集被彻底“ 报废” 了． 苏联的分析教材在中国所产生的影响是巨大 的． 整整几代的数学工作者就是在苏联教材的培 育下成长起来的， 他们后来成为我国数学教育的 中坚力量． 此后我国所编写的教材无不受其影响， 大多以苏联教材框架为蓝本． 可以说苏联教材的 影响一直到今天． 对于当时的院系调整以及使用苏联教材， 一
１ ９ ２ ２ ） ；
法国著名数学家 Ｐ ａ ｕ ｌ Ｐ ａ ｉ ｎ ｌ ｅ ｖ ｅ （ １ ９ ２ ０ ） ； 德国著名几何学家 Ｗ． Ｂ ｌ ａ ｓ ｃ ｈ ｋ ｅ （ １ ９ ５ ２ ） ； 美国哈佛大学著名拓扑学家 Ｇ ． ．Ｂ Ｄ ｉｒ ｋｈ ｆｆ ｏ
（ １ ９ ３ ４ ） ；
万方数据
数 学通报
２ ０ ０ ８ 年
第４ ７ 卷
第２ 期
基础课． 他们 先后 在北大数 学 系开设 了 “ 微积 分” 、 “ 数理逻辑” 、 “ 解析几何与代数” 、 “ 拓扑学” 、 “ 复变函数” 、 “ 实变 函数” 、 “ 力学” 等基础课程 ， 有 些教材出版成教科 书． 能够聘请这些大家来华任教， 不是作一两个 报告， 而且是讲课一至二年． 这要花一大笔钱． 当 时能够这样做， 反映了当时学校与系的领导者们 的远见卓识． 此外， 当时还十分重视教学与科学研究的结 合． 对学生提倡研究式学习， 高年级学生参加研讨 班， 写读书报告． 在课堂上教师不必什么都讲 ， 而 是留下一些思考题 ， 让同学 自己独立地去解决． 教 学与研究相结合这一 良好的传统即使在战乱的年 代依然坚持了下来． 如１ ９ ８ 年抗 日战争爆发之后 ３ 由清华、 北大、 南开三校在昆明组建的西南联大算 学系， 就是一个很好的例子． 当时的西南联大集中 了我国当时北方的一大批优秀数学家， 如姜立夫， 江泽涵， 赵仿熊， 华罗庚， 陈省身， 许宝碌等等， 开 创了一个前所未有 的学术环境． 他们不仅亲 自上 基础课 ， 而且根据 自己的专长开设 了许多很有特 色、 很有水平的课程或研讨班， 采取教授讲演， 大 家讨论的方式， 这样使一批青年教师与学生较早 进人数学的前沿． 这个时期在我国的科学史上是一个人才辈出 的时期． 在那个时代 ， 虽然现代数学传入中国时间 还不很久， 而且是一个战乱动荡的年代， 但是却出 现了许多数学上的杰出人物 ， 像华罗庚、 陈省身、 许宝碌这样一批杰 出的数学家 ， 在当时就 已经做 出了突出的成就． 现在， 我国解放已经 ５ ８ 年， 改革 开放也有 ２ ０ 多年， 为什么没有这样的大家出现？ 我们可以解释说， 这与大的时代历史背景有关． 但 是， 除此之外， 这难道跟我们现行的教育理念、 教 育体制、 教学方式等等， 没有什么关系吗？跟我们 现行的科技与教育的管理体制没有关系吗？这是 一个很值得我们深思的问题． ２ １ ９５ ２ 年院系调整至 １ ９５ ８年教育大革命 新中国的成立带来了我国教育与科技事业的 大发展与大繁荣． 对我国教育事业有重大影响的事件是 １ ９ ５ ２ 年的“ 院系调整” ． １ ９ ５ ２年， 在“ 向苏联学习” 的口 号下， 中央人民政府对高等院校进行 了一次大规 模的调整， 其 主要 目标是按 照苏联模式“ 理工分
的影 响。
招生规模大大扩大了。 院系调整后， 比如， 北 大数学力学系在 ２ ０ 世纪 ５ ０ 年代每年招生 ２ ０ 。 人． 这在解放前是无法想象的． 院系调整后各专业的教学计划更加完善， 教 材质量、 教材 内容有 了大幅度的提升． 为了推行苏联教学计划 ， 翻译苏联教材是一 个重要环节． 教授们被组织起来突击学俄语． 当时 被 翻译过来 的数学分析教材最有影响的是 ： 菲赫金哥尔茨： 微积分学教程（ 全书三卷八分
册） ；
辛钦 ：
数学分析原理（ 上下两册） ； 数学分析简 明教程 （ 上下两
册） ；
吉米多维奇： 数学分析习题集． 这些教材在内容的广度、 深度与难度上 比起 原来的《 初等微积分》 与《 高等微积分》 都有大幅度 的提升． 这主要体现在下列内容上： 实数理论（ “ 戴德金分割， ）； ’ 实数的完备性的讨论 上下确界的存在性定理、 区间套定理、 单调有 界序列有极限、 上下极限的存在性定理、 哥西收敛 原理、 有限覆盖定理、 Ｂ ｏ ｒ ｚ ａ ｎ － ｏ Ｗｅ ｉ ｅ ｒ ｓ ｔ ｒ ａ ｓ ｓ 定理； 极限的严格理论 （ “ 。 者 ” “ 。 Ｎ” 说法 的严格论
２ ０ ０ ８ 年
第４ ７卷 第 ２ 期
数学通报
历史的回顾： 我国数学分析课内容体系的变迁
— 在第三届大学数学课程论坛上的报告
李 忠
１ ０ ０ ８ ７ １ ） （ 北京大学数学科学学院
历史是一面很好的镜子． 现在， 让我们回顾一下有关数学分析课的发
展变化的历史， 这或许对我们今天思考这个课程 的改革有所裨益． １ １ ９ ５ ２ 年院系调整之前（ １ ９ １ ３ 一１ ９ ５ ２ ） １ ９ １ ３ 年秋， 北京大学数学门（ 系） 正式招生．
在微积分之外， 而在后面与函数论合成一个课， 称 作《 无穷级数与函数通论》 ． 将微积分分作“ 初等微积分” 与“ 高等微积分” 这样的格局一直持续到 １ ９ ５ ２ 年院系调整之前． 后 来在院系调整之后 ， 才有了“ 数学分析” 课， 来替代 初等微积分与高等微积分． 从１ ９ １ ３年成立数学系到 １ ９ ５ ２ 年 的院系调 整， 这一时期里办学的基本模式是西式的． 在办学 的理念上也有许多值得借鉴之处． 当时的教学计 划上 ， 学生上课的总学时较少 ， 而强调 自学， 强调 学生学习的主动性与 自觉性． 没有什么习题课， 但 要求学生必须完成课后作业． 当时每个学生每周 上课的总学时不多． 这样 ， 学生有较多的时间， 去 阅读课外书籍， 选修 自己想学的课程， 参加讨论
这是我国第一个以培养高等数学人才为目 标的大
学专业． 根据记载， 当时的主要必修课程有： 微积分，
物理 ， 化学， 函数论 ， 微分方程与调和函数 ， 近世代 数， 近世几何， 理论物理 ， 数论， 数学史等． 另外， 还 有一些选修课． 值得注意的是， 当时数学门与物理门的学生 在一年级时同班上课， 到二年级时再分开上课． 因 此， 那时只有数学系和物理系上共 同的“ 微积分” 课， 而没有什么“ 数学分析” 课． 后来， 把微积分改 为两个课： “ 初等微积分” 与“ 高等微积分” ． １ ９ ３ １ 年在北大， 江泽涵教授亲 自担任“ 初等微积分” 课 的讲授． 当时的“ 初等微积分” 主要是一元微积分的基 本概念 ， 如导数、 微分、 中值定理 、 泰勒公式、 不定 积分 ， 定积分等等． 在内容上强调基本计算 ， 强调 在物理与几何中的应用． 在初等微积分中， 极限的 定义是朴素的， 不使用“ 二 占 ” 与“ － ｅ Ｎ” 语言． 总之， 当时的《 初等微积分》 内容浅显易学， 学生能较快 把握微积分的核心内容， 了解它的广泛应用． 当时的“ 高等微积分” ， 主要讲述多元微积分 的理论 ： 偏导数、 多元函数的微分、 重积分、 曲线积 分与曲面积分， 场论等等 ． 代表性的教材主要是
闭区间上连续函数性质的证明， 特别是一致
连续性 ； 连续 函数 的 Ｒ ｉ ｅ ｍａ ｎ ｎ可 积 性 与 Ｄ ａ ｂ ｕ ｘ ｅ
万方数据
２ ０ ０ ８ 年 第４ ７ 卷 第２ 期
定理 ；
数 学通报
函数项级数与一致收敛性 ；
无穷积分与奇异积分； Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 级数与Ｆ ｏ ｕ ｒ ｉ ｅ ｒ 积分变换等等．
家” ． 从此， 北大成为理科大学而清华变成工科大 学． 原来设在大学内的医学院， 农学院与师范则单
独成立院校． 当时北京大学成立北大数学力学系， 全面照 搬莫斯科大学数学系的教学计划， 并开始使用苏 联 的教材． 设立 了教研室， 从此教员 中有 了“ 教分
析” “ 教几何” “ 教代数” “ 教高等数学” 之别． 在学生 中， 高年级要分“ 专门化” ， 而专门化一般是限于三 级或四级学科． １ ９ ５ ２ 年的院系调整实际上是一次政府领导 下的教育改革． 我们应当历史地， 一分为二地评价 １ ９ ５ ２ 年院系调整， 既看到它的正面影响， 又要看 到它的负面影响． 全面评价它超出了本文的目的． 这里， 我们主要关注它对数学教育和数学分析课
班， 思考 自己感兴趣的问题． 代个很值得注意的现象是， 虽然我国现代数
学教育与研究起步很晚， 但从一开始， 十分重视同 国外高水平的学者交流， 聘请他们来华任教． 比 如， １ ９ ２ ０ 年至 １ ９ ３ ４ 年期间 ， 北京大学数学门（ 系） 聘请了不少国际数学界大师级人物来校任职， 讲 课一至两年 ， 也带研究生 ， 其中包括 英国著名哲学家、 数理逻辑学家罗素（ １ ９ ２ ０ 一
当时的学时也相应地大大增加 了． 数学分析 课的学时被定为 ４ 个学期 ， ４个学期 中每周学时
分别为 ４ ＋４ ； ４ 十４ 讨＋２ 洪＋２ （大课＋习题课） ．
上述苏联教材在中国产生了很大的影响． 对于菲赫金哥尔茨的书《 微积分教程》 ， 人们 实际上没有把它作为一种教材 ， 而是作为教师与 学生的教学参考书． 但他的《 数学分析原理》 被广 泛使用为教材． 其主要特点是 ： 逻辑严密， 基础坚 实， 理论体系完整， 内容丰富． 但主要问题是初学 者开始时会感到十分困难． Ａ ． Ｙ ． 辛钦的《 数学分析简明教程》 是另外一 种风格的书． 它较重视初学者的困难． 与菲赫金哥 尔茨的《 数学分析原理》 不同， 他没有把实数理论 与严格极限理论都放在一开头． 考虑到初学者 的 困难， 在一开始 ， 他不讲严格的极限定义， 而使用 了极限的朴素描述： 自变量在变化的过程中自某 时刻开始， 因变量与一个 固定的数之距离小于事 先任意给定的正数． 在经过一段 时间使 用 了这 种描述性定义 之 后， 再对极限实行“ 严格化” ， 即使用“ 。 占 ” 与“ 。 Ｎ” 的说法． 辛钦的书中关于实数理论的处理也较好． 在２ ０ 世纪 ５ ０ 年代初期， 有不少学校使用辛 钦的书， 但到 ２ ０ 世纪 ６ ０ 年代之后， 较普遍地采用 了菲赫金哥尔茨的书或 自编的书． 吉米多维奇习题集是 ２ ０ 世纪 ５ ０ 年代数学系 学生们所广泛喜爱的书． 其中题 目难易适中， 丰富 多样． 学生们几乎人手一册， 教师留课外作业， 教 师只要点出题号就可 以 了． 遗憾 的是 ， 到了 ２ ０世 纪８ ０ 年代初， 该书的全套解答的出版， 使这本广 泛使用的习题集被彻底“ 报废” 了． 苏联的分析教材在中国所产生的影响是巨大 的． 整整几代的数学工作者就是在苏联教材的培 育下成长起来的， 他们后来成为我国数学教育的 中坚力量． 此后我国所编写的教材无不受其影响， 大多以苏联教材框架为蓝本． 可以说苏联教材的 影响一直到今天． 对于当时的院系调整以及使用苏联教材， 一
１ ９ ２ ２ ） ；
法国著名数学家 Ｐ ａ ｕ ｌ Ｐ ａ ｉ ｎ ｌ ｅ ｖ ｅ （ １ ９ ２ ０ ） ； 德国著名几何学家 Ｗ． Ｂ ｌ ａ ｓ ｃ ｈ ｋ ｅ （ １ ９ ５ ２ ） ； 美国哈佛大学著名拓扑学家 Ｇ ． ．Ｂ Ｄ ｉｒ ｋｈ ｆｆ ｏ
（ １ ９ ３ ４ ） ；
万方数据
数 学通报
２ ０ ０ ８ 年
第４ ７ 卷
第２ 期
基础课． 他们 先后 在北大数 学 系开设 了 “ 微积 分” 、 “ 数理逻辑” 、 “ 解析几何与代数” 、 “ 拓扑学” 、 “ 复变函数” 、 “ 实变 函数” 、 “ 力学” 等基础课程 ， 有 些教材出版成教科 书． 能够聘请这些大家来华任教， 不是作一两个 报告， 而且是讲课一至二年． 这要花一大笔钱． 当 时能够这样做， 反映了当时学校与系的领导者们 的远见卓识． 此外， 当时还十分重视教学与科学研究的结 合． 对学生提倡研究式学习， 高年级学生参加研讨 班， 写读书报告． 在课堂上教师不必什么都讲 ， 而 是留下一些思考题 ， 让同学 自己独立地去解决． 教 学与研究相结合这一 良好的传统即使在战乱的年 代依然坚持了下来． 如１ ９ ８ 年抗 日战争爆发之后 ３ 由清华、 北大、 南开三校在昆明组建的西南联大算 学系， 就是一个很好的例子． 当时的西南联大集中 了我国当时北方的一大批优秀数学家， 如姜立夫， 江泽涵， 赵仿熊， 华罗庚， 陈省身， 许宝碌等等， 开 创了一个前所未有 的学术环境． 他们不仅亲 自上 基础课 ， 而且根据 自己的专长开设 了许多很有特 色、 很有水平的课程或研讨班， 采取教授讲演， 大 家讨论的方式， 这样使一批青年教师与学生较早 进人数学的前沿． 这个时期在我国的科学史上是一个人才辈出 的时期． 在那个时代 ， 虽然现代数学传入中国时间 还不很久， 而且是一个战乱动荡的年代， 但是却出 现了许多数学上的杰出人物 ， 像华罗庚、 陈省身、 许宝碌这样一批杰 出的数学家 ， 在当时就 已经做 出了突出的成就． 现在， 我国解放已经 ５ ８ 年， 改革 开放也有 ２ ０ 多年， 为什么没有这样的大家出现？ 我们可以解释说， 这与大的时代历史背景有关． 但 是， 除此之外， 这难道跟我们现行的教育理念、 教 育体制、 教学方式等等， 没有什么关系吗？跟我们 现行的科技与教育的管理体制没有关系吗？这是 一个很值得我们深思的问题． ２ １ ９５ ２ 年院系调整至 １ ９５ ８年教育大革命 新中国的成立带来了我国教育与科技事业的 大发展与大繁荣． 对我国教育事业有重大影响的事件是 １ ９ ５ ２ 年的“ 院系调整” ． １ ９ ５ ２年， 在“ 向苏联学习” 的口 号下， 中央人民政府对高等院校进行 了一次大规 模的调整， 其 主要 目标是按 照苏联模式“ 理工分
的影 响。
招生规模大大扩大了。 院系调整后， 比如， 北 大数学力学系在 ２ ０ 世纪 ５ ０ 年代每年招生 ２ ０ 。 人． 这在解放前是无法想象的． 院系调整后各专业的教学计划更加完善， 教 材质量、 教材 内容有 了大幅度的提升． 为了推行苏联教学计划 ， 翻译苏联教材是一 个重要环节． 教授们被组织起来突击学俄语． 当时 被 翻译过来 的数学分析教材最有影响的是 ： 菲赫金哥尔茨： 微积分学教程（ 全书三卷八分
册） ；
辛钦 ：
数学分析原理（ 上下两册） ； 数学分析简 明教程 （ 上下两
册） ；
吉米多维奇： 数学分析习题集． 这些教材在内容的广度、 深度与难度上 比起 原来的《 初等微积分》 与《 高等微积分》 都有大幅度 的提升． 这主要体现在下列内容上： 实数理论（ “ 戴德金分割， ）； ’ 实数的完备性的讨论 上下确界的存在性定理、 区间套定理、 单调有 界序列有极限、 上下极限的存在性定理、 哥西收敛 原理、 有限覆盖定理、 Ｂ ｏ ｒ ｚ ａ ｎ － ｏ Ｗｅ ｉ ｅ ｒ ｓ ｔ ｒ ａ ｓ ｓ 定理； 极限的严格理论 （ “ 。 者 ” “ 。 Ｎ” 说法 的严格论
２ ０ ０ ８ 年
第４ ７卷 第 ２ 期
数学通报
历史的回顾： 我国数学分析课内容体系的变迁
— 在第三届大学数学课程论坛上的报告
李 忠
１ ０ ０ ８ ７ １ ） （ 北京大学数学科学学院
历史是一面很好的镜子． 现在， 让我们回顾一下有关数学分析课的发
展变化的历史， 这或许对我们今天思考这个课程 的改革有所裨益． １ １ ９ ５ ２ 年院系调整之前（ １ ９ １ ３ 一１ ９ ５ ２ ） １ ９ １ ３ 年秋， 北京大学数学门（ 系） 正式招生．
在微积分之外， 而在后面与函数论合成一个课， 称 作《 无穷级数与函数通论》 ． 将微积分分作“ 初等微积分” 与“ 高等微积分” 这样的格局一直持续到 １ ９ ５ ２ 年院系调整之前． 后 来在院系调整之后 ， 才有了“ 数学分析” 课， 来替代 初等微积分与高等微积分． 从１ ９ １ ３年成立数学系到 １ ９ ５ ２ 年 的院系调 整， 这一时期里办学的基本模式是西式的． 在办学 的理念上也有许多值得借鉴之处． 当时的教学计 划上 ， 学生上课的总学时较少 ， 而强调 自学， 强调 学生学习的主动性与 自觉性． 没有什么习题课， 但 要求学生必须完成课后作业． 当时每个学生每周 上课的总学时不多． 这样 ， 学生有较多的时间， 去 阅读课外书籍， 选修 自己想学的课程， 参加讨论
这是我国第一个以培养高等数学人才为目 标的大
学专业． 根据记载， 当时的主要必修课程有： 微积分，
物理 ， 化学， 函数论 ， 微分方程与调和函数 ， 近世代 数， 近世几何， 理论物理 ， 数论， 数学史等． 另外， 还 有一些选修课． 值得注意的是， 当时数学门与物理门的学生 在一年级时同班上课， 到二年级时再分开上课． 因 此， 那时只有数学系和物理系上共 同的“ 微积分” 课， 而没有什么“ 数学分析” 课． 后来， 把微积分改 为两个课： “ 初等微积分” 与“ 高等微积分” ． １ ９ ３ １ 年在北大， 江泽涵教授亲 自担任“ 初等微积分” 课 的讲授． 当时的“ 初等微积分” 主要是一元微积分的基 本概念 ， 如导数、 微分、 中值定理 、 泰勒公式、 不定 积分 ， 定积分等等． 在内容上强调基本计算 ， 强调 在物理与几何中的应用． 在初等微积分中， 极限的 定义是朴素的， 不使用“ 二 占 ” 与“ － ｅ Ｎ” 语言． 总之， 当时的《 初等微积分》 内容浅显易学， 学生能较快 把握微积分的核心内容， 了解它的广泛应用． 当时的“ 高等微积分” ， 主要讲述多元微积分 的理论 ： 偏导数、 多元函数的微分、 重积分、 曲线积 分与曲面积分， 场论等等 ． 代表性的教材主要是
