2018届高三学年期中考试 数学文科试题一、选择题（每小题5分，满分60分）1、若集合{}|0B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R2、已知221(32)z m m m i =-+-+（,m R i ∈为虚数单位），则“1m =-”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、平面向量a r 与b r的夹角为60︒，(2,0)a =r ，||1b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A ．6B ．36 C．D ．124、若点()4,2P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为（ ） A ．2100x y +-= B ．20x y -= C ．280x y +-= D ．260x y --=5、如果在两个平面内分别有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定 是（ ）A 、平行B 、相交C 、平行或相交D 、垂直相交 6、下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）A. ()f x x x =-B. ()sin f x x x =C. ()1f x x= D. ()12f x x =7、在等差数列{}n a 中，()1472a a a ++()911324a a ++=，则1372S a +=（ ）A ．17B ．26C ．30D ．568、已知实数,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥-≤+16234y y x y x ，且x y 2+的最小值为k ，则k 的值为（ ）A ．34 B ． 31 C. 21- D ．519、如图，1AA ，1BB 均垂直于平面ABC 和平面111C B A ，︒=∠=∠90111C B A BAC ，2111====C B A A AB AC ，则多面体111C B A ABC -的外接球的表面积为( )A.π2B.π4C.π6D.π810、已知正数,a b 满足4a b +=，则曲线()ln xf x x b=+在点()(),a f a 处的切线的倾斜角的取值范围为( )A. ,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 5,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. ,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）． A. 121 B. 61 C. 32 D. 3112、已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段2PF 相切于线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A. 13二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上） 13、将函数sin(2)23y x π=++的图象向右平移6π个单位，再向下平移2个单位所得图象对应函数的解析式是 ．14、 设D 为不等式22(1)1x y -+≤表示的平面区域，直线0x b ++=与区域D 有公共点，则b 的取值范围是 . 15、将圆心角为π32，面积为π3的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的体积等于 16、下列说法正确的有 ①函数()4cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个对称中心为5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭； ②在ABC ∆中， 1AB =， 3AC =， D 是BC 的中点，则·4AD BC =u u u v u u u v； ③在ABC ∆中， A B <是cos2cos2A B >的充要条件；④定义{},min ,{ ,a a b a b b a b ≤=>，已知(){}min sin ,cos f x x x =，则()f x 的最大值为2.三、解答题：17.(本小题满分12分)已知{}n a 是等差数列，满足12,341==a a ，数列{}n b 满足20,441==b b ，且{}n n a b -是等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和.18、（本题满分12分）ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知23,cos =4b ac B =．（1）求11tan tan A C+的值；（2）设32BA BC ⋅=u u u v u u u v ，求a c +的值.19、（本小题满分12分）三棱柱111C B A ABC -，侧棱与底面垂直，090=∠ABC ,21===BB BC AB ，N M ,分别是111AC B A ，的中点．（1）求证：//MN 平面11B BCC ．（2）求证：平面⊥1MAC 平面1ABC ．20. 已知圆心在x 轴上的圆C 与直线:4360l x y +-=切于点36(,)55M . （1）求圆C 的标准方程；（2）已知(2,1)N ，经过原点，且斜率为正数的直线L 与圆C 交于1122(,),(,)P x y Q x y 两点. （ⅰ）求证：1211x x +为定值； （ⅱ）求22||||PN QN +的最大值.21、已知函数()21ln 2f x x ax =-， a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值．请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），直线2C的方程为y =，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系， （1）求曲线1C 和直线2C 的极坐标方程； （2）若直线2C 与曲线1C 交于,A B 两点，求11||||OA OB +.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||3|f x x x =+-.（1）求不等式()62x f <的解集；（2）若0k >且直线5y kx k =+与函数()f x 的图象可以围成一个三角形，求k 的取值范围.数学文科试题答案一、选择题：1A 2C 3C 4C 5C 6A 7C 8D 9C 10C 11B 12D 二、填空题：13、x y 2sin = 14、[]1,3- 15、322π16、①②③④ 三、解答题：17.解析：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列{}n n b a -的公比为q ，根据题意可得：41123333a a d --===，所以()*3,n a n n N =∈； 344118b a q b a -==-， 2q =，所以()11112,n n n n b a b a q ---=-=因此()1*32n n b n n N -=+∈；（2）由（1）知()1*32n n b n n N -=+∈，所以01213232233232n n T n -=++⨯++⨯++++L 01236932222n n =++++++++L L()31212n n n =++-18.解析：（1）由3cos 4B =得237sin 14B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，由b 2=a c 及正弦定理得 2sin sin sin .B A C =()2sin 11cos cos sin cos cos sin tan tan sin sin sin sin sin A C A C C A C A A C A C A C B +++=+== 2sin 147.sin sin 7B B B === （2）由32BA BC ⋅=u u u v u u u v 得3cos 2ca B ⋅=，由3cos 4B =，可得2ca =，即22b =，由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a ccosB 得a 2+c 2=b 2+2a c·cos B=5.()2222549,3a c a c ac a c +=++=+=+=.19.解析：（1）连接，．在中，∵，是，的中点， ∴，又∵平面，∴平面．（）∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，∴四边形是正方形，∴，∴， 连接，，则≌，∴， ∵是的中点，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴平面平面．20、解：（1）设圆心C 的坐标为(,0)a ，则6535CMk a =-，又43l k =-， 由题意可知，1CM l k k =-g ，则1a =-，故(1,0)C -，所以||2CM =，即半径2r =. 故圆C 的标准方程为22(1)4x y ++=.（2）设直线L 的方程为(0)y kx k =>，由22(1)4x y y kx⎧++=⎨=⎩得：22(1)230k x x ++-=，所以12221x x k +=-+，12231x x k=-+. （ⅰ）1212121123x x x x x x ++==为定值， （ⅱ）2222221122||||(2)(1)(2)(1)PN QN x y x y +=-+-+-+-22221111222244214421x x y y x x y y =-++-++-++-+ 2221212(1)()(42)()10k x x k x x =++-+++222121212(1)()2(1)(42)()10k x x k x x k x x =++-+-+++212411641622101363k k k k +=+=⨯+≤+++-+ （当且仅当1033k k +=+，即3k =时等号成立）故22||||PN QN +的最大值为22.21、试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．由题意得()211'ax f x ax x x-=-=，当0a ≤时， ()'0f x >，则()f x 在区间()0,+∞内单调递增； 当0a >时，由()'0f x =，得x =x =，当0x <<()'0f x >， ()f x单调递增，当x > ()'0f x <， ()f x 单调递减． 所以当0a ≤时， ()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时， ()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭． （2）由()21ln 112x ax a x -≤--，得()()22ln 12x x a x x ++≤+， 因为0x >，所以原命题等价于()22ln 12x x a x x++≥+在区间()0,+∞内恒成立．令()()22ln 12x x g x x x++=+，则()()()()22212ln '2x x x g x xx -++=+，令()2ln h x x x =+，则()h x 在区间()0,+∞内单调递增， 又()112ln2011022h h ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，， 所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0002ln 0h x x x =+=， 且当00x x <<时， ()'0g x >， ()g x 单调递增， 当0x x >时， ()'0g x <， ()g x 单调递减，所以当0x x =时， ()g x 有极大值，也为最大值，且()()002max 002ln 12x x g x x x ++=+ ()00022x x x +=+ 01x =，所以01a x ≥，又01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()011,2x ∈, 所以2a ≥，因为a Z ∈， 故整数a 的最小值为2．22、（1）曲线1C 的普通方程为22(2)(2)1x y -+-=， 则1C 的极坐标方程为24cos 4sin 70ρρθρθ--+=， 由于直线2C 过原点，且倾斜角为3π，故其极坐标为()3R πθρ=∈（或tan θ=）（2）由24cos 4sin 703ρρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩得：22)70ρρ-+=，故122ρρ+=，127ρρ=，∴121211||||2||||||||7OA OB OA OB OA OB ρρρρ+++===g .23.（1）由()62xf <，即|||3|622x x +-<， 得：3236x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩或03236x ⎧<<⎪⎨⎪<⎩或0236x x ⎧≤⎪⎨⎪-+<⎩， 解得：39x -<<，∴不等式()62xf <的解集为(3,9)-. （2）作出函数23,0()3,0323,3x x f x x x x -+≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩的图象，如图所示，∵直线(5)y k x =+经过定点(5,0)A -，∴当直线(5)y k x =+经过点(0,3)B 时，35k =， ∴当直线(5)y k x =+经过点(3,3)C 时，38k =， ∴当33(,]85k ∈时，直线(5)y k x =+与函数()f x 的图象可以围成一个三角形.。
