北师大数学必修二导学同步课时作业：第2章 解析几何初步 圆与圆的方程习题课 含解析

姓名，年级：时间：圆与圆的方程习题课A级基础巩固一、选择题1．点M在圆(x－5）2＋(y－3)2＝9上,则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为（ D ）A．9 B．8C．5 D．2［解析］圆心（5,3)到直线3x＋4y－2＝0的距离为d＝错误!＝5。

又r＝3，则M到直线的最短距离为5－3＝2．2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是( B ）A．R B．（－∞，1)C．（－∞，1］D．［1，＋∞）[解析] ∵D2＋E2－4F>0,∴16＋4－20k>0，∴k〈1,故选B．3．已知圆x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0和定点P(1，－1)，若过点P的圆的切线有两条,则k的取值范围是（ C ）A．(－2,＋∞）B．（－∞，2)C．（－2，2）D．(－∞，－2)∪（2，＋∞)[解析] 因为方程x2＋y2＋2x＋2y＋k＝0表示一个圆，所以4＋4－4k>0，解得k〈2。

又由题意知，要使P在圆外,则k>－2，故－2〈k〈2，故选C．4．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝（ A )A．－错误!B．－错误!C．错误!D．2[解析] 配方得(x－1)2＋(y－4）2＝4，∴圆心为C（1,4）．由条件知错误!＝1.解之得a＝－错误!．故选A．5．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有且仅有( C ) A．1条B．2条C．3条D．4条［解析] 圆C1的圆心C1（1,3），半径r1＝3，圆C2的圆心C2（－2，－1)，半径r2＝2，∴｜C1C2|＝错误!＝5＝r1＋r2，故两圆外切,公切线有3条．二、填空题6．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧,则a2＋b2＝__2__．［解析］本题考查直线与圆的位置关系．依题意，圆心O（0,0）到两直线l1：y＝x＋a，l2：y＝x＋b的距离相等，且每段弧长等于圆周的错误!，即错误!＝错误!＝1×sin45°＝错误!，得|a｜＝｜b｜＝1.故a2＋b2＝2．7．(2018·江苏省启东中学期中）圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为__(x－3)2＋（y＋1)2＝16__．[解析］解法1 由错误!解得错误!错误!故圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4x－6＝0的交点为A(－1，－1），B(3,3），线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－（x－1)．由错误!解得错误!所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为错误!＝4，所以所求圆的方程为（x－3)2＋（y＋1）2＝16．解法2 同解法1，求得A(－1，－1)，B(3，3），设所求圆的方程为（x－a)2＋（y－b）2＝r2（r＞0）,由错误!解得错误!所以所求圆的方程为(x－3）2＋(y＋1）2＝16．解法3 设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6）＝0(λ≠－1），其圆心坐标为错误!,代入x－y－4＝0，得λ＝－错误!．故所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1）2＝16．三、解答题8．求圆心在直线4x＋y＝0上,且与直线l:x＋y－1＝0切于点P(3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．[解析] 设圆的标准方程为(x－a）2＋（y－b）2＝r2，由题意有错误!,化简得错误!,解得错误!.所求圆的方程为（x－1)2＋（y＋4)2＝8，它是以(1,－4）为圆心，以2错误!为半径的圆．9．(2017·金华高一检测）已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2，1),由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q,｜PQ｜＝｜PA｜成立,如图．(1）求a，b间的关系；（2)求|PQ｜的最小值．［解析］(1）连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ｜＝|PA｜,所以｜OP｜2＝|OQ｜2＋｜PQ|2＝1＋｜PA｜2，所以a2＋b2＝1＋（a－2)2＋（b－1）2，故2a＋b－3＝0．（2）由（1）知，P在直线l:2x＋y－3＝0上,所以|PQ｜min＝|PA|min，为A到直线l的距离，所以｜PQ|min＝错误!＝错误!．B级素养提升一、选择题1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限,那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过（ D )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a,－错误!b)，则a<0,b〉0.直线y＝－1ax－ba，其斜率k＝－错误!>0，在y轴上的截距为－错误!〉0，所以直线不经过第四象限,故选D．2．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E（0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为( B ）A．5错误!B．10错误!C．15错误!D．20错误!［解析] 圆x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为（x－1）2＋（y－3)2＝10，则圆心坐标为M(1，3)，半径长为错误!.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的圆的直径，则|AC｜＝2错误!。

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2.2。

1 圆的标准方程[学业水平训练］1。

圆(x－3)2＋（y＋2)2＝13的周长是（)A。

13πB．2错误!πC．2πD．23π解析：选B.由圆（x－3)2＋（y＋2)2＝13，得圆的半径r＝错误!,则圆的周长C＝2πr＝2错误!π。

错误!已知某圆的一条直径的端点分别是A（4，0），B（0，－6)，则该圆的标准方程是（）A．(x＋2)2＋（y－3）2＝13B．(x＋2)2＋（y－3)2＝52C．（x－2)2＋（y＋3)2＝52D．（x－2)2＋（y＋3）2＝13解析:选D.由中点坐标公式得圆心（2，－3），r＝错误!｜AB｜＝错误!错误!＝错误!,故圆的标准方程为(x－2）2＋（y＋3)2＝13。

3．点P（m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是（）A．在圆内B．在圆外C．在圆上D．不确定解析：选B.由m4＋25〉24可知，点P(m2，5)在圆x2＋y2＝24的外部．4．已知圆C经过A（5，2），B（－1，4)两点，圆心在x轴上,则圆C的标准方程是（）A．(x－2)2＋y2＝13B．（x＋2)2＋y2＝17C．(x＋1)2＋y2＝40D．(x－1)2＋y2＝20解析：选D。

第二章 §2 2.3 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．直线4x ＋3y －40＝0与圆x 2＋y 2＝100的位置关系是( C ) A ．相离 B ．相切 C ．相交D ．相切或相离[解析] 圆心O 到直线的距离d ＝|－40|5＝8<10＝r ，∴直线与圆相交．2．直线x －y －4＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是( D ) A ．相交 B ．相切 C ．相交且过圆心D ．相离[解析] 圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． 圆心到直线的距离d ＝|1－1－4|2＝22>2．∴直线与圆相离．3．直线x ＋y ＝m 与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m ＝( D ) A ．12B ．22 C ． 2D ．2[解析] 由圆心到直线的距离d ＝|－m |2＝m ，解得m ＝2．4．(2018·南京师范大学附属中学期中)直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定[解析] 直线ax －y ＋2a ＝0过定点(－2,0)，而(－2,0)满足22＋02＜9，所以直线与圆相交．5．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( D )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0[解析] 设所求切线方程为y －3＝k (x －1)．解法1：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0y ＝kx －k ＋3⇒x 2－4x ＋(kx －k ＋3)2＝0．该二次方程应有两个相等实根，则Δ＝0，解得k ＝33． ∴y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0． 解法2：点(1，3)在圆x 2＋y 2－4x ＝0上，∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直． 又∵圆心为(2,0)，∴0－32－1·k ＝－1.解得k ＝33，∴切线方程为x －3y ＋2＝0．解法3：把x 2＋y 2－4x ＝0配方，得(x －2)2＋y 2＝22，圆心坐标为(2,0)，而过点P 的半径所在直线的斜率为－3，则切线斜率为33，由此排除A 、B ，再代入P (1，3)，排除C ． 6．(陕西高考)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( B )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] 本题考查直线与圆的位置关系判定，点到直线距离公式等．由点(a ，b )在圆x 2＋y 2＝1外知a 2＋b 2>1，而圆心(0,0)到直线ax ＋by ＝1的距离为d ＝1a 2＋b 2<1，所以直线与圆相交．二、填空题7．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于__254__．[解析] 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式以及运算能力． 由题意知切线的斜率存在，设为k ，切线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， 由点到直线的距离公式，得|2－k |k 2＋1＝5， 解得k ＝－12，∴切线方程为－12x －y ＋52＝0，令x ＝0，y ＝52，令y ＝0，x ＝5，∴三角形面积为S ＝12×52×5＝254．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋C ＝0的距离为1，则实数C 的取值范围是__(－13,13)__．[解析] 圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋C ＝0的距离小于1，即|C |13<1，所以C的取值范围是(－13,13)．三、解答题9．已知一个圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，且在直线l 2：x －y ＝0上截得的弦长为27，求圆C 的方程．[解析] ∵圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上， ∴可设圆心为C (3t ，t )．又∵圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为r ＝|3t |.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得(|3t －t |2)2＋(7)2＝|3t |2，解得t ＝±1．∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3．故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9．10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．[解析] (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设圆心C 为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1．则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3．所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0． 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2>0． 因此x 1,2＝(8－2a )±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0． 又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ， 所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1．B 级 素养提升一、选择题1．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 圆心(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离，d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，又r ＝3，故有三个点到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1．2．如果实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么yx 的最大值是( D )A ．12B ．33C ．32D ． 3[解析] y x ＝y －0x －0，即圆(x －2)2＋y 2＝3上的点和原点(0,0)连线斜率的最大值．如图所示，OA 取得最大值k OA ＝ 3.故选D ．二、填空题3．已知圆的方程是x 2＋y 2＝2，则经过圆上一点(1，－1)的切线方程是__x －y ＝2__． [解析] 因为过x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2，故x －y ＝2即为所求．4．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为__4π__．[解析] 圆C 的圆心坐标为(0，a )，半径为a 2＋2，∵|AB |＝23，∴圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2， 即a 22＋3＝a 2＋2，∴a 2＝2，∴r ＝2，S ＝4π． 三、解答题5．若直线4x －3y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a 的取值范围．[解析] 解法1：(代数法)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＋a ＝0，x 2＋y 2＝100，消去y ，得25x 2＋8ax ＋a 2－900＝0． Δ＝(8a )2－4×25(a 2－900)＝－36a 2＋90 000． ①当直线和圆相交时，Δ>0， 即－36a 2＋90 000>0，－50<a <50； ②当直线和圆相切时，Δ＝0， 即a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，Δ<0， 即a <－50或a >50． 解法2：(几何法)圆x 2＋y 2＝100的圆心为(0,0)，半径r ＝10， 则圆心到直线的距离d ＝|a |32＋42＝|a |5． ①当直线和圆相交时，d <r ， 即|a |5<10，－50<a <50； ②当直线和圆相切时，d ＝r ， 即|a |5＝10，a ＝50或a ＝－50； ③当直线和圆相离时，d >r ， 即|a |5>10，a <－50或a >50． 6．已知直线l 过点P (2,3)且与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1相切，求直线l 的方程．[解析] 经检验知，点P (2,3)在圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1的外部，①若直线l 的斜率存在， 则设直线l 的方程为y －3＝k (x －2)． ∵直线l 与圆相切，∴|k ×1－(－2)－2k ＋3|k 2＋1＝1，解得：k ＝125．∴所求直线l 的方程为：y －3＝125(x －2)，即：12x －5y －9＝0． ②若直线l 的斜率不存在， 则直线x ＝2也符合题意， ∴所求直线l 的方程为：x ＝2， 综上可知，所求直线l 的方程为 12x －5y －9＝0或x ＝2．C 级 能力拔高已知圆C ∶(x －3)2＋(y －4)2＝4和直线l ∶kx －y －4k ＋3＝0． (1)求证：不论k 取何值，直线和圆总相交；(2)求k 取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．[解析] 解法1：(1)∵圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (3,4)，半径为2， ∴圆心到直线的距离为d ＝|3k －4－4k ＋3|k 2＋1＝|k ＋1|k 2＋1.假设d ＝|k ＋1|k 2＋1<2，即3k 2－2k ＋3>0． ∵Δ＝(－2)2－36<0， ∴k 为任意实数，∴不论k 取什么值，d <2，即不论k 取什么值时，直线和圆都相交． (2)设直线和圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得(12|AB |)2＝r 2－d 2，当d 最大时，AB 最小． ∵d ＝|k ＋1|k 2＋1＝(k ＋1)2k 2＋1＝1＋2k k 2＋1； ∵k 2＋1－2k ＝(k －1)2≥0； ∴k 2＋1≥2k ．∴2kk 2＋1≤1，当k ＝1时取等号． ∴当k ＝1时，d 的值最大，且为2，此时有 (12|AB |)2＝r 2－d 2＝4－2＝2， 即|AB |＝22．∴当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为22． 解法2：圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (3,4)，半径为r ＝2． (1)直线方程可化为k (x －4)＋(3－y )＝0， ∴直线过定点P (4,3)． ∵(4－3)2＋(3－4)2<4，∴点P 在圆C 内部．∴直线kx －y －4k ＋3＝0与圆C 总相交． (2)∵直线经过定点P (4,3)，∴当PC 与直线垂直时，圆被直线截得的弦最短． 设直线与圆的交点为A ，B ，则由勾股定理得 (12|AB |)2＝r 2－|CP |2＝4－2＝2． ∴|AB |＝22．∵PC 与直线kx －y －4k ＋3＝0垂直，直线PC 的斜率为k PC ＝3－44－3＝－1，∴直线kx －y －4k ＋3＝0的斜率为k ＝1，∴当k ＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为22．。

第2课时圆与圆的位置关系1.已知A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|(x-5)2+(y-5)2=4},则A∩B等于()A.⌀B.{(0,0)}C.{(5,5)}D.{(0,0),(5,5)}解析:集合A是由圆O:x2+y2=1上所有点组成的,集合B是由圆C:(x-5)2+(y-5)2=4上所有点组成的.又O(0,0),圆O的半径r1=1,C(5,5),圆C的半径r2=2,|OC|=5,所以|OC|>r1+r2=3.所以圆O和圆C相离,无公共点,即A∩B=⌀.答案:A2.若圆C1:(x+2)2+(y-2)2=m(m>0)与圆C2:x2+y2-4x-10y+13=0有3条公切线,则m=()A.1B.2C.3D.4答案:A3.已知圆O1:x2+y2-4x+6y=0和圆O2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则公共弦AB的垂直平分线的方程为()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0解析:由题意知,两圆的圆心分别为(2,-3),(3,0),=3, 因为公共弦AB的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线,所以所求直线的斜率为k=---故直线方程为3x-y-9=0.答案:C4.已知两圆相交于点A(1,3),B(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为()A.-1B.2C.3D.0解析:由题意知,AB的中点在直线x-y+c=0上,∴-1+c=0,m+2c=1.又直线AB的斜率k AB=--=-1,--∴m=5.∴c=-2.∴m+c=3,故选C.答案:C5.过点A(4,-1)且与圆x2+y2+2x-6y+5=0切于点B(1,2)的圆的方程是()A.(x+3)2+(y+1)2=5B.(x-3)2+(y+1)2=5C.(x-3)2+(y-1)2=5D.(x+3)2+(y-1)2=5解析:设所求圆的圆心为(a,b),半径为r,则有------解得所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.答案:C6.以两圆C1:x2+y2+4x+1=0及C2:x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦为直径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.D.--解析:两圆方程相减,得相交弦所在直线为x-y=0,因为所求圆的圆心在直线x-y=0上,排除C,D选项.画图可知所求圆的圆心在第三象限,排除A,故选B.答案:B7.若点A(a,b)在圆x2+y2=4上,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.解析:两圆的圆心距d=,又a2+b2=4,则d==2.两圆的半径之和为1+1=2,所以两圆的圆心距等于两圆的半径之和,故两圆外切.答案:外切8.若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.解析:由题意知O1(0,0),O2(m,0),且<|m|<3,又O2A⊥AO1,所以有m2=()2+(2)2=25⇒m=±5,所以|AB|=2×=4.答案:49.若某圆的圆心为点(2,1),且它与圆x2+y2-3x=0的公共弦所在的直线经过点(5,-2),求此圆的方程.解设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2,即x2+y2-4x-2y+5-r2=0,所求圆的方程与已知圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为x+2y-5+r2=0.又公共弦所在的直线经过点(5,-2),将点(5,-2)代入直线方程x+2y-5+r2=0,得5-4-5+r2=0,解得r2=4,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.10.求过点(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0相切于原点的圆的方程.解方法一:将圆C的方程化为标准方程得(x+5)2+(y+5)2=50,则圆心为点(-5,-5).所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由题意得-----解得故所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.方法二:由题意,所求的圆经过点(0,0)和(0,6),所以所求圆的圆心一定在直线y=3上,又由方法一,知所求圆的圆心在直线x-y=0上,所以由-得圆心坐标为(3,3).所以r==3,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=18.★11.如图,已知圆心坐标为M(,1)的圆M与x轴及直线y=x均相切,切点分别为A,B,另一圆N与圆M,x轴及直线y=x均相切,切点分别为C,D.(1)求圆M和圆N的方程;(2)过B点作MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.解(1)由于圆M与∠BOA的两边相切,故M到OA及OB的距离均为圆M的半径,则M在∠BOA的角平分线上,同理,N也在∠BOA的角平分线上,即O,M,N三点共线,且OMN为∠BOA的角平分线,因为M的坐标为M(,1),所以M到x轴的距离为1,即圆M的半径为1,所以圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1;设圆N的半径为r,由Rt△OAM∽Rt△OCN,得OM∶ON=MA∶NC,即⇒r=3,OC=3,所以圆N的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.(2)由对称性可知,所求弦长等于过A点的MN的平行线被圆N截得的弦长,此弦所在直线方程为y=(x-),即x-y-=0,圆心N到该直线的距离d=-,则弦长=2-.。